初中数学因式分解常见题型例析
因式分解经典例题
因式分解经典例题一、提取公因式法例1：分解因式ax + ay。
解析：公因式为a，所以ax+ay = a(x + y)。
例2：分解因式3x^2-6x。
解析：公因式为3x，3x^2-6x=3x(x - 2)。
例3：分解因式5a^2b - 10ab^2。
解析：公因式为5ab，5a^2b-10ab^2=5ab(a - 2b)。
二、运用平方差公式a^2-b^2=(a + b)(a - b)分解因式例4：分解因式x^2-9。
解析：x^2-9=x^2-3^2=(x + 3)(x-3)。
例5：分解因式16y^2-25。
解析：16y^2-25=(4y)^2-5^2=(4y + 5)(4y-5)。
例6：分解因式(x + p)^2-(x + q)^2。
解析：根据平方差公式a=(x + p)，b=(x+q)，则(x + p)^2-(x + q)^2=[(x + p)+(x + q)][(x + p)-(x + q)]=(2x + p + q)(p - q)。
三、运用完全平方公式a^2±2ab + b^2=(a± b)^2分解因式例7：分解因式x^2+6x + 9。
解析：x^2+6x + 9=x^2+2×3x+3^2=(x + 3)^2。
例8：分解因式4y^2-20y+25。
解析：4y^2-20y + 25=(2y)^2-2×5×2y+5^2=(2y - 5)^2。
例9：分解因式x^2-4xy+4y^2。
解析：x^2-4xy + 4y^2=x^2-2×2xy+(2y)^2=(x - 2y)^2。
四、综合运用多种方法分解因式例10：分解因式x^3-2x^2+x。
解析：先提取公因式x，得到x(x^2-2x + 1)，而x^2-2x + 1=(x - 1)^2，所以原式=x(x - 1)^2。
例11：分解因式2x^2-8。
解析：先提取公因式2，得到2(x^2-4)，再利用平方差公式x^2-4=(x + 2)(x-2)，所以原式=2(x + 2)(x - 2)。
初中数学因式分解的常用方法(精华例题详解)
练习 9、分解因式：（1）15x2 + 7xy − 4y 2
（2） a2 x2 − 6ax + 8
综合练习 10、（1） 8x6 − 7x3 −1 （3） (x + y)2 − 3(x + y) −10
（2）12x2 −11xy −15y2 （4） (a + b)2 − 4a − 4b + 3
（5） x2 y 2 − 5x2 y − 6x2
分析：将 b 看成常数，把原多项式看成关于 a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
1
8b
1
-16b
8b+(-16b)= -8b
解： a2 − 8ab −128b2 = a2 + [8b + (−16b)]a + 8b (−16b)
= (a + 8b)(a −16b)
练习 8、分解因式(1) x2 − 3xy + 2y 2 (2) m2 − 6mn + 8n2 (3) a2 − ab − 6b2
-1+2=1
= −[10y2 + (3x − 9) y − (x −1)(x + 2)]
2
(x-1)
= −[2y + (x −1)][5y − (x + 2)]
5
-(x+2)
= − (2y + x −1)(5y − x − 2)
5(x-1)-2(x+2)=(3x-9)
练习 11、分解因式(1) x2 − y2 + 4x + 6y − 5 (2) x2 + xy − 2y2 − x + 7 y − 6
特点：（1）二次项系数是 1；
八年级因式分解难题
八年级因式分解难题一、基础概念类。
1. 分解因式：x^2-4y^2解析：这是一个平方差公式的应用，a^2-b^2=(a + b)(a b)，在这里a=x，b =2y，所以x^2-4y^2=(x+2y)(x 2y)。
2. 分解因式：9x^2-16解析：同样是平方差公式，9x^2=(3x)^2，16 = 4^2，所以9x^2-16=(3x + 4)(3x-4)。
二、提取公因式与公式结合类。
3. 分解因式：2x^3-8x解析：首先提取公因式2x，得到2x(x^2-4)，然后x^2-4可以继续用平方差公式分解为(x + 2)(x-2)，所以2x^3-8x=2x(x + 2)(x 2)。
4. 分解因式：3x^2y-6xy + 3y解析：先提取公因式3y，得到3y(x^2-2x + 1)，而x^2-2x + 1=(x 1)^2，所以3x^2y-6xy + 3y=3y(x 1)^2。
三、完全平方公式类。
5. 分解因式：x^2+6x + 9解析：这是完全平方公式(a + b)^2=a^2+2ab+b^2的形式，在这里a=x，b = 3，所以x^2+6x + 9=(x + 3)^2。
6. 分解因式：4x^2-20x+25解析：根据完全平方公式(a b)^2=a^2-2ab + b^2，这里a = 2x，b=5，所以4x^2-20x + 25=(2x 5)^2。
四、较复杂的综合类。
7. 分解因式：x^4-81解析：可以先将x^4-81看作(x^2)^2-9^2，根据平方差公式得到(x^2+9)(x^2-9)，而x^2-9还可以继续分解为(x + 3)(x-3)，所以x^4-81=(x^2+9)(x + 3)(x 3)。
8. 分解因式：x^3+2x^2-9x-18解析：分组分解，将式子分为(x^3+2x^2)-(9x + 18)，分别提取公因式得到x^2(x + 2)-9(x + 2)，再提取公因式(x + 2)得到(x + 2)(x^2-9)，最后x^2-9=(x + 3)(x-3)，所以x^3+2x^2-9x-18=(x + 2)(x + 3)(x 3)。
因式分解常见题型例析
《因式分解》常见题型例析因式分解是中学数学的重要内容之一，是学习分式、根式、和一元二次方程的重要基础，是解决许多数学问题的重要“工具”，也是各级考试的一个热点，现将关于这部分知识的常见题型介绍如下。
题型一：分解因式的意义例1 下列从左到右的变形是分解因式的是（ ）（A ）(x －4)(x+4)=x 2－16 (B)x 2－y 2+2=(x+y)(x －y)+2(C)2ab+2ac=2a(b+c) (D)(x －1)(x －2)=(x －2)(x －1).练习:下面由左边到右边的变形中,是分解因式的是（ ）.(A)a(x －y)=ax －ay (B)x 2－2x+4=(x －1)2+3(C)8x 2－4x=4x·2x (D)y 2－y+41=(y －21)2 题型二、直接提公因式分解例2 分解因式2a(b －c)－3c(b －c).练习:分解因式: (2x －3y)(a+b)+(a+b)(3x －2y).题型三、直接利用公式因式分解例3、分解因式:a 2－1=_______. 练习：分解因式：224x y -=________. 题型四、提公因式后再用公式例4、把a 3－ab 2分解因式的正确结果是（ ）A 、(a+ab)(a －ab)B 、a (a 2－b 2)C 、a(a+b)(a －b)D 、a(a －b)2练习∶分解因式：244x y xy y -+=_________.题型五、利用因式分解进行数字计算例5、计算：2－22－23－……－218－219+220,练习：算式22222222+++可化为（ ）A ．42B ．28C ．82D ．162题型六、利用因式分解求值例6、若非零实数a 、b 满足4a 2+b 2=4ab ，则b a=___________.练习：已知：x 2+4y 2－4x －4y+5=0,求：x －y 的值。
例7、已知：x+y=1,求222121y xy x ++的值。
二次三项式的因式分解(5种题型)-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(沪教版)(解析版)
二次三项式的因式分解【知识梳理】二次三项式的因式分解（1）形如()2ax bx c a b c ++，，都不为零的多项式称为二次三项式；（2）如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x , 那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =−−．,【考点剖析】 题型一：两根与二次三项式因式分解关系 例1．若方程24210y y −−=的两个根是1y =，2y =，则在实数范围内分解因式2421y y −−=____________．【答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+−4514514y y ． 【解析】如果一元二次方程20ax c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x，那么二次三项式2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =−−．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解． 【变式1】若二次三项式)0(2≠++a c bx ax 在实数范围内可分解因式为)221)(221(3−++−−x x ，则一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根为________________．【答案】2211+=x ，2122−=x ．【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x，那么二次三项式的分 解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =−−．【总结】本题主要考查二次三项式的因式分解与相对应的一元二次方程的根的关系．题型二：不能在实数范围内因式分解的二次三项式例2.下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（,,,,,,） A.2615x x +−；,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,B.,2373y y ++；,,,,,,,,, C.2224x x −−；,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,D.2245y y −+. 【答案】D ；【解析】解：A 、因为24146153610b ac −=+⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；B 、因为2449433130b ac −=−⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；C 、因为244424360b ac −=+⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；D 、因为2416425240b ac −=−⨯⨯=−< 故此二次三项式在实数范围内不能因式分解.故答案选D.【变式1】下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（,,,,,）A.1562−+x x ,,,,,B.3732++y y ,,,,,C.422−−x x ,,,,,D.22542y xy x +−【答案】D ；【解析】,解：A 、因为24146153610b ac −=+⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；B 、因为2449433130b ac −=−⨯⨯=，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；C 、因为24444200b ac −=+⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；D 、因为222241642524b ac y y y −=−⨯⨯=− 又因为二次三项式，故20,240y y ≠∴−<，故此二次三项式在实数范围内不能因式分解. 故答案选D.【变式2】下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（,,,,,,）A.2411x x +−；,,B.,2373y y ++;,,,,C.,224x x −−;,,,D.,22245x xy y −+.【答案】D ；【解析】解：A 、因为24144111770b ac −=+⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；B 、因为2449433130b ac −=−⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；C 、因为24444200b ac −=+⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；D 、因为222241642524b ac y y y −=−⨯⨯=− 又因为二次三项式，故20,240y y ≠∴−<，故此二次三项式在实数范围内不以因式分解. 故答案选D.【变式3】如果关于x 的二次三项式24x x m −+在实数范围内不能因式分解，那么m 的值可以是_________.（填出符合条件的一个值） 【答案】5；【解析】解：当241640b ac m −=−<即4m >时，关于x 的二次三项式24x x m −+在实数范围内不能因式分解，如m 取5等等.题型三：二次项系数为1的实数范围内二次三项式因式分解 例3.在实数范围内分解因式:241x x −−=______________【答案】(22x x −+−；【解析】解：原式=2445x x −+−=()222x −−=(22x x −−−.【变式1】在实数范围内分解因式：232x x −−＝,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.【答案】x x ⎛−− ⎝⎭⎝⎭； 【解析】解：因为方程2320x x −−=的两根为x =，故232x x −−=x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭. 【变式2】在实数范围内分解因式：243x x −−=,____________________．【答案】(22x x −−；【解析】解：解方程x2-x-3=0，得x=2±则：x2-4x-3=(22x x −−+.【变式3】在实数范围内分解因式： （1）224x x −−；（2）223x xy y −−.【答案】（1）(11x x −−,,,,（2）3322x y x y ⎛⎫⎛⎫−−− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）前两项先配成完全平方公式，然后根据平方差公式，可得答案；（2）先解方程2230x xy y −−=，然后分解因式即可． 【详解】（1）原式=（x2﹣2x+1）﹣5=（x ﹣1）22=（x ﹣1（x ﹣1；（2）∵2230x xy y −−=的解是x y =，∴原式=x y x y ⎛⎫⎛⎫− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题考查了因式分解，利用乘法公式和求根公式是解答本题的关键． 题型四：二次项系数不为1的实数范围内二次三项式因式分解 例4.二次三项式2x 2-8x+5在实数范围内因式分解为（,,,,）A.,B.,C.,2(x+)(x-)22D.,2(x-)(x-)22【答案】D ；【解析】解：令2x2-8x+5=0，解得：x1=，x2=，则2x2-8x+5=2(x x ．故选D ．【变式1】在实数范围内因式分解：222x x −−=__________________.【答案】2(x x ；【解析】解：2220x x −−=的解是1x =，214x =，所以222x x −−=2(x x【变式2】在实数范围内因式分解：2221x x −−=______.【答案】2⎛ ⎝⎭⎝⎭x x ；【解析】解：22122122x x x x ⎛⎫−−=−− ⎪⎝⎭=21111222442x x ⎛⎫−⋅+−− ⎪⎝⎭=213224x ⎡⎤⎛⎫−−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=221222x ⎡⎤⎫⎛⎫⎢⎥−−⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=11222x x ⎛−− ⎝⎭⎝⎭=2x x ⎛⎝⎭⎝⎭.【变式3】在实数范围内分解因式：2225x x −−=____．【答案】112()2222x x −−−+；【解析】解：2225x x −−=21112()42x x −+−=21112()22x −−=21112()24x ⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦11=2(22x x −−，故答案为：112()()2222x x −−−+．【变式4】分解因式：2235a ab b −−.【答案】3a a ⎛⎫⎛⎫− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭; 【解析】解：因为222=2543()370b b b ∆−⨯⨯−=≥，故方程22350a ab b −−=的两根为a ==，故22353a ab b a a ⎛⎫⎛⎫−−= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 题型五：实数范围内二次三项式因式分解的应用例5.如果二次三项式px 2+2x ﹣1在实数范围内可以因式分解，求p 的取值范围． 【答案】p≥﹣1且p≠0；【解析】解：∵二次三项式px2+2x ﹣1在实数范围内可以因式分解， ∴px2+2x ﹣1＝0有实数解， ∴△＝4+4p≥0，且p≠0， 解得：p≥﹣1且p≠0．【变式1】二次三项式2342x x k −+，当k 取何值时，（1）在实数范围内能分解； （2）不能分解；（3）能分解成一个完全平方式，这个完全平方式是什么？【答案】（1）32≤k ；（2）32>k ；（3）32=k ，完全平方式为2323⎪⎭⎫ ⎝⎛−x ． 【解析】（1）要使二次三项式2342x x k −+在实数范围内能分解，则方程23420x x k −+=要有实数根，则需要满足()021242≥⋅−−=∆k ，解得：32≤k ；（2）要使二次三项式2342x x k −+在实数范围内不能分解，则方程23420x x k −+=没有实数根，则需要满足()021242<⋅−−=∆k ，解得：32>k ；（3）要使二次三项式2342x x k −+在实数范围内能分解成一个完全平方式，则方程23420x x k −+=有两个相等实数根，则需要满足()021242=⋅−−=∆k ，解得：32=k ．此时，完全平方式为2323⎪⎭⎫ ⎝⎛−x ． 【总结】当一个二次三项不能在实数范围内分解因式时，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程在实数范围内无解，反之，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程有实数解． 【变式2】阅读题：分解因式：223x x −−. 解：原式22113x x =++−−,,,,,,,,()2214x x =++−,,,,,,,,()214x =+− ,,,,,,,,()()1212x x =+++− ,,,,,,,,()()31x x =+−.此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为配方法.此题为用配方法分解因式.请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题：在实数范围内分解因式：2441a a +−.【答案】(2121a a ++.【分析】先配方，再根据平方差公式分解即可． 【详解】()(224412122121a a a a a +−=+−=+++【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方的方法是解答本题的关键.,此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，，再减去一次项系数一半的平方，使整个式子的值不变，这种变形的方法称为“配方法”．,【过关检测】一、单选题1．（2022秋·上海浦东新·八年级统考期中）下列关于x 的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（ ）【答案】C【分析】利用完全平方公式把A 分解，利用十字乘法把B 分解，再分别令229=0,y y −+21=0,y −再计算根的判别式，从而可判断C ，D ，从而可得答案. 【详解】解：()22442,x x x −+=−故A 不符合题意；()()22352=32,x xy y x y x y −−+−故B 不符合题意；令229=0,y y −+则4419320,=−⨯⨯=−<,所以229y y −+在实数范围内不能分解，故C 符合题意；令21=0,y −则()2=4241160,b ac −=−⨯⨯−=>,y ∴=,12y y ∴==,21=,y y y ⎛∴− ⎝⎭⎝⎭故D 不符合题意； 故选：C【点睛】本题考查的是因式分解，一元二次方程的解法，根的判别式，掌握利用公式法解一元二次方程，进而分解因式是解题的关键.2．