【人教B版】2021年数学选修2-1(全集)精品同步练习汇总
高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：3-1-1空间向量的线性运算
3.1.1空间向量的线性运算一、选择题1．如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则D 1B →等于( )A ．a ＋b ＋cB ．a ＋b ＋cC ．a －b －cD ．－a ＋b ＋c [答案] C[解析] D 1B →＝D 1A 1→＋A 1A →＋AB →＝－b ＋(－c )＋a ＝a －b －c .故选C2．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，向量AB ′→、AD ′→、BD →是( ) A ．有相同起点的向量 B ．是等长的向量 C ．是共面向量D ．是不共面向量[答案] C[解析] ∵AB 1→－AD 1→＝D 1B 1→＝BD →，∴共面．故选C.3．如图所示在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为向量AC 1→的共有( )(1)(AB →＋BC →)＋CC 1→ (2)(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→ (3)(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→ (4)(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→. A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个[答案] D[解析] 代入检验知选D.4．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有以下等式，其中不正确的是( ) A.D 1B →＝D 1D →＋D 1A 1→＋D 1C 1→ B.D 1B →＝D 1C 1→＋B 1B →＋CB → C.D 1B →＝D 1A 1→＋A 1B →＋A 1A →D.D 1B →＝D 1C 1→＋C 1D →＋DB → [答案] C[解析] D 1A 1→＋A 1B →＋A 1A →＝D 1B →＋A 1A →≠D 1B →. 故选C.5．如图所示的空间四边形ABCD 中，M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则MG →－AB →＋AD →等于( )A.32DB →B ．3MG →C ．3GM →D ．2MG →[答案] B[解析] MG →－AB →＋AD →＝MG →＋BD →＝MG →＋2MG →＝3MG →.6．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 中，O 为BD 1与AC 1的交点，下列说法正确的是( ) A.AO →＝12AB →＋AD →＋AA 1→)B.AO →＝13AC 1→C.BO →＝12(BA →＋BC →＋BD →1)D.BO →＝14AC 1→＋BD 1→)[答案] A[解析] AB →＋AD →＋AA 1→＝AC →＋AA 1→＝AC 1→. 故选A.7．如图所示，空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c, 点M 在OA 上，且OM →＝2MA →，N 为BC 中点，则MN →等于( )A.12a －23b ＋12c B ．－23 a ＋12b ＋12cC.12a ＋12 b －23cD.23a ＋23b －12c [答案] B[解析] MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－23OA →＝12×(b ＋c )－23a ＝－23a ＋12b ＋12c .∴应选B. 8．已知G 是正方形ABCD 的中心，点P 为正方形ABCD 所在平面外一点，则PA →＋PB →＋PC →＋PD →＝( )A ．4PG →B ．3PG →C ．2PG →D.PG →[答案] A[解析] PA →＋PB →＋PC →＋PD →＝PG →＋GA →＋PG →＋GB →＋PG →＋GC →＋PG →＋GD →＝4PG →＋(GA →＋GC →)＋(GB →＋GD →)，∵ABCD 是正方形，G 是它的中心， ∴GA →＋GC →＝GB →＋GD →＝0，故原式＝4PG →.9．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( )A ．空间四边形B ．平行四边形C ．等腰梯形D ．矩形[答案] B[解析] 画图利用空间向量的运算法则首尾相接 AO →＋OB →＝AB →，DO →＋OC →＝DC →， ∴AB →＝DC →.故选B.10．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′ ，点E 是A ′C ′的中点，点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12，则AF →等于( )A.AA ′→＋12AB →＋12AD →B.12AA ′→＋12AB →＋12AD →C.12AA ′→＋16AB →＋16AD →D.13AA ′→＋16AB →＋16AD → [答案] D[解析] AF →＝13AE →＝13(AA ′→＋A ′E →)＝13AA ′→＋13×12A ′C ′→ ＝13AA ′→＋16(A ′B ′→＋A ′D ′→) ＝13AA ′→＋16A ′B ′→＋16A ′D ′→. 故选D. 二、填空题11．设A ，B ，C ，D 为空间任意四点，则AC →－BC →＋BD →＝________. [答案] AD →[解析] AC →－BC →＋BD →＝AC →＋CB →＋BD →＝AD →。
高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：1-3-1推出与充分条件、必要条件
1.3.1推出与充分条件、必要条件一、选择题1．(2009·北京)“α＝π6＋2k π(k ∈Z )”是“cos2α＝12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 考查任意角的三角函数值． “α＝π6＋2k π(k ∈Z )”⇒“cos2α＝12，“cos2α＝12”“α＝π6＋2k π”(k ∈Z )因为α还可以等于2k π－π6(k ∈Z )，∴选A.2．(2009·湖南)对于非零向量a 、b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 考查平面向量平行的条件． ∵a ＋b ＝0，∴a ＝－b .∴a ∥b .反之，a ＝3b 时也有a ∥b ，但a ＋b ≠0.故选A.3．(2009·福建，7)设m ，n 是平面α内的两条不同直线，l 1，l 2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是( )A ．m ∥β且l 1∥αB ．m ∥l 1且n ∥l 2C ．m ∥β且n ∥βD ．m ∥β且n ∥l 2[答案] B[解析] 本小题主要考查线面平行、面面平行、充要条件等基础知识．易知选项A 、C 、D 推不出α∥β，只有B 可推出α∥β，且α∥β不一定推出B ， B 项为α∥β的一个充分而不必要条件，选B.4．(2009·浙江，2)已知a ，b 是实数，则“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的( ) A ．充分而不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] 本小题主要考查不等式的性质及充要条件． 当a >0且b >0时， a ＋b >0且ab >0； 当ab >0时，a ，b 同号，又a ＋b >0， ∴a >0，且b >0.故选C.5．若集合P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{x |0<x <5，x ∈R }，则( ) A ．“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分条件但不是必要条件 B ．“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件但不是充分条件 C ．“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充要条件D ．“x ∈P ”既不是“x ∈Q ”的充分条件也不是“x ∈Q ”的必要条件 [答案] A[解析] P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{x |0<x <5，x ∈R }， x ∈P ⇒x ∈Q .但x ∈Qx ∈p ，∴x ∈P 是x ∈Q 的充分不必要条件．故选A.6．.(2010·福建文，8)若向量a ＝(x,3)(x ∈R )，则“x ＝4”是“|a |＝5”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件[答案] A[解析] 本题主要考查充分必要条件问题． 当x ＝4时，|a |＝42＋32＝5 当|a |＝x 2＋9＝5时，解得x ＝±4.所以“x ＝4”是“|a |＝5”的充分而不必要条件．7．(2010·广东理，5)“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的( )A ．充分非必要条件B ．充分必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件[答案] A[解析] 一元二次方程式x 2＋x ＋m ＝0有实数解，则Δ＝1－4m ≥0，∴m ≤14，故“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0”有实数解的充分不必要条件．8．a <0是方程ax 2＋1＝0有一个负数根的( )B ．充分必要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] ①∵a <0，ax 2＋1＝0⇒x 2＝－1a >0.∴ax 2＋1＝0有一个负根． ∴充分性成立．②若ax 2＋1＝0有一个负根， 那么x 2＝－1a >0，可是a <0.∴必要性成立．故选B.9．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] 充分性：当a ＝1时，直线x ＋y ＝0和直线x －y ＝0垂直；必要性：若直线x ＋y ＝0和x －ay ＝0垂直，由－1·1a＝－1，∴a ＝1，故选C.10．(2009·山东)已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] 本小题主要考查空间线面的垂直关系和应用充要条件解题的能力． 由已知m ⊂α，若α⊥β则有m ⊥β，或m ∥β或m 与β相交；反之，若m ⊥β， ∵m ⊂α，∴由面面垂直的判定定理知α⊥β. ∴α⊥β是l ⊥β的必要不充分条件．故选B. 二、填空题11．条件甲：“a >1”是条件乙：“a >a ”的__________条件．[答案] 充要[解析] a >1⇒a >a 成立反之：a >a 时即a 2－a >0解得a >1.12．“lg x >lg y ”是“x >y ”的______________条件． [答案] 充分不必要[解析] 由lgx >lgy ⇒x >y >0⇒x >y 充分条件成立．又由x >y 成立，当y ＝0时，lgx >lgy 不成立，必要条件不成立．13．不等式ax 2＋ax ＋a ＋3>0对一切实数x 恒成立的充要条件是________． [答案] a ≥0[解析] ①当a ＝0时，原不等式为3>0，恒成立； ②当a ≠0时，用数形结合的方法则有⎩⎨⎧a >0Δ＝a 2－4a (a ＋3)<0⇒a >0. ∴由①②得a ≥0.14．函数y ＝x 2＋bx ＋c ，x ∈[0，＋∞)是单调函数的充要条件为________． [答案] b ≥0[解析] 对称轴为x ＝－b2，要使y ＝x 2＋bx ＋c 在x ∈[0，＋∞)上单调， 只需满足－b2≤0，即b ≥0.三、解答题15．是否存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围．[解析] x 2－x －2>0的解是x >2或x <－1，由4x ＋p <0得x <－p4.要想使x <－p 4时x >2或x <－1成立，必须有－p 4≤－1，即p ≥4，所以当p ≥4时，－p4≤－1⇒x <－1⇒x 2－x －2>0.所以p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件．16．已知p ：x 2－8x －20>0，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0.若p 是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值范围．[解析] 解不等式x 2－8x －20>0，得p ：A ＝{x |x >10或x <－2}． 解不等式x 2－2x ＋1－a 2>0得 q ：B ＝{x |x >1＋a 或x <1－a ，a >0}依题意：p ⇒q ，但是q 不能推出p ，说明A B .于是有⎩⎪⎨⎪⎧a >01＋a ≤101－a ≥－2(说明“1＋a ≤10”与“1－a ≥－2”中等号不能同时取到)解得0<a ≤3.∴正实数a 的取值范围是0<a ≤3.17．设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证：x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.[解析] 充分性：∵∠A ＝90°，∴a 2＝b 2＋c 2，于是方程x 2＋2ax ＋b 2＝0可化为x 2＋2ax ＋a 2－c 2＝0， 即x 2＋2ax ＋(a ＋c )(a －c )＝0， ∴[x ＋(a ＋c )][x ＋(a －c )]＝0，∴该方程有两个根x 1＝－(a ＋c )，x 2＝－(a －c )， 同样，另一方程x 2＋2cx －b 2＝0也可化为 x 2＋2cx －(a 2－c 2)＝0， 即x 2＋2cx －(a －c )(a ＋c )＝0， ∴[x ＋(c ＋a )][x ＋(c －a )]＝0，∴该方程有两个根x 3＝－(a ＋c )，x 4＝－(c －a )， 可以发现x 1＝x 3， ∴这两个方程有公共根．必要性：设β是两方程的公共根，则⎩⎪⎨⎪⎧β2＋2aβ＋b 2＝0 ①β2＋2cβ－b 2＝0 ②， 由①＋②得：β＝－(a ＋c )或β＝0(舍去)， 将β＝－(a ＋c )代入①并整理可得：a 2＝b 2＋c 2， ∴∠A ＝90°.18．求ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．[解析] 由于二次项系数是字母，因此，首先要对方程ax 2＋2x ＋1＝0判定是一元一次方程还是一元二次方程．(1)当a ＝0时，为一元一次方程，其根为x ＝－12，符合要求；(2)当a ≠0时，为一元二次方程，它有实根的充要条件是判别式Δ≥0即4－4a ≥0从而a ≤1；又设方程ax 2＋2x ＋1＝0的根为x 1·x 2，则x 1＋x 2＝－2a x 1·x 2＝1a.①因而方程ax 2＋2x ＋1＝0有一个正根、一个负根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ≤11a <0⇒a <0；②方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个负根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1－2a1a >0⇒0<a ≤1，综上所述，ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负根的充要条件是a ≤1.。
人教版B版高中数学选修2-1(B版)直线的方向向量与直线的向量方程
[答案] B
3．已知 A、B、C 三点的坐标分别为 A(4,1,3)，B(2， －5,1)，C(3,7，λ)，若A→B⊥A→C，则 λ 等于( )
A．λ＝28 C．λ＝14 [答案] D
B．λ＝－28 D．λ＝－14
[解析] 由A→B⊥A→C⇔A→B·A→C＝0 可求得．
二、填空题
4．已知a＝(2，－2,3)，b＝(4,2，x)，且a⊥b，则x＝
求角或距离等有关问题时要用到，希望注意．
l，m是两条直线，方向向量分别是a＝(x1，y1，z1)，b
＝(x2，y2，z2)，若l∥m，则
()
A．x1＝x2，y1＝y2，z1＝z2
B．x1＝kx2，y1＝py2，z＝qz2
C．x1x2＋y1y2＋z1z2＝0
D．x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2
5．设两条直线所成角为θ(锐角)，则直线方向向量的 夹角与θ相等或互补，设直线l1和l2的方向向量分别为v1和
v2，则l1⊥l2⇔_v__1_⊥__v_2_，___c_o_s_θ_＝___c_o_s_<__v_1_,_v_2_>__.
[例1] 设a，b分别是直线l1、l2的方向向量，根据下列 条件判断l1、l2的位置关系．
∴l1∥l2(或l1与l2重合)． (2)观察知a≠b，又a·b＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝－2 ＋6－4＝0，
∴a⊥b，∴l1⊥l2. (3)显然b＝－3a，即a∥b，故l1∥l2(或l1与l2重合)．
[说明] 首先根据a，b的坐标，对a，b的关系(平行、垂直 或其他情况)作出初步判断，然后再用有关知识给予验证，从 而得到相关结论．直线的方向向量在研究线线、线面位置关系，
() B．(9,1,1) D．(－9，－1，－1)
高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：3-2-4二面角及其度量
3.2.4二面角及其度量一、选择题1．如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是( )A ．相等B ．互补C ．相等或互补D ．不能确定[答案] C[解析] 二面角的两个面对应平行，当方向相同时，两个二面角大小相等，当方向不同时，两个二面角大小互补．2．已知平面α内有一个以AB 为直径的圆，PA ⊥α，点C 在圆周上(异于点A ，B )，点D 、E 分别是点A 在PC 、PB 上的射影，则( )A ．∠ADE 是二面角A —PC —B 的平面角B ．∠AED 是二面角A —PB —C 的平面角C ．∠DAE 是二面角B —P A —C 的平面角D ．∠ACB 是二面角A —PC —B 的平面角[答案] B[解析] 由二面角定义及三垂线定理知选B.3．如图所示，M ，N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB于E ，现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A —DE —B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M ，N 的连线与AE 所成的角的大小为( )A ．45°B ．90°C ．135°D ．180°[答案] B[解析] 建系如图所示，由题意知△ABE 为等腰直角三角形，设CD ＝1，则BE ＝1，AB ＝1，AE ＝2，设BC ＝DE ＝2a ，则E (0,0,0)，A (1,0,1)，N (1，a,0)，D (0,2a,0)，M (12，a ，12)，所以MN →＝(12，0，－12)，AE →＝(－1,0，－1)，所以MN →·AE →＝(12，0，－12)·(－1,0，－1)＝0.故AE →⊥MN →，从而MN 与AE 所成的角为90°.4．如图所示，在边长为a 的正△ABC 中，AD ⊥BC ，沿AD 将△ABC 折起，若折起后B 、C 两点间距离为12a ，则二面角B －AD －C 的大小为( ) A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° [答案] C5．将正方形ABCD 沿对角线折成直二面角，则二面角A —BC —D 的平面角的余弦值是( )A.12B.22C.33D.55 [答案] C6．正四棱锥P —ABCD 的两相对侧面P AB 与PCD 互相垂直，则相邻两个侧面所成二面角的大小为( ) A.π4B.π3C.π2D.2π3[答案] D7．在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，P A ⊥平面ABCD ，PA ＝435，那么二面角A —BD —P 的度数是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°[答案] A8．如图所示，已知点P 为菱形ABCD 外一点，且PA ⊥面ABCD ，PA ＝AD ＝AC ，点F 为PC 中点，则二面角C —BF —D 的正切值为( )A.36 B.34 C.33 D.233 [答案] D[解析] 如右图所示，连接AC ，AC ∩BD ＝O ，连接OF ，以O 为原点，OB ，OC ，OF 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O —xyz ，设PA ＝AD ＝AC ＝1，则BD ＝3，∴B ⎝⎛⎭⎫32，0，0，F ⎝⎛⎭⎫0，0，12，C ⎝⎛⎭⎫0，12，0，D (－32，0,0)，结合图形可知，OC →＝⎝⎛⎭⎫0，12，0且OC →为面BOF 的一个法向量，由BC →＝⎝⎛⎭⎫－32，12，0，FB →＝(32，0，－12)，可求得面BCF 的一个法向量n ＝(1，3，3)．∴cos 〈n ，OC →〉＝217，sin 〈n ，OC →〉＝277， ∴tan 〈n ，OC →〉＝233. 9．已知ABCD 是正方形，E 是AB 的中点，将△DAE 和△CBE 分别沿DE 、CE 折起，使AE 与BE 重合，A 、B 两点重合后记为点P ，那么二面角P －CD －E 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[答案] A[解析] 取CD 中点F ，由二面角定义知∠PFE 为其平面角，设PE ＝a ，则EF ＝2a ，∴sin θ＝a 2a ＝12， ∴二面角P —CD —E 为30°.10．二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( )A ．150°B ．45°C ．60°D ．120°[答案] C[解析] 由条件，知CA →·AB →＝0，AB →·BD →＝0，CD →＝CA →＋AB →＋BD →.∴|CD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝62＋42＋82＋2×6×8cos 〈CA →，BD →〉＝(217)2，∴cos 〈CA →，BD →〉＝－12即〈CA →，BD →〉＝120°，∴二面角的大小为60°，故选C.二、填空题11．如图所示，将边长为a 的正三角形ABC ，沿BC 边上的高线AD 将△ABC 折起，若折起后B 、C 间距离为a 2，则二面角B —AD —C 的大小为________．[答案] 60°12．若P 是△ABC 所在平面外一点，且△PBC 和△ABC 都是边长为2的正三角形，PA ＝6，那么二面角P —BC —A 的大小为________．[答案] 90°13．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 和截面C 1BD 所成的二面角大小的余弦值为________．[答案] 1314．在正方体AC 1中，E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 1的中点，若截面EFDB 与侧面BCC 1B 1所成的锐二面角为θ，则cos θ＝________.[答案] 23三、解答题15．如图，四棱锥P —ABCD 中，PB ⊥底面ABCD ，CD ⊥PD ，底面ABCD为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝AD ＝PB ＝3.点E 在棱P A 上，且PE＝2EA .求二面角A —BE —D 的大小．[解析] 以B 为原点，以BC 、BA 、BP 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设平面EBD 的一个法向量为n 1＝(x ，y,1)，因为BE →＝(0,2,1)，BD →＝(3,3,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·BE →＝0n 1·BD →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋1＝0，3x ＋3y ＝0. 