人教版高中数学必修一《对数与对数运算》教学设计

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人教版高中数学必修一《对数与对数运算》教案设计

人教版高中数学必修一《对数与对数运算》教案设计

2.2.1 对数与对数运算一、教材分析本节是高中数学新人教版必修1的第二章2.2对数函数的内容二、三维目标1.知识与技能(1).理解对数的概念,了解对数与指数的关系;(2).理解和掌握对数的性质;(3).掌握对数式与指数式的关系。

2.过程与方法(1)通过实例认识对数模型,体会引入对数的必要性;(2)通过观察分析得出对数的概念及对数式与指数式的互化;(3)通过分组探究进行活动,掌握对数的重要性质。

3.情感、态度与价值观(1)通过本节的学习体验数学的严谨性,培养细心观察、认真分析分析、严谨认真的良好思维习惯和不断探求新知识的精神;(2)感知从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性认知过程;(3)体验数学的科学功能、符号功能和工具功能,培养直觉观察、探索发现、科学论证的良好的数学思维品质.三、教学重点教学重点:(1)对数的定义;(2)指数式与对数式的互化四、教学难点教学难点:推导对数性质五、教学策略讲练结合掌握对数的双基,即对数产生的意义、概念等基础知识,求对数及对数式与指数式间转化等基本技能的掌握六、教学准备(对数教学目标)—对数的文化意义、对数概念(讲一讲)—对数式与指数式转化(做一做)—例题(讲一讲)、习题(做一做)—两种特殊的对数(讲一讲)—求值(做一做)—评价、小结—作业。

八、板书设计第二章基本初等函数(I)2.2 对数函数2.2.1 对数与对数运算九、教学反思对数的教学采用讲练结合的教学模式。

教学中,以双基为教学主题,采用讲讲练练的教学程序,运用指数式与对数式的转化策略,通过教师的讲,数学家对对数的痴迷激发学生好奇,从实际问题导入对数概念、对数符号,理解对数的意义,通过典型例题的讲授,充分揭示对数式与指数式间的关系,掌握求对数值的方法,通过学生典型习题的练,使学生进一步理解对数式与指数式间的关系,掌握求对数的一些方法,在讲练结合中实现教学目标。

人教版数学高一教案对数及其运算(一)

人教版数学高一教案对数及其运算(一)

§3.2 对数与对数函数3.2.1 对数及其运算(一)一.教学目标:1.知识技能:①理解对数的概念,了解对数与指数的关系;②理解和掌握对数的性质;③掌握对数式与指数式的关系.2.过程与方法:通过与指数式的比较,引出对数定义与性质.3.情感、态度、价值观(1)学会对数式与指数式的互化,从而培养学生的类比、分析、归纳能力.(2)通过对数的运算法则的学习,培养学生的严谨的思维品质.(3)在学习过程中培养学生探究的意识.(4)让学生理解平均之间的内在联系,培养分析、解决问题的能力.二.重点与难点:(1)重点:对数式与指数式的互化及对数的性质(2)难点:对数性质的推导三.学法与教具:(1)学法:讲授法、讨论法、类比分析与发现(2)教具:投影仪教学过程[问题情境] 对数,延长了天文学家的生命.“给我空间、时间和对数,我可以创造一个宇宙”,这是16世纪意大利著名学者伽利略的一段话.从这段话可以看到,伽利略把对数与最宝贵的空间和时间相提并论.那么,“对数”到底是什么呢?本节就来探讨这个问题.探究点一 对数的概念问题1 若24=M ,则M 等于多少?若2-2=N ,则N 等于多少?答: M =16,N =14. 问题2 若2x =16,则x 等于多少?若2x =14,则x 等于多少? 答: x 的值分别为4,-2.问题3 满足2x =3的x 的值,我们用log 23表示,即x =log 23,并叫做“以2为底3的对数”.那么满足2x =16,2x =14,4x =8的x 的值如何表示? 答: 分别表示为log 216,log 214,log 48. 小结: 1.在指数函数f (x )=a x (a >0,且a ≠1)中,对于实数集R 内的每一个值x ,在正实数集内都有唯一确定的值y 和它对应;反之,对于正实数集内的每一个确定的值y ,在R 内都有唯一确定的值x 和它对应.幂指数x ,又叫做以a 为底y 的对数.一般地,对于指数式a b =N ,我们把“以a 为底N 的对数b ”记作log a N ,即b =log a N (a >0,a ≠1).其中,数a 叫做对数的底数,N 叫做真数,读作“b 等于以a 为底N 的对数”.2.对数log a N (a >0,且a ≠1)的性质(1)0和负数没有对数,即N >0;(2)1的对数为0,即log a 1=0;(3)底的对数等于1,即log a a =1.3.常用对数以10为底的对数叫做常用对数.为了简便起见,对数log 10N 简记作lg N .探究点二 对数与指数的关系问题1 当a >0,且a ≠1时,若a x =N ,则x =log a N ,反之成立吗?为什么?答:反之也成立,因为对数表达式x =log a N 不过是指数式a x =N 的另一种表达形式,它们是同一关系的两种表达形式.问题2 在指数式a x =N 和对数式x =log a N 中,a ,x ,N 各自的地位有什么不同?答问题3 若a b =N ,则b =log a N ,二者组合可得什么等式?答:对数恒等式:a =N .问题4 当a >0,且a ≠1时,log a (-2),log a 0存在吗?为什么?由此能得到什么结论? 答:不存在,因为log a (-2),log a 0对应的指数式分别为a x =-2,a x =0,x 的值不存在,由此能得到的结论是:0和负数没有对数.问题5 根据对数定义,log a 1和log a a (a >0,a ≠1)的值分别是多少?答:log a 1=0,log a a =1.∵对任意a >0且a ≠1,都有a 0=1, ∴化成对数式为log a 1=0; ∵a 1=a ,∴化成对数式为log a a =1.小结: 对数log a N (a >0,且a ≠1)具有下列性质:(1)0和负数没有对数,即N >0;(2)1的对数为0,即log a 1=0;(3)底的对数等于1,即log a a =1.例1 求log 22, log 21, log 216, log 212. 解: 因为21=2,所以log 22=1;因为20=1,所以log 21=0;因为24=16,所以log 216=4;因为2-1=12,所以log 212=-1. 小结: log a N =x 与a x =N (a >0,且a ≠1,N >0)是等价的,表示a ,x ,N 三者之间的同一种关系,可以利用其中两个量表示第三个量.因此,已知a ,x ,N 中的任意两个量,就能求出另一个量. 跟踪训练1 将下列指数式写成对数式:(1)54=625; (2)2-6=164; (3)3a =27; (4)⎝⎛⎭⎫13m =5.73. 解: (1)log 5625=4;(2)log 2164=-6;(3)log 327=a ;(4)log 135.73=m . 例2 计算:(1)log 927; (2)log 4381; (3)log 354625.解:(1)设x =log 927,则9x =27,32x =33,∴x =32. (2)设x =log 4381,则⎝⎛⎭⎫43x =81,3=34,∴x =16.(3)令x =log 354625,∴⎝⎛⎭⎫354x =625,5=54,∴x =3.小结:要求对数的值,设对数为某一未知数,将对数式化为指数式,再利用指数幂的运算性质求解.跟踪训练2 求下列各式中的x 的值:(1)log 64x =-23; (2)log x 8=6; (3)lg 100=x . 解: (1)x =(64) -23=(43) -23=4-2=116.(2)x 6=8,所以x =(x 6) 16=816=(23) 16=212= 2.(3)10x =100=102,于是x =2.探究点三 常用对数问题 阅读教材96页下半页,说出什么叫常用对数?常用对数如何表示?答:以10为底的对数叫做常用对数.通常把底10略去不写,并把“log”写成“lg”,并把log 10N 记做lg N .如果以后没有指出对数的底,都是指常用对数.如“100的对数是2”就是“100的常用对数是2”.例3 求lg 10,lg 100,lg 0.01.解:因为101=10,所以lg 10=1;因为102=100,所以lg 100=2;因为10-2=0.01,所以lg 0.01=-2.小结:由本例题可以看出,对于常用对数,当真数为10n (n ∈Z )时,lg 10n =n ;当真数不是10的整数次方时,常用对数的值可通过查对数表或使用科学计算器求得.跟踪训练3 求下列各式中的x 的值:(1)log 2(log 5x )=0;(2)log 3(lg x )=1; (3)log (2-1)13+22=x .解: (1)∵log 2(log 5x )=0. ∴log 5x =20=1,∴x =51=5.(2)∵log 3(lg x )=1,∴lg x =31=3,∴x =103=1 000.(3)∵log (2-1)13+22=x ,∴(2-1)x =13+22=1(2+1)2=12+1=2-1, ∴x =1.当堂检测1.若log (x +1)(x +1)=1,则x 的取值范围是( B ) A.x >-1B.x >-1且x ≠0C.x ≠0D.x ∈R 解析:由对数函数的定义可知x +1≠1,x +1>0即x >-1且x ≠0.2.已知log 12x =3,则x 13=__12______.解析:∵log 12x =3,∴x =(12)3, ∴x 13=12. 3.已知a 12=49(a >0),则log 23a =__4______.解析:由a 12=49(a >0),得a =(49)2=(23)4, 所以log 23a =log 23(23)4=4. 4.将下列对数式写成指数式:(1)log 16=-4;(2)log 2128=7;(3)lg 0.01=-2.解:(1)⎝⎛⎭⎫12-4=16;(2)27=128; (3)10-2=0.01.课堂小结:1.掌握指数式与对数式的互化a b =N ⇔log a N =b .2.对数的常用性质有:负数和0没有对数,log a 1=0,log a a =1.3.对数恒等式有:a log a N =N ,log a a n =n .4.常用对数:底数为10的对数称为常用对数,记为lg N .。

高中数学必修一《对数与对数运算》教学设计

高中数学必修一《对数与对数运算》教学设计

高中数学必修一《对数与对数运算》教学设计一、教学背景分析:(一)教材地位与作用我们在前面的学习过程中,已了解了指数函数的概念和性质,它是后续学习的基础,从本节开始我们学习对数及其运算.使学生认识引进对数的必要性,理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.(二)学情分析学生刚开始接触对数,从指数函数到对数函数的过渡,学生在学习上可能会有些困难,转化能力有待提高。

而且学生学习的主动意识不强,自主探究能力也有待提高。

(三)设计思想教材注重从现实生活的事例中引出对数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用,并尽可能联系一些熟悉的事例,以丰富教学的情景创设.教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持.注重引导学生通过自己观察、操作交流、讨论、有条理的思考和推理,让学生通过自主探索、合作交流,进一步认识和掌握对数式与指数式的互化,积累数学活动的经验。

(四)教法分析和学法指导掌握对数的双基,即对数产生的意义、概念等基础知识,求对数及对数式与指数式间转化等基本技能的掌握在本课的教学设计中,注重“引、思、探、练”的结合。

引导学生学习方式发生转变,采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究的学习,形成师生互动的教学氛围。

在学习方法上,指导学生:通过实例启发学生产生主动运用的意识;通过解题思路的脉络分析,对学生进行解题思路的指导;通过对学生发言的点评,规范语言表达,指导学生进行交流和讨论。