（2023·上海·八年级假期作业）下列关于x 的二次三项式中，一定能在实数范围内因式分解的是（ ） A ．21x x −+ B ．21x mx −+ C ．21x mx −− D ．22x xy y −+【答案】C【分析】根据一定能在实数范围内因式分解可知必须满足240b ac ∆=−≥，分别进行判断即可；【详解】21x x −+的241430b ac −=−=−<，故A 错误；21x mx −+的2244b ac m −=−，可能大于0，也可能小于0，故B 错误； 21x mx −−的22440b ac m −=+>，故C 正确；22x xy y −+的22224430b ac y y y −=−=−≤，故D 错误；故选C ．【点睛】本题主要考查了能在实数范围内分解因式的条件，根据题意判断出判别式的符号，认真计算，熟练掌握任何数的平方都是非负数是解题的关键．3．（2021秋·上海宝山·八年级校考期中）下列关于x 的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（ ） A ．x 2﹣3x +2 B ．2x 2﹣2x +1C ．2x 2﹣xy ﹣y 2D ．x 2+3xy +y 2【答案】B【分析】利用十字乘法把选项A ，C 分解因式，可判断A ，C ，利用一元二次方程根的判别式计算的值，从而可判断B ，D ，从而可得答案. 【详解】解：()()23212,x x x x -+=--Q ,故A 不符合题意；令22210,x x -+=,()2=242140,\--´´=-<V ,所以2221x x −+在实数范围内不能够因式分解，故B 符合题意；()()2222,x xy y x y x y --=+-Q ,故C 不符合题意；令2230,x xy y ++=,()22234150,y y y \=-´´=³V ,所以223x xy y ++在实数范围内能够因式分解，故D 不符合题意；故选B【点睛】本题考查的是利用十字乘法分解因式，一元二次方程的根的判别式的应用，掌握“利用一元二次方程根的判别式判断二次三项式在实数范围内能否分解因式”是解本题的关键.【答案】C【分析】从题中可以看出多项式非一般方法可以解出，可以将式子变成关于x 的一元二次方程进行求解，之后再代入因式分解的形式中即可．【详解】解：令22230x xy y −−=，解得1x y =，2x y =，所以22232()()x xy y x y x y −−=，故选：C ．【点睛】本题主要考查的是利用特殊方法进行因式分解，掌握一元二次方程的求解方法是解题的关键． 5．（2022秋·上海嘉定·八年级统考期中）在实数范围内不能分解因式的是（ ）【答案】C【分析】二次三项式可分解因式的前提是方程有实数根，根据方程根的判别式24b ac ∆=−与0的大小关系判断方程是否有实数根，即是否可分解因式． 【详解】A 、()()24421240∆=−−⨯⨯−=>，B 、(()2416360∆=−−⨯⨯−=>，C 、()2245112160∆=−−⨯⨯=−<，D 、()()22442360∆=−−⨯⨯−=>，只有C 选项∆小于0,，即C 选项不能分解因式，故选：C ．【点睛】本题考查了二次三项式是否可因式分解，熟练运用根的判别式是解题的关键．【答案】B【分析】二次三项式能不能在实数范围内分解因式，关键是看判别式的范围．0∆≥，能分解因式；Δ0<，不能分解因式．【详解】解：A ：24b ac ∆=−，()21413=−−⨯⨯，112=−,，110=−<．23x x −+不能在实数范围内分解因式．故A 错．B ：24b ac ∆=−()21412m ⎛⎫=−−⨯⨯− ⎪⎝⎭220m =+＞． 212x mx −−能在实数范围内分解因式．故B 正确．C ：24b ac ∆=−，()2243−−=,，40−，223x −+不能在实数范围内分解因式．故C 错．D ：24b ac ∆=−，()()21412m =−−⨯⨯−，18m =+，m 的值不定，18m +的符号不确定，故不能判断22x x m −−能否在实数范围内分解因式．故D 不一定．故答案为：B ．【点睛】本题考查是在实数范围内分解因式，解题的关键是判别式的应用．二、填空题7．（2022秋·上海·八年级上海市民办立达中学校考阶段练习）在实数范围内因式分解：2331x x +−=__________．【答案】3x x ⎛ ⎭⎝⎝⎭ 【分析】求得方程23310x x +−=的两个根，即可求解．【详解】解：23310x x +−=3a =，3b =，1c =−，()249431210b ac ∆=−=−⨯⨯−=>，x =，136x −=，236x −=23333666633133x x x x x x ⎛⎛+−=−=+ −+− ⎝⎭⎝−+⎝⎭⎭⎝⎭，故答案为：3x x ⎛ ⎭⎝⎝⎭ 【点睛】此题考查了因式分解，涉及了公式法求解一元二次方程，解题的关键是正确求得一元二次方程的两个根．8．（2022秋·上海松江·八年级校考期中）在实数范围内因式分解：223105x xy y ++=________．【答案】)【分析】先把原式变形为()222522x xy y x +−+，可得到()2225x y x +−，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解：223105x xy y ++22251205x xy y x +−=+()222252x xy y x +−=+()2252x y x +−=))22x y ⎤⎦−+=)=．故答案为：)【点睛】本题考查了实数范围内分解因式：一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．通过补项配成完全平方公式是解决问题的关键．9．（2022秋·上海浦东新·八年级统考期中）在实数范围内分解因式：233x x−−=_____．【答案】322x x⎛−−⎝⎭⎝⎭【分析】令2330x x−−=，解得1x=，2x，把233x x−−写成因式分解的形式即可．【详解】解：令2330x x−−=，则1,3,3a b c==−=−，∵()()224341321b ac−=−−⨯⨯−=，∴x=，即1x=，2x=，则233xx x x⎛−−⎛⎝⎝=⎭⎭．故答案为：322x x⎛−−⎝⎭⎝⎭．【点睛】此题考考查了实数范围内的因式分解，正确求解一元二次方程是解题的关键．10．（2022秋·上海黄浦·八年级上海市黄浦大同初级中学校考期中）在实数范围内分解因式：231−−=xx_________________．【答案】3x x⎛⎝⎭⎝⎭【分析】先解方程2310x x−−=，求得方程的两个根，即可求解．【详解】解：2310x x−−=，∵3,,1,1a b c ==−=−，∴2411213b ac ∆=−=+=，∴x ，∴12x x =， ∴231−−=xx 3x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭．故答案为：3x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，因式分解，正确的求得方程的两根是解题的关键．11．（2022秋·上海杨浦·八年级校考期中）在实数范围内分解因式237x x −−=_______．【答案】x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭ 【分析】将237x x −−化成一个完全平方式与另一个数的差，再运用平方差公式分解因式．【详解】解：237x x −−22337324x x ⎛⎫=−+− ⎪⎝⎭ 233724x ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭3322x x ⎛=−− ⎝⎭⎝⎭x x ⎛= ⎝⎭⎝⎭．故答案为：x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题主要考查实数范围内分解因式，其中涉及完全平方公式和平方差公式的运用． 12．（2022秋·上海·八年级上海市进才实验中学校考期中）若二次三项式234ax x ++在实数范围内能因式分解，则a 的最大整数解为______．【答案】1−【分析】由二次三项式234ax x ++在实数范围内可以因式分解，可得2340ax x ++=是一元二次方程且在实数范围内有解，再根据一元二次方程根的判别式列不等式即可得到答案．【详解】解：∵,二次三项式234ax x ++在实数范围内可以因式分解，∴2340ax x ++=是一元二次方程且在实数范围内有解，∴0a ≠，23440a ∆=−⨯⨯≥，解得,916a ≤且0a ≠，所以a 的最大整数解为1−．故答案为：1−．【点睛】本题主要考查了二次三项式在实数范围内分解因式，一元二次方程根的判别式，掌握“二次三项式在实数范围内可以因式分解的含义”是解本题的关键． 13．（2022秋·上海黄浦·八年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）在实数范围内因式分解：223105x y xy ++=______．【答案】3xy xy ⎛ ⎝⎭⎝⎭ 【分析】令t xy =，则式子可化为3105t t ++，令231050t t ++=，求解即可．【详解】解：令t xy =，则式子可化为23105t t ++，令231050t t ++=，3a =，10b =，5c =t ==即1t=，2t=∴22310533x y xy xy xy xy xy ⎛⎛++== ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：3xy xy ⎛ ⎝⎭⎝⎭【点睛】此题考查了因式分解，涉及了一元二次方程的求解，解题的关键是正确求得一元二次方程的两个根． 14．（2022秋·上海宝山·八年级上海市泗塘中学校考期中）在实数范围内因式分解：22231xy xy −−=__________【答案】2xy xy ⎛ ⎝⎭⎝⎭ 【分析】令t xy =，则式子可化为2231t t −−，令22310t t −=−，求解即可．【详解】解：令t xy =，则式子可化为2231t t −−，令22310t t −=−则2a =，3b =−，1c =−t===则1t =，2t =222312x y xy xy xy ⎛−−=⎝⎭⎝⎭故答案为：xy xy ⎛ ⎝⎭⎝⎭ 【点睛】此题考查了因式分解，涉及了换元法和一元二次方程的求解，解题的关键是正确求得方程的根．15．（2022秋·上海长宁·八年级上海市第三女子初级中学校考期中）在实数范围内因式分解：2231x x +−=_____．【答案】2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭【分析】结合题意，当231022x x +−=时，通过求解一元二次方程，得 231022x x x x ⎛+−==⎝⎭⎝⎭，结合22312x x x x ⎛+−= ⎝⎭⎝⎭，即可得到 答案．【详解】解：2231231222x x x x ⎛⎫+−=+− ⎪⎝⎭， 当231022x x +−=时，得x ==，∴231022x x x x ⎛+−== ⎝⎭⎝⎭，∴23122x x x x ⎛+−= ⎝⎭⎝⎭，∴22312x x x x ⎛+−= ⎝⎭⎝⎭．故答案为：2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查了因式分解和一元二次方程的知识，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解．16．（2022秋·上海金山·八年级校联考期末）在实数范围内分解因式：224x x −−=__．【答案】(11x x −−【详解】解:原式,()2215x x =−+−22(1)x =−−(11x x =−−故答案为：(11x x −+−【点睛】本题考查了因式分解，利用完全平方公式得出平方差公式是解题关键．17．（2022秋·上海·八年级校考期中）在实数范围内分解因式：2243x x −−___________．【答案】2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭ 【分析】根据公式法解22430x x −−=，得出22x =，再根据因式分解即可得出答案．【详解】解：由22430x x −−=，得：22x =，原式232222x x x x ⎛⎛⎫=−−= ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为：2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查了实数范围内分解因式，准确熟练地进行计算是解题的关键．18．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）在实数范围内分解因式：2226x xy y −−=_____________.【答案】2x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 【分析】先提取2，再将括号里面的式子配方，最后用平方差公式因式分解即可．【详解】解：2226x xy y −−221232x xy y ⎛⎫ ⎪⎝=−⎭− 222291923424x xy y y y ⎛⎫− ⎪⎝=−−⎭+ 22311224x y y ⎡⎤⎛⎫−⎢=⎥ ⎪⎝⎭⎢−⎥⎣⎦22322x y y ⎫=−⎪⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎢⎥− ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦33222x y y x y y ⎛⎫⎛⎫=−− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2x y x y ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：2x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 【点睛】本题考查了利用公式法因式分解以及实数的概念，主要涉及完全平方公式以及平方差公式，熟记完全平方公式以及平方差公式是解题关键．三、解答题19．（2022秋·上海·八年级专题练习）在实数范围内分解因式：(1)422772x x +−；(2)4241036y y −−+．【答案】(1)())2833x +−+ (2)()(2229y y y −+【分析】（1）先利用十字相乘法分解，然后利用平方差公式法分解因式求解即可；（2）先提公因式，然后利用十字相乘法分解，然后利用平方差公式法分解因式求解即可．（1）原式()()22829x x =+−())2833x =+−+（2）原式为()4222518y y =−+−()()222292y y =−+−()(2=22+9y y y −−【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．20．（2021秋·上海·八年级校考阶段练习）在实数范围内因式分解：22327x xy y −−【答案】3x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】先提公因式，再进行配方，运用平方差公式进行因式分解．【详解】解：22327x xy y −−22273()33x xy y =−− 222221173()3993x xy y y y =−+−−221223[()]33x y y =−−113()()33x y y x y y =−−3()()x y x y =． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解决本题的关键．21．（2022秋·八年级统考期中）在实数范围内因式分解：22236x xy y −−+【答案】2x y x y ⎛⎫⎛⎫− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】求出关于x 的一元二次方程222360x xy y −−+=的解即可得出答案．【详解】解：解关于x 的一元二次方程222360x xy y −−+=， 得：x ==， ∴1x y=，2x y=，∴222362x xy y x y x y ⎛⎫⎛⎫−−+=− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题考查实数范围内分解因式，掌握“()200ax bx c a ++=≠的两个根分别为1x 、2x ，则()()212++=−−ax bx c a x x x x ”是正确解答的关键．22．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）在实数范围内因式分解：22323x xy y−−．【答案】3x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【详解】解：22323x xy y −−＝2223()3x xy y −−＝22221103()399x xy y y −+−221103()39x y y ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦11333x y y x y ⎛⎫⎛⎫=−− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭3x y x y ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握用配方法进行因式分解是解决本题的关键．23．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）在实数范围内因式分解：223105x y xy ++．【答案】xy xy ⎡⎡⎣⎣．【分析】把223x y 化为222252x y x y −，则利用完全平方公式得到原式()222512xy x y =+−，然后利用平方差公式分解因式．【详解】解：原式222251052x y xy x y =++− ()22225212x y xy x y =++−()222512xy x y =+−))11xy xy ⎤⎤=++⎦⎦xy xy ⎡⎡=⎣⎣故答案为：xy xy ⎡⎡⎣⎣ 【点睛】本题考查了实数范围内分解因式：一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．通过补项配成完全平方公式是解决问题的关键． 24．（2022秋·上海·八年级上海市黄浦大同初级中学校考阶段练习）在实数范围内因式分解：2222x xy y −++【答案】24x y x y ⎛⎫⎛⎫− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】列出关于x 的一元二次方程，求得方程的根，再根据方程的根写出因式分解的结果即可【详解】解：∵关于x 的一元二次方程为：22022x xy y ++=−，∵()22224422170b ac y y y ∆=−=−⨯−⨯=≥，∴x y ==， ∴1x y =，2x y=，∴22222x xy y x y x y ⎛⎫⎛⎫=− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝+⎭−+【点睛】本题考查了实数范围内因式分解，掌握“若一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个实数根为1x ，2x ，则()()212++=−−ax bx c a x x x x ”是解决问题的关键. 25．（2022秋·上海·八年级专题练习）在实数范围内因式分解（1）2442y y +−；（2）2235x xy y −−．【答案】（1）(2121y y ++；（2）3x x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）先拆项，再根据完全平方公式变形，最后根据平方差公式分解即可；（2）首先解方程得出方程的根进而分解因式．【详解】解：（1）2442y y +−=24413y y ++−=()2213y +−=(2121y y ++；（2）令2235x xy y −−=0， ()()22254337y y y =−−⨯⨯−=△，∴x =，∴x 或x =，∴2235x xy y −−=3x y x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．。
用因式分解法求解一元二次方程 (6种题型)-2023年新九年级数学常见题型(北师大版)(解析版)
