综合除法(1)
初中数学竞赛——余数定理和综合除法
第1讲 余数定理和综合除法知识总结归纳一．除法定理：()f x 和()g x 是两个一元多项式，且()0g x ≠，则恰好有两个多项式()q x 及()r x ，使()()()()f x q x g x r x =⋅+，其中()0r x =，或者()r x 比()g x 次数小。
这里()f x 称为被除式，()g x 称为除式，()q x 称为商式，()r x 称为余式.二．余数定理：对于一元n 次多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++，用一元多项式x c -去除()f x ，那么余式是一个数。
设这时商为多项式()g x ，则有()()()()f x x c g x f c =-+也就是说，x c -去除()f x 时，所得的余数是()f c .三．试根法的依据（因式定理）：如果()0f c =，那么x c -是()f x 的一个因式.反过来，如果x c -是()f x 的一个因式，那么()0f c =。
四．试根法的应用：假定1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++是整系数多项式，又设有理数p c q =是()f x 的根（p q 、是互质的两个整数），则p 是常数项0a 的因数，q 是首项系数n a 的因数.特别的，如果1n a =，即()f x 是首1多项式，这个时候1q =，有理根都是整数根。
典型例题一. 多项式的除法【例1】 已知32()4523f x x x x =+--，2()21g x x x =++，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式()R x .【例2】 已知5432()342352818f x x x x x x =----+，32()213g x x x x =-+-，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式()R x .【例3】 已知432()571023f x x x x x =-+--,2()1g x x =-，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式()R x .二. 综合除法【例4】 用综合除法计算：432(531)(1)x x x x x -----÷+.【例5】 用综合除法求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余数R .（1）2()253f x x x =--，()3g x x =-；（2）32()321f x x x =-+，1()3g x x =+.【例6】 用综合除法计算：432(6534)(21)x x x x x ---+÷+.【例7】 先用综合除法求出()f x 除以()g x 所得的商式和余式，不再作除法，写出()f x 除以()h x 的商式和余式.32()243f x x x x =-+-，()3g x x =-.（1）()2(3)h x x =-；（2）1()(3)2h x x =-.三. 余数定理和多项式理论【例8】 43()241f x x x x =+++，()2g x x =+，求余数R 的值.【例9】 32()23814f x x x x =-+-除以23x -的余数R 是多少？【例10】 （1）求1x -除542()7465f x x x x =--+所得的余数；（2）求22x -除542()7465f x x x x =--+所得的余数.【例11】 多项式324715ax bx x +--可以被31x +和23x -整除，求a ，b .【例12】 试确定a 、b 的值，使多项式432()235f x x x ax x b =-+++被(1)(2)x x --整除.【例13】 已知432()22f x x ax x bx =+++-能被22x x --整除，求a b -的值.【例14】 证明：当a ，b 是不相等的常数时，若关于x 的整式()f x 能被x a -，x b -整除，则()f x 也能被积()()x a x b --整除.【例15】 多项式()f x 除以1x -、2x -所得的余数分别为3和5，求()f x 除以(1)(2)x x --所得的余式.【例16】 已知关于若x 的三次多项式()f x 除以21x -时，余式是21x -；除以24x -时，余式是34x --.求这个三次多项式.【例17】 已知关于x 的三次多项式()f x 除以21x -时，余式是25x -；除以24x -时，余式是34x -+，求这个三项式.【例18】 已知32()232f x x x x =+++除以整数系数多项式()g x 所得的商式及余式均为()h x ，试求()g x 和()h x ，其中()h x 不是常数.【例19】 已知323x kx ++除以3x +，其余数比1x +除所得的余数少2，求k 的值.【例20】 若多项式432x x ax bx c -+++能被3(1)x -整除，求a ，b ，c 的值.【例21】 如果当x 取0，1，2时，多项式分别取值0，0，1，试确定一个二次多项式()f x .四. 因式分解（试根法）【例22】 分解因式：354x x -+.【例23】 分解因式：326116x x x +++.【例24】 分解因式：4322928x x x x +--+.【例25】 分解因式：43293732x x x x -+--.【例26】 分解因式：65432234321x x x x x x ++++++【例27】 分解因式：322392624x x y xy y -+-【例28】 分解因式：32511133x x x ---【例29】 分解因式：32()()x a b c x ab bc ca x abc -+++++-【例30】 分解因式：32(1)(3)(2)a x ax a x a ----+-【例31】 分解因式：32()(32)(23)2()l m x l m n x l m n x m n +++-+---+思维飞跃【例32】 若2310x x +-=，求325518x x x +++的值.【例33】 若2()f x x mx n =++（m n 、都是整数）既是多项式42625x x ++的因子，又是多项式4234285x x x +++的因子，求()f x .【例34】 求证：若a b ≠，则多项式()f x 除以()()x a x b --所得的余式是()(()(f a f b af b bf a x a b a b--+--））.【例35】 ()f x 除以1x -，2x -，3x -多得的余数分别为1，2，3，求()f x 除以(1)(2)(3)x x x ---多得的余式.【例36】 求证：99998888777722221111()1f x x x x x x =++++++能被9872()1g x x x x x x =++++++整除.作业1. 分解因式：（1）3246a a a -++.（2）43233116a a a a +---.（3）4322347136x x y x y xy y --+-.2. 若32()23f x x x ax b =-++除以1x +所得的余数为7，除以1x -所得的余数为5，试求a b 、的值.3. 多项式()f x 除以1x -、2x -和3x -所得的余数分别为1、2、3，试求()f x 除以(1)(2)(3)x x x ---所得的余式.4. 若554x qx r -+能被22)x -（整除，求q 与r 的值.5. 分解因式：3245x x +-.6. 分解因式：4322344x x x x +--+.7. 分解因式：4322744x x x x +++-.8. 分解因式：5432271214103x x x x x +++++.9. 分解因式：33(2)(2)x y x y x y ---.10. 分解因式：32236532x x y xy y --+.11. 分解因式：3284()2()x a b c x ab bc ca x abc +++++++.12. 分解因式：32(1)(3)(2)a x ax a x a ----+-.13. 已知多项式543()3811f x x x x x k =++++能被2x +整除，求k 的值.14. 求证：a b -，b c -，c a -都是222()()()a b c b c a c a b -+-+-的因式，并分解因式.15. 一个整系数3次多项式()f x ，有三个不同的整数123,,a a a ，使123()()()1f a f a f a ===.又设b 为不同于123a a a ，，的任意整数，试证明：()1f b ≠.16. 已知a 、b 、c 、d 是正整数，则4414243a b c d x x x x ++++++能被321x x x +++整除.。
综合除法具体步骤讲解
综合除法具体步骤讲解
综合除法具体步骤讲解
一、定义：
综合除法是指将被除数已知的分数的乘除法运算，按照某种方法拆分成除法和减法运算，然后分步计算，求出商的一种算法。
二、步骤：
1. 确定被除数和除数：
首先，必须确定被除数和除数，即确定被除数为a/b，除数为c/d，
a、b、c、d为整数。
2. 将被除数转换成分数：
接着，我们要将被除数转换成分数的形式，即将a/b转换成ad/bd，其中，d表示乘以d后的分母，ad表示乘以d后的分子，比如：被除数a/b = 2/3，d = 4，除数c/d = 1/2，
则a/b = 8/12，c/d = 4/8。
3. 使用乘除法：
接着，我们可以将被除数乘以除以数的分母d，把被除数转换成另一个与除数相同的分子分母的分数，即ad/bd = cd/d；
然后，我们可以将乘以d后的分子ad除以除数的分母d，即ad/d，得到商c。
4. 使用减法：
最后，我们可以利用减法求出余数，即用被除数的分子ad减去
除数的分子cd，得到ad - cd，这就是余数。
三、总结：
综合除法是一种计算已知分数的乘除法运算的算法，其步骤为：
1、确定被除数和除数；
2、将被除数转换成分数的形式；
3、使用乘除法；
4、使用减法求出余数。
综合除法的推导过程
综合除法的推导过程综合除法是一个数学概念，用于求解两个多项式的商和余数。