(五)教具设备:多媒体课件.二、教学目标(一)知识与能力1.理解对数的概念,了解对数与指数的关系;2.理解和掌握对数的性质;3.掌握对数式与指数式的关系。

高中数学《对数的概念与运算性质》教学设计

高中数学《对数的概念与运算性质》教学设计

《对数与对数运算》(第一课时)(人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第二节)一、教学内容解析《对数与对数运算》选自人教A版高中数学必修一第二章,共分两小节,第一小节主要内容是对数的概念、对数式与指数式的互化,第二小节内容是对数的运算性质,本课时为第一小节内容.16、17世纪之交,随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展,改进数字计算方法成为当务之急.苏格兰数学家纳皮尔正是在研究天文学的过程中,为了简化其中的计算而发明了对数.与传统教科书相比,教材从具体问题引进对数概念,加强了对数的实际应用与数学文化背景,强调“对数源于指数”以及指数运算与对数运算的互逆关系,将对数安排在指数运算及指数函数之后进行学习,实现对数与原有知识体系的对接,有利于学生学习时发现与论证对数的运算性质.基于以上分析,本课时的教学重点是:对数概念的理解以及指数式与对数式的互化.二、教学目标设置1.感受引入对数的必要性,理解对数的概念;2.能够说出对数与指数的关系,能根据定义进行互化和求值;3.感受数学符号的抽象美、简洁美.本课时落实以上三个教学目标:通过“推断化石年代”和“解指数方程”两个实例,认识到引入对数,研究对数是基于实际需求的。

根据底数、指数与幂之间的关系,通过“知二求一”的分析,引导学生借助指数函数图象,分析问题中幂指数的存在性,以及为了表示指数的准确值,引入了对数符号,从而引出对数概念.通过图示连线,对指数式和对数式中各字母进行对比分析,来认识对数与指数的相互联系;利用指数式与对数式的互化,来帮助学生理解对数概念,体会转化思想在对数计算中的作用.对数源于指数,本课时中,对数问题往往回归本源,转化为指数问题来解决,因而要在理解对数概念的基础上学会互化和求值.恰当的数学符号,对数学发展起着巨大的推动作用,对数符号抽象而简洁,学生需要在不断的学习中逐渐体验对数符号的重要性.三、学生学情分析1.认知基础从运算的角度来讲,加、乘、乘方运算中只有乘方的逆运算对数运算还没有学习.从函数的角度来说,高一的学生刚刚学习了集合、函数的概念、函数的表示方法和函数的一般性质,对函数有了初步的认识,在此基础上又学习了指数运算和指数函数,了解了研究函数的一般方法,经历过从特殊到一般,具体到抽象的研究过程,之后将在学习对数的基础上继续学习对数函数.2.问题诊断对数的概念对于学生来说,是全新的.形式地进行指数式与对数式之间的互化是容易的,在真正理解对数概念的基础上进行解题是有一定难度的,表现在两个方面:(1)不能将对数与普通的数平等对待,不理解对数的概念,只能够进行表面上的形式转换;(2)不能把“对数的实质是指数”应用在数学问题的解决中.基于以上分析,本节的教学难点是:(1)对数概念的理解;(2)对数的常用性质的概括.为了突破第一个难点,要在引入对数概念时,通过不同的实例,让学生感受到为什么要学习对数,是基于研究指数的需求才引入对数,因此对数的实质是指数;在形成概念时,要引导学生明确“对数是数”这一事实;在引入对数概念后,学生通过自主举例,具体感知个例,从对数概念外延的角度进行理解.本节的第二个难点是:“0和负数没有对数”这一性质的深入认识.在教学中最明显的例证是涉及到求定义域时,看到对数符号,不能如同看到分母一样,瞬间闪现出真数要大于0的限制,因此应该在学习对数伊始,就打好“0和负数没有对数”的认识基础.为了突破第二个难点,不要急于将现成的结论抛出,可以让学生在自主举例(感受个例)的基础上,尝试思考(分析通例)对数中的底数和真数可以取什么样的数,引导学生思考是不是所有的实数都有对数,哪些数有对数?为什么?通过互化和求值的练习,让学生逐渐地从内涵和外延两方面加深对数概念的理解.四、教学策略分析本节教学中,学习对数概念的过程就是认识的辨证发展过程:从实践到认识:通过具体情境,具体问题,具体对数的体验感知,遵循从具体到抽象的过程,来建立对数概念,从概念内涵的角度学习;再实践:形成概念之后,遵循从一般到特殊的思路,进行自主举例,感知个例,从概念外延的角度加深概念理解;再认识:理性分析通例(思考底数和真数的范围),又从特殊到一般进行概念的再认识;循环往复:在随后的练习巩固中,认识两种特殊的对数(常用对数和自然对数)和两种特殊的对数值(1的对数和底数的对数),来获得基于对数概念的运算性质,从而丰富学生对于对数概念的认知.突破难点的策略为:旧知新悟,适度模仿,归纳概括,自主举例.五、教学过程设计1.对数概念的形成1.1创设情境,引发思考【实际情境】网上的一则消息:有驴友挖到几枚恐龙蛋,送到权威机构做了碳14同位素鉴定,结果是白垩纪的恐龙蛋化石,现坐等博物馆上门收购.生物死亡后,它机体内原有的碳14含量,每经过大约6000年,会衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”,研究人员常常根据机体内碳14的含量来推断生物体的年代,其中半衰次数x与碳14的含量P间的关系为:1()2x P.但是,当生物组织内的碳14含量低于千分之一时(这里我们按11024来计算),一般的放射性探测器就测不到碳14了.众所周知,恐龙生活在距今大约一亿年前的地球上,那么用碳14同位素法能推断出恐龙蛋化石的年代吗?问题1:(1)经过1次半衰期,碳14的含量会变为原来的多少?3次呢?(2)经过几次半衰期,一般的放射性探测器就测不到碳14了呢?(3)用碳14同位素法能推断出恐龙蛋化石的年代吗?【预设的答案】12,18;10;不能【设计意图】对数概念不是凭空产生的,用考古鉴定这一实例,让学生感受“求指数”这样的问题是客观存在的,是源于实际生活的.【数学情境】解方程:(1)2x=2;(2)2x=3;(3)2x=4.【设计意图】创设数学情境,通过指数方程的实例,让学生感受在数学学习中,“求指数”这样的问题也是存在的,有必要研究这一类问题.问题2:以上几个问题的共同特征是什么?【活动预设】引导学生归纳概括出问题的共同特征:已知底数和幂,求指数x .1.2探究典例,形成概念活动:解方程:(1)2x =2; (2)2x =3; (3)2x =4.【活动预设】感受在求指数的过程中,有的指数可以直接写出结果,有的指数却不好表示.【设计意图】为引入对数符号表示指数做铺垫.问题3:以引例中的2x =3为例,分析x 的值存在吗?如果存在,符合条件的x 的值有几个?能估计出x 的大致范围吗?【活动预设】(1)根据函数图象,思考等式2x =3中指数x 的存在性,唯一性和大致范围;(2)类比:在学习求方程x 3=2的根时,为了表示底数x ,引入了数学符号:√,表示3次方为2的数;这里,我们引入对数符号来表示指数x ,将x 记作log 23.【设计意图】从引例中的具体问题入手,思考指数x 的存在性,唯一性和大致范围,为了表示指数,引入对数符号,在具体问题中体验用对数符号表示指数的过程.问题4:结合方程2x =3来思考,x =log 23中log 23表示什么?【活动预设】(1)分析log 23表示的含义;(2)感受:以2x =4为例,分析指数x 可以怎样用对数符号表示,以及该符号表示什么. 教师讲授:若a x =N (a >0,a ≠1),那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作:N x a log ,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数.【设计意图】理解具体的对数符号所表示的含义,并且在探究特例的基础上,遵循从具体到抽象的思路,形成对数概念.问题5:指数式与对数式是等价的,但a ,x ,N 在两个式子中的名称一样吗?【预设的答案】此处画上连线图,呈现指数式与对数式之间的关系。

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云南省德宏州梁河县一中高中数学必修一:2.2.1对数与对数运算教学设计(1)备课题目2. 2.1对数与对数运算"课时1-2学科长签名张德念一、内容及其解析1.内容:对数与对数运算2.解析:《2.2. 1对数与对数运算》是普通高中课程标准实验教科书必修1中第二章《对数函数》的学习内容。

本节内容是在学习了指数函数后,通过具体实例了解对数函数模型的实际背景,学习对数概念,进而学习一类新的基本初等函数一对数函数。

二、目标及其解析目标:1.理解对数的概念、常用对数的概念2.掌握对数的运算性质和换底公式3.理解对数式与指数式的关系三、教学问题诊断分析本节内容蕴含了许多重要的数学思想,如归纳的思想、数形结合的思想、类比的思想。

同时,编写时结合一些生活实例,充分体现数学的应用价值。

学生在学习过程中,会解决实际问题。

四、教学重点、难点重点:1.对数的定义2.对数的运算性质3.换底公式及其应用难点:对数的概念,换底公式的灵活应用五、教学过程第一课时对数(%1)教学内容导入导入一:为激发学生学习的兴趣,可以先介绍对数的发明者英国的约翰•耐普尔(Joh/7/feeipr, 1550-1617)和瑞士的乔伯斯特•.布尔基(Jobst Airgi, 1552-1632),介绍他们的事迹及主要贡献,然后引入对数的概念。

导入二:先从复习入手,复习指数的定义,举例a b = N,搞清楚个部分的名称。

然后提问已知a 和N,怎样求b呢?从而引入对「数的概念。

新知探究,1、对数的概念若a" = ,贝y b叫做以a为底"的对数。

记作:log。

N = b(a>0,aHl),其中a叫做对数的底数,N叫做真数。

2、特殊对数以10为底的对数叫做常用对数,记为:logioN = lgN以e=2. 718 28…为底的对数叫做自然对数,记为:log e^ = lnA^3、对数的性质(结合指数性质)a b = N, (N>0),零和负数没有对数,即中"必须大于零;a°=l,1的对数为0,即log a l = 0d=a,底数的对数为1,即log fl a = l4、对数恒等式:(1) log a a b^b (2)产評=“(2)因为a=N,所以b=log a N, a b=«10g^=N,即丹認=N . Eg: 3】叱=n(%1)例题与变式例1 )各下列指数式写成对数式,对数式写成指数式:(1) 54 = 625 .(2)2~6 =1(3) log】16 = -4 ;(4) lg0.01 = -2642解:⑴ log562 5=4;(2)log2——二一6;64(3) (-)「"=16;2(4) 10「2=”0. 01;变式训练.(1) (-)m=5.73(2)lnlO = 2.303.1 (1)把,=8写成对数式2 (2)把log 5125 = 3写成指数式3 (3)求lglOOO4 (5)求log? 343 的值例2 求 下列各式中X 的值:(1) log e 2 4X 二 -- ; 3 (2) IglOO 二x; 解: 2 3x( 一彳),1 (1) 10g64X =— 一 ,/. x=64 3 = (4) 33 16(2) log x 8=6, /. 1 X 6=8.又 x>0, /. x 二 8$ 二 1 =(2沪 变式 训练 (1) log x 8=6; (2) -lne 2=x. (三)目标检测(课本%练习)(四)课堂小结 (1)对数的定义;(2)两种特殊的对数;(3)对数的性质;(4)对数恒等式.第二课时对数的运算五、教学过程(一)教学内容复习指数幕运算的性质(1) a m -a n =a m+n (2) a m ^a n =a'n ~n(3) (a"')"=a'"" 推导对数的运算性质如果a > 0 , a 1,弘〉0,">0, 那么(1) log “ (MN) = log “ M + log 。

