数学建模 人体膝关节受力分析 西南财经大学校赛2015
骑行时不同屈曲角度膝关节软骨受力分析
骑行时不同屈曲角度膝关节软骨受力分析马雪梅;张春秋;高丽兰;叶金铎;张西正【摘要】在对骑行人车系统动力学研究的基础上,分析在骑行周期内膝关节软骨的受力状态,以期获得关节软骨受力的规律,增加对骑行时膝关节生物力学特性的理解.基于有限元分析法,建立包括股骨、胫骨、腓骨、髌骨、关节软骨、半月板及韧带组织的人体全膝关节有限元模型.将骨组织刚体化,并对其施加屈曲位移边界条件,包括胫骨相对股骨的内旋、内收、前移和外移以及髌骨相对股骨的屈曲、内旋、内倾以及外移.通过显式动力学分析计算,获得膝关节屈曲60°、80°和100°相位,同时得到骑行状态上述屈曲位处膝关节软骨的应力分布.结果通过有限元分析,获得骑行姿态下膝关节相关相位的力学分布规律.结果表明,相同载荷下,最大von-Mises应力出现在屈曲100°位置,股骨软骨应力增幅达71.25％,髌骨软骨增大29.36％;随着骑行屈曲角度的增加,胫股关节高应力区逐渐向膝关节后部转移,髌股关节软骨受力逐渐上移.骑行时高应力发生在膝关节屈曲角度较大位置,胫骨平台软骨后侧、髌骨软骨上侧承受更大应力.【期刊名称】《中国生物医学工程学报》【年(卷),期】2016(035)001【总页数】5页(P119-123)【关键词】膝关节;软骨;骑行;有限元模型;屈曲【作者】马雪梅;张春秋;高丽兰;叶金铎;张西正【作者单位】天津市先进机电系统设计与智能控制重点实验室,天津理工大学机械工程学院天津300384;天津市先进机电系统设计与智能控制重点实验室,天津理工大学机械工程学院天津300384;天津市先进机电系统设计与智能控制重点实验室,天津理工大学机械工程学院天津300384;天津市先进机电系统设计与智能控制重点实验室,天津理工大学机械工程学院天津300384;军事医学科学院卫生装备研究所,天津300161【正文语种】中文【中图分类】R318骑行运动在日常生活中非常普遍。
2015数学建模竞赛优秀论文
图 2 太阳高度角
由三角形性质，显然，
OB
tan θ =
(1)
OA
即得，
OB H
L = OA =
=
(2)
tan θ tan θ
根据参考文献[1],太阳高度角θ的计算公式为：
sin θ = sin φ sin δ + cos φ cos δ cos σ
(3)
其中，φ为观测地地理纬度，δ为赤纬角，σ为时角。 参考文献[2]:所谓日面中心的时角，即从观测点天球子午圈沿天赤道量至太阳所在时圈的
图 1 夏半年日影运动
由于太阳和地球最短距离为1.471 × 108km，所以太阳光接近地球表面时可以近似看成 是平行光。参考文献[1]，太阳高度角是指太阳光的入射方向和地平面之间的夹角，专业上 讲太阳高度角是指某地太阳光线与通过该地与地心相连的地表切线的夹角。如图（2）所 示，OB为竿长，OA为影长，θ即为太阳高度角。
4. 模型的建立
4.1. 问题一模型的建立
4.1.1. 立杆影长随参数变化的模型的建立 为了探求不同时间、不同经纬度下立杆影长的变化规律，我们建立以立杆为参考系的数
学模型。一年四季中除去春分、夏至、秋分、冬至以外，太阳相对于地球都不是严格由正东 向正西方向运动，因此立杆的影子变化不仅在于长度的改变，方向也在改变。同一天，随着 时间的推移，立杆的影子顶点应当是一个弧状轨迹。如图（1），为夏半年日影运动静态模 拟图。图中白色虚线表示影子顶点运动的部分轨迹。
太阳影子定位
摘要
本文通过分析影响立杆影长的相关参数的变化，建立了时间、太阳位置和影子轨迹关系 的数学模型，探究了影子变化的影响因素，以及通过影子变化如何确定拍摄时间和地点。
针 对 问 题1， 我 们 利 用 太 阳 高 度 角 的 定 义 及 太 阳 高 度 角 的 大 小 跟 赤 纬 角 、 时 角 、 当 地纬度相关，建立了影长关于太阳高度角、杆长、日期这三个因素变化的模型。然后依 据题目给定的参数利用MATLAB得到影长，并进行检验。结果显示2015年10月22日当天北 京时间9:00–15:00之间天安门广场上一根3米高的竿子在12:36分时取到最短影长为3.68米， 在9：00时取到最长影长为6.78米。
生物力学概论-膝关节有限元模型
Background
数据来源
基于CT 基于MRI
Background
CT与MRI的比较
目前膝关节韧带等软组织的建模方法大 多数是通过MRI扫描，得到DICOMDE的数 据，然后在商用CAE软件中建模。 MRI对软组织的显影比CT好，但MRI对骨 的显影不如CT，而且不能达到CT的扫描 精度。
Background
CT与MRI的比较：
• 软组织成像：MRI优于CT • 骨组织成像：CT优于MRI
Background
有限元单元法的基本原理：
是把由无限个质点构成的物体划分为 有限个结构形态简单并且力学特性已知的 单元，根据原有物体的几何材料特性以及 受力条件采用不同的单元种类，单元内部 点的待求量可由单元节点量通过选定的函 数关系插值求得。 单元划分越细，计算结果越精确。
Summary
构建膝关节生物力学模型 研究膝关节的生物力学特性 研究膝关节损伤的机制及治疗
有限元分析则可通过对实验条件 的 控制, 更准确 地模拟体内的力学情 况,。对人体力学行为进行有限元数 值模拟已成为深化对人体认识的一 种有效手段。
Summary
问题：
有限元单元划分、节点的选择、荷载和 边界件的规定 在 一定 程度上是人为的, 且不 能和实 验条 件完全 一致; 离 体 实验 所得 数据可能与生理情况存在差异; 模型 主要是 对膝关节 的骨性 结构及半月板进行了分析而 忽略了其中结 构较复 杂的韧 带, 因 此不能模型动态过程, 只能模 拟伸 直位膝 关节 所负 载的 情况 , 由 于以上 种种 因素造成计算机模拟的结果与实验会 有一些 偏差, 但如果 在总体变化趋势上与实验及临床应用能取 得一致, 说明 了 有限 元模型对生物力学分析是有一定作用的。 随着对组织力学特性的认识及计算机软件的进一步发展， 相信有限元分析在习惯见损伤和蜕变机机制的而研究治疗 方法的改进及应用方面的前景会更加广阔。
数学建模人体膝关节受力分析西南财经大学校赛2015
2015年西南财经大学数学建模校赛人体膝关节运动学问题参赛队员信息2015/5/41460.655123.0532 1.293931.59040.1314y x x x ω=-+++-人体膝关节运动学问题摘要：对于问题一，分析对峰力矩的影响因素及其影响大小。
首先处理了数据中的异常和缺失数据，用excel 做出了各变量相对于峰力矩的散点图，发现速度对其影响不受其他变量干扰，求出其它变量在不同角速度下与峰力矩的相关系数。
结果是年龄，左右脚与峰力矩相关系数极小；身高，峰力矩角度与峰力矩相关性不大；峰力矩角度与峰力矩是测试系统同时生成的观测指标，不能作为自变量。
性别x1，体重x4，屈伸膝x6，角速度w 与峰力矩y 的相关系数分别为0.571075,0.5195775，0.48212，-0.49915。
对相关性较强的变量建立多元回归分析模型，用matlab 软件解得方程为对于问题二，分析人胫股关节接触力与屈膝角度、身体各部位倾斜度的关系。