这个数学工具在高中数学中经常被用到。
它可以帮助我们更快捷地进行多项式的解题和运算，因此掌握综合除法是非常必要的。
首先，我们需要定义一下综合除法：综合除法是指，当被除数和除数都是多项式时，以除数的最高次方系数为首项系数，将被除数和除数按相同次数的项对齐，进行逐项相除，得到商和余数的过程。
例如，若已知 $f(x)=3x^3+5x^2+7x+1$ 除以 $g(x)=x+2$ ，则可以得到商式$q(x)=3x^2-x+4$ 和余式 $r(x)= -7 $。
那么接下来就是推导综合除法的步骤了。
推导过程：假设 $f(x)$ 是 $g(x)$ 的倍数，即 $f(x)=g(x)h(x)$，则左右两边的次数分别为$m$ 和 $n$，其中 $m \geq n$。
我们再将 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的表示式展开，得到如下式子：$f(x)=a_mx^m + a_{m-1}x^{m-1} + …. + a_1 x + a_0$我们将左边的多项式看做一个一般的多项式，它可以被表示为如下形式：其中，$q_n, q_{n-1}$ 等都是待求系数。
$a_m = b_n c_{m-n}$$a_{m-1}=b_nc_{m-n-1}+b_{n-1}c_{m-n}$……根据多项式除法的定义，$a_n$ 就是上面我们提到的余数，而 $q_n$ 就是商式。
综上所述，对于任意两个多项式 $f(x)$ 和 $g(x)$，都可以通过上述步骤来求出它们的商式和余项。
综合除法的应用是非常广泛的，可以用于解决各种数学题目。
掌握了综合除法的要点和推导过程，我们就能更加轻松地应付这类问题。
综合除法文档
综合除法1. 引言综合除法是数学中的一种基本运算方式，用于求解一个数除以另一个数的结果。
在数学和计算机科学中，除法是一种常见的运算操作，常用于解决各种实际问题。
本文将介绍综合除法的定义、性质和使用方法，并通过一些示例来说明如何进行综合除法运算。
2. 定义综合除法是指将一个数除以另一个数，并求出商和余数的过程。
在综合除法中，被除数、除数、商和余数是四个相关的概念。
•被除数：要进行除法运算的数，即需要被除的数。
•除数：用于除法运算的数，即用来除的数。
•商：在除法运算中，被除数除以除数得到的商，表示被除数中包含了多少个除数。
•余数：在除法运算中，被除数除以除数得到的余数，表示被除数在进行除法运算后剩下的部分。
综合除法的运算过程可以用以下公式表示：被除数 = 商 × 除数 + 余数3. 性质综合除法具有以下几个性质：1.商和余数的取值范围：–商的取值范围是整数集合，可以为正整数、负整数或零。
–余数的取值范围是非负整数，即大于等于零的整数。
2.商和余数的关系：–商等于被除数除以除数向下取整，即商是不超过真实商的最大整数。
–余数等于被除数除以除数的余数，即余数是除法运算的剩余部分。
3.综合除法的唯一性：–给定被除数和除数，商和余数是唯一确定的。
4. 使用方法综合除法的使用方法主要包括以下几个步骤：1.确定被除数和除数。
2.进行除法运算，计算商和余数。
3.检查运算结果的正确性。
下面通过一个例子来说明如何进行综合除法运算：例子：求解 15 ÷ 41.确定被除数为 15，除数为 4。
2.进行除法运算，计算商和余数：–商等于被除数除以除数向下取整，即商为15 ÷ 4 = 3。
–余数等于被除数除以除数的余数，即余数为15 % 4 = 3。
3.检查运算结果的正确性：–根据综合除法的性质，15 应等于商乘以除数加上余数，即15 = 3 × 4 + 3，计算结果与原始被除数相符，说明运算结果正确。
综合除法分解因式过程
综合除法分解因式过程综合除法分解因式过程一、概述综合除法分解因式是一种将多项式分解为更简单的因式的方法。
它可以用于任何多项式，包括高次多项式。
本文将详细介绍如何使用综合除法分解因式。
二、基本概念1. 多项式：由常数、变量和幂次运算（加、减、乘）组成的表达式。
2. 因子：能被整个多项式整除的表达式称为这个多项式的因子。
3. 综合除法：一种用于求出一个多项式在某个给定值处的值的方法。
三、步骤1. 确定要分解的多项式，记作P(x)。
2. 确定一个可能是P(x)的因子，记作f(x)。
3. 使用综合除法计算出P(x)÷f(x)得到商Q(x)和余数R(x)，即：P(x) = f(x)Q(x) + R(x)4. 如果余数R(x)=0，则f(x)是P(x)的一个因子，否则转到步骤2，选择另外一个可能是P(x)的因子。
5. 重复步骤2~4，直到所有可能是P(x)的因子都已经被测试过为止。
此时所有找到的因子相乘就是P(x)的分解式。
四、示例假设我们要分解多项式P(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2。
我们可以使用综合除法来进行分解。
1. 首先，我们需要确定一个可能是P(x)的因子。
由于P(1)=0，因此x-1可能是P(x)的一个因子。
2. 我们使用综合除法计算出P(x)÷(x-1)，得到：x^3 - 2x^2 - x + 2 = (x-1)(x^2-x-1)其中，商为Q(x)=x^2-x-1，余数为R(x)=0。
3. 因此，我们得到了一个因子x-1和一个新的多项式Q(x)=x^2-x-1。
接下来，我们需要对Q(x)进行同样的操作。
4. 我们选择可能是Q(x)的因子为f(x)=x+1。
使用综合除法计算出Q(x)÷(x+1)，得到：Q(x) = (x+1)(x-2)其中，商为Q'(x)=x-1，余数为R'(x)=0。
5. 因此，我们得到了另外两个因子：(x+1)和(x-2)。
用综合除法进行因式分解例析(1)
用综合除法进行因式分解例析（1）例1：把1523923-+-x x x 分解因式、解：设15239)(23-+-=x x x x f ，它的最高项的系数为1，因此试除数只能是常数项的因数，即±1、±3、±5、±15、用视察法计算)1(f 或)1(-f 是特别容易的、)1(f ＝1－9＋23－15＝0，故)(x f 有因式1-x ，因此可用＋1去除、商式为二次三项式，可用十字相乘法分解、∴15239)(23-+-=x x x x f)158)(1(2+--=x x x)5)(3)(1(---=x x x例2：把18483510)(234+-+-=x x x x x f 分解因式、解：此题是四次多项式，中间无缺项，且各项系数的符号是正负相间的，由余数定理可知，假如试除数取负数，那么余数基本上正数，而且可不能是零、又因为f 〔1〕≠0，试除数只有2、3、6、9和18、∴)24()3()(22+--=x x x x f 、从上面例题能够看出，利用综合除法分解整系数多项式)(x f 时，要注意分析)(x f 的特点、〔1〕不管)(x f 的最高次项系数是否为1，±1总是试除数，同时要观看)1(f 或)1(-f 是否为零、〔2〕假如)(x f 的各项系数基本上正数或基本上负数，那么应舍弃正的试除数、〔3〕假如)(x f 中偶次项的系数基本上正数，奇数项的系数基本上负数，或偶次项的系数基本上负数，奇数项的系数基本上正数，那么应舍弃负的试除数、例3：把6423++-x x x 分解因式、解：64)(23++-=x x x x f 、试除数为±1、±2、±3、±6、∵f 〔1〕≠0，f 〔－1〕＝〔－1〕3－4·〔－1〕2＋〔－1〕＋6＝0，因此)(x f 有因式)]1([--x ，即)1(+x ，可用－1去除、∴64)(23++-=x x x x f)65)(1(2+-+=x x x)3)(2)(1(--+=x x x。
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综合除法第五节综合除法、余数定理内容讲解⼀般地，多项式f（x）除以⼀次多项式（x-a）?的商式系数和余数有如下规律：商式的最⾼次项系数就是f（x）（按降幂排列后）的第⼀项系数，把这个数乘以b后再加上f（x）的第⼆项系数就得商的次商为次项系数，如此类推最后得余数，这种⽅法叫做综合除法．余数定理：多项式f（x）除以（x-a）所得的余数等于f（a）．如果f（x）能被（x-a）?整除，也就是（x-a）是f（x）的因式．反之，如果（x-a）是f（x）的因式，那么f（x）?能被（x-a）整除．因此，由余数定理，容易得出：因式定理：如果f（a）=0，那么（x-a）是f（x）的因式，反之，如果（x-a）是f（x）?的因式，那么f（a）=0．例题剖析例1 ⽤综合除法求（3x3+5x2-2）除以（x+3）的商式和余数．分析：整式的除法我们可以⽤竖式法和分离系数法，这⾥我们主要是熟悉综合除法．解：把除式变成（x-a）形为x-（-3）．如右式所⽰：所以商式＝3x2-4x+12．余数＝－38．评注：在⽤综合除法时，①被除式和除式均按降幂排列，其缺项要⽤"0?"补项．②除式⼀定要变成（x-a）的形式．③若f（x）的除式为px-q形（p≠0），?可先变除式为：p（x- ）。
