截面几何性质计算
材料力学 截面的几何性质
录
附录Ⅰ
§Ⅰ-1 §Ⅰ-2 §Ⅰ-3 §Ⅰ-4
截面的几何性质
截面的静矩和形心位置 惯性矩、惯性积和惯性半径 平行移轴公式 转轴公式 主惯性矩
静矩与形心
一、静矩的定义(与力矩类似)（也称面积矩或一次矩） 截面对z轴的静矩： y 截面对y轴的静矩：
Sz Sy
dS
A A
z
ydA
A
3
z 100
I
C
CI
a1 a2
I y I yI I yII 443 10 768 10
4
4
y
1211 104 mm 4
由于z轴是对称轴 ，故图形对两轴的惯性积为
140 103.3
CII
II
y
I yz 0
20
I z y 2 dA 2h y 2 bdy
3
附
录
组合截面形心
组合截面：如果截面的图形是由几个简单图形(如矩形、圆形 等）组成的，这种截面称为组合截面。 组合截面对X、Y轴静矩的计算：
S x Ai yci Ayc
i
n
S y Ai xci Axc
i
n
Ai——任一简单图形的面积； xci，yci——任一简单图形的形心坐标； n——全部简单图形的个数。 确定组合截面形心位置的公式：
C H/2
X
1 h 1 h yc 1 y1 ( y1 ) ( y1 ) 2 2 2 2
h 1 h S x Ayc 1 b( y 1 ) ( y 1 ) 2 2 2
b
b 2 2 (h 4y1 ) 8
例2、图形对 x 轴的静矩为
midas截面几何性质计算
下面我们来讲一下预制梁的横向力分布系数计算从上面我能看出常见的预制梁包括板梁、小箱梁、T梁跨中横向力分布系数：对于板梁和小箱梁由于横向联系比较薄弱，所以采用铰接板梁法对于T梁有横隔板比较多，认为是刚接，所以采用刚接板梁法梁端横向力分布系数：通常采用杠杆法下面就讲一下30米简支转连续T梁横向力分布系数计算：主梁横断面见附件桥博计算横向力分布系数计算需要输入的数据见附件包括主梁宽、抗弯、抗扭、左板长、左板惯矩、右板长、右板惯矩、主梁跨度G/E等首先计算主梁的抗弯抗扭惯矩（中梁、边梁断面尺寸见附件，梁高200cm）中梁：===================================================== MIDAS SPC TEXT OUTPUT FILE == (Tue Jun 17 20:45:16 2008) == - - =========================================================================================================UNIT: KN . M========================================================================================================* Section-P1 (PLANE)====================================================* A :* Asx :* Asy :* Ixx : 抗弯惯矩* Iyy : 0.* Ixy :* J : 抗扭惯矩----------------------------------------------------* (+)Cx :* (-)Cx :* (+)Cy :* (-)Cy :----------------------------------------------------* (+)1/Sx :* (-)1/Sx :* (+)1/Sy :* (-)1/Sy : 9.====================================================边梁：===================================================== MIDAS SPC TEXT OUTPUT FILE == (Tue Jun 17 20:48:08 2008) == - - =========================================================================================================UNIT: KN . M========================================================================================================* Section-P1 (PLANE)====================================================* A :* Asx :* Asy :* Ixx : 抗弯惯矩* Iyy : 0.* Ixy :* J : 抗扭惯矩----------------------------------------------------* (+)Cx :* (-)Cx :* (+)Cy :* (-)Cy :----------------------------------------------------* (+)1/Sx :* (-)1/Sx :* (+)1/Sy :* (-)1/Sy :====================================================由于结构是多跨连续梁（本文假定是3x30简支转连续T梁），所以应该考虑抗弯刚度修正系数根据中跨：边跨=30 ：30= : 1查《梁桥下册》P204页等截面连续梁等效简支梁刚度修正系数表：跨度比二跨连续梁三跨连续梁四跨连续梁L21 边跨L1 中跨L2 边跨L1 中跨L2 边跨L1 中跨L22内插得项目边跨中跨K则在计算边跨横向力分布系数，边跨的中梁和边梁的抗弯惯矩需要乘以中梁：边梁：而在计算中跨横向力分布系数，中跨的中梁和边梁的抗弯惯矩需要乘以中梁：边梁：对于计算抗扭惯矩在上次课程中我们给除了箱梁断面的简化计算公式，在这里我也给出T 梁断面的简化计算公式见《公路桥梁荷载横向分布计算》李国豪石洞编第21页，粘贴在附件中，供大家学习！左板惯矩右板惯矩就是等刚度桥面板抗弯惯矩，他是考虑相邻两篇主梁间桥面板的连接作用，其宽度取相邻横梁间距，翼板厚度取靠近主梁梁肋d1/3处的厚度，详细说明请参照《公路桥梁荷载横向分布计算》李国豪石洞编第22页桥面中线距首梁距离：对于杠杆法和刚性横梁法为桥面的中线到首梁的梁位线处的距离；对于刚接板梁法则为桥面中线到首梁左侧悬臂板外端的距离，用于确定各种活载在影响线上移动的位置。