高中数学教学课例《对数与对数运算》课程思政核心素养教学设计及总结反思

高中数学教学课例《对数与对数运算》课程思政核心素养教学设计及总结反思

知识并形成技能.
2.通过实例使学生认识对数模型,体会引入对数 教学目标
的必要性;通过师生观察分析得出对数的概念及对数式
与指数式的互化.
3.通过学生分组进行探究活动,掌握对数的重要
性质.通过做练习,使学生感受到理论与实践的统一.
现阶段大部分学生学习的自主性较差,主动性不
够,学习有依赖性,且学习的信心不足,对数学存在或 学生学习能
课例研究综 要突出的是不同轮次的教学中学生表现的变化情况。另

一方面也叫以对学生实施教学后测,根据学生教学后测
中的表现以及与前测情况的比较,来推断课堂是否有效
地帮助学生掌握了学习内容。
多或少的恐惧感.通过对指数与指数幂的运算的学习, 力分析
学生已多次体会了对立统一、相互联系、相互转化的思
想,并且探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼.
教学策略选
本教学设计先由引例出发,创设情境,激发学生对
择与设计 对数的学习兴趣;在讲授新课部分,通过结合多媒体教
学以及一系列的课堂探究活动,加深学生对对数的认
识;最后通过课堂练习来巩固学生对对数的掌握.
探究活动时,学生独立完成后,通过思考,然后分
小组进行讨论,最后得出结论.我针对问题补充,通过
教学过程 练习与讨论的方式,让学生自己得出结论,从而能更好
地理解和掌握对数的性质.培养学生类比、分析、归纳
的能力.
根据观察记录说明他们在课堂上的参与程度和具
体表现(参与状态、思维发展、学习体验等方面),尤其
高中数学教学课例《对数与对数运算》教学设计及总结反思
学科
高中数学
教学课例名
《对数与对数运算》

重点:(1)对数的概念;(2)对数式与指数式的相互

对数与对数运算教案-人教版高中数学必修一第二章2.2.1 第二课时

对数与对数运算教案-人教版高中数学必修一第二章2.2.1 第二课时

第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2 对数函数2.2.1.对数与对数运算第二课时对数运算1 教学目标1.1 知识与技能:[1]掌握对数的运算性质,能正确地利用对数的运算性质进行对数运算;[2]掌握对数换底公式的运用 .能用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数。

[3]对数及其运算性质的综合应用1.2过程与方法:[1]通过对数的运算性质的探索及推导过程,培养学生的“合情推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法,以及创新意识.1.3 情感态度与价值观:[1]通过对数的运算法则的学习,培养学生的严谨的思维品质 .[2]在学习过程中培养学生探究的意识.[3]让学生理解运算法则之间的内在联系,培养分析、解决问题的能力.通过“合情推理”、“等价转化”和“演绎归纳”的思想运用,培养学生对立统一、相互联系,相互转化以及“特殊—一般”的辩证唯物主义观点,以及大胆探索,实事求是的科学精神.2教学重点/难点/易考点2.1 教学重点[1]重点:对数式运算性质及时推导过程;[2]对数换底公式。

[3]对数及其运算性质的综合应用2.2 教学难点[1]难点:对数运算性质的发现过程及其证明;[2]对数换底公式的证明和应用。

3 专家建议启发学生从对数运算性质入手,了解对数在数学史上的重要作用,了解对数对大数运算的简化作用,降低运算的数量级,掌握一定量的对数计算基本模型,在熟练运用对数运算性质的基础上以对数的思维模式去考虑和处理问题,加深对于运算性质和换底公式的理解和运用,掌握对数运算的特殊性,为下一节学习对数函数打好基础.高考中对数的考查方式一般以选择题或填空题的形式出现。

4 教学方法实验探究——归纳总结——补充讲解——练习提高5 教学用具多媒体。

6 教学过程6.1 引入新课【师】同学们好。

从今天我们开始进入新一节内容的学习:对数与对数运算。

【板书】2.2.1.对数与对数运算第二课时【师】我们知道了对数的基本定义和性质,请认真回忆一下!【板书或投影】对数基本知识点1、对数的定义b N a =log其中 ),1()1,0(+∞∈ a 与 ),0(+∞∈N (负数与零没有对数);b ∈(文字表述:N 为正数,a 为非1正数,b 为任意实数)两类特殊对数:(1)常用对数:以10为底,记作lgN .(2)自然对数:以无理数e=2.71828……为底,记作lnN .2、三组互化式)10( log ≠>=⇔=a a b N N a a b 且lg 10b N N b =⇔=ln b N N e b =⇔=3、两个恒值(1) 01log =a (2) 1log =a a4、两个嵌套式(迭代式)(1)对数恒等式N a N a =log(2))10( log ≠>=a a b a b a 且5.指数运算法则,(R n m a a a n m n m ∈=⋅+),()(R n m a a mn n m ∈=)()(R n b a ab n n n ∈⋅=【生】对数定义式是......,指数式与对数式的转化......,对数恒等式,自然对数、常用对数【师】注意每个字母的取值X 围:底数,10≠>a a 且,真数N>0;再回忆一下指数运算的几个式子【板书或投影】)10( log ≠>=⇔=a a b N N a a b 且指数的运算性质n m n m a a a +=⋅; n m n m a a a -=÷mn n m a a =)( ; m nm na a = 6.2 新知介绍[1] 对数的运算性质【师】下面请同学们自行推导对数的运算性质!(5 分钟)【板演/PPT 】教师演示对数运算性质三式的证明。

人教版A版必修一第二章第二节《对数与对数运算》教学设计

人教版A版必修一第二章第二节《对数与对数运算》教学设计

人教版A版必修一第二章第二节《对数与对数运算》教学设计【内容与解析】本节课是新课标高中数学人教A版必修1中第二章第二节对数函数的内容.也就是对数函数的入门.对数函数关于先生来说是一个全新的函数模型,学习起来比拟困难.而对数函数又是本章的重要内容,在高考中占有一定的重量,它是在指数函数的基础上,对函数类型的拓广,同时在处置一些日常生活效果及科研中起着十分重要的作用.经过本节课的学习,可以让先生了解对数的概念,从而进一步深化对对数模型的看法与了解,为学习对数函数做好预备.同时,经过对对数概念的学习,对培育先生统一一致、相互联络、相互转化的思想,培育先生的逻辑思想才干都具有重要的意义.教学的重点:(1)对数的概念;(2)对数式与指数式的相互转化.教学的难点:(1)对数概念的了解;(2)对数运算性质的了解.方案2节正课,1节温习课,合计3个课时。

【教学目的与解析】1.教学目的1.了解对数的概念,了解对数与指数的关系;掌握对数式与指数式的互化;了解对数的性质,掌握以上知识并构成技艺.2.会运用对数的运算性质处置有关效果.2.目的解析1.目的一是指经过实例使先生看法对数模型,体会引入对数的必要性;经过师生观察剖析得出对数的概念及对数式与指数式的互化2.目的二是指经过实例推导对数的运算性质,准确地运用对数的运算性质停止运算、求值、化简,并掌握化简求值的技艺.【效果诊断剖析】本节课的教学中,先生能够出现如下几个效果:〔1〕对数的定义是什么?底数和真数又区分是什么?〔2〕什么是常用对数和自然对数?〔3〕如何停止对数式与指数式的互化?〔4〕对数有哪些运算性质?现阶段大局部先生学习的自主性较差,自动性不够,学习有依赖性,且学习的决计缺乏,对数学存在或多或少的恐惧感.经过对指数与指数幂的运算的学习,先生已屡次体会了统一一致、相互联络、相互转化的思想,并且探求才干、逻辑思想才干失掉了一定的锻炼.因此,先生已具有了探求、发现、研讨对数定义的看法基础,故应经过指点,教会先生独立思索、大胆探求和灵敏运用类比、转化、归结等数学思想的学习方法.【教学条件支持】本节课的教学中需求用到智能黑板,粉笔。

人教版高中必修12.2.1对数与对数运算教学设计

人教版高中必修12.2.1对数与对数运算教学设计

人教版高中必修12.2.1对数与对数运算教学设计一. 教学目标1.了解对数的概念,能执行对数转换;2.学会对数运算的计算方法;3.掌握对数运算在实际问题中的应用;4.培养学生的数学思维能力和实际解决问题的能力。