再⽤综合除法求出除以（x- ）的商式Q′（x）和余数k′，则f（?x）?÷（px-q）的商式为Q（x）= Q′（x），余数R=R′．例2 分解因式x4+2x3-9x2-2x+8．分析：原式可能有x±1，x±2，x±4，x±8因式，由于f（1）=0，f（-1）=0，?所以由因式定理，原多项式含有（x-1）（x+1）这两个因式，然后⽤综合除法即可求解．解：∵f（1）=0，f（-1）=0，∴原式中含有（x-1）和（x+1）这两个因式．?由综合除法得：原式＝（x-1）（x+1）（x-2）（x+4）评注：（1）如果多项式f（x）中各项系数的和等于零，那么f（x）有⼀次因式（x-1）；若奇次项的系数的和等于偶次项系数的和，则f（x）有⼀次因式（x+1），记住这个结论很有⽤．（2）本题⽤分组分解也较简单，请同学们⾃⼰求解．例3 已知x+x-6是多项式2x4+x3-ax2+6x+a+b-1的因式，求a，b的值．分析：此题如果⽤以前的⽅法求解，就显得特别的繁琐，?但⽤因式定理就⽐较简单．解：∵x2+x-6=（x+3）（x-2），⼜x2+x-6是多项式2x4+x3-ax2+bx+a+b-1的因式．∴x+3，x-2是它的两个因式．由因式定理，得f（-3）=0，f（2）=0，即∴a=16，b=3．评注：因式定理在因式分解及其他地⽅得到⼴泛的应⽤，必须⾼度重视并熟悉掌握．例4 2x+1除6x4-5x3-3x2-x+4所得的余数．分析：我们可以⽤竖式除法，分离系数法和综合除法求此题的余数，这⾥我们主要尝试余数定理求解．解：∵2x+1=2[x-（- ）]由余数定理，得：r=f（- ）=6×（- ）4-5×（- ）3-3×（- ）2-（- ）+4=4 ．评注：余数定理可以直接求多项式f（x）除以（x-a）式除以（px-q）的余数．例5 证明：（1）对任意⾃然数n，an-bn能被（a-b）整除．（2）当n为偶数时,an-bn能被（a+b）整除；（3）当n为奇数时，an-bn被（a+b）除的余数为-2b．分析：如果我们把an-bn看成是字母a或b的多项式f（a）或f（b），问题就转化为f （a）?或f（b）被（a-b）或（b-a）整除的问题，于是可⽤余数定理求解．证明：把an-bn看成是字母a的多项式f（a）．（1）对任意⾃然数n，当a=b时，f（b）=bn-bn=0，所以f（a）=an-bn能被（a-b）整除．（2）当n为偶数时，f（-b）=（-b）n-bn=0，所以an-bn能被a-（-b）=a+b整除．（3）当n为奇数时，f（-b）=（-b）n-bn=-2bn，故an-bn被（a+b）除的余数为-2bn．评注：正确使⽤余数定理，可以快捷地解答⼀些复杂的问题，希望读者仔细体会．巩固练习1．⽤综合除法求（2x3+x-7）÷（2x+1）的商式、余数．2．已知x= ，求f（x）=3x3-2x2+5的值．3．求证2x+3是2x4-5x3-10x2+15x+18的因式．4．利⽤因式分定理分解因式x3+y3+z3-3xyz．5．已知f（x）=ax3+bx2-47x-15可被3x+1和2x-3整除，求a，b．答案:1．商式=x2- x+ 余数=- ．2．⽤综合除法求f（x）÷（x- ）的余数得f（）= ．3．令f（x）=2x4-5x3-10x2+15x+18．∵f（- ）=2（- ）4-5（- ）3-10（- ）2+15（- ）+18=0，∴2x+3是f（x）的因式．4．令f（x）=x3+y3+z3-3xyz，当x=-（y+z）时，f（x）=f（-（x+y））=-（y+z）3+y3+z3+3（y+z）yz=-（y+z）3+（y+z）3=0，由因式定理知原式有因式x+y+z，⼜因为原式是关于x，y，z?的三次齐次式，故令原式=（x+y+z）[a（x2+y2+z2）+b（xy+yz+zx）]，⽐较两边x3的系数，得a=1，取x=1，y=1，z=1，得0=3×（3+3b），∴b=-1，故原式=（x+y+z）（x2+y2+z2-xy-yz-zx）．5．由因式定理有f（- ）=0和f（）=0，即有解此⽅程，得：a=24，b=2．。
综合除法
综合除法综合除法：综合除法(synthetic division)是一种简便的除法，只透过乘、加两种运算便可计算到一元多项式除以(x - a)的商式与余式。
例1. ( 2x^3 - 6x^2 + 11x - 6) ÷(x - 1)解：Image:MathEquation.GIF被除数：被除数的未知数应是降幂排列，抽取系数用以计算，但若题目的被除数出现，降幂次数中没有3，则在演算的过程中在该系数的位置上补上0，然后如常计算。
除数：除数中的未知数前的系数有时并不一定会是1，当出现别的系数时，如：3x –2中的3，我们会把它变做3 (x - 2/3) ，同样以- 来计算，但当得出结果的时候除余式外全部除以该系数。
∴Ans：商式Q = 2x^2 - 4x + 7余式R = -1注意：演算时，须紧记末项是余式之系数，即原被除式末项文字之系数。
商式之首项文字必较原被除式之首项文字次数少1，余依齐次式类推。
综合除法与因式分解：综合除法的依据是因式定理即若(x-a)能整除某一多项式，则(x-a)是这一多项式的一个因式。
用x－b除有理整式f(x)=a0x+a1x+a2x+…+an-1x+an所得的余数为f(b)=a0b+a 1b+a2b+…+an-1b+an(余数定理)，若f(b)=0时，f(x)有x－b的因式．用综合除法找出多项式的因式，从而分解因式的方法．例分解因式3x－3x－13x－11x－10x－6∴原式=(x+1)(x+1)(x－3)(3x+2)=(x+1)(x－3)(3x+2)．说明：(1)用综合除法试商时，要由常数项和最高次项系数来决定．常数项的因数除以最高次项系数的因数的正负值都可能是除的整除商．上例中常数项是6，最高次项系数是3它们的因式可能是x±1，x±2，x±3，x±6，3x±1，3x±2．试除时先从简单的入手．(2)因式可能重复．对于综合除法的一个好方法：另外告诉你一下有关综合除法的计算对这个很有帮助比如(3x^4-6x^3+4x^2-1)÷（x-1）将x-1的常数项-1做除数将被除式的每一项的系数列下来将最高项的系数落下来用除数-1乘以落下的3得-3写在第二项-6下用-6减-3写在横线下，再用-1乘以-3的3写在第三项4下，用4减3得1写在横线下一直除...直到最后一项得0所以就有(3x^3-6x^2+4x-1)÷（x-1）=3x^2-3x+1 0横线下的就是商式的每一项系数，而最后的一个就是余式这里商式是3x^2-3x+1，余式是0-1┃3 -6 4 -1┃-3 3 -1┗━━━━━3 -3 1 |0又如(4x^3-3x^2-4x-1)÷（x+1）1┃4 -3 -4 -1┃ 4 -7 3┗━━━━━4 -7 3|-4所以(4x^3-3x^2-4x-1)÷（x+1）=4x^2-7x+3……-4商式是4x^2-7x+3，余式是-4注意！！这个方法仅用于除式为x-a的形式的多项式除法综合除法，其实就是多项式除以多项式，一般步骤是：（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐．（2）用除式的第一项去除被除式的第一项，得商式的第一项．（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），从被除式中减去这个积．（4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+余式如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除用上面的方法，下面给出几道利用综合除法分解因式的例题，作为掌握综合除法的练习：x^3+x^2-10x-66=1*6=2*3f(3)=0所以有因式：（X-3）用综合除法得：x^3+x^2-10x-6=(x-3)(x^2+4x+2)x^3+x^2-10x+88=1*8=2*4f(2)=0,所以有因式：（X-2）用综合除法得：x^3+x^2-10x+8=(x-2)(x^2+3x-4)=(x-2)(x+4)(x-1)4(x^4)+4(x^3)-9(x^2)-x+22=1*2f(1)=0所以有因式：x-1用综合除法得：4x^4+4x^3-9x^2-x+2=(x-1)(4x^3+8x^2-x-2)=(x-1)（x+2)(2x+1)(2x-1)分解因式a^6-64(b^6)=(a^3+8b^3)(a^3-8b^3)=(a+2b)(a^2+4b^2-2ab)(a-2b)(a^2+4b^2+2ab)x^9+y^9=[x^3+y^3][x^6+y^6-x^3y^3]=[x+y][x^2+y^2-xy][x^6+y^6-x^3y^3]8(a^3)+b^3+c^3-6abc=[2a+b+c][4a^2+b^2+c^2-2ab-2ac-bc]1+x+x^2+x^3+.....................+x^15=(1+x)+x^2(1+x)+x^4(1+x)...+x^14(1+x)=(1+x)(1+x^2+x^4+x^6+...+x^14)=(1+x)[(1+x^2)+x^4(1+x^2)+x^8(1+x^2)+x^12(1+x^2)] =(1+x)(1+x^2)(1+x^4+x^8+x^12)=(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)。
综合除法
綜合除法：當除式g (x )=x -a 時，我們介紹綜合除法去求商式、餘式。
【範例】：設f (x )=2x 4+x 2 -5x ，g (x )= x -2，求f (x )除以g (x )的商式、餘式。
解 ：2 x 4 + x 2 -5x = ( 2x 3+ 4x 2+ 9x +23 ) ( x – 2) +46綜合除法的原理：設f (x )=a 3x 3+a 2x 2+a 1x +a 0，g (x )=x -b ，若存在商式q (x )=c 2x 2+c 1x +c 0，餘式r (x )=d 。
由除法的定義：(a 3x 3+a 2x 2+a 1x +a 0)=( c 2x 2+c 1x +c 0)( x -b )+d經比較係數可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+-==d b c a c b c a c b c a c a 0001112223⇒ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+==b c a d b c a c bc a c a c 0011022132上面的關係可寫成以下的形式：當f (x )除以g (x )=ax +b 時，我們也可利用綜合除法求餘式r (x )、商式q (x )。
由除法的定義：f (x )=(ax +b )⋅q (x )+r (x )=(x +b a)⋅[aq (x )]+r (x )可先利用綜合除法求出f (x )除以(x +b a)的商式q /(x )=aq (x )與餘式r (x )， 而所要求的商式q (x )=1aq /(x )，餘式r (x )不變。
餘式定理、因式定理)(,)(,)()(01200112230120123x r dc c c x q bc a b c a bc a a bb c b c b c a a a a x f ==⇓⇓⇓⇓++++↓+=式餘式商,46,23942461884)(205102+除法原理：f (x)= g (x)⋅q(x) + r(x)，deg r(x)<deg g(x) 或r(x) = 0餘式定理：多項式f(x)除以x -a 的餘式等於f (a)。
综合除法资料
综合除法在数学中，我们经常会遇到各种不同形式的除法运算。
综合除法是一种将多种类型的除法问题综合在一起进行处理的数学方法。