利用边界积分法计算截面图形的几何性质
利用边界积分法计算截面图形的几何性质
边界积分法是用于计算截面图形的几何性质的一种数学方法。
它可以用来测量图形的面积、周长、体积以及其他几何特征。
边界积分法的基本原理是，将图形的边界看作一个曲线，然后用曲线对该曲线进行积分，以计算该图形的面积、周长、体积等特征。
这种方法可以用于测量各种复杂的图形，包括几何体、曲面、抛物面等。
应用边界积分法计算截面图形的几何性质时，首先需要将图形的边界抽象为一个曲线，然后用定积分的方法对该曲线进行积分，以计算图形的面积、周长、体积等特征。
定积分的具体操作步骤是：首先将边界曲线分割成若干小段，然后根据定积分公式，计算每个小段的积分，最后将每个小段的积分相加，得到整个曲线的积分值，从而确定图形的面积、周长、体积等特征。
由于边界积分法是一种精确的计算方法，因此可以用来测量各种复杂的图形，并且结果也非常准确。
但是，由于边界积分法的计算过程比较复杂，因此需要一定的数学知识才能正确应用。
总之，边界积分法是一种常用的计算截面图形的几何性质的方法，它可以用来测量图形的面积、周长、体积等特征，但
是由于其计算复杂，因此只有熟练掌握定积分的基本概念和操作步骤，才能准确应用该方法。
专题：简单截面的几何性质【工程力学西南交大4学分】
x
60 96 65 (77) 39.7(mm) 96 77
§ I－2 极惯性矩 · 惯性矩 · 惯性积
设任意形状截面如图所示。 1.极惯性矩（或截面二次极矩）
2 Ip d A A
d A 2 π d
d O
d
I p d A 2 (2 π d )
a
x xC b
y yC a
I x A y d A A y c a d A
2 2
y c d A 2a y c d A a
2 A
2
I xc 2 a A y c a 2 A I xc a 2 A
同理，有：
A
A
dA
O y dA
C
3. 静矩与形心坐标的关系
Sy x A
Sy A x
Sx y A
Sx A y
x
x
即：轴过形心
<==> xS该轴=0
结论（1）截面对某一轴的静面矩等于0，则该轴必须通过截面的形心。 （2）截面对过形心的坐标轴的静面矩等于0。 （3）对于具有对称轴的截面，截面对其对称轴的 静面矩必为零。
O
S d A
x
x
1、静矩不仅与平面图形的形状尺寸有关，还与 所选坐标的位置有关。 2、静矩的数值可正可负，也可以为零。 3、静矩的单位：mm3 或 m3
2.形心坐标公式（可由均质等厚薄板的重心坐标而得）
x
A
xd A A
y
A
y d A A
y
y
I x I xc a 2 A
I y I yc b 2 A
midas截面几何性质计算
midas截⾯⼏何性质计算看⼤家对横向⼒分布系数计算疑惑颇多，特在这⾥做⼀期横向⼒分布系数计算教程（本教程讲的⽐较粗浅，适⽤于新⼿）。
总的来说，横向⼒分布系数计算归结为两⼤类（对于新⼿能够遇到的）：1、预制梁（板梁、T梁、箱梁）这⼀类也可分为简⽀梁和简⽀转连续2、现浇梁（主要是箱梁）⾸先我们来讲⼀下现浇箱梁（上次lee_2007兄弟问了，所以先讲这个吧）在计算之前，请⼤家先看⼀下截⾯这是⼀个单箱三室跨径27+34+27⽶的连续梁，梁⾼1.55⽶，桥宽12.95⽶！！⽀点采⽤计算⽅法为为偏压法（刚性横梁法）mi=P/n±P×e×ai/(∑ai x ai)跨中采⽤计算⽅法为修正偏压法（⼤家注意两者的公式，只不过多了⼀个β）mi=P/n±P×e×ai×β/(∑ai x ai)β---抗扭修正系数β=1/(1+L^2×G×∑It/(12×E×∑ai^2 Ii)其中：∑It---全截⾯抗扭惯距Ii ---主梁抗弯惯距 Ii=K Ii` K 为抗弯刚度修正系数，见后L---计算跨径G---剪切模量 G= 旧规范为P---外荷载之合⼒e---P对桥轴线的偏⼼距ai--主梁I⾄桥轴线的距离在计算β值的时候，⽤到了上次课程我们讲到的计算截⾯⼏何性质中的抗弯惯矩和抗扭惯矩，可以采⽤midas计算抗弯和抗扭，也可以采⽤桥博计算抗弯，或者采⽤简化截⾯计算界⾯的抗扭，下⾯就介绍⼀下这种⼤箱梁是如何简化截⾯的：简化后箱梁⾼度按边肋中线处截⾯⾼度(1.55m)计算，悬臂⽐拟为等厚度板。
①矩形部分(不计中肋):计算公式:It1=4×b^2×h1^2/(2×h/t+b/t1+b/t2)其中：t,t1,t2为各板厚度h,b为板沿中⼼线长度h为上下板中⼼线距离It1= 4×(+/2)^2×^2/(2×++=5.454 m4②悬臂部分计算公式: It2=∑Cibiti3其中：ti,bi为单个矩形截⾯宽度、厚度Ci为矩形截⾯抗扭刚度系数,按下式计算:Ci=1/3××ti/bi + ×(ti/bi)^5)=1/3××+×^5)=It2=2×××^3=0.0239 m4③截⾯总的抗扭惯距It= It1+ It2=+=5.4779 m4⼤家可以⽤midas计算对⽐⼀下看看简化计算和实际能差多少？