高中数学核心素养的教学与评价 (鲍建生)

2. 评价理念的转变
对教学 的评价
为了教学的评价 教学即评价
形成性评价
聚焦活动过程 专项任务设计
关注个性特征 与水平差异
2.1 基于数学核心素养的评价框架
2.2 评价样例
强调
– 围绕数学的核心概念 – 突出数学的通性通法 – 关注数学的本源性问题（数学的生长点）和
有意义的问题（蕴含数学概念或思想方法）
动经验（简称“四基”）；提高从数学角度发现和提出问 题的能力、分析和解决问题的能力（简称“四能”）。
在学习数学和应用数学的过程中，学生能发展数学抽象、 逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分 析等数学学科核心素养。
通过高中数学课程的学习，学生能提高学习数学的兴趣，增 强学好数学的自信心，养成良好的数学学习习惯，发展自主 学习的能力；树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精 神；不断提高实践能力，提升创新意识；认识数学的科学价 值、应用价值、文化价值和审美价值。
② 南昌位于厦门北偏西30°，相距500公里，请说明这个台 风对南昌是否有影响?
样例07：投资的收益率
【问题情境】
假设某人从事某项投资，他先投入本金 a 元，得到的利润是 b 元，收益率是
b (%) ；第二次他又投入本金 x 元，得到的利润是 cx 元。问：
a
b cx
（1） 计算此人两次投资的总收益率； a x
1.3 创设有意义的问题与情境
1. 多样化的情境：与学生实际生活有联系的情 境，与公共常识或职业领域相关的情境，设 计科学知识与现象的情境，数学问题情境；
2. 有意义的问题：加深对数学的理解，强调通 性通法，有助于培养和发展数学核心素养；
3. 加强数学建模的教学：
– 作为数学教学途径的建模； – 作为数学活动的建模； – 作为数学核心素养的建模
样例04：街道距离（出租车几何学）
城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能 沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走。如果 按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点 A(x1, y1) 和B(x2, y2) ，用以下的方式定义两点间距离：
d A, B x2 x1 y2 y1
1. 确定现实情境中一个问题的数学特征及关键变量; 2. 确认问题或情境中的数学结构（包括规律、关系和模
式）; 3. 简化一个情境或问题，使其更有利于数学分析; 4. 在建模过程中弄清各种限制和假设，并逐步简化背景; 5. 利用恰当的变量、符号、图表和标准模型对问题情境
进行数学表征; 6. 用不同的途径描述问题，包括数学概念和数学假设的
学科价值：数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重 要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学产生、发展、应 用的过程中。数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结 论一般、有序多级的系统。
育人价值（素养）：通过高中数学课程的学习，学生能在情境 中抽象出数学概念、命题、方法和体系（能力），积累从具体 到抽象的活动经验；养成在日常生活和实践中一般性思考问题 的习惯，把握事物的本质，以简驭繁；运用数学抽象的思维方 式思考并解决问题。
这是一个数列问题，我们用a1表示第一 次服药后体内的药量，a2 表示第2次服药 后体内的药量，an 表示第n次服药后体 内的药量
a1 = 440，a2 = a1×40%+440， an + 1 = 0.4an + 440， 1 ≤ n ≤ 31
样例02：影子问题
如图，在广场上，一盏路灯
挂在一根10米的电线杆顶上（电
结果; 3. 运用数学事实、规则、算法和结构去发现数学
结果; 4. 能够在解题过程中操作数字、图形、统计数据
和信息、代数式和方程、几何表征; 5. 能够制作数学图表、构造数学对象，并从中提
取数学信息； 6. 在解题过程中利用不同的表征并进行相互转化; 7. 能够依据数学程序获得结果并将结果一般化; 8. 能够反思数学的论证过程并解释和判断所得的
6. 在利用数学模型解决问题时能够评价和确定限制 条件.