通过综合除法，我们可以更高效地解决涉及到不同形式的除法计算的问题，提高我们对除法运算的理解和应用能力。
1. 整数除法整数除法是最基本的一种除法形式。
在整数除法中，除数和被除数都是整数，商也是整数，余数可以是整数也可以是零。
整数除法中有一些特殊的规则和性质，例如当被除数能够整除除数时，商为整数，余数为零；当被除数不能整除除数时，商为整数，余数为小于除数的正整数。
在整数除法中，除数、被除数、商和余数之间的关系是非常重要的。
2. 带余除法带余除法是一种在整数除法基础上扩展而来的除法形式。
带余除法要求除数为整数，被除数可以是整数、分数或者其他形式，商和余数都可以是整数、分数或者小数。
带余除法在实际应用中有着重要的作用，例如在计算机编程中，我们经常会用到带余除法来实现除法运算并得到余数值。
3. 除法的性质除法是数学中一个非常重要的基本运算。
在学习和应用除法时，我们需要了解除法运算的一些基本性质和规则。
例如，除数不能为零，除法的交换律和结合律，除法与乘法的关系等。
通过了解这些性质，我们可以更好地理解除法运算的本质，避免在实际计算中出现错误。
4. 小结综合除法是一个涉及到多种不同形式的除法运算的数学方法。
通过综合除法，我们可以更高效地解决各种除法问题，提高我们对除法运算的理解和掌握能力。
在学习和应用除法时，我们需要重点关注除数、被除数、商和余数之间的关系，同时要了解除法的基本性质和规则。
通过不断练习和实践，我们可以提升自己的除法运算水平，更好地应用除法在实际问题中。
综合除法
第五节综合除法、余数定理内容讲解一般地，多项式f（x）除以一次多项式（x-a）•的商式系数和余数有如下规律：商式的最高次项系数就是f（x）（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数乘以b后再加上f（x）的第二项系数就得商的次商为次项系数，如此类推最后得余数，这种方法叫做综合除法．余数定理：多项式f（x）除以（x-a）所得的余数等于f（a）．如果f（x）能被（x-a）•整除，也就是（x-a）是f（x）的因式．反之，如果（x-a）是f（x）的因式，那么f（x）•能被（x-a）整除．因此，由余数定理，容易得出：因式定理：如果f（a）=0，那么（x-a）是f（x）的因式，反之，如果（x-a）是f（x）•的因式，那么f（a）=0．例题剖析例1 用综合除法求（3x3+5x2-2）除以（x+3）的商式和余数．分析：整式的除法我们可以用竖式法和分离系数法，这里我们主要是熟悉综合除法．解：把除式变成（x-a）形为x-（-3）．如右式所示：所以商式＝3x2-4x+12．余数＝－38．评注：在用综合除法时，①被除式和除式均按降幂排列，其缺项要用"0•"补项．②除式一定要变成（x-a）的形式．③若f（x）的除式为px-q形（p≠0），•可先变除式为：p（x- ）。
再用综合除法求出除以（x- ）的商式Q′（x）和余数k′，则f（•x）•÷（px-q）的商式为Q（x）= Q′（x），余数R=R′．例2 分解因式x4+2x3-9x2-2x+8．分析：原式可能有x±1，x±2，x±4，x±8因式，由于f（1）=0，f（-1）=0，•所以由因式定理，原多项式含有（x-1）（x+1）这两个因式，然后用综合除法即可求解．解：∵f（1）=0，f（-1）=0，∴原式中含有（x-1）和（x+1）这两个因式．•由综合除法得：原式＝（x-1）（x+1）（x-2）（x+4）评注：（1）如果多项式f（x）中各项系数的和等于零，那么f（x）有一次因式（x-1）；若奇次项的系数的和等于偶次项系数的和，则f（x）有一次因式（x+1），记住这个结论很有用．（2）本题用分组分解也较简单，请同学们自己求解．例3 已知x+x-6是多项式2x4+x3-ax2+6x+a+b-1的因式，求a，b的值．分析：此题如果用以前的方法求解，就显得特别的繁琐，•但用因式定理就比较简单．解：∵x2+x-6=（x+3）（x-2），又x2+x-6是多项式2x4+x3-ax2+bx+a+b-1的因式．∴x+3，x-2是它的两个因式．由因式定理，得f（-3）=0，f（2）=0，即∴a=16，b=3．评注：因式定理在因式分解及其他地方得到广泛的应用，必须高度重视并熟悉掌握．例4 2x+1除6x4-5x3-3x2-x+4所得的余数．分析：我们可以用竖式除法，分离系数法和综合除法求此题的余数，这里我们主要尝试余数定理求解．解：∵2x+1=2[x-（- ）]由余数定理，得：r=f（- ）=6×（- ）4-5×（- ）3-3×（- ）2-（- ）+4=4 ．评注：余数定理可以直接求多项式f（x）除以（x-a）式除以（px-q）的余数．例5 证明：（1）对任意自然数n，an-bn能被（a-b）整除．（2）当n为偶数时,an-bn能被（a+b）整除；（3）当n为奇数时，an-bn被（a+b）除的余数为-2b．分析：如果我们把an-bn看成是字母a或b的多项式f（a）或f（b），问题就转化为f （a）•或f（b）被（a-b）或（b-a）整除的问题，于是可用余数定理求解．证明：把an-bn看成是字母a的多项式f（a）．（1）对任意自然数n，当a=b时，f（b）=bn-bn=0，所以f（a）=an-bn能被（a-b）整除．（2）当n为偶数时，f（-b）=（-b）n-bn=0，所以an-bn能被a-（-b）=a+b整除．（3）当n为奇数时，f（-b）=（-b）n-bn=-2bn，故an-bn被（a+b）除的余数为-2bn．评注：正确使用余数定理，可以快捷地解答一些复杂的问题，希望读者仔细体会．巩固练习1．用综合除法求（2x3+x-7）÷（2x+1）的商式、余数．2．已知x= ，求f（x）=3x3-2x2+5的值．3．求证2x+3是2x4-5x3-10x2+15x+18的因式．4．利用因式分定理分解因式x3+y3+z3-3xyz．5．已知f（x）=ax3+bx2-47x-15可被3x+1和2x-3整除，求a，b．答案:1．商式=x2- x+ 余数=- ．2．用综合除法求f（x）÷（x- ）的余数得f（）= ．3．令f（x）=2x4-5x3-10x2+15x+18．∵f（- ）=2（- ）4-5（- ）3-10（- ）2+15（- ）+18=0，∴2x+3是f（x）的因式．4．令f（x）=x3+y3+z3-3xyz，当x=-（y+z）时，f（x）=f（-（x+y））=-（y+z）3+y3+z3+3（y+z）yz=-（y+z）3+（y+z）3=0，由因式定理知原式有因式x+y+z，又因为原式是关于x，y，z•的三次齐次式，故令原式=（x+y+z）[a（x2+y2+z2）+b（xy+yz+zx）]，比较两边x3的系数，得a=1，取x=1，y=1，z=1，得0=3×（3+3b），∴b=-1，故原式=（x+y+z）（x2+y2+z2-xy-yz-zx）．5．由因式定理有f（- ）=0和f（）=0，即有解此方程，得：a=24，b=2．。
综合除法
综合除法40本词条百科名片缺少名片信息, 正文无图片, 百科名片缺少图片, 无基本信息模块, 欢迎各位编辑词条，额外获取40个积分。
目录1 符号2 例题3 因式分解4 方法介绍1 符号2 例题3 因式分解4 方法介绍1 符号编辑本段Q 商式R 余式2 例题编辑本段( 2x^3 - 6x^2 + 11x - 6) ÷(x - 1)解：Image:MathEquation.GIF被除数：被除数的未知数应是降幂排列，抽取系数用以计算，但若题目的被除数出现，降幂次数中没有3，则在演算的过程中在该系数的位置上补上0，然后如常计算。
除数：除数中的未知数前的系数有时并不一定会是1，当出现别的系数时，如：3x –2中的3，我们会把它变做3 (x - 2/3) ，同样以 - 来计算，但当得出结果的时候除余式外全部除以该系数。
∴答：商式Q = 2x^2 - 4x + 7余式R = 1注意：演算时，须紧记末项是余式之系数，即原被除式末项文字之系数。
商式之首项文字必较原被除式之首项文字次数少1，余依齐次式类推。
3 因式分解编辑本段综合除法的依据是因式定理即若(x-a)能整除某一多项式，则(x-a)是这一多项式的一个因式。
用x－b除有理整式f(x)=A0+A1x+A2x^2+…+An-1x^n-1+AnX^n所得的余数为f(b)=a0b+a1b+a2b+…+an-1b+an(余数定理)，若f(b)=0时，f(x)有x－b的因式．用综合除法找出多项式的因式，从而分解因式的方法．例分解因式3x^3-4x^2-13x-6∴原式=(x－3)(3x+2)(x+1).说明：(1)用综合除法试商时，要由常数项和最高次项系数来决定．常数项的因数除以最高次项系数的因数的正负值都可能是除的整除商．上例中常数项是6，最高次项系数是3它们的因式可能是x±1，x±2，x±3，x±6，3x±1，3x±2．试除时先从简单的入手．(2)因式可能重复．4 方法介绍编辑本段另外告诉你一下有关综合除法的计算对这个很有帮助比如(3x^3-6x^3+4x^2-1)÷（x-1）将x-1的常数项-1做除数将被除式的每一项的系数列下来由高幂到低幂排列缺项的系数用零代替，将最高项的系数落下来，用除数-1乘以落下的3，得-3，写在第二项-6下，用-6减-3写在横线下（补：若是用x-1=0的解即取x=1作为除数则是用加），再用-1乘以-3的3写在第三项4下，用4减3得1写在横线下一直除...直到最后一项得0所以就有(3x^3-6x^2+4x-1)÷（x-1）=3x^2-3x+1 0横线下的就是商式的每一项系数，而最后的一个就是余式这里商式是3x^2-3x+1，余式是0-1┃3 -6 4 -1 (用1 1┃3 -6 4 -1（-）┃ -3 3 -1 做除数（+ ) ┃ 3 -3 1┗━━━━━ ┗━━━━━3 -3 1 |0 -3 1 |0又如(4x^3-3x^2-4x-1)÷（x+1）1┃4 -3 -4 -1┃ 4 -7 3┗━━━━━4 -7 3|-4所以(4x^3-3x^2-4x-1)÷（x+1）=4x^2-7x+3……-4商式是4x^2-7x+3，余式是-4注意！！这个方法仅用于除式为x-a的形式的多项式除法。
综合除法与余数定理(含答案)-
综合除法与余数定理数学运算既要求正确，还要求迅速。
简化运算方法与步骤，是速算的一种重要途径。
例如，应用正负数的概念，可以把有理数的加减法统一为加法，即求代数和，把两种运算转化成一种运算，就是一种了不起的简化。
