离散数学课件初等数论-PPT文档资料
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离散数学ppt课件
02
集合论基础
集合的基本概念
总结词
集合是离散数学中的基本概念， 是研究离散对象的重要工具。
详细描述
集合是由一组确定的、互不相同 的、可区分的对象组成的整体。 这些对象称为集合的元素。例如 ，自然数集、平面上的点集等。
集合的运算和性质
总结词
集合的运算和性质是离散数学中的重要内容，包括集合的交、并、差、补等基本运算，以及集合的确定性、互异 性、无序性等性质。
生，1表示事件一定会发生。
离散概率论的运算和性质
概率的加法性质
如果两个事件A和B是互斥的，那么P(A或B)等于P(A)加上 P(B)。
概率的乘法性质
如果事件A和B是独立的，那么P(A和B)等于P(A)乘以P(B) 。
全概率公式
对于任意的事件A，存在一个完备事件组{E1, E2, ..., En}， 使得P(Ai)>0 (i=1,2,...,n)，且E1∪E2∪...∪En=S，那么 P(A)=∑[i=1 to n] P(Ai)P(A|Ei)。
工程学科
离散数学在工程学科中也有着重要的 应用，如计算机通信网络、控制系统 、电子工程等领域。
离散数学的重要性
基础性
离散数学是数学的一个重要分支 ，是学习其他数学课程的基础。
应用性
离散数学在各个领域都有着广泛的 应用，掌握离散数学的知识和方法 对于解决实际问题具有重要的意义 。
培养逻辑思维
学习离散数学可以培养人的逻辑思 维能力和问题解决能力，对于个人 的思维发展和职业发展都有很大的 帮助。
详细描述
邻接矩阵是一种常用的表示图的方法，它是 一个二维矩阵，其中行和列对应于图中的节 点，如果两个节点之间存在一条边，则矩阵 中相应的元素为1，否则为0。邻接表是一 种更有效的表示图的方法，它使用链表来存 储与每个节点相邻的节点。
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一个简单命题.
13
联结词与复合命题(续)
3.析取式与析取联结词“∨” 定义 设 p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q 的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规 定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.
例 将下列命题符号化 (1) 2或4是素数. (2) 2或3是素数. (3) 4或6是素数. (4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨. (5) 王晓红生于1975年或1976年.
15
联结词与复合命题(续)
4.蕴涵式与蕴涵联结词“” 定义 设 p,q为二命题，复合命题 “如果p,则q” 称 作p与q的蕴涵式，记作pq，并称p是蕴涵式的 前件，q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联结词，并 规定，pq为假当且仅当 p 为真 q 为假.
16
联结词与复合命题(续)
pq 的逻辑关系：q 为 p 的必要条件 “如果 p，则 q ” 的不同表述法很多：
19
例 求下列复合命题的真值 (1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6. (2) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 是偶数. (3) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 太阳从东方升起. (4) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 美国位于非洲. (5) 函数 f (x) 在x0 可导的充要条件是它在 x0
解 令 p：王晓用功，q：王晓聪明，则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q.
12
例 (续)
令 r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令 t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .
说明: (1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性. (5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是
若 p，就 q 只要 p，就 q p 仅当 q 只有 q 才 p 除非 q, 才 p 或 除非 q, 否则非 p. 当 p 为假时，pq 为真 常出现的错误：不分充分与必要条件
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联结词与复合命题(续)
3.析取式与析取联结词“∨” 定义 设 p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q 的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规 定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.
例 将下列命题符号化 (1) 2或4是素数. (2) 2或3是素数. (3) 4或6是素数. (4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨. (5) 王晓红生于1975年或1976年.
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联结词与复合命题(续)
4.蕴涵式与蕴涵联结词“” 定义 设 p,q为二命题，复合命题 “如果p,则q” 称 作p与q的蕴涵式，记作pq，并称p是蕴涵式的 前件，q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联结词，并 规定，pq为假当且仅当 p 为真 q 为假.
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联结词与复合命题(续)
pq 的逻辑关系：q 为 p 的必要条件 “如果 p，则 q ” 的不同表述法很多：
19
例 求下列复合命题的真值 (1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6. (2) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 是偶数. (3) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 太阳从东方升起. (4) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 美国位于非洲. (5) 函数 f (x) 在x0 可导的充要条件是它在 x0
解 令 p：王晓用功，q：王晓聪明，则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q.
12
例 (续)
令 r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令 t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .
