湖北省八校2018届高三第二次联考数学试题及答案

绝密★启用前鄂南高中 华师一附中 黄冈中学 黄石二中 荆州中学 孝感高中 襄阳四中 襄阳五中2018届高三第二次联考理科数学试题命题学校：鄂南高中 命题人：陈佳敏 审题人：吕 骥审题学校：襄阳四中 审定人：王启冲 张 婷本试卷共4页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{|2,}xA y y x R ==∈，{|1,}B x y x x R ==-∈，则AB =A ．{}1B ．(0,)+∞C ．(0,1)D ．(0,1]2．若复数z 满足22zi z i +=-（i 为虚数单位），z 为z 的共轭复数，则1z +=A ．5B ．2C ．3D ．33．在矩形ABCD 中，4,3AB AD ==，若向该矩形内随机投一点P ，那么使得ABP ∆与ADP ∆的面积都不小于2的概率为A ．14 B ．13 C ．47 D ．494．已知函数()(1)()f x x ax b =-+为偶函数，且在(0,)+∞单调递减，则(3)0f x -<的解集为A ．(2,4)B ．(,2)(4,)-∞+∞C ．(1,1)-D ．(,1)(1,)-∞-+∞5．已知双曲线22212x y a a-=-的离心率为2，则a 的值为 A ．1 B ．2- C ．1或2- D ．-1 6．等比数列的前n 项和，前2n 项和，前3n 项和分别为,,A B C ，则A ．ABC += B ．2B AC =C ．3A B C B +-=D ．22()A B A B C +=+7．执行如图所示的程序框图，若输入0,2m n ==，输出的 1.75x =，则空白判断框内应填的条件为A ．1?m n -<B ．0.5?m n -<C ．0.2?m n -<D ．0.1?m n -< 8．将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移12π个单位得到函数()g x 的图象，在()g x 图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为A ．24x π=-B ．4x π=C ．524x π=D ．12x π= 9．在239(1)(1)(1)x x x ++++++的展开式中，含2x 项的系数是A ．119B ．120C ．121D ．720 10．我国古代数学名著《九章算术》记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无丈．刍，草也；甍，屋盖也．”翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶．”如图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形．则它的体积为A ．1603 B ．160 C ．2563 D ．6411．已知椭圆22:143x yC +=，直线:4l x =与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，点C 在直线l 上，则“BC //x 轴”是“直线AC 过线段EF 中点”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．下列命题为真命题的个数是①ln 33ln 2<； ②ln eππ<； ③15215<； ④3ln 242e <A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．平面向量a 与b 的夹角为045，(1,1),1a b =-=，则2a b +=__________．14．已知实数,x y 满足约束条件2001x y x y k x -+≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩，且2z x y =+的最小值为3，则常数k =__________．15．考虑函数xy e =与函数ln y x =的图像关系，计算：21ln e xdx =⎰__________．16．如图所示，在平面四边形ABCD 中，2AD =，4CD =， ABC ∆为正三角形，则BCD ∆面积的最大值为__________．三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项10a >且22n n n S a a =+()n N *∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若0()n a n N *>∈，令1(+2)n n n b a a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（12分）如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，FA FC =，且60DAB DBF ∠=∠=︒． （1）求证：AC ⊥平面BDEF ；（2）求直线AD 与平面ABF 所成角的正弦值．19．(12分)某市政府为了节约生活用电，计划在本市试行居民生活用电定额管理，即确定一户居民月用电量标准a ，用电量不超过a 的部分按平价收费，超出a 的部分按议价收费．为此，政府调查了100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[280,300)分组的频率分布直方图如图所示．（1）根据频率分布直方图的数据，求直方图中x 的值并估计该市每户居民月平均用电量μ的值； （2）用频率估计概率，利用（1）的结果，假设该市每户居民月平均用电量X 服从正态分布()2,N μσ （ⅰ）估计该市居民月平均用电量介于240μ～度之间的概率；（ⅱ）利用（ⅰ）的结论，从该市．．所有居民中随机抽取3户，记月平均用电量介于240μ～ 度之间的户数为Y ，求Y 的分布列及数学期望()E Y ．