所以⎩⎨⎧ x ＝12，y ＝－12.于是n 1＝⎝⎛⎭⎫12，－12，1.又因为平面ABE 的一个法向量为n 2＝(1,0,0)， 所以，cos 〈n 1，n 2〉＝16＝66. 所以，二面角A —BE —D 的大小为arccos66. 16．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是棱CC 1上的一点，CP＝m ，试确定m ，使直线AP 与平面BDD 1B 1所成角的正弦值为33819.[解析] 如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D —xyz ，则A (1,0,0)，P (0,1，m )，C (0,1,0)，D (0,0,0)．∴AP →＝(－1,1，m )，AC →＝(－1,1,0)，又AC →·BD →＝0，AC →·BB 1→＝0， ∴AC →是平面BDD 1B 1的一个法向量．设AP 与平面BDD 1B 1所成的角为θ，则sin θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝|AP →·AC →||AP →||AC →|＝22×2＋m 2＝33819，∴m ＝13. 17．(2009·上海)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝BC ＝AB ＝2，AB ⊥BC ，求二面角B 1－A 1C －C 1的大小．[解析] 如图，建立空间直角坐标系．则A (2,0,0)，C (0,2,0)，A 1(2,0,2)，B 1(0,0,2)，C 1(0,2,2)，设AC 的中点为M ，∵BM ⊥AC ，BM ⊥CC 1，∴BM ⊥平面A 1C 1C ，即BM →＝(1,1,0)是平面A 1C 1C 的一个法向量．设平面A 1B 1C 的一个法向量是n ＝(x ，y ，z )，A 1C →＝(－2,2，－2)，A 1B 1→＝(－2,0,0)，∴n ·A 1B 1→＝－2x ＝0，n ·A 1C →＝－2x ＋2y －2z ＝0，令z ＝1，解得x ＝0，y ＝1. ∴n ＝(0,1,1)，设法向量n 与BM →的夹角为φ，二面角B 1－A 1C －C 1的大小为θ，显然θ为锐角．∵cos θ＝|cos φ|＝|n ·BM →||n |·|BM →|＝12，解得θ＝π3， ∴二面角B 1－A 1C －C 1的大小为π3. 18．(2007·陕西)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P —ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，PA ⊥平面ABCD ，P A ＝4，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6.(1)求证：BD ⊥平面PAC ；(2)求二面角A —PC —D 的大小．[解析] (1)如图，建立坐标系，则A (0,0,0)，B (23，0,0)，C (23，6,0)，D (0,2,0)，P (0,0,4)，∴AP →＝(0,0,4)，AC →＝(23，6,0)，BD →＝(－23，2,0)，∴BD →·AP →＝0，BD →·AC →＝0.∴BD ⊥AP ，BD ⊥AC ，又PA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面PAC .(2)设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y,1)，则CD →·n ＝0，PD →·n ＝0，又CD →＝(－23，－4,0)，PD →＝(0,2，－4)，∴⎩⎨⎧ －23x －4y ＝0，2y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－433，y ＝2，∴n ＝⎝⎛⎭⎫－433，2，1 平面PAC 的法向量取为m ＝BD →＝(－23，2,0)，则cos 〈m ，n 〉＝m·n |m ||n |＝39331. ∴二面角A —PC —D 的大小为arccos 39331.。
高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：3章末
3章末一、选择题1．四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)，则P A 与底面ABCD 的关系是( )A ．相交B ．垂直C ．不垂直D ．成60°角 [答案] B[解析] ∵AP →·AB →＝0，AP →·AC →＝0，∴AP →⊥平面ABCD .2．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成的角为( )A ．60°B ．90°C ．105°D ．75° [答案] B[解析] 如图，建立空间直角坐标系O －xyz ，设高为h ，则AB ＝2h ，可得A ⎝⎛⎭⎫0，－22h ，h ，B ⎝⎛⎭⎫0，22h ，h ， B 1⎝⎛⎭⎫0，22h ，0，C 1⎝⎛⎭⎫62h ，0，0，这样AB 1→＝(0，2h ，－h )， BC 1→＝⎝⎛⎭⎫62h ，－22h ，－h ，由空间向量的夹角公式即可得到结果．3．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ＝1，D 在BB 1棱上，且BD ＝1.若AD 与平面AA 1C 1C 所成角为α，则α等于( )A.π3B.π4 C ．arcsin104D ．arcsin 64 [答案] D[解析] 建立如图所示的直角坐标系，则A (12，0,0)，B (0，32，0)，D (0，32，1)∵OB ⊥平面AA 1C 1C ，∴平面AA 1C 1C 的法向量为OB →＝(0，32，0)，又AD → ＝(－12，32，1) ∴OB →·AD →＝34，|OB →|＝32，|AD →|＝2， 由向量夹角公式知cos 〈OB →，AD →〉＝3432·2＝64， ∵α＝π2－〈OB →，AD →〉， ∵sin α＝sin(π2－〈OB →，AD →〉)＝cos 〈OB →，AD →〉＝64. ∴α＝arcsin 64. 4．如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱，两两夹角都为60°，且AB ＝2，AD ＝1，AA 1＝3，M 、N 分别为BB 1、B 1C 1的中点，则MN 与AC 所成角的余弦值为( )A.1314B.9114C.9128D.7812[答案] B[解析] 如图，本题考查异面直线所成的角．易知∠D 1AC 即为所求，即为向量AD 1→与AC→所成的角．设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则由条件知|a |＝2，|b |＝1，|c |＝3，b·c ＝2×1×12＝1，a·c ＝2×3×12＝3，b·c ＝1×3×12＝32. ∵AD 1→＝b ＋c ，AC →＝a ＋b ， ∴|AD 1→|2＝12＋32＋2·32＝13， |AC →|2＝22＋12＋2·1＝7.∴AD 1→·AC →＝132， ∴cos 〈AD 1→，AC →〉＝9114.故选B. 二、解答题5．如图所示，已知四棱锥P －ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，∠DAB ＝90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝DC ＝12AB ＝1，M 是PB 的中点．(1)证明：面P AD ⊥面PCD ；(2)求AC 与PB 所成角的余弦值；(3)求面AMC 与面BMC 所成二面角的余弦值．[解析] 因为P A ⊥AD ，P A ⊥AB ，AD ⊥AB ，以A 为坐标原点，AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A (0,0,0)、B (0,2,0)、C (1,1,0)、D (1,0,0)、P (0,0,1)、M ⎝⎛⎭⎫0，1，12.(1)证明：∵AP →＝(0,0,1)，DC →＝(0,1,0)，故AP →·DC →＝0，∴AP ⊥DC .又由题设知：AD ⊥DC ，且AP 与AD 是平面P AD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD .又DC 在面PCD 上，故面P AD ⊥面PCD .(2)解：∵AC →＝(1,1,0)，PB →＝(0,2，－1)，∴|AC →|＝2，PB →＝5，AC →·PB →＝2，∴cos 〈AC →，PB →〉＝AC →·PB →|AC →|·|PB →|＝105. 由此得AC 与PB 所成角的余弦值为105. (3)解：在MC 上取一点N (x ，y ，z )，则存在λ∈R ，使NC →＝λMC →，NC →＝(1－x,1－y ，－z )，MC →＝⎝⎛1，0，－12， ∴x ＝1－λ，y ＝1，z ＝12λ. 要使AN ⊥MC ，只需AN →·MC →＝0，即x －12z ＝0， 解得λ＝45. 可知当λ＝45时，N 点坐标为⎝⎛⎭⎫15，1，25， 能使AN →·MC →＝0.此时，AN →＝⎝⎛⎭⎫15，1，25，BN →＝⎝⎛⎭⎫15，－1，25， 有BN →·MC →＝0.由AN →·MC →＝0，BN →·MC →＝0，得AN ⊥MC ，BN ⊥MC .∴∠ANB 为所求二面角的平面角．∵|AN →|＝305，|BN →|＝305.AN →·BN →＝－45. ∴cos 〈AN →，BN →〉＝AN →·BN →|AN →||BN →|＝－23. 故所求的二面角的余弦值为－23. 6．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，求证：(1)AD 1∥平面BDC 1；(2)A 1C ⊥平面BDC 1.[证明]以D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D －xyz . 设正方体的棱长为1，则有D ＝(0,0,0)，A (1,0,0)，D 1(0,0,1)，A 1(1,0,1)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，C1(0,1,1)，AD 1→＝(－1,0,1)，A 1C →＝(－1,1，－1)．设n ＝(x ，y ，z )为平面BDC 1的法向量，则n ⊥DB →，n ⊥DC 1→.所以⎩⎪⎨⎪⎧ (x ，y ，z )·(1，1，0)＝0(x ，y ，z )·(0，1，1)＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0y ＋z ＝0. 令x ＝1，则n ＝(1，－1,1)．(1)n ·AD 1→＝(1，－1,1)·(－1,0,1)＝0，知n ⊥AD 1→.又AD 1⊄平面BDC 1，所以AD 1∥平面BDC 1.(2)因为n ＝(1，－1,1)，A 1C →＝(－1,1，－1)，知A 1C →＝－n ，即n ∥A 1C →，所以A 1C ⊥平面BDC 1.。
高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：2-5直线与圆锥曲线
2.5直线与圆锥曲线一、选择题1．若不论k 为何值，直线y ＝k (x －2)＋b 与曲线x 2－y 2＝1总有公共点，则b 的取值范围是( )A ．(－3，3)B ．[－3，3]C ．(－2,2)D ．[－2,2][答案] B[解析] 由题意可知，直线所过的定点(2，b )应在双曲线上或内部，即y 2≤x 2－1，∴b 2≤3，∴－3≤b ≤ 3.2．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作倾斜角为π3的弦AB ，则|AB |的值为( ) A.837 B.163 C.83 D.1637 [答案] B[解析] 抛物线y 2＝4x 的焦点F 为(1,0)，过F 且倾斜角为π3的直线方程为y ＝3(x －1)，联立得方程组⎩⎨⎧y ＝3(x －1)y 2＝4x得关于x 的一元二次方程3x 2－10x ＋3＝0.①设交于A (x 1，y 1)B (x 2，y 2)两点．则x 1x 2是①的两根．有x 1＋x 2＝103.|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝103＋2＝163.故选B.3．已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是( ) A.π6或5π6 B.π4或3π4 C.π3或2π3 D.π2[答案] B[解析] 由焦点弦长公式|AB |＝2p sin 2θ得 6sin 2θ＝12，∴sin θ＝22. ∴θ＝π4或34π.故选B. 4．(2009·山东烟台4月)已知抛物线y 2＝4x 上一点P (x 0，y 0)，若y 0∈[1,2]，则|PF |的范围是( )A.⎣⎡⎦⎤14，1B.⎣⎡⎦⎤54，2C ．[1,2]D ．[2,3][答案] B[解析] ∵y 0∈[1,2]，∴x 0∈⎣⎡⎦⎤14，1，由定义|PF |＝1＋x 0∈⎣⎡⎦⎤54，2.故选B.5．直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1有两个不同的交点，则m 的范围是() A ．－5<m <5 B ．m <－5，或m > 5C ．m < 5D ．－5<m < 5[答案] D[解析] 将y ＝x ＋m 代入x 24＋y 2＝1，有5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0，Δ＝64m 2－80(m 2－1)>0，得m 2<5，∴－5<m < 5.6．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得的弦的中点坐标是( )A ．(23，43)B ．(43，73)C ．(－23，13D ．(－43，－13)[答案] C[解析] 设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则⎩⎨⎧ x 214＋y 212＝1x 224＋y 222＝1，两式相减得14(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋12(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0y 1－y 2x 1－x 2＝－14(x 1＋x 2)12(y 1＋y 2)＝k∴－x 02y 01，又y 0＝x 0＋1∴x 0＝－23，y 0＝13. 7．以双曲线y 2－x 23＝1的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是( ) A ．(x －2)2＋y 2＝4B ．x 2＋(y －2)2＝2C ．(x －2)2＋y 2＝2D ．x 2＋(y －2)2＝4[答案] D[解析] 双曲线焦点在y 轴上，离心率e ＝2，∴圆心在y 轴上，半径R ＝2.故选D.8．(2009·浙江)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点A 作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C .若AB →＝12BC →，则双曲线的离心率是( ) A.2 B.3 C.5 D.10 [答案] C[解析] 由已知，直线方程为x ＋y －a ＝0，两渐近线为x a ±y b＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －a ＝0bx －ay ＝0得x B ＝a 2a ＋b . 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －a ＝0bx ＋ay ＝0得x C ＝a 2a －b . ∵AB →＝12BC →，∴2(x B －x A )＝x C －x B ， ∴3x B ＝2x A ＋x C ，∴3a 2a ＋b ＝a 2a －b＋2a ，解得b ＝2a ， ∴c 2＝a 2＋b 2a 2＝5，∴e ＝ 5. 故选C.9．已知a >b >0，e 1与e 2分别为圆锥曲线x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率，则lg e 1＋lg e 2的值( )A ．一定是正值B ．一定是零C ．一定是负值D ．符号不确定[答案] C[解析] ∵e 1＝a 2－b 2a ，e 2＝a 2＋b 2a， ∴e 1e 2＝a 4－b 4a 2＝1－⎝⎛⎭⎫b 2a 22<1. ∴lg e 1＋lg e 2＝lg(e 1·e 2)<0.故选C.10．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 21的离心率为( ) A.54B.52C.32D.54[答案] B[解析] 椭圆离心率e ＝32，即c a ＝32⇒a 2－b 2a 2＝34，∴b 2a 2＝14，则1＋b 2a 2＝54. ∴双曲线的离心率为e ′＝52.故选B. 二、填空题 11．若抛物线y 2＝2px 的焦点与双曲线x 23－y 2＝1的右焦点重合，则p 的值等于______． [答案] 4[解析] 由已知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0与F 2(2,0)重合， ∴p 2＝2，∴p ＝4. 12．点M (5,3)到抛物线x 2＝ay (a >0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是______．[答案] x 2＝12y[解析] ∵抛物线x 2＝ay (a >0)的准线方程为y ＝－a 4，∴a 4＋3＝6，∴a ＝12， ∴抛物线方程为x 2＝12y .13．双曲线x 2－y 2＝9被直线x －2y ＋1＝0截得的弦长为________．[答案] 4335 [解析] ⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝9x －2y ＋1＝0，3y 2－4y －8＝0 y 1·y 2＝－83，y 1＋y 2＝43. l ＝1＋1k 2·(y 1＋y 2)2－4y 1·y 2＝5·169＋323＝4335. 14．(2008·全国Ⅰ)已知抛物线y ＝ax 2－1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为________．[答案] 2[解析] 把抛物线方程改写为x 2＝1a(y ＋1)得顶点(0，－1)，又原点为焦点， ∴1a＝4， ∴抛物线x 2＝4(y ＋1)与x 轴交于两点(2,0)，(－2,0)．∴所求面积为12×4×1＝2. 三、解答题15．直线l ：y ＝2x ＋1与抛物线y 2＝12x 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，求线段AB 的长．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1，y 2＝12x ，得4x 2－8x ＋1＝0， 由韦达定理，得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝14. ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋22)(22－4×14)＝15. 16．过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点F 作直线l 交椭圆于A ，B 两点，椭圆的中心为O ，当△AOB 的面积最大时，求直线l 的方程．[解析] 过椭圆焦点F (1,0)的直线l 垂直于x 轴时，可知此时△AOB 的面积等于22. 当l 不垂直x 轴时，可设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．因为|OF |是定值1，所以△AOB 的面积可以用12×1×|y 1－y 2|(其中y 1，y 2是A ，B 的纵坐标)来计算． 将y ＝kx －k 代入x 22＋y 2＝1，消去x ，得(1＋2k 2)y 2＋2ky －k 2＝0. 由根与系数的关系可得(y 1－y 2)2＝8k 4＋8k 2(2k 2＋1)2＝2－2(2k 2－1)2<2. 可以看出|y 1－y 2|<2，此时△AOB 的面积小于22，所以直线l 的方程为x ＝1或x ＝－1. 17．(2010·湖北文，20)已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1.(1)求曲线C 的方程；(2)是否存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有FA →·FB →<0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．[分析] 本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的性质等基础知识，同时考查推理运算的能力．[解析] (1)设P (x ，y )是曲线C 上任意一点，那么点P (x ，y )满足：(x －1)2＋y 2－x ＝1(x >0)化简得y 2＝4x (x >0)(2)设过点M (m,0)(m >0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．设l 的方程为x ＝ty ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m y 2＝4x 得y 2－4ty －4m ＝0，此时Δ＝16(t 2＋m )>0.于是⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4t y 1·y 2＝－4m ① 又FA →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)FA →·FB →<0⇔(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1·x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2<0②又x ＝y 24，于是不等式②等价于y 214·y 224＋y 1y 2－(y 214＋y 224)＋1<0⇔(y 1y 2)26＋y 1y 2－14[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋1<0③由①式，不等式③等价于m 2－6m ＋1<4t 2④对任意实数t,4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1<0， 即3－22<m <3＋2 2由此可知，存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任意一直线，都有FA →·FB →<0，且m 的取值范围是(3－22，3＋22)．18．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)，(O 为原点)(1)求双曲线C 的方程．(2)若直线l 1：y ＝kx ＋2与双曲线恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2，求k 的取值范围．[解析] (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)． 由已知得a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝22，得b 2＝1.所以双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1. (2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1得 (1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎩⎨⎧1－3k 2≠0Δ＝(－62k )2＋36(1－3k 2)＝36(1－k 2)>0，即k 2≠13且k 2<1.① 设A (x A ，y A )、B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝62k 1－3k 2，x A x B ＝－91－3k 2， 由OA →·OB →>2得x A x B ＋y A y B >2，而x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2)＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2 ＝(k 2＋1)·－91－3k 2＋2k ·62k 1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1. 于是3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0. 解此不等式得13<k 2<3.② 由①②得13<k 2<1. 故k 的取值范围为(－1，－33)∪(33，1)．。