我们将身体简化为以胯和膝两处为转折点，躯干、大腿、小腿为三段均匀杆的模型，杆的宽度是膝盖的宽度。
假设人体质量均匀分布与长度正相关。
（1）人的重心落在脚的地面的接触点上，过重心垂线两侧质量相等（两侧杆长度之和相等）。
（2）胫股关节接触力力矩等于重力力矩。
（3）查找资料确定人体各关节活动角度范围，完成模型建立。
用LINGO 软件求解得胫股关节最大接触力是体重的7.1倍。
此时人体姿势为大腿与地面水平，与小腿夹角为45º，小腿与地面夹角为45º，腰部与水平面夹角为80.12º。
对于问题中的说法验证结果为人体屈膝30º，膝关节承受压力是体重的1.54641倍；屈膝60º，膝关节压力为体重的4.0926倍；屈膝90º，所承受的压力是体重的6.44204倍。
在一定误差范围下说法是正确的。
对于问题三，分析人体在上下台阶时胫股关节接触力与腿部动作速度的关系。
人体下肢运动力学分析与建模
III
杭州电子科技大学 学位论文原创性声明和使用授权说明
原创性声明
本人郑重声明： 所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人 或集体已经发表或撰写过的作品或成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。
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学位论文使用授权说明
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杭州电子科技大学 硕士学位论文 人体下肢运动力学分析与建模 姓名：洪晓明 申请学位级别：硕士 专业：控制理论与控制工程 指导教师：叶明 20091201
杭州电子科技大学硕士学位论文
摘要
研制下肢假肢是为了改善残疾人的生活质量和促进医疗福利事业的发展， 同 时智能假肢也是机器人学和生物医学工程领域深受关注的研究方向。 智能下肢假 肢通过检测穿戴者的运动状态来控制假肢运动，从而提高步态的灵活性、协调性 和安全性。我国下肢残疾者人数众多，国内在智能下肢假肢的研究水平上也明显 落后于欧美发达国家，因此为肢体残疾人提供性能优良、价格低廉的假肢器械是 残疾人事业发展的重要任务。 人体下肢运动分析和建模是研究假肢的重要内容， 本文紧密围绕国家自然科 学基金资助项目“膝上假肢的运动力学信息获取与多运动模式控制方法研究 （60705010） ” ，主要做了以下几个方面的工作： 建立人体下肢运动生物力学信息获取系统， 利用表面电极获取下肢运动肌电 信号；利用多轴加速度传感器来检测大腿和小腿的倾角，获取肢体的姿态以及膝 关节角度和角速度； 下肢的脚与地面之间接触状态和作用力等信息采用足底安装 压力传感器的方式检测。 根据人体的结构和运动学的分析，建立人体下肢运动数学模型。比较动力学 建模中通常采用的拉格朗日法、牛顿-欧拉法等的优缺点，选用拉格朗日建模方 法，从系统能量角度出发构建人体下肢的动力学模型，并进行动力学分析，得到 关节力矩。 基于 Matlab/SimMechanics 仿真工具箱人体下肢运动系统建模，选取了平地 行走、上坡、上阶梯三种不同的运动模式，每种运动模式下分为摆动期和支撑期 两个阶段，建立相应的模型，以各关节的角位移、角速度、角加速度为输入，仿 真得到各种运动模式下髋关节和膝关节力矩。在平地行走模式下，将求解拉格朗 日方程所得到的关节力矩与 Matlab/SimMechanics 建模仿真所得的力矩进行比 较，两者基本吻合，证明了建立的模型比较合理。 运用数学统计方法对下肢运动参数进行分析， 首先应用新阈值消噪方法对肌 电信号进行消噪处理，用平均值法提取特征向量，利用回归分析的方法研究表面 肌电信号与关节力矩之间的关系，通过数据分析，表明关节力矩与表面肌电信号 近似成线性关系，在此基础上得出了关节力矩与表面肌电信号的表达式。运用回 归分析中多项式拟合方法对力矩与时间的关系进行建模， 得出了各种运动模式下 关节力矩与时间的关系，为下肢假肢的控制方法研究提供了实验与理论的依据。 关键词：运动生物力学，动力学，关节力矩，SimMechanic 建模，回归分析
基于Mimics和Ansys的人体膝关节生物力学分析
计算机应用与软件 Computer Applications and Software
Vol. 31 No． 6 Jun． 2014
基于 Mimics 和 Ansys 的人体膝关节生物力学分析
靳 龙
1 2
1
胡迎春
1
靳剑桥
2
陈岳坪
1
（ 广西科技大学机械工程学院
［6 － 8 ］
0
引
言
然后导入到 Ansys 软件进行有限元分析的 维生物力学模型 生物力学分析。在很大程度上促进对人体骨骼与膝关节生物力 学的研究， 为膝关节疾病的预防和治疗提供相关参考以及对人 ［9 ， 10 ］ 。 工假体的设计具有一定的指导意义
MＲI 等断层扫描技术在诊断方面应用相当广 目前以 CT、 ［1 ， 2 ］ 。但是这些断层扫描的图片有其本身的局限性， 泛 二维图 片往往让外科医生不便对病理进行分析 。与其翻阅大量的序列 断层图片， 不如将这些图片进行三维重建， 用实体模型进行分 析。对 CT 断层扫描图像的三维重建和有限元分析， 运用在临 床当中可以协助医生在术前更清楚了解病人内部解剖结构， 为 病人定制更详细、 合理的治疗方案。同时， 对于复杂的手术也可 以给手术医师在手术前提供反复演练的机会， 增加手术中医师 的配合熟练程度与理解， 从而加快手术速度， 减轻病人痛苦。 膝关节是人体最复杂的关节， 位居髋关节和踝关节之间， 是 下肢活动的枢纽。膝关节运动且负重， 膝关节的解剖结构、 所处 力学环境及其功能要求使膝关节成为遭受损伤和各类疾病干扰 的关节之首， 膝关节的解剖结构如图 1 所示。 对膝关节及膝关 节韧带进行生物力学分析是防止膝关节损伤和治疗膝关节疾病 ［3 － 5 ］ ， 的基础 本文通过对真实膝关节进行 CT 扫描获得断层图 片然后以医学图像处理软件 Mimics 重新构建有效的膝关节三
基于结构方程模型的拉丁舞选手膝关节损伤因素研究
基于结构方程模型的拉丁舞选手膝关节损伤因素研究高思垚【摘要】主要采用结构方程模型结合拉丁舞项目自身的技术特点,对影响拉丁舞选手膝关节损伤的因素进行研究.研究结论如下:(1)通过因子分析得出拉丁舞选手的膝关节损伤因素由训练安排、身体素质、外界干扰、技术动作、准备活动、心理活动6个因子构成.(2)运用AMOS 17.0软件,得到结构方程初始模型,分析后发现“外界干扰”与“心理活动”这两个影响因子并不显著,被剔除.影响拉丁舞者膝关节损伤的主因子一共有4个,分别为:身体素质、技术动作、准备活动、训练安排.(3)这4个因子对拉丁舞选手膝关节损伤的影响大小排序为:技术动作、训练安排、身体素质、准备活动.【期刊名称】《四川体育科学》【年(卷),期】2016(035)006【总页数】5页(P51-55)【关键词】结构方程模型;拉丁舞;膝关节损伤【作者】高思垚【作者单位】武汉体育学院研究生院,湖北武汉,430000【正文语种】中文【中图分类】G804.54拉丁舞项目的技术特点、场地特点和舞鞋的特点使拉丁舞选手的下肢尤其是膝关节承受的压力较大，受伤的几率较高。