同样地，整式的加减法也可以统一成加法，即合并同类项，进而简化为求同类项系数的代数和，把代数式的运算转化为数的运算，又是一种了不起的简化。
本期主要介绍一种简便的综合除法运算方法。
1、综合除法在课本上已学习了用竖式计算两个一元多项式相除的问题。
由多项式除法我们可以推得（此处用表示关于x的多项式）除以的商式系数和余数有如下规律：商式的最高次项系数就是（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数乘以b加的第二项系数得商式的次高次项系数，以此类推最后得余数。
例1 计算（）分析把除式变成形式用综合除法，解：，∴商式为，余式为-38说明用综合除法计算时要注意：（1）被除式与除式按降幂排列后的缺项要用0补足；（2）除式要变成的形式（b可以是负数）例2用综合除法计算（1）；（2）解：（1）∴商式为，余式为-3（2）用除，只需先以除，再把求得的商用2除，而余数不变。
∴商式为，余式为。
说明一般地，多项式除以一次二项式，用综合除法先将多项式除以，所得的商式除以p就是所求的商式，所得的余数就是所求的余数。
2、余数定理若多项式f（x）除以的商式为p（x），余数为r，则当时，（此处表示多项式中x用数值b代入后计算出的数值），从而有下面的定理。
余数定理多项式除以()所得的余数等于。
特别地，当时，我们称多项能被整除，即()是的因式，这也称为因式定理。
由余数定理易知多项式除以的余数就是的多项式的值。
余数定理告诉我们，可以不做除法求除以的余数；反过来在计算复杂时也可以用综合法求。
例3一个关于x的二次多项式，它被除余2，它被除时余28，它还可被整除，求。
解：设由题意得解得 a=3,b=1,c=2。
∴说明因能被整除，所以是的因式，于是可设，再由，，列出a,b的方程求解。
综合除法知识点总结
综合除法知识点总结一、除法的定义除法是指将一个数除以另一个数，从而得到商和余数。
被除数、除数、商和余数是除法运算中涉及到的四个要素。
其中，被除数除以除数得到的商是指整数部分的商，而得到的余数是指除法运算中余下的部分。
二、除法的基本性质1. 除法的唯一性：对于任意两个正整数a和b，存在唯一的一组整数商和余数，使得a=qb+r，其中0≤r<b。
2. 除数不为零：除数不能为零，即在除法运算中，除数必须为非零数。
3. 零的除法：任何非零数除以零的结果是无穷大。
4. 除法的交换律和结合律：对于任意两个不等于零的实数a和b，有a/b=b/a，而对于任意三个不等于零的实数a、b和c，有(a/b)/c=a/(b/c)。
5. 余数的非负性：在除法运算中，余数必定是非负数。
三、长除法长除法是一种逐步进行除法运算，将被除数从左到右依次除以除数，并将每一步的商和余数记录下来，直到被除数中没有数字为止。
它是解决较大整数相除的一种有效方法。
长除法的具体步骤如下：1. 将被除数写在长除法的左边，除数写在长除法的右边。
2. 从被除数的最左侧数字开始，将它与除数进行除法运算，得到商和余数，将商写在上方，余数写在下方。
3. 将余数带入下一步的除法运算中，重复上述步骤直到被除数中没有数字。
长除法在计算中节省时间和资源，是学生在初中阶段较为重要的数学运算方法。
四、小数除法小数除法是指除法运算中，被除数和除数为小数，得到的商和余数也是小数。
小数除法的运算步骤和整数除法类似，但需要注意小数点的位置，及时进行进位和补零等操作。
小数除法在实际生活中有着广泛的应用，比如在商业计算、科学实验、金融业务等多个领域。
五、除法的应用1. 商和余数的用途：商和余数在实际生活中有着广泛的应用。
比如在商业领域中，商代表着买卖的数量和价格，余数则代表着剩下的部分。
在科学实验中，商和余数也有着重要的作用，能够对实验数据进行清晰的归纳和总结。
2. 利用除法解决实际问题：在日常生活和学习中，除法运算经常被用于解决一些实际问题。
初中数学《综合除法、大除法》讲义及练习
板块一 综合除法、多项式除法记号()f x关于x 的代数式常用记号()f x 或()g x 等表示，例如，用()f x 表示代数式223x x +-，则可记为 ()223f x x x =+-．这时()1f 就表示1x =时，代数式223x x +-的值，即()2121130f =⨯+-=，同样地，有()2020033f =⨯+-=-；()()()2121132f -=⨯-+--=-等等．用()f x 可以代表关于x 的各种不同的代数式，但在同一个问题中，不同的代数式要用不同的字母表示，如()f x ，()g x ，()q x ，()r x 等．综合除法在学习多项式除法时，我们有带余除法：()()()()f x g x q x r x =⋅+ （1）其中()f x 表示被除式，()g x 表示除式，()q x 表示商式，()r x 表示余式，且余式()r x 的次数小于除式()g x 的次数．如果()g x 是一次式x a -，则()r x 的次数小于1，因此，()r x 只能为常数（0或非零常数）．这时，余式也叫余数，记为r ，即有()()()f x x a q x r =-⋅+ （2）当一个多项式除以一个形如x a -的一次式时，有一种简便的运算方法——综合除法，我们用一个例子来说明，如求()2357f x x x =+-除以2x +所得的商式和余式． 解析：先用一般的竖式除法计算2231235736725x x x x x xx x -++-+----所以，商式为31x -，余数为5-．从运算中我们可以发现上述运算实际上是它们系数之间的运算，所以我们可以省去字母，将上面的除法用下面的简便方式来表示．3 5 726 2 3 1 5+-----商式为31x -，余数为5-．这种简便的除法，称为综合除法，其演算过程如下：⑴被除式按x 的降幂排列好，依次写出各项的系数，遇到缺项，必须用“0”补足． ⑵把除式x a -的常数项的相反数a 写在各项系数的左边，彼此用竖线隔开．⑶下移第一个系数作为第三行的第一个数；用它乘以a ，加上第二个系数，得到第三行的第二个数；再例题精讲综合除法和余数定理把这个数乘以a ，加上第三个系数，就得到第三行的第三个数，…，依此进行运算，最后一个数即为余数，把它用线隔开，线外就是商式的多项式系数．【例 1】 求4222356x x x x --++除以()1x +所得的商式和余数． 【解析】 用综合除法计算如下：2 3 1 +5 +612 5 4 1 2 5 4 1 5-------所以，商式为322541x x x -++，余数为5．点评：本题介绍的是不含缺项且除式系数为1的综合除法．【巩固】 求多项式()3243525f x x x x =+--除以2x -所得的商式和余数． 【解析】 先将()f x 按降幂排列，()3243525f x x x x =+--43223505x x x x =-+++⋅-用综合除法，计算如下：2 +3 5 0 524 2 6 12 2 1 3 6 7-+----- 所以，商式为32236x x x --++，余数为7．点评：本题介绍的是含有缺项且除式的系数为1的综合除法， 注意应先将()f x 缺项，应该用零补足．【巩固】 求多项式43223248x x x +--除以2x -的商式和余数． 【解析】 商式()32271224q x x x x =+++，余数0r =．用余数定理可知余数为()20f =．【例 2】 用综合除法计算()()43267821x x x x --+÷+． 【解析】12122x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，先用432678x x x --+除以12x +． 6 7 1 0 +81 3 5 2 12 6 10 4 2 9-------所以，我们有432678x x x --+()3216104292x x x x ⎛⎫=+-+-+ ⎪⎝⎭()3211261042922x x x x ⎡⎤⎛⎫⎡⎤=+⋅-+-+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦()()322135219x x x x =+⋅-+-+因此，所求的商式为323521x x x -+-，余数为9．点评：如果除式是一次式，但x 前的系数不为1，即除式为()ax b +，（0a ≠，1a ≠），则可先用()f x 除以b x a +，这时就可用综合除法了，若通过计算得到()()b f x x q x r a ⎛⎫=+⋅+ ⎪⎝⎭，则()()()()11b f x a x q x r ax b q x r a a a ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎡⎤=+⋅+=+⋅⋅+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦．因此所以的商式是()1q x a ⋅，余数仍为r ．【巩固】 用综合除法计算：()()432653421x x x x x ---+÷+．【解析】 先将原式变形，原式()4321653422x x x x x ⎛⎫=---+÷+÷ ⎪⎝⎭，用综合除法求出()432165342x x x x x ⎛⎫---+÷+ ⎪⎝⎭的商式和余式，然后再求原式的商式和余式．综合除法计算()432165342x x x x x ⎛⎫---+÷+ ⎪⎝⎭如下：再把商式323682x x x -+-除以2得，商式()32133424q x x x x =-+-，余数194r =．点评：本例介绍的是除式的系数不为1的综合除法，其解法的理论依据是余数定理，令12x +与21x +的值为0，均有12x =-，由余数定理可知，余数均为12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭．由余数定理可知，()()()b f x f ax b q x a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()()b b f x f x aq x a a ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故43219153442bx x x x x ⎛⎫⎛⎫---+-÷+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的商式为()()432653421x x x x x ---+÷+的12，但它们的余数相同，这就是该解法的来历．