二. 教学重点1.对数的概念及应用;2.对数运算的计算方法;3.对数运算在实际问题中的应用。

三. 教学难点1.对数运算在实际问题中的应用;2.通过具体应用题目来拓展学生的思路。

四. 教学方法1.讲授、探究、实践相结合的教学方法;2.自主探究式教学方法。

五. 教学过程(一) 预习(15分钟)在此阶段,教师将会分享一个视频,介绍对数的概念。

学生应观看视频并完成一系列的预习习题,以巩固对数的基本概念。

(二) 导入(10分钟)教师将会给出一个对数例子,让学生通过小组讨论给出对数的概念。

教师会在整个过程中作为指导者,引导学生结合预习内容进行思考。

(三) 概念讲解(10分钟)针对对数的概念进行全面的讲解,引导学生进行完整理解。

(四) 实践应用(30分钟)由于对数运算在实际问题中的应用比较复杂,教师将会给出三道实际问题,讨论不同的解决方案及答案的求解方法。

学生可以在小组中合作,通过完整的解决方案进行讨论。

(五) 拓展思路(15分钟)引导学生通过更加复杂的应用题目进行思考,激发其数学思维能力,并鼓励学生与其他组进行合作、互助。

(六) 总结归纳(10分钟)针对对数本章内容进行简单回顾,以及对问题进行答疑解惑。

六. 作业布置1.完成课前预习习题;2.完成三道实际运用问题的解析,并对应用思路进行拓展;3.尝试寻找对数运用于日常生活中的应用场景,并详细陈述。

七. 教学反思总体而言,此次授课能充分引导学生去思考对数运算这一复杂问题,并在实际案例中进行探讨。

此次教学中,学生自主探究式的学习方法得到了很好的展现。

希望在以后的教学设计中,能够更好地引导学生进行自主探究。

高中数学 2.2.1对数与对数运算(一)教案 新人教A版必修1

高中数学 2.2.1对数与对数运算(一)教案 新人教A版必修1

高中数学 2.2.1对数与对数运算(一)教案新人教A版必修1(一)教学目标1.知识技能:①理解对数的概念,了解对数与指数的关系;②理解和掌握对数的性质;③掌握对数式与指数式的关系.2.过程与方法:通过与指数式的比较,引出对数定义与性质.3.情感、态度、价值观(1)学会对数式与指数式的互化,从而培养学生的类比、分析、归纳能力.(2)通过对数的运算法则的学习,培养学生的严谨的思维品质.(3)在学习过程中培养学生探究的意识.(4)让学生理解平均之间的内在联系,培养分析、解决问题的能力.(二)教学重点、难点(1)重点:对数式与指数式的互化及对数的性质(2)难点:推导对数性质的(三)教学方法启发式启发学生从指数运算的需求中,提出本节的研究对象——对数,从而由指数与对数的关系认识对数,并掌握指数式与对数式的互化、而且要明确对数运算是指数运算的逆运算.引导学生在指数式与对数式的互化过程中,加深对于定义的理解,为下一节学习对数的运算性质打好基础.(四)教学过程01,=a a② ∵a>0,且常记为lg N恒等式:a备选例题例1 将下列指数式与对数式进行互化.(1)64)41(=x(2)51521=-(3)327log 31-= (4)664log -=x【分析】利用a x= N ⇔x = log a N ,将(1)(2)化为对数式,(3)(4)化为指数式. 【解析】(1)∵64)41(=x ,∴x =41log 64(2)∵51521=-,∴2151log 5-= (3)∵327log 31-=,∴27)31(3=-(4)∵log x 64 = –6,∴x -6= 64.【小结】对数的定义是对数形式与指数形式互化的依据,同时,教材的“思考”说明了这一点. 在处理对数式与指数式互化问题时,依据对数的定义a b= N ⇔b = log a N 进行转换即可.例2 求下列各式中的x . (1)32log 8-=x ; (2)4327log =x ;(3)0)(log log 52=x ; 【解析】(1)由32log 8-=x 得32332)2(8--==x = 2–2,即41=x . (2)由4327log =x ,得343327==x ,∴813)3(4343===x .(3)由log 2 (log 5x ) = 0得log 5x = 20= 1. ∴x = 5.【小结】(1)对数式与指数式的互化是求真数、底数的重要手段.(2)第(3)也可用对数性质求解.如(3)题由log 2(log 5x ) = 0及对数性质log a 1=0. 知log 5x = 1,又log 55 = 1. ∴x = 5.。

高一数学人教A版必修1教学教案2-2-1对数与对数运算

高一数学人教A版必修1教学教案2-2-1对数与对数运算

2.2.1 对数运算一、教材分析本节是高中数学新人教版必修1的第二章2.2对数运算的内容二、三维目标1.知识与技能(1).理解对数的概念,了解对数与指数的关系;(2).理解和掌握对数的运算性质;(3).掌握对数的运算性质的正逆转化。

2.过程与方法(1)通过实例了解对数运算,体会引入对数运算的必要性;(2)通过指数运算的观察分析得出对数运算的性质及换底公式;(3)通过分组探究进行活动,掌握对数运算的重要性质。

3.情感、态度与价值观(1)通过本节的学习体验数学的严谨性,培养细心观察、认真分析分析、严谨认真的良好思维习惯和不断探求新知识的精神;(2)感知从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性认知过程;(3)体验数学的科学功能、符号功能和工具功能,培养直觉观察、探索发现、科学论证的良好的数学思维品质.三、教学重点教学重点:(1)对数运算的性质;(2)换底公式的灵活应用。

四、教学难点教学难点:推导对数的运算性质和换底公式的推导过程。

五、自主梳理1.对数的定义bNa=log其中),1()1,0(+∞∈a与,0(+∞∈N2.指数式与对数式的互化3.重要公式:⑴负数与零没有对数;⑵1log=a,log=aa六、重点领悟1、积、商、幂的对数运算性质:如果 a > 0, a1,M > 0, N > 0 有: 证明:①设a log M=p, a log N=q . 由对数的定义可以得:M=p a ,N=qa . ∴MN= p a q a =q p a + ∴a log MN=p+q , 即证得a log MN=a log M + a log N .②设a log M=p ,a log N=q . 由对数的定义可以得M=p a ,N=qa . ∴q p q p a a a N M -== ∴q p N M a -=log 即证得N M N M a a a log log log -=. ③设alog M=P 由对数定义可以得M=p a , ∴n M =np a ∴a log n M =np , 即证得a log n M =n a log M . 2、换底公式:(),0;10;1,0log log log >≠>≠>=N c c a a aN N c c a 且且(4) 证明:设P N a =log由对数的定义可以得:a N N a N p a p N a N a N c c a c c c c p c c p log log log log log ,log log log log ,==⇒=⇒=⇒=即证得这个公式就叫做换底公式七、探究提升(1)负数和零没有对数;(2)1的对数是零:01log =a ;(3)底数的对数是1:1log =a a : 八、学法引领 例1. 用x a log ,y a log ,z a log 表示下列各式:32log )2(;(1)log zy x z xy a a . 解:(1)zxy a log =a log (xy )a log z=a log x+a log y a log z(2)32log z y x a =a log (2x 3log )z y a -= a log 2x +alog 3log z y a -=2a log x+z y a a log 31log 21-. 例2. 计算 (1)25log 5, (2)1log 4.0, (3))24(log 572⨯, (4)5100lg 解:(1)5log 25= 5log 25=2 (2)4.0log 1=0.(3)2log (74×25)= 2log 74+ 2log 52= 2log 722⨯+ 2log 52 = 2×7+5=19.(4)lg 5100=52lg1052log10512==. 例3.计算:(1);50lg 2lg )5(lg 2⋅+ (2) ;25log 20lg 100+(3) .18lg 7lg 37lg 214lg -+- 解:(1) 50lg 2lg )5(lg 2⋅+=)15(lg 2lg )5(lg 2+⋅+=2lg 5lg 2lg )5(lg 2+⋅+ =2lg )2lg 5(lg 5lg ++=2lg 5lg +=1;(2) 25log 20lg 100+=5lg 20lg +=100lg =2;(3)解法一:lg142lg 37+lg7lg18=lg(2×7)2(lg7lg3)+lg7lg(23×2) =lg2+lg72lg7+2lg3+lg72lg3lg2=0.解法二:lg142lg 37+lg7lg18=lg14lg 2)37(+lg7lg18=lg 01lg 18)37(7142==⨯⨯九、课堂练习1、练习:用表示下列公式:z y x lg ,lg ,lg(1));lg(xyz (2)zxy 2lg ; (3)zxy 3lg ; (4)z y x 2lg 。

《对数与对数运算》教案(第1课时)

《对数与对数运算》教案(第1课时)