另外，由于长期不正确的技术动作等原因导致膝关节肌肉力量发展不平衡，由此产生慢性的膝关节损伤。
膝关节损伤使拉丁舞选手对技术动作的学习和掌握受到了严重的影响，而且给选手正常的训练、比赛甚至是日常生活带来了极大的不便。
很多优秀选手都由于膝关节的损伤而无法完全挖掘出自身的潜力，无论是对选手本身而言，还是对中国拉丁舞项目的发展来说都是很大的损失。
如何很好的解决拉丁舞选手的膝关节损伤问题，将对拉丁舞选手在各种大赛上取得优异运动成绩产生重要的影响。
目前，国内的研究人员对运动损伤方向的问题进行了多角度的分析，这些研究大都存在一个问题，即只是从一个或几个方面来研究运动损伤的致伤因素，但并没有将所有可能的影响因素放在一个框架内去进行整体的研究，也没有说明哪些影响因素是显著地影响因素，哪些是次要的影响因素，致伤因素只能通过经验去证实，无法通过数据去验证。
开发和验证膝关节的计算模型，用于评估骨关节炎的治疗
开发和验证膝关节的计算模型，⽤于评估⾻关节炎的治疗作者：R. Mootanah,a,b,* C.W. Imhauser,c F. Reisse,a D. Carpanen,a R.W. Walker,a M.F.Koff,d M.W. Lenhoff,bS.R. Rozbruch,e A.T. Fragomen,e Z. Dewan,b Y.M. Kirane,e Pamela A.Cheah,a,f J.K. Dowell,a,f,g andH.J. Hillstroma,b⾻关节炎（OA）是⼀种退⾏性疾病，常常导致严重的疼痛，关节功能丧失，并且是⽼年⼈⾝体残疾的主要原因（Cooper等，2013）。
世界卫⽣组织报告说，OA占全球2002年总死亡⼈数的1％，预计到2015年是⾼收⼊国家残疾（2.5％）的第⼗⼤主要原因（Mathers和Loncar2006）。
在美国和欧洲，⼤约14％的男性和23％的45岁以上⼥性表现出膝关节OA的放射学征象（Valkenburg 1980）。
英国经济对OA的年度总成本估计为120亿英镑（占年度国民⽣产总值的1％）和美国的1855亿美元（Mathers and Loncar 2006）。
关节错位（Joint malalignment）是OA发展和进展的有⼒预测指标（Petersson and Jacobsson2002）。
没有⼀个明确的治愈⽅法，⽬前的治疗⽅法不能阻⽌或逆转OA的疾病进展。
低⾄5°内翻排列不齐，增加了总膝关节负荷内侧室的压⼒，从70％到的90％（Tetsworth和Paley1994）。
轻微的不对齐可能会引发恶性循环，增加的隔室压⼒会产⽣更多的松弛和关节畸形，从⽽增加不对称的过程（Coventry 1965,2001）。
Sharma等⼈的⼀项前瞻性研究（2001）提出，如果以姑息⽅式治疗，膝关节OA可在短短18个⽉内发展（Sharma等，2001）。
膝关节三维有限元模型的建立及分析
膝关节三维有限元模型的建立及分析张秋月;张春秋;葛洪玉;孟迪【摘要】通过CT扫描数据和三维重建软件,建立考虑半月板,软骨和韧带的包括完整股骨、胫骨、腓骨的全膝关节三维有限元模型,进行单双腿站立两种工况的数值模拟.计算结果表明:单腿支撑时膝关节的应力大于双足站立时的应力.软骨和半月板,均是内侧受力较大易磨损;半月板内缘所受接触应力相对较大,导致内缘容易磨损.半月板在传递载荷中起十分重要的作用,膝关节中半月板磨损或缺失会导致关节内部载荷传导发生变化,导致应力分布不均,造成关节疾病的进一步恶化.文中结果表明:考虑半月板,软骨和韧带的全膝关节模型能够正确反应膝关节在生理载荷作用下的力学行为,半月板在膝关节承载中起重要作用,保护半月板免受伤害,对于保护膝关节具有重要意义,文中工作对膝关节保护、康复以及假体设计和优化有指导意义.【期刊名称】《天津理工大学学报》【年(卷),期】2015(031)003【总页数】5页(P27-30,34)【关键词】全膝关节模型;半月板;数值模拟【作者】张秋月;张春秋;葛洪玉;孟迪【作者单位】天津理工大学机械工程学院天津市先进机电系统设计与智能控制重点实验室,天津300384;天津理工大学机械工程学院天津市先进机电系统设计与智能控制重点实验室,天津300384;天津理工大学机械工程学院天津市先进机电系统设计与智能控制重点实验室,天津300384;天津理工大学机械工程学院天津市先进机电系统设计与智能控制重点实验室,天津300384【正文语种】中文【中图分类】Q811.6膝关节由胫骨、髌骨、股骨等骨组织和半月板、韧带、软骨等软组织组成，具有传递载荷，参与运动，辅助动量守恒和为腿部活动提供力偶的功能.膝关节结构复杂，运动功能全面，也是伤病多发部位，常见于工业生产、交通事故和运动损伤.骨关节炎（OA）是一种慢性退行性关节病，其发病率随着年龄的增长而不断提高.50岁以上的人群中，50%患有骨关节病，65岁以上的人群中，90%女性和80%男性患有此病[1].因此，研究全膝关节的生物力学行为，获得膝关节骨组织和软骨组织在生理载荷作用下的应力分布对于认识膝关节损伤机理和保护膝关节具有重要意义.目前在膝关节研究中采用的主要方法有实验方法和数值模拟方法.国内外经常采用的实验方法有染色法和压敏片法，存在的主要问题是费用高、离体与在体情况差异较大、条件难以控制，同时受伦理限制，还不能通过在体实验获得骨组织和软骨组织的应力分布，而且尸体全膝关节的来源稀少也限制了离体实验．在数值模拟方面，采用平面模型及静态模型对膝关节进行模拟分析，平面模型还不能正确反映膝关节的力学性能．在膝关节研究中采用的三维模型多数只考虑了部分股骨、部分胫骨或者部分腓骨，数值模拟的边界条件与实际还有较大差别，多数膝关节模型没有考虑半月板和关节韧带．2007年，张宇、郝智秀等[2]通过MRI影像数据建立膝关节的三维有限元模型，该模型包括胫骨平台、股骨端、关节软骨和半月板，模型中并未考虑韧带．姜华亮等[3]利用MRI图像和逆向工程技术建立了包含膝关节全部骨骼、软骨、半月板和主要韧带在内的膝关节三维解剖有限元模型，但是研究还不深入．本文运用三维重建软件Mimics和逆向工程软件Geomagic Studio建立了包括股骨、胫骨、髌骨等骨质组织以及股骨软骨、胫骨软骨、半月板和关节韧带在内的全膝关节三维有限元模型，考虑了股骨软骨，半月板和胫骨软骨之间的接触非线性．应用有限元软件ABAQUS对膝关节双腿站立和单腿站立的两种工况进行了数值模拟，计算结果显示，半月板在膝关节承载过程中作用较大，应力数值也较高，半月板损伤会改变膝关节的承载方式，加重膝关节软骨的负担，半月板损伤可能是导致膝关节的损伤的主要原因．1.1 全膝关节模型的创建选取正常男性志愿者1名，无膝部外伤史，X线检查排除损伤、退变等病理变化．对志愿者膝关节进行螺旋CT扫描，扫描层厚0.8 mm，扫描层数为1449层，得到连续横断面以及矢状面图像．扫描数据DICOM格式保存输出．实验前告知志愿者相关内容，并征求其同意．将得到的医学CT扫描数据源图导入Mimics中，得到横断面图，冠状面图和矢状面图．