数学建模,商品地包装问题
2023年mathorcup数学建模b题
2023年mathorcup数学建模b题
一、题目背景与分析
2023年MathorCup数学建模B题要求解决一个关于物流配送中心选址的问题。
题目给出了一个物流配送中心的货物需求量与各候选地址的距离，要求我们建立一个数学模型，确定最佳选址方案。
为了完成这个任务，我们可以采用以下数学建模方法。
二、数学建模方法
1.成本分析法：根据货物需求量、运输成本和距离等因素，计算各个候选地址的总成本，以此作为评价选址优劣的依据。
2.启发式算法：利用启发式算法，如模拟退火、遗传算法等，搜索最优选址方案。
3.数据挖掘与机器学习：通过历史数据挖掘和机器学习方法，预测未来需求，进一步优化选址方案。
三、模型求解与结果分析
1.利用成本分析法，计算各候选地址的总成本，筛选出成本最低的选址方案。
2.使用启发式算法，对筛选出的选址方案进行进一步优化，得到更加精确的结果。
3.通过数据挖掘与机器学习方法，对未来需求进行预测，为选址方案提供更多依据。
四、模型验证与优化
1.验证所选选址方案在实际运营中的效果，通过实际运营数据对模型进行修正和优化。
2.对比不同选址方案的优缺点，为物流配送中心提供更具说服力的建议。
五、结论与启示
通过对2023年MathorCup数学建模B题的求解，我们得出了一个相对最优的选址方案。
这个过程让我们认识到数学建模在解决实际问题中的重要性和实用性。
在今后的学习和工作中，我们可以继续探索更多数学建模方法，提高解决实际问题的能力。
【注意】
以上内容仅为示例，实际参赛者需要根据题目详细描述和要求，进行详细的数学建模和分析。
数学建模题目2013B箱子的摆放策略
B题箱子的摆放策略
某省内知名企业生产的产品用形状为长方体的箱子包装，使用叉车将这些箱子从生产车间运输至仓库。
这些箱子叠放在叉车的正方形底板上，如下图所示，叉车置放箱子的底板是一个边长为1.1米的正方形。
箱子的规格是统一的（所有箱子的长方形底面的尺寸相同）。
通常在一次运输中，箱子像下图中这样横着放，或者竖着放。
下图所示的便是一种可行的摆放方法，但不一定是最优的。
现在这家企业需要你们帮助建立一个通用的优化模型，使得给定长方形箱子的长和宽之后，利用这个模型就能算出该如何摆放箱子（不需考虑箱子的高度，即只考虑摆放一层箱子），才能使得一次摆放的箱子数量最多。
问题1 如果不允许箱子超出叉车底板（如上图所示情形），也不允许箱子相互重叠，建立一个优化模型，考虑如何摆放这些箱子，才能使摆放的箱子数量最多?
利用你们构建的模型，分别计算出对于下表中型号1、型号2和型号3的箱子，最多可以摆放多少个？该如何摆放？如果你们能画出摆放示意图，那么将有助于这家企业更快地理解你们的方法。
问题2 假设箱子的密度都是均匀的，允许箱子在正方形底板的上方，左边，右边部分超出底板（下方紧靠叉车壁，不能超出），但不至于掉落出叉车底板。
对于这种情况，重新建立优化模型,并针对上表中三种型号的箱子, 分别计算最多可以摆放多少个箱子？该如何摆放?画出摆放示意图。
数学建模之包饺子问题分析
包饺子问题分析摘要在日常生活中我们经常会遇到：同样的产品，不同大小的包装的时候，应该选择哪一种较为划算；包饺子，包馄饨的时候，皮多了或者馅多的问题，这个时候应该把饺子或者馄饨包大一些还是包小一些才能把多余的皮或馅用完。
这些问题在直观上不容易判断出结果，因此需要建立模型来来观察，以做出最佳选择。
关键词包饺子数学模型实际问题的抽象化￥正文一、问题提出设在包饺子的时通常1kg面和1kg馅包100个饺子，有一次馅多了，问能否将饺子包大一些或小一些将这些馅仍用1kg面用完二、问题分析这是一个日常生活中常见的问题，问题的本质就是里用同样面积的饺子皮包更多的饺子馅。
将问题抽象为数学问题时，可以做出两个合理的假设: ①饺子皮的厚度一样，也即是饺子皮的总面积不变；②饺子馅的形状都一样，可以都看成球体，因为同样表面积下球体的体积最大，可以包更多的馅。
那么饺子包大一些时，饺子的个数就会减少，饺子包小一些时，饺子的个数就会增多。
也就是可以问题转化为：总表面积一定的n（n=1，2，3……）个球体，当n取多少的时候可以使得所有球体的总体积最大。
这里忽略了饺子皮的厚度。
"在解决这个问题的时候，可以把问题进一步抽象到把得到的总体积与1n 是情况比较，这样问题就可以的得到很大程度的简化。
并且可以先定性的分析问题，判断是将饺子包大还是包小才能达到题目要求，然后可以设计一个函数来模拟这个过程，通过函数来观察这个问题。
三、基本假设从上面的分析我们可以看到在实建立模型的时候，需要做出一些基本假设： ⒈ 饺子都是标准的球形的；⒉ 饺子皮的厚度都一样，也就是饺子皮的总面积是常数； ⒊ ；⒋每个饺子都是皮刚好把馅包起来，不多也不少；四、问题处理1n =时对应的情况是:表面积为S ，体积为V 的一个球体；在一般情况下对应的情况则为：表面积为s ，体积为v 的n 个球体。
）—n =1时的大球体，此时有：22S R π=， 343V R π=n 个小球体时，此时有：22s r π=， 343v r π=此时则有：`22S R n s r ==， 33V R v r=n =1时，大球体，表面积S 体积Vn 个小球体，表面积s 体积v⇒ 32V n v =)nv =nv ≥由上式可以得到结论，球体个数少，即n 值越小，所有球体的体积和最大。