【例 3】 计算：()()432229291x x x x x +--+÷-.【解析】 看看此题，我们发现除式的次数不是1，我们还能用综合除法吗？显然是不能直接使用综合除法了，因为综合除法要求除式的次数为1，那么我们可不可以依照上例的解题思路呢？反正，余数是一定的，那么我们可以先求()()43223291x x x x x +--+÷+的商式，然后再求()()()432292911xx x x x x +--+÷+÷-的商式，不管可行不可行，先试试再说！综合除法求()()43229291x x x x x +--+÷+的同式如下： 商式为32108x x x +-+，余数为1再求()()321081x x x x +-+÷-的商式如下：从而可知，()()432229291x x x x x +--+÷-的商式为228x x +-，余数为1．此方法虽然可行，但我们发现比较复杂，那么有没有更好的更直接的办法呢？有！答案就是多项式除法，我们在做前面的例题时，发现多项式除法不如综合除法那么简单，那是在除式的最高次数为1的情况下，若除式的最高次不为1，则多项式除法更快，更准确！如果除式不可分解，则不可行，其实以上就是综合除法与多项式除法之间的异同！ 下面我们看看多项式除法解本题，如下：22432423232228129292822289881x x x x x x x x x x x xx xx x +--+--+-----+-+()()432229291xx x x x +--+÷-的商式为228x x +-，余数为1．点评：本题介绍的是除式为非1次的多项式或除法，可作为从综合除法到多项式除法的过渡．【巩固】 计算：()()643355571x x x x x -+-+÷+． 【解析】 显然本题应该使用多项式除法来解，过程如下：323265432654343243232320540010550570054055005400740043x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x +-+++++-++-++++-++-----++++++故商式为354x x -+，余数为3．点评：本题中，除式和被除式均有缺项．【巩固】 计算：()()43223471361x x y x y xy y x y --+-+÷-．【解析】 3234322344322322334347671361713776661x y x y x y x yx y x y x y x yx y x y x y x y xy x y y x by -+---+-+--+-+--故商式为32376x xy y -+，余数为1．点评：本题在前面例题变式的基础上更进一步，介绍的是二元的多项式除法，请大家体会其解题步骤．板块二 余数定理和因式定理余数定理和因式定理由()()()f x x a q x r =-⋅+式，当x a =时，有()()()f a a a q x r r =-⋅+=，因此，我们有以下重要定理：余数定理：多项式()f x 除以()x a -所得的余数等于()f a ，有些时候余数定理作余式定理． 如求()2357f x x x =+-除以2x +的余数．解析：由于()22x x +=--，()()()22325275f -=⨯-+⨯--=-．所以，所求的余数为5-．这与我们前面用综合除法求得的余数相同．再由（2）式知，如果()f x 能被x a -整除，那么必有0r =；反之，如果0r =，那么()f x 能被x a -整除，由此，我们有：因式定理：若多项式()f x 能被x a -整除，亦即()f x 有一个因式x a -，则()0f a =；反之，如果()0f a =，那么x a -必为多项式()f x 的一个因式．【例 4】 求()4353858f x x x x x =-+-+除以24x -所得的余数．【解析】 根据余数定理：多项式()f x 除以x a -所得的余数等于()f a ，也就是说令除式为零求出的x ，代入原多项式所得的值，就是两式相除的余数．从而可知，原式除以24x -所得的余数为：()435232825228150f x =-+⨯-+=．【巩固】 设()543231015987f x x x x x x =+--++，求13f ⎛⎫- ⎪⎝⎭．【解析】 先用综合除法，计算()13f x x ⎛⎫÷+ ⎪⎝⎭．求得()13f x x ⎛⎫÷+ ⎪⎝⎭的余数4，根据余数定理，143f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．点评：本题也可用13-直接代入()f x 来计算，但计算时比较麻烦，改用综合除法，利用余数定理来计算，则相对较简单．【例 5】 多项式()f x 除以1x -，2x -所得的余数分别为3和5，求()f x 除以()()12x x --所得的余式．【解析】 根据题意，由余数定理，知()13f =，()25f =．设()f x 除以()()12x x --后所得商式为()q x ，余式为ax b +，（因为除式是二次的，所以余式至多是一次的），则()()()()()12f x x x q x ax b =--⋅++⎡⎤⎣⎦， 所以，有()()13,(1)22 5.(2)f a b f a b ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩由⑴，⑵解得2a =，1b =． 因此，所求的余式为21x +．说明：余数定理讨论的是()f x 除以一次式x a -的余数问题，当除式超过一次时，余式的形式就变得复杂了，本题的方法具有普遍性，可看作是余数定理的一种推广．【巩固】 多项式()f x 除以1x -，2x -，3x -所得的余数分别为1，2，3，试求()f x 除以()()()123x x x ---所得的余式． 【解析】 设()()()()()2123f x x x x q x ax bx c =---+++，则有()11f a b c =++=，()2422f a b c =++=，()3933f a b c =++=解之得，0a =，1b =，0c =，故()()()()()123f x x x x q x x =---+， 从而可知()f x 除以()()()123x x x ---所得的余式为x ．【巩固】 已知()32232f x x x x =+++除以整数系数多项式()g x 所得的商式及余式均为()h x ，试求()g x 和()h x ，其中()h x 不是常数．【解析】 设()()()()f x g x h x h x =⋅+，则有()()()1f x g x h x =+⎡⎤⎣⎦又()()()()()322223212111f x x x x x x x x x x ⎡⎤=+++=+++=++++⎣⎦，根据余数定理可知，()h x 的次数小于()g x ，故()21g x x x =++，()1h x x =+．【巩固】 求一个关于x 的二次三项式()f x ，它能被1x -除余2，被2x -除余8，并且它被1x +整除． 【解析】 设()2f x ax bx c =++，则由余数定理可知，()12f =，()28f =，()10f -=，故5234281023a a b c a b c b a b c c ⎧=⎪++=⎧⎪⎪++=⇒=⎨⎨⎪⎪-+=⎩⎪=-⎩，故()25233f x x x =+-．【巩固】 试确定a 和b 的值，使()432235f x x x ax x b =-+++被()()12x x +-整除． 【解析】 因为()f x 被()()12x x +-整除，所以()f x 被1x +和2x -整除，根据因式定理，有()()()()()43212131151f a b -=⨯--⨯-+⨯-+⨯-+0a b =+=，()43222232252f a b =⨯-⨯+⨯+⨯+4180a b =++=，即0,4180.a b a b +=⎧⎨++=⎩ 解之得 6a =-，6b =．【巩固】 设()4323811f x x x x kx =++-+被3x +整除，试求k 的值． 【解析】 由题意知()30f -=，亦即：()()()()432333833110k -+⨯-+⨯---+=，即3830k +=，从而833k =-．【巩固】 已知关于x 的三次多项式()f x 除以21x -时，余式是25x -；除以24x -时，余式是34x -+，求这个三次多项式． 【解析】 设()32f x ax bx cx d =+++，则由余数定理可知()1253f =-=-， ()1257f -=--=-， ()2642f =-+=-，()210414f -=+=故有533738422113842108a a b c d a b c d b a b c d c a b c d d ⎧=-⎪+++=-⎧⎪⎪-+-+=-=⎪⎪⇒⎨⎨+++=-⎪⎪=⎪⎪-+-+=⎩⎪=-⎩故所求多项式为()325113833f x x x x =-++-．【例 6】 若554x qx r -+被()22x -整除，求q 与r 的值．【解析】 （解法一）设()()2532542x qx r x x ax bx r -+=-+++，则有()()()()5543254444544444x qx r x a x b a x b a x b r x r -+=+-+-++-++-+对比各项系数可知，40a -=，440b a -+=，440r b a -+=，445b r q -=-解之得，4a =，12b =，32r =，16q = 故16q =，32r =． （解法二）也可使用未知数系数含字母的多项式除法来求解本题，如下：322543254343243232322241232440005444440416161216512484832(548)432128128x x x x x x x x x qx rx x x x x x x x x x x qx x x xx q x r x x +++-++++-+-+-+-+---+-++-+故548128q +=，412816r q =⇒=，32r =．