用因式分解法求解一元二次方程 （6种题型）【知识梳理】一、用因式分解法解一元二次方程的步骤 ①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次式的积；③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 二、常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【考点剖析】题型1利用提公因式法例1.解关于x 的方程（因式分解方法）：（1）230x =； （2）7(3)39x x x −=−．【答案】（1）120x x ==， （2）12337x x ==，．【解析】（1）(30x x = （2）7(3)3(3)x x x −=−①0x = ②30x 7(3)3(3)0x x x −−−=∴120x x ==， (3)(73)0x x −−= ① 30x −= ②730x −=∴12337x x ==，． 【总结】本题考查了因式分解法解一元二次方程．【变式】（2023春·北京房山·八年级统考期末）方程224x x −=的解为：___________． 【答案】10x =，22x =−【分析】先移项，然后用分解因式法解方程即可．【详解】解：224x x −=，移项得：2240x x +=，分解因式得：()220x x +=，∴20x =或20x +=， 解得：10x =，22x =−． 故答案为：10x =，22x =−．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法：因式分解法，是基础知识比较简单，解题的关键是分解因式．题型2利用平方差公式例2.用因式分解法解下列方程：(2x+3)2-25＝0． 【答案与解析】(2x+3-5)(2x+3+5)＝0，∴ 2x-2＝0或2x+8＝0，∴ x 1＝1，x 2＝-4．【变式】解关于x 的一元二次方程：22(2016)(2015)1x x −+−=． 【答案】1220162015x x ==，．【解析】移项，得：22(2016)1(2015)x x −=−−，2(2016)[1(2015)][1(2015)]x x x −=+−−−， 2(2016)(2014)(2016)x x x −=−−， 2(2016)(2014)(2016)0x x x −−−−=， (2016)(40302)0x x −−=，解得：1220162015x x ==，．【总结】本题考查了一元二次方程的解法，当系数比较大时，要注意寻找规律进行变型求解．题型3利用完全平方公式例3.解下列一元二次方程：(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0； 【答案与解析】(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，(2x+1+2)2＝0． 即， ∴ ． 题型4十字相乘法因式分解例4.用合适的方法解下列关于x 的方程：（1）2(1(30x x −+=； （2）2(35)5(35)40x x +−++=；【答案】（1）121x x =， （2）124133x x =−=−，；【解析】（1）2(1(30x x −+=，[(11](0x x −=，解得：121x =−=， （2）2(35)5(35)40x x +−++=351354x x +−+−(351)(354)0x x +−+−=，解得：124133x x =−=−，；【总结】本题考查了一元二次方程的解法．题型5：选择合适的方法解一元二次方程例5.解关于x 的方程（合适的方法 ）： （1）2110464x x −+=； （2）22((1x +=+． 【答案】（1）1218x x ==；（2）1211x x ==−−， 【解析】（1）因式分解法 （2）直接开方法2(23)0x +=1232x x ==−21()08x −= (1x +=±+108x −= ①1x + ②(1x =−∴1218x x ==； ∴1211x x ==−−， 【总结】本题考查了特殊一元二次方程的解法，注意重根的写法！ 【变式1】解关于x 的方程（合适的方法）：（1）236350x x +−=； （2）2(41)10(14)240x x −+−−=． 【答案】（1）1235136x x ==−，； （2）1213144x x ==−，． 【解析】（1）因式分解法 （2）把41x −看作一个整体，因式分解 (3635)(1)0x x −+= 2(41)10(14)240x x −−−−= ①36350x −= ②10x += (4112)(412)0x x −−−+= ∴1235136x x ==−，； (413)(41)0x x −+= ① 4130x −= ②410x +=∴1213144x x ==−，． 【变式2】用适当的方法解下列方程：（1）22((1x =； （2）2x x =；（3）(3)(1)5x x +−=； （4）2()()0()b a x a c x c b a b −+−+−=≠．【答案】（1）1211x x =−=−； （2）1201x x ==，； （3）1242x x =−=，； （4）121c bx x b a−==−，．【解析】（1）(1x =± （2）20x x −=① 1x +=− ②(1x =− ， (1)0x x −=，解得：1211x x =−=−； 解得：1201x x ==，； （3）整理得：2235x x +−= （4）∵a b ≠原方程是一元二次方程，2280x x +−=， 2()()0()b a x a c x c b a b −+−+−=≠， (4)(2)0x x +−=，()()1b a xc b x −−−− 解得：1242x x =−=，； [()()](1)0b a x c b x −−−−=， 解得：121c bx x b a−==−，． 【总结】本题考查了一元二次方程的解法，注意方法的恰当选择．【答案】B【分析】根据题意进行分类讨论，当0x >时，可得2450x x −−=，求出x 的值即可；当0x <时，可得2250x x −−=求出x 的值即可．【详解】解：当0x >时，则0x x >>−， ∴{}2max ,35x x x x x −==−−，即2450x x −=，解得：125,1x x ==−（不符合题意，舍去），当0x <时，则0x x −>>，∴{}2max ,35x x x x x −=−=−−，即2250x x −−=，解得：11x =，21x =综上：x 的值是5或1 故选：B ．【点睛】本题主要考查了新定义下的运算和解一元二次方程，解题的关键是正确理解题目所给新定义的运算法则，熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤．【变式】在正数范围内定义运算“※”，其规则为2a b a b =+※，则方程()15x x +=※的解是（ ） A ．4x =或1x = B ．2x =C ．1x =或4x =−D ．1x =【答案】D【分析】根据规则可得：()215x x ++=，再解此方程，即可求解．【详解】解：根据题意得：()()2115x x x x +=++=※，得2340x x +−=，得()()410x x +−=，故40x +=或10x −=，解得14x =−（舍去），21x =， 所以，原方程的解为1x =， 故选：D ．【点睛】本题考查了新定义，一元二次方程的解法，理解题意，得到方程并求解是解决本题的关键．【答案】3【分析】先通过因式分解法解方程260x x −−=，求出12x x ，，根据新定义的运算规则，12x x ※的值为1x 和2x 中较大的那个数，由此可解．【详解】解：方程260x x −−=，分解因式得：()()320x x −+=，解得：3x =或=2x −， 则()12323x x =−=※※或()233−=※．故答案为：3．【点睛】本题考查新定义运算和解一元二次方程，读懂题意，理解新定义的运算规则是解题的关键． 题型7：因式分解综合应用(1)问梯子的长是多少？(2)若梯子的长度保持不变，梯子的顶端从A 处沿墙AC 下滑的距离与点B 向外移动的距离有可能相等吗？为什么？请你利用学过的知识解答上面的问题． 【答案】(1)2.69m (2)有可能，理由见解析【分析】（1）根据梯子长度不变进而得出等式求出即可；（2）设梯子顶端从A 处下滑y 米，点B 向外也移动y 米代入（1）中方程，求出y 的值符合题意． 【详解】（1）解：设A C '的长是m x ，根据题意得出：2222A C B C BC AC ''+=+，2222(0.41)1(0.2)x x ∴++=++，解得： 2.3x =，2.69m AB ∴≈，答：梯子的长是2.69m ； （2）有可能．设梯子顶端从A 处下滑y 米，点B 向外也移动y 米，则有22(1)(2.5)7.25y y ++−=，解得：1 1.5y =或20y =（舍）∴当梯子顶端从A 处下滑1.5米时，点B 向外也移动1.5米，即梯子顶端从A 处沿墙AC 下滑的距离与点B 向外移动的距离有可能相等．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出关于y 的一元二次方程是解答此题的关键． 【变式1】（2023·河北石家庄·统考二模）老师就式子39⨯+−，请同学们自己出问题并解答． (1)小磊的问题：若W 代表()22−，代表()31−，计算该式的值；(2)小敏的问题：若398⨯+−=□，W 代表某数的平方，代表该数与1的和的平方，求该数．【答案】(1)22 (2)0或1【分析】（1）根据代数式代入值进行计算即可； （2）设该数为a ，则()22391=8a a ⨯+−+，再进行求解即可．【详解】（1）解：由题意可得：原式()()233291=⨯−+−−()3491=⨯+−−22=；（2）解：设该数为a ，则()22391=8a a ⨯+−+，解得：10a =，21a =，∴求该数为0或1．【点睛】本题考查代数值求值、解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【变式2】（2023·河北石家庄·校考一模）发现：存在三个连续整数使得这三个连续整数的和等于这三个连续整数的积；验证：连续整数1−，2−，3−______（填“满足”或“不满足”）这种关系； 连续整数2，3，4，______（填“满足”或“不满足”）这种关系； 延伸：设中间整数为n（1）列式表示出三个连续整数的和、积，并分别化简； （2）再写出一组符合“发现”要求的连续整数（直接写结果）．【答案】验证：满足；不满足；（1）和为3n ，积为3n n −；（2）1−，0，1（答案不唯一）【分析】先分别计算123−−−和()()()123−⨯−⨯−的值，比较两组值是否相等；再分别计算234++和234⨯⨯的值，比较两组值是否相等即可；（1）设中间整数为n ，则三个连续整数可表示为：n 1−，n ，1n +，将n 1−，n ，1n +三数相加得其和；将n 1−，n ，1n +三数相乘得其积；（2）令（1）中的和等于积，解方程，求得n 的值，从而可得符合要求的连续整数．【详解】验证：解：1236−−−=−，()()()1236−⨯−⨯−=− ()()()123123∴−−−=−⨯−⨯−1∴−，2−，3−满足这种关系；2349++=，23424⨯⨯=，924≠， 234234∴++≠⨯⨯，∴2，3，4不满足这种关系．延伸：设中间整数为n ，则三个连续整数可表示为：n 1−，n ，1n +， （1）三个连续整数的和可表示为：()()113−+++=n n n n ，三个连续整数的积可表示为：()()311−⋅⋅+=−n n n n n ，（2）当33=−n n n 时，340−=n n ()()220∴+−=n n n解得：0n =，2n =−或2n =，∴符合要求的一组连续整数为：1−，0，1.【点睛】本题考查了探究某类数的规律性问题，其中涉及到了因式分解方法的运用，按照要求写出相关数或式子，按照规则计算，是解答本题的关键．【过关检测】一、单选题【答案】D【分析】变形后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：()()2131x x x −=−移项，得2(1)3(1)0x x x −−−=， 因式分解，得()()2310x x −−=，则10x −=或230x −=，解得2131,2x x ==．故选：D【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法是解题的关键． 2．（2023·全国·九年级假期作业）已知20x ax b +−=的解是11x =，24x =−，则方程()()223230x a x b +++−=的解是（ ）A ．11x =−，2 3.5x =−B ．11x =，2 3.5x =−C ．11x =−，2 3.5x =D ．11x =，2 3.5x =【答案】A【分析】由这两个方程结合整体思想，可得231x +=，234x +=−，解这两个一元一次方程即得方程()()223230x a x b +++−=的解．【详解】解：令23x y +=，∵方程20x ax b +−=的解是11x =，24x =−，∴方程20y ay b +−=的解是11y =，24y =−，∴对于方程方程()()223230x a x b +++−=而言，231x +=或234x +=−，解得=1x −或 3.5x =−，故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，整体思想解一元二次方程，关键是把方程()()22332340m x x +++−=中的23x +当作一个整体，则此方程与²340mx x +−=毫无二致．3．（2023·全国·九年级假期作业）方程29180x x −+=的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形是周长是( ) A ．12 B ．15 C ．12或15 D ．9或15或18【答案】B【分析】利用因式分解法求出方程的解得到x 的值，分类讨论腰与底，利用三角形边角关系判断即可确定出周长．【详解】解：29180x x −+=，(3)(6)0x x −−=，30x −=，60x −=，13x =，26x =，有两种情况：①三角形的三边为3，3，6，此时不符合三角形三边关系定理，②三角形的三边为3，6，6，此时符合三角形三边关系定理，此时三角形的周长为36615++=， 故选：B ．【点睛】此题考查了因式分解法解一元二次方程，等腰三角形的定义，熟练掌握分解因式的方法是解本题的关键．【答案】C【分析】利用换元法求解即可．【详解】解：设33x m y +=，∵()()3333130x y x y +−++=，∴()()130m m −+=，∴10m −=或30m +=， 解得1m =或3m =−，∴331x y +=或333x y +=−，故选C ．【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程，熟知换元法是解题的关键．【答案】D【分析】利用因式分解法求出两个根，再从中找出较小的根即可．【详解】解：提公因式，得：331()()0442x x x −−+−=， 整理得：35()(2)044x x −−=，∴123548x x ==，， ∵3548>，∴较小的根是58，故选：D ．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是通过提取公因式将等号左边的式子进行因式分解．【答案】B【分析】由2212m m +=可得42210m m −+=，则有21m =，即1m =，然后问题可求解．【详解】解：∵2212m m +=，∴42210m m −+=，解得：21m =，∵0m >， ∴1m =，∴2251254m m −+=−+=；故选B ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 7．（2023·全国·九年级假期作业）实数x 满足方程222()()20x x x x +++−=，则2x x +的值等于（ ） A ．2− B ．1 C ．2−或1 D ．2或1−【答案】B【分析】运用换元法解方程，再根据根的判别式判断根的情况，由此即可求解．【详解】解：根据题意，设2x x M +=，则原式变形得220M M +−=，因式分解法解一元二次方程得，22(1)(2)0M M M M +−=−+=， ∴12M =−，21M =，当2M =−时，22x x +=−，变形得，220x x ++=，根据判别式24141270b ac ∆=−=−⨯⨯=−<，无实根；当1M =时，21x x +=，变形得，210x x +−=，根据判别式24141(1)50b ac ∆=−=−⨯⨯−=>，方程有两个实根；∴21x x +=，故选：B ．【点睛】本题主要考查换元法解高次方程，掌握换元法解方程的方法，根的判别式判断根的情况等知识是解题的关键．8．（2023·全国·九年级假期作业）若关于x 的一元二次方程()230x k x k +++=的一个根是2−，则另一个根是( ) A ．1 B ．1−C ．3−D ．2【答案】A【分析】将2x =−代入方程得：()4230k k −++=，解得：2k =−，再把2k =−代入原方程求解．【详解】解：将2x =−代入方程得：()4230k k −++=，解得：2k =−，∴原方程为：220x x +−=，则()2(1)0x x +−=，解得：2x =−或1x =， ∴另一个根为1． 故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，因式分解法解一元二次方程，属于基础题．【答案】D【分析】设221x y x −=，则原方程可变形为15y y +=，再化为整式方程即可得出答案.【详解】解：设221x y x −=，则原方程可变形为15y y +=，即2510y y −+=；故选：D.【点睛】本题考查了利用换元法解方程，正确变形是关键，注意最后要化为整式方程.10．（2023春·重庆合川·九年级重庆市合川中学校考阶段练习）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了()()12345na b n +=⋯，，，，，的展开式的系数规律（其中，字母按a 的降幂排列，b 的升幂排列）．例如，在三角形中第2行的三个数1，2，1，恰好对应()2222a b a ab b +=++展开式中各项的系数；第三行的的4个数1，3，3，1，恰好对应()3322333a b a a b ab b +=+++展开式中各项的系数；第4行的五个数1，4，6，4，1；恰好对应着()4432234464a b a a b a b ab b +=++++展开式中各项的系数，有如下结论：①()3322333b a b a a ab b −−+=−； ②“杨辉三角”中第9行所有数之和1024； ③“杨辉三角”中第20行第3个数为190； ④32993993991+⨯+⨯+的结果是610；⑤当代数式4328243216a a a a ++++的值是1时，实数a 的值是1−或3−，上述结论中，正确的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【分析】把()3322333a b a a b ab b +=+++中b 换成b −后可得，()()()()3233233a b a a b a b b −−+−⋅+−=+，由此即可判断①；观察并计算可以发现第n 行所有数字之和为2n，由此即可判断②；观察并计算可以发现第n 行（n 大于2）第三个数诶为()12n n −，由此即可判断③；991a b ==，时，()326399139939999110=+++=+⨯⨯，即可判断④；当2b =时，()443228243216a a a a a +=++++，再由4328243216a a a a ++++的值为1，得到()421a +=，解方程即可判断⑤．【详解】解：∵()3322333a b a a b ab b +=+++，∴把上述式子中的b 换成b −后可得，()()()()3233233a b a a b a b b −−+−⋅+−=+，∴()3322333b a b a a ab b −−+=−，故①正确；第1行的所有数字之和为11122+==，第2行的所有数字之和为212124++==，第3行的所有数字之和为3133128+++==，第4行的所有数字之和为414641216++++==，……，∴可以得到规律第n 行所有数字之和为2n，∴“杨辉三角”中第9行所有数之和92512=，故②错误；第2行第三个数为()22112⨯−=， 第3行第三个数为()33132⨯−=，第4行第三个数为()44162⨯−=，第5行第三个数为()551102⨯−=，……，∴第n 行（n 大于2）第三个数为()12n n −， ∴“杨辉三角”中第20行第3个数为()202011902−=，故③正确；∵()3322333a b a a b ab b +=+++，∴当991a b ==，时，()326399139939999110=+++=+⨯⨯，故④正确；∵()4432234464a b a a b a b ab b +=++++，∴当2b =时，()443228243216a a a a a +=++++，∵4328243216a a a a ++++的值为1，∴()421a +=， ∴()221a +=，∴21a +=±， ∴1213a a =−=−，，故⑤正确；故选C ．【点睛】本题主要考查了多项式乘法中得规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键．二、填空题11．（2023·全国·九年级假期作业）若关于x 的一元二次方程230ax bx +−=（0a ≠）有一个根为5x =，则方程()213a x bx b −+−=必有一根为______． 【答案】6x = 【分析】把()213a x bx b−+−=化为()2(1)130,a xb x −+−−=再结合题意得到15,x −=解出即可．【详解】解：()213a x bx b−+−=，()2(1)130a xb x ∴−+−−=．