先计算⼀下全截⾯的抗弯和中性轴，下⾯拆分主梁需要⽤的到采⽤<<桥梁博⼠>>版中的截⾯设计模块计算全截⾯抗弯惯距，输出结果如下：<<桥梁博⼠>>---截⾯设计系统输出⽂档⽂件: D: \27+34+⽂档描述: 桥梁博⼠截⾯设计调试任务标识: 组合截⾯⼏何特征任务类型: 截⾯⼏何特征计算------------------------------------------------------------ 截⾯⾼度: 1.55 m------------------------------------------------------------ 计算结果:基准材料: JTJ023-85: 50号混凝⼟基准弹性模量: +04 MPa换算⾯积: 7.37 m2换算惯矩: 2.24 m4中性轴⾼度: 0.913 m沿截⾯⾼度⽅向 5 点换算静矩(⾃上⽽下):主截⾯:点号: ⾼度(m): 静矩(m××3):12345------------------------------------------------------------计算成功完成结果：I全= 2.24 m4 中性轴⾼度H=0.913m下⾯来讲⼀下主梁拆分的原则：将截⾯划分为τ梁和I梁,保持将两截⾯中性轴与全截⾯中性轴位置⼀致。
07第七章 截面的几何性质
y b
y1
C(zc, yc)
dA
面积A
z1
a z
o
已知： 已知： I y
, Izc , I yczc c
计算： 计算：
y = y1 +a
I y , Iz , I yz
z = z1 +b
z1 —y1为形心坐标系
Iz = ∫ y dA
2
= ∫( y1 +a )2dA = ∫ y dA+2a∫ y1dA+a ∫dA
y1 H B y A C D G
ycosθ = y1 +GF
2、再减去GF 得y1
y1 = ycosθ −GF = ycosθ − z sinθ
θ
z1
θ
O F
E
z
《z 变 z1 的操作》 的操作》
OF） 1、z（OF）向z1 轴投影得 z1 - GD z cosθ = z1 −GD 2、再加上GD 得z1
实质 —— 1、数学，不是力学 、数学，
目的 —— 1、翦除弯曲前面的拦路虎之一（惯性矩 、翦除弯曲前面的拦路虎之一（惯性矩) 2、从更高的观点，统一截面几何性质 、从更高的观点， 3、便于学习（弊病：只有大厦，无脚手架） 、便于学习（弊病：只有大厦， 脚手架） 大厦
5.1 静矩（Statical moment)、 形 心(Centroid) 静矩（ 、 零次矩： 零次矩： A = ∫ dA y 一次矩（静矩）： 一次矩（静矩）： C(zc, yc) dA 面积A 面积
已知： 已知：截面对 y、z 轴的惯性矩、惯性积 、 轴的惯性矩、 求解：截面对 轴的惯性矩、 求解：截面对y1、z1轴的惯性矩、惯性积
2 Iz1 = ∫ y1 dA= ∫(ycosθ − zsinθ)2 dA
T形截面—截面几何性质计算
T形截面—截面几何性质计算T形截面通常用于横梁和柱子的设计中，具有较高的刚度和强度。
在计算T形截面的几何性质时，可以考虑以下几个重要的参数：截面面积、惯性矩、抗剪面积和截面模量。
1.截面面积：截面面积是指截面内所有的区域的面积之和，通常用A表示。
对于T 形截面，可以通过将上下两个矩形相加，再减去中间的矩形得到总面积。
2.惯性矩：惯性矩是描述截面形状对于转动惯量的影响程度的物理量。
对于T形截面，有两个惯性矩需要计算：x轴惯性矩和y轴惯性矩。
x轴惯性矩（Ix）描述了围绕与截面的中心线平行于x轴旋转的转动惯量，y轴惯性矩（Iy）类似。
可以通过将各个小区域的面积乘以它们到截面中心线的距离的平方再相加来计算这些惯性矩。
3.抗剪面积：抗剪面积是指悬臂梁在受到剪力作用时，用于抵抗剪切变形的有效截面的面积。
对于T形截面，可以通过将梁右边矩形的面积减去中间矩形的面积来计算剩余的抗剪面积。
4.截面模量：截面模量是描述截面形状对于弯曲刚度的影响程度的物理量。
对于T 形截面，使用两个截面模量来描述其弯曲刚度：x轴截面模量（Sx）和y 轴截面模量（Sy）。
x轴截面模量描述了横截面围绕与截面的中心线平行于x轴弯曲时的刚度，y轴截面模量描述了类似情况下的刚度。
截面模量可以通过将矩形和圆形的截面模量相加来计算。
此外，还可以计算T形截面的其他几何性质，如中心重心的位置和分割形心（距离两侧的边界的距离）。
这些参数可以用于更详细的结构计算和分析。
在设计过程中，这些截面几何性质的计算是非常重要的，可以用于评估结构的刚度、强度和稳定性。
它们也可以用于计算应力、应变和变形等细节参数，以便更好地了解和优化结构的性能。
截面的几何性质
2
= I y + b2 A Iy
c
37
4. 组合截面惯性矩
I x = ∑I xi
i=1
n
I y = ∑I yi
i=1
n
38
A y1 + A2 y2 1 y= ≈ 40mm A + A2 1
10
y
10
40
10
o
20
x
80
11
§1—2 极惯性矩 惯性矩
一，定义 1，截面对 o 点的极惯性矩为 ，
y
惯性积
dA
I P = ∫A ρ dA
2
ρ
o
x
12
2，截面对 x , y 轴的惯性矩 ，
y
I x = ∫A y dA
2
dA
= ∫A x2dA Iy
29
y
yC
C
xC
a
o
b
x
则平行移轴公式为
= I xc + a2 A Ix
= I y + b2 A Iy
c
I xy = I x y + abA
c c
30
二，组合截面的惯性矩
惯性积
Ixi , Iyi , Ixyi —— 第 i 个简单截面对 x , y 轴的惯性矩、
惯性积。 惯性积。
组合截面的惯性矩， 组合截面的惯性矩，惯性积
xC
a
o
b
x
Ix , Iy , Ixy
_____
轴的惯性矩和惯性积。 截面对 x , y 轴的惯性矩和惯性积。
的惯性矩和惯性积。 Ixc ,Iyc , Ixc yc —— 截面对形心轴 xc , yc 的惯性矩和惯性积。
截面几何性质计算