数学建模在定量包装中的应用
数学建模在定量包装中的应用
黄会芸 ( 南京化工职业技术学院 南京 210048 )
摘 要:本文通过对当前定量包装设备控制的分析入手， 提出当前包装设备控制方案的缺点.针对这一缺点， 本文利用建模来 建立数学模型使包装方案达到较高的快速性和良好的谁确性 关键字:定量 包装设备 快速 准确 数学建模 中图分类号 : G7 12 文献标识码 : A
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斌 一 仪 下 描周 料冲 重 单 kg : : 表的 一扫 期物 击 量 位: 城 表的 一扫 期物 ，仪 上 描周 料冲击 量 单 kg 重 位:
因仪表显示重量是已知的，通过仪表可以直接看出， 现在只要求出冲击重量即可得到物料的真实重量， 冲量I计 算公式如下 :
等行业的包装物料几乎是匀质的， 重量和体积有着密切的关 系 ，计量料斗内的物料越多，重量越重，则物位就会越 高。在物料冲击力、物料高度、物料重量三者之间存在密 切的关系，只要我们求出一个即可得到其他的数据。 物料的冲击力直接与物料重量和下料口与计量斗底部距 离有关，在最开始下料的时刻，由于下料 口距计量斗底部 的距离最远，物料经过重力的加速度使其冲击力增大 ，所 以在最开始下料的那一时刻， 称重仪表显示的物料重量变化 率最快， 对其进行微分可以求得最大的突变变化率几乎接近 无穷大，但这一刻持续的时间非常短，我们的仪表几乎是 检测不到的，随着物料的增加 ，计量斗内物料不断的增 高 ，其与下料 口之间的距离逐渐缩短 ，冲击力也逐渐减 一 、提 出问题 小，所以重量的增长速率减慢，仪表显示重量曲线的斜率 一个好的包装设备控制方案一般都要求具有较高的快速 是在逐渐减小的，这是由干冲击力减小的缘故。由此我们 性和良好的准确性， 如何解决快速性和准确性是衡量一个包 可以看出一个明显的规律， 即物料由于下落运动所产生的冲 击力会造成信号失真 ，但物料随着位置的上升，其冲击力 装设备的最基本标谁， 目前化肥包装行业称重设备主要的解 决办法有如下两种 : 是有规律的变化的，随着物位上升，冲击离减小，显示重 1极力避免重量抖动的发生或者避开在重量抖动的时间 量增加的速率是线性减小的，我们可以将这一信号检测出 控制包装设备动作， 主要采取减小下料速度和下料量来减小物 来， 我们可以认为物料重量增长速率是与物料位置是息息相 料冲击力所造成的信 号 失真。这种方案是行之有效的，但 关的，当物料增长速率达到一定值的时候，我们可以认为 这种方法减小了下料速度，很大程度上影响了包装的速度。 物料达到了一定的位置，在物料的密度一定的情况下，我 所以根 2 另外一种办法调节下料口的大小，设置多次下料 (一 们近似的可以认为是物料的重量达到了一定的程度， 般是两次或是三次 ) ，在最开始的时候采用大料 日下料 ， 据这个原理我们可以把物料位置信 号 作为真实的信号 (剔除 当重量达到一定值的时候采用小料口来下料， 这样方法可以 了物料冲击的影响) 来控制我们的称重设备动作，稳定可 保证下料的速度，也可以保证计量的精度，具有明显的优 靠的提高设备的运行速度和精度， 当物料重量达到一定程度 点，这重方法是 目前使用最普遍的一种方法 ，但其也有明 的时候，将下料门缩小，改为传统的小门细料加料，这时 显的缺点就是由于物料的冲击力产生的失真信号会造成多次 候因为物料距下料门之间的距离已经非常的短了， 同时下料 下料门误动作，容易产生一次冲断致使下料门关死不下料， 非常的细小，我们可以认为由物料所产生的冲击力非常的 也在一定程度上影响了计量的速度和精度， 所以一次下料量 小，可以几乎不考虑，可以将有物料增长速率控制改为由 真实重量来控制，这样即保证了速度又保证了下料的质量。 不可能设的过快过高 上面的两重方案是目 前化肥行业包装设备采用最多的两 三、数学模型的建立 种方法，其核心都是消除冲击力所产生的重量信号失真， 通过以上的曲线我们可以看出， 物料呈现出的是一个递增 但这两种方法都是在牺牲计量速度的情况下通过减小下料量 我们可以用下一扫描周期物料重量和上一扫描周期的 来实现的，在一定程度上影响了保证设备的运行能力，存 的趋势， 在明显的弊端 ，有没有一种方法保证最高的包装速度，又 物料重量的增量和时间的积分来描述计量的过程 ， 能保证最好的计量速度呢? 方法当然是存在的， 如果我们可 憋“ 伙+哄 ① 目 前定量包装设备在国民经济各个行业中都有广泛应用， 如粮食， 化肥， 塑胶等等， 不同的行业拥有不同的产品， 对包装 设备的要求也各有不同， 所以目前的包装设备是五花八门， 功 能各异， 但是其基本原理大同小异， 都是建立在一个称重传感 器基础上， 传感器感应到包装容器内物料的重量， 将信号传到 设备的中央处理器内， 处理器根据传感器传来的信号控制设备 动作， 当重量达到规定值之后， 停止灌料， 完成一次计量.在一 个周期的计量过程中， 物料的重量随着时间的推移总是在不断 的变化的， 一般呈现逐步递增或逐步递减的趋势， 在突然加料 或者突然减料的情况下， 由于重力突变所产生的惯性也会使物 料重量曲线在一个计量周期内呈现出几个局部转折点.
