王勖成《有限单元法》学习总结

经分部积分后的等效积分“弱”形式为：
上式第一项代表虚应力在应变上所作的功，第二项代表虚位移约束反 力在给定位移上所作的虚功，称为虚应力原理。
二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理
2.4 弹性力学的基本方程和变源自文库原理 2.4.4 线弹性力学的变分原理 最小位能原理： 系统的总位能是弹性体变形位能和外力位能之和：
二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理
2.3 变分原理和里兹方法 2.3.1线性、自伴随微分方程变分原理的建立： 线性、自伴随微分算子： 若微分方程： L为微分算子，若 ,则为线性。 L(u)与任意函数的内积： 若 ，则算子为自伴随的。 泛函的构造： 原问题微分方程和边界条件： 与上式等效的伽辽金法： 若： ，其中： 为 原问题的泛函。
二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理
2.3 变分原理和里兹方法 2.3.2 里兹方法： 设未知函数的近似解由一族带有待定参数的试探 函数来近似表示，即： 泛函的变分为零相当于将泛函对所包含的待定参 数进行全微分，并令所得方程等于零，即： 由于 是任意的，满足上式时必然有 都等于零。这是与待定系数a的个数相等的方程组， 用以求近似解的经典方法叫做里兹法。
二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理
1.3 变分原理和里兹方法 2.3.1线性、自伴随微分方程变分原理的建立： 泛函的构造： 原问题的微分方程和边界条件的等效积分的伽辽 金法等效于它的变分原理，即原问题的微分方程和边 界条件等效于泛函的变分等于零，亦即泛函取驻值。 反之，如果泛函取驻值则等效于满足问题的微分方程 和边界条件。而泛函可以通过原问题的等效积分的伽 辽金提法得到的，并称这样的到的变分原理为自然变 分原理。
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2.4 弹性力学的基本方程和变分原理 2.4.1 弹性力学基本方程的矩阵形式： 平衡方程： 弹性体V域内任一点沿坐标轴x,y,z方向的平衡方程 为：
平衡方程矩阵形式：
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2.4 弹性力学的基本方程和变分原理 2.4.1 弹性力学基本方程的矩阵形式： 几何方程——应变与位移关系： 在微小位移和微小变形情况下，略去位移导数的 高次幂，则应变向量和位移向量间的关系为：
二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理
2.1 微分方程的等效积分形式和加权余量法 2.1.3 基于等效积分形式的近似方法—加权余量法： 假设未知函数u可以采用近似函数表示，近似函 数是一族有待定参数的已知函数，一般形式为：
通常n取有限项的近似解不能精确满足微分方程 式和边界条件，故产生残差R，即： 把等效积分形式写成余量形式：
一、绪论
1.4 有限元法的未来：
① 为了真实地模拟新材料和新结构的行为，需要发 展新的材料本构模型和单元形式； ② 为了分析和模拟各种类型和形式的结构在复杂载 荷工况和环境作用下的全寿命过程响应，需要发展新 的数值分析方案； ③ 有限元软件和CAD/CAM/CAE等软件系统共同集成完 整的虚拟产品发展（VPD）系统
里兹法的实质是从一族假定解中寻求满足泛函变分的最好 解，显然近似解的精度与试探函数的选择有关。
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2.3 变分原理和里兹方法 2.3.2 里兹方法： 当 n 趋于无穷时，近似解收敛于微分方程精确解 的条件如下： ① 试探函数应取自完备函数系列。满足此要求的试 探函数称为是完备的； ② 试探函数应满足 连续性要求，即表示泛函的场 函数最高的微分阶数是m时，试探函数0~m-1阶导 数应是连续的，以保证泛函中的积分存在，满足 此要求的试探函数称为是协调的。
二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理