截面几性质计算计算过上部的人都知道，在计算横向力分布系数和冲击系数的时候都需要计算截面的抗弯惯距和抗扭惯距，下面就介绍几种法来计算抗弯惯距和抗扭惯距（本教程拿30米简支转连续箱梁截面做样例）：一、在AUTOCAD中有一个命令massprop可以计算截面的面积、长、质心、惯性矩操作简介：1、首先在CAD中画出如下图的图形；2、用region命令将图形转化成外两个区域；3、用subtract命令求外区域的差集；4、用move命令将图形移动至（0，0，0），用scale命令将图形单位调整为米；5、用massprop命令计算截面性质（可惜这个命令不能计算抗扭惯距）Command: mas MASSPROPSelect objects: 1 foundSelect objects:----------------REGIONS----------------Area（面积）: 1.2739Perimeter（长）:13.7034Bounding box（边缘）:X: -1.7000-- 1.7000Y: 0.0000-- 1.6000Centroid（质心）:X: 0.0000Y: 1.0458Moments of inertia:X: 1.7883Y: 0.7922Product of inertia:XY: 0.0000Radii of gyration:X: 1.1848Y: 0.7886Principal moments and X-Y directions about centroid:I: 0.3950 along [1.0000 0.0000]这就是惯距J: 0.7922 along [0.0000 1.0000]2008-6-6 23:10结果.jpg(132.71 KB)2008-6-6 23:00第二种法：采用桥博计算截面惯距操作简介：本人使用的是桥博3.03，大家可以新建一个项目组，在新建项目上右键选择截面设计，选择C:\Program Files\TongHao\DoctorBridge30\EXAMPLES\Tool\DbDebug2.sds,当前任务类型选择截面几特征，在截面描述中清除当前截面（包括附加截面还有主截面里面的钢筋），选择“斜腹板单箱单室”（大家在可根据自己计算的截面选择相应的截面，如果桥博置的截面没有的话，可以选用从CAD中导入，ＣＡＤ导入将在后面的教程中介绍）输入截面相应的数据（附图）输出结果附后<<桥梁博士>>---截面设计系统输出文档文件: C:\Program Files\TongHao\DoctorBridge30\EXAMPLES\Tool\DbDebug2.sds 文档描述: 桥梁博士截面设计调试任务标识:任务类型: 截面几特征计算------------------------------------------------------------截面高度: 1.6 m------------------------------------------------------------计算结果:基准材料:85混凝土:50号混凝土基准弹性模量:3.5e+04 MPa换算面积: 1.27 m**2换算惯矩:0.396 m**4中性轴高度: 1.04 m沿截面高度向5 点换算静矩(自上而下):主截面:点号:高度(m):静矩(m**3):1 1.60.02 1.20.31430.80.30740.40.24350.00.0------------------------------------------------------------计算成功完成未完待续[本帖最后由gexiin 于2008-6-14 22:48 编辑]附件输入数据.jpg (.31 KB)2008-6-6 23:31第三种法：采用midas/SPC计算截面性质，也是编者向大家推荐采用的法！！他不仅可以计算抗弯惯距而且可以计算抗扭惯距！！操作简介：1、首先需要大家把画好的截面存成dxf文件格式（需要把截面的外区域放到一个图层里，截面单位与刚进SPC里选用的单位统一，本教程选用的单位为米，坐标系为坐标系）2、在File菜单中选择import/AUTOCAD DXF,然后选择文件，这时候大家就可以看到你画的截面就被导入SPC中了；3、选择model菜单中Section/Generate,用鼠标框选截面（被选择后线型变成红色）；4、这一步最关键，在apply正上，有一个Caculate Properties Now复选框，勾选他，然后选择Aplly；5、选择Property菜单中的Display可以查阅Asx和Asy（抗剪面积）、Ixx和Iyy（这两项是抗弯惯距）、Ixy、J（抗扭惯距）。
常用截面惯性矩与截面系数的计算
常用截面几何性质计算返回目录项目公式单位宽度b mm外高H mm内高h mm面积A=b*（H-h)mm^2对Y轴的惯性矩Iy=(H-h)b³/12mm^4对Z轴的惯性矩Iz=b(H³-h³）/12mm^4对Y轴惯性半径i y=（Iy/A）^0.5mm对Z轴惯性半径i z=（Iz/A）^0.5mm形心到边缘的距离e y=b/2mm形心到边缘的距离e z=H/2mm对Y轴抗弯截面系数W y=Iy/e y mm^3对Z轴抗弯截面系数W z=Iz/e z mm^3抗扭截面系数mm^3宽度H mm内宽h mm面积A=H^2-h^2mm^2对Y轴的惯性矩Iy=(H^4-h^4)/12mm^4对Z轴的惯性矩Iz=(H^4-h^4)/12mm^4对Y轴惯性半径i y=（Iy/A）^0.5mm 对Z轴惯性半径i z=（Iz/A）^0.5mm 形心到边缘的距离e y=H/2mm 形心到边缘的距离e z=H/2mm 形心到边缘的距离e z1=0.707*H mm 对Y轴抗弯截面系数W y=Iy/e y mm^3对Z轴抗弯截面系数W z=Iz/e z mm^3对Z轴抗弯截面系数W