频域滤波

频域滤波主要内容：一．回顾空间滤波二．傅里叶变换三．傅里叶变换的性质四．频域滤波一．回顾空间滤波“滤波”：接受或拒绝一定的频率分量，来源频域处理。

分空间滤波和频率滤波（即对图像的频谱进行滤波）。

空间滤波：就是滤波器和图像做卷积的结果。

平滑滤波器滤波器：锐化滤波器：二． 傅里叶变换1.由傅里叶级数推倒的连续傅里叶变换 设周期信号为()x t ，其周期是T ，频率1Tσ=，角频率2ωπσ=，则将()x t 展成指数形式的Fourier 级数如下：()in tnn x t X e ω∞=-∞=∑，其中/2/21()T in t n T X x t e dt T ω--=⎰两边同时乘以T ，得到/2/2()T in t n T X T x t e dtω--=⎰对于非周期信号，重复周期T →∞，离散频率n ω就变成连续频率ω了。

在这种极限情况下，2n Xπω趋于有限值，且变成一个连续函数，记为()F ω.()lim ()i t n T X X T x t e dt ωω+∞-→∞-∞==⎰（Fourier变换）1()()2i t x t X e d ωωωπ+∞-∞=⎰（Fourier逆变换）若用频率σ代替角频率2ωπσ=，则有2()()i t X x t e dt πσσ+∞--∞=⎰，σ为频率 2()()i t x t X e d πσσσ+∞-∞=⎰由()F μ表示连续变量t 的连续函数()f t 的傅里叶变换由下式定义：2()()j t F f t e dtπμμ∞--∞=⎰相反，给定()F μ，通过傅里叶逆变换可以获得()f t ，傅里叶逆变换定义如下：2()()j t f t F e d πμμμ∞-∞=⎰上述两式称为傅里叶变换对。

例：看一个简单函数的傅里叶变换：1,11()0,t f t -≤≤⎧=⎨⎩其他 ，将其进行傅里叶变换121sin(2)()1j tF e dt πμπμμπμ--=⋅=⎰2.离散傅里叶变换（DFT ） 离散傅里叶变换的公式：12/0()(),0,1,2,...,1M j x M x F f x e M πμμμ--===-∑原函数()f t 原函数的傅里叶变换()F μ令2/=j MW eπ-，则上式变为1()(),0,1,2,...,1M x x F f x WM μμμ-===-∑故该离散傅里叶变换可以写成矩阵的形式：00001121(1)101(1)2(1)(1)(1)(0)(0)(1)(1)(1)(1)M M M M M F f W W W W F f W W W W F M f M W W W W ⨯⨯-⨯⨯-⨯--⨯-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦同理：离散傅里叶逆变换的公式:12/01()(),0,1,2,...,1M j x Mf x F e x M Mπμμμ-===-∑变为101()(),0,1,2,...,1M xf x F W x M Mμμμ--===-∑其矩阵形式为：000001121(1)101(1)2(1)(1)(1)(0)(0)(1)(1)1(1)(1)M M M M M f F W W W W f F W W W W M f M F M W W W W -⨯-⨯--⨯-⨯--⨯---⨯-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦例：求矩形脉冲序列函数()f n 的离散傅里叶变换： 四个点：(0)1,(1)1,(2)1,(3)1f f f f ====，即4M=，2/2/4,==-j M j W e W e j ππ--=故离散傅里叶变换结果：0000012302460369(0)(0)(1)(1)(2)(2)(3)(3)11111411101111101110F f W W W W F f W W W W F f W W W W F f WW W W j j j j ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦再求上述结果的离散傅里叶逆变换结果：0000012302460369(0)(0)(1)(1)1(2)(2)4(3)(3)1111411101111110141101f F W W W W f F W W W W f F W W W W f F W WW W j j j j ---------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 将一维离散傅里叶变换推广到二维离散傅里叶变换： 二维离散傅里叶变换定义如下：112(//)00(,)(,)M N j ux M vy N x y F u v f x y e π---+===∑∑其中，(,)f x y 是大小为M N ⨯的数字图像。

若给出变换(,)F u v ，我们可以使用傅里叶逆变换（IDFT ）得到(,)f x y ：112(//)001(,)(,)M N j ux M vy N u v f x y F u v eMNπ--+===∑∑三． 傅里叶变换的性质① 函数Fourier 变换的线性叠加性质11(())()()nni i i i i i F a x t a Fx μ===∑∑②导数的Fourier 变换性质(()/)2()()F dx t dt i Fx πσσ=③卷积的Fourier 变换性质1212()()()F x x Fx Fx *=④乘积的Fourier 变换性质1212()()()F x x Fx Fx =*⑤ 对称性(())()F Fx t x t =-⑥尺度变换性质1(())()()F x at Fx a aσ=，信号在时域中压缩等效于在频域中扩展，信号在时域中扩展等效于在频域中压缩。