设置灰度值，进行阈值分析，利用软件阈值选择拟重建部分，软件以不同颜色的MASK显示不同的拟重建结构，然后通过编辑、区域增长功能对不同拟重建结构进行编辑和修饰，再通过三维计算功能将蒙皮重建从而获得包括完整股骨、完整胫骨和完整腓骨的膝关节三维模型，将所建模型以STL格式保存导出．将Mimics中处理得到的STL格式文件导入逆向工程软件Gcomagic Studio中，对三角面片数据进行去噪、光滑、去除伪影等处理．通过建立轮廓线，生成大而平整、且规则的曲面片（Patch）最后通过拟合曲面工具将模型拟合生成曲面，以IGES格式导出保存．通过三维软件Proe/Engineer将三维模型的格式转化为．X-T格式，得到全膝关节三维实体模型，最后将三维实体模型导入到有限元分析软件ABAQUS中，设置单元类型和材料属性，划分网格，最终得到膝关节三维有限元模型．软骨和半月板在膝关节中起到了缓冲载荷和冲击的作用．三维重建出的软骨和骨质结构间不能保证良好的粘接，作者在ABAQUS软件中对导入的膝关节模型进行了修复保证了骨质结构和软骨间的良好粘接．考虑到韧带具有保证膝关节稳定的作用，作者在全膝关节模型中也考虑了膝关节的韧带，包括前/后交叉韧带、髌韧带、内侧副韧带和外侧副韧带．膝关节的材料种类较多，材料模型复杂，特别是软骨，理论上分为三层，包括软骨基质和纤维，而且不同层间的软骨纤维排列方式各不相同．如果在全膝关节模型中考虑软骨不同层区的力学性质将使数值计算难以进行．Donzelli等[4]认为无论是弹性材料还是粘弹性材料在软骨承受载荷后短期内没有显著的变化．大量的研究报告也己证实，当进行小变形分析时，可将其简化为连续、均匀和各向同性的线弹性材料．因此，在模型中将骨质结构、软骨、半月板以及韧带视为线弹性材料，膝关节模型各组成部分的单元类型和材料属性如表1所示[5-6]．计算模型中包括骨质结构17 864个单元、软骨88 691个单元、半月板4 485个单元及韧带的34 033个单元．得到包含股骨、胫骨、腓骨、髌骨、软骨、半月板以及关节韧带的全膝关节有限元模型.1.2 有限元模型与边界条件全膝关节模型见图1，模型中股骨与股骨软骨、胫骨与胫骨软骨定义为绑定接触．股骨软骨分别与胫骨软骨和半月板相接触，并且将半月板前脚和后脚固定于胫骨平台．根据膝关节解剖结构，将韧带与相应的韧带附着点进行绑定约束，韧带包括前（后）交叉韧带、髌韧带、内侧副韧带、外侧副韧带．脚踝处采取固定约束，其他位置均不采取任何约束限制，完全依靠韧带约束膝关节的运动，在股骨头处施加集中力载荷，载荷方向沿力线方向．人体单腿站立时，股骨顶端受到的上半身对其的压力为体重的62%[7]．文中考虑单腿站立和双腿站立两种载荷工况．单腿站立时，集中力大小为403 N，双腿站立时，集中力大小为202 N．2.1 单脚支撑接触应力云图图2为单腿站立股骨软骨接触应力分布图，从图2中可以看出股骨软骨所受的最大接触应力值约为0.952 MPa，位于股骨软骨内侧．图3为单腿站立胫骨软骨接触应力分布图，从图3中可以看出胫骨软骨所受最大接触应力为1.318 MPa，位于胫骨软骨内侧边缘处．单腿站立时半月板的接触应力分布如图4所示，半月板所受最大接触应力值约为2.102 MPa，位于内侧半月板的内缘处．半月板内缘较薄，外缘较厚，受到载荷时，内缘受力大于外缘受力，这使得半月板的内缘较容易被磨损．2.2 单双腿站立接触应力比较从表2中可以看出，由单腿站立到双腿站立，随着载荷的增大，股骨软骨、胫骨软骨以及半月板的接触应力都随之增大．无论是双腿站立还是单腿站立情况，半月板所受的接触应力都是最大的，股骨软骨所受的接触应力最小，胫骨软骨所受的接触应力位于二者之间．2.3 半月板对膝关节承载能力的影响从图5中可以看出，在无半月板时股骨软骨受到的最大接触应力为1.99 MPa，胫骨软骨受到的最大接触应力为2.29 MPa．股骨软骨和胫骨软骨受到的接触应力大于包含半月板时受到的应力，接触应力分布相对较集中，其余部位并没有产生应力，在应力较集中的位置软骨容易磨损．由此可知，半月板在膝关节受力传导中扮演了重要角色．在正常关节中，载荷由半月板和软骨共同传导；在半月板磨损或缺失的情况下，载荷主要由关节软骨进行传导，这就增大了关节软骨的磨损风险．膝关节中半月板磨损或缺失会导致关节内部载荷传导发生变化，导致应力分布不均，造成关节疾病的进一步恶化．膝关节股骨软骨、胫骨软骨以及半月板，均是内测受力较大易磨损；半月板内缘处所受接触应力相对较大，导致内缘容易磨损，这与临床统计一致．接触应力中，数值从大到小的顺序依次为，半月板，胫骨软骨和股骨软骨．膝关节单腿支撑时的受力要大于双足站立时受力．膝关节中半月板磨损或缺失会导致关节内部载荷传导发生变化，导致应力分布不均，造成关节疾病的进一步恶化．Seedhor等[8]通过尸体实验发现在负重情况下半月板切除的胫股关节上的应力是半月板完整时的3倍．尚平、许永涛等[9]通过关节镜，对85例半月板损伤患者进行分析发现，半月板损伤能导致软骨损伤．本文中膝关节数据资料通过CT扫描技术获得，截面形态结构完整、立体形态准确，并且保证了膝关节各组成部分的相对位置．建立了全膝关节模型对模型中的骨质结构和软组织选择适合的本构模型定义相应的材料参数．将模型中的韧带定义为体单元而非以往模型中所用的弹簧单元，使模型更加符合实际情况．与以往模型进行对比分析证明了模型的有效性．利用所建立的膝关节三维模型，从股骨头按力线加载，分析研究接触面的应力分布情况．与以往将股骨与胫骨截断并将它们定义为刚体进行加载分析相比，本文建立完整股骨和胫骨并在股骨顶端进行加载更加符合人体力线分布，并且将骨质结构视为弹性体更加符合真实情况．模型中边界约束条件根据模型状况以及相关的文献[10]资料制定，具有较好的边界约束相似性．本文通过数值模拟方法对膝关节力学行为进行研究，对提高人们保护膝关节的意识、减少关节损伤以及生物器械、假体的设计优化都有重要的意义．【相关文献】［1］那键，刘艺，马克勇，等.老年骨性关节炎的分子生物学机制及治疗展望［J］.中国老年学杂志，2010，30（20）：3035-3036.［2］张宇，郝智秀，金德闻，等.基于核磁共振图像的人体膝关节三维模型的建立［J］.中国康复医学杂志，2007，22（4）：339-342.［3］姜华亮，华锦明，许新忠，等.正常人膝关节三维有限元模型的建立［J］.苏州大学学报，2008，28（3）：421-422.［4］Donzelli P S，Spilker R L，Ateshian G A，et al.Contact analysis of biphasic transversely isotropic cartilage layers and correlation with tissue failure［J］.Journal of Biomechanics，1999，32：1037-1047.