令1x t −=，则230,at bt +−=∵方程230ax bx +−=（0a ≠）有一个根为5x =，∴方程230at bt +−=有一根为5t =，()2(1)130a xb x ∴−+−−=有一根为15x −=，15,x ∴−=6.x ∴=故答案为： 6.x =【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的含义，掌握利用整体未知数求解方程的根是解此题的关键． 12．（2023·全国·九年级假期作业）一元二次方程220x x +−=的解是________． 【答案】122,1x x =−= 【分析】原方程可转化为()()210x x +−=，再化为两个一次方程即可．【详解】解：∵220x x +−=，∴()()210x x +−=，∴20x +=或10x −=， 解得122,1x x =−=．故答案为：122,1x x =−=．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，熟练的掌握因式分解的方法解一元二次方程是解本题的关键． 13．（2023·全国·九年级假期作业）一元二次方程()()23121x x =−−的解是________．【答案】12531,x x ==【分析】先移项，再提取公因式分解因式，把原方程化为两个一次方程，再解一次方程即可． 【详解】∵()()23121x x =−−，∴()()231201x x −−−=．∴()()13120x x −−−⎤⎣⎦=⎡．∴10x −=或()3120x −−=，解得12531,x x ==．故答案为：12531,x x ==．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，熟练的利用因式分解的方法解方程是解本题的关键． 14．（2023·河南信阳·校考三模）小明在解方程2320x x −+=时，发现用配方法和公式法计算量都比较大，因此他又想到了另外一种方法，快速解出了答案： 方法如下： 2320x x −+=2220x x x −−+= 第①步222x x x −=− 第②步()22x x x −=− 第③步1x = 第④步老师看到后，夸小明很聪明，方法很好，但是有一步做错了，请问小明出错的步骤为________（填序号）． 【答案】④ 【分析】由()22x x x −=−，()()120x x −−=，解得1x =或2x =，进而判断作答即可．【详解】解：()22x x x −=−，()()120x x −−=，解得1x =或2x =，∴第④步错误， 故答案为：④．【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于正确的解一元二次方程．15．（2023秋·湖南常德·九年级统考期末）若()()22222340x y x y +−+−=，则22x y +=______．【答案】4【分析】设22t x y =+，则0t >，根据换元法解一元二次方程，即可求解．【详解】解：设22t x y =+，则0t >，∴原方程可以化为2340t t −−=，解得：4t =或1t =−（舍去）即22x y +=4 故答案为：4．【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，掌握换元法解一元二次方程是解题的关键．16．（2022秋·甘肃平凉·九年级校考阶段练习）已知实数x 满足2220()(23)x x x x −−−−=，则代数式22020x x −+的值为_______．【答案】2023【分析】设2t x x =−，则原方程转化为关于t 的一元二次方程2230t t −−=，利用因式分解法解该方程即可求得t 的值；然后整体代入所求的代数式进行解答，注意判断方程的根的判别式0≥，方程有解．【详解】解：设2t x x =−，由原方程，得2230t t −−=，整理，得()()310t t −+=，所以3t =或1t =−．当3t =时，23−=x x ，则220202023x x −+=；当1t =−时，21x x −=−即210x x −+=时，()214110∆=−−⨯⨯<，方程无解，此种情形不存在．故答案是：2023．【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换．三、解答题17．（2023·江苏·九年级假期作业）用适当的方法解下列各一元二次方程： (1)(2)15x x −=；(2)23680x x +−=（用配方法）； (3)2(2)10(2)210x x +−++=； (4)23520x x −+=；(5)22(2)(1)6x x ++−=． 【答案】(1)15a =，23a =−(2)11x =−，21x =−(3)15=x ，21x = (4)123x =，21x =(5)1x =，2x =【分析】（1）（4）用因式分解的十字相乘法求解比较简便；（2）先把常数项移到等号的另一边，把二次项系数化为1，配方，利用直接开平方法求解； （3）把(2)x +看成一个整体，利用因式分解的十字相乘法求解比较简便； （5）先整理方程，用公式法比较简便． 【详解】（1）解：(2)15x x −=，整理，得22150a a −−=，(5)(3)0a a ∴−+=．50a ∴−=或30a +=．15a ∴=，23a =−；（2）23680x x +−=（用配方法），移项，得2368x x +=，二次项系数化为1，得2823x x +=，配方，得211213x x ++=，211(1)3x ∴+=．1x ∴+=．11x ∴=−，21x =−；（3）2(2)10(2)210x x +−++=，[(2)7][(2)3]0x x ∴+−+−=，即(5)(1)0x x −−=．50x ∴−=或10x −=．15x ∴=，21x =；（4）23520x x −+=，(32)(1)0x x −−=，320x −=或10x −=，123x ∴=，21x =；（5）22(2)(1)6x x ++−=，方程整理，得22210x x +−=，x ===．1x ∴=，2x =． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法是解决本题的关键．18．（2023·全国·九年级假期作业）已知()()22222150a b a b +++−=，求22a b +的值． 【答案】3【分析】先用换元法令22(0)a b x x +=>，再解关于x 的一元二次方程即可． 【详解】解：令22(0)a b x x +=>，则原等式可化为：(2)150x x +−=，解得：123,5x x ==−，0x >，3x ∴=，即223a b +=．22a b +的值为3．【点睛】本题考查了换元法、一元二次方程的解法，注意22a b +为非负数是本题的关键．【答案】2x = 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：2211x x x =+−方程两边同乘()()11x x +−， 得()12x x −=，整理得，220x x −−=，∴()()120x x +−=，解得：11x −=，22x =，检验：当=1x −时，()()110x x +−=，=1x −是增根， 当2x =时，()()1130x x +−=≠，∴原方程的解为2x =．【点睛】本题考查了分式方程的解法，属于基本题型，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．【答案】,21x −+【分析】先对分式进行化简，然后求出一元二次方程的解，进而代值求解即可．【详解】2222421121x x x x x x x −−−÷+−−+()()()()222121112x x x x x x x −−=−⋅++−−()21211x x x x −=−++， 2221x x x −+=+ 21x =+解方程220x x +−=得：2x =−或1x =，如果已知分式有意义，必须x 不等于2，1−，1，∵x 为方程220x x +−=的根，∴x 只能为2−，∴当2x =−时，原式2221−+==−．【点睛】本题主要考查分式的化简求值及一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握各个运算方法． 21．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）已知数字A 为负数，将其加6得到数字B ，若数字A 与数字B 的积为7，求数字A ．【答案】7A =−【分析】根据题意得()67A A +=，解一元二次方程即可求解．【详解】解：由题意得6A B +=，7A B ⨯=，∴()67A A +=，∴2670A A +−=，即()()710A A +−=， 解得7A =−或1A =，∵数字A 为负数，∴7A =−．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，掌握“因式分解法”解一元二次方程是解题的关键．22．（2023·全国·九年级假期作业）阅读下面的材料：【答案】(1)1x =，2x =，3x ，4x =；(2)5【分析】（1）设2y x x =+，则2540y y −+=，整理，得(1)(4)0y y −−=，解关于y 的一元二次方程，然后解关于x 的一元二次方程即可求解；（2）设22x a b =+，则23100x x −−=，整理，得−+=(5)(2)0x x ，解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：设2y x x =+，则2540y y −+=，整理，得(1)(4)0y y −−=，解得11y =，24y =，当21x x +=即210x x +−=时，解得x = ；当24x x +=即240x x +−=时，解得x ；∴原方程的解为112x −=， 212x −=， 312x −=， 412x −=；（2）设22x a b =+，则23100x x −−=，整理，得−+=(5)(2)0x x ，解得15y =，2(2y =−舍去)，225a b +=．【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题的关键．【答案】(1)1x =±(2)114x =−，21x =【分析】（1）设2x y =，则由已知方程得到：2560y y −=+，利用因式分解法求得该方程的解，然后解关于x 的一元二次方程；（2）设1x y x +=，则由已知方程得到：260y y +−=，利用因式分解法求得该方程的解，然后进行检验即可．【详解】（1）令2x y =∴2560y y −=+∴(6)(1)0y y +−=∴16y =−，21y =∴26x =−（舍去），21x =∴1x =±；（2）令1x y x += ∴610y y −+=∴260y y +−=∴(3)(2)0y y +−=∴13y =−，22y = ∴13x x +=−，12x x += ∴114x =−，21x = 经检验，114x =−，21x =为原方程的解.【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程，分式方程，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．任务：(1)判断：方程2560x x −+= ______ “邻根方程”（填“是”或“不是”）；(2)已知关于x 的一元二次方程()210(x m x m m +++=是常数)是“邻根方程”，求m 的值．【答案】(1)是(2)0m =或2m =【分析】（1）先利用因式分解法解一元二次方程，然后根据“邻根方程”的定义进行判断；（2）先利用因式分解法解一元二次方程得到1x m =，21x =−，再根据“邻根方程”的定义得到11m −=−或11+=−m ，然后解关于m 的方程即可．【详解】（1）解方程2560x x −+=得13x =，22x =， 3比2大1，∴方程是“邻根方程”；（2）()210x m x m +++=， ()()10x m x ∴++=， 0x m ∴+=或10x +=，1x m ∴=−，21x =−，方程()210(x m x m m +++=是常数)是“邻根方程”，11m ∴−−=−或11m −+=−，0m ∴=或2m =．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．【答案】14x =，214x =m =m =代入方程得22520m m −+=，求出m 的值，再求出x 即可．m ．原方程化为：22520m m −+=，解得：12m =，212m =．当2m =2，解得：14x =；当12m =12=，解得：214x =． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是正确理解题意，会根据题目所描述的换元法求解方程．。
初中因式分解经典题型(含详细答案)
初中因式分解经典题型精选第一组：基础题1、a²b+2ab+b2、2a²-4a+23、16-8（m-n）+（m-n）²4、a²（p-q）-p+q5、a（ab+bc+ac）-abc【答案】1、a²b+2ab+b=b（a²+2a+1）=b（a+1）²2、2a²-4a+2=2（a²-2a+1）=2（a-1）²3、16-8（m-n）+（m-n）²然后运用完全平方公式=4²-2*4*（m-n）+（m-n）²=[4-(m-n)] ²=(4-m+n) ²4、a²（p-q）-p+q=a²（p-q）-（p-q）=（p-q）（a²-1）=（p-q）（a+1）（a-1）5、a（ab+bc+ac）-abc=a[（ab+bc+ac）-bc]=a（ab+bc+ac-bc）bc与-bc 抵消=a（ab+ac）提取公因式a=a²（b+c）第二组：提升题6、（x-y-1）²-（y- x-1）²7、a3b-ab38、b4-14b²+19、x4+x²+2ax+1﹣a²10、a5+a+1【答案】6、（x-y-1）²-（y- x-1）²用平方差公式=[（x-y-1）+（y-x-1）][（x-y-1）-（y-x-1）]去括号，合并同类项=（-2）（2x-2y）提取2= -4（x-y）7、a3b-ab3提取公因式ab=ab（a²-b²）用平方差公式=ab（a+b）（a-b）8、b4-14b²+1将-14b²拆分为：+2b²-16b²=b4+2b²-16b²+1将-16b²移到最后=b4+2b²+1-16b²将前三项结合在一起=（b4+2b²+1）-16b²=（ b²+1）²-（4b）²用平方差公式=[（ b²+1）+4b][（ b²+1）-4b] =（ b²+4b+1）（ b²-4b+1）9、x4+x²+2ax+1﹣a²将+x²拆分为：+2x²- x²=x4+2x²- x² +2ax+1﹣a²将x4、+2x²、+1结合，将-x²、+2ax、﹣a²结合=（x4+2x²+1）+（-x²+2ax﹣a²）提取-1=（ x²+1）² -（x²-2ax+a²）=（ x²+1）²-（ x-a）²用平方差公式=[（x²+1）+（x-a）][（x²+1）-（x-a）]=（x²+x-a+1）（x²-x+a+1）10、a5+a+1在式子中添加：-a²+a²=a5 - a²+ a²+a+1将前两项结合，后面三项结合=（a5-a²）+（a²+a+1）提取公因式a²=a²（a3-1）+（a²+a+1）用立方差公式=a²（a-1）（a²+a+1）+（a²+a+1）提取公因式（a²+a+1）=（a²+a+1）[a²（a-1）+1]=（a²+a+1）(a3-a²+1)第三组：进阶题11、x4-2y4-2x3y+xy312、（ac-bd）²+（bc+ad）²13、x²（y-z）+y²（z-x）+z²（x-y）14、x²－4ax＋8ab－4b²15、xy² +4xz -xz²-4x【答案】11、x4-2y4-2x3y+xy3x4与xy3结合，-2y4与-2x3y结合=（x4+xy3）+（-2y4-2x3y）x-2y，=x（x3+y3）-2y（x3+y3）提取公因式（x3+y3）=（x3+y3）（x-2y）=（x+y）（x2-xy+y2）（x-2y）12、（ac-bd）²+（bc+ad）²去括号展开= a²c² - 2abcd + b²d²+b²c² +2abcd + a²d²- 2abcd与+2abcd 抵消=a²c² + b²d² +b²c² + a²d²a²c²与b²c²结合，b²d²与a²d²结合=（a²c²+b²c²）+（ b²d²+a²d²）c²， d ²，=c²（a²+b²）+d²（a²+b²）提取公因式（a²+b²）=（a²+b²）（c²+d²）13、x²（y-z）+y²（z-x）+z²（x-y）=x²（y-z）+y²z -y²x +z²x -z²yy²z与-z²y结合，z²x 与-y²x=x²（y-z）+（y²z -z²y）+（z²x-y²x）提取公因式zy提取公因式=x²（y-z）+ zy（y-z）+x（z²-y²）提取公因式（y-z），=（y-z）（x²+zy）+x（z+y）（z-y）y-z），后一项 +x则变为 -x =（y-z）[（x²+zy）-x（z+y）]=（y-z）（x²+zy-xz-xy）14、x²－4ax＋8ab－4b²²与－4b²结合，－4ax与＋8ab结合=（x²－4b²）+（－4ax＋8ab）-4a=（x+2b）（x-2b）-4a（x-2b）x-2b），=（x-2b）[（x+2b）-4a]=（x-2b）（x+2b-4a）15、xy² +4xz -xz²-4xx，=x（y²+4z -z²-4）=x[y²+(4z -z²-4)]-1，=x[y²-(z²-4z+4)]用完全平方公式进行分解，=x[y²-（z-2）²]=x[y+（z-2））][y-（z-2）]=x（y+z-2）（y-z+2）第四组：经典题16、a6（a²-b²）+b6（b²-a²）17、4m3-31m+1518、a3+5a²+3a-919、x4（1- y）²+2x²（y²-1）+（1+ y）²20、2x4 -x3-6x²- x+ 2【答案】16、a6（a²-b²）+b6（b²-a²）-1=a6（a²-b²）-b6（a²-b²）提取公因式（a²-b²）=（a²-b²）（a6-b6）=（a²-b²）（a²-b²）（a4+a²b²+b4）=（a²-b²）²（a4+a²b²+b4）=（a+b）²（a-b）²（a4+a²b²+b4）17、4m3-31m+15-31m拆分为：-m-30m=4m3-m-30m+15=（4m3-m）+（-30m+15）m-15=m（4m²-1）-15（2m-1）=m（2m+1）（2m-1）-15（2m-1）（2m-1），=（2m-1）[m（2m+1）-15]=（2m-1）（2m²+m-15）=（2m-1）（2m-5）（m+3）18、a3+5a²+3a-93a拆分为：-6a+9a =a3+5a²-6a+9a-9=（a3+5a²-6a）+（9a-9）a9=a（a²+5a-6）+9（a-1）=a（a+6）（a-1）+9（a-1）提取公因式（a-1）=（a-1）[a（a+6）+9]=（a-1）（a²+6a+9）=（a-1）（a+3）²19、x4（1- y）²+2x²（y²-1）+（1+ y）²-1=x4（1- y）² - 2x²（1-y²）+（1+ y）²=[x²(1-y)]² -2x²（1-y）（1+y）+（1+ y）²=（x²-yx²-1- y）²20、2x4 -x3-6x²- x+ 2-x拆分为：3x-4x =2x4 -x3-6x²+3x-4x+ 2=（2x4 -x3）+（-6x²+3x）+（-4x+ 2）=（2x-1）（x3-3x-2）第五组：精选题21、a3+2a2+3a+222、x4-6x²+123、x3+3x+424、2a2b2+2a2c2+2b2c2+a4+b4+c425、a3-3a-226、2x3+3x2-127、a2+3ab+2b2+2a+b-3【答案】21、a3+2a2+3a+23a拆分为：a+2a =a3+2a2+a+2a+2=（a3+2a2+a）+（2a+2）=a（a2+2a+1）+2（a+1）=a（a+1）2+2（a+1）a+1）=（a+1）[a（a+1）+2]=（a+1）（a2+a+2）22、x4-6x²+1-6x2拆分为：-2x2-4x2 =x4-2x²-4x²+1-4x2移到最后=x4-2x²+1-4x²=（x4-2x²+1）-4x²=（x2-1）2-（2x）2=[（x2-1）+2x][（x2-1）-2x] =（x2+2x-1）（x2-2x-1）23、x3+3x+44拆分为：3+1=x3+3x+3+1x3与1结合，3x与3结合=（x3+1） + （3x+3）3=（x+1）（x2-x+1）+3（x+1）x+1）=（x+1）[（x2-x+1）+3]=（x+1）(x2-x+4)24、2a2b2+2a2c2+2b2c2+a4+b4+c4=（a4+b4+2a2b2）+（2a2c2+2b2c2）+c4 =（a2+b2）2+2c2（a2+b2）+c4=[（a2+b2）+c2]2=(a2+b2+c2）225、a3-3a-2-3a拆分为：-a-2a=a3-a-2a-2=（a3-a）+（-2a-2）=a（a2-1）-2（a+1）=a（a+1）（a-1）-2（a+1）a+1）=（a+1）[a（a-1）-2]=（a+1）（a2-a-2）=（a+1）（a+1）（a-2）=（a+1）2（a-2）26、2x3+3x2-13x2拆分为：2x2+x2 =2x3+2x2+x2-1=（2x3+2x2）+（x2-1）=2x2（x+1）+（x+1）（x-1）x+1）=（x+1）[2x2+（x-1）]=（x+1）（2x2+x-1）=（x+1）（2x-1）（x+1）=（x+1）2（2x-1）27、a2+3ab+2b2+2a+b-3=(a2+3ab+2b2)+(2a+b)-3 =(a+b)(a+2b)+(2a+b)-3 =[(a+b)-1][(a+2b)+3] =(a+b-1)(a+2b+3)十字叉乘法故：x2+6x+5=（x+1）（x+5）故：2x2+5x+2=（2x+1）（x+2）故：4x2+5x-3=（2x-1）（2x+3）黄勇权2019-7-14。