【巩固】 设()2f x x mx n =++（m ，n 都是整数）既是多项式42625x x ++的因子，又是多项式4234285x x x +++的因子，求()f x ．【解析】 经观察发现，426250x x ++>，故不可能根据因式定理找出一个一次式是它的因式，这样，我们就无法根据因式定理直接来求()f x ，但是根据因式定理可知，若()()()f x q x g x =⋅，()()()h x p x g x =⋅，则有()()()()()f x nh x q x np x g x -=-⋅⎡⎤⎣⎦ 我们可以利用这一点消去高次项，然后求出()f x ．设()()4234285x x x f x g x +++=⋅，()()42625x x f x h x ++=⋅，则有()()()()()()4242325342853x bx x x x f x h x f x g x ++-+++=⋅-⋅即()()()21428703x x f x h x g x -+=-⎡⎤⎣⎦ 即()()()()214253x x f x h x g x -+=-⎡⎤⎣⎦又()2f x x mx n =++，故()225f x x x =-+．点评：本题是间接利用因式定理的一个典型的例题，解题思想值得反复回来．【拓展】证明：当a 、b 是不相等的常数时，若关于x 的整式()f x 被x a -和x b -整除，则()f x 也被()()x a x b --整除．【解析】 设()f x 被()()x a x b --除时，商式为()q x ，余式为mx n +，其中m ，n 为待定常数，则()()()()f x x a x b q x mx n =--⋅++．因为()f x 能被x a -和x b -整除，由因式定理得：()()()()0f a a a a b q a ma n =--⋅++=， ()()()()0f b b a b b q b mb n =--⋅++=，即0(1)(2)ma n mb n +=⎧⎨+=⎩ 由（1）-（2）得()0a b m -=，又因为a b ≠，所以0m =． 把0n =代入（1），得0n =．所以0mx n +=，因此，()f x 除以()()x a x b --的余式为0，即()f x 被()()x a x b --整除．点评：本题的结论也非常有用．【拓展】整系数三次多项式()f x ，有三个不同的整数1a ，2a ，3a ，使()()()1231f a f a f a ===，又设b 为不同于1a ，2a ，3a 的任意整数，试证明：()1f b ≠．【解析】 解法一：由()()()1231f a f a f a ===可知，()()()1231110f a f a f a -=-=-=．由因式定理可知1x a -，2x a -，3x a -是多项式()1f x -的三个因式，故()()()()1231f x a x a x a x a -=---（a 为非零常数）故()()()()1231f b a b a b a b a -=---又b 为不同于1a ，2a ，3a 的任意整数，故()1f b ≠．解法二：由题意可知()()()123()1f x a x a x a x a =---+，其中，a 为整数且0a ≠，则()()()()1231f b a b a b a b a =---+（因为b 不同于1a ，2a ，3a ）．点评：本题是经过变形的因式定理的应用，关键在于对()1f x -运用因式定理．。
综合除法
综合除法、余数定理内容讲解一般地，多项式f（x）除以一次多项式（x-a）•的商式系数和余数有如下规律：商式的最高次项系数就是f（x）（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数乘以b后再加上f（x）的第二项系数就得商的次商为次项系数，如此类推最后得余数，这种方法叫做综合除法．余数定理：多项式f（x）除以（x-a）所得的余数等于f（a）．如果f（x）能被（x-a）•整除，也就是（x-a）是f（x）的因式．反之，如果（x-a）是f（x）的因式，那么f（x）•能被（x-a）整除．因此，由余数定理，容易得出：因式定理：如果f（a）=0，那么（x-a）是f（x）的因式，反之，如果（x-a）是f（x）•的因式，那么f（a）=0．例题剖析例1 用综合除法求（3x3+5x2-2）除以（x+3）的商式和余数．分析：整式的除法我们可以用竖式法和分离系数法，这里我们主要是熟悉综合除法．解：把除式变成（x-a）形为x-（-3）．如右式所示：所以商式＝3x2-4x+12．余数＝－38．评注：在用综合除法时，①被除式和除式均按降幂排列，其缺项要用“0 ”补项．②除式一定要变成（x-a）的形式．③若f（x）的除式为px-q形（p≠0），•可先变除式为：p（x- ）。
再用综合除法求出除以（x- ）的商式Q′（x）和余数k′，则f（•x）•÷（px-q）的商式为Q（x）= Q′（x），余数R=R′．例2 分解因式x4+2x3-9x2-2x+8．分析：原式可能有x±1，x±2，x±4，x±8因式，由于f（1）=0，f（-1）=0，•所以由因式定理，原多项式含有（x-1）（x+1）这两个因式，然后用综合除法即可求解．解：∵f（1）=0，f（-1）=0，∴原式中含有（x-1）和（x+1）这两个因式．•由综合除法得：原式＝（x-1）（x+1）（x-2）（x+4）评注：（1）如果多项式f（x）中各项系数的和等于零，那么f（x）有一次因式（x-1）；若奇次项的系数的和等于偶次项系数的和，则f（x）有一次因式（x+1），记住这个结论很有用．（2）本题用分组分解也较简单，请同学们自己求解．例3 已知x2+x-6是多项式2x4+x3-ax2+6x+a+b-1的因式，求a，b的值．分析：此题如果用以前的方法求解，就显得特别的繁琐，•但用因式定理就比较简单．解：∵x2+x-6=（x+3）（x-2），又x2+x-6是多项式2x4+x3-ax2+bx+a+b-1的因式．∴x+3，x-2是它的两个因式．由因式定理，得f（-3）=0，f（2）=0，即∴a=16，b=3．评注：因式定理在因式分解及其他地方得到广泛的应用，必须高度重视并熟悉掌握．例4 2x+1除6x4-5x3-3x2-x+4所得的余数．分析：我们可以用竖式除法，分离系数法和综合除法求此题的余数，这里我们主要尝试余数定理求解．解：∵2x+1=2[x-（- ）]由余数定理，得：r=f（- ）=6×（- ）4-5×（- ）3-3×（- ）2-（- ）+4=4 ．评注：余数定理可以直接求多项式f（x）除以（x-a）式除以（px-q）的余数．例5 证明：（1）对任意自然数n，a n-b n能被（a-b）整除．（2）当n为偶数时,a n-b n能被（a+b）整除；（3）当n为奇数时，a n-b n被（a+b）除的余数为-2b．分析：如果我们把a n-b n看成是字母a或b的多项式f（a）或f（b），问题就转化为f（a）•或f（b）被（a-b）或（b-a）整除的问题，于是可用余数定理求解．证明：把a n-b n看成是字母a的多项式f（a）．（1）对任意自然数n，当a=b时，f（b）=b n-b n=0，所以f（a）=a n-b n能被（a-b）整除．（2）当n为偶数时，f（-b）=（-b）n-b n=0，所以a n-b n能被a-（-b）=a+b整除．（3）当n为奇数时，f（-b）=（-b）n-b n=-2b n，故a n-b n被（a+b）除的余数为-2b n．巩固练习1．用综合除法求（2x3+x-7）÷（2x+1）的商式、余数．2．已知x=，求f（x）=3x3-2x2+5的值．3．求证2x+3是2x4-5x3-10x2+15x+18的因式．4．利用因式分定理分解因式x3+y3+z3-3xyz．5．已知f（x）=ax3+bx2-47x-15可被3x+1和2x-3整除，求a，b．答案:1．商式=x2- x+ 余数=- ．2．用综合除法求f（x）÷（x- ）的余数得f（）=．3．令f（x）=2x4-5x3-10x2+15x+18．∵f（- ）=2（-）4-5（- ）3-10（- ）2+15（- ）+18=0，∴2x+3是f （x ）的因式．4．令f （x ）=x 3+y 3+z 3-3xyz ，当x=-（y+z ）时，f （x ）=f （-（x+y ））=-（y+z ）3+y 3+z 3+3（y+z ）yz=-（y+z ）3+（y+z ）3=0，由因式定理知原式有因式x+y+z ， 又因为原式是关于x ，y ，z•的三次齐次式，故令原式=（x+y+z ）[a （x 2+y 2+z 2）+b （xy+yz+zx ）]，比较两边x 3的系数，得a=1，取x=1，y=1，z=1，得0=3×（3+3b ）， ∴b=-1，故原式=（x+y+z ）（x 2+y 2+z 2-xy-yz-zx ）． 5．由因式定理有f （- ）=0和f （ ）=0，即有解此方程，得：a=24，b=2．1.設()43224f x x x x =--++，()324369g x x x x =+-+，則(1)()()f x g x +=____________，(2)()()f x g x -=____________。
综合除法的推导过程
综合除法的推导过程综合除法是一种求解多项式之间商和余数的方法，它可以帮助我们更快速、准确地计算多项式的值和系数。
下面是综合除法的推导过程：对于两个多项式f(x)和g(x)，我们要求得它们的商q(x)和余数r(x)，即f(x)除以g(x)的结果为：f(x) = q(x) * g(x) + r(x)其中，r(x)的次数比g(x)低，即r(x) < g(x)。
假设g(x)的次数为n，那么我们可以将f(x)和g(x)表示为：f(x) = a0 + a1 * x + a2 * x^2 + ... + an * x^ng(x) = b0 + b1 * x + b2 * x^2 + ... + bn * x^n 其中，a0~an和b0~bn为系数。
我们可以将f(x)和g(x)表示为矩阵的形式：| a0 | | b0 b1 b2 ... bn | | q0 | | r0 || a1 | | 0 b0 b1 ... bn-1 | | q1 | | r1 || a2 | | 0 0 b0 ... bn-2 | * | q2 | = | r2 || ...| * | ... | | ...| | ...|| an | | 0 0 0 ... b0 | | qn | | rn | 其中，q0~qn为商的系数，r0~rn为余数的系数。