2.2 对数函数 2.2.1 对数与对数运算整体设计教学分析我们在前面的学习过程中,已了解了指数函数的概念和性质,它是后续学习的基础,从本节开始我们学习对数及其运算.使学生认识引进对数的必要性,理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.教材注重从现实生活的事例中引出对数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用,并尽可能联系一些熟悉的事例,以丰富教学的情景创设.教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能,教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持. 三维目标1.理解对数的概念,了解对数与指数的关系;理解和掌握对数的性质;掌握对数式与指数式的关系;通过实例推导对数的运算性质,准确地运用对数运算性质进行运算,并掌握化简求值的技能;运用对数运算性质解决有关问题.培养学生分析、综合解决问题的能力;培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度.2.通过与指数式的比较,引出对数的定义与性质;让学生经历并推理出对数的运算性质;让学生归纳整理本节所学的知识.3.学会对数式与指数式的互化,从而培养学生的类比、分析、归纳能力;通过对数的运算法则的学习,培养学生的严谨的思维品质;在学习过程中培养学生探究的意识;让学生感受对数运算性质的重要性,增加学生的成功感,增强学习的积极性. 重点难点教学重点:对数式与指数式的互化及对数的性质,对数运算的性质与对数知识的应用. 教学难点:对数概念的理解,对数运算性质的推导及应用. 课时安排 3课时教学过程第1课时 对数与对数运算(1)导入新课思路1.1.庄子:一尺之棰,日取其半,万世不竭.(1)取4次,还有多长?(2)取多少次,还有0.125尺?2.假设2002年我国国民生产总值为a 亿元,如果每年平均增长8%,那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍? 抽象出:1.(21)4=?(21)x =0.125⇒x=? 2.(1+8%)x =2⇒x=?都是已知底数和幂的值,求指数.你能看得出来吗?怎样求呢?像上面的式子,已知底数和幂的值,求指数,这就是我们这节课所要学习的对数〔引出对数的概念,教师板书课题:对数与对数运算(1)〕.思路2.我们前面学习了指数函数及其性质,同时也会利用性质解决问题,但仅仅有指数函数还不够,为了解决某些实际问题,还要学习对数函数,为此我们先学习对数〔引出对数的概念,教师板书课题:对数与对数运算(1)〕.新知探究 提出问题(对于课本P 572.1.2的例8) ①利用计算机作出函数y=13×1.01x 的图象.②从图象上看,哪一年的人口数要达到18亿、20亿、30亿…? ③如果不利用图象该如何解决,说出你的见解? 即1318=1.01x ,1320=1.01x ,1330=1.01x ,在这几个式子中,x 分别等于多少? ④你能否给出一个一般性的结论?活动:学生讨论并作图,教师适时提示、点拨.对问题①,回忆计算机作函数图象的方法,抓住关键点.对问题②,图象类似于人的照片,从照片上能看出人的特点,当然从函数图象上就能看出函数的某些点的坐标.对问题③,定义一种新的运算.对问题④,借助③,类比到一般的情形. 讨论结果:①如图2-2-1-1.图2-2-1-1②在所作的图象上,取点P,测出点P 的坐标,移动点P,使其纵坐标分别接近18,20,30,观察这时的横坐标,大约分别为32.72,43.29,84.04,这就是说,如果保持年增长率为1个百分点,那么大约经过33年,43年,84年,我国人口分别约为18亿,20亿,30亿.③1318=1.01x ,1320=1.01x ,1330=1.01x ,在这几个式子中,要求x 分别等于多少,目前我们没学这种运算,可以定义一种新运算,即若1318=1.01x ,则x 称作以1.01为底的1318的对数.其他的可类似得到,这种运算叫做对数运算.④一般性的结论就是对数的定义:一般地,如果a(a>0,a≠1)的x 次幂等于N,就是a x =N,那么数x 叫做以a 为底N 的对数(logarithm),记作x=log a N,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数. 有了对数的定义,前面问题的x 就可表示了: x=log 1.011318,x=log 1.011320,x=log 1.011330. 由此得到对数和指数幂之间的关系:例如:42=16⇔2=log 416;102=100⇔2=log 10100;421=2⇔21=log 42;10-2=0.01⇔-2=log 100.01①为什么在对数定义中规定a>0,a≠1?②根据对数定义求log a 1和log a a(a>0,a≠1)的值. ③负数与零有没有对数? ④Na alog =N 与log a a b =b(a>0,a≠1)是否成立?讨论结果:①这是因为若a <0,则N 为某些值时,b 不存在,如log (-2)21; 若a=0,N 不为0时,b 不存在,如log 03,N 为0时,b 可为任意正数,是不唯一的,即log 00有无数个值;若a=1,N 不为1时,b 不存在,如log 12,N 为1时,b 可为任意数,是不唯一的,即log 11有无数个值.综之,就规定了a >0且a≠1. ②log a 1=0,log a a=1.因为对任意a>0且a≠1,都有a 0=1,所以log a 1=0. 同样易知:log a a=1.即1的对数等于0,底的对数等于1.③因为底数a >0且a≠1,由指数函数的性质可知,对任意的b ∈R ,a b >0恒成立,即只有正数才有对数,零和负数没有对数. ④因为a b =N,所以b=log a N,a b =a Na alog =N,即a Na alog =N.因为a b =a b ,所以log a a b =b.故两个式子都成立.(a Na alog =N 叫对数恒等式)思考我们对对数的概念和一些特殊的式子已经有了一定的了解,但还有两类特殊的对数对科学研究和了解自然起了巨大的作用,你们知道是哪两类吗? 活动:同学们阅读课本P 68的内容,教师引导,板书. 解答:①常用对数:我们通常将以10为底的对数叫做常用对数.为了简便,N 的常用对数log 10N 简记作lgN.例如:log 105简记作lg5;log 103.5简记作lg3.5. ②自然对数:在科学技术中常常使用以无理数e=2.718 28……为底的对数,以e 为底的对数叫自然对数,为了简便,N 的自然对数log e N 简记作lnN. 例如:log e 3简记作ln3;log e 10简记作ln10. 应用示例思路1例1将下列指数式写成对数式,对数式写成指数式: (1)54=625;(2)2-6=641;(3)(31)m =5.73; (4)log 2116=-4;(5)lg0.01=-2;(6)ln10=2.303.活动:学生阅读题目,独立解题,把自己解题的过程展示在屏幕上,教师评价学生,强调注意的问题.对(1)根据指数式与对数式的关系,4在指数位置上,4是以5为底625的对数. 对(2)根据指数式与对数式的关系,-6在指数位置上,-6是以2为底641的对数.对(3)根据指数式与对数式的关系,m 在指数位置上,m 是以31为底5.73的对数. 对(4)根据指数式与对数式的关系,16在真数位置上,16是21的-4次幂. 对(5)根据指数式与对数式的关系,0.01在真数位置上,0.01是10的-2次幂. 对(6)根据指数式与对数式的关系,10在真数位置上,10是e 的2.303次幂. 解:(1)log 5625=4;(2)log 2641=-6;(3)log 315.73=m; (4)(21)-4=16;(5)10-2=0.01;(6)e 2.303=10. 思考指数式与对数式的互化应注意哪些问题?活动:学生考虑指数式与对数式互化的依据,回想对数概念的引出过程,理清对数与指数幂的关系,特别是位置的对照.解答:若是指数式化为对数式,关键要看清指数是几,再写成对数式.若是对数式化为指数式,则要看清真数是几,再写成幂的形式.最关键的是搞清N 与b 在指数式与对数式中的位置,千万不可大意,其中对数的定义是指数式与对数式互化的依据. 变式训练课本P 64练习 1、2.例2求下列各式中x 的值: (1)log 64x=32-;(2)log x 8=6; (3)lg100=x;(4)-lne 2=x. 活动:学生独立解题,教师同时展示学生的作题情况,要求学生说明解答的依据,利用指数式与对数式的关系,转化为指数式求解.解:(1)因为log 64x=-32,所以x=6432-=(2))32(6-⨯=2-4=161.(2)因为log x 8=6,所以x 6=8=23=(2)6.因为x>0,因此x=2. (3)因为lg100=x,所以10x =100=102.因此x=2.(4)因为-lne 2=x,所以lne 2=-x,e -x =e 2.因此x=-2.点评:本题要注意方根的运算,同时也可借助对数恒等式来解. 变式训练求下列各式中的x : ①log 4x=21;②log x 27=43;③log 5(log 10x )=1. 解:①由log 4x=21,得x=421=2;②由log x 27=43,得x 43=27,所以x=2734=81;③由log 5(log 10x )=1,得log 10x=5,即x=105.点评:在解决对数式的求值问题时,若不能一下子看出结果,根据指数式与对数式的关系,首先将其转化为指数式,进一步根据指数幂的运算性质算出结果.思路2例1以下四个命题中,属于真命题的是( ) (1)若log 5x=3,则x=15 (2)若log 25x=21,则x=5 (3)若log x 5=0,则x=5 (4)若log 5x=-3,则x=1251 A.(2)(3) B.(1)(3) C.(2)(4) D.(3)(4) 活动:学生观察,教师引导学生考虑对数的定义. 对数式化为指数式,根据指数幂的运算性质算出结果. 对于(1)因为log 5x=3,所以x=53=125,错误;对于(2)因为log 25x=21,所以x=2521=5,正确;对于(3)因为log x 5=0,所以x 0=5,无解,错误; 对于(4)因为log 5x=-3,所以x=5-3=1251,正确. 总之(2)(4)正确. 答案:C点评:对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据. 例2对于a >0,a≠1,下列结论正确的是( )(1)若M=N,则log a M=log a N (2)若log a M=log a N,则M=N (3)若log a M 2=log a N 2,则M=N(4)若M=N,则log a M 2=log a N 2 A.(1)(3) B.(2)(4) C.(2) D.(1)(2)(4) 活动:学生思考,讨论,交流,回答,教师及时评价. 回想对数的有关规定.对(1)若M=N,当M 为0或负数时log a M≠log a N,因此错误; 对(2)根据对数的定义,若log a M=log a N,则M=N,正确; 对(3)若log a M 2=log a N 2,则M=±N,因此错误;对(4)若M=N=0时,则log a M 2与log a N 2都不存在,因此错误. 综上,(2)正确. 答案:C点评:0和负数没有对数,一个正数的平方根有两个. 例3计算:(1)log 927;(2)log 4381;(3)log )32((2-3);(4)log 345625.活动:教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,学生展示自己的解题过程,教师及时评价学生.利用对数的定义或对数恒等式来解.求式子的值,首先设成对数式,再转化成指数式或指数方程求解.另外利用对数恒等式可直接求解,所以有两种解法.解法一:(1)设x=log 927,则9x =27,32x =33,所以x=23; (2)设x=log 4381,则(43)x =81,34x =34,所以x=16; (3)令x=log )32(+(2-3)=log )32(+(2+3)-1,所以(2+3)x =(2+3)-1,x=-1; (4)令x=log 345625,所以(345)x =625,534x=54,x=3.解法二:(1)log 927=log 933=log 9923=23; (2)log 4381=log 43(43)16=16; (3)log )32(+(2-3)=log )32(+(2+3)-1=-1;(4)log 345625=log 345(345)3=3.点评:首先将其转化为指数式,进一步根据指数幂的运算性质算出结果,对数的定义是转化和对数恒等式的依据. 变式训练课本P 64练习 3、4. 知能训练1.把下列各题的指数式写成对数式:(1)42=16;(2)30=1;(3)4x =2;(4)2x =0.5;(5)54=625;(6)3-2=91;(7)(41)-2=16. 解:(1)2=log 416;(2)0=log 31;(3)x=log 42;(4)x=log 20.5;(5)4=log 5625; (6)-2=log 391;(7)-2=log 4116. 2.把下列各题的对数式写成指数式:(1)x=log 527;(2)x=log 87;(3)x=log 43;(4)x=log 731; (5)log 216=4;(6)log 3127=-3;(7)logx3=6;(8)log x 64=-6;(9)log 2128=7;(10)log 327=a.解:(1)5x =27;(2)8x =7;(3)4x =3;(4)7x =31;(5)24=16;(6)(31)-3=27;(7)(3)6 =x;(8)x -6=64;(9)27=128;(10)3a =27. 3.求下列各式中x 的值: (1)log 8x=32-;(2)log x 27=43;(3)log 2(log 5x )=1;(4)log 3(lgx )=0.解:(1)因为log 8x=32-,所以x=832-=(23)32-=)32(32-⨯=2-2=41;(2)因为log x 27=43,所以x 43=27=33,即x=(33)34=34=81;(3)因为log 2(log 5x )=1,所以log 5x=2,x=52=25; (4)因为log 3(lgx )=0,所以lgx=1,即x=101=10. 4.(1)求log 84的值;(2)已知log a 2=m,log a 3=n,求a 2m +n 的值.解:(1)设log 84=x,根据对数的定义有8x =4,即23x =22,所以x=32,即log 84=32; (2)因为log a 2=m,log a 3=n,根据对数的定义有a m =2,a n =3,所以a 2m +n =(a m )2·a n =(2)2·3=4×3=12.点评:此题不仅是简单的指数与对数的互化,还涉及到常见的幂的运算法则的应用. 拓展提升请你阅读课本75页的有关阅读部分的内容,搜集有关对数发展的材料,以及有关数学家关于对数的材料,通过网络查寻关于对数换底公式的材料,为下一步学习打下基础. 课堂小结(1)对数引入的必要性;(2)对数的定义;(3)几种特殊数的对数;(4)负数与零没有对数;(5)对数恒等式;(6)两种特殊的对数. 作业课本P 74习题2.2A 组 1、2. 【补充作业】1.将下列指数式与对数式互化,有x 的求出x 的值. (1)521-=51;(2)log 24=x;(3)3x =271; (4)(41)x=64;(5)lg0.000 1=x;(6)lne 5=x. 解:(1)521-=51化为对数式是log 551=21-; (2)x=log 24化为指数式是(2)x=4,即22x=22,2x=2,x=4; (3)3x =271化为对数式是x=log 3271,因为3x =(31)3=3-3,所以x=-3; (4)(41)x =64化为对数式是x=log 4164,因为(41)x =64=43,所以x=-3; (5)lg0.0001=x 化为指数式是10x =0.0001,因为10x =0.000 1=10-4,所以x=-4;(6)lne 5=x 化为指数式是e x =e 5,因为e x =e 5,所以x=5.2.计算51log 53log333+的值.解:设x=log 351,则3x =51,(321)x =(51)21,所以x=log513.所以351log 5log 3333+=513log 35+=515+=556. 3.计算Nc b c b a a log log log ∙∙(a>0,b>0,c>0,N>0).解:Nc b c b a alog log log ∙∙=Nc c b b log log ∙=Nc clog =N.设计感想本节课在前面研究了指数函数及其性质的基础上,为了运算的方便,引进了对数的概念,使学生感受到对数的现实背景,它有着丰富的内涵,和我们的实际生活联系密切,也是以后学习对数函数的基础,鉴于这种情况,安排教学时,无论是导入还是概念得出的过程,都比较详细,通俗易懂,要反复练习,要紧紧抓住它与指数概念之间的联系与区别,结合指数式理解对数式,强化对数是一种运算,并注意对数运算符号的理解和记忆,多运用信息化的教学手段,顺利完成本堂课的任务,为下一节课作准备. (设计者:路致芳)。