因式分解50题(配完整解析)
因式分解50题（配完整解析）考点卡片一．因式分解-提公因式法1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．2、具体方法：（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．4、提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．二．因式分解-运用公式法1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．22平方差公式：a ﹣b ＝（a +b ）（a ﹣b ）；222完全平方公式：a ±2ab +b ＝（a ±b ）；2、概括整合：①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．三．因式分解-分组分解法1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法．例如：①ax +ay +bx +by ＝x （a +b ）+y （a +b ）＝（a +b ）（x +y ）22②2xy ﹣x +1﹣y 22＝﹣（x ﹣2xy +y ）+12＝1﹣（x ﹣y ）＝（1+x ﹣y ）（1﹣x +y ）四．因式分解-十字相乘法等借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法．2①x +（p +q ）x +pq 型的式子的因式分解．这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x 2+（p +q ）x +pq ＝（x +p ）（x +q ）2②ax +bx +c （a ≠0）型的式子的因式分解这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数a 1，a 2的积a 1•a 2，把常数项c 分解成两个因数c 1，c 2的积c 1•c 2，并使a 1c 2+a 2c 1正好是一2次项b ，那么可以直接写成结果：ax +bx +c ＝（a 1x +c 1）（a 2x +c 2）．五．实数范围内分解因式实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示），一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．例如：x ﹣2在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分解2x 2﹣2＝x 2﹣（2）2＝（x+2）（x-2）一．填空题（共5小题）1．因式分解：-2x 2+2x =．2．因式分解：a 3+2a =．3．分解因式：8x 2-8xy +2y 2=．4．分解因式：ab 2+a 2b =．5．因式分解2x 2y -8y =．二．解答题（共45小题）6．分解因式（1）n 2(m -2)-n (2-m )（2）(a 2+4b 2)2-16a 2b 2．7．因式分解（1）(2a +b )2-(a +2b )2（2）16x 4-8x 2y 2+y 48．已知m -2n =-2，求下列多项式的值：（1）5m -10n +10m 2（2）+n 2-mn -3．49．因式分解：(x 2-3)2+2(3-x 2)+1．10．因式分解：m 2(m -4)2+8m (m -4)+16．11．分解因式：4(a +2)2-9(a -1)2．12．(x 2+4)2-16x 2．13．因式分解：(x -6x )+18(x -6x )+81．14．分解因式：（1）x 4-2x 2+1；（2）a 4-8a 2b 2+16b 4；（3）(a 2+4)2-16a 2；（4）(m 2-4m )2+8(m 2-4m )+16．15．分解因式（1）x -4xy +4y （2）4a -12ab +9b （3）a b +2ab +1．16．（1）计算：(2x -y +z )(2x -y -z )（2）分解因式：25(a +b )2-16(a -b )217．分解因式：(x +3)2-(x -3)2．18．(x -5y )2-(x +5y )219．分解因式：（1）3ax 2-6axy +3ay 2；（2）(3m +2n )2-(2m +3n )2．20．分解因式：（1）(a -b )(x -y )-(b -a )(x +y )（2）5m (2x -y )2-5mn 221．分解因式：（1）-3x 2+6xy -3y 2；222222222（2）(a +b )(a -b )+4(b -1)．22．因式分解（1）9a 2(x -y )+4b 2(y -x )；（2）4a (b -a )-b 223．因式分解：（1）a 4-16；（2）ax 2-4axy +4ay 2．24．将下列各式分解因式：（1）-25ax 2+10ax -a （2）4x 2(a -b )+y 2(b -a )25．分解因式：（1）5x 2+10x +5（2）(a +4)(a -4)+3(a +2)26．因式分解（1）9m 2-25n 214（3）2x 2y -8xy +8y（2）m 2-mn +n 2（4）(y 2-1)2+6(1-y 2)+927．把下列各式因式分解：（1）12x 4-6x 3-168x 2（2）a 5(2-3a )+2a 3(3a -2)2+a (2-3a )3（3）abc (a 3+b 3+c 3+2abc )+(a 3b 3+b 3c 3+c 3a 3)28．分解因式（1）16-a 4（2）y 3-6xy 2+9x 2y（3）(m +n )2-4m (m +n )+4m 2（4）9-a 2+4ab -4b 229．因式分解（1）-a 2-a（2）(x +y )(5m +3n )2-(x +y )(m -n )2（3）(a 2+6a )2+18(a 2+6a )+81（4）x 2-4x -y 2+4．30．把下列各式分解因式：（1）(a 2+a +1)(a 2-6a +1)+12a 2；（2）(2a +5)(a 2-9)(2a -7)-91；124242（4）(x -4x +1)(x +3x +1)+10x 4；31．分解因式：（1）12abc -2bc 2（2）2a 3-12a 2+18a （3）9a (x -y )+3b (x -y )（4）(x +y )2+2(x +y )+1（3）xy (xy +1)+(xy +3)-2(x +y +)-(x +y -1)2；（5）2x 3-x 2z -4x 2y +2xyz +2xy 2-y 2z ．（6）(a+b)(a-b)+4(b-1)32．将下列各式因式分解：（1）a4-16（2）16(a-b)2-9(a+b)2（3）x2-1+y2-2xy（4）(m+n)2-2(m2-n2)+(m-n)2．（5）x2-5x+6（6）x2-5x-6（7）x2+5x-6（8）x2+5x+6．33．分解因式（1）-3x3-6x2y-3xy2；（2）(a2+9)2-36a2（3）25m2-(4m-3n)2；（4）(x2-2x)2-2(x2-2x)-3．34．因式分解：（1）x2-5x-6（2）9a2(x-y)+4b2(y-x)（3）y2-x2+6x-9（4）(a2+4b2)2-16a2b235．把下列多项式分解因式：（1）27xy2-3x121x+xy+y22222（3）a-b-1+2b（4）x2+3x-436．因式分解：（1）x2-xy-12y2；（2）（2）a2-6a+9-b237．分解因式（1）8a3b2-12ab3c（2）-3ma3+6ma2-12ma（3）2(x-y)2-x(x-y)（4）3ax2-6axy+3ay2（5）p2-5p-36（6）x5-x3（7）(x-1)(x-2)-6（8）a2-2ab+b2-c238．把下列各式分解因式：（1）4x3-31x+15；（2）2a2b2+2a2c2+2b2c2-a4-b4-c4；（3）x5+x+1；（4）x3+5x2+3x-9；（5）2a4-a3-6a2-a+2．39．分解因式（2）1-9x 2（3）4x 2-12x +9（4）4x 2y 2-4xy +1（5）p 2-5p -36（6）y 2-7y +12（7）3-6x +3x 2（8）-a +2a 2-a 3（9）m 3-m 2-20m40．分解因式：(x 2+x +1)(x 2+x +2)-12．41．分解因式：(x 2+4x +8)2+3x (x 2+4x +8)+2x 2．42．分解因式：（1）2a (y -z )-3b (z -y )；（2）-x 2+4xy -4y 2；（3）x 2-2（在实数范围内分解因式）；（4）4-12(x -y )+9(x -y )2．43．阅读下面的问题，然后回答，分解因式：x 2+2x -3，解：原式=x 2+2x +1-1-3=(x 2+2x +1)-4=(x +1)2-4=(x +1+2)(x +1-2)=(x +3)(x -1)上述因式分解的方法称为配方法．请体会配方法的特点，用配方法分解因式：（1）x 2-4x +3（2）4x 2+12x -7．44．下面是某同学对多项式(x -4x +2)(x -4x +6)+4进行因式分解的过程．解：设x -4x =y原式=(y +2)(y +6)+4（第一步）222=y 2+8y +16（第二步）=(y +4)2（第三步）=(x 2-4x +4)2（第四步）请问：（1）该同学因式分解的结果是否彻底？（填“彻底”或“不彻底”)．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．（2）请你模仿以上方法尝试对多项式(x -2x )(x -2x +2)+1进行因式分解．45．阅读并解决问题：对于形如x 2+2ax +a 2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成(x +a )2的形式，但对于二次三项式x 2+2ax -3a 2就不能直接运用公式了．此时，我们可以这样来处理：22x2+2ax-3a2=(x2+2ax+a2)-a2-3a2=(x+a)2-4a2=(x+a+2a)(x+a-2a)=(x+3a)(x-a)像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．（1）利用“配方法”分解因式：a2-8a+15；（2）若a+b=6，ab=4，求：①a2+b2；②a4+b4的值；（3）已知x是实数，试比较x2-6x+11与-x2+6x-10的大小，说明理由．11146．小亮在对a4+分解因式时，步骤如下：a4+=a4+a2+-a2（添加a2与-a2，前444三项可利用完全平方公式）1=(a2+)2-a2（写成完全平方式与最后一项又符合平方差公式）211=(a2+a+)(a2-a+)．22请你利用上述方法分解因式4x4+1．47．十字相乘法分解因式：（1）x2+3x+2（2）x2-3x+2（3）x2+2x-3（4）x2-2x-3（5）x2+5x+6（6）x2-5x-6（7）x2+x-6（8）x2-x-6（9）x2-5x-36(10)x2+3x-18(11)2x2-3x+1(12)6x2+5x-6．48．分解因式：(x+1)(x+3)(x+6)(x+8)+9．49．分解因式：（1）x4-7x2+6．（2）x4-5x2-36．（3）4x4-65x2y2+16y4．（4）a6-7a3b3-8b6（5）6a4-5a3-4a3．（6）4a6-37a4b2+9a2b4．50．因式分解：（1）(x+y)4+(x+y)2-20；（2）(x2-2x-2)(x2-2x-9)+6；（3）(x2+4x+3)(x2-12x+35)-105；（4）(x2-6)2-4x(x2-6)-5x2．因式分解50题（配完整解析）参考答案与试题解析一．填空题（共5小题）1．因式分解：-2x2+2x=-2x(x-1)．【解答】解：-2x2+2x=-2x(x-1)，故答案为：-2x(x-1)．2．因式分解：a3+2a=a(a2+2)．【解答】解：a3+2a=a(a2+2)，故答案为a(a2+2)．3．分解因式：8x2-8xy+2y2=2(2x-y)2．【解答】解：原式=2(4x2-4xy+y2)=2(2x-y)2．故答案为：2(2x-y)2．4．分解因式：ab2+a2b=ab(a+b)．【解答】解：原式=ab(a+b)．故答案是：ab(a+b)．5．因式分解2x2y-8y=2y(x+2)(x-2)．【解答】解：2x2y-8y=2y(x2-4)=2y(x+2)(x-2)故答案为：2y(x+2)(x-2)．二．解答题（共45小题）6．分解因式（1）n2(m-2)-n(2-m)（2）(a2+4b2)2-16a2b2．【解答】解：（1）原式=n(m-2)(n+1)；（2）原式=(a2+4b2+4ab)(a2+4b2-4ab)=(a+2b)2(a-2b)2．7．因式分解（1）(2a+b)2-(a+2b)2（2）16x4-8x2y2+y4【解答】解：（1）(2a+b)2-(a+2b)2=(2a+b-a-2b)(2a+b+a+2b)=3(a-b)(a+b)；（2）16x4-8x2y2+y4=(4x2-y2)2=(2x+y)2(2x-y)2．8．已知m-2n=-2，求下列多项式的值：（1）5m-10n+10m2（2）+n2-mn-3．4【解答】解：（1）m-2n=-2，∴原式=5(m-2n)+10=-10+10=0；m-2n=-2，（2）11∴原式=(m2+4n2-4mn)=(m-2n)2-3=1-3=-2．449．因式分解：(x2-3)2+2(3-x2)+1．【解答】解：(x2-3)2+2(3-x2)+1=(x2-3)2-2(x2-3)+1=(x2-3-1)2=(x2-4)2=(x+2)2(x-2)2．10．因式分解：m2(m-4)2+8m(m-4)+16．【解答】解：原式=[m(m-4)]2+2⨯m(m-4)⨯4+42=[m(m-4)+4]2=(m2-4m+4)2=[(m-2)2]2=(m-4)4．11．分解因式：4(a+2)2-9(a-1)2．【解答】解：4(a+2)2-9(a-1)2=[2(a+2)-3(a-1)][2(a+2)+3(a-1)]=(7-a)(5a+1)．12．(x2+4)2-16x2．【解答】解：(x2+4)2-16x2=(x2+4-4x)(x2+4+4x)=(x-2)2(x+2)2．13．因式分解：(x-6x)+18(x-6x)+81．222【解答】解：(x-6x)+18(x-6x)+81222=(x2-6x+9)2=(x-3)4．14．分解因式：（1）x4-2x2+1；（2）a4-8a2b2+16b4；（3）(a2+4)2-16a2；（4）(m2-4m)2+8(m2-4m)+16．【解答】解：（1）原式=(x2-1)2=[(x+1)(x-1)]2=(x+1)2(x-1)2；（2）原式=(a2-4b2)2=[(a+2b)(a-2b)]2=(a+2b)2(a-2b)2；（3）原式=(a2+4-4a)(a2+4+4a)=(a-2)2(a+2)2；（4）原式=(m2-4m+4)2=[(m -2)2]2=(m -2)4．15．分解因式（1）x -4xy +4y （2）4a -12ab +9b （3）a b +2ab +1．【解答】解：（1）x -4xy +4y =(x -2y )；（2）4a -12ab +9b =(2a -3b )；（3）a b +2ab +1=(ab +1)．16．（1）计算：(2x -y +z )(2x -y -z )（2）分解因式：25(a +b )2-16(a -b )2【解答】解：（1）(2x -y +z )(2x -y -z )222222222222222=(2x -y )2-z 2=4x 2+y 2-4xy -z 2；（2）25(a +b )2-16(a -b )2=[5(a +b )-4(a -b )][5(a +b )+4(a -b )]=(a +9b )(9a +b )．17．分解因式：(x +3)2-(x -3)2．【解答】解：(x +3)2-(x -3)2=(x +3-x +3)(x +3+x -3)=12x ．18．(x -5y )2-(x +5y )2【解答】解：(x -5y )2-(x +5y )2=(x -5y +x +5y )(x -5y -x -5y )=-20xy ．19．分解因式：（1）3ax 2-6axy +3ay 2；（2）(3m +2n )2-(2m +3n )2．【解答】解：（1）3ax 2-6axy +3ay 2=3a (x 2-2xy +y 2)=3a (x -y )2；（2）(3m +2n )2-(2m +3n )2=[(3m +2n )-(2m +3n )][(3m +2n )+(2m +3n )]=(m -n )(5m +5n )=5(m -n )(m +n )．20．分解因式：（1）(a -b )(x -y )-(b -a )(x +y )（2）5m (2x -y )2-5mn 2【解答】解：（1）原式=(a -b )(x -y +x +y )=2x (a -b )．（2）原式=5m (2x -y +n )(2x -y -n )．21．分解因式：（1）-3x 2+6xy -3y 2；（2）(a +b )(a -b )+4(b -1)．【解答】解：（1）-3x 2+6xy -3y 2=-3(x 2-2xy +y 2)=-3(x -y )2；（2）(a +b )(a -b )+4(b -1)=a 2-b 2+4b -4=a 2-(b -2)2=(a +b -2)(a -b +2)．22．因式分解（1）9a 2(x -y )+4b 2(y -x )；（2）4a (b -a )-b 2【解答】解：（1）原式=9a 2(x -y )-4b 2(x -y )=(x -y )(3a +2b )(3a -2b )；（2）原式=-(4a 2-4ab +b 2)=-(2a -b )2．23．因式分解：（1）a 4-16；（2）ax 2-4axy +4ay 2．【解答】解：（1）a 4-16=(a 2+4)(a 2-4)=(a 2+4)(a +2)(a -2)；（2）ax 2-4axy +4ay 2=a (x 2-4xy +4y )=a (x -2y )2．24．将下列各式分解因式：（1）-25ax 2+10ax -a （2）4x 2(a -b )+y 2(b -a )【解答】解：（1）原式=-a (25x 2-10x +1)=-a (5x -1)2；（2）原式=4x 2(a -b )-y 2(a -b )=(a -b )(2x +y )(2x -y )．25．分解因式：（1）5x 2+10x +5（2）(a +4)(a -4)+3(a +2)【解答】解：（1）原式=5(x 2+2x +1)=5(x +1)2；（2）原式=a 2-16+3a +6=a 2+3a -10=(a -2)(a +5)．26．因式分解（1）9m 2-25n 214（3）2x 2y -8xy +8y（2）m 2-mn +n 2（4）(y 2-1)2+6(1-y 2)+9【解答】解：（1）9m 2-25n 2=(3m +5n )(3m -5n )；（2）m 2-mn +n 2141=(m-n)2；2（3）2x2y-8xy+8y=2y(x2-4x+4)=2y(x-2)2；（4）(y2-1)2+6(1-y2)+9=[(1-y2)+3]2=(1-y2+3)2．=(4-y2)2=(2+y)2(2-y)2．27．把下列各式因式分解：（1）12x4-6x3-168x2（2）a5(2-3a)+2a3(3a-2)2+a(2-3a)3（3）abc(a3+b3+c3+2abc)+(a3b3+b3c3+c3a3)【解答】解：（1）原式=6x2(2x2-x-28)=6x2(2x+7)(x-4)；（2）原式=a5(2-3a)+2a3(2-3a)2+a(2-3a)3=a(2-3a)[a4+2a2(2-3a)+(2-3a)2]=a(2-3a)(a2+2-3a)2=a(2-3a)(a-1)2(a-2)2；（3）原式=a4bc+a3(b3+c3)+2a2b2c2+abc(b3+c3)+b3c3=bc(a4+2a2bc+b2c2)+a(b3+c3)(a2+bc)=bc(a2+bc)2+a(b3+c3)(a2+bc)=(a2+bc)[bc(a2+bc)+a(b3+c3)]=(a2+bc)[(bca2+ab3)+(b2c2+ac3)]=(a2+bc)[ab(ca+b2)+c2(b2+ac)]=(a2+bc)(b2+ac)(c2+ab)．28．分解因式（1）16-a4（2）y3-6xy2+9x2y（3）(m+n)2-4m(m+n)+4m2（4）9-a2+4ab-4b2【解答】解：（1）原式=(4+a2)(4-a2)=(4+a2)(2+a2)(2-a2)；（2）原式=y(y2-6xy+9x2)=y(y-3x)2；（3）原式=(m+n-2m)2=(n-m)2；（4）原式=9-(a-2b)2=(3-a+2b)(3+a-2b)．29．因式分解（1）-a2-a（2）(x +y )(5m +3n )2-(x +y )(m -n )2（3）(a 2+6a )2+18(a 2+6a )+81（4）x 2-4x -y 2+4．【解答】解：（1）-a 2-a =-a (a +1)（2）(x +y )(5m +3n )2-(x +y )(m -n )2=(x +y )(5m +3n +m -n )(5m +3n -m +n )=(x +y )(6m +2n )(4m +4n )=8(x +y )(3m +n )(m +n )（3）(a 2+6a )2+18(a 2+6a )+81=(a 2+6a +9)2=(a +3)4（4）x 2-4x -y 2+4=(x -2)2-y 2=(x -2+y )(x -2-y )30．