王式安考研概率讲义

概率统计第一讲随机事件和概率考试要求：数学一、三、四要求一致。

了解：样本空间的概念理解：随机事件，概率，条件概率，事件独立性，独立重复试验掌握：事件的关系与运算，概率的基本性质，五大公式（加法、减法、乘法、全概率、贝叶斯），独立性计算，独立重复试验就算会计算：古典概率和几何型概率。

§1随机事件与样本空间一、随机试验：E（1）可重复（2）知道所有可能结果（3）无法预知二、样本空间试验的每一可能结果——样本点ω所有样本点全体——样本空间Ω三、随机事件样本空间的子集——随机事件A B C样本点——基本事件，随机事件由基本事件组成。

如果一次试验结果，某一基本事件ω出现——ω发生，ω出现如果组成事件A的基本事件出现——A发生，A出现Ω——必然事件Φ——不可能事件§2事件间的关系与运算一．事件间关系包含，相等，互斥，对立，完全事件组，独立 二．事件间的运算： 并，交，差运算规律：交换律，结合律，分配律，对偶律 概率定义，集合定义，记号，称法，图 三．事件的文字叙述与符号表示例2 从一批产品中每次一件抽取三次，用(1,2,3)i A i =表示事件：“第i 次抽取到的是正品”试用文字叙述下列事件： （1）122313A A A A A A ； （2）123A A A ；（3）123A A A ； （4）123123123A A A A A A A A A ；再用123,,A A A 表示下列事件：(5)都取到正品； (6)至少有一件次品； (7)只有一件次品； (8)取到次品不多于一件。

§3 概率、条件概率、事件独立性、五大公式一．公理化定义 ,,A P Ω (1)()0P A ≥ (2)()1P Ω= (3)1212()()()()nn P A A A P A P A P A =++++,i j A A i j =∅≠二．性质(1)()0P ∅= （2）1212()()()()nn P A A A P A P A P A =++++,i j A A i j =∅≠(3)()1()P A P A =-(4),()()A B P A P B ⊂≤ (5)0()1P A ≤≤三．条件概率与事件独立性(1)()()0,(),()P AB P A P B A P A >=事件A 发生条件下事件B 发生的条件概率；(2)()()(),P AB P A P B =事件,A B 独立，,A B 独立,A B 独立,A B 独立,A B 独立；()0P A >时,,A B 独立()()P B A P B =；(3)121212(,,,)()()()1kk i i i i i i k P A A A P A P A P A i i i n =≤<<<≤称12,,n A A A 相互独立,(2321nn n n n C C C n +++=--个等式)相互独立⨯两两独立。

四．五大公式(1)加法公式：()()()()P A B P A P B P AB =+-P(A )()()()()()()()B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =++---+12(...)n P A A A =…(2)减法公式：()()()P A B P A P AB -=- (3)乘法公式：()0,()()()P A P AB P A P B A >=121(...)0n P A A A ->时，12121312121(...)()()()(...)n n n P A A A P A P A A P A A A P A A A A -=(4)全概率公式：12,...,n B B B 是完全事件组，且()0i P B >，1,i n =1()()()ni i i P A P B P A B ==∑(5)贝叶斯公式：12,,...,n B B B 是完全事件组，()0,()0,1,,i P A P B i n >>=1()()()()()j j j niii P B P A B P B A P B P A B ==∑ 1,2,...,j n =§4 古典型概率和伯努利概率一．古典型概率()A n A P A n ==所包含的样本点数样本点总数二．几何型概率()()()A A L P A L ΩΩ==ΩΩ的几何度量的几何度量三．独立重复试验独立——各试验间事件独立，重复——同一事件在各试验中概率不变 四．伯努利试验试验只有两个结果A A 和——伯努利试验n 重伯努利试验二项概率公式 (1)k k n kn C P P -- 0,1,...,k n = ()P A p =§5 典型例题分析例1.设,A B 为两事件，且满足条件AB AB =，则()P AB =_______________ .例2.,A B 为任意两事件，则事件()()A B B C --等于事件()AA C -()B ()AB C -()C ()A B C -- ()D ()AB BC -例3．随机事件,A B ，满足1()()2P A P B ==和()1P A B = 则有 ()A A B =Ω()B AB φ=()C()1P A B =()D ()0P A B -=例4．设()()01P A P B <<且()()1P B A P B A += 则必有()A ()()P A B P A B = ()B ()()P A B P A B ≠()C()()()P AB P A P B = ()D ()()()P AB P A P B ≠例5．(06)设A 、B 为随机事件，且()0P B >，()1P A B =，则必有()A ()()P A B P A > ()B ()()P A B P B > ()C()()P A B P A =()D ()()P AB P B =例6．试证对任意两个事件A 与B ，如果()0P A >，则有()(|)1()P B P B A P A ≥-）例7．有两个盒子，第一盒中装有2个红球，1个白球；第二盒中装一半红球，一半白球，现从两盒中各任取一球放在一起，再从中取一球，问： （1） 这个球是红球的概率；（2） 若发现这个球是红球，问第一盒中取出的球是红球的概率。