人教课标版高中数学必修一《对数与对数运算(第2课时)》教案-新版

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2.2.2 对数与对数运算(第2课时)一、教学目标 (一)核心素养通过这节课学习,了解简单对数的运算以及简单对数式的化简,学好对数运算性质是学好对数函数的关键,增强学生的成就感,增强学生学习的积极性. (二)学习目标1.理解对数的运算性质;能熟练运用对数的运算性质进行化简、计算、证明. 2.让学生经历并推导出对数的运算性质并加以记忆; (三)学习重点掌握对数的运算性质及其推导过程,依据对数性质进行对数运算 (四)学习难点对数的运算性质及其推导过程 二、教学设计 (一)课前设计 1.预习任务读一读:阅读教材64-65页完成下列任务:(1)类比指数运算性质能得出其相应对数运算性质,并写出推导过程; (2)写出对数三条的运算性质及其各字母的取值范围并加以记忆. ①N M MN a a a log log log += ②N M NMa a alog log log -= ③)0,0,1,0(log log >>≠>=N M a a M n M a n a 2.预习自测(1)25log 20lg 100+的值为( ) A.2 B.-2C.21D.21-答案:A. (2)8log 932log 2log 2333+-的值为( ) A.21 B.2 C.3D.31 答案:B.(3)已知,23=a 用a 表示6log 4log 33-为_________. 答案:1-a . (二)课堂设计 1.知识回顾),0,0()(),,0()(),,0(R r b a b a ab R s r a a a R s r a a a a r r r rs s r s r s r ∈>>=∈>=∈>=+2.问题探究探究一 对数运算性质的探究●活动① 提出问题,对数与指数的关系及指数运算法则各是怎样的?N a b = ⇔ b N a =l o g (R b N a a ∈>≠>,0,1,0)【设计意图】引导学生根据指数的运算性质大胆尝试推导对数的运算性质,提高学生的建构能力和主动探究能力.●活动② 利用指数对数关系及指数的运算法则推导出对数的运算法则,以指数运算的第一个性质为例证明:q p a a a N a M q N p M ==∴==,log ,log 设MN q p a a a MN a q p q p log =+∴=∙=+MN N M a a a log log log =+【设计意图】规律总结,指出推导的关键是完成指数运算向对数运算的过渡. ●活动③ 理解并掌握对数的运算性质①N M MN a a a log log log += ②N M NMa a alog log log -= ③)0,0,1,0(log log >>≠>=N M a a M n M a n a 引导学生判断下列式子是否正确①)5(log )3(log )]5()3[(log 222-+-=-⨯-(错误) ②10log 210log 10210=(正确) ③N M MN a a a log log )(log ∙=(错误) ④N M N M a a a log log )(log +=+(错误)【设计意图】巩固对数的运算性质,提高学生发散思维及分析问题的能力. 探究二●活动① 基础型例题 例1.求下列各式的值:(1)352log (24)⨯ (2)125log 5 (3)2.1lg 12lg 23lg -+(4)22log log 【知识点】对数的运算性质. 【数学思想】转换与化归思想.【解题过程】(1)134log 534log 2log )42(log 25232532=+=+=⨯.(2)3555log 125log 53log 53===. (3)lg32lg 21lg3lg 41lg1.2lg1.2+-+-=lg1.21lg1.2==.(4)22log log2log =22log log 42===.【思路点拨】对数的运算性质.【答案】(1)13 ; (2)3 ; (3)1 ; (4)2.同类训练 求下列各式的值: (1)14log 501log 2log 235log 55215--+ (2)()2336618log 4log log 6+答案:(1)2;(2)1.解析:【知识点】对数的运算性质. 【数学思想】转换与化归思想. 【解题过程】21)145035(log 14log 50log 2log 35log 14log 501log 2log 235log )1(5552555215=-÷⨯=-+-=--+()()()()2366623666622236666266(2)原式log 2log 18log log 2(log 22log 3)log log 2log 2log 3log (log 3log 2)1=⋅+=⋅++=+⋅+=+=点拨:对数的运算性质.例2.计算(1)427125log 9log 25log 16⋅⋅(2)421938432log )2log 2)(log 3log 3(log -++答案:(1)98 ; (2)25.解析:【知识点】对数的运算性质. 【数学思想】转换与化归思想. 【解题过程】(1)原式985lg 32lg 43lg 35lg 22lg 23lg 2125lg 16lg 27lg 2514lg 9lg =⨯⨯=⨯⨯=g (2)原式=254523652log 45)2log 212(log )3log 313log 21(23322=+⨯=++⋅+.点拨:对数的运算性质.同类训练 已知b a ==7log ,3log 32, 用b a ,表示56log 42. 答案:31ab ab a +++.解析:【知识点】对数的运算性质. 【数学思想】转换与化归思想. 【解题过程】aa 12log ,3log 32=∴= 23334233333log (78)log 73log 3log 56log (237)log 2log 3log 711b ab a ab a b a+⨯++∴====⨯⨯++++++. 点拨:对数的运算性质. ●活动2 提升型例题 例3(1)1052==b a ,求ba 11+的值; (2)设3log 22=x ,求xx xx --+-222233的值.【知识点】对数的运算性质. 【数学思想】转换与化归思想.【解题过程】,10log ,10log ,1052)1(52==∴==b a b a15lg 2lg 11=+=+∴ba. 22log 22log 3,log 2=()由得a Nxx x aN==∴=61331333133222233=+-=+-∴--xx x x . 【思路点拨】对数的运算性质. 答案:(1)1;(2)613. 同类训练 求下列各式的值:设410=a ,5lg =b ,求b a -210的值 . 答案:516. 解析:【知识点】对数的运算性质. 【数学思想】转换与化归思想.【解题过程】由5lg =b ,得510=b ,∴ 516102=-b a .点拨:对数的运算性质. ●活动3 探究型例题例4.对于函数)32(log )(221+-=ax x x f ,解答下述问题:(1)若函数的定义域为R ,求实数a 的取值范围; (2)若函数的值域为R ,求实数a 的取值范围. 答案:(1))3,3(-;(2)),3[]3,(+∞--∞ . 解析:【知识点】对数的运算性质,二次函数的性质. 【数学思想】函数思想【解题过程】222233令()()u g x x ax x a a ==-+=-+-,(21030()对恒成立 的取值范围是min u x R u a x a >∈∴=->⇒<<∴(2)由u 21log 的值域为R ,即)(x g u =能取遍(0,+)∞的一切值.)(x g u = 的值域为),0(),3[2+∞⊇+∞-a ,∴ 命题等价于33032min ≥-≤⇒≤-=a a a u 或, ∴ a 的取值范围是),3[]3,(+∞--∞ . 点拨:对数的运算性质.同类训练 已知函数f(x)=x 2-2ax+3(1)若函数的定义域为),3()1,(+∞⋃-∞,求实数a 的值; (2)若函数的值域为]1,(--∞,求实数a 的值.答案:(1)2;(2)±1.解析:【知识点】对数的运算性质.【数学思想】数形结合思想,函数与方程思想. 【解题过程】由定义域的概念知,命题等价于 (1)不等式0322>+-ax x 的解集为{}31><x x 或,∴3,121==x x 是方程0322=+-ax x 的两根,2322121=∴⎩⎨⎧=⋅=+a x x a x x∴即a 的值为2.(2)函数的值域为]1,(--∞,即)(x g 的值域为),2[+∞, ∵)(x g 的值域是),3[2+∞-a ,∴命题等价于123)(2min ±=⇒=-=a a x g , 即a 的值为±1. 点拨:对数的运算性质 3.课堂总结 知识梳理①N M MN a a a log log log += ②N M NMa a alog log log -= ③)0,0,1,0(log log >>≠>=N M a a M n M a n a 重难点归纳掌握对数的运算性质及其推导过程,依据对数性质进行对数运算 (三)课后作业 基础型 自主突破 1.(1)=-3log 6log 22______; (2)=-15log 5log 33______; (3)=+31log 75log 55_______; (4)=+-)32(log 32_______.答案:(1)1;(2)-1;(3)2;(4)-1. 解析:【知识点】对数的运算. 【数学思想】转换与化归思想.【解题过程】对数的运算性质的灵活运用. 点拨:对数的运算性质的灵活运用.2.若12010log 3=x ,则=+-x x 20102010( )A.310 B.6C.38D.316 答案:A.解析:【知识点】对数的运算. 【数学思想】转化与化归思想.【解题过程】对数的运算性质的灵活运用.点拨:31020102010,3log ,12010log 20103=+∴=∴=-x x x x . 3.已知m>0,且,1lg )10lg(10mm x +=则x 等于________. 答案:0.解析:【知识点】对数的运算. 【数学思想】函数与方程思想 【解题过程】01011lg)10lg(=∴==+x mm x . 点拨:对数的运算性质的灵活运用. 4.计算3log 2333558log 932log 2log 2-+-的结果. 答案:-7.解析:【知识点】对数的运算. 【数学思想】转化与化归思想. 【解题过程】79)83294(log 3-=-⨯⨯=原式 点拨:对数的运算性质的灵活运用.5.计算:(1)18lg 7lg 37lg 214lg -+- (2)2lg 236.0lg 23lg 2lg 2+++答案:(1)0(2)21. 解析:【知识点】对数运算性质. 【数学思想】转化与化归思想.【解题过程】(1)原式=01lg 18)37(714lg18lg 7lg )37lg(14lg 22==⨯⨯=-+- (2)原式=213lg 22lg 43lg 2lg 22lg 2236lg 23lg 2lg 2=++=+-++点拨:对数运算性质的灵活应用.6.若,ln ln a y x =-则33)2ln(2ln y x -⎪⎭⎫⎝⎛等于( )A.2aB.aC.23a D.a 3 答案:D.解析:【知识点】对数的运算. 【数学思想】转化与化归思想.【解题过程】a y x y x 3)ln (ln 3)2ln(2ln 33=-=-⎪⎭⎫⎝⎛点拨:对数运算性质的灵活应用. 能力型 师生共研 7.设,52m b a ==且,211=+ba 则m 等于( ) A.10 B.10 C.20 D.100 答案:A.解析:【知识点】对数的运算. 【数学思想】转化与化归思想.【解题过程】m b m a m b a 52log ,log ,52==∴==101025log 2log 112=∴=∴=+=+∴m m ba m m 点拨:对数运算性质的灵活应用.8. 若正数b a ,满足2362log 3log log ()a b a b +=+=+,则ba 11+的值为( ) A .36 B .72 C .108 D .721 答案:C.解析:【知识点】对数运算性质. 【数学思想】转化与化归思想.【解题过程】设2362log 3log log ()=a b a b k +=+=+,所以有k k k b a b a 6,327,24=+==,所以b a ab k k k +==⨯=632108即10811=+ba . 点拨:对数运算性质的灵活应用,对数与指数的关系. 探究型 多维突破9.求值n n n 32log )3log ...27log 9log 3(log 92842++++ 答案:25. 解析:【知识点】对数运算性质. 【数学思想】转化与化归思想.【解题过程】∵ 3l o g 3l o g 22=n n , ∴ 原式=252log 3log 32log 3log 532922==n n 点拨:对数运算性质的灵活应用.10.已知a lg 和b lg 是关于x 的方程02=+-m x x 的两个根,而关于x 的方程0)lg 1()(lg 2=+--a x a x 有两个相等的实数根,求实数b a ,和m 的值. 答案:6,1000,1001-===m b a 解析:【知识点】对数运算性质.【数学思想】函数与方程.【解题过程】由题意可知⎪⎩⎪⎨⎧=++=⋅=+0)lg 1(4)(lg lg lg 1lg lg 2a a m b a b a 6,1000,1001-===∴m b a 点拨:对数运算性质的灵活应用.自助餐1.已知y x 32=,则=y x ________. 答案:lg3lg 2. 解析:【知识点】对数运算性质.【数学思想】转化与化归思想. 【解题过程】2lg 3lg 3lg 2lg 3lg 2lg =∴=∴=y x y x y x . 点拨:对数运算性质的灵活应用.2.已知,lg x a =则=+3a ( )A.)3lg(xB.)3lg(x +C.3lg xD.)1000lg(x答案:D.解析:【知识点】对数运算性质.【数学思想】转化与化归思想.【解题过程】由已知)1000lg(1000lg lg 3lg 3x x x a =+=+=+. 点拨:对数运算性质的灵活应用. 3.=---233)12(lg )150(lg ( )A.5lg 2B.0C.1-D.5lg 2-答案:B.解析:【知识点】对数运算性质.【数学思想】转化与化归思想.【解题过程】由于,012lg ,0150lg <->-所以原式0)2lg 1(150lg =---= 点拨:对数运算性质的灵活应用.4.已知集合},2{},41{A x x y y B x x A ∈-==<<=,-==+2{ln }1x C x y x , 则集合=⋂C B ( ) A.}11{<<-x x B.}11{≤≤-x x C. }21{<<-x x D.{}21≤<-x x答案:A.解析:【知识点】对数运算性质.【数学思想】转化与化归思想. 【解题过程】由已知}21{},12{<<-=<<-=x x C y y B 所以}11{<<-=⋂x x C B .点拨:对数运算性质的灵活应用. 5.=----+3232)827()32(log ________. 答案:913-. 解析:【知识点】对数运算性质.【数学思想】转化与化归思想.【解题过程】因为32132+=-,所以1)32(log 32-=-+,所以原式=913- 点拨:对数运算性质的灵活应用.6.10054==b a 设,的值求)21(2ba +. 答案:2.解析:【知识点】对数运算性质.【数学思想】转化与化归思想.【解题过程】对两边同时取以10为底的对数, 得2)21(25lg 2,4lg 225lg 4lg =+∴==∴==ba b a b a . 点拨:对数运算性质的灵活应用.。