数学学科包装教案详解：一步一步学会使用数学工具量取包装体积
数学在生活中的应用范围非常广，特别是在包装行业中，数学更是一个不可或缺的工具。
包装需要精确的量取体积，掌握数学工具是必不可少的。
下面，我将详细介绍如何使用数学工具量取包装体积。
一、包装体积的定义包装体积是指包装内部的立方体空间，通常我们用体积大小来衡量包装容量的大小。
包装体积的计算公式为V=长*宽*高，其中长、宽、高都是包装内部的三个边长。
二、几何形体的体积计算几何形体是数学中的一类重要对象，包含了各种各样的形状，如矩形、圆形、三角形等。
在包装行业中，常见的几何形体有长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等。
下面，我们来一一介绍这些几何形体的体积计算方法。
1、长方体的体积计算长方体是指各面都是矩形的立体图形。
假设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则它的体积为V=abc。
例：一个长方体的长是3cm，宽是4cm，高是5cm，求它的体积。
解：将长、宽、高带入公式，得V=3*4*5=60cm³。
2、正方体的体积计算正方体是指所有面都是正方形的立体图形。
假设正方体的边长为a，则它的体积为V=a³。
例：一个正方体的边长为4cm，求它的体积。
解：将边长带入公式，得V=4³=64cm³。
3、圆柱体的体积计算圆柱体是由平行且等大小的圆的底部和顶部所包围的一个长方形区域所围成的立体图形。
假设圆柱体的底部半径为r，高为h，则它的体积为V=πr²h。
例：一个圆柱体的底部半径为2cm，高为6cm，求它的体积。
解：将底部半径和高带入公式，得V=π*2²*6=24π≈75.4cm³。
4、圆锥体的体积计算圆锥体是由一个圆锥面和圆锥的底面所围成的立体图形。
假设圆锥体的底部半径为r，高为h，则它的体积为V=1/3πr²h。
例：一个圆锥体的底部半径为3cm，高为4cm，求它的体积。
解：将底部半径和高带入公式，得V=1/3π*3²*4=12π≈37.7cm³。
大学生数学建模论文---两辆铁路平板车的装货问题
两辆铁路平板车的装货问题摘要本文针对包装箱的运输问题，建立了关于使得平板车空间浪费最小的一般数学模型与方法。
即使得空间浪费最小的最优解，属于优化类模型。
利用线性规划原理对问题进行分析求解，建立数学模型。
首先，将7种包装箱的厚度和重量分别设成相应的未知数，方便在题中的代入求解。
由此再进一步的研究。
对于问题，假设出各辆铁路平板车所载的7种包装箱的数目。
并考虑到铁路平板车，对所载包装箱的高度、重量等要求，利用所设未知数和已知的条件限制建立约束条件。
再对铁路平板车得空间浪费最少建立目标函数。
由此，可建立线性规划数学模型，对本文问题进行求解。
利用LINGO编程进行求得最优解,即得到最优设计方案：第一辆平板车载C1种类型的包装箱0件，C2种类型的包装箱5件，C3类型的包装箱2件，C4种类型的包装箱5件，C5种类型的包装箱2件，C6种类型的包装箱1件，C7种类型的包装箱2件；另一辆平板车载C1种类型的包装箱6件，C2种类型的包装箱2件，C3种类型的包装箱6件，C4种类型的包装箱0件，C5种类型的包装箱0件，C6种类型的包装箱0件，C7种类型的包装箱4件；这样的装载能使得两辆平板车的使用高度达到20.4米，空间利用率达到100%。
关键词：最小浪费空间、长度、重量、数量。
一、问题重述有 7 种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。
包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t，以厘米计）及重量（ω，以kg 计）是不同的。
下表给出了每种包装箱的厚度、重量以及数量。
每辆平板车有10.2m 长的地方可用来装包装箱（象面包片那样），问:应该如何把这些包装箱装到平板车上，才能使得浪费的空间最小？试建立此问题的数学模型。
二、模型假设2、包装箱之间不存在间隙，即包装箱所铺成的总高度没有影响。
3、将每个包装箱装入平板车都具有可行性。
4、各个货物装在车上的概率相同，相互之间的排放不存在关联性；5、在该平板车装载的过程中不考虑各个货物的厚度及重量的误差性，均为题中所给的准确数值；6、装载的过程中不考虑货物在车上的排列次序及各个货物的重量密度，排除因局部过重而造成的平板车不能行驶的情况；三、符号定义说明i a : 表示第i 类包装箱的厚度 i b ：表示第i 类包装箱的重量 i c ：表示第i 类包装箱i x ：表示在其中一辆车上装第i 类包装箱x 件 i y ：表示在另一辆车上装第i 类包装箱y 件 （i=1,2,3,4,5,6,7）四、问题分析七种包装箱的重量和W= =89t ，而两辆平板车只能载240=80t ，因此不能全部装下，究竟在两辆车上装哪些种类的箱子各多少才合适，必须有评价的标准，这标准是遵守题中说明的重量,厚度方面的约束条件，并且体现出尽可能多装。
数学模型在食品包装材料成分迁移中的应用研究
数学模型在食品包装材料成分迁移中的应用研究史和娣（江苏农林职业技术学院，江苏句容 21 2400）常用的食品包装材料主要有以下几种： 第一种是纸质包装材料，用纸和纸板组成的 包装材料生产成本较低、对环境污染小切易于回收，其材料的主要组成化学物质是草浆，随着科学技术的不断进步和发展，新型的纸包装技术将推动食品行业生产力的发展。
第二种是塑料类型的食品包装，它主要采用聚氯乙烯制作，其主要特点是直观透明、防水性好，可以有效保障食品的安全和卫生。
第三种是金属包装材料，由于环保、抗冲击且方便印刷成为最古老的包装材料。
第四种是玻璃包装材料，此种玻璃材质主要是氧化物玻璃材质。
第五种食品包装材料是陶瓷材料，此材料吸水性较低，主要用来盛放酱菜等腌制食品。
多种材料在食品包装中的广泛应用也产生了一些列新的问题，食品包装上的油墨印刷字体、食品包装中的添加剂、塑料助剂以及粘合剂等都会通过对食品的迁移转移到食品中去，从而对食品的安全建设造成危害，进而直接影响人体的健康发展，在此形势下，相关的食品工作人员应加强对食品安全问题的重视，通过树立严谨的数学思维、建 立相应的数学模型对食品包装材料的成分迁 移展开研究。