［5］Li G，Lopez O，Rubash H.Variability of a three-dimensional finite element model constructed using magnetic resonance images of a knee for joint contact stress analysis ［J］. Journal of Biomechanical Engineering，2001，123（4）：341-346.［6］LeRoux，Michelle A，Setton，et al.Experimental and biphasic FEM determinationsof the material properties and hydraulic permeability of the meniscus in tension［J］.Journal of Biomechanical Engineering，2002，124（3）：315-321.［7］范洪辉，李冬松，周振平，等.不同骨质密度下生物型及骨水泥型股骨假体置入后的三维有限元分析［J］.中国骨与关节损伤杂志，2007，22（6）：465-467.［8］戴克戎.骨骼系统的生物力学基础［M］.上海：学林出版社，1985.［9］尚平，许永涛，李全明，等.85例半月板损伤与关节软骨损伤相关性研究［J］.生物骨科材料与临床研究，2004，1（2）：14-15.［10］Pena E，Calvo B，Martinez M A，et al.A three-dimensional finite element analysis of the combined behavior of ligaments and menisci in the healthy human knee joint ［J］.Journal of Biomechanics，2006，39（9）：1686-1701.。
2015年全国数学建模竞赛A题全国一等奖论文14
的 9 月 23 日，冬至日为每年的 12 月 22 日。
三、符号说明
符号 R
含义 地球半径，6371km
2
测量地点的纬度
（南纬为负，北纬为正）
测量地点的经度
（西经为负，东经为正）
太阳赤纬角
到各个点的空间坐标：A R cos,0, Rsin ，BR cos cos, R cos sin, Rsin ， C R cos, Rsin,0 ， D R,0,0 。
Z
N
E
阳光
B βO
A α
Y
C
θ
D
X S
图 1 太阳光直射地球正面图（1）
通过对包含点 A,B 的最大圆进行几何学分析，我们得到长度为 AE 的物体在 太阳光的照射下，投影长度为 AF，则：
子与 Y 轴夹角 arctan(xi / yi )，进一步求出 20 组相邻时刻的影子之间的夹角 i arctan(xi / yi ) arctan(xi1 / yi1) 作为实际值。接着再引入影子与正北方向的 夹角 作为参数。我们运用几何学知识可以求出 与各参数, , 之间的函数关 系。并且与上一模型类似，我们对直杆所在地点的经度 ，纬度 ，测量时间 t 进行穷举法遍历，通过建立的模型对于每一组 ( , ) 求解出 20 组 i i i1 作
1
一、问题重述
确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位 技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一 种方法。
1、建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律， 并用建立的模型画出 2015 年 10 月 22 日北京时间 9:00-15:00 之间天安门广场（北 纬 39 度 54 分 26 秒,东经 116 度 23 分 29 秒）3 米高的直杆的太阳影子长度的变 化曲线。
膝关节有限元解剖模型的构建及其力学分析_董跃福_牟志芳_蒋胜波_刘建_刘旭东
不同屈曲状态下膝关节韧带生物力学的有限元分析
Key words knee joint，ligaments，flexion，varus and valgus，loading，finite element model，pivot shift， biomechanics
膝关节是人体最重要也是最容易损伤的关节之 一， 在膝关节的各种损伤中， 韧带损伤占了很大的比 重。 因此，探讨膝关节韧带的损伤机制显得尤为重要， 可以为韧带损伤的诊断、 预防和治疗提供详实的理论 依据。 目前，关于膝关节韧带生物力学的研究较多 ， [1-4] 但关于不同屈膝状态下特别是合并复杂载荷条件下韧 带的生物力学特性和损伤机制的研究较少。 通过建立 膝关节三维有限元模型， 可以有效地分析膝关节韧带 在不同运动和受力状态下的生物力学特性。 本研究在 建立膝关节有限元模型的基础上， 模拟不同屈膝状态 下韧带的受力情况， 探寻与韧带损伤相关的生物力学 信息， 为今后膝关节有限元和韧带损伤机制的深入研 究提供实验基础。
数学建模 人体膝关节受力分析 西南财经大学校赛2015.
2015年西南财经大学数学建模校赛人体膝关节运动学问题参赛队员信息2015/5/4人体膝关节运动学问题摘要：对于问题一，分析对峰力矩的影响因素及其影响大小。
首先处理了数据中的异常和缺失数据，用excel 做出了各变量相对于峰力矩的散点图，发现速度对其影响不受其他变量干扰，求出其它变量在不同角速度下与峰力矩的相关系数。
结果是年龄，左右脚与峰力矩相关系数极小；身高，峰力矩角度与峰力矩相关性不大；峰力矩角度与峰力矩是测试系统同时生成的观测指标，不能作为自变量。
性别x1，体重x4，屈伸膝x6，角速度w 与峰力矩y 的相关系数分别为0.571075,0.5195775，0.48212，-0.49915。
对相关性较强的变量建立多元回归分析模型，用matlab 软件解得方程为对于问题二，分析人胫股关节接触力与屈膝角度、身体各部位倾斜度的关系。
我们将身体简化为以胯和膝两处为转折点，躯干、大腿、小腿为三段均匀杆的模型，杆的宽度是膝盖的宽度。
假设人体质量均匀分布与长度正相关。
（1）人的重心落在脚的地面的接触点上，过重心垂线两侧质量相等（两侧杆长度之和相等）。
（2）胫股关节接触力力矩等于重力力矩。
（3）查找资料确定人体各关节活动角度范围，完成模型建立。
用LINGO 软件求解得胫股关节最大接触力是体重的7.1倍。
此时人体姿势为大腿与地面水平，与小腿夹角为45º，小腿与地面夹角为45º，腰部与水平面夹角为80.12º。
对于问题中的说法验证结果为人体屈膝30º，膝关节承受压力是体重的1.54641倍；屈膝60º，膝关节压力为体重的4.0926倍；屈膝90º，所承受的压力是体重的6.44204倍。
在一定误差范围下说法是正确的。
对于问题三，分析人体在上下台阶时胫股关节接触力与腿部动作速度的关系。
（1）沿用问题二中均匀杆模型，建立力矩平衡方程。
（2）假设始终单腿承重，重心落在承重腿与地面接触点上。
举重运动员膝关节损伤调查分析
举重运动员膝关节损伤调查分析摘要：随着时代化的进步，科技的发展，各国举重运动成绩飞速提高，水平越来越接近，竞争出现白热化，运动伤病也成了各国运动员和教练员难以回避的问题。
在举重运动员众多伤病中，膝关节损伤是一个不容忽视的问题。