高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：2-4-3抛物线习题课
2.4.3抛物线习题课一、选择题1．P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p ≠0)上任一点，则P 到焦点的距离是( ) A ．|x 0－p2|B ．|x 0＋p2|C ．|x 0－p |D ．|x 0＋p |[答案] B[解析] 利用P 到焦点的距离等于到准线的距离，当p >0时，p 到准线的距离为d ＝x 0＋p 2；当p <0时，p 到准线的距离为d ＝－p 2－x 0＝|p2＋x 0|. 2．已知抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为( ) A ．x 2＝－28y B ．y 2＝28x C ．y 2＝－28x D ．x 2＝28y [答案] B[解析] 由题意，知抛物线的标准方程为：y 2＝2px (p >0)，又准线方程为x ＝－7，∴p ＝14.3．抛物线y 2＝－4px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，则p 表示( ) A ．F 到l 的距离B ．F 到y 轴的距离C ．F 点的横坐标D ．F 到l 的距离的14[答案] B[解析] 设y 2＝－2p ′x (p ′>0)，p ′表示焦点到准线的距离，又2p ′＝4p ，p ＝p ′2，故P 表示焦点到y 轴的距离．4．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝8，那么|AB |等于( )A ．10B ．8C ．6D ．4[答案] A[解析] 设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，则由抛物线的定义知|AF |＝x 1＋p 2＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋p2＝x 2＋1，∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2＝10.5．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则一定有y 1y2x 1x 2等于( ) A ．4 B ．－4 C ．p 2D ．－p 2[答案] B[解析] 设过焦点的直线方程为x ＋ay －p 20(a ∈R )，则代入抛物线方程有y 2＋2apy －p 2＝0，故由根与系数的关系知y 1y 2＝－p 2.又由y 21＝2px 1，①y 22＝2px 2，② ①②相乘得y 21y 22＝4p 2x 1x 2，∴x 1x 2＝p 24，∴y 1y 2x 1x 2＝－4. 6．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A 、B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则k ＝( ) A ．2或－2 B ．－1 C ．2D ．3[答案] C[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8xy ＝kx －2得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，则4(k ＋2)k 2＝4，即k ＝2. 7．(2010·山东文，9)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2[答案] B[解析] 本题考查了抛物线的方程及中点弦问题，属圆锥曲线部分题型，可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则中点(x 1＋x 22，y 1＋y 22)，∴y 1＋y 22＝2，⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1 ①y 22＝2px 2 ②①－②得y 21－y 22＝2p (x 1－x 2)⇒y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝p y 1＋y 22，∴k AB ＝1＝p 2⇒p ＝2，∴y 2＝4x ，∴准线方程式为：x ＝－1，故选B.8．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标为( )A ．(2，±22)B ．(1，±2)C ．(1,2)D ．(2,22)[答案] B[解析] 依题意F (1,0)设A 点坐标为(x ，y )，则OA →＝(x ，y )，AF →＝(1－x ，－y )， OA →·AF →＝x (1－x )＋y (－y )＝x －x 2－y 2， x －x 2－4x ，＝－x 2－3x ＝－4.即x 2＋3x －4＝0解之得x ＝1或x ＝－4 又∵x ≥0，∴x ＝1，y 2＝4，y ＝±2. ∴A (1，±2)．9．一动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过定点( )A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0，－2)[答案] B[解析] 由抛物线定义知，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离，又动圆圆心在抛物线上且恒与x ＋2＝0相切．∴动圆过定点F (2,0)，故选B.10．(2008·宁夏、海南)已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫14，－1B.⎝⎛⎭⎫14，1C ．(1,2)D ．(1，－2)[答案] A[解析] 依题意，抛物线的焦点F (1,0)，准线为l x ＝－1.过Q 点作直线l 的垂线交抛物线于P 点，交准线l 于M 点，则|QP |＋|PF |＝|QP |＋|PM |＝|QM |＝3为所求的最小值，此时P ⎝⎛⎭⎫14，－1.故选A. 二、填空题11．P 点是抛物线y 2＝4x 上任一点，到直线x ＝－1的距离为d ，A (3,4)，|PA |＋d 的最小值为________．[答案] 2 5[解析] 设抛物线焦点为F (1,0)则d ＝|PF |，∴|AP |＋d ＝|AP |＋|PF |≥|AF |＝(3－1)2＋(4－0)2＝2 5.12．过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程是________．[答案] 2x －y ＋4＝0[解析] 设y ＝3x 2－4x ＋2在M (1,1)处切线方程为y －1＝k (x －1)，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x 2－4x ＋2，y －1＝k (x －1)，∴3x 2－(k ＋4)x ＋(k ＋1)＝0. ∵Δ＝0，∴k ＝2.∴过P (－1,2)与切线平行的直线为2x －y ＋4＝0.13．已知点P 在抛物线y 2＝2x 上运动，点Q 与点P 关于(1,1)对称，则点Q 的轨迹方程是________．[答案] y 2－4y ＋2x ＝0[解析] 设P (x 0，y 0)，Q (x ，y )由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋x ＝2，y 0＋y ＝2∴x 0＝2－x ，y 0＝2－y ，又P (x 0，y 0)在y 2＝2x 上， ∴(2－y )2＝2(2－x ) 即y 2－4y ＋2x ＝0.14．(2010·全国Ⅱ理，15)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B .若AM →＝MB →，则p ＝______.[答案] 2[解析] 如图，设B (x 0，y 0)，则MK ＝12BH ，则x 0＋p 2＝2⎝⎛⎭⎫1＋p 2有x 0＝p2＋2.可得y 0＝p 2＋4p ，又直线AB 方程为y ＝3(x －1)，代入有p 2＋4p ＝3⎝⎛⎭⎫p 2＋2－1，解得p ＝2.三、解答题15．已知抛物线y 2＝4x ，直线l 过定点P (－2,1)，斜率为k ，k 为何值时，直线l 与抛物线满足下列条件：①只有一个公共点； ②有两个公共点； ③没有公共点．[解析] 由题意得直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x ＋2)，y 2＝4x ，消去x 得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0①， 当k ＝0时，由方程①得y ＝1，把y ＝1代入y 2＝4x ，得x ＝14，此时，直线l 与抛物线只有一个公共点(14，1)．当k ≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k 2＋k －1)．①当Δ＝0，即2k 2＋k －1＝0，解得k ＝－1或k ＝12，此时方程①只有一解，方程组只有一个解，直线l 与抛物线只有一个公共点．②当Δ>0，即2k 2＋k －1<0，解得－1<k <12，所以－1<k <12且k ≠0时，直线l 与抛物线有两个公共点．③当Δ<0，即2k 2＋k －1>0，解得k >12或k <－1，此时，直线l 与抛物线没有公共点．综上所述可知当k ＝0或k ＝－1或k ＝12时，直线l 与抛物线只有一个公共点；当－1<k <12且k ≠0时，直线l 与抛物线有两个公共点；当k <－1或k >12时，直线l 与抛物线没有公共点．16．已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点． (1)求证OA ⊥OB ；(2)当△AOB 的面积等于10时， 求k 的值．[解析] (1)证明：如图所示，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－xy ＝k (x ＋1)消去x 得ky 2＋y －k ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由根与系数的关系知y 1y 2＝－1.因为A ，B 在抛物线y 2＝－x 上，所以y 21＝－x 1，y 22＝－x 2，y 21y 22＝x 1x 2，因为k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2＝1y 1y 2＝－1，所以OA ⊥OB .(2)解：设直线AB 与x 轴交于点N ，显然k ≠0，所以点N 的坐标为(－1,0)，因为S △OAB＝S △OAN ＋S △OBN＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|＝12|ON ||y 1－y 2|，所以S △OAB ＝12·1·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12(1k)2＋4，因为S △OAB ＝10，所以10＝121k 2＋4，解得k ＝±16. 17．设抛物线y 2＝8x 的焦点是F ，有倾斜角为45°的弦AB ，|AB |＝85，求△FAB 的面积．[解析] 设AB 方程为y ＝x ＋b ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，y 2＝8x .消去y 得：x 2＋(2b －8)x ＋b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝8－2b ，x 1·x 2＝b 2. ∴|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2| ＝2×(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2 ＝2[(8－2b )2－4b 2]＝85， 解得：b ＝－3.∴直线方程为y ＝x －3.即：x －y －3＝0， ∴焦点F (2,0)到x －y －3＝0的距离为 d ＝12＝22.∴S △FAB ＝12×85×22＝210. 18．已知抛物线y 2＝x 上存在两点关于直线l ：y ＝k (x －1)＋1对称，求实数k 的取值范围．[解析] 设抛物线上的点A (y 21，y 1)，B (y 22，y 2)关于直线l 对称．则⎩⎨⎧k ·y 1－y2y 21－y 22＝－1y 1＋y 22＝k (y 21＋y222－1)＋1得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－k y 1y 2＝k 22＋1k －12，∴y 1、y 2是方程t 2＋kt ＋k 22＋1k －12＝0的两个不同根．∴Δ＝k 2－4(k 22＋1k －12)>0得－2<k <0.。
高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：2章末
2章末一、选择题 1．一动圆与两圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是( )A ．双曲线B ．双曲线一支C ．圆D ．椭圆 [答案] B[解析] 动点到两定点距离之差为1.故选B.2．若双曲线C 以椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为顶点，以椭圆长轴的端点为焦点，则C 的方程是( )A.x 23－y 2＝1 B ．－x 23y 2＝1 C.x 23－y 24＝1 D.y 23－x 24＝1 [答案] B[解析] ∵F (0，±1)，长轴端点(0，±2)∴双曲线中a ＝1，c ＝2，∴b 2＝3，又焦点在y 轴上，故选B.3．已知AB 为经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的中心的弦，F (c,0)为椭圆的右焦点，则△AFB 的面积的最大值为( )A ．b 2B ．abC ．acD ．bc [答案] D[解析] 设AB 方程为ky ＝x ，代入椭圆方程得(b 2k 2＋a 2)y 2＝a 2b 2∴y 1＝ab a 2＋b 2k 2，y 2＝－ab a 2＋b 2k 2. ∴S ＝12|OF ||y 1－y 2|＝abc a 2＋b 2k2 ∴面积最大值为bc (k ＝0)．4．(2008·四川)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．32[答案] B [解析] 抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，且准线为x ＝－2，∴K (－2,0)，设A (x 0，y 0)，如图，过点A 向准线作垂线，垂足为B ，则B (－2，y 0)∵|AK |＝2|AF |，又|AF |＝|AB |＝x 0－(－2)＝x 0＋2，∴由|BK |2＝|AK |2－|AB |2得y 20＝(x 0＋2)2，即8x 0＝(x 0＋2)2，解得x 0＝2，y 0＝±4.∴△AFK 的面积为12|KF |·|y 0|＝12×4×4＝18. 二、填空题5．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为________．[答案] 3[解析] 如图所示，设双曲线焦点在x 轴，顶点A 、焦点F 到渐近线的距离分别是AA ′，FF ′，则AA ′∥FF ′，∴△OAA ′∽△OFF ′，∴OA OF ＝AA ′FF ′ 即a c ＝26，则e ＝c a＝3. 6．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值是________．[答案] 32[解析] (1)当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝4，代入y 2＝4x ，得交点为(4,4)，(4，－4)，∴y 21＋y 22＝16＋16＝32.(2)当直线的斜率存在时，设直线方程为y ＝k (x －4)，与y 2＝4x 联立，消去x 得ky 2－4y －16k ＝0，由题意知k ≠0，则y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－16. ∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k 2＋32>32. 综合(1)(2)知(y 21＋y 22)min ＝32. 三、解答题7．如右图所示，直线y ＝12x 与抛物线y ＝18x 2－4交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与直线y ＝－5交于点Q .(1)求点Q 的坐标；(2)当P 为抛物线上位于线段AB 下方(含A ，B )的动点时，求△OPQ 面积的最大值．[解析] (1)解方程组⎩⎨⎧ y ＝12x ，y ＝18x 2－4，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－4，y 1＝－2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝8，y 2＝4， 即A (－4，－2)，B (8,4)，从而AB 的中点为M (2,1)．由k AB ＝12，得线段AB 的垂直平分线方程为y －1＝－2(x －2)． 令y ＝－5，得x ＝5，∴Q (5，－5)．(2)直线OQ 的方程为x ＋y ＝0，设P (x ，18x 2－4)， ∵点P 到直线OQ 的距离d ＝|x ＋18x 2－4|2＝182|x 2＋8x －32|，|OQ |＝5 2. S △OPQ ＝12|OQ |d ＝516|x 2＋8x －32|， ∵P 为抛物线上位于线段AB 下方的点，且P 不在直线OQ 上， ∴－4≤x <43－4或43－4<x ≤8.∵函数y ＝x 2＋8x －32在区间[－4,8]上单调递增，∴当x ＝8时，△OPQ 的面积取到最大值516×96＝30.。
高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：3-2-3直线与平面的夹角
3.2.3直线与平面的夹角一、选择题1．已知平面α内的角∠APB ＝60°，射线PC 与PA 、PB 所成角均为135°，则PC 与平面α所成角的余弦值是( )A ．－63B.63C.33D ．－33[答案] B[解析] 由三余弦公式知cos45°＝cos α·cos30°， ∴cos α＝63. 2．三棱锥P —ABC 的底面是以AC 为斜边的直角三角形，顶点P 在底面的射影恰好是△ABC 的外心，P A ＝AB ＝1，BC ＝2，则PB 与底面ABC 所成角为( )A ．60°B ．30°C ．45°D ．90°[答案] B[解析] 由AB ＝1，BC ＝2，知AC ＝3，∴OA ＝32， 又∵PA ＝1，PQ ⊥AC ，∴PO ＝12，∵OB ＝OA ＝32，∴tan θ＝33.∴应选B. 3．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成角的正弦值是( ) A.24 B.23 C.63D.32[答案] C[解析] 由计算得sin θ＝23.故选C. 4．在三棱锥P —ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝12PA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值为( )A.216B.833 C.21060D.21030[答案] D[解析] 以O 为原点，射线OA 、OB 、OP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图，设AB ＝a ，则OP ＝72a ，OD →＝(－24a,0，144a )，可求得平面PBC 的法向量为n ＝(－1，－1，17)， ∴cos(OD →，n )＝OD →·n |OD →||n |＝21030，设OD →与面PBC 的角为θ，则sin θ＝21030，故选D.5．若直线l 与平面α所成角为π3，直线a 在平面α内，且与直线l 异面，则直线l 与直线a 所成角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，2π3 B.⎣⎡⎦⎤π3，2π3 C.⎣⎡π2，2π3D.⎣⎡π3，π2[答案] D6．如果平面的一条斜线段长是它在这个平面上的射影长的3倍，那么斜线段与平面所成角的余弦值为( )A.13B.223C.22D.23[答案] A7．如图，正方体AC 1中，BC 1与对角面BB 1D 1D 所成的角是( ) A ．∠C 1BB 1 B ．∠C 1BD C ．∠C 1BD 1 D ．∠C 1BO [答案] D[解析] 由三垂线定理得，OB 为BC 1在平面BB 1D 1D 上的射影．故选D.8．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，则直线A 1B 与平面BDE 所成的角为( )A.π6B.π3C.π2D.56π [答案] B[解析] 以D 为原点建立空间直角坐标系，平面BDE 的法向量n ＝(1，－1,2)， 而BA 1→＝(0，－1,1)，∴cos θ＝1＋223＝32，∴θ＝30°.∴直线A 1B 与平面BDE 成60°角．9．正方形纸片ABCD ，沿对角线AC 折起，使点D 在面ABCD 外 ，这时DB 与平面ABC 所成角一定不等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[答案] D[解析] 当沿对角线AC 折起时，BD 在面ABC 上的射影始终在原对角线上，若BD ⊥面ABC ，则此时B 、D 重合为一点，这是不成立的，故选D.10．已知等腰直角△ABC 的一条直角边BC 平行于平面α，点A ∈α，斜边AB ＝2，AB 与平面α所成的角为30°，则AC 与平面α所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[答案] B[解析] 过B 、C 作BB ′⊥α于B ′，CC ′⊥α于C ′， 则BB ′＝CC ′＝1，∴sin θ＝22，∴θ＝45°.故选B. 二、填空题11．正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都相等，则AC 1与平面BB 1C 1C 的夹角的余弦值为________．[答案]104[解析] 设三棱柱的棱长为1，以B 为原点，建立坐标系如图，则C 1(0,1,1)，A ⎝⎛⎭⎫32，12，0，AC 1→＝⎝⎛⎭⎫－32，12，1，又平面BB 1C 1C 的一个法向量n ＝(1,0,0)， 设AC 1与平面BB 1C 1C 的夹角为θ. sin θ＝|cos 〈n ，AC 1→〉|＝|AC 1→·n ||AC 1→||n |＝64，∴cos θ＝1－sin 2θ＝104. 12．正四棱锥S —ABCD 中，O 为顶点S 在底面内的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面PAC 所成的角是________．[答案] 30°13．AB ∥α，AA ′⊥α， A ′是垂足，BB ′是α的一条斜线段，B ′为斜足，若AA ′＝9，BB ′＝63，则直线BB ′与平面α所成角的大小为________．[答案] 60°14．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AA 1、A 1D 1的中点，则EF 与面A 1C 1所成的角为________．[答案] 45° 三、解答题15．如图所示，ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12SC 与平面ABCD 所成的角．[解析] 解法1：如图所示，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条斜线，A ∈α，则AB 与平面α所成的角为π2－arccos |AB →·n ||AB →|·n ；AS →是平面ABCD 的法向量，设CS →与AS →的夹角为φ. ∵CS →＝CB →＋BA →＋AS →，∴AS →·CS →＝AS →·(CB →＋BA →＋AS →)＝AS →·AS →＝1. |AS →|＝1，|CS →|＝(CB ―→＋BA ―→＋AS ―→)2 ＝|CB ―→|2＋|BA ―→|2＋|AS ―→|2＝3， ∴cos φ＝AS →·CS →|AS →|·|CS →|＝33.