z1=Iz/e z mm^3抗扭截面系数mm^3宽度a mm直径d mm面积A=a^2-Pi*d^2/4mm^2对Y轴的惯性矩Iy=a^4/12-Pi*d^4/64mm^4对Z轴的惯性矩Iz=a^4/12-Pi*d^4/64mm^4对Y轴惯性半径i=（Iy/A）^0.5mm 对Z轴惯性半径i=（Iz/A）^0.5mm 形心到边缘的距离e y=a/2mm 形心到边缘的距离e z=a/2mm 对Y轴抗弯截面系数W y=Iy/e y mm^3对Z轴抗弯截面系数W z=Iz/e z mm^3抗扭截面系数mm^3a=0,三角形顶宽a mm底宽b mm高h mm面积A=h*（a+b)/2mm^2对Y轴的惯性矩mm^4对Z轴的惯性矩Iz=h^3*(a^2+4*a*b+b^2)/36/(a+b)mm^4对Y轴惯性半径mm 对Z轴惯性半径iz=（Iz/A）^0.5mm 形心到边缘的距离e y1=h*(2*a+b)/(a+b)/3mm 形心到边缘的距离e y2=h*(a+2*b)/(a+b)/3mm 对底边抗弯截面系数W z1=Iz/e y1mm^3对顶边抗弯截面系数W z2=Iz/e y2mm^3抗扭截面系数mm^3正多边形边数n边长a mm 外接圆半径R=a/2/sin（180°/n）mm 内接圆半径r=a/2/sin（180°/n）mm 面积A=n*R^2*sin(2*Pi/n)/2mm^2惯性矩I=A*(6*R^2-a^2)/24mm^4对Y轴惯性半径i=（I/A）^0.5mm形心到底边的距离e y=r mm 形心到顶边的距离e y1=R mm 对底边抗弯截面系数W z=I/R/cos（Pi/n）mm^3对顶点抗弯截面系数W z1=I/R mm^3抗扭截面系数mm^3宽度a mm直径d mm面积A=a^2-Pi*d^2/4mm^2对Y轴的惯性矩Iy=a^4/12-Pi*d^4/64mm^4对Z轴的惯性矩Iz=a^4/12-Pi*d^4/64mm^4对Y轴惯性半径i=（Iy/A）^0.5mm 对Z轴惯性半径i=（Iz/A）^0.5mm 形心到边缘的距离e y=a/2mm 形心到边缘的距离e z=a/2mm 对Y轴抗弯截面系数W y=Iy/e y mm^3对Z轴抗弯截面系数W z=Iz/e z mm^3抗扭截面系数mm^3外径D mm内径d mm面积A=Pi*(D^2-d^2)/4mm^2惯性矩I=Pi*(D^4-d^4)/64mm^4惯性半径i=（Iz/A）^0.5mm 形心到边缘的距离e=D/2mm 抗弯截面系数W=I/e mm^3抗扭截面系数Wt=Pi*D^3(1-（d/D）^4)/16mm^3外径D mm内径d mm面积A=Pi*(D^2-d^2)/8mm^2对Y轴的惯性矩Iy=Pi*（D^4-d^4)/128mm^4对Z轴的惯性矩Iz=0.00686*(D^4-d^4)-0.0177*D^2*d^2*(D-d)/(D+d mm^4对Y轴惯性半径i y=（Iy/A）^0.5mm 对Z轴惯性半径i z=（Iz/A）^0.5mm 形心到边缘的距离e y=2*(D^2+D*d+d^2)/3*Pi*(D+d)mm 形心到边缘的距离e z=D/2mm 对Y轴抗弯截面系数W y=Pi*D^3*(1-d^4/D^4)/64mm^3对顶点的抗弯截面系数W z=Iz/（D/2-e y)mm^3对底边的抗弯截面系数W z1=Iz/e y mm^3抗扭截面系数mm^3直径d mm宽度b mm深度t mm面积A=Pi*d^2/4-b*t mm^2对Y轴的惯性矩Iy=Pi*d^4/64-t*b^3/12mm^4对Z轴的惯性矩Iz=Pi*d^4/64-b*t*(d-t)^2/4mm^4对Y轴惯性半径i y=（Iy/A）^0.5mm 对Z轴惯性半径i z=（Iz/A）^0.5mm 形心到边缘的距离e y=d/2mm 形心到边缘的距离e z=d/2mm 对Y轴抗弯截面系数W y=Iy/e y mm^3对Z轴抗弯截面系数W z=Iz/e z mm^3抗扭截面系数mm^3直径d mm宽度b mm深度t mm面积A=Pi*d^2/4-2*b*t mm^2对Y轴的惯性矩Iy=Pi*d^4/64-t*b^3/6mm^4对Z轴的惯性矩Iz=Pi*d^4/64-b*t*(d-t)^2/2mm^4对Y轴惯性半径i y=（Iy/A）^0.5mm 对Z轴惯性半径i z=（Iz/A）^0.5mm 形心到边缘的距离e y=d/2mm 形心到边缘的距离e z=d/2mm 对Y轴抗弯截面系数W y=Iy/e y mm^3对Z轴抗弯截面系数W z=Iz/e z mm^3抗扭截面系数mm^3直径d mm支架d1mm面积A=Pi*d^2/4-d1*d mm^2对Y轴的惯性矩Iy=Pi*d^4*(1-1.69*d1/d)/64mm^4对Z轴的惯性矩Iz=Pi*d^4*(1-1.69*d1^3/d^3)/64mm^4对Y轴惯性半径i y=（Iy/A）^0.5mm 对Z轴惯性半径i z=（Iz/A）^0.5mm 形心到边缘的距离e y=d/2mm 形心到边缘的距离e z=d/2mm 对Y轴抗弯截面系数W y=Iy/e y mm^3对Z轴抗弯截面系数W z=Iz/e z mm^3抗扭截面系数mm^3宽度B mm宽度b mm高度H mm高度h mm面积A=B*H+b*h mm^2对Z轴的惯性矩Iz=(B*H^3+b*h^3)/12mm^4对Z轴惯性半径i z=（Iz/A）^0.5mm 形心到边缘的距离e z=H/2mm 对Z轴抗弯截面系数W z=Iz/e z mm^3抗扭截面系数mm^3宽度B mm宽度a mm高度H mm高度d mm面积A=B*H+b*h mm^2对Z轴的惯性矩Iz=mm^4对Z轴惯性半径i z=（Iz/A）^0.5mm 形心到边缘的距离e y=d/2mm 形心到边缘的距离e z=d/2mm 对Y轴抗弯截面系数W y=Iy/e y mm^3对Z轴抗弯截面系数W z=Iz/e z mm^3抗扭截面系数mm^3宽度B mm宽度a mm205214 4533.375 7642.7109384.6026074495.9760858861010 453.3375 764.271093810102020。