主要损伤的原因有技术动作不正确，负荷强度大，准备活动不充分，身体疲劳等。
本文通过文献资料法、调查法、统计法、访谈法，对陈经纶体校举重运动员膝关节损伤状况进行调查，调查出举重运动员损伤特点、膝关节损伤的原因、损伤的部位及类型和治疗方法情况。
关键词：举重运动员；膝关节；运动损伤中图分类号：G688.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-6715 （2018）09-001-011前言举重是一项简单的运动项目：把杠铃从地面提起然后举过头顶，只需一两个动作。
实际上，举重是力量、速度、技巧、专注力和把握时机能力的结合。
在练习举重时，人体总要负担重量，并且随着重量的不断增加，甚至经常达到最大负荷。
由于经常进行最大负荷，因此，在用力方式上就表现出最短时间内最大用力的特征。
膝关节是举重运动员重要的活动部位之一,提铃、发力、支撑、负重起立等都需要膝关节积极参与用力。
练习中技术动作显示速度快，时间短，用力协调，在整个过程中膝关节承受巨大重量，举重虽然没有对抗性项目的竞争激烈，易受伤，但举重项目在与器械结合练习时，稍有不合理运动负荷安排就会造成自身损伤，特别是膝关节急性损伤。
由于膝关节具有关节面浅而阔，上下杠杆长的解剖特点,因此膝关节损伤是举重运动中的常见病和多发病。
本次通过对陈经纶体校举重运动员膝关节损伤进行调查分析，了解运动员损伤原因，损伤类型等，并针对膝关节损伤提出有效预防措施，以最大限度地减少运动员膝关节损伤的发生，加强举重运动员对膝关节损伤发生的避免意识，延长其运动寿命，为运动员今后的训练和比赛提供参考。
2 研究对象与方法2.1 研究对象陈经纶体校举重运动员2.2 研究方法2.2.1文献资料法通过在书刊、报纸、网络搜索等，收集了大量举重运动损伤原因和预防损伤等方面的专著，从而为本文提供了对比的依据和参考。
行人膝关节韧带的建模及验证研究
行人膝关节韧带的建模及验证研究张冠军;曹立波;官凤娇;张勇;Yang King H.【摘要】基于人体模型THUMS中的膝韧带模型,改进了材料参数和单元属性.采用近年较新的生物力学实验数据,逐个验证韧带模型在不同应变率下的生物逼真度.结果表明,膝韧带ACL、PCL、MCL和LCL在不同应变率下的拉力与位移关系曲线与试验结果吻合较好,说明模型具有较好的生物逼真度,能较准确地模拟韧带的损伤和拉伸响应.%Based on the knee ligament model in total human model for safety ( THUMS) , with material parameters and element properties modified, and using the newer experimental data of biomechanics in recent years, the biofidelities of ligament models under different strain rates are validated one by one. The results indicate that the relation curves of tension force vs. Displacement of ACL, PCL, MCL and LCL knee ligaments in different strain dates agree well with experiment data, meaning that the models have good biofidelity and can accurately simulate the injury and tension response of ligaments.【期刊名称】《汽车工程》【年(卷),期】2012(034)001【总页数】6页(P57-61,75)【关键词】汽车与行人碰撞;膝关节;韧带;有限元模型;验证【作者】张冠军;曹立波;官凤娇;张勇;Yang King H.【作者单位】湖南大学,汽车车身先进设计制造国家重点实验室,长沙410082;湖南大学,汽车车身先进设计制造国家重点实验室,长沙410082;湖南大学,汽车车身先进设计制造国家重点实验室,长沙410082;华侨大学机电及自动化学院,厦门361021;Bioengineering Center, Wayne State University, Detroit, US 48201【正文语种】中文前言行人是道路交通参与者中的弱者，在交通事故中遭受的伤害比较严重。
基于ADAMS人体下肢建模关节力的计算——兼与测力台比较
基于ADAMS人体下肢建模关节力的计算——兼与测力台比较张彦龙;陈民盛【摘要】目的:人体多刚体系统动力学的核心问题是人体运动的建模和求解,目前在利用动力学方法建立方程时,经常出现理论分析的结论与实验测试结果相差甚远的问题.通过对仿真计算结果与试验中测得的GRF(地面支撑力)与Ariel软件解析计算出膝关节胫骨平台力的结果进行比较验证,以期探讨人体多环节肌肉力和关节力的简便获取方法及应用优势.方法:高速摄像和三维解析方法,对1个步态周期完整动作与三维测力台同步采集,获得运动学参数和GRF,利用ADAMS三维软件建模对人体下肢运动进行运动仿真,依据运动学测试参数计算出下肢关节的动力学数据,并将仿真结果与试验中测得的GRF、膝关节胫骨平台力进行比较验证.结果:ADAMS计算的仿真力与三维测力台测得的力相关性(P＜0.01)达到非常显著的水平,ADAMS仿真计算的3个方向力值95％置信区间与三维测力台力值置信区间几乎一致;Ariel 三维解析计算右膝关节力曲线没有表现出膝关节胫骨平台力曲线的特点,曲线不光滑.结论:基于ADAMS进行运动仿真可有效解决求解复杂的多刚体系统动力学参数的精度问题;ADAMS仿真模拟日常行为活动,基于人机功效学的产品优化设计,全膝关节置换仿真研究,各种碰撞研究具有极大优势.【期刊名称】《天津体育学院学报》【年(卷),期】2015(030)002【总页数】6页(P169-174)【关键词】ADAMS;三维建模;运动仿真;关节力计算【作者】张彦龙;陈民盛【作者单位】牡丹江师范学院体育科学学院,黑龙江牡丹江157011;深圳大学师范学院体育系,广东深圳518060【正文语种】中文【中图分类】G804.6人体动力学机制研究作为揭示人体运动形式变化原因的有效方法之一，被实验科学界广为使用。
自20世纪60年代以来，已经发展建立了如牛顿-欧拉法（Newton-Euler）、拉格朗日法（Lagrange）、凯恩法（Kane）和罗伯逊-维登伯格法（Roberson-Witten burg）等多种刚体系统数学模型，并引入人体研究领域。
田径运动中膝关节损伤的主要原因分析及防治——以长江师范学院体育系为例--
【标题】田径运动中膝关节损伤的主要原因分析及防治——以长江师范学院体育系为例【作者】彭滔【关键词】田径运动膝关节损伤原因与防治【指导老师】李福良【专业】体育教育【正文】前言田径运动是一种全身运动项目，无论是进行田径比赛还是作为一般性的健身活动，都要在场地上不停地进行脚步移动、跳跃、转体，从而增大了上肢、下肢和腰部肌肉的力量，加快了全身血液循环，增强了心血管系统和呼吸系统的功能，有效的预防一些疾病发生。