∴φ＝arccos33. 从而CS 与平面ABCD 所成的角为π2－arccos 33.解法2：连结AC ，显然∠SCA 即为SC 与平面ABCD 所成的角．计算得：AC ＝2，∴tan ∠SCA ＝22，故SC 与平面ABCD 所成角为arctan22. 16．如图，在直三棱柱ABO —A ′B ′O ′中，OO ′＝4，OB ＝3，∠AOB ＝90°.D 是线段A ′B ′的中点，P 是侧棱BB ′上的一点．若OP ⊥BD ，试求：(1)OP 与底面AOB 所成的角的大小； (2)BD 与侧面AOO ′A ′所成的角的大小．[解析] 如图，以O 为原点建立空间直角坐标系，由题意，有B (3,0,0)，D ⎝⎛⎭⎫32，2，4，设P (3,0，z )，则BD →＝⎝⎛⎭⎫－32，2，4，OP →＝(3,0，z )．∵BD ⊥OP ，∴BD →·OP →＝－92＋4z ＝0，z ＝98.∴P ⎝⎛⎭⎫3，0，98.(1)∵BB ′⊥平面AOB ，∴∠POB 是OP 与底面AOB 所成的角． ∵tan ∠POB ＝983＝38，∴∠POB ＝arctan 38.故OP 与底面AOB 所成角的大小是arctan 38.(2)∵OB →＝(3,0,0)，且OB →⊥平面AOO ′A ′， ∴平面AOO ′A ′的法向量为OB →＝(3,0,0)． 又DB →＝(3,0,0)－⎝⎛⎭⎫32，2，4＝⎝⎛⎭⎫32，－2，－4， ∴OB →·DB { ＝3×32＋(－2)×0＋(－4)×0＝92.又|OB →|＝3， |DB →|＝⎝⎛⎭⎫322＋(－2)2＋(－4)2＝892， ∴cos 〈OB →，DB →〉＝OB →·DB →|OB →|·|DB →|＝923×892＝389 .∴BD 与侧面AOO ′A ′所成的角的大小为π2－〈OB →，DB →〉＝π2－arccos 389(或写成arcsin389)．17．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是CC 1的中点，求BE 与平面B 1BD 所成角的正弦值．[解析] 如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则B (2,2,0)，B 1(2,2,2)，E (0,2,1)，BD →＝(－2，－2,0)，BB 1→＝(0,0,2)，BE →＝(－2,0,1)．设平面B 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∵n ⊥BD ，n ⊥BB 1∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝－2x －2y ＝0n ·BB 1→＝2z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－y z ＝0， 令y ＝1时，则n ＝(－1,1,0)， cos<n ，BE →>＝n ·BE →|n ||BE →|＝105.即BE 与平面B 1BD 所成的角的正弦值为105.18．(2009·北京)如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，PA ＝AB ，∠ABC ＝60°，∠BCA ＝90°，点D ，E 分别在棱PB ，PC 上，且DE ∥BC .(1)求证：BC ⊥平面P AC ；(2)当D 为PB 的中点时，求AD 与平面P AC 所成的角的大小； [解析] 考查线面垂直，直线与平面所成角，以及二面角等内容，可以用直接法实现，也可用向量法．解法一：(1)∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BC . 又∠BCA ＝90°，∴AC ⊥BC . ∴BC ⊥平面PAC .(2)∵D 为PB 的中点，DE ∥BC ，∴DE ＝12BC .又由(1)知，BC ⊥平面P AC ， ∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E . ∴∠DAE 是AD 与平面P AC 所成的角． ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AB ，又PA ＝AB ，∴△ABP 为等腰直角三角形， ∴AD ＝12AB .在Rt △ABC 中，∠ABC ＝60°，∴BC ＝12.∴在Rt △ADE 中，sin ∠DAE ＝DE AD ＝BC 2AD ＝24.∴AD 与平面PAC 所成的角的大小为arcsin24. 解法二：(1)如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz .设PA ＝a ，由已知可得A (0,0,0)，B ⎝⎛⎭⎫－12a ，32a ，0，C ⎝⎛⎭⎫0，32a ，0，P (0,0，a )． (1)∵AP →＝(0,0，a )，BC →＝⎝⎛⎭⎫12a ，0，0，∴BC →·AP →＝0， ∴BC ⊥AP .又∵∠BCA ＝90°， ∴BC ⊥AC . ∴BC ⊥平面PAC .(2)∵D 为PB 的中点，DE ∥BC ，∴E 为PC 的中点． ∴D ⎝⎛⎭⎫－14a ，34a ，12，E ⎝⎛⎭⎫0，34a ，12a .又由(1)知，BC ⊥平面P AC . ∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E . ∴∠DAE 是AD 与平面P AC 所成的角． ∵AD →＝⎝⎛⎭⎫－14a ，34a ，12a ，AE →＝⎝⎛⎭⎫0，34a ，12a ，∴cos ∠DAE ＝AD →·AE →|AD →||AE →|＝144.∴AD 与平面PAC 所成的角的大小为arccos144.。
高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：1章末
第一章一、选择题1．(2010·北京理，6)a 、b 为非零向量．“a ⊥b ”是“函数f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )为一次函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )＝(a·b )x 2＋(|b |2－|a |2)x －a·b ，如a ⊥b ，则有a·b ＝0，如果同时有|b |＝|a |，则函数恒为0，不是一次函数，因此不充分，而如果f (x )为一次函数，则a·b ＝0，因此可得a ⊥b ，故该条件必要．2．(2008·安徽，7)a <0是方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 当a <0时，x 1·x 2＝1a<0， ∴方程ax 2＋2x ＋1＝0有一个负根；当a ＝0时，方程ax 2＋2x ＋1＝0的根为x ＝－12. ∴a <0是方程ax 2＋2x ＋1＝0有一个负数根的充分不必要条件，故选B.3．对下列命题的否定说法错误的是( )A ．p ：∀x ∈R ，x >0；¬p ：∃x ∈R ，x ≤0B ．p ：∃x ∈R ，x 2≤－1；¬p ：∀x ∈R ，x 2>－1C ．p ：如果x <2，那么x <1；¬p ：如果x <2，那么x ≥1D.p ：∀x ∈R ，使x 2＋1≠0；¬p ：∃x ∈R ，x 2＋1＝0[答案] C[解析] 利用全称命题和存在性命题的否定形式进行判断，C 中实际上是一个“对全称命题”的否定，应为“∃x ∈R ，当x <2时，使x ≥1”．二、填空题4．如果命题“p 且q ”与“¬p ”都是假命题，则命题q 是________(真、假)命题．[答案] 假[解析] “p 且q ”假，说明p 、q 至少有一为假；“¬p ”假，说明p 真，故知q 为假．5．(2009·山东日照3月考)设p ：⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋3y －12>0，3－x ≥0，x ＋3y ≤12，(x 、y ∈R )，q ：x 2＋y 2>r 2(x ，y ∈R ，r >0)，若綈q 是綈p 的充分不必要条件，则r 的取值范围是________________．[答案] ⎝⎛⎦⎤0，125[解析] 由已知綈q ⇒綈p ，∴p ⇒q ，由线性规划知，p 表示如下阴影部分：由p ⇒q 的几何意义，阴影在以原点为圆心，半径为r 的圆外．∴r ∈⎝⎛⎦⎤0，125. 三、解答题6．若M 、A 、B 三点不共线，且存在实数λ1，λ2，使MC →＝λ1MA →＋λ2MB →，求证：A 、B 、C 三点共线的充要条件是λ1＋λ2＝1.[解析] 必要性：若A 、B 、C 三点共线，则存在实数λ，使得AC →＝λAB →.AC →＝MC →－MA →＝λ1MA →＋λ2MB →－MA →＝(λ1－1)MA →＋λ2MB →，而AB →＝MB →－MA →，∴(λ1－1)MA →＋λ2MB →＝λMB →－λMA →，即⎩⎪⎨⎪⎧ λ1－1＝λλ2＝－λ所以λ1＋λ2＝1.充分性：若λ1＋λ2＝1，则AC →＝MC →－MA →＝λ1MA →＋λ2MB →－MA →＝(λ1－1)MA →＋λ2MB →＝－λ2MA →＋λ2MB →＝λ2AB →，∵AC →与AB →共线，即A 、B 、C 三点共线，综上所述，结论成立．。
高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：1-1-2量词
1.1.2量词一、选择题1．下列命题是全称真命题的是()A．∀x∈R，x2>0B．∀x∈Q，x2∈Q C．∃x∈Z，x2>1 D．∀x，y∈R，x2＋y2>0 [答案] B2．下列语句不是全称命题的是()A．任何一个实数乘以零都等于零B．自然数都是正整数C．高二·一班绝大多数同学是团员D．每一个向量都有大小[答案] C3．下列命题为存在性命题的是()A．偶函数的图象关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是平行直线D．存在实数大于等于3[答案] D[解析]A、B、C为全称命题．4．下列命题：①至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立；②对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立；③对任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立；④存在x使x2＋2x＋1＝0成立．其中是全称命题的有()A．1个B．2个C．3个D．0个[答案] B[解析]②③含有全称量词“任意”．5．(2009·宁夏、海南)有四个关于三角函数的命题：p1：∃x∈R，sin2x2＋cos2x2＝12p2：∃x、y∈R，sin(x－y)＝sin x－sin yp3：∀x∈[0，π]，1－cos2x2＝sin xp4：sin x＝cos y⇒x＋y＝π2其中假命题的是()A．p1，p4B．p2，p4 C．p1，p3D．p3，p4 [答案] A[解析]本题主要考查命题的真假．p1是假命题，∵∀x∈R，sin2x2＋cos2x2＝1，p2是真命题，例如：当x＝y＝π2时，sin(x－y)＝sin x－sin y＝0. p3是真命题，∵∀x∈[0，π]，sin x≥0，∴1－cos2x2＝|sin x|＝sin x.p4是假命题，例如：sin π6cos73πx＋y＝π2.6．已知A表示点，a，b，c表示直线，M、N表示平面，给出下列命题，其中是真命题的序号为()①a⊥M，b⊄M，若b∥M，则b⊥a；②a⊥M，若a⊥N，则M∥N；③a⊂M，b∩M＝A，c为b在M上的射影，若a⊥c，则a⊥b.A．①B．②C．①②③D．②③[答案] C7．下列命题中是全称命题且是真命题的个数是()①每一个二次函数的图象都开口向上②存在一条直线与两个相交平面垂直③存在一个实数x，使不等式x2－3x＋6<0成立A．0 B．1 C．2 D．3[答案] A[解析]只有①是全称命题，但它是假命题，故选A.8．下列命题中是存在性命题且是真命题的个数是()①∃x∈R，x≤0.②至少有一个整数，它既不是合数，也不是质数．③∃x∈{x|x是无理数}，x3是无理数．A．0 B．1 C．2 D．3[答案] D[解析]①②③均是存在性命题，且都为真命题．故选D.9．将“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是()A．∀x，y∈R，都有x2＋y2≥2xyB．∃x，y∈R，使x2＋y2≥2xyC．∀x>0，y>0，使x2＋y2≥2xyD．∃x<0，y<0，使x2＋y2≤2xy[答案] A10．(2009·鞍山高二检测)四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2＝0；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为() A．0 B．1 C．2 D．3[答案] A[解析]①中只有当x＝2或x＝1是方程的根所以①为假命题；②中x＝±2为无理数故②也为假命题；③中方程无解；④中不等式解集为{x|x∈R且x≠1}故选A.二、填空题11．用符号“∀”与“∃”表示下面含有量词的命题：(1)自然数的平方大于零______________________；(2)存在一对整数，使2x＋4y＝3__________________________.[答案](1)∀x∈N，x2>0；(2)∃x，y∈Z，使2x＋4y＝312．有下列四个命题：①22340能被3或5整除；②不存在x∈R，使得x2＋x＋5<0；③对任意的实数x，均有x＋1>x；④方程x2－2x＋3＝0有两个不等的实根．其中假命题有________．(只填序号)[答案]④13．下列命题：①若xy＝1，则x、y互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac2>bc2，则a>b.其中真命题的序号是________．[答案]①④14．设有两个命题：①关于x的不等式mx2＋1>0的解集是R；②函数f(x)＝log m x是增函数．如果这两个命题中有且只有一个真命题，那么实数m的取值范围是________．[答案]0≤m≤1[解析]①是真命题则m≥0，②是真命题则m>1，若①真②假，则0≤m≤1；若②真①假，则m不存在，综上，0≤m≤1.三、解答题15．用符号“∀”与“∃”表示下面含有量词的命题．(1)不等式|x－1|＋|x－2|<3有实数解；(2)如果a，b是偶数，则a＋b也是偶数．(3)一定有实数α、β，使得sin(α＋β)＝sinα＋sinβ；(4)一定有整数x、y，使得3x－2y＝10；(5)所有的实数a、b，方程ax＋b＝0恰有一个解．[解析](1)∃x∈R，使|x－1|＋|x－2|<3.(2)∀a，b∈R，且a，b为偶数，使a＋b为偶数．(3)∃α、β∈R，使得sin(α＋β)＝sinα＋sinβ；(4)∃x、y∈Z，使得3x－2y＝10；(5)∀a∈R，∀b∈R，方程ax＋b＝0恰有一个解．16．判断下列命题的真假．(1)对于任意0<x<5，|x－2|<3总成立；(2)存在异号实数a，c，使方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根．(3)∀x∈R，|x|>x；(4)对数函数都是单调函数．[解析](1)真，因为|x－2|<3⇔－1<x<5，而对于任意0<x<5，总有－1<x<5.(2)真，∵a、c异号，∴ac<0，∴△＝b2－4ac>0.(3)假，当x＝0时，|x|＝x.(4)真．17．指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是存在性命题，并判断真假．(1)若a>0且a≠1，则对任意实数x，a x>0；(2)对任意实数x1，x2，若x1<x2，则tan x1<tan x2；(3)∃T∈R，使|sin(x＋T)|＝|sin x|；(4)∃x∈R，使x2＋1<0.[解析](1)(2)是全称命题(3)(4)是存在性命题．(1)∵a x>0(a>0，a≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题．(2)存在x1＝0，x2＝π，x1<x2，但tan0＝tanπ∴命题(2)是假命题．(3)y ＝|sin x |是周期函数，π就是它的一个周期，∴命题(3)是真命题．(4)对任意x ∈R ，x 2＋1>0.∴命题(4)是假命题．18．在R 上定义运算⊙：x ⊙y ＝x (1－y )，∀x ∈R ，不等式(x －a )⊙(x ＋a )<1恒成立，求实数a 的取值范围．[解析] ∵(x －a )⊙(x ＋a )<1∴(x －a )[1－(x ＋a )]<1∴－x 2＋x ＋a 2－a －1<0即x 2－x －a 2＋a ＋1>0∵∀x ∈R ，上述不等式恒成立．∴Δ<0即1－4(－a 2＋a ＋1)<0解得－12<a <32， ∴实数a 的取值范围是(－12，32)．。
高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：1-1-1命题
1.1.1命题一、选择题1．下列语句中是命题的是( )A ．|x ＋a |B ．0∈NC ．集合与简易逻辑D ．真子集[答案] B[解析] 由命题定义知选B.2．已知命题：①若ac >bc ，则a >b ；②若a >b ，则1a <1b；③若x ＋2＝0，则x ＋2≤0；④若p ≥0，则p 2≥p .其中真命题的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案] A[解析] ①当c ≤0时，不一定有a >b 恒成立，是假命题；②当a >0时，b <0，不等式1a <1b不成立，是假命题；③是真命题；④当0<p <1时，不等式p 2>p 不成立，是假命题，故选A.3．设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则①(a·b )c ＝(c·a )b ；②|a|－|b|<|a －b|；③(b·c )a －(c·a )b 不与c 垂直；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a|2－4|b|2中，是真命题的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④[答案] D[解析] 由于向量c 与b 不共线，故①错，[(b·c )a －(c·a )b ]·c ＝0，故③错．4．已知a 、b 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a ⊥α，b ⊥β，则下列命题中，假命题是( )A ．若a ∥b ，则α∥βB ．若α⊥β，则a ⊥bC ．若a 、b 相交，则α、β相交D ．若α、β相交，则a 、b 相交[答案] D[解析] 如图所示，因为α、β为两个不同的平面，所以若α∩β为＝c ，但平面α、β不会重合．因为a ⊥α，b ⊥β，所以a 与b 不一定相交．故“α、β相交，则a 、b 相交”是假命题．5．关于直线m 、n 与平面α、β有下列四个命题：①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n.其中真命题的序号是()A．①②B．③④C．①④D．②③[答案] D[解析]m∥α，n∥β，且α∥β，则m与n可能相交或异面，故①不成立，排除A、C；若m⊥α，n⊥β，m⊥n成立，故②正确，排除B.6．下列说法正确的是()A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B．语句“当a>1时，方程x2－4x＋a＝0有实根”不是命题C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题[答案] D[解析]由△＝16－4a≥0，知a≤4，故D正确．7．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②垂直于同一平面的两个平面互相平行；③若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2互相平行；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．其中假命题的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个[答案] D[解析]命题①忽视两条直线可以相交，命题②两平面可以相交、平行，命题③l1，l2可以异面或相交，命题④中与l1，l2都相交的两直线可以相交，故选D.8．有下列命题：①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何非空集合的真子集．真命题的个数为()A．1B．2C．3D．4[答案] B9．给定下列命题：①“若k>0，则方程x2＋2x－k＝0”有实数根；②若a>b，则a＋c>b＋c；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x、y中至少有一个为0.其中真命题的序号是( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④ [答案] B[解析] ①中Δ＝4－4(－k )＝4＋4k >0，故为真命题；②显然为真命题；③如等腰梯形对角线相等，不是矩形；④为真命题．10．设α、β、γ为两两不重合的平面，c 、m 、n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①如果α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②如果α∥β，c ⊂α，则c ∥β；③如果α∩β＝c ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，c ∥γ，则m ∥n .其中真命题个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个[答案] B[解析] ①α⊥γ，β⊥γ，则α与β可相交，如两个平面在第三个平面上(一本书立在课桌上)．②正确．③正确．二、填空题11．有下列四个命题：①如果x ＋y ＝0，则x 、y 互为相反数；②全等三角形面积相等；③如果q ≤1，则x 2＋2x ＋q ＝0有实数解；④2是合数．其中真命题是________．(填上正确命题的所有序号)[答案] ①②③12．设有两个命题：①关于x 的不等式mx 2＋1>0的解集是R ；②函数f (x )＝log m x 是减函数，如果这两个命题中有且只有一个真命题，则实数m 的取值范围是________．[答案] m ≥1或m ＝0[解析] ①为真时，m ≥0；②为真时，0<m <1.∴①真②假时⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0m ≥1或m ≤0∴m ≥1或m ＝0； ∴②真①假时⎩⎨⎧ 0<m <1m <0∴m ∈∅.∴m ≥1或m ＝0.13．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题．若函数f (x )＝3＋log 2x 的图象与g(x)的图象关于________对称，则函数g(x)＝________.(注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形)[答案]x轴－3－log2x[解析]f(x)＝3＋log2x，关于x轴对称的曲线为－g(x)＝3＋log2x即g(x)＝－3－log2x.14．(2009·江苏)设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；(2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；(3)设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；(4)直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题．．．的序号________(写出所有真命题的序号)．[答案](1)(2)[解析]本题主要考查平面间的位置关系．考查学生对知识的掌握程度．(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β是正确的；(2)由线面平行判定定理知(2)正确；(3)由α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，不能推出α和β垂直；(3)不正确；(4)直线l与α垂直能够推出l与α内的两条直线垂直，而l与α内的两条直线垂直不能推出直线l与α垂直，∴(4)不正确．三、解答题15．判断下列语句是否是命题，并说明理由．①2是无限循环小数；②x2－3x＋2＝0；③一条直线l，不是与平面α平行就是相交；④x2＋2x－3<0；⑤二次函数的抛物线太美了！⑥4是集合{1,2,3}的元素．[解析]①是命题，且是假命题．②不是命题，因为语句中含有变量x，有没给变量x赋值前，我们无法判断语句的真假(这种语句叫“开语句”)．③直线l与平面α的位置有三种：平行、相交和在平面内，为假命题．④在x未赋值之前，不能判断其真假，不是命题．⑤感叹句，不是命题．⑥由于4∉{1,2,3}，所以“4是集合{1,2,3}的元素”为假命题．16．已知“x 1<x 2<0，则a x 1>a x 2”是假命题，求a 满足的条件． [解析] 由x 1<x 2<0可得x 1x 1x 2<x 2x 1x 2即1x 2<1x 1，要使a x 1>a x 2是假命题，则a ≤0.故a 满足的条件是a ≤0.17．判断下列语句是不是命题，如果是命题，指出是真命题还是假命题．(1)任何负数都大于零；(2)△ABC 与△A 1B 1C 1是全等三角形；(3)x 2＋x >0；(4)∅ A ；(5)6是方程(x －2)(x －6)＝0的解；(6)方程x 2－2x ＋5＝0有实数解．[解析] (1)能构成命题，且是假命题．(2)两个三角形为全等三角形是有条件的，本小题无法确定，故不是命题．(3)因为x 是未知数，无法判断x 2＋x 是否大于零，所以不是命题．(4)空集是任何非空集合的真子集，集合A 是否非空集合无法判断，故不是命题．(5)6确实是所给方程的解，所以这一语句是命题，且是真命题．(6)由于给定方程的判别式Δ＝4－4＝－16<0，知方程x 2－2x ＋5＝0无实根，故这是命题，但为假命题．18．判断下列命题的真假．①函数y ＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π.②终边在y 轴上的角的集合是{α|α＝k π2，k ∈Z }． ③在同一坐标系中，函数y ＝sin x 的图象和函数y ＝x 的图象有三个公共点．④把函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π6，得到y ＝3sin2x 的图象． ⑤函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2在[0，π]上是减函数．[解析] 命题①中y ＝sin 4x －cos 4x ＝sin 2x －cos 2x ＝－cos2x ，显然其最小正周期为π，∴①是真命题．②当k ＝2m (m ∈Z )时，则α＝m π，其角的终边在x 轴上，∴②是假命题．③在同一坐标系中，作出y ＝sin x 与y ＝x 的图象观察知图象只在原点处有一个交点，∴③是假命题．命题④中，向右平移π6 y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π3＝3sin2x ，命题为真命题．π2＝－cos x在[0，π]上为增函数，命题为假命题．命题⑤中y＝sin⎝⎛⎭⎫x－。