把下列各式分解因式：（1）(a 2+a +1)(a 2-6a +1)+12a 2；（2）(2a +5)(a 2-9)(2a -7)-91；12（4）(x 4-4x 2+1)(x 4+3x 2+1)+10x 4；【解答】解：（1）令a 2+1=b ，则原式=(b +a )(b -6a )+12a 2（3）xy (xy +1)+(xy +3)-2(x +y +)-(x +y -1)2；（5）2x 3-x 2z -4x 2y +2xyz +2xy 2-y 2z ．=b 2-5ab -6a 2+12a 2=b 2-5ab +6a 2=(b -2a )(b -3a )=(a 2+1-2a )(a 2+1-3a )=(a -1)2(a 2-3a +1)；（2）原式=[(2a +5)(a -3)][(a +3)(2a -7)]-91=(2a 2-a -15)(2a 2-a -21)-91=(2a 2-a )2-36(2a 2-a )+224=(2a 2-a -28)(2a 2-a -8)=(a -4)(2a +7)(2a 2-a -8)；（3）设x +y =a ，xy =b ，则原式=b (b +1)+(b +3)-2(a +)-(a -1)212=(b 2+2b +1)-a 2=(b +1+a )(b +1-a )=(xy +1+x +y )(xy +1-x -y )；（4）令x 4+1=a ，则原式=(a -4x 2)(a +3x 2)+10x 4=a 2-x 2a -2x 4=(a -2x 2)(a +x 2)=(x 4+1-2x 2)(x 4+1+x 2)=(x +1)2(x -1)2(x 2+x +1)(x 2-x +1)；（5）原式=(2x3-x2z)+(-4x2y+2xyz)+(2xy2-y2z) =x2(2x-z)-2xy(2x-z)+y2(2x-z)=(2x-z)(x2-2xy+y2)=(2x-z)(x-y)2．31．分解因式：（1）12abc-2bc2（2）2a3-12a2+18a（3）9a(x-y)+3b(x-y)（4）(x+y)2+2(x+y)+1（5）x2-1+y2-2xy（6）(a+b)(a-b)+4(b-1)【解答】解：（1）12abc-2bc2=2bc(6a-c)；（2）2a3-12a2+18a=2a(a2-6a+9)=2a(a-3)2；（3）9a(x-y)+3b(x-y)=3(x-y)(3a+b)；（4）(x+y)2+2(x+y)+1=(x+y+1)2；（5）x2-1+y2-2xy=(x-y)2-1=(x-y+1)(x-y-1)；（6）(a+b)(a-b)+4(b-1)=a2-b2+4b-4=a2-(b-2)2=(a-b+2)(a+b-2)．32．将下列各式因式分解：（1）a4-16（2）16(a-b)2-9(a+b)2（3）x2-1+y2-2xy（4）(m+n)2-2(m2-n2)+(m-n)2．（5）x2-5x+6（6）x2-5x-6（7）x2+5x-6（8）x2+5x+6．【解答】解：（1）a4-16=(a2+4)(a2-4)=(a2+4)(a+2)(a-2)；（2）16(a-b)2-9(a+b)2=[4(a-b)+3(a+b)][4(a-b)-3(a+b)]=(4a-4b+3a+3b)(4a-4b-3a-3b)=(7a-b)(a-7b)；（3）x2-1+y2-2xy=(x-y)2-1=(x-y+1)(x-y-1)；（4）(m+n)2-2(m2-n2)+(m-n)2=[(m+n)-(m-n)]2=(m+n-m+n)2=(2n)2=4n2；（5）x2-5x+6=(x-2)(x-3)；（6）x2-5x-6=(x-6)(x+1)；（7）x2+5x-6=(x+6)(x-1)；（8）x2+5x+6=(x+2)(x+3)．33．分解因式（1）-3x3-6x2y-3xy2；（2）(a2+9)2-36a2（3）25m2-(4m-3n)2；（4）(x2-2x)2-2(x2-2x)-3．【解答】解：（1）-3x3-6x2y-3xy2；=-3x(x2+2xy+y2)=-3x(x+y)2；（2）(a2+9)2-36a2=(a2+9+6a)(a2+9-6a)=(a+3)2(a-3)2；（3）25m2-(4m-3n)2=(5m)2-(4m-3n)2，=(5m+4m-3n)(5m-4m+3n)=3(3m-n)(m+3n)；（4）(x2-2x)2-2(x2-2x)-3=(x2-2x-3)(x2-2x+1)=(x-3)(x+1)(x-1)2．34．因式分解：（1）x2-5x-6（2）9a2(x-y)+4b2(y-x)（3）y2-x2+6x-9（4）(a2+4b2)2-16a2b2【解答】解：（1）x2-5x-6=(x-3)(x+2)；（2）9a2(x-y)+4b2(y-x)=(x-y)(9a2-4b2)=(x-y)(3a+2b)(3a-2b)；=y2-(x2-6x+9)=y2-(x-3)2=(y+x-3)(y-x+3)；（4）(a2+4b2)2-16a2b2=(a2+4b2+4ab)(a2+4b2-4ab) =(a+2b)2(a-2b)2．35．把下列多项式分解因式：（1）27xy2-3x（2）12x2+xy+12y2（3）a2-b2-1+2b（4）x2+3x-4【解答】解：（1）27xy2-3x =3x(9y2-1)=3x(3y+1)(3y-1)；（2）12x2+xy+12y2=1(x2+2xy+y2 2)=1(x+y)22；（3）a2-b2-1+2b=a2-(b2-2b+1)=a2-(b-1)2=(a+b-1)(a-b+1)；（4）x2+3x-4=(x+4)(x-1)．36．因式分解：（1）x2-xy-12y2；（2）a2-6a+9-b2【解答】解：（1）x2-xy-12y2，=(x+3y)(x-4y)；（2）a2-6a+9-b2，=(a-3)2-b2，=(a-3+b)(a-3-b)．37．分解因式（1）8a3b2-12ab3c（2）-3ma3+6ma2-12ma（3）2(x-y)2-x(x-y)（4）3ax2-6axy+3ay2（6）x 5-x 3（7）(x -1)(x -2)-6（8）a 2-2ab +b 2-c 2【解答】解：（1）8a 3b 2-12ab 3c =4ab 2(2a 2-3bc )；（2）-3ma 3+6ma 2-12ma =-3ma (a 2-2a +4)=-3ma (a -2)2；（3）2(x -y )2-x (x -y )=(x -y )(2x -2y -x )=(x -y )(x -2y )；（4）3ax 2-6axy +3ay 2=3a (x 2-2xy +y 2)=3a (x -y )2；（5）p 2-5p -36=(p -9)(p +4)；（6）x 5-x 3=x 3(x 2-1)=x 3(x +1)(x -1)；（7）(x -1)(x -2)-6=x 2-3x +2-6=(x -4)(x +1)；（8）a 2-2ab +b 2-c 2=(a -b )2-c 2=(a -b +c )(a -b -c )．38．把下列各式分解因式：（1）4x 3-31x +15；（2）2a 2b 2+2a 2c 2+2b 2c 2-a 4-b 4-c 4；（3）x 5+x +1；（4）x 3+5x 2+3x -9；（5）2a 4-a 3-6a 2-a +2．【解答；（；（5522232】解：（1）4x 3-31x +15=4x 3-x -30x +15=x (2x +1)(2x -1)-15(2x -1)=(2x -1)(2x 2+x -15)=(2x -1)(2x -5)(x +3)2）2a b +2a c +2b c -a -b -c =4a b -(a +b +c +2a b -2a c -2b c )=(2ab )-(a +b -c )=(2ab +a +b -c )(2ab -a -b +c )=(a +b +c )(a +b -c )(c +a -b )(c -a +b )32222）3x +x +1=x -x +x +x +1=x (x -1)+(x +x +1)=x (x -1)(x +x +1)+(x +x +1)=(x +x +1)(x -x 2+1)；（；（4）x 3+5x 2+3x -9=(x 3-x 2)+(6x 2-6x )+(9x -9)=x 2(x -1)+6x (x -1)+9(x -1)=(x -1)(x +3)25）2a -a -6a -a +2=a (2a -1)-(2a -1)(3a +2)=(2a -1)(a -3a -2)=(2a -1)(a +a -a -a -2a -2)=(2a -1)[a (a +1)-a (a +1)-2(a +1)]=(2a -1)(a +1)(a 2-a -2)=(a +1)(a -2)(2a -1)．39．分解因式（1）20a 3x -45ay 2x（2）1-9x 2（3）4x 2-12x +9（4）4x 2y 2-4xy +1（5）p 2-5p -36（6）y 2-7y +12（7）3-6x +3x 2（8）-a +2a 2-a 3（9）m 3-m 2-20m【解答】解：（1）原式=5ax (4a 2-9y 2)=5ax (2a +3y )(2a -3y )；（2）原式=(1+3x )(1-3x )；（3）原式=(2x )2-12x +9=(2x -3)2；（4）原式=(2xy-1)2；（5）原式=(p+4)(p-9)；（6）原式=(y-3)(y-4)；（7）原式=3(x2-2x+1)=3(x-1)2；（8）原式=-a(a2-2a+1)=-a(a-1)2；（9）原式=m(m2-m-20)=m(m+4)(m-5)．40．分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．【解答】解：设x2+x=y，则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如令x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．故答案为(x-1)(x+2)(x2+x+5)41．分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．【解答】解：设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．42．分解因式：（1）2a(y-z)-3b(z-y)；（2）-x2+4xy-4y2；（3）x2-2（在实数范围内分解因式）；（4）4-12(x-y)+9(x-y)2．【解答】解：（1）原式=2a(y-z)+3b(y-z)=(y-z)(2a+3b)；（2）原式=-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2；（3）原式=(x+2)(x-2)；（4）原式=[3(x-y)-2]2=(3x-3y-2)2．43．阅读下面的问题，然后回答，分解因式：x2+2x-3，解：原式=x2+2x+1-1-3=(x2+2x+1)-4=(x+1)2-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)上述因式分解的方法称为配方法．请体会配方法的特点，用配方法分解因式：（1）x2-4x+3（2）4x2+12x-7．【解答】解：（1）x2-4x+3=x2-4x+4-4+3=(x -2)2-1=(x -2+1)(x -2-1)=(x -1)(x -3)（2）4x 2+12x -7=4x 2+12x +9-9-7=(2x +3)2-16=(2x +3+4)(2x +3-4)=(2x +7)(2x -1)44．下面是某同学对多项式(x -4x +2)(x -4x +6)+4进行因式分解的过程．解：设x -4x =y原式=(y +2)(y +6)+4（第一步）222=y 2+8y +16（第二步）=(y +4)2（第三步）=(x 2-4x +4)2（第四步）请问：（1）该同学因式分解的结果是否彻底？不彻底（填“彻底”或“不彻底”)．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．（2）请你模仿以上方法尝试对多项式(x -2x )(x -2x +2)+1进行因式分解．【解答】解：（1）（2）设x -2x =y原式=y (y +2)+1222(x 2-4x +4)2=(x -2)4，∴该同学因式分解的结果不彻底．=y 2+2y +1=(y +1)2=(x 2-2x +1)2=(x -1)4．故答案为：不彻底．45．阅读并解决问题：对于形如x 2+2ax +a 2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成(x +a )2的形式，但对于二次三项式x 2+2ax -3a 2就不能直接运用公式了．此时，我们可以这样来处理：x 2+2ax -3a 2=(x 2+2ax +a 2)-a 2-3a 2=(x +a )2-4a 2=(x +a +2a )(x +a -2a )=(x +3a )(x -a )像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．（1）利用“配方法”分解因式：a 2-8a +15；（2）若a +b =6，ab =4，求：①a 2+b 2；②a 4+b 4的值；（3）已知x 是实数，试比较x 2-6x +11与-x 2+6x -10的大小，说明理由．【解答】解：（1）a 2-8a +15=(a 2-8a +16)-1=(a -4)2-12=(a -3)(a -5)；（2）a +b =6，ab =4，a2+b2=(a+b)2-2ab=36-8=28．a4+b4=(a2+b2)2-2a2b2=282-2⨯16=752．（3）x2-6x+11=(x-3)2+22，-x2+6x-10=-(x-3)2-1-1，∴x2-6x+11>-x2+6x-10．46．小亮在对a4+1114分解因式时，步骤如下：a4+4=a4+a2+4-a2三项可利用完全平方公式）=(a2+12)2-a2（写成完全平方式与最后一项又符合平方差公式）=(a2+a+12)(a2-a+12)．请你利用上述方法分解因式4x4+1．【解答】解：4x4+1=4x4+4x2+1-4x2=(2x2+1)2-4x2=(2x2+2x+1)(2x2-2x+1)．47．十字相乘法分解因式：（1）x2+3x+2（2）x2-3x+2（3）x2+2x-3（4）x2-2x-3（5）x2+5x+6（6）x2-5x-6（7）x2+x-6（8）x2-x-6（9）x2-5x-36(10)x2+3x-18(11)2x2-3x+1(12)6x2+5x-6．【解答】解：（1）x2+3x+2=(x+1)(x+2)；（2）x2-3x+2=(x-1)(x-2)；（3）x2+2x-3=(x+3)(x-1)；（4）x2-2x-3=(x-3)(x+1)；（5）x2+5x+6=(x+3)(x+2)；（6）x2-5x-6=(x-6)(x+1)；（7）x2+x-6=(x+3)(x-2)；a2与-a2，前（添加（8）x2-x-6=(x-3)(x+2)；（9）x2-5x-36=(x-9)(x+4)；(10)x2+3x-18=(x+6)(x-3)；(11)2x2-3x+1=(2x-1)(x-1)；(12)6x2+5x-6=(2x+3)(3x-2)．48．分解因式：(x+1)(x+3)(x+6)(x+8)+9．【解答】解：(x+1)(x+3)(x+6)(x+8)+9=[(x+1)(x+8)][(x+3)(x+6)]+9=(x2+9x+8)(x2+9x+18)+9=(x2+9x)2+26(x2+9x)+153=(x2+9x+9)(x2+9x+17)．49．分解因式：（1）x4-7x2+6．（2）x4-5x2-36．（3）4x4-65x2y2+16y4．（4）a6-7a3b3-8b6（5）6a4-5a3-4a3．（6）4a6-37a4b2+9a2b4．【解答】解：（1）x4-7x2+6=(x2-1)(x2-6)=(x+1)(x-1)(x+6)(x-6)；（2）x4-5x2-36=(x2-9)(x2+4)=(x+3)(x-3)(x2+4)（3）4x4-65x2y2+16y4=(2x2-4y2)2-49x2y2=(2x2-4y2+7xy)(2x2-4y2-7xy)=(2x-1)(2x+1)(1-4y)(1+4y)；（4）a6-7a3b3-8b6=(a3-8b3)(a3+b3)=(a-2b)(a2+2ab+b2)(a+b)(a2-ab+b2)=(a-2b)(a+b)3(a2-ab+b2)；（5）6a4-5a3-4a3=6a4-9a3=3a3(2a-3)；（6）4a6-37a4b2+9a2b4=a2(4a4-37a2b2+9b4)=a2(4a4-12a2b2+9b4-25a2b2)=a2[(2a2-3b2)2-25a2b2]=a2(2a+1)(2a-1)(1-3b)(1+3b)．50．因式分解：（1）(x+y)4+(x+y)2-20；（2）(x2-2x-2)(x2-2x-9)+6；（3）(x2+4x+3)(x2-12x+35)-105；（4）(x2-6)2-4x(x2-6)-5x2．【解答】解：（1）原式=[(x+y)2-4][(x+y)2+5]=(x+y+2)(x+y-2)(x2+y2+2xy+5)；（2）原式=(x2-2x)2-11(x2-2x)+24=(x2-2x-3)(x2-2x-8)=(x-3)(x+1)(x-4)(x+2)；（3）原式=(x+1)(x+3)(x-5)(x-7)-105=(x2-4x-5)(x2-4x-21)-105=(x2-4x)2-26(x2-4x)=(x2-4x)(x2-4x-26)=x(x-4)(x2-4x-26)（4）原式=(x2-6-5x)(x2-6+x)=(x-6)(x+1)(x-2)(x+3)．第21页（共21页）。
初中数学因式分解常用七大解题方法,分类讲解+例题解析,收藏
初中数学因式分解常用七大解题方法，分类讲解+例题解析，收藏初中数学|因式分解常用七大解题方法，分类讲解+例题解析，收藏 -一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)；(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ———a2±2ab+b2=(a±b)2；(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；三、分组分解法（一）分组后能直接提公因式比如，从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
（二）分组后能直接运用公式分组后能直接运用公式，主要是通过对题目当中各因式的观察，进行分组后，能够进行提公因式分解，直到分解的最后能够变成几个多项式或单项式与多项式的乘积为止。
综合练习：四、十字相乘法.十字相乘法是因式分解当中比较难的一种分解方式。
在运用过程当中，对同学们的思维提出了更高的要求，等大家都熟练了这种方法以后，其实对于因式分解是非常简单的，而且比较方便。
对于十字相乘法，我们分为四种类型。
给大家做详细的讲解。
针对每一种方法都有经典的例题解析，通过例题解析的方式让大家明白因式分解时该如何操作，遵循怎样的分解步骤，才能比较顺利的解决和掌握十字相乘法。
因式分解精选例题(附答案)
因式分解 例题解说及练习【例题优选】：（1） 5x 2 y 15x 3 y 2 20x 2 y 3评析：先查各项系数（其余字母临时不看） ，确立 5，15，20 的最大公因数是 5，确立系数是 5 ，再查各项能否都有字母 X ，各项都有时，再确立 X 的最低次幂是几，至此确认提取 X 2，同法确立提 Y ，最后确立提公因式 5X 2Y 。
提取公因式后，再算出括号内各项。
解： 5x 2 y15x 3 y 2 20x 2 y 3=5x 2y(1 3xy4y 2 )（2）3x 2 y 12x 2 yz 9x 3 y 2评析：多项式的第一项系数为负数，应先提出负号，各项系数的最大公因数为 3，且同样字母最低次的项是 X 2Y解:3x 2 y 12 x 2 yz 9x 3 y 2= (9x 3 y 212x = 3(3x 3 y 2 4x22yz 3x 2 y)yz x 2 y)=3x 2 y(3xy 42 1)（ 3）(y-x)(c-b-a)-(x-y)(2a+b-c)-(x-y)(b-2a)评析：在本题中， y-x 和 x-y 都能够做为公因式，但应防止负号过多的状况出现，所以应提取 y-x解：原式 =(y-x)(c-b-a)+(y-x)(2a+b-c)+(y-x)(b-2a)=(y-x)(c-b-a+2a+b-c+b-2a)=(y-x)(b-a)（4）（4） 把32x 3 y 4 2x 3分解因式评析：这个多项式有公因式 2x 3，应先提取公因式，节余的多项式16y 4-1 具备平方差公式的形式解： 32x 3y42x3=2x 3 (16y 4 1)=2x 3 (4 y 2 1)(4 y 2 1) =2 x3 (2y 1)( 2y 1)( 4y 21)（5）（5） 把 x 7 y 2xy 8 分解因式评析：第一提取公因式xy 2，剩下的多项式x 6-y6能够看作( x 3 ) 2( y 3 ) 2 用平方差公式分解，最后再运用立方和立方差公式分解。
串讲03 因式分解(9个常考点 5种重难点题型 2个易错)七年级数学上学期期中考点(沪教版2024)
请你选择一种方法因式分解：
mx － my ＋ nx － ny ；
【解】 mx － my ＋ nx － ny ＝( mx － my )＋( nx － ny )
＝ m ( x － y )＋ n ( x － y )＝( x － y )( m ＋ n ).