食品包装材料成分的迁移主要是指食品 和食品包装两者之间化学浓度较高的物质向 浓度较低的物质进行转移的现象，其迁移的 主要流程可以具体划分为以下几种类型：迁 移物质的快速扩散、迁移物质的被化解和吸 收、迁移物质的吸附等，最终的物质迁移结 果主要受迁移物质本身的性质、浓度以及包 装材料的成分和种类等因素的影响，因此， 研究人员在进行材料成分迁移的实验时理应 合理考虑上述几种因素的影响。
传统关于食 品包装材料成分迁移的实验研究，往往针对 常见的添加剂进行而无法利用开发并且创新 出一系列新的检测方法，将数学模型引入食 品包装材料成分迁移的研究中，在一定程度 上可以降低实验成本、创新迁移方法。
目前将数学模型引入食品包装材料成分 迁移中的研究还未十分普遍，数学模型在其 中的研究着重体现在塑料类型的食品包装材 料中，塑料是在食品包装中应用最广泛和最 普遍的材料，此种材料可以有效阻挡外界空 气中含有的二氧化碳、氧气以及其他微生物 成分对食品的腐蚀，塑料包装中残留的聚合 物、聚体、分解物、加工物等都会发生以上 所述的迁移反应，塑料食品包装中也包含很 多类型，关于塑料食品包装的数学模型主要 在Fick 定律的基础上建立而来，此定律主要 包含三条内容，第一个定律的主要内容是塑 料纸包装中的大多数化学添加物的浓度变化 与时间变化不产生任何关联，而是某一点位 置上的浓度随时间产生相应变化；第二条定 律的主要内容是包装材料的成分迁移主要发 生与包装材料的厚度有关系。
数学模型在包装装潢设计中的应用-精品教育文档
数学模型在包装装潢设计中的应用引言包装装潢设计是一门原创性和技术性很强的综合性学科，是提高产品品质和特色的重要手段，增加了产品包装装潢设计的科学、文化和艺术性。
应用合理的设计理念和方法能够使包装设计更具特色，并能形成独立的产品风格[1]。
在具体的设计中需依据产品特点结合包装的不同属性，将应用的具体结构和图形设计出来。
从哲学角度对此问题进行分析，设计中应用的学科都有其相应的属性，利用属性数学模型来设计包装装潢方案，可准确判断研究成果的基本特征。
因此，将其应用于包装装潢设计中是非常必要的。
本文以包装装潢及数学模的基本情况为起点，分析数学模型在包装装潢设计方案中的应用，为提高包装装潢的设计水品提供理论指导，现综述如下。
1包装装潢及数学模的基本情况1.1包装装潢包装装潢是指对商品包装的表面及造型的具体设计。
在确保设计的合理性和科学性的基础上，应用适宜的设计方法和理念对产品包装进行更深一步的美化和装饰，应用图案、色彩、文字、品牌和外形等相关因素将产品包装以艺术整体构造的形式体现出来，充分发挥包装的宣传性、美化性、特色性和信息性，为商品的销售提供有力支持。
在对商品进行包装中，依照目的分为运输包装和销售包装，运输包装以保证商品安全、便于运输、衔接生产和销售为主要目地。
而对商品的包装装潢，主要侧重于销售包装，是衔接消费和商品销售为主要目地。
包装装潢是对商品的宣传和促销，展示产品的特点和信息，有效提升商品在市场竞争中的竞争能力，是产品市场营销的有力推手。
合理产品销售包装，可显著提升商品的市场价格，增加产品的销售量，对消费者的购买判断存在重要作用。
有调查发现，在商品销售中，有半数以上的消费者通过商品的装潢和包装来选择购买的商品。
由此可知，对商品进行包装装潢成为影响商品市场竞争能力的重要因素[2]。
1.2属性数学属性数学是研究人员在了解掌握了自然持续变化、无限发展规律及整体运动这些问题后建立起来的一种数学学科。
是对于物质和事物之间的相互变化内涵、规律、发展趋势的分析和整体运动属性关系的表达。
数学建模练习题汇编
数学建模习题题目11.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。
比如洁银牙膏50g装的每支1.5元，120g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1.试用比例方法构造模型解释这个现象。
（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。
价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。
（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减小的程度变小，解释实际意义是什么。
解答：（1）分析：生产成本主要与重量w成正比，包装成本主要与表面积s成正比，其他成本也包含与w和s成正比的部分，上述三种成本中都包含有与w,s均无关的成本。
故商品的价格可表示α，β，γ为大于0的常数）。
（2）显然c是w的减函数。
说明大包装比小包装的商品更便宜，曲线是下凸的，说明单价的减少值随着包装的变大是逐渐降低的，不要追求太大包装的商品。
函数图像如下图所示：题目22.在考虑最优定价问题时设销售期为T，由于商品的损耗，成本q随时间增长，β为价格)。
T解答：由题意得：总利润为在此约束条件下的最大值点为题目33.某商店要订购一批商品零售，订购费c(与数量无关)，随机需求量r的概率密度为p(r)，与时间无关)。
问如何确定订购量才能使商店的平均利润最大，这个平均利润是多少。
为使这个平均加什么限制？利润为正值，需要对订购费c解答：设订购量为u，则平均利润为u为使这个利润为正值，应有题目44.雨滴匀速下降，空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积成正比，试确定雨速与雨滴质量的关系。
解答：雨滴质量m，体积V，表面积S与某特征尺寸lv降落，题目55.某银行经理计划啊用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如表1所示。
按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。