1.2 强调单元教学
1. 在逻辑过程、心理过程、历史过程的基础上梳 理本单元的课程发展主线（学习进阶）；
2. 通过本原性问题的探讨，聚焦本单元的大观念 （big ideas）；
3. 在夯实数学双基的基础上凸显数学核心素养的 专项设计；
4. 优化每个单元的习题系统。
避免
– 纯粹的符号游戏，缺乏数学的或实际的意义 – 独木桥式的解题技巧 – 反复的机械训练，对题型的死记硬背
样例01：代数模型
一个学生在排球比赛中弄伤了膝盖。医生 为他开了处方，要他每8小时服用440毫克 的药片，连续10天。如果他的肾脏8小时后 能够过滤掉60%的药片，那么，10天后还 有多少药仍留在他的体内
心等
空间想像 抽象概括 推理论证 运算求解 数据处理
四能
三用
二、数学核心素养的教学与评价
1. 关于数学核心素养的基本假设
① 数学教学是数学活动的教学； ② 数学素养在特定的、情境化的、综合性的数学
活动中形成与发展、表现与评价； ③ 数学素养离不开数学“四基”的教学； ④ 数学素养是一个阶段性教学目标（单元设计） ⑤ 数学素养之间有较高的相关性，设计综合性、
① 在数轴上任意取三点A，B，C，证明：
d A, B d A,C d C, B
② 从上述距离的定义出发，给出“点到直线的距离”的定义， 并计算已知点到已知直线的距离.
③ 画出到定点O(0, 0) 的距离等于1的点P(x, y)所形成的图形. ④ 画出到定点A(-1, 0)和B(1, 0)距离之和等于4的点P(x, y)的轨
把台风影响区域的边界近似看成是一个半径为300km的圆 ，厦门市位于花莲市西340km.台风中心到达厦门后，向北偏西 45度方向继续移动，并不断衰减，移动速度下降为18km/h，受 台风影响区域的半径每小时平均减少4km.
① 为了预防台风造成灾害，根据以上信息，请估计台风对 厦门开始发生影响 (台风圈的边缘到厦门) 的时刻和台风 中心到厦门的时刻;
——《高中数学课程标准》
2.2 样例：函数单调性
为什么要讨论函数单调性？ 学生已经具备了什么样的相关经验？ 如何刻画函数的单调性？(为什么用符号 语言)
函数单调性的抽象过程
问题1（从具体函数出发）
(1) 在初中阶段我们已经学过一次函数、反比例函数和二次函数，请根据函数 图像完成下面的填空：
当 x ______________时，y 随 x 的增大而增大； 当 x ______________时，y 随 x 的增大而减小。
高中数学核心素养的教学 与评价
华东师大数学科学学院 鲍建生
jsbao@math.ecnu.edu.cn
提纲
一．数学核心素养系统 二．数学核心素养的教学与评价
一、数学核心素养系统
1. 课程目标
通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学习以及未来 发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活
面积是多少？ 4. 如果她绕一个以A为中心，长短轴分别为5和3的椭圆走一
圈，建立适当的坐标系，求她的身影的另一端点的轨迹方 程。
样例03：篮球的影子
如图所示，篮球在照射的阳光下 会在地面上留下影子． ①太阳的光线与篮球相切的切点 所组成的是什么图形？ ②篮球在地面上所形成的影子什 么时候是一个圆面，什么时候是 一个椭圆面？ ③当篮球的影子是一个椭圆面时 ，篮球与地面的切点位于椭圆的 什么位置？ ④当篮子的影子是椭圆面时，证 明：太阳光线与篮球相切的切点 所在的平面与地面的交线是这个 椭圆的一条准线。
(2) 请分别画出（1）的直观示意图.