(1)3.2×202.4＋4.7×202.4＋2.1×202.4；
【解】 原式＝202.4×(3.2＋4.7＋2.1)
＝202.4×10＝2 024.
(2)36.8×
＋20.2×
【解】 原式＝
＝
×55＝13.
－2×来自.×(36.8＋20.2－2)
题型二：变形后利用提公因式法分解因式计算
B. 都是乘法运算
C. ①是因式分解，②是乘法运算
D. ①是乘法运算，②是因式分解
考点2 公因式的定义
4. [2023·永州]2 a2与4 ab 的公因式为
2a
5. 8 xmyn－1－12 x3 myn 各项的公因式是( D
A. xmyn
B. xmyn－1
C. 4 xmyn
D. 4 xmyn－1
2x3–2x2y+8y–8x
解
6k2+9km – 6mn–4kn
=2(x3–x2y+4y–4x)
=(6k2+9km) – (6mn+4kn)
=2[(x3–x2y) +(4y–4x)]
=3k(2k+3m) –2n (3m+2k)
=2[x2(x-y)-4(x-y)]
初中因式分解典型例题汇总(附答案)
例 9 因式分解 2ax-10ay+5by-bx．
分析 用分组分解法．可将一、二两项和四、三两项分别作为一组，
这样不仅每组可分解，而且确保继续分解．
解 2ax-10ay+5by-bx
=2ax-10ay-bx+5by
=(2ax-10ay)-(bx-5by)
=2a(x-5y)-b(x-5y)
=(x-5y)(2a-b)．
=x2-(y2+2y+1) =x2-(y+1)2=(x+y+1)(x-y-1) 点评 在分解四项式时，也应首先考虑是否有公因式，如果有，要先 提公因式然后再考虑分组，在分组时，又有两两分组、一三分组和三 一分组三种不同分法，这就需要做到具体问题具体分析．对某些特殊 的四项式也可直接用完全立方公式分解，即a3±3a2b+3ab2±b3=(a± b)3．对五项式或五项以上的多项式也采用分组分解法． 例 11 因式分解x2+4xy+3y2+x+3y． 分析 本题的前三项可以分解为(x+y)(x+3y)，其中(x+3y)正好与后 两项完全一样，所以本题作三二分组，问题便得到解决． 解 x2+4xy+3y2+x+3y =(x2+4xy+3y2)+(x+3y) =(x+y)(x+3y)+(x+3y) =(x+3y)(x+y+1)． 例 12 因式分解： （1）a2+2ab+b2+2a+2b+1， （2）a2+2ab+b2+2a+2b-3， （3）a2+3ab+2b2+2a+b-3． 分析 这三道题都不能平均分组，经观察，它们都可以三二一分组， 分组后，（1）题可经过两次完全平方公式分解，（2）题可经过一次公 式和一次十字相乘分解，而（3）题则可经过两次十字相乘分解． 解 （1）a2+2ab+b2+2a+2b+1
经典因式分解实例解析及答案
一、提公因式法习题及解答：1.(分解因式)：3x2−9xy2解：原式=3x(x−3y)2. (分解因式)：25a3−5a2解：原式=5a2(5a−1)3. (分解因式)：2a3b+4a2b2−6ab3解：原式=2ab(a2+2ab−3b2)=2ab(a+3b)(a−b)4. (分解因式)：27a3b4−9a2b−3ab2解：原式=3ab(9a2b3−3a−b)5. (分解因式)：2(a+b)2−4a(a+b)解：原式=2(a+b)(a+b−4a)=2(a+b)(b−3a)6. (分解因式)：2(x−1)+x(1−x)解：原式=2(x−1)−x(x−1)=(x−1)(2−x)7. (分解因式)：−20x−25xy解：原式=−5x(4+5y)8. (分解因式)：−x3y2−3x2y3解：原式=−x2y2(x+3y)9. (分解因式)：x m−x m+1解：原式=x m(1−x)10. (分解因式)：9m3n2−27m5n2+36m4n4解：原式=9m3n2(1−3m2+4mn2)11. (分解因式)：3x2−9xy解：原式=3x(x−3y)12. (分解因式)：3a3−3a2−9a解：原式=3a(a2−a−3)13. (分解因式)：8x2z+2yz解：原式=2z(4x2+y)14. (分解因式)：−4x3y3+6x2y−2xy 解：原式=−2xy(2x2y2−3x+1)15. (分解因式)：m(a−b)+nb−na 解：原式=m(a−b)−n(a−b)=(m−n)(a−b)16. (分解因式)：2a3b2+a2b3解：原式=a2b2(2a−b)二、公式法习题及解答：17. (分解因式)：−x2y2+4z2解：原式=4z2−x2y2=(2z+xy)(2z−xy)18. (分解因式)：(a+c)2−(b+c)2解：原式=(a+c+b+c)(a+c−b−c)=(a+b+2c)(a−b)19. (分解因式)：4a3b−9ab3解：原式=ab(4a2−9b2)=ab(2a+3b)(2a−3b)20. (分解因式)：4a3−a解：原式=a(4a2−1)=a(2a+1)(2a−1)21. (分解因式)：(3a−4b)2−(4a+3b)2解：原式=(3a−4b+4a+3b)(3a−4b−4a−3b)=(7a−b)(−a−7b)22. (分解因式)：x4−81解：原式=(x2+9)(x2−9)=(x2+9)(x+3)(x−3)23. (分解因式)：16(3x−2y)2−25(x−y)2解：原式=[4(3x−2y)+5(x−y)][4(3x−2y)−5(x−y)] =(12x−8y+5x−5y)(12x−8y−5x+5y)=(17x−13y)(7x−3y)24. (分解因式)：(a+c)2−(b+c)2解：原式=(a+c+b+c)(a+c−b−c)=(a+b+2c)(a−b)25. (分解因式)：4(x+y)2−25(x−z)2解：原式=[2(x+y)+5(x−z)][2(x+y)−5(x−z)] =(2x+2y+5x−5z)(2x+2y−5x+5z)=(7x+2y−5z)(−3x+2y+5z)26. (计算)：20×3452−1552×20解：原式=20×(3452−1552)=20×(345+155)(345−155)=20×500×190=190000027.(计算)：101×99解：原式=(100+1) ×(100−1)=1002−1=999928.(分解因式)：a2−14a+49解：原式=(a−7)229.(分解因式)：(x+y)2−6(x+y)+9解：原式=(x+y−3)230.(分解因式)：3ma2+6mab+3mb2解：原式=3m(a2+2ab+b2)=3m(a+b)231. (分解因式)：−a2−4b2+4ab 解：原式=−(a2−4ab+4b2)=−(a−2b)232. (分解因式)：16a4−8a2+1解：原式=(4a2−1)2=(2a+1)2(2a−1)2分组分解法、十字相乘法习题及解答：33. (分解因式)：2ac−6ad+bc−3bd解：原式=(2ac+bc)−(6ad+3bd)=c(2a+b)−3d(2a+b)=(c−3d)(2a+b)34. (分解因式)：x2−9y2+2x−6y 解：原式=(x+3y)(x−3y)+2(x−3y) =(x+3y+2)(x−3y)35. (分解因式)：a2+a−4b2−2b 解：原式=(a2−4b2)+(a−2b)=(a+2b)(a−2b)+(a−2b)=(a+2b+1)(a−2b)36. (分解因式)：x2−4y2+12yz−9z2解：原式=x2−(4y2−12yz+9z2)=x2−(2y−3z)2=(x+2y−3z)(x−2y+3z)37. (分解因式)：x2−xy+xz−yz 解：原式=x(x−y)+z(x−y)=(x+z)(x−y)38. (分解因式)：2ma−10mb+5nb−na 解：原式=(2ma−10mb)−(na−5nb) =2m(a−5b)−n(a−5b)=(2m−n)(a−5b)39. (分解因式)：x2−5x−xy+5y解：原式=(x2−xy)−(5x−5y)=x(x−y)−5(x−y)=(x−5)(x−y)40. (分解因式)：3ma+4nb+4mb+3na 解：原式=(3ma+3na)+(4nb+4mb) =3a(m+n)+4b(m+n)=(3a+4b)(m+n)41. (分解因式)：1−4x2−4xy−y2解：原式=1−(4x2+4xy+y2)=1−(2x+y)2=(1+2x+y)(1−2x−y)42. (分解因式)：x2−y2−z2+2yz 解：原式=x2−(y2+z2−2yz)=x2−(y−z)2=(x+y−z)(x−y+z)43 (分解因式)：a2−2a+1−b2解：原式=(a−1)2−b2=(a−1+b)(a−1−b)44. (分解因式)：x2+2xy+y2−xz−yz 解：原式=(x+y)2−z(x+y)=(x+y)(x+y−z)45. (分解因式)：a2+9a+14解：原式=(a+2)(a+7)46. (分解因式)：a2+8a+12解：原式=(a+2)(a+6)47. (分解因式)：a2−7a+10解：原式=(a−2)(a−5)48. (分解因式)：a2−2a−8解：原式=(a+2)(a−4)49. (分解因式)：a2−a−12解：原式=(a+3)(a−4)50. (分解因式)：a2−9a−22解：原式=(a+2)(a−11)。
初中数学整式的乘法与因式分解例题解析
初中数学整式的乘法与因式分解例题解析一、整式的乘法例题例1：计算：a2·(－a)3·(－a)；x n·x n＋1·x n－1·x；(x－2y)2·(2y－x)3解：原式＝a2·(－a)3·a1＝－a2·a3·a4＝－a9；原式＝x n＋n＋1＋n－1＋1＝x3n＋1；方法一：原式＝(x－2y)2·[－(x－2y)]3＝－(x－2y)5方法二：原式＝(2y－x)2·(2y－x)3＝(2y－x)5例2：下列运算中正确的是（）A.a2＋a3＝a5B.a2·a3＝a6C.a2＋a3＝aD.(a2)3＝a6解析：a2与a3不是同类项,不能合并,A错误；a2·a3＝a2＋3＝a5≠a6,B错误；a3与a2不是同类项,不能合并,C错误；D正确；(a2)3＝a2×3＝a6。
答案：D例3：已知a m＝4,a n＝10,求a2m＋n的值。
解析：将代数式a2m＋n变形为含a m、a n的代数式,依据是幂的运算法则。
解：a2m＋n＝a2m·a n＝(a m)2·a n＝42×10＝160.例4：计算：(－x2y)3·3xy2·(2xy2)2；－6m2n·(x－y)3·mn2(y－x)2.解：原式＝－x6y3×3xy2×4x2y4＝－x9y9.原式＝－6×m3n3(x－y)5＝－2m3n3(x－y)5.例5：计算：(－2ab)(3a2－2ab－4b2)；5ax(a2＋2a＋1)－(2a ＋3)(a－5)解：原式＝－6a3b＋4a2b2＋8ab3原式＝5a3x＋10a2x＋5ax－(2a2－10a＋3a－15)＝5a3x＋10a2x＋5ax－2a2＋7a＋15例6：计算：(5mn2－4m2n)(－2mn)；(x＋7)(x－6)－(x－2)(x＋1)解：原式＝－10m2n3＋8m3n2.原式＝x2－6x＋7x－42－x2－x＋2x＋2＝2x－40二、因式分解例题例7：下列式子中,从左到右变形属于因式分解的是（）A.a2＋4a－21＝a(a＋4)－21B.a2＋4a－21＝(a－3)(a＋7)C.(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21D.a2＋4a－21＝(a＋2)2－25解析：根据因式分解的概念,只有B选项满足：等号左边是多项式,等号右边是几个整式的积的形式,并且经检验运算过程正确,故选B.答案 B例8：若代数式x2＋ax可以分解因式,则常数a不可以取( )解析：因为代数式x2＋ax可以分解因式,所以常数a不可以取0.例9：下面分解因式正确的是（）A.x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1B.(x2－4)x＝x3－4xC．ax＋bx＝（a＋b）xD.m2－2mn＋n2＝(m＋n)2解析：根据因式分解的概念,A项、B项不是分解因式；C项是提公因式法分解因式；D项虽是分解因式,但错误,应是m2－2m ＋n2＝(m－n)2答案：C例10：把下列各式分解因式：－16x4y6＋24x3y5－9x2y4；4(x＋y)2－4(x＋y) ·z＋z2；(a－b)3－2(b－a)2＋(a－b)；9(x＋a)2＋30(x＋a)(x＋b)＋25(x＋b)2解：原式＝－x2y4(16x2y2－24xy＋9)＝－x2y4(4xy－3)2；原式＝[2(x＋y)]2－2×2(x＋y)·z＋z2＝[2(x＋y)－z]2＝（2x＋2y－z）2；原式＝(a－b)[(a－b)2－2(a－b)＋1]＝(a－b)[(a－b)－1]2＝(a－b)(a－b－1)2；原式＝[3(x＋a)]2＋2·3(x＋a)·5(x＋b)＋[5(x＋b)]2＝[3(x＋a)＋5(x＋b)]2＝(3x＋3a＋5x＋5b)2＝(8x＋3a＋5b)2.关键提醒：因式分解的步骤：(1)先看各项有没有公因式,若有公因式,则先提取公因式.(2)再看能否使用公式法.(3)用分组分解法,即通过分组后再提出公因式或运用公式法来达到分解的目的.(4)因式分解的最后结果,必须是几个整式的积.(5)因式分解的结果必须进行到每个因式不能再分解为止。
初中因式分解经典题型(含详细答案)
初中因式分解经典题型精选第一组：基础题1、a²b+2ab+b2、2a²-4a+23、16-8（m-n）+（m-n）²4、a²（p-q）-p+q5、a（ab+bc+ac）-abc【答案】1、a²b+2ab+b=b（a²+2a+1）=b（a+1）²2、2a²-4a+2=2（a²-2a+1）=2（a-1）²3、16-8（m-n）+（m-n）²然后运用完全平方公式=4²-2*4*（m-n）+（m-n）²=[4-(m-n)] ²=(4-m+n) ²4、a²（p-q）-p+q=a²（p-q）-（p-q）=（p-q）（a²-1）=（p-q）（a+1）（a-1）5、a（ab+bc+ac）-abc=a[（ab+bc+ac）-bc]=a（ab+bc+ac-bc）bc与-bc 抵消=a（ab+ac）提取公因式a=a²（b+c）第二组：提升题6、（x-y-1）²-（y- x-1）²7、a3b-ab38、b4-14b²+19、x4+x²+2ax+1﹣a²10、a5+a+1【答案】6、（x-y-1）²-（y- x-1）²用平方差公式=[（x-y-1）+（y-x-1）][（x-y-1）-（y-x-1）]去括号，合并同类项=（-2）（2x-2y）提取2= -4（x-y）7、a3b-ab3提取公因式ab=ab（a²-b²）用平方差公式=ab（a+b）（a-b）8、b4-14b²+1将-14b²拆分为：+2b²-16b²=b4+2b²-16b²+1将-16b²移到最后=b4+2b²+1-16b²将前三项结合在一起=（b4+2b²+1）-16b²=（ b²+1）²-（4b）²用平方差公式=[（ b²+1）+4b][（ b²+1）-4b] =（ b²+4b+1）（ b²-4b+1）9、x4+x²+2ax+1﹣a²将+x²拆分为：+2x²- x²=x4+2x²- x² +2ax+1﹣a²将x4、+2x²、+1结合，将-x²、+2ax、﹣a²结合=（x4+2x²+1）+（-x²+2ax﹣a²）提取-1=（ x²+1）² -（x²-2ax+a²）=（ x²+1）²-（ x-a）²用平方差公式=[（x²+1）+（x-a）][（x²+1）-（x-a）]=（x²+x-a+1）（x²-x+a+1）10、a5+a+1在式子中添加：-a²+a²=a5 - a²+ a²+a+1将前两项结合，后面三项结合=（a5-a²）+（a²+a+1）提取公因式a²=a²（a3-1）+（a²+a+1）用立方差公式=a²（a-1）（a²+a+1）+（a²+a+1）提取公因式（a²+a+1）=（a²+a+1）[a²（a-1）+1]=（a²+a+1）(a3-a²+1)第三组：进阶题11、x4-2y4-2x3y+xy312、（ac-bd）²+（bc+ad）²13、x²（y-z）+y²（z-x）+z²（x-y）14、x²－4ax＋8ab－4b²15、xy² +4xz -xz²-4x【答案】11、x4-2y4-2x3y+xy3x4与xy3结合，-2y4与-2x3y结合=（x4+xy3）+（-2y4-2x3y）x-2y，=x（x3+y3）-2y（x3+y3）提取公因式（x3+y3）=（x3+y3）（x-2y）=（x+y）（x2-xy+y2）（x-2y）12、（ac-bd）²+（bc+ad）²去括号展开= a²c² - 2abcd + b²d²+b²c² +2abcd + a²d²- 2abcd与+2abcd 抵消=a²c² + b²d² +b²c² + a²d²a²c²与b²c²结合，b²d²与a²d²结合=（a²c²+b²c²）+（ b²d²+a²d²）c²， d ²，=c²（a²+b²）+d²（a²+b²）提取公因式（a²+b²）=（a²+b²）（c²+d²）13、x²（y-z）+y²（z-x）+z²（x-y）=x²（y-z）+y²z -y²x +z²x -z²yy²z与-z²y结合，z²x 与-y²x=x²（y-z）+（y²z -z²y）+（z²x-y²x）提取公因式zy提取公因式=x²（y-z）+ zy（y-z）+x（z²-y²）提取公因式（y-z），=（y-z）（x²+zy）+x（z+y）（z-y）y-z），后一项 +x则变为 -x =（y-z）[（x²+zy）-x（z+y）]=（y-z）（x²+zy-xz-xy）14、x²－4ax＋8ab－4b²²与－4b²结合，－4ax与＋8ab结合=（x²－4b²）+（－4ax＋8ab）-4a=（x+2b）（x-2b）-4a（x-2b）x-2b），=（x-2b）[（x+2b）-4a]=（x-2b）（x+2b-4a）15、xy² +4xz -xz²-4xx，=x（y²+4z -z²-4）=x[y²+(4z -z²-4)]-1，=x[y²-(z²-4z+4)]用完全平方公式进行分解，=x[y²-（z-2）²]=x[y+（z-2））][y-（z-2）]=x（y+z-2）（y-z+2）第四组：经典题16、a6（a²-b²）+b6（b²-a²）17、4m3-31m+1518、a3+5a²+3a-919、x4（1- y）²+2x²（y²-1）+（1+ y）²20、2x4 -x3-6x²- x+ 2【答案】16、a6（a²-b²）+b6（b²-a²）-1=a6（a²-b²）-b6（a²-b²）提取公因式（a²-b²）=（a²-b²）（a6-b6）=（a²-b²）（a²-b²）（a4+a²b²+b4）=（a²-b²）²（a4+a²b²+b4）=（a+b）²（a-b）²（a4+a²b²+b4）17、4m3-31m+15-31m拆分为：-m-30m=4m3-m-30m+15=（4m3-m）+（-30m+15）m-15=m（4m²-1）-15（2m-1）=m（2m+1）（2m-1）-15（2m-1）（2m-1），=（2m-1）[m（2m+1）-15]=（2m-1）（2m²+m-15）=（2m-1）（2m-5）（m+3）18、a3+5a²+3a-93a拆分为：-6a+9a =a3+5a²-6a+9a-9=（a3+5a²-6a）+（9a-9）a9=a（a²+5a-6）+9（a-1）=a（a+6）（a-1）+9（a-1）提取公因式（a-1）=（a-1）[a（a+6）+9]=（a-1）（a²+6a+9）=（a-1）（a+3）²19、x4（1- y）²+2x²（y²-1）+（1+ y）²-1=x4（1- y）² - 2x²（1-y²）+（1+ y）²=[x²(1-y)]² -2x²（1-y）（1+y）+（1+ y）²=（x²-yx²-1- y）²20、2x4 -x3-6x²- x+ 2-x拆分为：3x-4x =2x4 -x3-6x²+3x-4x+ 2=（2x4 -x3）+（-6x²+3x）+（-4x+ 2）=（2x-1）（x3-3x-2）第五组：精选题21、a3+2a2+3a+222、x4-6x²+123、x3+3x+424、2a2b2+2a2c2+2b2c2+a4+b4+c425、a3-3a-226、2x3+3x2-127、a2+3ab+2b2+2a+b-3【答案】21、a3+2a2+3a+23a拆分为：a+2a =a3+2a2+a+2a+2=（a3+2a2+a）+（2a+2）=a（a2+2a+1）+2（a+1）=a（a+1）2+2（a+1）a+1）=（a+1）[a（a+1）+2]=（a+1）（a2+a+2）22、x4-6x²+1-6x2拆分为：-2x2-4x2 =x4-2x²-4x²+1-4x2移到最后=x4-2x²+1-4x²=（x4-2x²+1）-4x²=（x2-1）2-（2x）2=[（x2-1）+2x][（x2-1）-2x] =（x2+2x-1）（x2-2x-1）23、x3+3x+44拆分为：3+1=x3+3x+3+1x3与1结合，3x与3结合=（x3+1） + （3x+3）3=（x+1）（x2-x+1）+3（x+1）x+1）=（x+1）[（x2-x+1）+3]=（x+1）(x2-x+4)24、2a2b2+2a2c2+2b2c2+a4+b4+c4=（a4+b4+2a2b2）+（2a2c2+2b2c2）+c4 =（a2+b2）2+2c2（a2+b2）+c4=[（a2+b2）+c2]2=(a2+b2+c2）225、a3-3a-2-3a拆分为：-a-2a=a3-a-2a-2=（a3-a）+（-2a-2）=a（a2-1）-2（a+1）=a（a+1）（a-1）-2（a+1）a+1）=（a+1）[a（a-1）-2]=（a+1）（a2-a-2）=（a+1）（a+1）（a-2）=（a+1）2（a-2）26、2x3+3x2-13x2拆分为：2x2+x2 =2x3+2x2+x2-1=（2x3+2x2）+（x2-1）=2x2（x+1）+（x+1）（x-1）x+1）=（x+1）[2x2+（x-1）]=（x+1）（2x2+x-1）=（x+1）（2x-1）（x+1）=（x+1）2（2x-1）27、a2+3ab+2b2+2a+b-3=(a2+3ab+2b2)+(2a+b)-3 =(a+b)(a+2b)+(2a+b)-3 =[(a+b)-1][(a+2b)+3] =(a+b-1)(a+2b+3)十字叉乘法故：x2+6x+5=（x+1）（x+5）故：2x2+5x+2=（2x+1）（x+2）故：4x2+5x-3=（2x-1）（2x+3）黄勇权2019-7-14。