我们需要找到q0~qn和r0~rn，使得上述的等式成立。
我们可以通过逐步消元的方式，求得q0~qn和r0~rn的值。
具体来说，我们可以将矩阵变换为上三角矩阵，然后再通过回带法求得q0~qn和r0~rn。
具体步骤如下：1. 将第一行乘以b0，然后减去第二行的b1倍，得到新的第二行。
即：| a0 | | b0 b1 b2 ... bn | | q0 | | r0 || a1 | | 0 b0 b1 ... bn-1 | | q1 | | r1 || a2 | | 0 0 b0 ... bn-2 | | q2 | | r2 || ...|-> | ... | | ...|-> | ...|| an | | 0 0 0 ... b0 | | qn | | rn |2. 将第二行乘以b0，然后减去第三行的b1倍，得到新的第三行。
综合除法——精选推荐
综合除法与余数定理一、知识提要与典型例题综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。
综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。
本节我们将作一些初步介绍。
（一）、综合除法一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。
当被除式)(x f 除以除式)0)((),(≠x g x g 得商式)(x q 及余式)(x r 时，就有下列等式：)()()()(x r x q x g x f +⋅=。
其中)(x r 的次数小于)(x g 的次数，或者0)(=x r 。
当0)(=x r 时，就是)(x f 能被)(x g 整除。
下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。
例1、用综合除法求3474142x x x -++除以2-x 所得的商和余式。
解： 余式商的各项的系数82632241264414072++--+--++- ∴)2()74142(34-÷-++x x x x 的商是263223+--x x x ，余式是8。
上述综合除法的步骤是：（1）把被除式按降幂排好，缺项补零。
（2）把除式的第二项-2变成2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。
（3）把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。
（4）用2乘商的第一项的系数2，得4，写在被除式的第二项的系数-7的下面，同-7相加，得到商的第二项系数-3。
（5）用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数0的下面，同0相加，得到商的第三项的系数-6。
（6）用2乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14的下面，同14相加，得到商的第三项系数2。
（7）用2乘商的常数项2，得4，写在被除式的常数项4的下面，同4相加，得到余式8。
前面讨论了除式都是一次项系数为1的一次式的情形。
如果除式是一次式，但一次项系数不是1，能不能利用综合除法计算呢？例2、求)23()1623103(23-÷+-+x x x x 的商式Q 和余式R 。
综合除法原理
綜合除法（Synthetic Division）綜合除法（Synthetic Division）台北市立中山女高數學科陳啟文老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯綜合除法基本上就是多項式長除法（Long Division）的簡化過程，將計算的算式，巧妙的省略與排列後，藉由簡單且重複的操作，可以找出多項式的一次因式，也可以計算多項式函數的函數值。
的商式與餘式，其簡化的過程如下圖所示：除以的商式與餘式，其簡化的過程如下圖所示：例如，我們要計算多項式例如，我們要計算多項式除以，則得到。
其中除式。
其中除式。
若令，則得到於是，可以得到。
若令於是，可以得到去處理，同時，長除法中的「上為時，要改用時，要改用去處理，同時，長除法中的「上式」去減「下式」也要跟著改成「上式」去加「下式」算是回答學生疑問的制式答案！透過上圖與老師個人的口頭解說，固然順暢，也頗合乎邏輯！但如果能夠換個角度來看多項式函數的」與「」」函數值計算，或許會變得比較自然些。
例如，我們可以將多項式的函數改寫成「函數值計算，或許會變得比較自然些。
例如，我們可以將多項式的函數改寫成「」與「的基本計算模式如下：就會掉入所謂「嵌套乘法」（Nested Multiplication），於是，函數的係數與輸入數值），於是，函數的係數與輸入數值的的那麼計算就會掉入所謂「嵌套乘法」（那麼計算計算迴路，便有「由括號最內，再往括號外」的計算順序：很明顯的，整個「Step by Step」的過程「乘、加」不僅呈現週而復始的規律現象，而且每一步驟都會對應到綜合除法的排列方式。
這樣的想法引人，不僅提供學生「如何計算多項式函數值」的另一個面向，如果教師願意的話，還可以在「遞迴關係」課程中，多增加此一項教學素材，可當兩單元教材之間的連結。
附近的數值」作為代的冪級數形式，並估計在附近的數值」作為代綜合除法的應用，一般都以「將多項式函數化成綜合除法的應用，一般都以「將多項式函數化成的冪級數形式，並估計在表。
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综合除法与余数定理
一、知识提要与典型例题
综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。
综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。
本节我们将作一些初步介绍。
（一）、综合除法
一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。
当被除式)(x f 除以除式)0)((),(≠x g x g 得商式)(x q 及余式)(x r 时，就有下列等式：
)()()()(x r x q x g x f +⋅=。
其中)(x r 的次数小于)(x g 的次数，或者0)(=x r 。
当0)(=x r 时，就是)(x f 能被)(x g 整除。
下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。
例1、用综合除法求3474142x x x -++除以2-x 所得的商和余式。
解： 余式商的各项的系数
826322
4
1264414072++--+--++-444344421 ∴)2()74142(34-÷-++x x x x 的商是263223+--x x x ，余式是8。
上述综合除法的步骤是：
（1）把被除式按降幂排好，缺项补零。
（2）把除式的第二项-2变成2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。
（3）把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。
（4）用2乘商的第一项的系数2，得4，写在被除式的第二项的系数-7的下面，同-7相加，得到商的第二项系数-3。
（5）用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数0的下面，同0相加，得到商的第三项的系数-6。
（6）用2乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14的下面，同14相加，得到商的第三项系数2。
（7）用2乘商的常数项2，得4，写在被除式的常数项4的下面，同4相加，得到余式8。
前面讨论了除式都是一次项系数为1的一次式的情形。
如果除式是一次式，但一次项系数不是1，能不能利用综合除法计算呢？
例2、求)23()1623103(23-÷+-+x x x x 的商式Q 和余式R 。
解：把除式缩小3倍，那么商就扩大3倍，但余式不变。
因此先用32-x 去除被除式，再把所得的商缩小3倍即可。
∴Q=542-+x x ， R=6。
下面我们将综合除法做进一步的推广，使除式为二次或者二次以上的多项式时也能够利用综合除法来求商和余式。
例3、用综合除法求)23()4101173(2234-+÷-+-+x x x x x x 的商Q 和余式R 。
解：231232
32
34
66
94101173-++-++-+--+--+-+
∴Q=5232+-x x ， R=23-x 。
（二）、余数定理
余数定理又称裴蜀定理。
它是法国数学家裴蜀（1730~1783）发现的。
余数定理在研究多项式、讨论方程方面有着重要的作用。
余数定理：多项式)(x f 除以a x -所得的余数等于)(a f 。
略证：设R a x x Q x f +-⋅=)()()(
将x=a 代入得R a f =)(。
例4、确定m 的值使多项式m x x x x x f +++-=1183)(345能够被x-1整除。
解：依题意)(x f 含有因式x-1，故0)1(=f 。
∴1－3＋８＋11＋ｍ＝０。
可得ｍ＝－17。
求一个关于x 的二次多项式，它的二次项系数为1，它被x-3除余1，且它被x-1除和被x-2除所得的余数相同。
解：设b ax x x f +==2)(
∵)(x f 被3-x 除余1，∴139)3(=++=b a f ①
∵)(x f 被1-x 除和2-x 除所得的余数相同，∴
b a b a f f ++=++=241)2()1(即 ②
由②得3-=a ，代入①得1=b
∴13)(2+-=x x x f 。
注：本例也可用待定系数法来解。
同学们不妨试一试。
即：1))(3())(2())(1(2++-≡++-≡++-≡++p x x R n x x R m x x b ax x 由R n x x R m x x ++-≡++-))(2())(1(，可得1,2-=-=n m 再由1))(3()1)(2(++-≡+--p x x R x x ，解得0=p 。
∴13)(2+-=x x x f 。