例8．假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件，其中18件一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零（不放回）试求： （1）先取出的零件是一等品的概率p ；（2）在先取的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍为一等品的条件概率q .例9．袋中装有α个白球和β个黑球，分有放回和无放回两种情况连续随机每次一个地抽取，求下列事件的概率：（1） 从袋中取出的第k 个球是白球(1)k αβ≤≤+（2） 从袋中取出a b +个球中，恰含a 个白球和b 个黑球(,)a b αβ≤≤例10．随机地向半圆{(,)0x y y <<（其中0a >，是常数）内掷一点，则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为____________。

例11．在伯努利试验中，每次试验成功的概率为p ，求在第n 次成功之前恰失败了m 次的概率。

例12．四封信等可能投入三个邮筒，在已知前两封信放入不同邮筒的条件下，求恰有三封信放入同一个邮筒的概率为_____________。

例13．已知,,A B C 三事件中A B 与相互独立，()0P C =，则,,A B C 三事件()A 相互独立 ()B 两两独立，但不一定相互独立 ()C 不一定两两独立 ()D 一定不两两独立例14．10台洗衣机中有3台二等品，现已售出1台，在余下的9台中任取2台发现均为一等品，则原先售出1台为二等品的概率为()A310 ()B 28 ()C 210()D38例15．甲袋中有2个白球3个黑球，乙袋中全是白球，今从甲袋中任取2球，从乙袋中任取1球混合后，从中任取1球为白球的概率()A15()B25()C35()D45例16．10件产品中含有4件次品，今从中任取两件，已知其中有一件是次品，求另一件也是次品的概率。

例17．两盒火柴各N 根，随机抽用，每次一根，求当一盒用完时，另一盒还有R 根的概率。

()R N ≤例18．（05）从数1，2，3，4中任取一个数，记为X ，再从1，2，…，X 中任取一个数记为Y ，则(2)P Y ==_____________。

第二讲随机变量及其概率分布考试要求： 理解： 离散型和连续型随机变量，概率分布，分布函数，概率密度掌握： 分布函数性质：0-1分布，二项分布，超几何分布，泊松分布，均匀分布，正态分布，指数分布及它们的应用会计算： 与随机变量相联系的事件的概率，用泊松分布近似表示二项分布，随机变量简单函数的概率分布。

数学一，了解；数学三、四，掌握：泊松定理结论和应用条件§1 随机变量及其分布函数一．随机变量样本空间Ω上的实值函数()X X ω=，ω∈Ω。

常用,,X Y Z 表示 二．随机变量的分布函数对于任意实数x ，记函数()()F x P X x =≤，x -∞<<+∞ 称()F x 为随机变量X 的分布函数；()F x 的值等于随机变量X 在(],x -∞内取值的概率。

三．分布函数的性质（1）lim ()0x F x →-∞=，记为()0F -∞=；lim ()1x F x →+∞=，记为()1F +∞=。

（2）()F x 是单调非减，即12x x <时，12()()F x F x ≤ （3）()F x 是右连续，即(0)()F x F x +=（4）对任意12x x <，有1221()()()P x X x F x F x <≤=- （5）对任意x ，()()(0)P X x F x F x ==--性质（1）—（3）是()F x 成为分布函数的充要条件。

例 设随机变量X 的分布函数为,0()10,0Axx F x x x ⎧ >⎪=+⎨⎪ ≤⎩，其中A 是常数，求常数A 及(12)P X ≤≤。

§2 离散型随机变量和连续型随机变量一．离散型随机变量随机变量和可能取值是有限多个或可数无穷多个。

二．离散型随机变量的概率分布设离散型随机变量X 的可能取值是12,,...,,...n x x x 称(),1,2,...k k P X x p k ===为X 的概率分布或分布律分布律性质：（1）0.,1,2,...k p k ≥=（2）1kkp=∑ 分布律也可表示为1212k kXx x x Pp p p三．离散型随机变量分布函数()()k k k k x xx xF x P X x p ≤≤===∑∑，()()(0)P X a F a F a ==--例1．123111326XP求()F x四．连续型随机变量及其概率密度设X 的分布函数()F x ，如存在非负可积函数()f x ，有()()xF x f t dt -∞=⎰， x -∞<<+∞称X 为连续型随机变量，()f x 为概率密度。