八年级因式分解经典题型
八年级因式分解经典题型一、因式分解的概念与方法回顾。
1. 因式分解的定义。
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
2. 因式分解的方法。
- 提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。
例如：ma + mb+mc=m(a + b + c)。
- 公式法。
- 平方差公式：a^2-b^2=(a + b)(a - b)。
- 完全平方公式：a^2±2ab + b^2=(a± b)^2。
二、经典题型及解析。
1. 分解因式x^3-2x^2+x- 解析：首先观察多项式各项都有公因式x，先提取公因式x，得到x(x^2-2x + 1)。
然后对括号内的式子x^2-2x + 1，可以发现它是一个完全平方形式，即(x -1)^2。
所以原式分解因式的结果为x(x - 1)^2。
2. 分解因式9x^2-16y^2- 解析：这个式子符合平方差公式a^2-b^2的形式，其中a = 3x，b=4y。
根据平方差公式可得(3x + 4y)(3x-4y)。
3. 分解因式4x^2+12xy+9y^2- 解析：观察式子，它符合完全平方公式a^2+2ab + b^2的形式，这里a =2x，b = 3y。
所以原式分解因式的结果为(2x+3y)^2。
4. 分解因式x^4-1- 解析：可先利用平方差公式a^2-b^2=(a + b)(a - b)，这里a=x^2，b = 1，得到(x^2+1)(x^2-1)。
而x^2-1还可以继续利用平方差公式分解为(x + 1)(x - 1)，所以最终结果为(x^2+1)(x + 1)(x - 1)。
5. 分解因式2x^2-8- 解析：先提取公因式2，得到2(x^2-4)，然后x^2-4可以利用平方差公式分解为(x + 2)(x - 2)，所以原式分解因式的结果为2(x + 2)(x - 2)。
初中数学：因式分解有哪些方法？十字相乘法因式分解4道例题全解
初中数学：因式分解有哪些方法？十字相乘法因式分解4道例题全解因式分解方法步骤：①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。
十字相乘试一试，分组分解要相对合适。
”分组分解法分组分解是分解因式的一种简洁的方法，下面是这个方法的详细讲解。
能分组分解的多项式有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。
比如：ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。
同样，这道题也可以这样做。
ax+ay+bx+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)几道例题：1．5ax+5bx+3ay+3by解法：原式=5x(a+b)+3y(a+b)=(5x+3y)(a+b)说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。
2．x2-x-y2-y解法：原式=(x2-y2)-(x+y)=(x+y)(x-y)-(x+y)=(x+y)(x-y-1)利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解决。
三一分法，例：a2-b2-2bc-c2原式=a2-(b+c)2=(a-b-c)(a+b+c)十字相乘法十字相乘法在解题时是一个很好用的方法，也很简单。
这种方法有两种情况。
①x2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。
因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．例1：x2-2x-8=(x-4)(x+2)②kx2+mx+n型的式子的因式分解如果有k=ab，n=cd，且有ad+bc=m时，那么kx2+mx+n=(ax+c)(bx+d)．例2：分解7x2-19x-6图示如下：a=7 b=1 c=2 d=-3因为-3×7=-21，1×2=2，且-21+2=-19，所以，原式=(7x+2)(x-3)．十字相乘法口诀：分二次项，分常数项，交叉相乘求和得一次项。
因式分解经典实例及解析50题(打印版)
12.(分解因式)：4小瓶—4十九—炉机+人2九
解：原式=4q2(m 一九)一炉(加一九)
=(4。2 —》2)(加—九)
=(2Q + b)(2α —
一九)
13.(分解因式)：%(% - 2) -(y + l)(y - 1) 解：原式二%2 - 2% - V + 1 二(/ - 2% + 1) -y2 = (% — I)? — y2 =(% — 1 + y)(% - 1 - y)
10.(分解因式)：/ 一 4孙+ 8y + 4y2 一轨 解：原式二(/ - 4%y + 4y2) + (8y - 4%) =(% — 2y7 — 4(% — 2y) =(% - 2y)(% - 2y - 4)
11.(分解因式)：％4 - 2/ + %2 - 36 解：原式=%2(%2 一 2% + 1) - 36 =%2(χ - 1)2 — 36 = [%(% — 1) + 6] [%(% — 1) — 6] =(%2 — % + 6)(%2 _ % _ 6) =(%? — % + 6)(% — 3)(% + 2)
二.答案解析
L（分解因式）：α% — b% + αy — by 解：原式=%（α - b） + y（α - b）
=(α-b)(% + y)
2.(分解因式)：2mα — IOmb + 5献)一九Q 解：原式=2m(α — 5b)—九(G — 5b) =(2租 一 九)(Q _ 5b)
3.(分解因式)：/ — %y + * - yz 解：原式二%(% - y) + z(% - y) 二(% + z)(% — y)
因式分解中考经典题型
因式分解中考经典题型因式分解是代数学中的一个重要内容，也是中学数学中的经典题型之一。
因式分解要求将一个多项式表达式重新写成其乘积的形式，其中每个乘积因式都是多项式的一部分。
下面是一些中考经典的因式分解题型以及相关的解题方法和参考内容。
【题型一：提公因式】提公因式是因式分解中最基础的题型之一，要求将一个多项式中的公因式提出来。
例如：题目：将多项式$6x^3+9x^2$进行因式分解。
解析：可以观察到$6x^3$和$9x^2$的公因式为$3x^2$，因此可以将公因式提出来，得到因式分解为：$3x^2(2x+3)$。
【题型二：平方差公式】平方差公式是因式分解中的常用方法，适用于分解二次三项式。
例如：题目：将多项式$x^2-4$进行因式分解。
解析：可以观察到$x^2-4$符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的形式，其中$a=x$，$b=2$，因此可以将多项式分解为$(x+2)(x-2)$。
【题型三：完全平方法】完全平方法是应用平方公式的一种特殊情况，适用于分解某些特定的多项式。
例如：题目：将多项式$x^4-16$进行因式分解。
解析：可以观察到$x^4-16$符合完全平方法$x^4-a^4=(x^2+a^2)(x^2-a^2)$的形式，其中$a=4$，因此可以将多项式分解为$(x^2+4)(x^2-4)$。
进一步，我们可以将$x^2-4$继续应用平方差公式进行分解，得到最终的因式分解为$(x^2+4)(x+2)(x-2)$。
【题型四：分组因式法】分组因式法是一种应用代数性质的因式分解方法，适用于某些特殊的多项式。
例如：题目：将多项式$2x^3+3x^2+2x+3$进行因式分解。
解析：可以观察到$2x^3+3x^2+2x+3$的第一项和第三项以及第二项和第四项可以分别进行合并。
因此，我们可以将多项式重写为$(2x^3+2x)+(3x^2+3)$，然后再提取公因式，分解为$2x(x^2+1)+3(x^2+1)$，最终化简为$(2x+3)(x^2+1)$。
因式分解
因式分解（factorization）因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上,又有拆项和添项法,待定系数法,双十字相乘法,轮换对称法等．⑴提公因式法①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的～.②提公因式法：一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.am＋bm＋cm＝m（a+b+c）③具体方法：当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的,一般要提出“－”号,使括号内的第一项的系数是正的.⑵运用公式法①平方差公式：. a^2－b^2＝(a＋b)(a－b)②完全平方公式： a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍.③立方和公式：a^3+b^3＝ (a+b)(a^2-ab+b^2).立方差公式：a^3-b^3＝ (a-b)(a^2+ab+b^2).④完全立方公式： a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数) ⑶分组分解法分组分解法：把一个多项式分组后,再进行分解因式的方法.分组分解法必须有明确目的,即分组后,可以直接提公因式或运用公式.⑷拆项、补项法拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项）,使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意,必须在与原多项式相等的原则进行变形.⑸十字相乘法①x^2＋（p q）x＋pq型的式子的因式分解这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分 x^2＋（p q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解如果能够分解成k＝ac,n＝bd,且有ad＋bc＝m 时,那么kx^2＋mx＋n＝（ax b）（cx d）a \-----/b ac＝k bd＝nc /-----\d ad＋bc＝m※多项式因式分解的一般步骤：①如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式；②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；③如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；④分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.(6)应用因式定理：如果f（a）=0,则f（x）必含有因式（x-a）.如f（x）=x^2+5x+6,f（-2）=0,则可确定（x+2）是x^2+5x+6的一个因式.经典例题：1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2) =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2=[(1+y)+x^2(1-y)+2x]·[(1+y)+x^2(1-y)-2x]=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)2.证明：对于任何数x,y,下式的值都不会为33x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)当y=0时,原式=x^5不等于33；当y不等于0时,x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y 互不相同,而33不能分成四个以上不同因数的积,所以原命题成立因式分解的十二种方法把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样,现总结如下：1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.例1、分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题)x -2x -x=x(x -2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式.例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题)a +4ab+4b =（a+2b）3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m +5n-mn-5mm +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n= (m -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x -19x-6分析： 1 -37 22-21=-197x -19x-6=（7x+2）(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解.例5、分解因式x +3x-40解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40=(x+ ) -( )=(x+ + )(x+ - )=(x+8)(x-5)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解.例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7、换元法有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来.例7、分解因式2x -x -6x -x+22x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x=x [2(x + )-(x+ )-6令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6= x [2(y -2)-y-6]= x (2y -y-10)=x (y+2)(2y-5)=x (x+ +2)(2x+ -5)= (x +2x+1) (2x -5x+2)=(x+1) (2x-1)(x-2)8、求根法令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0通过综合除法可知,f(x)=0根为 ,-3,-2,1则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)9、图象法令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )例9、因式分解x +2x -5x-6令y= x +2x -5x-6作出其图象,见右图,与x轴交点为-3,-1,2则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)10、主元法先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解.例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)分析：此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)=(b-c) [a -a(b+c)+bc]=(b-c)(a-b)(a-c)11、利用特殊值法将2或10代入x,求出数P,将数P分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式.例11、分解因式x +9x +23x+15令x=2,则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）12、待定系数法首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解.例12、分解因式x -x -5x -6x-4分析：易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式. 设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd所以解得则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)。