数学建模练习题

, 的最优值。
解答：
由题意得：总利润为
Βιβλιοθήκη Baidu,=
+
=
由 =0，
，可得最优价格
, 设总销量为 ，
可编辑
.
在此约束条件下
的最大值点为
,
题目 3
3.某商店要订购一批商品零售，设购进价 ,售出 ,订购费 c0(与数量无关)，随机 需求量 r 的概率密度为 p(r)，每件商品的贮存费为 (与时间无关)。问如何确定 订购量才能使商店的平均利润最大，这个平均利润是多少。为使这个平均利润为 正值，需要对订购费 c0 加什么限制？ 解答：
可编辑
.
题目 6
6.某公司将 4 种不同含硫量的液体原料（分别记为甲、乙、丙、丁）混合生产两
种产品（分别记为 A,B）。按照生产工艺的要求，原料甲、乙、丁必须首先倒入
混合池中混合，混合后的液体再分别为原料丙混合生产 A,B。已知原料甲、乙、
丙、丁的含硫量分别为 3%，1%，2%，1%，进货价格分别为 6,16,10,15（千
函数图像如下图所示：
可编辑
.
题目 2
2.在考虑最优定价问题时设销售期为 T，由于商品的损耗，成本 q 随时间增长，
设
,β为增长率。又设单位时间的销售量为
(p 为价格)。今将
销售期分为
和
两段，每段的价格固定，记为 , .求 , 的
最优值，使销售期内的总利润最大。如果要求销售期 T 内的总销售量为 ,再求
元/t）；产品 A,B 的含硫量分别不能超过 2.5,1.5（%），售价分别为 9,15（千元
/t）。根据市场信息，原料甲、乙、丙的供应没有限制，原料丁的供应量最多为
50t；产品 A,B 的市场需求量分别为 100t，200t。问应如何安排生产？
解答：
设 分别是产品 A 中是来自混合池和原料丙的吨数， 分别是产品 B 中来
高）；
3） 所购证券的平均到期年限不超过 5 年。
表 1 证券信息
证券名称 证券种类 信用等级 到期年限 到期税前收益/%
A
市政
2
9
4.3
B
代办机构
2
15
5.4
C
政府
1
4
5
D
政府
1
3
4.4
E
市政
5
2
4.5
问：（1）若该经理有 1000 万元资金，应如何投资？
（2）如果能够以 2.75%的利率借到不超过 100 万元资金，该经理如何操作？
（3） 在 1000 万元资金情况下，若证券 A 的税前收益增加为 4.5%，投资应否
改变？若证券 C 的税前收益减少为 4.8%，投资应否改变？
解答：
可编辑
.
（1） 设投资证券 A,B,C,D,E 的金额分别为 限制和 1000 万元资金约束，列出模型
（百万元），按照规定、
s.t.
，即 ，即
用 LINGO 求解得到：证券 A,C,E 分别投资 2.182 百万元，7.364 百万元， 0.454 百万元，最大税后收益为 0.298 百万元。 （2） 由（1）的结果中影子价格可知，若资金增加 100 万元，收益可增加 0.0298
其他成本也包含与 w 和 s 成正比的部分，上述三种成本中都包含有与 w,s
均无关的成本。又因为形状一定时一般有
,故商品的价格可表示为
（α，β，γ为大于 0 的常数）。
（2） 单位重量价格
,显然 c 是 w 的减函数。说明大
包装比小包装的商品更便宜，曲线是下凸的，说明单价的减少值随着包装
的变大是逐渐降低的，不要追求太大包装的商品。
.
数学建模习题
题目 1
1.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银
牙膏 50g 装的每支 1.5 元，120g 装的每支 3.00 元，二者单位重量的价格比是
1.2:1.试用比例方法构造模型解释这个现象。
（1） 分析商品价格 C 与商品重量 w 的关系。价格由生产成本、包装成本和其
百万元。大于以 2.75%的利率借到 100 万元资金的利息，所以应借贷。 投资方案需将上面模型第二个约束右端改为 11，求解得到：证券 A,C,E 分别投资 2.40 百万元，8.10 百万元，0.50 百万元，最大税后收益为 0.3007 百万元。 （3） 由（1）结果中目标函数系数的允许范围（最优解不变）可知，证券 A 的 税前收益可增加 0.35%，故若证券 A 的税前收益增加为 4.5%，投资不应 改变；证券 C 的税前收益可减少 0.112%（按 50%的税率纳税），故若证 券 C 的税前收益减少为 4.8%，投资应该改变。
= ，而
题目 5
.由以上关系得
.
5.某银行经理计划啊用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信
用等级、到期年限、收益如表 1 所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其
他证券的收益需按 50%的税率纳税。此外还有以下限制：
1） 政府及代办机构的证券总共至少要购进 400 万元；
2） 所购证券的平均信用等级不超过 1.4（信用等级数字越小，信用程度越
他成本等决定，这些成本中有的与重量 w 成正比，有的与表面积成正比，
还有与 w 无关的因素。
（2） 给出单位重量价格 c 与 w 的关系，画出它的简图，说明 w 越大 c 越小，
但是随着 w 的增加 c 减小的程度变小，解释实际意义是什么。
解答：
（1） 分析：生产成本主要与重量 w 成正比，包装成本主要与表面积 s 成正比，
自混合池和原料丙的吨数；混合池中原料甲、乙、丁所占的比例分别为
.
优化目标是总利润最大，即
约束条件为： 1） 原料最大供应量限制： 2） 产品最大需求量限制： 3） 产品最大含硫量限制：
对产品 A，
对产品 B，类似可得 4)其他限制：
，即
可编辑
.
用 LINGO 求解得到结果为：
，其余为 0；目标函
数值为 450.
题目 7
7.建立耐用消费品市场销售量的模型。如果知道了过去若干时期销售量的情况，
如何确定模型的参数？
解答：
设耐用品销售量为 x(t)，可用 logistic 模型描述 x(t)的变化规律，即 =kx(N-x), 其中 N 是市场饱和量，k 是比例系数，N，k，可由过去若干时期的销售量
设订购量为 u，则平均利润为
u 的最优值 满足
最大利润为
.为使这个利润为正值，应有
.
题目 4
4.雨滴匀速下降，空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积成正比，试确定雨速
与雨滴质量的关系。
解答：
雨滴质量 m，体积 V，表面积 S 与某特征尺寸 l 之间的关系为
，
可编辑
.
，可得
。雨滴在重力 和空气阻力 的作用下以匀速 v 降落，所以