说明: (1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性. (5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是
若 p，就 q 只要 p，就 q p 仅当 q 只有 q 才 p 除非 q, 才 p 或 除非 q, 否则非 p. 当 p 为假时，pq 为真 常出现的错误：不分充分与必要条件
离散数学课件初等数论
哥德巴赫猜想
总结词
哥德巴赫猜想是数论中一个著名的未解决的问题，它涉及到质数的分解。
详细描述
哥德巴赫猜想指出，任何一个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和。尽管数学家们已经证明了许多特殊情况 下的结论，但这个猜想至今仍未被证明或反驳。
孪生素数猜想
总结词
孪生素数猜想是数论中一个关于质数对的未解决的问题。
费马大定理
总结词
费马大定理是数论中一个著名的未解 决的问题，它涉及到质数和幂的性质。
详细描述
费马大定理指出，对于任何整数n > 2，不 存在三个完全不同的整数x、y和z，使得 x^n + y^n = z^n。尽管数学家们已经证 明了这个定理在n=3和n=4的情况下成立， 但n>4的情况仍然是一个未解之谜。
模数方程的解法
总结词
模数方程是数学中一类重要的方程，其解法包括扩展欧几里 得算法、费马小定理和欧拉定理等。
详细描述
扩展欧几里得算法是一种求解模数方程的常用方法，它可以 找到给定模数的一组解。费马小定理和欧拉定理也是求解模 数方程的重要工具，它们可以用于证明一些重要的数学结论 。
05
初等数论中的问题与猜想
整数的因数分解
因数分解是将一个整数表示为若干个 因数的乘积的过程。完全平方数的因 数分解具有特殊性，即可以表示为两 个相同正整数的乘积。
因数分解是解决整数相关问题的重要 手段，如求解一元二次方程、判断一 个数是否为质数等。
同余方程
• 同余方程是模运算下的等式，即两个或多个整数对某个正整数同余时满足的等式。同余方程在数论和密码学中有广泛的应 用，如求解线性同余方程、模简化等。
数论的基本概念
02
01
03
离散数学(精选优秀)PPT
二、命题的表示法
1、命题标识符：表示命题的符号称为命题标识符。在数理逻辑中，使 用大写字母，或带下标的大写字母，或用方括号括起的数字表示命题。
例：P： 今天下雨。 “今天下雨”是一个命题，P是命题标识符。
它形成于七十年代初期，是一门新兴的工具性学科。
离散数学的应用
◆关系型数据库的设计（关系代数） ◆表达式解析（树） ◆编译技术、程序设计语言（代数结构） ◆人工智能、自动推理、机器证明（数理逻辑） ◆网络路由算法（图论） ◆游戏中的人工智能算法（图论、树、博弈论） ◆专家系统（集合论、数理逻辑—知识和推理规则的计算机表达） ◆软件工程—团队开发—时间和分工的优化（图论—网络、划分） ◆(各种)算法的构造、正确性的证明和效率的评估（离散数学的
第一章 命题逻辑
目标语言：就是表达判断的一些语言的汇集。 目标语言和一些符号公式构成了数理逻辑的形式 符号体系。
1-1 命题及其表示法
一、命题
1、定义 能表达判断的陈述句，称作命题（Proposition）。 例：判断下列语句是否为命题: (陈1)述地句球：外述存说在一智件事慧情生的物句。子，句末用句号。 (祈2)使1＋句1：=要10求。或者希望别人做什么事或者不做什么事时用的 (句3)子今，天句下末雨用。句号或感叹号。 (疑4)问你句今：年提暑出假问去题的旅句行子吗，？句（末疑用问问号句。） (感5)叹克句里：特带岛有人浓说厚感：情“的克句里子特，岛句末人用是感说叹谎号话。者”。 悖（：相悖反论。）悖论：自相矛盾的陈述。
各分支）
教材
左孝凌，李为鉴，刘永才编著．离散数学．上海： 上海科学技术文献出版社,1982 主要参考教材: 孙吉贵，杨凤杰，欧阳丹彤，李占山编著．离散数 学．高等教育出版社，2002
离散数学的ppt课件
科学中的许多问题。
03
例如，利用图论中的最短路径算法和最小生成树算法
等，可以优化网络通信和数据存储等问题。
运筹学中的应用
01
运筹学是一门应用数学学科， 主要研究如何在有限资源下做 出最优决策，离散数学在运筹 学中有着广泛的应用。
02
利用离散数学中的线性规划、 整数规划和非线性规划等理论 ，可以解决运筹学中的许多问 题。
并集是将两个集合中的所有元素合 并在一起，形成一个新的集合。
详细描述
例如，{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的并集是 {1, 2, 3, 4}。