⑦时移性质020(())()()i t F x t t Fx e πμω--=⑧ 频移性质020(())()()i t F x t e Fx πσσσ=-连续函数的卷积公式()()()()f t h t f h t d τττ∞-∞*=-⎰ 对上式做傅里叶变换，计算结果如下：2-2-2-2-2-[()()][()()]()[()]()[()]()()()()j t j t j t j j f t h t e dtf h t d e dtf h t e dt d f H e d H f e d H F πμπμπμπμτπμττττττττμτμττμμ∞-∞∞∞-∞-∞∞∞-∞-∞∞-∞∞-∞*⋅=-⋅=-⋅=⋅=⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由上边的性质③可知，在时间域中的滤波定义为：时域滤波器与图像做卷积, 那么对应的频率域中的滤波定义为：滤波函数和图像傅里叶变换的乘积。

四．频域滤波1.我们对一幅图像做频率域滤波的步骤如下：（1） 给定一幅大小为M*N 的输入图像(,)f x y ,先对其做DFT,得到其频率域中的图像F (u,v)p 。

（2） 频域中滤波函数H(u,v)，其大小与F (u,v)p 相同，将F (u,v),H(u,v)p 点乘，也即滤波，得到滤波后的图像(u,v)G 。

（3） 对(u,v)G 做IDFT 变换，得到处理后的图像。

下面给出一个例子： 原图：第一步：对图像做FFT变换，频谱如下：第二步：用理想低通滤波器：R=100. 对上述频谱图进行滤波后图像如下：滤波器滤波后的图像第三步：对滤波后的图像做IFFT，就得到了模糊的图像：2.频域平滑滤波器对于一幅图像，低频部分对应于图像中变化缓慢的灰度分量，高频部分对应于图像中灰度变换较快的部分通常都是物体的边缘和细节。

因此，在频域可以滤掉高频部分的来达到平滑化。

我们考虑三种类型的低通滤波器：理想低通滤波器、布特沃斯滤波器和高斯滤波器。

（1）理想低通滤波器（ILPF）：以原点为圆心，D 为半径的圆内，无衰减的通过所有频率，而在圆外“截断”所有频率的二维低通滤波器（其实就是一个截断函数）。

由以下函数确定：1,(,)H(u,v)0,D u v d otherwise ≤⎧=⎨⎩应用：原图理想低通滤波器取半径为15半径为30：半径为80：半径为200：由上述四幅图我们可得出的结论是：半径越小，通过的低频越少，模糊的越多；半径越大，通过的低频越多，模糊的越少。

（b）布特沃斯低通滤波器（BLPF）截止频率位于距原点D处的n阶布特沃斯低通滤波器（BLPF）的函数定义如下：21H(u,v)1[(,)/]nD u v D=+其中的参数n称为“阶数”，当阶数很大是，接近于理想低通滤波器。

图像如下：应用：半径为30：半径为80：半径为200：（c ）高斯低通滤波器（GLPF ）：22(,)/2H(u,v)D u v D e-=其中参数0D 是关于中心扩展度的度量。

0D 越大，高斯滤波器的频带就越宽，平滑程度就越好．应用： 半径为30：半径为80：半径为200：3.频域锐化滤波器高通滤波器会衰减傅里叶变换中的低频部分，而不会扰乱高频部分，从而突出图像的边界和细节之类的部分。

可以有公式：H1H(u,v)=-HP LP来构造，对应于三种低通滤波器，就可以构造出三种高通滤波器。

效果如下：理想高通滤波器：半径为30：半径为80：布特沃斯高通滤波器：半径为80：高斯高通滤波器：半径为80：4.选择滤波器就是一种处理感兴趣的频段或频率的小区域的滤波器。

分两类： 带阻滤波器或带通滤波器：下式中0(,)D W D D u v 是截止频率，是带宽，是距滤波器中心的距离 理想带阻滤波器：000,(,)221,W W D D D H u v ⎧-≤≤+⎪=⎨⎪⎩若其他布特沃斯带阻滤波器：22201(,)1nH u v DW D D =⎡⎤+⎢⎥-⎣⎦高斯带阻滤波器：2220(,)1D D DW H u v e⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦=-同样，带通滤波器可以从带阻滤波器得到：(,)1(,)BP BR H u v H u v =-。