此外还有以下限制：1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理如何操作？（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？解答：（1）设投资证券A,B,C,D,E，按照规定、限制和1000万元资金约束，列出模型用LINGO求解得到：证券A,C,E分别投资2.182百万元，7.364百万元，0.454百万元，最大税后收益为0.298百万元。
例说包装问题的数学建模方略
2013-02课堂内外模型思想是数学课程标准提出的核心关键词之一，它是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段.近几年来，各地市中考数学试卷中出现的一类包装型问题，由于其取材贴近生活，背景朴实而又为学生所熟悉，且题中蕴含许多重要的数学思想与方法，因此，正逐渐被命题老师所青睐.深入剖析这类包装问题，尝试进行数学建模，寻求问题解决方法，定能对紧张的中考复习起到较好的示范作用.一、直角三角形模型生活中对一些柱体进行外包装较为常见.在解决这类问题的过程中，往往需要将立体图形通过剪切展开成平面图形，将问题置于平面中来寻求解题思路.其中常通过现成的或构造而成的直角三角形，运用三角函数、勾股定理等相关知识解决问题.例1.如图1，是一个侧棱长为15cm的直三棱柱包装盒，它的底面是正三角形.现将宽为4cm的彩色矩形纸带AMCN裁剪成一个平行四边形ABCD（如图2），然后用这条平行四边形纸带按如图3的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重叠部分），纸带在侧面缠绕四圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满.则在图2中，裁剪的角度∠BAD的正弦值是.评析：如何将平行四边形纸带ABCD包贴到三棱柱上？一种是将AD与三棱柱底边棱重合进行包贴；一种是将AB边与三棱柱底边棱重合进行包贴.前者无法将纸带“螺旋上升”以至包贴整个三棱柱侧面；后者可以按题目要求进行包贴.故AB长即为三棱柱的底边周长.求∠BAD可转化到直角三角形中求解.本题所涉及的知识点有：三棱柱侧面展开图，解直角三角形，平行四边形和平移等一些实践操作知识.解决本题，关键是能否在有限的时间里审清题意，能否理解“包贴”的方法和理解“侧面全部包贴满”等字眼，能否通过图2与图3找出解决此题的切入口.处理立体图形往往是要将立体图形展开成平面图形.同时平面图形与立体图形之间又有着密切的联系.图1图2图3二、方程模型胶带纸对学生来说是相当熟悉的，灵活利用它，同样可命制一类好题.解决过程中往往会涉及有关面积的知识，有时也不乏用到不等式等知识.其中常根据隐含的有关面积的等量关系，通过建立方程模型来解决问题.例2.小明买来一卷包装用胶带纸（如图4）.他突发奇想：这卷胶带纸拉开来到底有多长？他首先想到可以拉开来直接测量，显然这是不切实际的.思考后，他想到了用数学知识来解决.他从网上查得这种包装胶带纸的厚度约为0.005cm，他量得整卷胶带纸的内径为5cm，外径为10cm.请你帮助小明解决这个问题（结果精确到1米）.10cm5cm图4评析：利用学生熟悉的胶带纸，对此进行联想而编制成本题.解决该问题需要有思维的开放性和深刻性.一方面它提供了一个生活情境的再现，呈现“活生生”的数学知识应用场景，考查学生对现实问题的理解能力和解决问题的能力，即数学建模能力；另一方面，作为该试题，体现了命题的“公平性”原则，人人都接触过胶带纸，不会给学生带来陌生感.再者，还在于它解法的巧妙：以面积法求得胶带纸的长度.想象中把整卷胶带纸拉开，拉开后的胶带纸的截面可看做是长未知、宽为0.005cm的很扁很扁的矩形，若设全长为x cm，则圆环面积可表示为0.005x，利用面积建立等量关系，列出方程，从而求得x的值.显然，直接去求长度的难度要大得多，这需要思维的广阔性与发散性，没有较强的抽象思维能力与建模能力，要比较轻松地解决本题是有一定难度的.三、不等式模型建立不等式模型来解决生活中的包装问题，看似风马牛不相及，然通过巧设载体，将它们有机结合起来，运用不等式等相关知识，硬是解决了一些包装问题中的包装带长度问题，彰显数学的无穷魅力.例3.（1）比较大小：①3+523×5√②12+35212×35√③2+1222×12√④6+626×6√（2）通过（1）的判断，你可猜想：当a，b为正实数时，a+b与2ab√的大小关系为a+b2ab√.（3）利用上述猜想解决下列问题：如图5，有一等腰梯形的工件（厚度不计），其面积为1800cm2，，现要用包装带如图包扎（点E、例说包装问题的数学建模方略文/刘和珍摘要：近年来，各地市的中考数学卷中，常出现与包装有关的数学实际问题。
数学建模练习题
数学建模练习题数学建模习题题⽬11. 在超市购物时你注意到⼤包装商品⽐⼩包装商品便宜这种现象了吗。
⽐如洁银⽛膏50g装的每⽀元，120g装的每⽀元，⼆者单位重量的价格⽐是：1.试⽤⽐例⽅法构造模型解释这个现象。
（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。
价格由⽣产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正⽐，有的与表⾯积成正⽐，还有与w⽆关的因素。
（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越⼤c越⼩，但是随着w的增加c减⼩的程度变⼩，解释实际意义是什么。
解答：（1）分析：⽣产成本主要与重量w成正⽐，包装成本主要与表⾯积s成正⽐，其他成本也包含与w和s成正⽐的部分，上述三种成本中都包含有与w,s 均⽆关的成本。
⼜因为形状⼀定时⼀般有3事/ ,故商品的价格可表⽰为1 ⼀.⼀⼀ | ⼀： :（a，B，丫为⼤于0的常数）。
（2）单位重量价格',显然c是w的减函数。
说明⼤包装⽐⼩包装的商品更便宜，曲线是下凸的，说明单价的减少值随着包装的变⼤是逐渐降低的，不要追求太⼤包装的商品。
函数图像如下图所⽰：题⽬22. 在考虑最优定价问题时设销售期为T,由于商品的损耗，成本q随时间增长, 设q = * 0 t, B为增长率。
⼜设单位时间的销售量为x = a - bp（p为价格）今将销售期分为⼀⼆，?⼀和?⼕-⼁两段，每段的价格固定，记为/ .求的最优值，使销售期内的总利润最⼤。