高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：3-2-2平面的法向量与平面的向量表示
3.2.2平面的法向量与平面的向量表示一、选择题1．下列命题中正确的是( )A ．如果一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直B ．如果一条直线与平面的一条斜线垂直，则它与斜线在平面上的射影垂直C ．如果一向量和斜线在平面内的射影垂直，则它垂直于这条斜线D ．如果一非零向量和一平面平行，且和一条斜线垂直，则它垂直于斜线在平面内的射影[答案] D[解析] 由三垂线定理知D 成立．2．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，平面ACB 1的一个法向量为( )A.BD 1→B.DB →C.BA 1→D.BB 1→ [答案] A3．点A (a,0,0)，B (0，b,0)，C (0,0，c )，则平面ABC 的一个法向量为( )A ．(bc ，ac ，ab )B ．(ac ，ab ，bc )C ．(bc ，ab ，ac )D ．(ab ，ac ，bc ) [答案] A[解析] 设法向量为n ＝(x ，y ，z )，则AB ·n ＝0，AC →·n ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧－ax ＋by ＝0－ax ＋cz ＝0∴n ＝(bc ，ac ，ab )． 故选A. 4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( ) A ．ACB ．BDC ．A 1DD ．A 1A[答案] B[解析] 直线CE 在平面AC 内的射影为AC ，又AC ⊥BD ，∴BD ⊥CE ，故选B.5．正方体AC 1中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则下列直线中不互相垂直的是( )A ．B 1C 与C 1D 1B ．D 1B 与B 1C C ．D 1B 与EFD ．A 1B 与B 1C 1 [答案] C[解析]D1B与EF所成角等于∠D1BC，其余弦值为33，故选C.6．若平面α、β的法向量分别为u＝(－2,3，－5)，v＝(3，－1,4)，则()A．α∥βB．α⊥βC．α、β相交但不垂直D．以上均不正确[答案] C[解析]∵u＝(－2,3，－5)，v＝(3，－1,4)，∴u与v不平行且u与v不垂直，故选C.7．平面α的一个法向量为v1＝(1,2,1)，平面β的一个法向量v2＝－(2,4,2)，则平面α与平面β()A．平行B．垂直C．相交D．不能确定[答案] A[解析]由v1∥v2故可判定α∥β.8．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝() A．2B．－4C．4D．－2[答案] C[解析]∵α∥β，∴1－2＝2－4＝－2k，∴k＝4，故选C.9．若直线l的方向向量为a＝(－1,0，－2)，平面α的法向量为u＝(4,0,8)，则() A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交[答案] B[解析]∵u＝－4a，∴u∥a，∴a⊥α，∴l⊥α.故选B.10．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，则()A．面AED∥面A1FD1B．面AED⊥面A1FD1C．面AED与面A1FD相交但不垂直D．以上都不对[答案] B[解析] 以D 为原点，DA →、DC →，DD 1→分别为x ，y ，z 建立空间直角坐标系求面AED 的法向量n 1与面A 1FD 1的法向量n 2.∵n 1·n 2＝0，∴n 1⊥n 2，∴平面AED ⊥平面A 1FD 1.二、填空题11．若直线l 与β的法向量分别是a ＝(1,0，－2)，b ＝(－1，0,2)，则直线l 与β的位置关系是________．[答案] l ⊥β[解析] ∵a ∥b ，∴l ⊥β.12．已知l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2，则m ＝________.[答案] －8[解析] 设a ＝(2，m,1)，b ＝(1，12，2)． ∵l ∥α，∴a ⊥b ，∴2＋12m ＋2＝0，∴m ＝－8. 13．已知正四棱锥(如图所示)，在向量PA →－PB →＋PC →－PD →，PA→＋PC →，PB →＋PD →，PA →＋PB →＋PC →＋PD →中，不能作为底面ABCD 的法向量的向量是________．[答案] PA →－PB →＋PC →－PD →[解析] ∵PA →－PB →＋PC →－PD →＝BA →＋DC →＝0，不能作为这个平面的法向量，对其它三个化简后可知均与PO →共线．而PO ⊥平面ABCD ，它们可作为这个平面的法向量．14．如图所示，已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC ＝a ，P A ⊥平面ABCD ，若在BC 上只有一个点Q 满足PQ ⊥QD ，则a 的值等于________．[答案] 2[解析] 以A 为原点，建立如图所示坐标系，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，D (0，a,0)，C (1，a,0)，设Q (1，x,0)，P (0,0，z )，PQ →＝(1，x ，－z )，QD→＝(－1，a －x,0)．由PQ →·QD →＝0，得－1＋x (a －x )＝0，即x 2－ax ＋1＝0.当Δ＝a 2－4＝0，即a ＝2时，Q 只有一个．三、解答题15．已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (0,0,2)，B (4,2,0)，C (2,4,0)，求平面ABC 的单位法向量．[解析] AB →＝(4,2，－2)，AC →＝(2,4，－2)设n ＝(x ，y ，z )是平面ABC 的单位法向量，则有⎩⎪⎨⎪⎧ |n |2＝1，n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋z 2＝1，2x ＋y －z ＝0，x ＋2y －z ＝0. 取z >0，得x ＝y ＝111，z ＝311 . ∴n ＝111(1,1,3)．16．如图所示，M 、N 、P 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中的棱CC 1、BC 、CD 的中点．求证：A 1P ⊥平面DMN .[证明] 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则D (0,0,0)，A 1(2,0,2)，P (0,1,0)，M (0,2,1)，N (1,2,0)．∴向量A 1P →＝(0,1,0)－(2,0,2)＝(－2,1，－2)，DM →＝(0,2,1)－(0,0,0)＝(0,2,1)，DN →＝(1,2,0)．∴A 1P →·DM →＝(－2,1，－2)·(0,2,1)＝(－2)×0＋1×2＋(－2)×1＝0.A 1P →·DN →＝(－2,1，－2)·(1,2,0)＝(－2)×1＋1×2＋(－2)×0＝0.∴A 1P →⊥DM →，A 1P →⊥DN →，即A 1P ⊥DM ，A 1P ⊥DN ，又DM ∩DN ＝D ，∴A 1P ⊥平面DMN .17．棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，在棱DD 1上是否存在点P 使B 1D ⊥面P AC?[解析] 以D 为原点建立如图所示的坐标系，设存在点P (0,0，z )，AP →＝(－a,0，z )，AC →＝(－a ，a,0)，DB 1→＝(a ，a ，a )，∴B 1D ⊥面PAC ，∴DB 1→·AP →＝0，DB 1→·AC →＝0.∴－a 2＋az ＝0.∴z ＝a ，即点P 与D 1重合．∴点P 与D 1重合时，DB 1⊥面P AC .18．如图所示，ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ，M 、N 、Q 分别是PC 、AB 、CD 的中点，(1)求证：MN ∥PAD ；(2)求证：平面QMN ∥平面PAD ；(3)求证：MN ⊥平面PCD .[解析] (1)如图以A 为原点，以AB ，AD ，AP 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，设B (b,0,0)，D (0，d,0)，P (0,0，d )，则C (b ，d,0)∵M ，N ，Q 分别是PC ，AB ，CD 的中点，∴M ⎝⎛⎭⎫b 2，d 2，d 2，N ⎝⎛⎭⎫b 2，0，0，Q ⎝⎛⎭⎫b 2，d ，0 ∴MN →＝⎝⎛⎭⎫0，－d 2，－d 2， ∵面PAD 的一个法向量为m ＝(1,0,0)∴MN →·m ＝0，即MN →⊥m ，∴MN 不在面P AD 内，∴MN ∥面PAD ，(2)QN →＝(0，－d,0)，QN →⊥m ，又QN 不在面P AD 内，又QN ∥面PAD .又∵MN ∩QN ＝N ，∴面MNQ ∥平面P AD .(3)PD →＝(0，d ，－d )，DC →＝(b,0,0)， ∴MN →·PD →＝⎝⎛⎭⎫－d 2d ＋⎝⎛⎭⎫－d 2(－d )＝0， MN →·DC →＝0，∴MN →⊥PD →，MN →⊥DC ，又PD ∩DC ＝D ， ∴MN →⊥平面PCD .。
高中数学选修2-1(人教B版)第三章空间向量与立体几何3.1知识点总结含同步练习题及答案
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④若 a = b ， b = c ，则 a = c ； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数是（ ）
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中，必有 AC = A 1 C1 ；
−→ −
− − −→
A．4 B．3 C．2 D．1 解：C． 当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，由于向量可以平移，故两个向量相 等，不一定有起点相同、终点相同，故命题①错误；两个向量的模长相等，两个向量不一定相等，还要 考虑方向因素，故命题②错误；命题③④正确；对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为 1 ， 但是方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错． 在长方体 ABCD − A 1 B 1 C1 D 1 中，下列各式运算结果为 BD 1 的是（
− − − → − − − → −→ − −→ − A 1 N = A 1 A + AB + BN − → → 1 −→ = − a + b + BC 2 − → → 1 −→ = − a + b + AD 2 → → 1→ = −a + b + c. 2
（3）因为 M 是 AA 1 的中点，所以
− → −→ − − − → − MP = MA + AP − − → −→ − 1− = A 1 A + AP 2 1→ → → 1→ = − a + (a + c + b) 2 2 1→ 1→ → = a + b + c; 2 2 − − − → −→ − − − − → 1 −→ − − − − → 1 −→ − − − − → 1→ → NC1 = NC + CC1 = BC + AA 1 = AD + AA 1 = c +a 2 2 2
2021年高中数学 2.2.1椭圆的标准方程练习 新人教B版选修2-1
2021年高中数学 2.2.1椭圆的标准方程练习新人教B版选修2-1一、选择题1．命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a>0，a是常数)；命题乙：点P的轨迹是椭圆，甲是乙的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]B[解析]若点P轨迹是椭圆，则一定有|PA|＋|PB|＝2a(a>0)，反过来，若|PA|＋|PB|＝2a(a>0)，点P的轨迹可能是线段，或不存在．2．过椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A、B两点，则A、B与椭圆的另一个焦点F2构成△ABF1的周长是( )A．2 B．4C. 2 D．2 2[答案] B[解析]根据题意画出图形(如图所示)，∵|AF1|＋|AF2|＝2，|BF1|＋|BF2|＝2，∴|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4，即|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4.3．点A(a,1)在椭圆x24＋y22＝1的内部，则a的取值范围是( )A．－2<a< 2 B．a<－2或a> 2 C．－2<a<2 D．－1<a<1[答案] A[解析]因为点A在椭圆内部，故将点A的坐标代入x24＋y22应满足a24＋12<1，所以a2<2，即－2<a<2，故选A.4．已知椭圆x 23＋y 24＝1的两个焦点F 1，F 2，M 是椭圆上一点，且|MF 1|－|MF 2|＝1，则△MF 1F 2是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形[答案] B[解析] 由|MF 1|－|MF 2|＝1，且|MF 1|＋|MF 2|＝4，得|MF 1|＝52，|MF 2|＝32.又|F 1F 2|＝2，显然△MF 1F 2为直角三角形．5．已知A ，B 两点的坐标分别为(0，－5)和(0,5)，直线AM 与MB 的斜率之积为－49，则点M 的轨迹方程是( )A.x 225＋y 21009＝1 B.x 225＋y 21009＝1(x ≠±5)C.x 22254＋y 225＝1 D.x 22254＋y 225＝1(x ≠0)[答案] D[解析] 设点M 的坐标为(x ，y )，则k MA ＝y ＋5x ，k BM ＝y －5x ，由题意，得y ＋5x ·y －5x＝－49(x ≠0)， 整理得x 22254＋y 225＝1(x ≠0)．故选D. 6．设P 是椭圆x 29＋y 24＝1上一动点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则cos ∠F 1PF 2的最小值是( )A.12B.19 C ．－59D ．－19[答案] D[解析] 由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|①又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，|F 1F 2|＝25，∴①式可化为cos ∠F 1PF 2＝ |PF 1|＋|PF 2|2－|F 1F 2|2－2|PF 1||PF 2|2|PF 1||PF 2|＝162|PF 1||PF 2|－1.∵|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝9.当|PF 1|＝|PF 2|时，取等号，∴cos ∠F 1PF 2≥162×9－1＝－19，当|PF 1|＝|PF 2|时取等号， ∴cos ∠F 1PF 2的最小值为－19.二、填空题 7．椭圆x 225＋y 29＝1的一个焦点为F 1，M 为椭圆上一点，且|MF 1|＝2，N 是线段MF 1的中点，则|ON |为(O 为坐标原点)________．[答案] 4 [解析] 如图所示∵|MF 1|＋|MF 2|＝10，|MF 1|＝2， ∴|MF 2|＝8，又ON 为△F 1F 2M 的中位线， ∴|ON |＝12|MF 2|＝4.8．已知F 1、F 2是椭圆x 29＋y 25＝1的左右焦点，P 为椭圆上一个点，且|PF 1|︰|PF 2|＝1︰2，则∠F 1PF 2＝______________.[答案] arccos 14[解析] 由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝6，又|PF 1|︰|PF 2|＝1︰2，则|PF 1|＝2，|PF 2|＝4，而|F 1F 2|＝4由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝14，∴∠F 1PF 2＝arccos 14.三、解答题9．求过点P (3,0)且与圆x 2＋6x ＋y 2－91＝0相内切的动圆圆心的轨迹方程． [解析] 将点(3,0)代入x 2＋6x ＋y 2－91＝－64<0，所以点P 在圆内，圆方程配方整理得(x ＋3)2＋y 2＝102，圆心为C 1(－3,0)，半径为R ＝10.设所求动圆圆心为C (x ，y )，半径为r ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧|PC |＝r ，|CC 1|＝R －r ，消去r 得R －|PC |＝|CC 1|⇒|PC |＋|CC 1|＝R ，即|PC |＋|CC 1|＝10.又P (3,0)，C 1(－3,0)，且|PC 1|＝6<10.可见C 点是以P ，C 1为两焦点的椭圆，且c ＝3,2a ＝10，所以a ＝5，从而b ＝4，故所求的动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.一、选择题1．已知两定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则动点P 的轨迹方程是( )A.x 216＋y 29＝1 B.x 216＋y 212＝1C.x 24＋y 23＝1 D.x 23＋y 24＝1[答案] C[解析] 由题意知|F 1F 2|＝2， 而|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项． 则2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2| 即|PF 1|＋|PF 2|＝4>2 则P 点的轨迹方程为椭圆， 则a ＝2，c ＝1. ∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1.2．已知方程x 2k ＋1＋y 23－k＝1(k ∈R )表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是( )A ．k <1或k >3B ．1<k <3C ．k >1D ．k <3[答案] B[解析] 因为方程x 2k ＋1＋y 23－k＝1(k ∈R )表示焦点在x 轴上的椭圆．所以⎩⎪⎨⎪⎧3－k >0k ＋1>0k ＋1>3－k ，解得1<k <3.3．已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是( )A．0 B．1C ．2 D．2 2[答案] C[解析]设P(x0，y0)，则PF1→＝(－1－x0，－y0)，PF2→＝(1－x0，－y0)，∴PF1→＋PF2→＝(－2x0，－2y0)，∴|PF1→＋PF2→|＝4x20＋4y20＝22－2y20＋y20＝2－y20＋2.∵点P在椭圆上，∴0≤y20≤1，∴当y20＝1时，|PF1→＋PF2→|取最小值为2.故选C.二、填空题4．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋y2b2＝1(0<b<1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E 于A、B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．[答案]x2＋32y2＝1[解析]如图，由题意，A点横坐标为c，∴c2＋y2b2＝1，又b2＋c2＝1，∴y2＝b4，∴|AF2|＝b2，又∵|AF1|＝3|BF1|，∴B点坐标为(－53c，－13b2)，代入椭圆方程得，⎩⎪⎨⎪⎧－53c2＋－13b22b2＝1，b2＝1－c2，∴⎩⎪⎨⎪⎧c2＝13，b2＝23方程为x2＋32y2＝1.5．若方程x2k－2＋y25－k＝1表示椭圆，则实数k的取值范围是________．[答案] (2，72)∪(72，5)[解析] 由方程x 2k －2＋y 25－k＝1表示椭圆，可得⎩⎪⎨⎪⎧k －2>0，5－k >0，k －2≠5－k ，解得2<k <5且k ≠72.即当2<k <72或72<k <5时，方程x 2k －2＋y 25－k＝1表示椭圆．6．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点(1，12)作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．[答案]x 25＋y 24＝1 [解析] 本题主要考查圆的切线方程以及椭圆的标准方程，点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12在圆外过点(1，12)与圆相切的一条直线方程为x ＝1，一个切点为(1,0)，设另一条的方程为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－m x ＋m ，由1＝|m |⎝ ⎛⎭⎪⎫12－m 2＋1得m ＝54，故另一条切线的方程为y ＝－34x ＋54代入圆的方程联立解得切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，则直线AB 的方程为y ＝－2x ＋2，故椭圆的上顶点坐标为(0,2)．因此c ＝1，b ＝2，a ＝5，所求椭圆方程为x 25＋y 24＝1.7．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________；∠F 1PF 2的大小为________．