对数与对数运算教学设计

对数与对数运算教学设计

对数与对数运算教学设计《对数与对数运算》教学设计课题2.2.1对数与对数运算:第一课时三维目标:知识与技能1.理解对数的概念,了解对数与指数的关系;2.学会对数式与指数式的的互化,培养学生类比,分析,归纳的能力。

(二)过程与方法1.解自然对数和常用对数的概念,以及对数恒等式;2.通过实例推导对数运算性质,准确运用对数的运算性质进行计算,求值,化简。

并掌握化简,求值的技能。

(三)情感、态度和价值观1.培养学生分析,综合解决问题的能力;2.通过对数的运算法则的学习,培养学生的严谨的思维品质;3.在学习过程中培养学生探究的意识。

教学内容分析:教学重点对数式与指数式的互化以及对数性质加以灵活运用教学难点对数运算性质推导过程,以及分析过程课型:新授课新课讲解(一)创设情境,课题引入(学生活动)P72~P73页提出以下问题:对对数的发明有杰出贡献的科学家是谁发明对数的目的是什么?为什么说对数发明是17世纪重大数学成就?苏格兰数学家napier(纳皮尔)在研究天文学过程中,为了简化其中的计算发明了对数。

恩格斯曾经把对数的发明与解析几何的创立、微积分的建立是并称为17世纪数学史上的3大成就。

伽利略也说过:“给我空间、时间及对数,我可以创造一个宇宙”;(老师引导:那么,什么是对数?对数式怎样简化运算的?对数真的有用吗?)教师:为了研究对数,我们先来研究下面这个问题?(学生活动)P72页思考:根据上一节的例1我们能从中算出任意一个某(经过的年份)的人口总数,可不可能哪一年人口数低于13亿?那么哪一年的人口达到18亿?可不可能哪一年人口达到1000亿?你会算吗(教师活动)由指数函数性质知,有,所以人口数达到18时候,,所以有在个式子中,等于多少?学生可能会说,解出即可。

实际不然,实际问题实际考虑,地球上供养不起这么多人,所以现在同学们们要珍惜现在资源,爱护地球。

对数概念(教师活动)(板书)一般地,若,那么数叫做以为底的对数,记作,叫做对数的底数,叫做真数。

人教课标版高中数学必修一《对数与对数运算(第1课时)》教案(1)-新版

人教课标版高中数学必修一《对数与对数运算(第1课时)》教案(1)-新版

2.2.1对数与对数运算(第1课时)一、教学目标 (一)核心素养通过这节课学习,理解对数的概念,并能根据对数的概念求一些特殊对数式的值,同时熟练进行对数式与指数式的互化,渗透应用意识,培养学生归纳思维能力和逻辑推理能力,进一步提高数学发现能力. (二)学习目标 1.理解对数的概念.2.熟练进行对数式与指数式的互化.3.会根据对数的概念求一些特殊对数式的值. (三)学习重点 1.理解对数的概念.2.熟练进行对数式与指数式的互化.3.会根据对数的概念求一些特殊对数式的值. (四)学习难点 1.对数的概念的理解. 二、教学设计 (一)预习任务1.读一读:阅读教材并填空:一般地,如果)1,0(≠>a a a 的b 次幂等于N ,就是N a b =,那么数b 叫做以a 为底N 的对数,记作b N a =log ,其中a 叫做底数,N 叫做真数。

N a b =⇔b N a =log (R b N a a ∈>≠>,0,1,0).注:(1)对数的底数a 必须大于0且不等于1;(2)对数的真数N 必须大于0,也即负数与0没有对数; (3)对数的值可以为一切实数,也即对数值可正、可负、可为零. 2.a log 1=0,=a a log 1.3.通常以10为底的对数,叫做常用对数。

为了简便,N 的常用对数N 10log ,简记作N lg ;通常以无理数 7182.2=e 为底的对数叫做自然对数。

为了简便,N 的自然对数N e log 简记作N ln .4.探究:在定义中为什么规定a >0,a ≠1? 2.预习自测1.以下四个命题中是真命题的是( ) ①若,3log 5=x 则x =15; ②若,21log 25=x 则x =5; ③若,05log =x 则5=x ; ④若,3log 5-=x 则1251=x . A.①② B.①③ C.②④ D.③④【知识点】对数与指数的互化.【解题过程】5log 3x =,得x =53=125.∴①是假命题,251log 2x =,得5x ==.∴②是真命题;log 0,得x 0∴③是假命题;5log 3x =-,得x =5-3=1125.∴④是真命题.【思路点拨】由对数式与指数式的转化关系进行运算. 【答案】C. 2.设lg 525x=则=x _________.【知识点】对数与指数的互化关系. 【解题过程】lg 525x==52,∴lg 2x =,由对数定义可得210100x ==.【思路点拨】指数运算、对数运算结合. 【答案】100.3.如果N =a 2(a >0,且a ≠1),则有( )A.2log N a =B.2log a N =C.log 2N a =D.log 2a N = 【知识点】指数式与对数式的互化.【解题过程】∵N =a 2(a >0,且a ≠1)∴2log a N =,故选D.【思路点拨】利用同底的指数式与对数式的互化关系即可得出. 【答案】D. (二)课堂设计 1.问题探究探究一 结合实例,认识对数概念. ●活动① 归纳提炼概念求出下列各式中x 的值(1)93=x ;(2)8113=x . 追问若73=x 时,x 存在吗?若存在,x =? 引入新的记法7log 3=x 上述问题从93=x ,8113=x ,73=x 中分别求出x ,其共同点就是已知底数a 和幂N ,求出指数x .定义:一般地,如果)1,0(≠>a a a 的b 次幂等于N ,就是N a b =,那么数b 叫做以a 为底N 的对数,记作b N a =log ,其中a 叫做底数,N 叫做真数.N a b =⇔b N a =log (R b N a a ∈>≠>,0,1,0)【设计意图】:通过将对数与指数中的a ,b,N 三个元素比较分析,加深对对数的理解,体现了事物之间的普遍联系.●活动②提出问题,指数和对数有什么区别和联系? 引导学生回顾指数和对数的定义,组织问题的答案. 用表格对相关元素进行对比分析.老师强调指数式和对数式互化:N a b =⇔b N a =log (R b N a a ∈>≠>,0,1,0)【设计意图】:再次通过将指数式和对数式中的a,x,N 三个元素比较分析,加深对对数的理解,体现了事物之间的普遍联系。

人教版高中数学必修1 第二章对数与对数运算 同步教案

人教版高中数学必修1 第二章对数与对数运算 同步教案

f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) ;
2
2
在给定区间内,若函数 f (x) 的图象向下凹进,则函数 f (x) 在该区间上为凹函数,结合图象易得到
f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) .
2
2
巩固训练
1、计算: log1 32 ?
2
; lg0.001=
2、 求下列各式的值.
6
【例 1】下列指数式化为对数式,对数式化为指数式. (1) 53 125 ;(2) 27 1 ;(3) 3a 27 ; 128 (4) 102 0.01 ; (5) log1 32 5 ;
2
(6)lg0.001= 3 ; (7)ln100=4.606.
【例 2】求下列各式中 x 的值:
(1)
(1) log5 25