但是，如果在田径运动中不重视运动损伤的预防工作，不积极采取相应的预防措施，就可能发生运动损伤，特别是膝关节的损伤,犹容易发生，严重影响了他们的健康，学习和工作。
目前，田径运动发展迅速，有相当广泛的群众基础，不管是较专业的，还是业余的，对这项运动酷爱的人很多。
但是相当大部分田径爱好者是凭自我感觉和习惯进行训练；或是由于田径运动场地的不理想；或是缺乏好的老师指导，造成了很多不必要的运动伤病，特别是膝关节的损伤，严重的影响了爱好者们的运动质量还有平时的生活。
对田径运动膝关节损伤原因不了解，对预防田径运动膝关节损伤没有引起足够的重视。
所以本人特针对这一问题进行研究，一方面，让田径爱好者更深的了解田径运动，享受田径带来的锻炼成果；另一方面，对更好地开展全民健身运动，促进大众身心健康，培养终身体育的思想并有效地预防膝关节损伤有着重要的意义。
1 研究对象和方法1.1 研究对象长江师范学院体育系2006级学生，共计150人，发放问卷150份，回收150份，回收率100%。
1.2 研究方法1.2.1专家访谈法对长期从事体育教学的老师和长期从事田径训练的学生询问运动损伤相关问题，作好记录以便进行参考。
1.2.2文献资料法搜集查阅了近十年有关运动损伤及其它相关资料，论文15余篇和一些相关书籍进行进行收集、整理、分析、探讨。
1.2.3问卷调查法采用问卷调查法，设计凋查问卷，在征求指导教师及体育系其他专家意见修改之后，发放问卷150份给长江师范体育系的学生。
基于ADAMS的人体膝关节运动力学研究
体生物力学分析软件。它首先在保持人体基本参数和运动特性 不变的前提下， 对人体模型进行了简化 。 这样做的目的就在于 又去掉了大 既可以最大程度地使虚拟样机模型与人体相一致 ， 部分对仿真结果影响不大的微小结构 ， 从而能够明显地提高仿 真效率。同时， 它所建立的人体模型具有极高的真实度 ， 模型中 还定义了包括肌肉、 肌腱等在内的 不仅包含了人体的骨骼模型 ， 软组织模型。 本文主要研究膝关节的运动学和动力学特性 ， 即人体下肢 因此在满足要求的前提下 ， 出于简化仿真模型的考 的运动特性， 将只建立人体的下肢模型 。 虑， 3］所做的关于中国人身高和体重参考值的调 根据文献［ 查， 本文选取中国人身高和体重的参考值作为人体模型的基本 参数， 即身高为 170 厘米， 体重为 75 千克。 据此， 应用 LifeMOD 创建出人体模型如图 2 所示。
1
膝关节结构分析
人体可以看作是一个复杂的机械系统 ，人体的骨骼就相当 “杠杆 ” 于机械系统中的杠杆， 而把这些 连接起来的就是我们通 常所说的关节。人体的骨骼是由 206 块大小不等、 形状各异的 骨头所组成的， 它们是人体的重要组成部分 。 根据人体运动的 基本形式， 可以把人体简化为以下基本部分 ： 即颅骨、 椎骨、 肩胛 ［1 ］ 肱骨、 桡骨、 尺骨、 髋骨、 股骨、 腓骨、 胫骨等 。 膝关节是由 骨、 股骨下端、 胫骨上端和膑骨等所组成的 ， 它是连接人体大腿和小
3
膝关节的动力学仿真分析
3． 1
建立膝关节的约束模型
在其他一些学者关于膝关节的动力学研究中 ， 绝大多数对 膝关节施加的是铰链接约束 。铰链接约束能够允许人体的大腿 但是它会严格限制膝关节在 与小腿绕着膝关节发生旋转运动 ， 各个方向上的位移， 这是与实际情况不相符合的 。 在人体的运 动过程中， 膝关节同时伴随有转动和滑动过程 ， 另外膝关节还允 这些都是与铰链接约束 许有少量的内外旋转和内外侧翻运动 ， 相违背的。因此， 本文创新性地对膝关节施以轴套力约束连接 。 轴套力约束的物理学模型如图 3 所示。
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2015年西南财经大学数学建模校赛人体膝关节运动学问题参赛队员信息姓名专业年级学号电话邮箱2015/5/41460.655123.0532 1.293931.59040.1314y x x x ω=-+++-人体膝关节运动学问题摘要：对于问题一，分析对峰力矩的影响因素及其影响大小。
首先处理了数据中的异常和缺失数据，用excel 做出了各变量相对于峰力矩的散点图，发现速度对其影响不受其他变量干扰，求出其它变量在不同角速度下与峰力矩的相关系数。
结果是年龄，左右脚与峰力矩相关系数极小；身高，峰力矩角度与峰力矩相关性不大；峰力矩角度与峰力矩是测试系统同时生成的观测指标，不能作为自变量。
性别x1，体重x4，屈伸膝x6，角速度w 与峰力矩y 的相关系数分别为0.571075,0.5195775，0.48212，-0.49915。
对相关性较强的变量建立多元回归分析模型，用matlab 软件解得方程为对于问题二，分析人胫股关节接触力与屈膝角度、身体各部位倾斜度的关系。
我们将身体简化为以胯和膝两处为转折点，躯干、大腿、小腿为三段均匀杆的模型，杆的宽度是膝盖的宽度。
假设人体质量均匀分布与长度正相关。
（1）人的重心落在脚的地面的接触点上，过重心垂线两侧质量相等（两侧杆长度之和相等）。
（2）胫股关节接触力力矩等于重力力矩。
（3）查找资料确定人体各关节活动角度范围，完成模型建立。
用LINGO 软件求解得胫股关节最大接触力是体重的7.1倍。
此时人体姿势为大腿与地面水平，与小腿夹角为45º，小腿与地面夹角为45º，腰部与水平面夹角为80.12º。
对于问题中的说法验证结果为人体屈膝30º，膝关节承受压力是体重的1.54641倍；屈膝60º，膝关节压力为体重的4.0926倍；屈膝90º，所承受的压力是体重的6.44204倍。
在一定误差范围下说法是正确的。
对于问题三，分析人体在上下台阶时胫股关节接触力与腿部动作速度的关系。
（1）沿用问题二中均匀杆模型，建立力矩平衡方程。
（2）假设始终单腿承重，重心落在承重腿与地面接触点上。
取上（下）一级台阶时间为一周期，完成承重腿由弯曲到直立（直立到弯曲）的动作。
根据非承重腿刚离开（接触）地面时与地面和垂线构成直角三角形建立方程。
（3）首先研究小腿与垂线角度，列出其与时间的关系式,再找到力与该角度关系,用LINGO 解出力最大时的角度,确定当时测试者的姿势。
LINGO 的结果显示上下楼梯胫股关节接触力最大时姿势相同，在小腿与竖直面的夹角为41.38º膝盖受力最大，力为5505.44N ，是体重的7.86倍，平均受力为2752.72N 。
对于问题四，定性分析了在举重过程中胫股关节接触力与其产生的对上半身支撑力的关系。
建模后并进行两次修正。
模型一中沿用问题三中均匀杆模型，根据大小腿在水平方向上分量相同建立联系，又根据虚功原理（膝盖水平方向做功等于支撑力竖直方向做功）列出支撑力'G 与胫股关节接触力N关系式：1tan 'sin N G b αα=，从中看出大腿与地面垂直时即使N 很小'G 也趋于无限大。
模型二修正了模型一中N 为恒力的假设，得出121()sin 'sin 1b N N c G b αα+=，可见'G 有一极限值，同时'G 不仅与大小腿拉力有关还与大腿弯曲角度成正弦而非正切关系。