总结词
补集是取一个集合中除了某个子集 以外的所有元素组成的集合。
详细描述
例如，对于集合{1, 2, 3}，{1, 2}的 补集是{3}。
集合的基数
总结词
）的数学分支。
离散数学的学科特点
03
离散数学主要研究对象的结构、性质和关系，强调推
理和证明的方法。
离散数学的应用领域
计算机科学
01
离散数学是计重要的工具和方法。
通信工程
02
离散数学在通信工程中广泛应用于编码理论、密码学、信道容
量估计等领域。
集合的基数是指集合中元素的数量。
详细描述
例如，集合{1, 2, 3}的基数是3，即它包含三个元素。
03 图论
图的基本概念
顶点
图中的点称为顶点或节点。
边
连接两个顶点的线段称为边。
无向图
边没有方向，即连接两个顶点的线段可以是双向 的。
有向图
边有方向，即连接两个顶点的线段只能是从一个顶 点指向另一个顶点。
研究模态算子（如necessity、possibility）的语义和语法。
离散数学初等数论PPT课件
10!=28×34×52×7, 故10!的二进制表示中从最低位数起有8个连续的0.
8
素数的分布
定理11.2 有无穷多个素数. 证 用反证法. 假设只有有穷多个素数, 设为p1,p2,…,pn, 令m=p1p2…pn+1. 显然, pi m, 1≤i≤n. 因此, 要么m本身 是素数，要么存在大于pn的素数整除m, 矛盾.
成立.
12
实例
例3 判断157和161是否是素数. 解 157 , 161都小于13, 小于13的素数有: 2, 3, 5, 7, 11. 检查结果如下:
2 157, 3 157, 5 157, 7 157, 11 157 结论: 157是素数.
2 161, 3 161, 5 161, 7|161（161=7×23） 结论：161是合数.
14
11.2 最大公约数与最小公倍数
• 公约数、最大公约数 • 公倍数、最小公倍数 • 辗转相除法 • 互素
15
最大公约数与最小公倍数
d是a与b的公因子(公约数): d |a且d |b m是a与b的公倍数: a | m且b| m 定义11.3 设a和b是两个不全为0的整数, 称a与b的公因子中 最大的为a与b的最大公因子, 或最大公约数, 记作gcd(a,b). 设a和b是两个非零整数, 称a与b最小的正公倍数为a与b的 最小公倍数, 记作lcm(a,b). 例如 gcd(12,18)=6, lcm(12,18)=36. 对任意的正整数a, gcd(0,a)=a, gcd(1,a)=1, lcm(1,a)=a.
1
2
k
p p p lcm(a,b)=
mr 1 a ,s1)xm ( r 2 a ,s2)x( mr k a ,sk)x(
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素数的分布
定理11.2 有无穷多个素数. 证 用反证法. 假设只有有穷多个素数, 设为p1,p2,…,pn, 令m=p1p2…pn+1. 显然, pi m, 1≤i≤n. 因此, 要么m本身 是素数，要么存在大于pn的素数整除m, 矛盾.
成立.
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实例
例3 判断157和161是否是素数. 解 157 , 161都小于13, 小于13的素数有: 2, 3, 5, 7, 11. 检查结果如下:
2 157, 3 157, 5 157, 7 157, 11 157 结论: 157是素数.
2 161, 3 161, 5 161, 7|161（161=7×23） 结论：161是合数.
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11.2 最大公约数与最小公倍数
• 公约数、最大公约数 • 公倍数、最小公倍数 • 辗转相除法 • 互素
15
最大公约数与最小公倍数
d是a与b的公因子(公约数): d |a且d |b m是a与b的公倍数: a | m且b| m 定义11.3 设a和b是两个不全为0的整数, 称a与b的公因子中 最大的为a与b的最大公因子, 或最大公约数, 记作gcd(a,b). 设a和b是两个非零整数, 称a与b最小的正公倍数为a与b的 最小公倍数, 记作lcm(a,b). 例如 gcd(12,18)=6, lcm(12,18)=36. 对任意的正整数a, gcd(0,a)=a, gcd(1,a)=1, lcm(1,a)=a.