如果要求销售期T内的总销售量为丁 ,再求'的最优值解答：由题意得：总利润为 ||| ：；◎,「.=' ⼚「I ⼗、^.7 -⼗+ '' ■■''■' ■■- l ，J以⼧⼈hPt -(舸 + @ ■ bp$ - b[p2 - (go 3p T/4)]由⼀=0, — -「，可得最优价格设总销量为丁 ,〔a - bpp dt + J'/a - bp^dt - aT - —(pf +在此约束条件下U的最⼤值点为$bT~ bT a题⽬33. 某商店要订购⼀批商品零售，设购进价 G ,售出6,订购费C o （与数量⽆关），随机需求量r 的概率密度为p （r ），每件商品的贮存费为（与时间⽆关）。
“包装的学问”之数学模型
2016 年第 33 期 （总第 237 期）
“包装的学问”之数学模型
金华职业技术学院 胡英武
【摘 要】文章给出了“包装的学问”中包装方案的数学化与包装方案数的确定方法，建立了表面积最小的非线性整数规 划模型并给出了模型的求解方法。 【关键词】包装的学问 包装方案 数学模型 “包装的学问”是北师大版小学数学五年级下册第 82-83页的“综合与实践”领域的教学内容。限于小学生的 思维，教材中的包装问题只涉及一个面、两个面拼接的情 况，不涉及三个面的拼接。作为教师，应该思考一般的包 装问题。 12=3×2×2 12=2×3×2 （三）最优方案的确定 12=2 ⋅ n3 下，长方体的长、宽、高分别为 n1a、n2b、n3c，表面积为 2(n1a ⋅ n2b + n1a ⋅ n3c + n2b ⋅ n3c) 。
* 问 题 转 化 为 在 n = n1 ⋅ n2 ⋅ n3 ， (n1 , n2 , n3 ∈ N ) 下， 求 2(n1a ⋅ n2b + n1a ⋅ n3c + n2b ⋅ n3c) 的最小值问题，是非线性整数 规划模型。
1 1 1 1 − ≥0， − ≥0 c a c b
1 1 1 1 1 1 1 1 1 − + − + − n2 n1 a n3 n2 b n1 n3 c 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = − + − + − + − n2 n1 a n3 n2 b n1 n2 n2 n3 c 1 1 1 1 1 1 1 1 = − − + − − ≥ 0 n1 n2 c a n2 n3 c b
数学小课题研究教学案例数学设计性研究课题牛奶盒的包装
数学设计性研究课题牛奶盒的包装一、课题的确定牛奶盒的包装问题虽然比较简单，却包含了重要的数学知识，引导学生对这个问题进行思考探究，应用所学知识解决实际问题将有力地促进学生问题意识与解决问题能力的发展。
学生已经学习了长方体和正方体的特征及表面积、体积计算，有了一定的知识基础。
以牛奶盒的打包问题为研究素材，学生非常熟悉，难度不高，研究的同时也为节能减排尽自己的一份努力，所以学生非常高兴地接受了任务，能积极地参与研究。
二、课题的布置与指导将研究任务布置给全班同学。
六个人一个小组，哪个小组找到了解决问题的办法及时跟老师汇报。
刚开始，多数学生找不到研究的突破口，无从下手。
于是，我引导学生观察思考：要把大小不同的长方体包装起来，需要的包装纸一样大吗？为什么？学生说不一样大，大的长方体用的包装纸多，小的用的包装纸少，因为大的长方体表面积大，用的包装纸就大。
学生经过启发后，豁然开朗。
这是一个根本性的问题：怎样包装最省材料，其实就是在思考，怎样组合表面积最小的问题。
这样学生就由实际问题转化为一个具体的数学问题来考虑了。
学生接下来只需研究不同形状长方体的表面积大小。
广泛听取同学们的研究汇报，给于适当的鼓励和表扬，并作一定的指导。
学生汇报的研究方案主要有以下四种：一是从露在外面的面的大小多少来考虑；二是从隐藏面的角度来思考；三是采用实际测量的方法，计算出具体表面积；四是从组合的角度来分析思考。
对于学生汇报中出现的问题作了如下指导。
一个小组通过观察研究发现：每个大面都是由不同的小面组成的，数一数露在外面多少个面就能知道哪一种情况最省包装。
我进一步引导他们，组成六个大面的那些小面都是一样的吗？有几种？既然每一种组合都有三种不同的面，又怎么去比较大小呢？教师一层层的去引导，学生的研究便有了一步步地深入。
一个小组的同学在观察单个奶盒、两个奶盒组合、三个奶盒组合时发现：组合时有些面隐藏了，而且，隐藏的面积越大，露在外面的面积，也就是表面积就会越小。
2011数学建模D题
天然肠衣搭配问题摘要本文研究的是天然肠衣搭配问题，目的是在满足规格要求的条件下，选择使成品捆数最多的优化方案。
共建立了3个模型。
对题中给出的要求逐个考虑，并运用Lingo和Matlab软件编程求解。
模型1 在给定一批原料的情况下，装出的成品捆数越多方案越好。
对各种不同规格的原料，根据每捆成品的总长度和根数建立整数规划模型，得出三种规格的最大捆数分别为14捆， 34捆，129捆。
总数量为177捆。
模型2 根据要求2，在模型1捆数最大的基础上，得出各规格捆数最大时的不同搭配方案，选出最优方案（详见表27，30，47）。
模型3 针对要求3，允许总长度有5.0的误差，各规格成品每捆的根数可以比标准少一根，明显条件放宽，可能会增加成品捆数。
运用Matlab和Lingo软件求解得到三种规格的捆数增加了6捆，总捆数为183捆，具体搭配方案见表48。
针对要求4，后一规格完成搭配后若材料有剩余，剩余材料可降级到前一规格使用，计算出三种规格的捆数增加3，最终最大捆数为186捆。
最后，选用合理的数据对模型进行模拟检验，把相应的数字输入流程，采用计算机搜索法，得出的方案时间不超过30分钟。
关键词：整数规划模型Lingo Matlab1 问题重述1.1 题目背景天然肠衣（以下简称肠衣）制作加工是我国的一个传统产业，出口量占世界首位。
肠衣经过清洗整理后被分割成长度不等的小段（原料），进入组装工序。
传统的生产方式依靠人工，边丈量原料长度边心算，将原材料按指定根数和总长度组装出成品（捆）。
1.2 题目条件1 原料按长度分档，通常以0.5米为一档，如：3-3.4米按3米计算，3.5米-3.9米按3.5米计算，其余的依此类推。
表1是几种常见成品的规格，长度单位为米，∞表示没有上限，但实际长度小于26米。