20．（12分）如图，圆22:4O x y +=，(2,0),(2,0)A B -，D 为圆O 上任意一点，过D 作圆O 的切线分别交直线2x =和2x =-于,E F 两点，连,AF BE 交于点G ，若点G 形成的轨迹为曲线C .（1）记,AF BE 斜率分别为12,k k ，求12k k ⋅的值并求曲线C 的方程； （2）设直线:(0)l y x m m =+≠与曲线C 有两个不同的交点,P Q ，与直线2x =交于点S ，与直线1y =-交于点T ，求OPQ ∆的面积与OST ∆面积的比值λ的最大值及取得最大值时m 的值．21．(12分)已知函数2()(1+)1xf x ax e =-．（1）当0a ≥时，讨论函数()f x 的单调性； （2）求函数()f x 在区间[0,1]上零点的个数．（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．［选修4—4：坐标系与参数方程］（10分）已知直线l 的参数方程为2222x t y a t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数，a R ∈），曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=.（1）分别将直线l 的参数方程和曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）若直线l 经过点(0,1)，求直线l 被曲线C 截得线段的长．23．［选修4—5：不等式选讲］（10分）已知函数()241,f x x x x R =-++∈ （1）解不等式()9f x ≤；（2）若方程2()f x x a =-+在区间[0,2]有解，求实数a 的取值范围．湖北省八校2018届高三第二次联考参考答案及评分说明理科数学1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 DADBCDBA B A A C13．10 14．2- 15．21e + 16．443+ 【提示】11．若//BC x 轴；不妨设AC 与x 轴交于点G ，过A 作//AD x 交直线l 于点D 则：FD AG DE BC AC CD ==，EG CE AD CD =两次相除得：FG AD DE EG BC CE ⋅=又由第二定义：AD AF DE BC BF CE ==1FG EG∴=∴G 为EF 的中点反之，直线AB 斜率为零，则BC 与x 轴重合 12．构造函数ln ()xF x x=求导分析单调性可知①③④正确（注：构造函数ln ()x F x x =也可）16．设,ADC ACD αβ∠=∠=，由余弦定理可知：22016cos AC α=-，212cos 8AC AC β+=又由正弦定理：22sin sin sin sin AC ACαββα=⇒=211312sin 312sin()2(sin cos )2()2322228BCDAC S BC CD BC BC AC AC παβββ∆+∴=⋅+=+=+4sin()433πα=-+ 所以最大值为443+17．（1）1(1)n n a -=-或n a n =；（2）32342(1)(2)n n T n n +=-++． 解析：（1）当1n =时，21112S a a =+，则11a =当2n ≥时，2211122n n n n n n n a a a a a S S ---++=-=-， 即111()(1)0n n n n n n a a a a a a ---+--=⇒=-或11n n a a -=+1(1)n n a -∴=-或n a n= (6)分（2）由0n a >，n a n ∴=，1111()(2)22n b n n n n ==-++ 1111111111323[(1)()()][1]2324222+1242(+1)(2)n n T n n n n n n +∴=-+-++-=+--=-+++ ………………12分18．（1）见解析；（2）155．解析：（1）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，且O 为AC 中点， ∵FA FC =，∴AC FO ⊥,又FO BD O =，∴AC ⊥平面BDEF .…………………5分（2）连接DF ，∵四边形BDEF 为菱形，且60DBF ∠=︒，∴DBF ∆为等边三角形， ∵O 为BD 中点，∴FO BD ⊥，又AC FO ⊥，∴FO ⊥平面ABCD . ∵,,OA OB OF 两两垂直，∴建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示，………7分 设2AB =，∵四边形ABCD 为菱形， 60DAB ∠=︒，∴2,23BD AC ==. ∵DBF ∆为等边三角形，∴3OF =.∴()()()()3,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,3A B D F -，∴()()()3,1,0,3,0,3,3,1,0AF AB AD =--=-=-. 设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =，则33030AF n x z AB n x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩， 取1x =，得()1,3,1n =.设直线AD 与平面ABF 所成角为θ，………10分 则1sin co 5s ,5AD n AD n AD nθ⋅===⋅.…………………12分 注：用等体积法求线面角也可酌情给分19．