1
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k
p p p lcm(a,b)=
mr 1 a ,s1)xm ( r 2 a ,s2)x( mr k a ,sk)x(
《离散数学讲义》课件
离散概率分布的定义
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法，用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究，最初是为了解决当时的一些实际 问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树、逻辑等）的数学分支，它不 涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用 于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法，用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究，最初是为了解决当时的一些实际 问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树、逻辑等）的数学分支，它不 涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用 于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
《离散数学课件图论》PPT课件
，m3n6为真. 否则G中含圈，每个面至少由l（l3）条边围成
，又
l 1 2
l 2 l 2
在l=3达到最大值，由定理17.11可知m3n6.
定理17.13 设G为n（n3）阶m条边的极大平面图，则m=3n6. 证明：由定理17.4, 欧拉公式及定理17.7所证。
定理17.14 设G 为简单平面图，则 (G)5. 证明： 阶数 n6，结论为真。 当n7 时，用反证法。否则会 推出2m6n m3n，这与定理17.12矛盾.
如上面的例子。
18
精选PPT
平面图与对偶图之间的关系
定理17.17 设G*是连通平面图G的对偶图，n*, m*, r*和n, m, r分别为G*和G的顶点数、边数和面数，则 (1) n*= r (2) m*=m (3) r*=n (4) 设G*的顶点v*i位于G的面Ri中，则d(v*i)=deg(Ri) 证明： (1)、(2)平凡 (3) 应用欧拉公式 (4) 的证明中注意，桥只能在某个面的边界中，非桥边在两
20
精选PPT
自对偶图
定义：设G*是平面图G的对偶图，若G*G，则称G为自 对偶图. 概念： n阶轮图（ Wn ）、奇阶轮图、偶阶轮图 轮图都是自对偶图。 画出W6和W7的对偶图，并说明它们都是自对偶图。
21
精选PPT
第十七章 小结
❖ 主要内容 ▪ 平面图的基本概念 ▪ 欧拉公式 ▪ 平面图的判断 ▪ 平面图的对偶图
22
精选PPT
练习1
1. 设G是连通的简单的平面图，面数r<12，(G)3. (1) 证明G中存在次数4的面 (2) 举例说明当r=12时，(1) 中结论不真.
解 设G的阶数、边数、面数分别为n, m, r.
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❖ d是a与b的公因子(公约数): d |a且d |b ❖ m是a与b的公倍数: a | m且b | m 定义3：设a和b是两个不全为0的整数, 称a与b的公因子中 最大的为a与b的最大公因子, 或最大公约数, 记作gcd(a,b). 设a和b是两个非零整数, 称a与b最小的正公倍数为a与b的 最小公倍数, 记作lcm(a,b).
2ab1=(2a1)(2a(b1)+2a(b2)+…+2a+1). 梅森数可能是素数, 也可能是合数: 221=3, 231=7, 251=31, 271=127都是素数, 而2111=2047=23×89是合数. 到2002年找到的最大梅森素数是2134669171, 有4百万位.
19.2 最大公约数和最小公倍数
例3 gcd(12,18)=6, lcm(12,18)=36. 对任意的正整数a, gcd(0,a)=a, gcd(1,a)=1, lcm(1,a)=a.
19.2 最大公约数和最小公倍数
定理4： (1) 若a | m, b | m, 则 lcm(a,b)| m. (2) 若d |a, d |b, 则d | gcd(a,b). 证 (1) 记M=lcm(a,b), 设m=qM+r, 0≤r<M.
由a | m, a | M, 及r=mqM, 可推出a | r. 同理, 有b | r. 即, r是a
和b的公倍数. 根据最小公倍数的定义, 必有r=0. 得证M | m. (2) 记D=gcd(a,b), 令m=lcm(d,D). 若m=D, 自然有d |D, 结 论成立. 否则m>D, 注意到d |a, D|a, 由(1), 得m |a. 同理, m |b. 即, m是a和b的公因子, 与D是a和b的最大公约数矛盾.