2 为了提高生产效率，公司计划改变组装工艺，先丈量所有原料，建立一个原料表。
表2为某批次原料描述(见附录A)。
1.3 题目要求1 对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好；2 对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的成品越多，方案越好；3 为提高原料使用率，总长度允许有± 0.5米的误差，总根数允许比标准少1根；4 某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用。
打包销售数学建模
打包销售数学建模
销售线索：指未经任何验证和过滤的客户联系信息目标识别：销售人员通过各类信息识别，找出对产品或服务有潜在需求的客户客户意向：确认客户需求，并判断成交意愿度初步认可：对于有意向的客户，销售人员需要开展进一步的交流谈判，看是否能促成订单覆盖关键人物：客户侧的决策组由多人组成，正确识别不同成员的不同角色有利于最后订单的促成商务谈判：对于成交可能性较大的用户，销售人员进行相关的谈判，双方围绕利益点进行价格、产品等洽谈。
一、销售线索：
记录线索名称及接口人详情：记录客户的基本信息，便于后续跟进。
一般而言客户信息主要包含：公司基本情况、接口人基本信息及联系方式。
二、目标识别：
从销售线索中识别出值得投入资源跟踪的线索。
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B题商品包装问题摘要本文研究的是关于商品包装问题，通过分析题目所给出的条件及客观规律建立了商品价格和影响商品价格因素的关系模型、商品包装面积和商品中产品重量关系模型，利用SPSS、EXCEL软件对上述模型进行了逐一求解，分别回答了题目提出的所有问题。
针对问题一，首先根据客观规律，初步确定了影响商品价格的因素。
具体分析确立商品本身的的成本又由生产该商品的单位成本和所装数量决定，商品包装成本由包材料的单位成本和包装的用量决定。
然后建立了商品包装面积和商品中产品重量关系，同时考虑到商品的所占包装容积的实际容量关系和利润对价格的影响，将各个因素有机的结合。
通过分析商品中产品重量成本因子和商品包装材料成本因子，从而初步的建立起第一个关于描述包装和价格关系的模型。
又考虑到商品的包装有不同的形状，将商品外形大致等效为长方体和柱体。
将模型一中的商品所含产品的重量和包装袋的面积的关系分别推导计算，得到更加精确合理的表示影响商品价格的重量因素和包装材料因素的关系，又考虑到商品利润值的浮动性，将利润归结于单位包装成本和单位原料成本中，在模型一的基础上，建立起模型二。
针对问题二，我们在市场中选取真心瓜子和百事可乐两种商品，首先对问题一中建立的模型一进行验证（详见正文5页和6页），其检验结果与实际调查结果大致吻合，但有一定差异。
所以，将这两种商品带入针对模型一进行改进的模型二中进行验证（详见正文8页），其检验结果较模型一的结果更为合理和可靠。
因此我们认为，所建立的模型二能较好的反应商品的包装和商品的价格之间的关系。
关键词 :包装价格关系成本因子逐层分析法一问题重述1.1 背景资料：在实际生活中,我们所用的同种商品总会碰到有包装类似但是价格不同的情况,比如：在超市中的“真心瓜子”有100g、200g、300g三种规格，它们的价格分别为3.5元、6元和8.5元。
三者单位重量的价格比是17:15:14；百事可乐有500ml、1250ml、2000ml三种规格，它们的价格分别为12:9:7。
,那么商品的包装和商品的价格到底存在怎样的关系。
1.2 需要解决的问题：1. 调查包装类似但多少不同的三种同一商品各两组，建立模型描述包装和价格的关系。
2. 验证所建模型的合理性。
二问题分析2.1 问题一的分析问题一要求对调查两组包装类似但多少不同的三种同一商品建立关于包装和价格的关系模型。
首先考虑商品的包装和价格的关系时，认为价格是由产品本身的生产成本和包装成本以及利润等其他因素共同决定的。
同时，依照客观规律，在商品的供求量正常时，商品生产的越多，其所需要的生产成本会相应的减小。
其中，商品本身的的成本又由生产该商品的单位成本和所装数量决定，我们定义商品中产品重量成本因子，用来表示产品成本和重量之间的关系；商品包装成本由包材料的单位成本和包装的用量决定。
而包装的用量又是根据商品所装产品的重量决定，我们定义商品包装材料成本因子来表示商品包装材料成本和包装面积之间的关系。
按照在商品的供求量正常时，商品生产的越多，其所需要的生产成本会相应的减小的客观规律来说，商品中产品重量成本因子和商品包装材料成本因子会随着商品的生产量的变化而变化。
这样就初步确立了商品的价格同这些影响因素的关系。
当所装袋的产品越多时，所需的包装袋越大，查阅相关资料，得到他们之间的关系。
鉴于商品间存在空隙等因素，k在针对不同的商品时为不同的常量，比如，当商品为液体饮料时，K的值可以近似为1。
这样就将影响商品价格的重量因素和包装材料因素很好的结合起来。
综上，加上利润的影响，就建立起模型一探寻表示包装和价格的关系。
又考虑到商品的包装有不同的形状，但是大致可以分为长方体和柱体。
因此将模型一中的商品所含产品的重量和包装袋的面积的关系分别推导计算，得到更加精确合理的表示影响商品价格的重量因素和包装材料因素的关系，又考虑到商品利润值的不可靠信，最终将利润归结于单位包装成本和单位原料成本中，建立起模型二。
2.2 问题二的分析问题二要求验证针对问题一所建模型的合理性。
由问题一所建立的模型，首先选取两组包装类似的一种商品的价格验证模型一，比较实际值和模型求解值的误差。
同理，验证模型二。
三模型假设（1）假设商品生产的原材料价格稳定，在长时间对商品价格基本无影响。
（2）假设商品的价格仅由包装成本和商品中产品的成本和利润决定。
（3）假设包装成本只记包装材料的成本。
（4）假设同种同一规格商品的利润在全国围基本相同。
（5）假设将商品的运输保管费用等费用归结于商品中产品重量成本因子和商品包装材料成本因子中。