（1）0.0075,225.6x μ==；（2）（ⅰ）15（ⅱ）分布列见解析，3()5E Y = 解析：（1）由(0.0020.00950.0110.01250.0050.0025)201x ++++++⨯=得0.0075x =………………2分1700.041900.192100.222300.252500.152700.12900.05225.6μ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=…………………4分（2）（ⅰ）()()11225.62401224025P X P X ⎡⎤<<=->=⎣⎦ ……………6分 （ⅱ）因为513,Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭～，()331455iii P Y i C -⎛⎫⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3i =.所以Y 的分布列为Y 0123P6412548125121251125所以13()355E Y =⨯=.…………………………12分 20．（1）1214k k ⋅=-，221(0)4x y y +=≠；（2）53m =- ，取得最大值255． 解析：（1）设000(,)(0)D x y y ≠，易知过D 点的切线方程为004x x y y +=，其中22004x y +=则00004242(2,),(2,)x x E F y y -+-，002200001222004242164414416164x x y y x y k k y y -+--∴⋅=⋅===---…………3分设(,)G x y ，由2212111(0)42244y y x k k y y x x ⋅=-⇒⋅=-⇒+=≠-+故曲线C的方程为221(0)4x y y +=≠…………………5分（2）22225844044y x m x mx m x y =+⎧⇒++-=⎨+=⎩，设1122(,),(,)P x y Q x y ，则21212844,55m x x m x x -+=-⋅=， …………………7分由22=6420(44)055m m m ∆-->⇒-<<且0,2m m ≠≠±……………8分与直线2x =交于点S ，与直线1y =-交于点T (2,2),(1,1)S m T m ∴+---∴∴，令3+,(35,35)m t t =∈-+且1,3,5t ≠则……………10分当，即45,33t m ==-时，取得最大值255.…………………12分 21．（1）见解析；（2）见解析. 解析：（1）2'()(21)x f x ax ax e =++……………1分 当0a =时，'()0xf x e =≥，此时()f x 在R 单调递增；……………2分当0a >时，2=44a a ∆-①当01a <≤时，0∆≤，2210ax ax ++≥恒成立，'()0f x ∴≥，此时()f x 在R 单调递增； (3)分②当1a >时，令1211'()011,11f x x x a a=⇒=---=-+- x1(,)x -∞1x 12(,)x x 2x 2(,)x +∞'()f x＋ 0 － 0 ＋ ()f x即()f x 在1(,11)a-∞---和1(11,)a-+-+∞上单调递增；在11(11,11)aa----+-上单调递减；……5分 综上：当01a ≤≤时，()f x 在R 单调递增；当1a >时，()f x 在1(,11)a -∞---和1(11,)a-+-+∞上单调递增；在11(11,11)a a ----+-上单调递减；…………………6分（2）由（1）知，当01a ≤≤时，()f x 在[0,1]单调递增，(0)=0f ，此时()f x 在区间[0,1]上有一个零点；当1a >时，1110a ---<且1110a-+-<，()f x ∴在[0,1]单调递增；(0)=0f ，此时()f x 在区间[0,1]上有一个零点；当0a <时，令1'()0110f x x a=⇒=-+->（负值舍去）①当1111a-+-≥即103a -≤<时，()f x 在[0,1]单调递增，(0)=0f ，此时()f x 在区间[0,1]上有一个零点；②当1111a-+-<即13a <-时若(1)0f >即1113a e -<<-时，()f x 在1[0,11)a -+-单调递增，在1[111]a-+-，单调递减，(0)=0f ，此时()f x 在区间[0,1]上有一个零点；若(1)0f ≤即11a e ≤-时，()f x 在1[0,11)a-+-单调递增，在1[111]a -+-，单调递减，(0)=0f ，此时()f x 在区间[0,1]上有零点0x =和在区间1[111]a-+-，有一个零点共两个零点；综上：当11a e ≤-时，()f x 在区间[0,1]上有2个零点； 当11a e >-时，()f x 在区间[0,1]上有1个零点.…………………12分22．（1）0x y a +-=，24y x =；（2）8. 解析：（1）显然y x a =-+⇒0x y a +-= …………………2分由可得，即， …………………5分（2）直线2222x t y a t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 过(0,1)，则1a =将直线的参数方程代入得，1212622t t t t ⎧+=-⎪⎨⋅=⎪⎩ 由直线参数方程的几何意义可知，.…………………10分注：直接用直角坐标方程联立计算也可23．（1）；（2）19[,7]4a ∈.解析：（1）可化为2339x x >⎧⎨-≤⎩或1259x x -≤≤⎧⎨-≤⎩或1339x x <-⎧⎨-+≤⎩；或或；不等式的解集为； …………………5分（2）由题意：2()f x x a =-+25,[0,2]a x x x ⇔=-+∈故方程2()f x x a =-+在区间[0,2]有解⇔函数y a =和函数25y x x =-+图象在区间[0,2]上有交点 当[0,2]x ∈时，2195[,7]4y x x =-+∈19[,7]4a ∴∈ (10)分。