史上最全的常用截面几何特性计算公式
史上最全的常用截面几何特性计算公式构件截面的几何性质，如静力矩、形心、轴向惯性矩、极惯性矩、惯性积和主惯性轴位置等，对构件的承载能力有影响，常用于分析构件的弯曲、扭转和剪切。
1.静态力矩:也称为面积力矩或静态表面力矩。
截面对轴线的静力矩等于每个微区的积分乘以整个截面上微区到轴线的距离。
静力矩可以是正的，也可以是负的。
它的维数是长度的三次方。
静力矩的力学意义是:如果有均布载荷作用在截面上，其值表示为单位面积的量，则该载荷在某一轴上的合成力矩等于分布载荷乘以该轴的静力矩。
2、形心：又称面积中心或面积重心，是截面上具有如下性质的点：截面对通过此点任一个轴的静矩等于零。
如果将截面看成一均质等厚板，则截面的形心就是板面的重心。
形心坐标xo、yo的计算公式为：3、惯性矩：反映截面抗弯特性的一个量，简称惯性矩。
截面对某个轴的轴惯性矩等于截面上各微面积乘微面积到轴的距离的平方在整个截面上的积分。
下图所示的面积为A的截面对x、y轴的轴惯性矩分别为：转动惯量总是正的，量纲是长度的四次方。
构件的抗弯能力与轴的惯性矩成正比。
一些典型截面的轴惯性矩可在专业手册中找到。
例如，平行四边形对中心线的惯性矩为4、极惯性矩：反映截面抗扭特性的一个量。
截面对某个点的极惯性矩等于截面上各微面积乘微面积到该点距离的平方在整个截面上的积分。
下图所示面积为A的截面对某点O的极惯性矩为：极惯性矩永远是正的，量纲是长度的四次方。
构件的抗扭能力与惯性矩成正比。
圆形截面相对于其中心的惯性矩为5、惯性积：截面对于两个正交坐标轴的惯性积等于截面上各个微面积乘微面积到两个坐标轴的距离在整个截面上的积分。
面积为A的截面对两个正交坐标轴x、y的惯性积为:惯性积的量纲是长度的四次方。
截面位于坐标系的一、三象限,Ixy为正，位于二、四象限则为负。
6.主惯性轴:使截面惯性积为零的一对正交坐标轴称为截面主惯性轴，简称主轴。
截面对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。
若两条主惯性轴的交点为质心，则这两条轴称为质心主惯性轴(或称主质心惯性轴)。
常用截面几何性质计算公式JX
常用截面几何性质计算公式JX截面几何性质是指用于描述截面形状和尺寸的参数。
在工程学和材料科学中，了解截面几何性质对于设计和分析结构是非常重要的。
下面介绍一些常用的截面几何性质计算公式。
1. 惯性矩（Moment of Inertia）：惯性矩是描述截面抗弯刚度的参数，通常用I表示。
常见的几何形状的惯性矩公式如下：矩形截面：I=(b*h^3)/12，其中b为截面宽度，h为截面高度。
圆形截面：I=π*d^4/64，其中d为截面直径。
方形截面：I=d^4/12，其中d为截面边长。
等边三角形截面：I=(b^4*√3)/36，其中b为截面边长。
2. 面积（Area）：面积是描述截面尺寸大小的参数，通常用A表示。
常见的几何形状的面积公式如下：矩形截面：A=b*h，其中b为截面宽度，h为截面高度。
圆形截面：A=π*(d/2)^2，其中d为截面直径。
方形截面：A=d^2，其中d为截面边长。
等边三角形截面：A=(b^2*√3)/4，其中b为截面边长。
3. 弯曲半径（Radius of Gyration）：弯曲半径是描述截面形状分布关于中性轴的离散程度的参数，通常用r表示。
它是惯性矩与截面面积的比值的平方根。
常见的几何形状的弯曲半径公式如下：矩形截面：r=√(I/A)圆形截面：r=d/2，其中d为截面直径。
方形截面：r=d/√12，其中d为截面边长。
等边三角形截面：r=b/√12，其中b为截面边长。
4. 抗剪面积（Shear Area）：抗剪面积是描述截面在剪切载荷下的性能的参数，通常用As表示。
常见的几何形状的抗剪面积公式如下：矩形截面：As=b*h，其中b为截面宽度，h为截面高度。
圆形截面：As=π*(d/2)^2，其中d为截面直径。
方形截面：As=d^2，其中d为截面边长。
等边三角形截面：As=(b^2*√3)/4，其中b为截面边长。
以上是一些常用的截面几何性质计算公式，这些公式在结构设计和分析中有广泛的应用，帮助工程师计算结构的受力性能和刚度。
截面几何性质
a b b C. Iy ≺ Iy， x ≻ Ix； Ia y
b b D Iy ≺ Iy， x ≺ Ix。 . a Ia y
o
x
o
x
(a)
(b)
C
课堂练习
I.
图示半圆形，若圆心位于坐标原点，则（
y
2R
R
O
C. Iy ≻ Ix；
B
R
x
课堂练习
I.
图示任意形状截面，若Oxy轴为一对主形心轴，则 （ ）不是一对主轴。
A O ； . xy
y1
y
B. O xy； 1 1
C. O x1y1 ； 2
D O x1y。 . 3
O1 O2
O
O3
x
x1
C
课堂练习
I.
任意图形，若对某一对正交坐标轴的惯性积为零， 则这一对坐标轴一定是该图形的（ ）。
xy
∫
A
∫
A
5、组合图形对某一点的极惯性矩或对某一轴的惯性矩、惯性积 、组合图形对某一点的极惯性矩或对某一轴的惯性矩、 dA x x n n n n
y
y
2
∫ (− xy )dA = 0
A 2
dA
I P = ∑ I Pi
i =1
I x = ∑ I xi
i =1
I y = ∑ I yi
i =1
I xy = ∑ I xyi
D
课堂练习
I. 图示任意形状截面，它的一个形心轴zc把截面分成 Ⅰ和Ⅱ两部分，在以下各式中，（ ）一定成立。
A I +I .