算术基本定理：每个正整数都可以唯一地表示为素数的乘 积，其中素数因子从小到大依次出现，即 ap1r1p2r2..p.krk
例1：100, 641, 999的素因子分解为： 100=2×2×5×5=22×52 641=641 999=3×3×3×37=33×37
19.1 素数
定理 2：如果n是合数，那么n必有一个小于或等于 n 的素
❖ 试跟踪求gcd(36,15)时， 变量值变化：
因子。
证：如果n是合数，它有一个因子a，使得1＜ a ＜ n， 于是 nab，这样 a n或b n，这个因子或是素
数，或是有素因子。无论哪种情况，n都有小于或等于
n 的素因子
例2：证明101是素数。 证明思路：101不含有不超过 101 的素因子。
19.1 素数
定理 3：有无穷多个素数。
梅森数(Marin Mersenne): 2p1, 其中p为素数。 当n是合数时, 2n1一定是合数,
欧几里得算法-辗转相除法
除法算法: a=qb+r, 0≤r <|b|, 记余数r=a mod b 例如, 20 mod 6=2, 13 mod 4=3, 10 mod 2=0
定理5： 设a=qb+r, 其中a, b, q, r 都是整数, 则 gcd(a,b) = gcd(b,r).
证明：只需证a与b和b与r有相同的公因子. 设d是a与b的公因
子, 即d |a且d |b. 注意到, r=aqb, 由性质可得d |r. 从而,
d |b且d |r, 即d也是b与r的公因子. 反之一样, 设d是b与r的公 因子, 即d |b且d |r. 注意到, a=qb+r, 故有d |a. 从而, d |a且d |b, 即d也是a与b的公因子.
欧几里得算法-辗转相除法
19.2 最大公约数和最小公倍数
利用整数的素因子分解, 求最大公约数和最小公倍数. 设
ap1 r1p2 r2 pk rk, bp1 s1p2 s2 pk sk, 其中p1,p2,…,pk是不同的素数, r1,r2,…,rk,s1,s2,…,sk是非负
整数. 则
gcd(a,b)=
p p p , mr 1 ,is 1 n ) ( mr 2 i,s2 n ) ( mr k i,sk n )(
性质：令a，b，c为整数，有如下结论： 1）若a |b且a |c, 则 x, y, 有a | xb+yc. 2）若a |b且b |c, 则a |c. 3）若 a |b，那么对于所有整数 m≠0都有 a | mb.
19.1 素数
2. 素数 定义2：大于 1 且只能被 1 和自身整除的正整数称为素数
（质数）。大于 1 又不是素数的正整数称为合数。
此处加标题
离散数学课件初等数 论
眼镜小生制作
19.1 素数
1. 整除 定义1：设a, b是两个整数，且a≠0， 若存在整数c 使 b=ac，则称b 被a 整除，或 a 整除b，记作 a|b. 此时, 又称 b 是a 的倍数，a是b 的因子. 把 a不整除 b 记作 a b.
-3d -2d -d 0 d 2d 3d
❖ 最大公因数的求法：辗转相除法
▪ 例5：求gcd(15,36)
gcd(54,30)
36=15 2+6
54=30+24
15=6 2+3
30=24+6
6=3 2+0
24=4 6+0
因此，gcd(15,36)=3
gcd(54,30)=6
▪ 原理： gcd(a,b) = gcd(b,r)
▪ 这里，gcd(36,15) = gcd(6,15) = gcd(6,3) = 3
欧几里得算法-辗转相除法
C语言代码：
int gcd(int x，int y) { int g;
if (x < 0) x = -x; if (y < 0) y = -y; if (x+y = = 0)
printf("Error!\n"); g = y； while(x>0){
g = x； x = y%x; y = g; } return g; }
1
2
k
p p p lcm(a,b)=
mr 1 a ,s1)xm ( r 2 a ,s2)x( mr k a ,sk)x(
1
2
k
例4 求150和220的最大公约数和最小公倍数. 解 150=2×3×52, 168=23×3×7.
gcd(150,168)=21×31×50×70=6, lcm(150,168)=23×31×52×71=4200.
2ab1=(2a1)(2a(b1)+2a(b2)+…+2a+1). 梅森数可能是素数, 也可能是合数: 221=3, 231=7, 251=31, 271=127都是素数, 而2111=2047=23×89是合数. 到2002年找到的最大梅森素数是2134669171, 有4百万位.
19.2 最大公约数和最小公倍数
例3 gcd(12,18)=6, lcm(12,18)=36. 对任意的正整数a, gcd(0,a)=a, gcd(1,a)=1, lcm(1,a)=a.
19.2 最大公约数和最小公倍数
定理4： (1) 若a | m, b | m, 则 lcm(a,b)| m. (2) 若d |a, d |b, 则d | gcd(a,b). 证 (1) 记M=lcm(a,b), 设m=qM+r, 0≤r<M.
