人教版高中数学必修一《对数与对数运算》教学设计

2.2.1对数与对数运算

教学目标：1．理解并记忆对数的定义，对数与指数的互化，对数恒等式及对数的性质．2．理解并掌握对数运算法则的内容及推导过程．

3．熟练运用对数的性质和对数运算法则解题．

4．对数的初步应用.

教学重点：对数定义、对数的性质和运算法则

教学难点：对数定义中涉及较多的难以记忆的名称，以及运算法则的推导

教学方法：学导式

教学过程设计

第一课时

师：（板书）已知国民生产总值每年平均增长率为7.2％，求20年后国民生产总值是原来的多少倍？

生：设原来国民生产总值为1，则20年后国民生产总值y=（1+7.2％）20=1.07220，所以20年后国民生产总值是原来的1.07220倍．

师：这是个实际应用问题，我们把它转化为数学中知道底数和指数，求幂值的问题．也就是上面学习的指数问题．

师：（板书）已知国民生产总值每年平均增长率为7.2％，问经过多年年后国民生产总值是原来的4倍？

师：（分析）仿照上例，设原来国民生产总值为1，需经x年后国民生产总值是原来的4倍．列方程得:1.072x=4．

我们把这个应用问题转化为知道底数和幂值，求指数的问题，这是上述问题的逆问题，即本节的对数问题．

=，那么数x 师：（板书）一般地，如果a（a＞0，a≠1）的x次幂等于N，就是x a N

就叫做以a为底N的对数(logarithm)，记作x=log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，式子log a N叫做对数式．

对数这个定义的认识及相关例子:

(1)对数式log a N实际上就是指数式中的指数x的一种新的记法．

(2)对数是一种新的运算．是知道底和幂值求指数的运算．

=这个式子涉及到了三个量a，x，N，由方程的观点可得“知二求一”．知实际上x a N

道a，x可求N，即前面学过的指数运算；知道x（为自然数时）、N可求a，即初中学过的开

=；知道a,N可以求x，即今天要学习的对数运算，记作log a N= x．因根号运算，a

此，对数是一种新的运算，一种知道底和幂值求指数的运算．而每学一种新的运算，首先要学习它的记法，对数运算的记法为log a N，读作：以a为底N的对数．请同学注意这种运算的写法和读法．

师：下面我来介绍两个在对数发展过程中有着重要意义的对数．

师：（板书）对数log a N（a＞0且a≠1）在底数a=10时，叫做常用对数(common logarithm)，简记lgN；底数a=e时，叫做自然对数(natural logarithm)，记作lnN，其中e是个无理数，即e≈2.718 28……．

师：实际上指数与对数只是数量间的同一关系的两种不同形式．为了更深入认识并记忆

4

6

11(1)5625;(2)2;(3) 5.73643m

-⎛⎫

=== ⎪⎝⎭

练习2 把下列对数形式写成指数形式：

12

(1)log 164;(2)lg 0.012;(3)ln10 2.303=-=-=

练习3 求下列各式的值：

（两名学生板演练习1，2题（过程略），一生板演练习三．）

因为22

=4，所以以2为底4的对数等于2．

因为53

=125，所以以5为底125的对数等于3． （注意纠正学生的错误读法和写法．） 例题（教材第73页例题2）

师：由定义，我们还应注意到对数式log a N=b 中字母的取值范围是什么？ 生：a ＞0且a ≠1；x ∈R ；N ∈R ．

师：N ∈R ？（这是学生最易出错的地方，应一开始让学生牢牢记住真数大于零．）

生：由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因而a x

=N 中N 总是正数． 师：要特别强调的是：零和负数没有对数． 师：定义中为什么规定a ＞0，a ≠1？ （根据本班情况决定是否设置此问．）

生：因为若a ＜0，则N 取某些值时，x 可能不存在，如x=log （-2）8不存在；若a=0，则当N 不为0时，x 不存在，如log 02不存在；当N 为0时，x 可以为任何正数，是不唯一的，即log 00有无数个值；若a=1，N 不为1时，x 不存在，如log 13不存在，N 为1时，x 可以为任何数，是不唯一的，即log 11有无数多个值．因此，我们规定：a ＞0，a ≠1．

（此回答能培养学生分类讨论的数学思想．这个问题从a x

=N 出发回答较为简单．） 练习4 计算下列对数：

lg10000，lg0.01，2

log 42，3

log 273，lg10510，5

111255og ．

师：请同学说出结果，并发现规律，大胆猜想． 生：2log 4

2=4．这是因为log 2

4=2，而22

=4．

生：3log 273

=27．这是因为log 327=3，而33

=27． 生：lg105

10

=105．

生：我猜想log a N

a N =，所以511125

5og =1125．

师：非常好．这就是我们下面要学习的对数恒等式． 师：（板书）

log a N a N =（a ＞0，a ≠1，N ＞0）．（用红笔在字母取值范围下画上曲线）

（再次鼓励学生，并提出更高要求，给出严格证明．）（学生讨论，并口答．） 生：（板书） 证明：设指数等式a b

=N ，则相应的对数等式为log a N=b ，所以a b

=log a N

a N = 师：你是根据什么证明对数恒等式的？ 生：根据对数定义．

师：（分析小结）证明的关键是设指数等式a b

=N ．因为要证明这个对数恒等式，而现在我们有关对数的知识只有定义，所以显然要利用定义加以证明．而对数定义是建立在指数基础之上的，所以必须先设出指数等式，从而转化成对数等式，再进行证明．

师：掌握了对数恒等式的推导之后，我们要特别注意此等式的适用条件． 生：a ＞0，a ≠1，N ＞0．

师：接下来观察式子结构特点并加以记忆．