第四章 截面的几何性质
n
形心位置： yc 形心位置：
∑Ai yci Sz i=1 = n A = ∑Ai ∑Ai zci
i=1 n i=1 n
zc = Sy = A
∑Ai
i=1
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求图示截面的形心的位置。 例2: 求图示截面的形心的位置。 解： A =150×50m 2 A2 =180×50m 2 m m 1
A3 = 250×50m 2 m
50 150
C1
m yC1 = −255m m yC2 = −140m
yC3 = −25m m zC1 = zC2 = zC3 = 0
A × yC1 + A2 × yC2 + A3 × yC3 yC = 1 A + A2 + A3 1
50
c 50
C2 C3
250
z
y
−150×50× 255 −180×50×140 − 250×50× −25 = m m 150×50 +180×50 + 250×50
= −120m m
zC = 0
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§4-2 截面的惯性矩和惯性积
一、惯性矩的定义 Iy=∫ A z2dA 惯性矩恒为正 Iz=∫ A y2dA 二、惯性积的定义 ∫ Iyz= A yzdA 惯性积可正、 惯性积可正、可负或为零 若y为对称轴，则 为对称轴， Iyz= 0
C
ydA A
Sz = A Sy = A
zc
z
zc = 故
∫
A
zdA A
dA y
Sz = A yc Sy = A zc
形心轴： 形心轴： 过平面图形形心的轴 截面对形心轴的面积矩为零。 截面对形心轴的面积矩为零。
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截面几何性质计算计算过上部的人都知道，在计算横向力分布系数和冲击系数的时候都需要计算截面的抗弯惯距和抗扭惯距，下面就介绍几种方法来计算抗弯惯距和抗扭惯距（本教程拿30米简支转连续箱梁截面做样例）：一、在AUTOCAD中有一个命令massprop可以计算截面的面积、周长、质心、惯性矩操作简介：1、首先在CAD中画出如下图的图形；2、用region命令将图形转化成内外两个区域；3、用subtract命令求内外区域的差集；4、用move命令将图形移动至（0，0，0），用scale命令将图形单位调整为米；5、用massprop命令计算截面性质（可惜这个命令不能计算抗扭惯距）Command: mas MASSPROPSelect objects: 1 foundSelect objects:---------------- REGIONS ----------------Area（面积）: 1.2739Perimeter（周长）: 13.7034Bounding box（边缘）: X: -1.7000 -- 1.7000Y: 0.0000 -- 1.6000Centroid（质心）: X: 0.0000Y: 1.0458Moments of inertia: X: 1.7883Y: 0.7922Product of inertia: XY: 0.0000Radii of gyration: X: 1.1848Y: 0.7886Principal moments and X-Y directions about centroid:I: 0.3950 along [1.0000 0.0000]这就是惯距J: 0.7922 along [0.0000 1.0000]2008-6-6 23:10结果.jpg(132.71 KB)2008-6-6 23:00第二种方法：采用桥博计算截面惯距操作简介：本人使用的是桥博3.03，大家可以新建一个项目组，在新建项目上右键选择截面设计，选择C:\Program Files\TongHao\DoctorBridge30\EXAMPLES\Tool\DbDebug2.sds,当前任务类型选择截面几何特征，在截面描述中清除当前截面（包括附加截面还有主截面里面的钢筋），选择“斜腹板单箱单室”（大家在可根据自己计算的截面选择相应的截面，如果桥博内置的截面没有的话，可以选用从CAD中导入，ＣＡＤ导入将在后面的教程中介绍）输入截面相应的数据（附图）输出结果附后<<桥梁博士>>---截面设计系统输出文档文件: C:\Program Files\TongHao\DoctorBridge30\EXAMPLES\Tool\DbDebug2.sds文档描述: 桥梁博士截面设计调试任务标识:任务类型: 截面几何特征计算------------------------------------------------------------截面高度: 1.6 m------------------------------------------------------------计算结果:基准材料: 中交85混凝土:50号混凝土基准弹性模量: 3.5e+04 MPa换算面积: 1.27 m**2换算惯矩: 0.396 m**4中性轴高度: 1.04 m沿截面高度方向5 点换算静矩(自上而下):主截面:点号: 高度(m): 静矩(m**3):1 1.6 0.02 1.2 0.3143 0.8 0.3074 0.4 0.2435 0.0 0.0------------------------------------------------------------计算成功完成未完待续[本帖最后由gexiin 于2008-6-14 22:48 编辑]附件输入数据.jpg(153.31 KB)2008-6-6 23:31第三种方法：采用midas/SPC计算截面性质，也是编者向大家推荐采用的方法！！他不仅可以计算抗弯惯距而且可以计算抗扭惯距！！操作简介：1、首先需要大家把画好的截面存成dxf文件格式（需要把截面的内外区域放到一个图层里，截面单位与刚进SPC里选用的单位统一，本教程选用的单位为米，坐标系为大地坐标系）2、在File菜单中选择import/AUTOCAD DXF,然后选择文件，这时候大家就可以看到你画的截面就被导入SPC中了；3、选择model菜单中Section/Generate,用鼠标框选截面（被选择后线型变成红色）；4、这一步最关键，在apply正上方，有一个Caculate Properties Now复选框，勾选他，然后选择Aplly；5、选择Property菜单中的Display可以查阅Asx和Asy（抗剪面积）、Ixx和Iyy（这两项是抗弯惯距）、Ixy、J（抗扭惯距）。