由a | m, a | M, 及r=mqM, 可推出a | r. 同理, 有b | r. 即, r是a
和b的公倍数. 根据最小公倍数的定义, 必有r=0. 得证M | m. (2) 记D=gcd(a,b), 令m=lcm(d,D). 若m=D, 自然有d |D, 结 论成立. 否则m>D, 注意到d |a, D|a, 由(1), 得m |a. 同理, m |b. 即, m是a和b的公因子, 与D是a和b的最大公约数矛盾.
算术基本定理：每个正整数都可以唯一地表示为素数的乘 积，其中素数因子从小到大依次出现，即 ap1r1p2r2..p.krk
例1：100, 641, 999的素因子分解为： 100=2×2×5×5=22×52 641=641 999=3×3×3×37=33×37
19.1 素数
定理 2：如果n是合数，那么n必有一个小于或等于 n 的素
❖ 试跟踪求gcd(36,15)时， 变量值变化：
因子。
证：如果n是合数，它有一个因子a，使得1＜ a ＜ n， 于是 nab，这样 a n或b n，这个因子或是素
数，或是有素因子。无论哪种情况，n都有小于或等于
n 的素因子
例2：证明101是素数。 证明思路：101不含有不超过 101 的素因子。
19.1 素数
定理 3：有无穷多个素数。
梅森数(Marin Mersenne): 2p1, 其中p为素数。 当n是合数时, 2n1一定是合数,
欧几里得算法-辗转相除法
除法算法: a=qb+r, 0≤r <|b|, 记余数r=a mod b 例如, 20 mod 6=2, 13 mod 4=3, 10 mod 2=0
定理5： 设a=qb+r, 其中a, b, q, r 都是整数, 则 gcd(a,b) = gcd(b,r).
证明：只需证a与b和b与r有相同的公因子. 设d是a与b的公因
子, 即d |a且d |b. 注意到, r=aqb, 由性质可得d |r. 从而,
d |b且d |r, 即d也是b与r的公因子. 反之一样, 设d是b与r的公 因子, 即d |b且d |r. 注意到, a=qb+r, 故有d |a. 从而, d |a且d |b, 即d也是a与b的公因子.
欧几里得算法-辗转相除法
19.2 最大公约数和最小公倍数
利用整数的素因子分解, 求最大公约数和最小公倍数. 设
ap1 r1p2 r2 pk rk, bp1 s1p2 s2 pk sk, 其中p1,p2,…,pk是不同的素数, r1,r2,…,rk,s1,s2,…,sk是非负
整数. 则
gcd(a,b)=
p p p , mr 1 ,is 1 n ) ( mr 2 i,s2 n ) ( mr k i,sk n )(
性质：令a，b，c为整数，有如下结论： 1）若a |b且a |c, 则 x, y, 有a | xb+yc. 2）若a |b且b |c, 则a |c. 3）若 a |b，那么对于所有整数 m≠0都有 a | mb.
19.1 素数
2. 素数 定义2：大于 1 且只能被 1 和自身整除的正整数称为素数
（质数）。大于 1 又不是素数的正整数称为合数。
此处加标题
离散数学课件初等数 论
眼镜小生制作
19.1 素数
1. 整除 定义1：设a, b是两个整数，且a≠0， 若存在整数c 使 b=ac，则称b 被a 整除，或 a 整除b，记作 a|b. 此时, 又称 b 是a 的倍数，a是b 的因子. 把 a不整除 b 记作 a b.
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❖ 最大公因数的求法：辗转相除法
▪ 例5：求gcd(15,36)
gcd(54,30)
36=15 2+6
54=30+24
15=6 2+3
30=24+6
6=3 2+0
24=4 6+0
因此，gcd(15,36)=3
gcd(54,30)=6
▪ 原理： gcd(a,b) = gcd(b,r)
▪ 这里，gcd(36,15) = gcd(6,15) = gcd(6,3) = 3
欧几里得算法-辗转相除法
C语言代码：
int gcd(int x，int y) { int g;
if (x < 0) x = -x; if (y < 0) y = -y; if (x+y = = 0)
printf("Error!\n"); g = y； while(x>0){
g = x； x = y%x; y = g; } return g; }
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p p p lcm(a,b)=
mr 1 a ,s1)xm ( r 2 a ,s2)x( mr k a ,sk)x(
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例4 求150和220的最大公约数和最小公倍数. 解 150=2×3×52, 168=23×3×7.
gcd(150,168)=21×31×50×70=6, lcm(150,168)=23×31×52×71=4200.