四 符号说明五 模型的建立与求解5.1模型一的建立与求解5.1.1模型的建立结合问题分析和合理的假设得：商品的价格等于商品的总成本加利润， 即：+P C E =总商品的总成本由商品的包装成本和商品中所含产品的成本决定， 即:=X yC C C +总。
商品的包装成本等于单个商品的包装材料的成本乘以单个商品包装材料面积， 即：X p C C S =。
单个商品的生产成本等于单个商品所含产品成本乘以单个商品中所含产品的重 即：y =W C C 。
通过查阅相关的资料可知，单个商品包装材料面积同单个商品中产品的重量存在这样的关系：23K S W =根据以上关系可得： 23K P P C S WC E S W =++⎧⎪⎨⎪=⎩5.1.2模型一针对问题一的求解问题一所建立的模型中存在未知量P C和C ，因此选取两种不同规格的同一商品进行求解。
设第一种规格的商品的价格为1p ，重量为1w，包装材料的面积为1s ，该商品的利润为1e 。
第二种规格的商品的价格为2p ，重量为2w ，包装材料的面积为2s，该商品的利润为2e 。
带入所建立的模型关系式中解得商品包装材料成本因子和商品中产品重量成本因子的关系：2112122122331221222233332112211122331221()()()Pw p w p e w e w C k w w w w w p w w e w e w C w w w w ⎧---⎪=⎪-⎪⎪⎨⎪⎪-+-=⎪⎪-⎩化简得： 21112222331221223321112222332112()+()()()+()Pw p e w e p C k w w w w w p e w e p C w w w w ⎧--⎪=⎪-⎪⎪⎨⎪⎪--=⎪⎪-⎩将所得的C 和P C带入23K P P C S WC E S W =++⎧⎪⎨⎪=⎩中，即可求得商品的包装和商品的价格所存在的关系。
5.1.3模型一针对问题二的求解通过市场调查，选取真心瓜子和百事可乐两种商品，商品的规格和价格如下表所示：将规格为100g 、200g 的真心瓜子带入模型中求解，得：110.15750.012p c c =⎧⎪⎨=⎪⎩将规格300g 真心瓜子的利润和所求的1p c 、1c 带入所建模型中求解:18.428p =与实际价格8.5相比，相差0.847%；将规格为500ml 、1250g 的百事可乐带入模型中求解，得：220.03739-0.000119p c c =⎧⎨=⎩ 将规格2000ml 百事可乐的利润和所求的2p c 、2c 带入所建模型中求解：2 6.8p =与实际价格7.5元相比，相差9.33%；以上所建模型中真心瓜子的模型预测值与实际值很好的吻合，而百事可乐的预测值与实际值有差异，其实际价格与预测价格的偏差达到了9.33%；考虑到调查数据中的利润不确信度以及包装面积和重量的关系不精确等人为因素，因此按照原改进方向，建立模型二。
5.2模型二的建立与求解 5.2.1模型二的建立将商品包装材料面积同单个商品中产品的重量的关系分为长方体和柱体，分别确立其关系：（1）近似圆柱体商品：圆柱体商品包装材料面积同商品中产品的重量的关系：22==22w v v R h S R Rh ρ⎧⎪π⎨⎪=π+π⎩化简得： 22+w W S h R =ρρ则商品的价格可表示为： +22+P P C S WC w W S h R =⎧⎪⎨=⎪ρρ⎩（2）近似长方体商品：长方体商品包装材料面积同商品中产品的重量的关系：==2()w v v abc S ab bc ac ρ⎧⎪⎨⎪=++⎩化简得： 2()W ab bc ac S abc++=ρ则商品的价格可表示为： 22++Pw W S h R P C S WC ⎧=⎪ρρ⎨⎪=⎩ 5.2.2模型二针对问题一的求解 建立的模型二中存在未知量P C和C ，同样选取两种不同规格的同一商品进行求解。
设第一种规格的商品的价格为1p ，重量为1w，包装材料的面积为1s ，第二种规格的商品的价格为2p ，重量为2w ，包装材料的面积为2s，带入所建立的模型关系式中解得商品包装材料成本因子和商品中产品重量成本因子的关系： （1）圆柱体：解得: 122112211221122111111222222222P PW PW C S W S W PS P S C W S W S W W S h R W W S h R -⎧=⎪-⎪-⎪=⎪-⎪⎨⎪=+⎪ρρ⎪⎪=+⎪ρρ⎩将所得的C 和PC 带入+P P C S WC =中，即可求得圆柱体商品的包装和商品的价格所存在的关系。
111222P P C S W C P C S W C P +=⎧⎨+=⎩（2）长方体：111222P P C S W C P C S W C P +=⎧⎨+=⎩ 解得： 122112211221122111111111111222222222222()2()P PW PW C S W S WPS P S C W S W S W a b b c a c S a b c W a b b c a c S a b c -⎧=⎪-⎪-⎪=⎪-⎪⎨++⎪=⎪ρ⎪++⎪=⎪ρ⎩将所得的C 和PC 带入+P P C S WC =中，即可求得长方体体商品的包装和商品的价格所存在的关系。
5.2.3模型二针对问题二的求解将通过市场调查所选取的真心瓜子和百事可乐分别带入模型二中进行检验，其中真心瓜子可以看成为外观长方体的商品，百事可乐可以近似看成外观为圆柱体的商品。
（1）真心瓜子带入相应模型的检验：将规格为100g 、200g 的真心瓜子带入模型中求解，得：110.0002660.02312p c c=⎧⎪⎨=⎪⎩将规格300g 真心瓜子的利润和所求的1p c 、1c 带入所建模型中求解:18.61p =与实际价格8.5元相比，相差1.29%；（2）百事可乐带入相应模型的检验：将规格为500ml 、1250ml 的百事可乐带入模型中求解，得：110.0069230.000783p c c =⎧⎪⎨=⎪⎩将规格2000ml 百事可乐的利润和所求的2p c 、2c 带入所建模型中求解： 28.0p = 与实际价格7.5元相比，相差6.67%；六 模型的评价及改进6.1模型一的评价：建立模型一时遵循了现实的客观规律，认为价格是由产品本身的生产成本和包装成本以及利润等其他因素共同决定的，并且在商品的供求量正常时，商品生产的越多，其所需要的生产成本会相应的减小。