2.4 弹性力学的基本方程和变分原理 2.4.1 弹性力学基本方程的矩阵形式： 力的边界条件： 弹性体在边界上单位面积的内力等于在边界上已 知弹性体单位面积上作用的面积力，即： 设边界外法线的方向余弦为 体的内力为： ，则边界上弹性
边界条件矩阵形式为：
其扩展形式为：
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2.4 弹性力学的基本方程和变分原理 2.4.2 弹性力学基本方程的张量形式： 几何方程： 张量形式的几何方程为：
其扩展形式为：
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2.4 弹性力学的基本方程和变分原理 2.4.2 弹性力学基本方程的张量形式： 物理方程： 张量形式的物理方程为：
应变能是个正定函数，只有当弹性体内所有的点 都没有应变时，应变能才为零。 单位体积的余能（余能密度）为： 余能也是正定函数，在线弹性力学中弹性体的应 变能等于余能。
二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理
2.4 弹性力学的基本方程和变分原理 2.4.2 弹性力学基本方程的张量形式： 平衡方程： 张量形式的平衡方程为：
一、绪论
1.3 有限元法的发展和现状：
① 单元类型和形式：为扩大有限元法的应用领域，新的单元 类型不断涌现，例如等参单元采用和位移插值相同的表示方法， 将形状规则单元变换为边界为曲线或曲面的单元； ② 有限元法的理论基础和离散格式：在提出新的单元类型， 扩展新的应用领域和应用条件的同时，为了给新单元和新应用 提供可靠的理论基础，研究了 Hellinger-Reissner 原理、 HuWanshizu原理等多场变量的变分原理，发展了混合型、杂交型 的有限元表达格式； ③ 有限元方程的解法：独立于时间的平衡问题（或稳态问 题）；特征值问题；依赖于时间的瞬态问题；有限元法的计算 机软件（专用软件、大型通用商业软件）
其扩展形式为：
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2.4 弹性力学的基本方程和变分原理 2.4.2 弹性力学基本方程的张量形式： 力的边界条件： 张量形式的力的边界条件为：
其扩展形式为：
二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理
2.4 弹性力学的基本方程和变分原理 2.4.3 平衡方程和几何方程的等效积分“弱”形式 虚位移原理： 平衡方程和力边界条件为： 其等效积分为：
王勖成《有限单元法》
（学习总结）
汇报人：XXX 时 间：XXX
2017/4/12 1
内容提纲
一、绪论 二、有限元法的理论基础-加权余量法和变分原理 三、弹性力学问题有限元方法的一般原理和表达式 四、单元和插值函数的构造 五、等参元与数值积分 六、有限元法运用中的若干实际考虑
七、线性代数方程组的解法
一、绪论
1.2 有限元法特性：
① 对于复杂几何构型的适应性（单元在空间可以是一维、二 维或三维的，而每一种单元可以有不同形状）； ② 对各种物理问题的可应用性(用单元内近似函数分片地表示 全求解域的未知场函数，并为限制场函数所满足的方程形式， 也为限制各个单元所对应方程必须是相同的形式)； ③ 建立于严格理论基础上的可靠性(用于建立有限元方程的变 分原理或加权余量法在数学上以证明是微分方程和边界条件的 等效积分形式)； ④ 适合计算机实现的高校性(有限元分析的各个步骤可以表达 成规范的矩阵形式，最后导致求解方程可以统一为标准的矩阵 代数问题，特别适合计算机编程和执行)。
二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理
2.2 微分方程的等效积分形式和加权余量法 2.2.3 基于等效积分形式的近似方法—加权余量法： 采用使余量的加权积分为零来求微分方程近似解 的方法称为加权余量法。 根据对权函数W的不同选择可得到不同的加权余 量计算方法，常用的方法有： ① 配点法： ② 子域法：在n个子域内W=I，在子域意外W=0。即 强迫余量在n个子域的积分为零。 ③ 最小二乘法： 使 最 小，即 。 ④ 力矩法：
八、有限元分析计算机程序
一、绪论
1.1 有限元法要点： ① 将一个表示结构或连续体的求解域离散为若干个 子域（单元），并通过他们边界上的节点相互联接成 为组合体； ② 用每个单元内在所假设的近似函数来分片地表示 全求解域内待求的未知场变量。而每个单元内的近似 函数由未知场函数（或及其导数）在单元各结点上的 数值和与其对应的插值函数来表达（此表达式为矩阵 形式）； ③ 通过和原问题数学模型（基本方程、边界条件） 等效的变分原理或加权余量法，建立求解基本未知量 （场函数结点值）的代数方程组或者场微分方程组。