模型三保持踝关节位置不变，修正了模型二中关于膝盖位移沿水平方向的假设，修正后结果11122212sin '(cos cos )sin sin()G N N αααααα=++。
关键词： 回归模型 人体均匀杆模型 优化问题 胫股关节 受力分析1.问题重述1、膝关节力量的测试分析采用CON-TREX 等速测力系统采集实验数据：选择膝屈/伸两个实验项目，进行四种方案测试：静止130°用力、运动60º/s、180º/s、300º/s，分别进行5次。
测试者上身进行固定，要求双手握住两侧扶手，测试时必须用尽全力。
测试数据见文件：data1：数据项包括：测试者编号、性别（1男2女）、年龄、身高、体重、左/右腿（1左2右）、屈/伸（1伸2屈）、静止130º峰力矩、60º/s峰力矩、60º/s峰力矩角度、180º/s峰力矩、180º/s峰力矩角度、300º/s峰力矩、300º/s峰力矩角度。
试分析测试数据有那些特征，即：峰力矩的值与那些因素有关，以及关系的强弱。
2、膝关节承重分析体重负荷下，胫股关节接触力随屈膝角度增大而增加。
有资料显示，人体屈膝30º，膝关节承受压力和体重相等，屈膝60º，膝关节压力为体重的4倍，屈膝90º，所承受的压力是体重的6倍。
试建立数学模型，分析在体重负荷、静止、双脚支撑状况下，胫股关节接触力与屈膝角度、身体各部位倾斜度的关系，确定最大胫股关节接触力及对应的屈膝角度、小腿等的倾斜度。
并说明上段说法是否正确（可在一定误差下）。
3、台阶运动对膝关节的影响爬楼梯属于负重运动，上下台阶时下肢各关节的运动幅度、关节负荷以及肌肉活动等均与在平地上静止、行走有差异，膝关节起主要承重和缓冲作用。
有资料显示，正常人在爬楼梯时膝关节承受的压力会在瞬间增加3倍。
即，一位体重为70公斤的人在爬楼梯时其两侧膝关节所承受的压力则高达280公斤。
同时，爬楼梯速度越快，膝关节承受的压力就越大。
考察台阶：长90 cm、宽28 cm、高18 cm，测试者：170cm、70kg，速度：96 步/分。
试建立数学模型，分析上下台阶时，胫股关节接触力与上下楼梯时腿部动作、速度等的关系。
分析上下楼梯是否有差异、上下楼梯最大膝关节压力各是多少、平均膝关节压力各是多少。
并说明上段说法是否正确。
4、运动对膝关节的影响若时间容许的话，请选取步行（例如快步走）、武术（例如太极拳）、球类（例如篮球）、田径（例如跳远）等一个或多个运动项目，对运动对膝关节的影响进行进一步讨论。
2.问题分析2.1问题1分析对峰力矩的影响因素及其影响大小。
这可以看成是多元回归模型。
我们先用插值法处理了数据中的异常数据，求出每个变量相对于峰力矩的相关性。
发现年龄，身高，左右腿，峰力矩角度与峰力矩相关性不强，将其从回归中剔除。
同时用Excel散点图发现在不同的角速度下峰力矩的变化趋势几乎一致，说明角速度对峰力矩的影响不受其他因素的干扰，故先分析一种速度下其他因素对峰力矩的影响。
最后加入角速度因素并对模型进行优化。
2.2问题2求出膝关节最大受力的情况。
这可以看成是优化模型，并且运用了力学受力原理。
可以将人体简化为三段轻杆（小腿，大腿，躯干）和2个节点(膝关节，腰)的受力模型。
通过受力分析建立方程，用LINGO 求解。
2.3问题3分析膝盖在上楼下楼时所受的压力。
可以看成是优化模型，运用力学受力原理，延用问题2 的假设，以一步为周期，建立有关力学模型，用LINGO 求解。
2.4问题4分析人体在举重时胫骨关节的受力和人体产生的支撑力的关系。
做定性分析，延用问题2的假设，建立有关力学模型，求出表达式。
3 模型假设1) 假设统计的数据真实有效，与现实无偏差；2) 假设实验对象除了给出的变量以外其他情况完全相同；3）人体在力学研究中简化为大腿，躯干，小腿三部分，股，膝为两处折点；4）人体在力学研究中质量均匀分布，重心在经过脚的与地面垂直的线上；5）人体在上下楼运动中完成一个周期后的姿势不变；6）人体重心在上下阶梯换承力腿时瞬间转移到承力腿上。
4 符号说明1234567,,,,,,x x x x x x x ：性别，年龄，身高，体重，左右腿，伸屈膝，峰力矩角度 ω：运动角速度y ：峰力矩值,,a b c ：分别表示躯干，大腿，小腿的长度1a ：躯干在重心线左边的长度 2a ：躯干在重心线右边的长度α：小腿与地面夹角β：大腿与水平面的夹角γ：躯干与水平面夹角F ：膝盖所受到的压力1F ：肌力2F ：重力1l ：肌力的力臂2l ：重力的力臂1N ：大腿对膝关节的拉力2N ：小腿对膝关节的拉力d ：膝关节的受力宽度m ：人体质量g ：重力加速度θ：上楼运动中年小腿与竖直面夹角0θ：上楼初始状态时小腿与竖直面夹角δ：下楼运动中小腿与竖直面夹角t δ：下楼末状态时小腿与竖直面夹角h ：台阶的高度k ：台阶的宽度v ：人体运动速度'G ：支撑力0m g ：举重时的物重dx ：举重时膝关节水平方向上的位移dy ：举重时主动力'G 的虚位移dr ：举重时主动力12,N N 的虚位移N ：经股关节所受的横向力恒力x N ：经股关节所受的横向力变力，12,N N 在X 方向上的合力0s ：人体脚掌长度s ：改进后重心线与后跟接触点距离5模型建立与求解5.1问题一模型的建立和求解5.11数据处理根据分析，文件data1中出现三个异常值，分别为M8缺失（第一位测试者在右膝屈膝情况下第二次测得300º/s 峰力矩），K29缺失（第二位测试者在左膝伸膝情况下第三次测得180º/s 峰力矩），H74数值异常（第四位测试者右膝伸膝情况下的第四次静止130º峰力矩）。
对于缺失数据，用插值法进行修正，取相同情况下测试的其他几组数据的平均值作为修正数据，修正后的结果分别为66.47（M8）,112.70(K29)；对于异常数据（7777.72）直接修正为（77.72）。
为求结果的精确，将每位测试者4种情况（左腿伸膝，左腿屈膝，右腿伸膝，右腿屈膝）下测试的五组数据取其平均值作为最终数据。
5.12模型建立和求解峰力矩受到多个变量的影响，适用于多元回归模型。
首先用Excle 软件绘制不同角速度下的峰力矩折线图（图1）。
图1 不同角速度下的峰力矩折线图分析发现角速度对于峰力矩的影响不受其他变量的干扰，曲线变化趋势基本一致。
故在分析其他变量对峰力矩的影响时可以逐个分析每一个角速度下的影响。
然后用Excel2013版中correl(arrange1,arrange2)函数求出每个变量对应的相关相关系数性别x1 年龄x2 身高x3 体重x4 左右脚x5 伸屈膝x6 角度x7 静止 0.5904 -0.0602 0.4217 0.5012 -0.040 0.530960 0.5437 -0.0678 0.3787 0.5134 0.0101 0.5687 -0.3936 180 0.5525 -0.0725 0.3747 0.5486 0.0921 0.5215 0.2239 300 0.5941 -0.0675 0.4218 0.51492 0.0739 0.30717 0.3438分析发现年龄，身高，左右脚与峰力矩相关性过弱，不将其作为模型的有效变量。