[答案] 2 120°[解析] 考查椭圆定义及余弦定理．由椭圆定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴|PF 2|＝2， cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝16＋4－2816＝－12. ∴∠F 1PF 2＝120°. 三、解答题8．如图所示，已知经过椭圆x 225＋y 216＝1的右焦点F 2的直线AB 垂直于x 轴，交椭圆于A ，B 两点，F 1是椭圆的左焦点．(1)求△ABF 1的周长；(2)若AB 不垂直于x 轴，则△AF 1B 的周长有变化吗？为什么？[解析] (1)由题意知A ，B 两点在椭圆x 225＋y 216＝1上，故有|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝10，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝10，|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |，∴△ABF 1的周长＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝2a ＋2a ＝10＋10＝20.∴△ABF 1的周长为20.(2)若AB 不垂直于x 轴，则△ABF 1的周长不变．理由：|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ，这与AB 是否与x 轴垂直无关．9．如图，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2,1<t <3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点，点A 1，A 2分别为C 2与x 轴的交点．(1)当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积； (2)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程．[解析] (1)设A (x 0，y 0)，则矩形ABCD 的面积S ＝4|x 0||y 0|.由x 209＋y 20＝1得y 20＝1－x 209，从而 x 20y 20＝x 20(1－x 209)＝－19(x 20－92)2＋94. 当x 20＝92，y 20＝12时，S max ＝6，从而t ＝5时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为6.(2)由A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)，A 1(－3,0)，A 2(3,0)知直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)． ①直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)． ②由①②得y 2＝－y 2x 20－9(x 2－9)．③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 上，故y 20＝1－x 209.④将④代入③得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．28377 6ED9 滙20871 5187 冇&i35605 8B15 謕25698 6462 摢 32480 7EE0 绠33819 841B 萛30524 773C 眼24720 6090 悐R32033 7D21 紡29801 7469 瑩。
高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：3-2-5距离
3.2.5距离一、选择题1．已知平面α∥平面β，直线l ⊂α，α与β之间的距离为d ，有下列四个命题： ①β内有且仅有一条直线与l 的距离为d ； ②β 内所有的直线与l 的距离都等于d ； ③β内有无数条直线与l 的距离为d ； ④β内所有直线与α的距离都等于d . 其中真命题是( ) A ．①B ．②C ．①与④D ．③与④[答案] D[解析] 在直线l 上任取一点O ，过O 作OA ⊥β于A ，在平面β内，与l 不平行的所有直线与l 距离都是d ，否则不一定是d .∴①②错误，故选D.2．平面α内不共线的三点到平面β的距离相等且不为0，则α与β的位置关系为( ) A ．相交 B ．平行 C ．重合D ．平行或相交[答案] D[解析] 两平面α，β平行或相交时都存在这样的三点，故选D.3．已知平面α的一个法向量n ＝(－2，－2,1)，点A (－1,3,0)在α内，则P (－2,1,4)到α的距离为( )A ．10B ．3 C.83D.103[答案] D[解析] AP →＝(－1，－2,4)，d ＝|AP →·n ||n |＝103.4．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，设点C 到平面ABC 1D 1的距离为d 1，D 到平面ACD 1的距离为d 2，BC 到平面ADD 1A 1的距离为d 3，则有( )A ．d 3<d 1<d 2B ．d 1<d 2<d 3C ．d 1<d 3<d 2D ．d 2<d 1<d 3[答案] D[解析] 由已知得d 1＝22a ，d 2＝33a ，d 3＝a ，∴d 2<d 1<d 3.故选D.5．已知平行四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，∠BCA ＝30°，AC ＝20，P A ＝5，且P A ⊥面ABCD ，则P 到BC 的距离为( )A ．52B ．53C ．55D ．5[答案] C[解析] 由已知AB ＝20sin30°＝10， 又P A ＝5，∴PB ＝52＋102＝5 5.故选C.6．在直角坐标系中，A (－2,3)，B (3，－2)，沿x 轴把直角坐标系折成120°的二面角，则AB 的长度为( )A.2 B ．211 C ．32D ．4 2[答案] B[解析] 过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为A ′，B ′，则|AA ′|→＝3，|BB ′→|＝2，|A ′B ′→|＝5，又AB →＝AA ′→＋A ′B ′→＋B ′B →，∴|AB →|2＝32＋52＋22＋2×3×2×12＝44，∴|AB →|＝211，故选B.7．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，则点M 到平面BDD 1B 1的距离是( )A ．a B.a2 C.2a2D.32a [答案] C[解析] 法一：由线面关系知AA 1∥平面BDD 1B 1，∴只需求B 点到平面BDD 1B 1的距离，而AC ⊥平面BDD 1B 1，∴d ＝22a . 法二：建立以D 为坐标原点的空间直角坐标系， DM →＝(a,0，a 2)，n ＝(－1,1,0)，∴d ＝|DM →·n ||n |＝a 2＝22a .8．将锐角为60°，边长为a 的菱形ABCD 沿较短的对角线BD 折成60°的二面角，顶点A ，C 间距离为( )A ．aB.32aC.12a D.32a [答案] D[解析] 取BD 中点O ，则AO ⊥BD ，CO ⊥BD ， ∴∠AOC ＝60°，又AO ＝CO ＝32a ，∴AC ＝32a .故选D. 9．如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都是2，E 、F 分别是AB 、A 1C 1的中点，则EF 的长是( )A ．2 B. 3 C.5D.7[答案] C[解析] 解法一：建立如图所示直角坐标系，则A 1(0，－1,2)，C 1(0,1,2)，E (32，12，0)，F (0,0,2)．则EF →＝(－32，－12，2)，|EF →|＝34＋14＋4＝ 5. 解法二：设AC 中点为G ，连CE 在Rt △FGE 中|EF |2＝|FG |2＋|GE |2＝4＋1＝5.∴EF ＝ 5. 10．在四面体P －ABC 中，P A 、PB 、PC 两两垂直，M 是面ABC 内一点，且M 到其它三面的距离分别是2、3、6，则M 到顶点P 的距离是( )A ．7B ．8C ．9D ．10[答案] A[解析] 以P 为原点，P A ，PB ，PC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，由已知M (2,3,6)，∴|MP |＝22＋32＋62＝7. 二、填空题11．设A 到平面α的距离是a ，自A 作平面α的两条斜线段AB ，AC 分别与平面α成45°和30°，∠BAC ＝90°，则两斜足B ，C 间的距离为________．[答案]6a[解析] 过A 作AO ⊥α于O ，则∠ABO ＝45°，∠ACO ＝30°，|AO |＝a ，∴|AB |＝2a ，|AC |＝2a ，又∠BAC ＝90°，∴|BC |＝|AB |2＋|AC |2＝6a .12．如图所示，在直平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BD ⊥DC ，BD ＝DC ＝1，点E 在AA 1上 ，且AE ＝14AA 1＝12.DC 1⊥BE .则点B 到平面EDC 1的距离为________．[答案]53[解析] 建立如图所示的坐标系，则D (0,0,0)，A (1，－1,0)，B (1,0,0)，C (0,1,0)，C 1(0，1,2)，E (1，－1，12)，∴DC 1→＝(0,1,2)，DE →＝(1，－1，12)．设平面EDC 1的法向量为n ＝(x ，y,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧DE →·n ＝x －y ＋12＝0，DC 1→·n ＝y ＋2＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－52，y ＝－2.∴n 可取为(－52，－2,1)．∴点B 到平面EDC 1的距离为d ＝|n ·DB →||n |＝52325＝53.13．如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，所有棱长均为1，则点B 1到平面ABC 1的距离为________．[答案]217[解析] VB 1－ABC 1＝VA －BB 1C 1 VA －BB 1C 1＝13S △BB 1C 1×32AB ＝312∴VB 1－ABC 1＝13S △AB 1C 1·h ，S △ABC 1＝12AB ·172＝174，∴h ＝217.14．在底面是直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，侧棱P A ⊥底面ABCD ，BC ∥AD ，∠ABC ＝90°，P A ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝1，则AD 到平面PBC 的距离为________．[答案]2[解析] 由已知AB ，AD ，AP 两两垂直．∴以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (2,2,0)，P (0,0,2)，则PB →＝(2,0，－2)．BC →＝(0,2,0)，设平面PBC 的法向量为n ＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧2a －2c＝0b ＝0，∴n ＝(1,0,1)，又AB ＝(2,0,0)， ∴d ＝|AB →·n ||n |＝ 2.三、解答题15．在四面体ABCD 中，AB ，BC ，BD 两两垂直，且AB ＝BC ＝2，E 为AC 的中点，若异面直线AD 与BE 所成角的余弦值为1010，求点B 到平面ACD 的距离． [解析] 如图所示，以B 为坐标原点，BC ，BA ，BD 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系B －xyz ，则A (0,2,0)，C (2,0,0)，E (1,1,0)．设D (0,0，z )(z >0)，则BE →＝(1,1,0)，AD →＝(0，－2，z )． 设BE →与AD →所成角为θ，由图知直线BE 与AD 所成角为π－θ. 而BE →·AD →＝2×4＋z 2·cos θ＝－2， ∴2×4＋z 2×⎝⎛⎭⎫－1010＝－2， ∴z ＝4，即D (0,0,4)．设向量n ＝(x ，y ，z )是平面ACD 的一个单位向量， 则n ⊥AD →且n ⊥AC →，由AC →＝(2，－2,0)，AD →＝(0，－2,4)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋z 2＝1，2x －2y ＝0，－2y ＋4z ＝0.取x ＝23，则y ＝23，z ＝13.∴n ＝⎝⎛⎭⎫23，23，13. 又BD →＝(0,0,4)，∴点B 到平面ACD 的距离d ＝|BD →·n |＝43.16．已知棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，求AD 1与A 1B 的距离．[解析] 如右图所示，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ，则B (1,1,0)，A 1(1,0,1)，A (1,0,0)，D 1(0,0,1)． ∴BA 1→＝(0，－1,1)，AD 1→＝(－1,0,1)，AB →＝(0,1,0)． 设n ＝(x ，y ，z )与BA 1→，AD 1→都垂直，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA 1→＝0，n ·AD 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－y ＋z ＝0，－x ＋z ＝0.∴x ＝y ＝z .令z ＝1，∴n ＝(1,1,1)．∴d ＝|AB →·n ||n |＝13＝33，∴AD 1与A 1B 的距离为33.17．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝BB 1＝1，直线B 1C 与平面ABC 所成的角为30°.试求点C 1到平面AB 1C 的距离．[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系， 在Rt △B 1BC 中，BB 1＝1，∠B 1CB ＝30°， ∴BC ＝3，B 1C ＝2，∴A (0,0,0)、B (1,0,0)、C (0，2，0)、A 1(0,0,1)、B 1(1,0,1)，C 1(0，2，1)，设n ＝(x ，y ，z )是由C 1向平面AB 1C 所作垂线上的方向单位向量，则n ⊥AB 1→，且n ⊥AC →.即⎩⎪⎨⎪⎧x ×1＋y ×0＋z ×1＝0，x ×0＋y ×2＋z ×0＝0，x 2＋y 2＋z 2＝1，解得n ＝⎝⎛⎭⎫22，0，－22(另一种情况舍去)， ∴B 1C 1→·n ＝(－1，2，0)·⎝⎛⎭⎫22，0，－22＝－22， 则d ＝|B 1C 1→·n |＝|－22|＝22为所求的距离．18．(2007·甘肃)如图所示，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的高为3，底面是边长为4，且∠DAB ＝60°的菱形，AC ∩BD ＝0，A 1C 1∩B 1D 1＝O 1.(1)求二面角O 1－BC －D 的大小； (2)求点A 到平面O 1BC 的距离．[解析] (1)由题意建立如图所示的空间直角坐标系．∵底面ABCD 是边长为4，∠DAB ＝60°的菱形， ∴OA ＝23，OB ＝2.则A (23，0,0)，B (0,2,0)，C (－23，0,0)，O 1(0,0,3)． ∴O 1B →＝(0,2，－3)，O 1C →＝(－23，0，－3)． 设平面O 1BC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )． 由n 1⊥O 1B →，n 1⊥O 1C →得：⎩⎨⎧2y －3z ＝0，－23x －3z ＝0.令z ＝2，则x ＝－3，y ＝3，∴n 1＝(－3，3,2)． 又平面AC 的法向量为n 2＝(0,0,1)， ∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝24＝12. 设二面角O 1－BC －D 的平面角为α， 则cos α＝12，∴α＝60°.故二面角O 1－BC －D 为60°. (2)设点A 到平面O 1BC 的距离为d .则(1)知平面O 1BC 的法向量为n 1＝(－3，3,2)． 又∵O 1A →＝(23，0，－3)．则d ＝|O 1A →·n 1||n 1|＝|(23，0，－3)·(－3，3，2)|(－3)2＋32＋22＝3.∴点A 到平面O 1BC 的距离等于3.。
高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：2-2-3椭圆习题课
2.2.3椭圆习题课一、选择题1．已知椭圆的焦点是F 1，F 2是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线[答案] A[解析] ∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PQ |＝|PF 2|，∴|PF 1|＋|PF 2|＝|PF 1|＋|PQ |＝2a ，即|F 1Q |＝2a ，∴动点Q 到定点F 1的距离等于定长2a ，故动点Q 的轨迹是圆．故选A.2．如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(0,2)D ．(0,1][答案] A[解析] 椭圆方程化为x 22＋y 22k＝1. 焦点在y 轴上，则2k>2，即k <1.又k >0，∴0<k <1. 3．P 是椭圆x 2100＋y 264＝1上的一点，F 1、F 2是焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则△PF 1F 2的面积是( ) A.6433 B ．64(2＋3) C ．64(2－3) D ．64[答案] A[解析] 在△PF 1F 2中，设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则由椭圆定义知r 1＋r 2＝20 ①由余弦定理知cos60°＝r 21＋r 22－|F 1F 2|22r 1·r 2＝r 21＋r 22－1222r 2·r 2＝12，即r 21＋r 22－r 1r 2＝144 ② ①2－②得r 1r 2＝2563.∴S △PF 1F 2＝12r 1·r 2sin60°＝6433. 4．已知F 是椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a >b >0)的一个焦点，PQ 是过其中心的一条弦，且c ＝a 2－b 2，则△PQF 面积的最大值是( )A.12ab B ．ab C ．acD ．bc [答案] D[解析] 设它的另一个焦点为F ′，则|F ′O |＝|FO |，|PO |＝|QO |，FPF ′Q 为平行四边形．S △PQF ＝12S PF ′QF ＝S △PFF ′，则当P 为椭圆短轴端点时，P 到FF ′距离最大，此时S △PFF ′最大为bc .即(S △PQF )max ＝bc .5．椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上．如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的( )A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍 [答案] A[解析] 不妨设F 1(－3,0)，F 2(3,0)，由条件知P (3，±32)，即|PF 2|＝32，由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝43，|PF 1|＝732，|PF 2|＝32，即|PF 1|＝7|PF 2|. 6．设0≤α<2π，若方程x 2sin α－y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，34π∪⎝⎛⎭⎫7π4，2π B.⎣⎡π2，3π4 C.⎝⎛π2，3π4D.⎝⎛3π4，3π2[答案] C[解析] 将方程变形为：x 21sin α＋y 2－1cos α＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1sin α>01－cos α>01sin α<1－cos α，∴sin α>－cos α>0.∴α在第二象限且|sin α|>|cos α|.7．已知椭圆x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为( )A.95B ．3 C.977D.94[答案] D[解析] a 2＝16，b 2＝9⇒c 2＝7⇒c ＝7.∵△PF 1F 2为直角三角形．∴P 是横坐标为±7的椭圆上的点．(点P 不可能为直角顶点)设P (±7，|y |)，把x ＝±7 代入椭圆方程，知716＋y 29＝1⇒y 2＝8116⇒|y |＝94. 8．(2009·江西)过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A.22B.33C.12D.13[答案] B [解析] 考查椭圆的性质及三角形中的边角关系运算．把x ＝－c 代入椭圆方程可得y c ＝±b 2a， ∴|PF 1|＝b 2a∴|PF 2|＝2b 2a， 故|PF 1|＋|PF 2|＝3b 2a＝2a ，即3b 2＝2a 2 又∵a 2＝b 2＋c 2，∴3(a 2－c 2)＝2a 2，∴(c a )2＝13，即e ＝33. 9．(2009·山东威海)椭圆x 24＋y 33＝1上有n 个不同的点P 1、P 2、…、P n ，椭圆的右焦点为F ，数列{|P n F |}是公差大于11 000的等差数列，则n 的最大值是( ) A ．2 000B ．2 006C ．2 007D ．2 008[答案] A[解析] ∵椭圆x 24＋y 23＝1上距离右焦点F (1,0)最近的点为右端点(2,0)，距离右焦点F (1,0)最远的点为左端点(－2,0)，数列{|P n F |}的公差d 大于11 000，不妨|P 1F |＝1，|P n F |＝3,3＝1＋(n －1)·d ，∴d ＝2n －1>11 000，n －1<2 000， 即n <2 001.∴故选A.10．已知点(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是( ) A ．x －2y ＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．2x ＋3y －4＝0D ．x ＋2y －8＝0[答案] D[解析] 设截得的线段为AB ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2), 中点坐标为(x 0，y 0)，利用“差分法”得y 21－y 22x 21－x 22＝－936，即y 1－y 2x 1－x 2·y 0x 0＝－936， ∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12，∴直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0. 二、填空题11．已知椭圆的焦点是F 1(0，－1)、F 2(0,1)，P 是椭圆上一点，并且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则椭圆的方程是________________．[答案] y 24＋x 23＝1 [解析] 由题意设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)． ∵|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，∴2a ＝4.∴a ＝2，又c ＝1，∴b 2＝3，∴方程为y 24＋x 23＝1.12．设F 1、F 2是椭圆x 23＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且|PF 1|－|PF 2|＝1，则cos ∠F 1PF 2＝____________.[答案] 35[解析] ∵|PF 1|＋|PF 2|＝4，又|PF 1|－|PF 2|＝1，∴|PF 1|＝52|PF 2|＝32|F 1F 2|＝2， ∴cos ∠F 1PF 2＝⎝⎛522＋⎝⎛⎭⎫322－222×52×32＝35. 