二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理
2.4 弹性力学的基本方程和变分原理 2.4.1 弹性力学基本方程的矩阵形式： 几何边界条件： 弹性体在边界上单位面积的内力等于：
边界条件矩阵形式为： 把边界力学方程记为一般形式，则有：
二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理
2.4 弹性力学的基本方程和变分原理 2.4.1 弹性力学基本方程的矩阵形式： 弹性体应变能和余能： 单位体积的应变能（应变能密度）为：
经分部积分后的等效积分“弱”形式为：
虚功是外力和内力分别在虚位移与之对应的虚应变上所作的功，称为 虚位移原理。
二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理
2.4 弹性力学的基本方程和变分原理 2.4.3 平衡方程和几何方程的等效积分“弱”形式 虚应力原理： 几何方程和位移条件为： 其等效积分为：
在所有区域内连续可导的并在边界上满足给定位 移条件式的可能位移中，真实位移使系统的总位能取 驻值。即在所有可能位移中，真实位移使系统总位能 取最小值，因此称为最小位能原理。
二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理
2.4 弹性力学的基本方程和变分原理 2.4.4 线弹性力学的变分原理 最小余能原理： 系统的总位能是弹性体余能和外力余能之和：
二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理
2.3 变分原理和里兹方法 2.3.1线性、自伴随微分方程变分原理的建立： 泛函的极值性： 对于2m阶微分方程，含0~m-1阶导数的边界条件 称为强制边界条件，近似函数应事先满足。含m~2m1 阶导数的边界条件成为自然边界条件，近似函数不 必事先满足。 设近似场函数 ，则 其中， 是真正的泛函， 是等效积分伽辽金提法 的弱形式，应有：
二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理
2.2 微分方程的等效积分形式和加权余量法 2.2.3 基于等效积分形式的近似方法—加权余量法： ① 伽辽金法：取W=N，即简单地利用近似解的试探 函数序列作为权函数，等效积分形式：
近似解变分为： 使
加权余量法可以用于广泛的方程类型，选择不同的权函数， 可以产生不同的加权余量法；通过采用等效积分的“弱”形式， 可以降低对近似函数连续性的要求。如果近似函数取自完全的 函数系列，并满足连续性要求，当试探函数的项数不断增加时， 近似解可趋于精确解。
几何方程的矩阵形式为：
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2.4 弹性力学的基本方程和变分原理 2.4.1 弹性力学基本方程的矩阵形式： 物理方程——应力与应变关系： 弹性力学中应力-应变之间的转换关系也称弹性关 系。对各向同性的线弹性材料，应力通过应变的表达 式可用矩阵形式表示为： 其中，D为弹性矩阵，它完全取决于弹性体材料的 弹性模量和泊松比。
二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理
2.1 微分方程的等效积分形式和加权余量法 2.1.1 微分方程的等效积分形式：
上式满足微分方程组和边界条件：
1.1.2 微分方程等效积分的“弱”形式：
通过适当提高对任意函数 v 的连续性要求，以降低微 分方程场函数 u 的连续性要求所建立的等效积分形式。
在所有在弹性体内满足平衡方程，在边界上满足 力的边界条件的可能盈利中，真实应力使系统的总余 能取驻值，真实位移使系统总位能取最小值类同步骤， 证明在所有应力中，真实应力使系统总余能取最小值， 因此称为最小余能原理。
二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理
2.4 弹性力学的基本方程和变分原理 2.4.4 线弹性力学的变分原理 弹性力学变分原理的能量上、下界： 根据能量平衡，应变能应等于外力功，因此得到 弹性系统的总位能与总余能之和为零：