(2)
log
2
1 16

(3) lg 10000.
3
3. 设 lg 2 a , lg 3 b ,试用 a 、 b 表示 log5 12 . 4. 已知 lg2=0.3010,lg3=0.4771,求 lg6、lg12. lg 3 的值.
5. 计算:(1) lg14 2lg 7 lg 7 lg18 ;(2) lg 243 .
(2)
log2
1 2
log 1
2
2
.
8. 计算: lg 3 1 lg 5 523
; .
9. 计算: log (3 2 2)
.
2 1
10.
若 logx (
2 1) 1,则 x=________,若 log 8 y ,则 y=___________. 2
【能力提升】
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2.2.1对数与对数运算教学目标:1.理解并记忆对数的定义,对数与指数的互化,对数恒等式及对数的性质.2.理解并掌握对数运算法则的内容及推导过程.3.熟练运用对数的性质和对数运算法则解题.4.对数的初步应用.教学重点:对数定义、对数的性质和运算法则教学难点:对数定义中涉及较多的难以记忆的名称,以及运算法则的推导教学方法:学导式教学过程设计第一课时师:(板书)已知国民生产总值每年平均增长率为7.2%,求20年后国民生产总值是原来的多少倍?生:设原来国民生产总值为1,则20年后国民生产总值y=(1+7.2%)20=1.07220,所以20年后国民生产总值是原来的1.07220倍.师:这是个实际应用问题,我们把它转化为数学中知道底数和指数,求幂值的问题.也就是上面学习的指数问题.师:(板书)已知国民生产总值每年平均增长率为7.2%,问经过多年年后国民生产总值是原来的4倍?师:(分析)仿照上例,设原来国民生产总值为1,需经x年后国民生产总值是原来的4倍.列方程得:1.072x=4.我们把这个应用问题转化为知道底数和幂值,求指数的问题,这是上述问题的逆问题,即本节的对数问题.=,那么数x 师:(板书)一般地,如果a(a>0,a≠1)的x次幂等于N,就是x a N就叫做以a为底N的对数(logarithm),记作x=log a N,其中a叫做对数的底数,N叫做真数,式子log a N叫做对数式.对数这个定义的认识及相关例子:(1)对数式log a N实际上就是指数式中的指数x的一种新的记法.(2)对数是一种新的运算.是知道底和幂值求指数的运算.=这个式子涉及到了三个量a,x,N,由方程的观点可得“知二求一”.知实际上x a N道a,x可求N,即前面学过的指数运算;知道x(为自然数时)、N可求a,即初中学过的开=;知道a,N可以求x,即今天要学习的对数运算,记作log a N= x.因根号运算,a此,对数是一种新的运算,一种知道底和幂值求指数的运算.而每学一种新的运算,首先要学习它的记法,对数运算的记法为log a N,读作:以a为底N的对数.请同学注意这种运算的写法和读法.师:下面我来介绍两个在对数发展过程中有着重要意义的对数.师:(板书)对数log a N(a>0且a≠1)在底数a=10时,叫做常用对数(common logarithm),简记lgN;底数a=e时,叫做自然对数(natural logarithm),记作lnN,其中e是个无理数,即e≈2.718 28…….师:实际上指数与对数只是数量间的同一关系的两种不同形式.为了更深入认识并记忆4611(1)5625;(2)2;(3) 5.73643m-⎛⎫=== ⎪⎝⎭练习2 把下列对数形式写成指数形式:12(1)log 164;(2)lg 0.012;(3)ln10 2.303=-=-=练习3 求下列各式的值:(两名学生板演练习1,2题(过程略),一生板演练习三.)因为22=4,所以以2为底4的对数等于2.因为53=125,所以以5为底125的对数等于3. (注意纠正学生的错误读法和写法.) 例题(教材第73页例题2)师:由定义,我们还应注意到对数式log a N=b 中字母的取值范围是什么? 生:a >0且a ≠1;x ∈R ;N ∈R .师:N ∈R ?(这是学生最易出错的地方,应一开始让学生牢牢记住真数大于零.)生:由于在实数范围内,正数的任何次幂都是正数,因而a x=N 中N 总是正数. 师:要特别强调的是:零和负数没有对数. 师:定义中为什么规定a >0,a ≠1? (根据本班情况决定是否设置此问.)生:因为若a <0,则N 取某些值时,x 可能不存在,如x=log (-2)8不存在;若a=0,则当N 不为0时,x 不存在,如log 02不存在;当N 为0时,x 可以为任何正数,是不唯一的,即log 00有无数个值;若a=1,N 不为1时,x 不存在,如log 13不存在,N 为1时,x 可以为任何数,是不唯一的,即log 11有无数多个值.因此,我们规定:a >0,a ≠1.(此回答能培养学生分类讨论的数学思想.这个问题从a x=N 出发回答较为简单.) 练习4 计算下列对数:lg10000,lg0.01,2log 42,3log 273,lg10510,5111255og .师:请同学说出结果,并发现规律,大胆猜想. 生:2log 42=4.这是因为log 24=2,而22=4.生:3log 273=27.这是因为log 327=3,而33=27. 生:lg10510=105.生:我猜想log a Na N =,所以5111255og =1125.师:非常好.这就是我们下面要学习的对数恒等式. 师:(板书)log a N a N =(a >0,a ≠1,N >0).(用红笔在字母取值范围下画上曲线)(再次鼓励学生,并提出更高要求,给出严格证明.)(学生讨论,并口答.) 生:(板书) 证明:设指数等式a b=N ,则相应的对数等式为log a N=b ,所以a b=log a Na N = 师:你是根据什么证明对数恒等式的? 生:根据对数定义.师:(分析小结)证明的关键是设指数等式a b=N .因为要证明这个对数恒等式,而现在我们有关对数的知识只有定义,所以显然要利用定义加以证明.而对数定义是建立在指数基础之上的,所以必须先设出指数等式,从而转化成对数等式,再进行证明.师:掌握了对数恒等式的推导之后,我们要特别注意此等式的适用条件. 生:a >0,a ≠1,N >0.师:接下来观察式子结构特点并加以记忆.(给学生一分钟时间.) 师:(板书)2log 28=?2log 42=?生:2log 28=8;2log 42=2.师:第2题对吗?错在哪儿?师:(继续追问)在运用对数恒等式时应注意什么? (经历上面的错误,使学生更牢固地记住对数恒等式.)生:当幂的底数和对数的底数相同时,才可以用公式log a Na N =. (师用红笔在两处a 上重重地描写.) 师:最后说说对数恒等式的作用是什么? 生:化简!师:请打开书74页,做练习4.(生口答.略)师:对对数的定义我们已经有了一定认识,现在,我们根据定义来进一步研究对数的性质.师:负数和零有没有对数?并说明理由.生:负数和零没有对数.因为定义中规定a >0,所以不论x 是什么数,都有a x>0,这就是说,不论x 是什么数,N=a x永远是正数.因此,由等式x=log a N 可以看到,负数和零没有对数.师:非常好.由于对数定义是建立在指数定义的基础之上,所以我们要充分利用指数的知识来研究对数.师:(板书)性质1:负数和零没有对数. 师:1的对数是多少?生:因为a 0=1(a >0,a ≠1),所以根据对数定义可得1的对数是零. 师:(板书)1的对数是零. 师;底数的对数等于多少?生:因为a 1=a ,所以根据对数的定义可得底数的对数等于1. 师:(板书)底数的对数等于1.师:给一分钟时间,请牢记这三条性质. 练习:课本第74页练习1、2、3、4题。

作业:课本第86页习题2.2A 组题第1、2题。

第二课时师:在初中,我们学习了指数的运算法则,请大家回忆一下.生:m n m na a a +⋅= (m,n ∈Z);()m n mna a = (m,n ∈Z);()n n nab a b =⋅ (n ∈Z),师:下面我们利用指数的运算法则,证明对数的运算法则.(板书) (1)正因数积的对数等于同一底数各个因数的对数的和,即log a (MN )=log a M+log a N .(请两个同学读法则(1),并给时间让学生讨论证明.)师:我们要证明这个运算法则,用眼睛一瞪无从下手,这时我们该想到,关于对数我们只学了定义和性质,显然性质不能证明此式,所以只有用定义证明.而对数是由指数加以定义的,显然要利用指数的运算法则加以证明,因此,我们首先要把对数等式转化为指数等式.师:(板书)设log a M=p ,log a N=q ,由对数的定义可以写成M=a p ,N=a q.所以M ·N=a p ·a q =a p+q,所以log a(M·N)=p+q=log a M+log a N.即log a(MN)=log a M+log a N.师:这个法则的适用条件是什么?生:每个对数都有意义,即M>0,N>0;a>0且a≠1.师:观察法则(1)的结构特点并加以记忆.生:等号左端是乘积的对数,右端是对数的和,从左往右看是一个降级运算.师:非常好.例如,(板书)log2(32×64)=?生:log2(32×64)=log232+log264=5+6=11.师:通过此例,同学应体会到此法则的重要作用——降级运算.它使计算简化.师:(板书)log62+log63=?生:log62+log63=log6(2×3)=1.师:正确.由此例我们又得到什么启示?生:这是法则从右往左的使用.是升级运算.师:对.对于运算法则(公式),我们不仅要会从左往右使用,还要会从右往左使用.真正领会法则的作用!师:(板书)(2)两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数.师:仿照研究法则(1)的四个步骤,自己学习.(给学生三分钟讨论时间.)生:(板书)设log a M=p,log a N=q.根据对数的定义可以写成M=a p,N=a q.所以师:非常好.他是利用指数的运算法则和对数的定义加以证明的.大家再想一想,在证明法则(2)时,我们不仅有对数的定义和性质,还有法则(1)这个结论.那么,我们是否还有其它证明方法?生:(板书)师:非常漂亮.他是运用转化归结的思想,借助于刚刚证明的法则(1)去证明法则(2).他的证法要比书上的更简单.这说明,转化归结的思想,在化难为易、化复杂为简单上的重要作用.事实上,这种思想不但在学习新概念、新公式时常常用到,而且在解题中的应用更加广泛.师:法则(2)的适用条件是什么?生:M>0,N>0;a>0且a≠1.师:观察法则(2)的结构特点并加以记忆.生:等号左端是商的对数,右端是对数的差,从左往右是一个降级运算,从右往左是一个升级运算.师:(板书)lg20-lg2=?师:可见法则(2)的作用仍然是加快计算速度,也简化了计算的方法.师:(板书)例1 计算:(学生上黑板解,由学生判对错,并说明理由.):(1)log93+log927=log93×27=log981=2;(3)log2(4+4)=log24+log24=4;生:第(2)题错!在同底的情况下才能运用对数运算法则.(板书)生:第(3)题错!法则(1)的内容是:生:第(4)题错!法则(2)的内容是:师:通过前面同学出现的错误,我们在运用对数运算法则时要特别注意什么?生:首先,在同底的情况下才能从右往左运用法则(1)、(2);其次,只有在正因数的积或两个正数的商的对数的情况下,才能从左往右运用运算法则(1)、(2).师:(板书)(3)正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数.即log a(N)n=n·log a N.师:请同学们自己证明(给几分钟时间)师:法则(3)的适用条件是什么?生:a>0,a≠1;N>0.师:观察式子结构特点并加以记忆.生:从左往右仍然是降级运算.师:例如,(板书)log332=log525=5log52.练习计算(log232)3.(找一好一差两名学生板书.)错解:(log232)3=log2(25)3=log2215=15.正确解:(log232)3=(log225)3=(5log22)3=53=125.(师再次提醒学生注意要准确记忆公式.)师:(板书)(4)正数的正的方根的对数等于被开方数的对数除以根指数.即师:法则(4)的适用条件是什么? 生:a >0,a ≠1;N >0.师:法则(3)和法则(4)可以合在一起加以记忆.即log a N α=αlog a N (α∈R ).(师板书)例2 用log a x ,log a y ,log a z 表示下列各式:解:(注意(3)的第二步不要丢掉小括号.) 例3 计算:解:(生板书)(1)log 2(47×25)=log 247+log 225=7log 24+5log 22=7×2+5×1=19.师:请大家在笔记本上小结这节课的主要内容.小结:通过本节课,应使学生明确如何学习一种运算(从定义、记法、性质、法则等方面来研究);如何学习公式或法则(从公式推导,适用条件,结构特点和记忆以及公式作用四方面来研究).针对高中数学内容多、密度大、进度快的特点,应使学生尽早地掌握适应高中数学的学习方法.练习:课本第79页练习第1、2、3题。

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