13．已知椭圆的短半轴长为1，离心率e 满足0<e ≤32，则长轴的取值范围为________． [答案] (2,4][解析] 由e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－1a 2 得0<1－1a 2≤34. 从而－1<－1a 2≤－14， ∴14≤1a2<1，故1<a 2≤4， ∴1<a ≤2，即2<2a ≤4.14．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左右两个焦点，若椭圆C 上的点A (1，32)到F 1，F 2两点的距离之和为4，则椭圆C 的方程是________，焦点坐标是________． [答案] x 24＋y 23＝1 (±1,0) [解析] 由|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝4得a ＝2.∴原方程化为：x 24＋y 2b 2＝1，将A (1，32)代入方程得b 2＝3. ∴椭圆方程为：x 24＋y 23＝1，焦点坐标为(±1,0)． 三、解答题15．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1、F 2，斜率为k 的直线l 过左焦点F 1且与椭圆的交点为A 、B ，与y 轴交点为C ，又B 为线段CF 1的中点，若|k |≤142求椭圆离心率e 的取值范围．[解析] 设l ：y ＝k (x ＋c )则C (0，kc )，B (－c 2，kc 2)． ∵B 在椭圆上，∴c 24a 2＋k 2c 24b 2＝1. 即c 24a 2＋k 2c 24(a 2－c 2)＝1⇒e 2＋ke 21－e 2＝4. ∴k 2＝(4－e 2)(1－e 2)e 2≤72⇒2e 4－17e 2－8≤0⇒ 12≤e 2<1⇒22≤e <1. 16．已知椭圆E ：x 28＋y 24＝1. (1)直线l ：y ＝x ＋m 与椭圆E 有两个公共点，求实数m 的取值范围．(2)以椭圆E 的焦点F 1、F 2为焦点，经过直线l ′：x ＋y ＝9上一点P 作椭圆C ，当C 的长轴最短时，求C 的方程．[解析] (1)直线l 与椭圆E 有两个公共点的条件是：方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 28＋y 24＝1y ＝x ＋m 有两组不同解，消去y ，得3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0.∴Δ＝16m 2－12(2m 2－8)>0，－23<m <2 3.∴实数m 的取值范围是(－23，23)．(2)依题意，F 1(－2,0)、F 2(2,0)．作点F 1(－2,0)关于l ′的对称点F 1′(9,11)．设P 是l ′与椭圆的公共点，则2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝|PF ′1|＋|PF 2|≥|F ′1F 2|＝72＋112＝170.∴(2a )min ＝170，此时，a 2＝1704＝852b 2＝a 2－c 2＝772. ∴长轴最短的椭圆方程是x 2852＋y 2772＝1. 17．如图所示，某隧道设计为双向四车通，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．I若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？ [解析] 如图所示，建立直角坐标系，则点P (11，4.5)，椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1. 将b ＝h ＝6与点P 坐标代入椭圆方程，得a ＝4477，此时l ＝2a ＝8877≈33.3 因此隧道的拱宽约为33.3米．18．椭圆中心是坐标原点O ，焦点在x 轴上，e ＝32，过椭圆左焦点F 的直线交椭圆于P ，Q 两点，|PQ |＝209，且OP ⊥OQ ，求此椭圆的方程． [解析] 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， 当PQ ⊥x 轴时，F (－c,0)，|FP |＝b 2a. 又∵|FQ |＝|FP |，且OP ⊥OQ ，∴|OF |＝|FP |，即c ＝b 2a， ∴ac ＝a 2－c 2，e 2＋e －1＝0.∴e ＝5－12.与题设e ＝32不符，所以PQ 不垂直于x 轴，设PQ 所在直线方程为y ＝k (x ＋c )，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，∵e ＝32，∴a 2＝43c 2，b 2＝13c 2. ∴椭圆方程可化为3x 2＋12y 2－4c 2＝0.将PQ 所在直线方程代入，得(3＋12k 2)x 2＋24k 2cx ＋12k 2c 2－4c 2＝0.由韦达定理，得x 1＋x 2＝－24k 2c 3＋12k 2，x 1x 2＝12k 2c 2－4c 23＋12k 2. 由|PQ |＝209，得1＋k 2.(－24k 2c 3＋12k 2)2－4(12k 2c 2－4c 2)3＋12k 2＝209.① ∵OP ⊥OQ ，∴y 1x 1·y 2x 2＝－1， 即x 1x 2＋y 1y 2＝0， ∴(1＋k 2)x 1x 2＋k 2c (x 1＋x 2)＋c 2k 2＝0，②联立①②解得c 2＝3，k 2＝411. ∴a 2＝4，b 2＝1.故椭圆方程为x 24＋y 2＝1.。
高中数学 1.2.1“且”与“或”练习 新人教B版高二选修2-1数学试题
1.2.1“且”与“或”一、选择题1．命题“△ABC是等腰直角三角形”的形式是( )A．p∨q B．p∧qC．¬p D．以上都不对[答案] B[解析]△ABC是等腰直角三角形是由△ABC是等腰三角形与△ABC是直角三角形用“且”联结而成，是p∧q命题．2．对命题p：A∩∅＝∅，命题q：A∪∅＝A，下列判断正确的是( )A．p且q为假B．p或q为假C．p且q为真，p或q为假D．p且q为真，p或q为真[答案] D[解析]由题意知，p真，q也真．故p且q为真，p或q为真．3．命题“方程x2－4＝0的解是x＝±2”中，使用的逻辑联结词的情况是( )A．没有使用联结词B．使用了逻辑联结词“或”C．使用了逻辑联结词“且”D．使用了逻辑联结词“非”[答案] B[解析]x＝±2是指x＝2或x＝－2.4．下列命题中既是p∧q形式的命题，又是真命题的是( )A．10或15是5的倍数B．方程2x2－4x－6＝0的两根是3和－1C．方程x2＋1＝0没有实数根D．有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形[答案] D[解析]由联结词意义知选D.5．若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数，则下列结论中正确的是( )A．“p∨q”为假B．“p∨q”为真C．“p∧q”为真D．以上都不对[答案] B[解析]∵p为真，q为假，∴“p∨q”为真，故选B.6．如果命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，那么( )A．命题p，q都是真命题B．命题p，q都是假命题C．命题p，q只有一个是真命题D．命题，p，q至少有一个是真命题[答案] C[解析]“p∨q”为真，则至少p、q有一真，p∧q为假，则至少p、q有一假，∴p、q一真一假，故选C.二、填空题7．已知命题p：1∈{x|x2<a}，命题q：2∈{x|x2<a}，若“p或q”为真命题，则实数a 的取值X围是________．[答案](1，＋∞)[解析]若p真，则12<a，即a>1；若q真，则可得a>4.“p或q”为真，则a>1或a>4，得a>1，所以实数a的取值X围是(1，＋∞)．8．已知条件p(x)：x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值X围是________．[答案]3≤m<8[解析]由p(1)是假命题，知12＋2×1－m＝3－m≤0，得m≥3；由p(2)是真命题，知22＋2×2－m＝8－m>0，得m<8.所以m的取值X围是3≤m<8.三、解答题9．分别指出由下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”形式，并判断真假．(1)p：2n－1(n∈Z)是奇数；q：2n－1(n∈Z)是偶数．(2)p：a2＋b2<0(a∈R，b∈R)；q：a2＋b2≥0.(3)p：集合中元素是确定的；q：集合中元素是无序的．(4)p：π是无理数；q：12不是实数．(5)p：9是质数；q：8是12的约数．(6)p：∅＝{0}；q：∅⊆∅.[解析](1)“p或q”：2n－1(n∈Z)是奇数或是偶数，真命题；“p且q”：2n－1(n ∈N)既是奇数又是偶数，假命题．(2)“p或q”：a2＋b2<0或a2＋b2≥0(a，b∈R)，真命题；“p且q”：a2＋b2<0且a2＋b2≥0(a，b∈R)，假命题．(3)“p或q”：集合中的元素是确定的或是无序的，真命题；“p且q”：集合中的元素是确定的且是无序的，真命题．(4)“p或q”：π是无理数或者12不是实数，真命题；“p且q”：π是无理数并且12不是实数，假命题．(5)“p或q”：9是质数或者8是12的约数，假命题；“p且q”：9是质数且8是12的约数，假命题．(6)“p或q”：∅＝{0}或∅⊆∅，真命题；“p且q”；∅＝{0}且∅⊆∅，假命题.一、选择题1．命题“矩形的对角线相等且互相平分”是( )A．简单命题B．“p∨q”形式的复合命题C．“p∧q”形式的复合命题D．“¬p”形式的复合命题[答案] C[解析]由定义可知选C.2．若p是真命题，q是假命题，则( )A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．¬ p是真命题D．¬q是真命题[答案] D[解析]本题主要考查逻辑连接词．利用命题真值表进行判断．根据命题真值表知，q是假命题，¬q是真命题．3．命题p：如果∀a，b∈R，|a|＋|b|>1，那么|a＋b|>1；命题q：函数y＝|x－1|－2的定义域是(－∞，－1]∪[3，＋∞)，那么( )A．“p或q”为假命题B．“p且q”为真命题C．命题p为真命题，命题q为假命题D．命题p为假命题，命题q为真命题[答案] D[解析]因为∀a，b∈R，都有|a|＋|b|≥|a＋b|，所以|a|＋|b|>1不能推出|a＋b|>1，故p为假命题；显然函数y＝|x－1|－2的定义域，满足不等式|x－1|－2≥0，解得x≤－1或x≥3，所以q是真命题，故选D.4．已知命题p ：不等式|x －1|>m 的解集是R ，命题q ：f (x )＝2－mx在区间(0，＋∞)上是减函数．如果命题“p 或q ”为真，命题“p 且q ”为假，则实数m 的取值X 围是( )A ．(－∞，0)B ．(0,2)C ．[0,2)D ．(－∞，2)[答案] C[解析] 由命题p 可得m <0，由命题q 可得m <2，又由命题“p 或q ”为真，命题“p 且q ”为假，得命题p 与q 一真一假，如果命题p 真q 假，则可得⎩⎪⎨⎪⎧m <0，m ≥2，此不等式组无解；如果命题p 假q 真，则可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m <2，得0≤m <2.故应选C.二、填空题5．分别用“p ∨q ”、“p ∧q ”填空： (1)命题“集合A B ”是________的形式；(2)命题“x －12＋4≥2”是________的形式；(3)命题“60是10与12的公倍数”是______的形式． [答案] (1)p ∧q (2)p ∨q (3)p ∧q6．若命题p ：a ∈{a ，b }，q ：{a }⊆{a ，b }，则：①p ∨q 为真；②p ∨q 为假；③p ∧q 为真；④p ∧q 为假．以上对复合命题的判断正确的是________(填上所有你认为正确的序号)．[答案]①③[解析] 因为命题p ：a ∈{a ，b }是真命题，命题q ：{a }⊆{a ，b }是真命题，所以p ∨q 为真命题，p ∧q 为真命题．三、解答题7．已知命题p ：关于x 的不等式|x －1|>m －1的解集为R ，命题q ：函数f (x )＝(5－2m )x是R 上的增函数，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，某某数m 的取值X 围．[解析] 不等式|x －1|>m －1的解集为R ，须m －1<0，即p 是真命题时，m <1； 函数f (x )＝(5－2m )x是R 上的增函数，须5－2m >1，即q 是真命题时，m <2. ∵p 或q 为真命题，p 且q 为假命题， ∴p 、q 中一个为真命题，另一个为假命题． (1)当p 真，q 假时，m <1且m ≥2，此时无解； (2)当p 假，q 真时，m ≥1且m <2，此时1≤m <2， 因此1≤m <2.8．已知命题p ：函数f (x )＝x 2＋ax －2在[－1,1]内有且仅有一个零点．命题q ：x 2＋3(a ＋1)x ＋2≤0在区间[12，32]内恒成立．若命题“p ∧q ”是假命题，“p∨q ”是真命题，某某数a 的取值X 围．[解析] 先考查命题p ：若a ＝0，则容易验证不合题意； 故⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，f－1·f 1≤0，解得：a ≤－1或a ≥1.再考查命题q ：因为x ∈[12，32]，所以3(a ＋1)≤－(x ＋2x )在[12，32]上恒成立．易知(x ＋2x )max ＝92，故只需3(a ＋1)≤－92即可．解得a ≤－52.因为命题“p ∧q ”是假命题，“p ∨q ”是真命题，所以命题p 和命题q 中一真一假． 当p 真q 假时，－52<a ≤－1或a ≥1；当p 假q 真时，a ∈∅.综上，a 的取值X 围为{a |－52<a ≤－1或a ≥1}．。
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（人教B版）数学选修2-1（全册）精品同步练习汇总1.1命题与量词课时过关·能力提升1.下列语句不是命题的是()A.一个正数不是质数就是合数B.大角所对的边较大,小角所对的边较小C.请把门关上∈R,则x2+x+2>0答案:C2.下列语句是命题的是()A.|x+a|大于0吗?B.{0}∈NC.判断元素与集合的关系D.求一个集合的真子集答案:B3.命题“存在实数x,使x+1<0”可写成()A.若x是实数,则x+1<0B.∃x∈R,x+1<0C.∀x∈R,x+1<0D.以上都不正确解析:由存在性命题的表示形式可知选项B正确.答案:B4.对命题“一次函数f(x)=ax+b是单调函数”改写错误的是()A.所有的一次函数f(x)=ax+b都是单调函数B.任意一个一次函数f(x)=ax+b都是单调函数C.任意一次函数f(x)=ax+b是单调函数D.有的一次函数f(x)不是单调函数解析:由全称命题的表示形式可知选项D错误.答案:D5.下列命题中的假命题是()A.∃x∈R,lg x=0B.∃x∈R,tan x=1C.∀x∈R,x3>0D.∀x∈R,2x>0解析:对于选项A,当x=1时,lg x=0,为真命题;对于选项B,当x,tan x=1,为真命题;对于选项C,当x<0时,x3<0,为假命题;对于选项D,由指数函数性质知,∀x∈R,2x>0,为真命题,故选C.答案:C6.下列语句是命题的是.(填序号)①地球上有四大洋;②-2∈N;③π∈R;④垂直于同一条直线的两个平面平行.解析:所给语句均能判断真假,故都是命题.答案:①②③④7.有下列命题:①奇函数的图象关于原点对称;②有些三角形是等腰三角形;③∀x∈R,2x+1是奇数;④至少有一个整数,它既不是合数也不是质数;⑤实数的平方大于零.其中是全称命题的为(填序号).解析:根据全称命题的定义知,①③⑤是全称命题.答案:①③⑤★8.下列命题是真命题的是(填序号).①5能整除15;②不存在实数x,使得x2-x+2<0;③对任意实数x,均有x-1<x;④方程x2+3x+3=0有两个不相等的实数根;⑤不等解析:对于①,由整数的整除性知该命题是真命题;对于②,因为Δ<0,所以x2-x+2<0无解,故该命题是真命题;对于③,因为任意一个数减去一个正数后都小于原数,所以该命题是真命题;对于④,因为Δ<0,所以方程x2+3x+3=0无解,所以该命题是假命题;对于⑤,因为分子恒为正,分母大于0,所以商不可能小于0,即解集为空集,故该命题是真命题.答案:①②③⑤9.判断下列命题的真假:(1)∀a∈R,函数y=log a x是单调函数;(2)∃a∈{向量},对任意向量b,有a·b=0.解:(1)由于1∈R,当a=1时,y=log a x无意义,因此命题“∀a∈R,函数y=log a x是单调函数”是假命题.(2)由于0∈{向量},当a=0时,能使a·b=0,因此命题“∃a∈{向量},对任意向量b,有a·b=0”是真命题.★10.求使命题p(x)≥0为真命题的x的取值范围.分析:要使命题p(x)≥0为真命题,就是要使x的取值满≥0,只需解不等≥0即可.解:≥0得x(2x+1)≥0,且2x+1≠0,解得x≥0或x<故x的取值范围1.2.1“且”与“或”课时过关·能力提升1.下列命题中不是“p∧q”形式的命题的是()A.函数y=a x(a>0,且a≠1)的图象一定过(0,1)点B.3和-3是方程x2-9=0的实数根C.1不是质数且不是合数答案:A2.下列命题中是“p∧q”形式的命题的是()A.28是5的倍数或是7的倍数B.2是方程x2-4=0的根又是方程x-2=0的根C.函数y=a x(a>1)是增函数y=ln x是减函数A是由“或”联结构成的新命题,是“p∨q”形式的命题;选项B可写成“2是方程x2-4=0的根且是方程x-2=0的根”,是由逻辑联结词“且”联结构成的新命题,故选项B是“p∧q”形式的命题;选项C,D不是由逻辑联结词联结形成的新命题,故不是“p∧q”形式的命题.3.下列说法与x2+y2=0含义相同的是()A.x=0,且y=0B.x=0或y=0且y≠0 D.x≠0或y≠00,故每个加数都为0,即x2=0,且y2=0,所以x=0,且y=0.4.以下判断正确的是()A.命题“p∨q”是真命题时,命题p一定是真命题B.命题p是假命题时,命题“p∧q”不一定是假命题C.命题“p∧q”是假命题时,命题p一定是假命题p是真命题时,命题“p∨q”一定是真命题Ⅰ、表Ⅱ进行判断可知选项D正确.★5.如果命题“p∨q”是真命题,命题“p∧q”是假命题,那么()A.命题p,q都是假命题B.命题p,q都是真命题C.命题p,q有且只有一个是真命题“p∨q”是真命题,所以p,q中至少有一个是真命题.因为命题“p∧q”是假命题,所以p,q中至少有一个假命题,故p,q中有且只有一个是真命题.“∀n∈R,n≤n”的构成形式是,该命题是命题(填“真”或“假”).∨q真7.命题“所有正多边形都有一个内切圆和一个外接圆”的构成形式是,组成该命题的两个命题分别是“”,∧q所有正多边形都有一个内切圆所有正多边形都有一个外接圆8.命题p:等腰三角形有两条边相等;q:等腰三角形有两个角相等.命题p,q构成的“且”命题是“”,该命题是命题(填“真”或真9.已知c>0,且c≠1,设命题p:函数y=x2+cx+1的图象与x轴有两个交点;q:当x>1时,函数x>0恒成立.如果p∨q为假,求c的取值范围.p,q为真,分别求出c的范围;再由p∨q为假知p,q都假;然后列出关于c的不等式组来解决.p为真,则Δ=c2-4>0(c>0,且c≠1),所以c>2.若q为真,则c>1.因为p∨q为假,所以p,q都为假.当p为假时,0<c≤2,且c≠1,当q为假时,0<c<1,所以当p,q都为假时,0<c<1,即c的取值范围为(0,1).★10.已知命题p:函数y=x2+mx+1在区间(-1,+∞)内是增函数;q:函数y=4x2+4(m-2)+1的函数值恒大于零.若p∧q为假,p∨q为真,求m的取值范围.分析:先由p,q为真,分别求出m的范围;再由p∧q为假,p∨q为真知,命题p,q一真一假;然后分“p真q假”和“p假q真”两种情况列出关于m的不等式组来解决.解:若p为真,≤-1,所以m≥2;若q为真,则Δ=16(m-2)2-16<0,解得1<m<3.因为p∧q为假,p∨q为真,所以p,q一真一假.当p真q假时,得解得m≥3;当p假q真时,得解得1<m<2.综上,m的取值范围是{m|m≥3或1<m<2}.1.2.2“非”(否定)课时过关·能力提升1.命题“2不是质数”的构成形式是()A.p∧qB.p∨qD.以上答案都不正确答案:C2.若命题“p”与“p∧q”都是假命题,则()A.命题p,q都是真命题B.命题p,q都是假命题C.命题p是真命题,命题q是假命题q是真命题,命题p是假命题答案:C3.a,b不全为0是指()A.a,b全不为0B.a,b中至多有一个为0C.a,b中只有一个不为0D.a,b中至少有一个为0答案:B★4.命题“∃x∈∁R Q,x3∈Q”的否定是()A.∃x∉∁R Q,x3∈QB.∃x∈∁R Q,x3∉QC.∀x∉∁R Q,x3∈QD.∀x∈∁R Q,x3∉Q答案:D5.命题“菱形的对角线互相垂直”的否定是.答案:有些菱形的对角线不互相垂直6.命题“所有人都晨练”的否定是.答案:有的人不晨练7.已知命题p“∃x∈R,x命题q是命题(填“真”或“假”).解析:利用存在性命题的否定形式写出p为:∀x∈R,x≤x>1时,x p为假命题.答案:∀x∈R,x≤8.已知命题p:0不是自然数,命题q∧q”;②“p∨q”;③“p”;④“q”中,真命题的序号是,假命题的序号是.解析:先判断命题p,q的真假,可知p假q真;再利用含有逻辑联结词的命题的真假判断方法进行判断,其中②③为真,①④为假.答案:②③①④9.写出下列命题的否定,并判断其真假:(1)集合A是集合A∪B的子集;(2)∀T=2kπ(k∈Z),sin(x+T)=sin x.分析:(1)利用命题的否定形式写出其否定,根据集合A∪B的定义可判断其真假;(2)利用全称命题的否定形式写出其否定,再利用正弦函数的周期判断其真假.解:它们的否定及真假如下:(1)集合A不是集合A∪B的子集;(假)(2)∃T=2kπ (k∈Z),sin(x+T)≠sin x.(假)★10.指出下列命题的结构形式以及构成它们的简单命题,并判断它们的真假:(1)q:1-x2≤1;y=x2的图象不关于y轴对称.分析:可依据命题的几种结构形式(“p∨q”“p∧q”“p”)直接写出它们的结构形式以及构成它们的简单命题;然后根据表Ⅰ、表Ⅱ、表Ⅲ判断其真假.解:它们的结构形式依次为:(1)p∨q,(2)p.构成它们的简单命题依次为:(1)“1-x2<1”和“1-x2=1”.(2)函数y=x2的图象关于y轴对称.其真假依次为:(1)真;(2)假.1.3.1推出与充分条件、必要条件课时过关·能力提升1.若命题甲是命题乙的充分不必要条件,命题丙是命题乙的必要不充分条件,命题丁是命题丙的充要条件,则命题丁是命题甲的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件⇒乙⇒丙⇔丁,故命题丁是命题甲的必要不充分条件.2.命题“∀x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是()B.a≤4C.a≥5D.a≤53.已知直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,则“k1=k2”是“l1∥l2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件k1=k2时,直线l1,l2可能平行也可能重合;当l1∥l2时,k1,k2一定相等.故选B.4.“两三角形全等”是“两三角形对应角相等”的()A.充分不必要条件B.既不充分也不必要条件C.必要不充分条件5.已知α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件m为平面α内的一条直线,m⊥β,得α⊥β,必要性成立;由m为平面α内的一条直线,α⊥β,不能推出m⊥β,充分性不成立.故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件.★6.设{a n}是首项大于零的等比数列,则“a1<a2”是“数列{a n}是递增数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:因为{a n}是首项大于零的等比数列,a1<a2⇒数列{a n}是递增数列,数列{a n}是递增数列,所以“a1<a2”是“数列{a n}是递增数列”的充要条件.2答案:CA为数集,则“A∩{0,1}={0}”是“A={0}”的条件.答案:必要不充分b,c为实数,“a>0,c<0”是“函数f(x)=ax2+bx+c有两个零点”的条件.解析:a>0,c<0⇒b2-4ac>0⇒函数f(x)有两个零点;函数f(x)有两个零点⇒b2-4ac>0a>0,c<0,故0”是“函数f(x)=ax2+bx+c有两个零点”的充分不必要条件.答案:充分不必要p:A={x|x2+4x+3>0},q:B={x||x|<a},若p是q的必要不充分条件,求a的取值范围.