拓展2：水槽问题
如图是一个密封的水槽，里面注入了一定容量的水。 1. 是否可以适当的摆放水槽，使得水面成为：正三角 形，直角三角形，锐角三角形，钝角三角形，平行 四边形，矩形，正方形，菱形，梯形，正五边形， 正六边形… 2. 假设水槽里面的水量是水槽容积的3/4，请在水槽上 凿一个小洞，适当摆放水槽后，恰好流掉1/4的水？
开放性的数学任务是培养和测量数学素养的有 效途径； ⑥ 数学素养是按照水平逐步提高的，不同的人在 数学素养上也有不同的特点； ⑦ 对数学素养的评价需要改进评价工具和方式。
1.1 加强数学活动的设计
教学 设计
任务 设计
活动 设计
数学过程 课堂互动 合作学习 工具使用 交流反思
过程1：对问题情境的数学化
（2） 假设在第一次投资的基础，此人每次都定期追加投资 x 元，得到的利
润也是 x 元，那么他的总收益率是增加了还是减少了？请解释你的结
论。
Baidu Nhomakorabea
（3） 从数学角度看，上述问题可以归结为某个函数的单调性问题。请给出 这个函数的解析式，并用严格的数学方法讨论这个函数的单调性。
核心素养
行为表现
发现和提出问题
建立模型
数学建模 求解模型
检验结果和完善模
型
理解运算对象
数学运算
掌握运算法则 探索运算思路
设计运算程式
数据获取
数据分析 数据分析
知识构建
2.1 例说数学核心素养：数学抽象
内涵（过程）：数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到 数学研究对象的素养。主要包括：从数量与数量关系、图形与 图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体 背景中抽象出一般规律和结构，用数学语言予以表征。
样例06：热带风暴
热带风暴 “龙王”于9月26日上午在西北太 平洋洋面上生成，27日上午加强为台风．30日下 午5点，台风中心移到了我国台湾省花莲市偏东 方向大约940公里的洋面上（如图所示），并继 续向我国台湾省东部沿海靠近，台风中心于10月 ２日早晨５时30分到达台湾省花莲市，随后继续 向西运动．
函数的单调性
问题2 (1) 如何用数学语言表示“y 随 x 的增大而增大”及“y 随 x 的增大而减小”？
思路1：利用两点连线与x轴所成的倾斜角 思路2：利用两点连线的斜率（导数的几何意义） 思路3：自变量与函数值增量的符号（导数的符号意义） 思路4：自变量与函数值增量的保号性（单调性的定义）
3. 数学核心素养系统与原有课 标的联系
2. 数学核心素养
核心素养
行为表现
形成数学概念和规则 形成数学命题与模型 数学抽象 形成数学方法与思想 形成数学结构与体系 发现和提出命题 掌握推理的基本形式
探索和表述论证的过 逻辑推理 程
构建命题体系 交流探索
利用图形描述数学问题
利用图形理解数学问题
直观想象 利用图形探索和解决数
学问题
构建数学问题直观模型
利用; 7. 理解和解释用于描述同一问题的现实情境语言和数学
形式语言之间的关系; 8. 把问题转译为数学语言或数学表征; 9. 把问题化归为已知的问题或者数学概念、事实、程序; 10. 利用技术去凸显隐含在问题情境中的数学关系.
过程2：运用数学概念、事实、程序和推理
1. 设计和实施各种解题策略去发现数学结论; 2. 利用各种数学工具/技术去获得精确的或近似的
原有体系：11版课标
三维 目标
知识技能 （四基）
数学思考 问题解决 （四能）
情感态度
数感 符号意识 空间观念 几何直观 数据分析观念 运算能力 推理能力 模型思想 应用意识 创新意识
原有体系：04版高中
三维 目标
知识与 技能
过程与 方法
情感、 态度、 价值观
四基
基本能力
问题解决 应用创新 兴趣、信
结果.
过程3：解释、应用和评价所得的数学结论
1. 回到原来的现实背景解释数学结果;
2. 依据现实背景评价数学结果的合理性;
3. 理解现实情境是如何影响数学结果和过程，以及 如何依据实际情况进行调整和运用;
4. 解释为什么所得的数学结果对于一个实际情境中 的问题来说是有意义的或者无意义的;
5. 理解数学概念和结果的适用范围和局限性；
迹.
样例05：截面问题
在一个密闭透明的圆柱型桶内装了 一定体积的水.
(1) 将圆柱桶分别直立、水平、倾 斜放置时，写出水平面可能呈 现出的所有几何形状？
(2) 请分别画出（1）的直观示意图.
拓展1：圆锥截面
在一个密闭透明的圆锥型容器内装 了一定体积的水.
(1) 将圆锥容器分别直立、水平、 倾斜放置时，写出水平面可能 呈现出的所有几何形状？
线杆的底部记为 ），假设把路
灯看作是一个点光源，身高1.5
米的女孩站在离 点5米的 处.请
回答以下问题：
A
1. 如果她绕路灯走一个圆圈，其阴影扫过的面积是多少？ 2. 如果她沿一个边长为10、中心在A点的的正方形走一圈，
那么其阴影扫过的面积是多少？ 3. 如果她绕一个半径为2的圆周走一圈，那么其阴影扫过的