也可以用List列表查询，或者输出成文本文件，下面列出的就是文本文件：===================================================== MIDAS SPC TEXT OUTPUT FILE == (Sat Jun 07 00:05:29 2008) == - - =========================================================================================================UNIT: KN . M========================================================================================================* Section-P1 (PLANE)====================================================* A : 1.273881453070* Asx : 0.706829629623* Asy : 0.470480363253* Ixx : 0.394983378948（抗弯惯距）* Iyy : 0.792165028718* Ixy : -0.000000000000* J : 0.446936754149（抗扭惯距）----------------------------------------------------* (+)Cx : 1.700000000000* (-)Cx : 1.700000000000* (+)Cy : 0.554169989802* (-)Cy : 1.0458********----------------------------------------------------* (+)1/Sx : 4.303978573800* (-)1/Sx : 4.303978573800* (+)1/Sy : 0.699563815255* (-)1/Sy : 1.320217343969====================================================第四种方法是简化计算截面来计算抗扭惯矩：对于象简支转连续这种小箱梁，计算截面抗扭惯距时，闭合截面以外的板可以忽略不计，大约为总扭矩的1%左右，结果主梁简化成为一个对称的梯形，简化图形见附件简化截面计算公式:It1=4×b^2×h1^2/(2×h/t+b/t1+b/t2)其中：t,t1,t2为各板厚度h,b为板沿中心线长度h为上下板中心线距离It1= 4×((1.605+0.865)/2)^2×1.48^2/(2×1.5255/0.1746+0.865/0.18+1.605/0.22)=0.4518 m4计算出抗扭惯矩为0.4518，而用midas计算抗扭惯矩0.4469，两者之间相差不多！！完全可以用简化模型计算也许大家还知道有其他更好更快捷的办法来计算截面的性质，欢迎大家把自己知道的办法发出来，供大家学习！！计算截面性质是基础，在后续的横向力分布系数、冲击系数、主梁强度计算都会用到它，对于论坛中很多新注册的朋友或者是刚刚接触计算的朋友，希望能够掌握以上的方法！！仓促之间难免有疏漏或错误之处，欢迎大家批评指正！！！★桥梁上部计算教程★横向力分布系数计算大家在看此教程之前，请先学习/thread-54712-1-1.html看大家对横向力分布系数计算疑惑颇多，特在这里做一期横向力分布系数计算教程（本教程讲的比较粗浅，适用于新手）。
总的来说，横向力分布系数计算归结为两大类（对于新手能够遇到的）：1、预制梁（板梁、T梁、箱梁）这一类也可分为简支梁和简支转连续2、现浇梁（主要是箱梁）首先我们来讲一下现浇箱梁（上次lee_2007兄弟问了，所以先讲这个吧）在计算之前，请大家先看一下截面这是一个单箱三室跨径27+34+27米的连续梁，梁高1.55米，桥宽12.95米！！支点采用计算方法为为偏压法（刚性横梁法）mi=P/n±P×e×ai/(∑ai x ai)跨中采用计算方法为修正偏压法（大家注意两者的公式，只不过多了一个β）mi=P/n±P×e×ai×β/(∑ai x ai)β---抗扭修正系数β=1/(1+L^2×G×∑It/(12×E×∑ai^2 Ii)其中：∑It---全截面抗扭惯距Ii ---主梁抗弯惯距Ii=K Ii` K 为抗弯刚度修正系数，见后L---计算跨径G---剪切模量G=0.4E 旧规范为0.43EP---外荷载之合力e---P对桥轴线的偏心距ai--主梁I至桥轴线的距离在计算β值的时候，用到了上次课程/thread-54712-1-1.html我们讲到的计算截面几何性质中的抗弯惯矩和抗扭惯矩，可以采用midas计算抗弯和抗扭，也可以采用桥博计算抗弯，或者采用简化截面计算界面的抗扭，下面就介绍一下这种大箱梁是如何简化截面的：简化后箱梁高度按边肋中线处截面高度(1.55m)计算，悬臂比拟为等厚度板。
①矩形部分(不计中肋):计算公式:It1=4×b^2×h1^2/(2×h/t+b/t1+b/t2)其中：t,t1,t2为各板厚度h,b为板沿中心线长度h为上下板中心线距离It1=4×((8.096+7.281)/2)^2×1.34^2/(2×1.401/0.603+8.097/0.22+7.281/0.2)=5.454 m4②悬臂部分计算公式: It2=∑Cibiti3其中：ti,bi为单个矩形截面宽度、厚度Ci为矩形截面抗扭刚度系数,按下式计算:Ci=1/3×(1-0.63×ti/bi + 0.052×(ti/bi)^5)=1/3×(1-0.63×0.26/2.2+0.052×(0.26/2.2)^5)=0.309It2=2×0.309×2.2×0.26^3=0.0239 m4③截面总的抗扭惯距It= It1+ It2=5.454+0.0239=5.4779 m4大家可以用midas计算对比一下看看简化计算和实际能差多少？？先计算一下全截面的抗弯和中性轴，下面拆分主梁需要用的到采用<<桥梁博士>>V2.9版中的截面设计模块计算全截面抗弯惯距，输出结果如下：<<桥梁博士>>---截面设计系统输出文档文件: D: \27+34+27.sds文档描述: 桥梁博士截面设计调试任务标识: 组合截面几何特征任务类型: 截面几何特征计算------------------------------------------------------------截面高度: 1.55 m------------------------------------------------------------计算结果:基准材料: JTJ023-85: 50号混凝土基准弹性模量: 3.5e+04 MPa换算面积: 7.37 m2换算惯矩: 2.24 m4中性轴高度: 0.913 m沿截面高度方向5 点换算静矩(自上而下):主截面:点号: 高度(m): 静矩(m××3):1 1.55 0.02 1.16 1.773 0.775 1.834 0.388 1.585 0.0 0.0------------------------------------------------------------计算成功完成结果：I全= 2.24 m4 中性轴高度H=0.913m下面来讲一下主梁拆分的原则：将截面划分为τ梁和I梁,保持将两截面中性轴与全截面中性轴位置一致。