分析:先化简集合,然后把“p是q的必要不充分条件”转化为“B⫋A”,得关于a的不等式解决问题.解:p:A={x|x2+4x+3>0}={x|x>-1或x<-3},q:B={x||x|<a},因为p是q的必要不充分条件,所以B⫋A.当a≤0时,B=⌀,满足B⫋A;当a>0时,B={x|-a<x<a},要使B⫋A,只需-a≥-1,此时0<a≤1.综上,a的取值范围为(-∞,1].★10.已知m∈Z,关于x的一元二次方程x2-2x+m=0, ①x2+2mx+m2-m-1=0, ②求方程①和②的根都是整数的充要条件.分析:方程①和②的根都是整数,即方程①和②有实数根且为整数,因此先求出方程①和②有实数根的充要条件,得到m的取值范围,由m∈Z,再逐一验证.解:方程①有实根⇔Δ=4-4m≥0,即m≤1;方程②有实根⇔Δ=(2m)2-4(m2-m-1)=4m+4≥0,即m≥-1,所以方程①和②同时有实数根⇔-1≤m≤1.因为m∈Z,所以m=-1,0,1.当m=-1时,方程①无整数根;当m=0时,方程①和②都有整数根;当m=1时,方程②无整数根.综上所述,方程①和②的根都是整数的充要条件是m=0.1.3.2命题的四种形式课时过关·能力提升1.命题“在△ABC中,若∠C=90°,则∠A,∠B都是锐角”的否命题是()A.在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B都不是锐角B.在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B不都是锐角C.在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B必有一钝角ABC中,若∠A,∠B都是锐角,则∠C=90°答案:B2.命题“如果x≥a2+b2,那么x≥2ab”的逆否命题是()A.如果x<a2+b2,那么x<2abB.如果x≥2ab,那么x≥a2+b2C.如果x<2ab,那么x<a2+b2x≥a2+b2,那么x<2ab答案:C3.下列说法正确的是()A.一个命题的否命题为真,则它的逆命题为假B.一个命题的逆命题为真,则它的否命题为真C.一个命题的否命题为真,则它的逆否命题为真,则它的逆命题为真解析:由四种命题的关系可知,一个命题的否命题与它的逆命题是互为逆否关系,根据互为逆否命题的两个命题是等价的,可得选项B正确.答案:B4.命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是()A.若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数B.若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数C.若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数答案:B5.下列命题中,是真命题的为()A.“若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有实根,则b2-4ac>0”的逆否命题B.“正方形的四条边相等”的逆命题C.“若x2-4=0,则x=2”的否命题”的逆命题解析:对于A项,原命题是假命题,故其逆否命题也为假命题;对于B项,逆命题为“四条边相等的四边形是正方形”,是假命题;对于C项,否命题为“若x2-4≠0,则x≠2”,为真命题;对于D项,逆命题为“相等的角是对顶角”,为假命题.答案:C“到一个角的两边距离相等的点在该角的平分线上”的否命题是“”.答案:到一个角的两边距离不相等的点不在该角的平分线上7.命题“若x,y是偶数,则x+y是偶数(x∈Z,y∈Z)”的逆否命题是“”,它是命题(填“真”或“假”).答案:若x+y不是偶数,则x,y不都是偶数(x∈Z,y∈Z)真8.有下列四个命题:①如果xy=1,则lg x+lg y=0;②“如果sin α+cos α③“如果b≤0,则关于x的方程x2-2bx+b=0有实数根”的逆否命题;④“如果A∪B=B,则A⊆B”的逆命题.其中是真命题的有(填序号).解析:命题①显然错误,例如,x=-1,y=-1时,lg x+lg y无意义.对于②,其否命题为“如果sin α+cos α≠α不是第一象限角”,因为当α=60°时,sinα+cos α,故其否命题为假命题.对于命题③,因为当b≤0时,Δ=4b2-4b≥0恒成立,故关于x的方程x2-2bx+b=0有实数根,由原命题与其逆否命题等价,知命题③是真命题.对于④,其逆命题为“若A⊆B,则A∪B=B”,显然为真命题.答案:③④9.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并分别判断其真假:(1)末尾数字是0或5的整数,能被5整除;2,则函数y=a x是增函数.分析:依据四种命题的定义分别写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题.“0或5”的否定是“不是0且不是5”,“是”的否定词是“不是”,“等于”的否定词是“不等于”.解:(1)逆命题:能被5整除的整数,末尾数字是0或5;(真)否命题:末尾数字不是0且不是5的整数,不能被5整除;(真)逆否命题:不能被5整除的整数,末尾数字不是0且不是5.(真)(2)逆命题:若函数y=a x是增函数,则a=2;(假)否命题:若a≠2,则函数y=a x不是增函数;(假)逆否命题:若函数y=a x不是增函数,则a≠2.(真)2.1曲线与方程课时过关·能力提升1.已知动点A在圆x2+y2=1上移动,则点A与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是()A.(x+3)2+y2=1B.(x-3)2+y2=1C.(2x-3)2+4y2=13)2+4y2=1解析:设A,B连线的中点的坐标为(x,y),则动点A为(2x-3,2y),因为动点A在圆x2+y2=1上,所以(2x-3)2+(2y)2=1,即(2x-3)2+4y2=1.答案:C2.“点M在曲线y2=8x上”是“点M的坐标满足方程y=-A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件答案:B3.已知曲线y=x2-x+2和y=x+m有两个不同的交点,则()A.m∈RB.m∈(-∞,1)C.m=1D.m∈(1,+∞)解析:已知条件可转化为联立后的方程组有两个不同的解.答案:D4.下列方程中表示相同曲线的一对方程是()A.xB.y=xC.yD.y=x与x2-y2=0答案:C5.平面内与定点(-1,2)和直线3x+4y-5=0的距离相等的点的轨迹是.解析:因为(-1,2)在直线3x+4y-5=0上,所以满足条件的点的轨迹是过定点(-1,2)且垂直于3x+4y-5=0的直线.答案:直线6.方程(x+y-1解析:由方程(x+y-1x+y-1=0(x≥1)或x=1.答案:直线x=1或直线x+y-1=0(x≥1)7.(1)方程(x-1)2(2)方程(x-1)解析:(1)∵(x-1)2(1,0).(2)∵(x-1)∴x-1=0或x2+y2-1=0,即方程表示的图形是直线x-1=0或圆x2+y2-1=0.答案:(1)点(1,0)(2)直线x-1=0或圆x2+y2-1=0已知动点P在曲线2x2-y=0上移动,求点A(0,-1)与点P连线中点的轨迹方程.解:设AP的中点坐标为(x,y),则P(2x, 2y+1)在2x2-y=0上,即2(2x) 2-(2y+1)=0,整理,得2y=8x2-1.9.点A(3,0)为圆x2+y2=1外一点,P为圆上任意一点,若AP的中点为M,当P在圆上运动时,求点M的轨迹方程.分析:设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),由题意可所.解:由题意设点M(x,y),P(x0,y0),所又因为点P(x0,y0)在圆x2+y2=1上,所以(2x-3)2+4y2=1,所故点M的轨迹方程★10.若直线x+y-m=0被曲线y=x2所截得的线段长为分析:直线与曲线交于两点,可设出这两点的坐标,然后灵活应用根与系数的关系求解.解:设直线x+y-m=0与曲线y=x2相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,联立直线与曲线方程,将②代入①,得x2+x-m=0,所所以|AB|·|x1-x2|所m的值为2.2.2.1椭圆的标准方程课时过关·能力提升1.椭B.( 0,±5)C.(0,±12)D.(±12,0)解析:易知焦点在y轴上,a2=169,b2=144.则c答案:B2.已知椭A.4B.5C.7D.8解析:因为焦点在y轴上,所⇒6<m<10.又焦距为4,所以m-2-10+m m=8.答案:D3.若F1,F2是椭△PF1F2的周长为()A.10B.12C.16D.不确定答案:B4.已知椭圆的焦距为ABCD解析:因为2c=c因为2a=8,所以a=4.所以b2=a2-c2=9.又因为焦点不知在哪个坐标轴上,所以标准方程有两个,故选D.答案:D★5.若椭A.2B.4C.8 D解析:设椭圆的右焦点为F2,则由|MF1|+|MF2|=10,知|MF2|=10-2=8.又因为点O为F1F2的中点,点N为MF1的中点,所以|ON|B.答案:B6.已知M是椭答案:67.已知椭圆的焦距|F1F2|=6,AB是过焦点F1的弦,且△ABF2的周长为20,则该椭圆的标准方程为.答案:8.已知椭圆C解:因为点P(x0,y0)满足0所以点P在椭圆内且不过原点,所以|F1F2|≤|PF1|+|PF2|<2a.又因为a2=2,b2=1,所以c2=a2-b2=1,即c=1.所以2≤|PF1|+|PF2|<9.已知圆A:(x+3)2+y2=1及圆B:(x-3)2+y2=81,动圆P与圆A外切,与圆B内切,求动圆圆心P 的轨迹方程.分析:利用椭圆定义先判断动圆圆心P的轨迹是椭圆,再求其方程.解:设动圆P的半径为r,由所给圆的方程知:A(-3,0),B(3,0).由题意可得,|P A|=r+1,|PB|=9-r,则|P A|+|PB|=10>|AB|=6.由椭圆定义知动点P的轨迹是椭圆.其中2a=10,2c=6,即a=5,c=3,所以b2=16,故动圆圆心P的轨迹方程★10.已知椭∠F1PF2=θ,求△F1PF2的面积.分析:计算三角形的面积有多种公式可供选择,其中与已知条件联系最密切的应·|PF2|·sin θ,所以应围绕|PF1|·|PF2|进行计算.解:如图,由椭圆定义知,|PF1|+|PF2|=2a,而在△F1PF2中,由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos θ=|F1F2|2=4c2,∴(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|-2|PF1|·|PF2|cos θ=4c2,即4(a2-c2)=2|PF1|·|PF2|(1+cos θ).∴|PF1||PF2|·|PF2|sin θ2.2.2椭圆的几何性质课时过关·能力提升1.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍,那么这个椭圆的离心率为()AC答案:B2.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率AC解析:由x2+y2-2x-15=0,知圆的半径为4,故2a=4,即a=2.又e c=1.故b2=a2-c2=4-1=3.故选A.答案:A3.已知过椭∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为()AC解析:在Rt△PF1F2中,设|PF1|=m(m>0),由已知得|F1F2|e答案:C4.若方A.a<0B.-1<a<0C.a<1D.a>1解析:因为方y轴上的椭圆,所⇒-1<a<0.答案:B★5.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是()AC解析:设椭圆的长半轴长为a,短半轴长为b,焦距为2c,离心率为e.依题意有2×2b=2a+2c,即2b=a+c,∴4b2=a2+2ac+c2.∵b2=a2-c2,∴4a2-4c2=a2+2ac+c2,∴3a2-2ac-5c2=0.两边同除以a2,即有5e2+2e-3=0,解得e e=-1(舍去).故选B.答案:B6.若椭解析:当椭圆的焦点在x轴上,即k>1时,b=3,a∴ck=4.符合k>1,∴k=4;当椭圆的焦点在y轴上,即-8<k<1时,a=3,b∴ck=-8<k<1,∴k=k=4答案:4或7.椭△F AB的周长最大时,△F AB的面积是.解析:设椭圆的右焦点为F1,则|AF|=2a-|AF1|=4-|AF1|,所以△AFB的周长为2|AF|+2|AH|=2(4-|AF1|+|AH|).因为△AF1H为直角三角形,所以|AF1|>|AH|,仅当F1与H重合时,|AF1|=|AH|,所以当m=1时,△AFB的周长最大,此时S△F AB答案:38.已知直线x+2y-2=0经过椭解析:由题意知椭圆的焦点在x轴上,又直线x+2y-2=0与x轴、y轴的交点分别为(2,0),(0,1),它们分别是椭圆的焦点和顶点,所以b=1,c=2,从而a e答案:9.已知椭分析:由椭圆的离心率可得a,c的关系,从而知道b,c的关系,再由点在椭圆上,代入方程即可求得椭圆的标准方程.解:由题意知,椭圆的离心率e所a=2c,所以b2=a2-c2=3c2,所以椭圆的方程又因为,所所以c2=1,所以椭圆的方程★10.已知椭分析:由离心率e a2=b2+c2,可得a=2b.由菱形面积为4,可得ab=2.两式联立可求得a,b,从而得到椭圆的方程.解:由e3a2=4c2.再由c2=a2-b2,解得a=2b.由题意可ab=2.解方程所以椭圆的方程2.3.1双曲线的标准方程课时过关·能力提升1.若双曲线的方程A.(±2,0)B.(±4,0)C.(0,±2)D.(0,±4)解析:因为c2=a2+b2=10+6=16,焦点在x轴上,所以焦点坐标为(4,0),(-4,0).答案:B2.若方A.-1<k<1B.k>0C.k≤0D.k>1或k<-1解析:因为方,所以有(1+k)(1-k)>0,解得-1<k<1.答案:A3.若椭A. 1B.1或3C.1或3或-2D.3解析:由题意可知m>0,于是焦点都在x轴上,故m=1.答案:A4.已知方程ax2-ay2=b,且ab<0,则它表示的曲线是()A.焦点在x轴上的双曲线B.圆C.焦点在y轴上的双曲线D.椭圆解析:原方程可变形y轴上的双曲线.答案:C★5.与双曲AC.解析:由题意知,c2=16+4=20,设所求的双曲线方程a2+b2=20,a2=12,b2=8.所以双曲线的标准方程答案:D6.已知圆C:x2+y2-6x-4y+8=0,以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为.解析:令x=0,得y2-4y+8=0,方程无解,即该圆与y轴无交点.令y=0,得x2-6x+8=0,解得x=2或x=4,所以a=2,c=4,b2=c2-a2=16-4=12,且焦点在x轴上.故双曲线的标准方程答案:7.已知F是双曲解析:设右焦点为F1,依题意,有|PF|=|PF1|+4,∴|PF|+|P A|=|PF1|+4+|P A|=|PF1|+|P A|+4≥|AF1|+4=5+4=9,当A,P,F1三点共线时取等号.答案:9★8.已知双曲∠F1PF2△F1PF2的面积是.解析:不妨设P为双曲线左支上的点,F1为左焦点,|PF1|=r1,|PF2|=r2,②-①2,得r1r2=2.所答案:19.已知双曲线的焦点为F1(0,-6),F2(0,6),且经过点(2,-5),求该双曲线的标准方程.分析:由焦点坐标可知,焦点在y轴上,可设方程c=6,再把点代入即可求得.解:设所求的双曲线方程故所求的双曲线的标准方程,且双曲线经过M(1,1),N(-2,5)两点,求双曲线的标准方程.分析:此题由于不知道焦点在哪个坐标轴上,所以应先分两种情况来讨论,再把两点代入.此题还可以先设双曲线的方程为Ax2+By2=1(AB<0),再把两点代入求解.解法一当焦点在x轴上时,设所求的双曲线的标准方程M(1,1),N(-2,5)两点在双曲线上,所解得当焦点在y轴上时,设双曲线的标准方程同理,解得.故所求的双曲线的标准方程解法二设所求的双曲线的标准方程为Ax2+By2=1(AB<0).因为M(1,1),N(-2,5)两点在双曲线上,代入上述方程解得故所求的双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质课时过关·能力提升1.如果双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,那么它的离心率为()AC.2D.3解析:因为双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,所以4b=2a+2c,即a+c=2b,再由a2+b2=c2即可求得离心率e答案:B2.已知双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距AC解析:由方程得a=2,b=2.因为双曲线的焦点在y轴上,所以双曲线的标准方程答案:B3.过点(2,-2)且A.C.解析:由题意可设双曲线方程∈R,且k≠0),又双曲线过点(2,-2),代入即可求得k,从而求出双曲线方程答案:A4.已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P是双曲线右支上一点,且△F1PF2是等腰直角三角形,则双曲线C的离心率为()A.1C.3解析:因为△F1PF2为等腰直角三角形,又|PF1|≠|PF2|,故必有|F1F2|=|PF2|,即2c c2-2ac-a2=0,即e2-2e-1=0,解:之,得e=1e>1,∴e=1答案:A★5.已知双曲线9y2-m2x2=1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离A.1B.2C.3D.4解析:双曲线9y2-m2x2=1(m>0),一个顶点3y-mx=0.由题意m=4.答案:D6.双曲解析:利用公式y=y=答案:y=7.已知双曲解析:因为椭(±4,0),所以双曲线的焦点坐标为(±4,0),即c=4.所以a=2,b2=12,所以双曲线方程所以渐近线方程为y=答案:(±4,0)8.若双曲解析:利用双曲线的定义及离心率公式,可求得k=-31.答案:-319.根据以下条件,分别求出双曲线的标准方程:(1)过点P(3,(2)焦点在x轴上,F1,F2是双曲线的左、右焦点,P是双曲线上的一点,∠F1PF2=60°解:(1)若双曲线的焦点在x轴上,.由e由点P(3,,又a2+b2=c2, ③由①②③,得a2=1,b2所求双曲线方程为x2若双曲线的焦点在y轴上,.同理解之,得b2=).故所求双曲线的标准方程为x2(2)设双曲线的标准方程为因为|F1F2|=2c,而e由双曲线的定义,得||PF1|-|PF2||=2a=c.由余弦定理,得(2c)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|·(1-cos 60°),所以4c2=c2+|PF1|·|PF2|.又因·|PF2|·sin 60°=1所以|PF1|·|PF2|=48.所以3c2=48,即c2=16,由此得a2=4,b2=12.故所求双曲线的标准方程★10.如图所示,已知F1,F2为双曲∠PF1F2=30°.求双曲线的渐近线方程.分析:由于双曲y=,可以通过已知解Rt△F1F2P求得.解法一设F2(c,0)(c>0),把P(c,y0)代入方程得y0=∴|PF2|Rt△F1F2P中,∠PF1F2=30°,∴|F1F2|2c∵c2=a2+b2,∴b2=2a2.y=解法二∵在Rt△PF1F2中,∠PF1F2=30°,∴|PF1|=2|PF2|.由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2a,∴|PF2|=2a.∴|F1F2|∴2c=c2=3a2=a2+b2.∴2a2=b2.故所求双曲线的渐近线方程为y=2.4.1抛物线的标准方程课时过关·能力提升1.抛物线y2=12x的焦点坐标是()A.(12,0)B.(6,0)C.(3,0)D.(0,3)答案:C2.经过点(2,-3)且焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程是()A.y2C.y2=答案:B3.抛物线y2A.xC.x=答案:D4.已知圆(x-a)2+(y-b)2=r2的圆心为抛物线y2=4x的焦点,且该圆与直线3x+4y+2=0相切,则该圆的方程为()A.(x-1)2+y2B.x2+(y-1)2C.(x-1)2+y2=12y-1)2=1答案:C★5.已知点P是抛物线y2=16x上的点,它到焦点的距离h=10,则它到y轴的距离d等于() A.3 B.6C.9D. 12解析:设点P到抛物线y2=16x的准线的距离为l.由抛物线y2=16x由抛物线定义知l=h,又l=d d=l答案:B6.抛物线x=2y2的焦点坐标是.答案:7.动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则点P的轨迹方程为.答案:y2=8x8.抛物线x-4y2=0的准线方程是.答案:x=9.若抛物线y2=2px(p>0)上有一点M,其横坐标为9,它到焦点的距离为10,求抛物线方程和点M 的坐标.解:由抛物线定义知,焦点x=由题意,设点M到准线的距离为d,则d=|MF|=10,即9p=2.故抛物线方程为y2=4x.将M(9,y)代入y2=4x,解得y=±6,则点M的坐标为(9,6)或(9,-6).★10.已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴的正半轴上,设A,B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴),且|AF|+|BF|=8,线段AB的垂直平分线恒经过定点Q(6,0),求抛物线的方程.解:设抛物线的方程为y2=2px(p>0),则其准线为x=设A(x1,y1),B(x2,y2),因为|AF|+|BF|=8,所以x1x1+x2=8-p.因为Q(6,0)在线段AB的垂直平分线上,所以|QA|=|QB|,因所以(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0.因为AB与x轴不垂直,所以x1≠x2,则x1+x2-12+2p=8-p-12+2p=0,即p=4.故抛物线方程为y2=8x.2.4.2抛物线的几何性质课时过关·能力提升1.抛物线y=4x2的准线方程为()A.y=C.y解析:由题意知x2p y=答案:D2.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|=()A.C.4D.解析:由抛物线的定义,p=2,即抛物线方程为y2=4x.因为点M(2,y0)在抛物线上,所以y0=±|OM|答案:B3.如果点M (5,3)到抛物线y=ax2(a≠0)的准线的距离为6,那么抛物线的方程是()A.y=12x2B.y=-36x2C.y=12x2或y=-36x2D.y解析:分a>0,a<0两种情况,可得y y=答案:D★4.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2-6x-7=0相切,则p的值为()A解析:圆x2+y2-6x-7=0的圆心坐标为(3,0),半径为4.y2=2px(p>0)的准线方程为x=∴3∴p=2.故选C.答案:C5.焦点在x轴的负半轴上,并且过点(-4,2)的抛物线的标准方程为.解析:设所求抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0).因为抛物线过点(-4,2),所以22=-2p×(-4),即p故所求抛物线的标准方程为y2=-x.答案:y2=-x6.若抛物线y2=4x上一点到焦点的距离为5,则这点的坐标为.答案:(4,4)或(4,-4)7.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,已知点A(0,2).若线段F A的中点B在抛物线上,则点B到该抛物线准线的距离为.解析:由已知,∴2p p∴因此点B到该抛物线的准线的距离答案:8.已知抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴,抛物线上的点M(-3,m)到焦点F的距离等于5,求抛物线的方程和m的值.分析:由题意可先设抛物线方程为y2=-2px(p>0),再求解.解:设抛物线方程为y2=-2px(p>0),则焦由题意可解得故所求的抛物线方程为y2=-8x,m的值为±★9.已知点A(2,1)和抛物线y2=x,F为抛物线的焦点,P是抛物线上任意一点.求:(1(2)点P到直线x+2y+4=0的距离的最小值.分析:利用抛物线的定义及平面几何知识求解.解: (1)设点P到准线x=d,则|AP|+|PF|=|AP|+d,当P A垂直于准线时,|P A|+d最小,最小值(2)设点P的坐标为(t2,t),则点P到直线x+2y+4=0的距离故当t=-1时,点P到直线x+2y+4=0的距离最小,最小值2.5直线与圆锥曲线课时过关·能力提升1.若椭A.2B.-2 C。