规格化浮点数
float计算方法
float计算方法
浮点数的计算方法主要包括对齐、加减、乘除和规格化四个步骤。
对齐是将两个浮点数的指数位对齐，加减是将两个浮点数相加或相减，乘除是将两个浮点数相乘或相除，规格化是将结果转换为标准的浮点数表示形式。
此外，对于某些具体的浮点数计算，如求小数部分，也可以通过将小数转化为整数进行计算，分别取出整数部分和小数部分，再利用组合后的数据进行计算。
以上内容仅供参考，建议查阅相关的编程书籍或咨询专业技术人员以获取更全面准确的信息。
ieee754单精度浮点数转换公式
ieee754单精度浮点数转换公式摘要：一、引言二、IEEE 754 标准简介三、单精度浮点数转换公式1.规格化表示2.非规格化表示四、实际应用与意义五、结论正文：一、引言随着科技的发展，计算机技术已经深入到我们生活的方方面面。
在计算机中，数据表示和运算是非常重要的环节。
为了统一和规范计算机中的浮点数表示，IEEE 754 标准应运而生。
本文将重点介绍IEEE 754 标准中的单精度浮点数转换公式。
二、IEEE 754 标准简介IEEE 754 标准是计算机中表示浮点数的国际标准，包括单精度、双精度、扩展单精度和扩展双精度四种表示。
其中，单精度浮点数采用32 位（4 字节）表示，包括符号位、指数位和尾数位。
三、单精度浮点数转换公式1.规格化表示对于单精度浮点数，其规格化表示形式为：(-1)^s * 2^(e-127) * (1 + f)，其中s 为符号位，e 为指数位，f 为尾数位。
转换公式如下：a.符号位：s = (digit & 0x80000000) >> 31b.指数位：e = (digit & 0x7F800000) >> 23c.尾数位：f = (digit & 0x007FFFFF) << 132.非规格化表示当单精度浮点数的指数位为全1 时，称为非规格化表示。
此时，尾数位f 实际上就是单精度浮点数的整数部分。
转换公式如下：a.符号位：s = (digit & 0x80000000) >> 31b.尾数位：f = (digit & 0x007FFFFF) << 13四、实际应用与意义在实际应用中，IEEE 754 标准的单精度浮点数转换公式在计算机图形学、信号处理、数值计算等领域都有广泛的应用。
了解和掌握这些公式，有助于我们更好地理解和使用计算机中的浮点数表示。
五、结论总之，IEEE 754 标准的单精度浮点数转换公式对于计算机科学和工程领域的研究者和开发者来说具有重要意义。
规格化浮点数
规格化浮点数第一章第四节浮点数的表示方法一、浮点数表示一个数的浮点形式（设基数是2）可写成：N = （+ -）M 2E其中:M代表尾数,E代表阶码。
计算机中浮点数只用尾数和阶码表示，其形式如下：为了最大限度提高精度，尾数采用规格化形式，既1/2≤M<1。
采用二进制表示时，若尾数大于零，则规格化数应该是01XXXX的形式；若尾数小于零，则规格化数应为10XXXX 的形式。
二、实例【例1】设X=0.0110×23 ,用补码、浮点数形式表示阶码为Xj=011，尾数为00110，这时由于X尾数不符合01XXXX的形式，因此不是规格化数，必须先进行规格化处理。
方法：若尾数小于1/2，把尾数左移一位（不包括符号位），观察结果是否满足规格化条件，满足则在把阶码减1即可，否则继续左移和调整阶码；若尾数大于1，则把尾数右移一位（不包括符号位），观察结果是否满足规格化条件，满足则在把阶码加1即可，否则继续右移和调整阶码。
上例中，00110左移一位为01100，符合规则化标准，此时阶码减1，为010即得到浮点表示形式。
一个浮点数a由两个数m和e来表示：a = m × b^e。
在任意一个这样的系统中，我们选择一个基数b（记数系统的基）和精度p（即使用多少位来存储）。
m（即尾数）是形如±d.ddd...ddd的p位数（每一位是一个介于0到b-1之间的整数，包括0和b-1）。
如果m的第一位是非0整数，m称作规格化的。
有一些描述使用一个单独的符号位（s 代表+或者-）来表示正负，这样m必须是正的在浮点表示方法中，小数点的位置是浮动的，阶码可取不同的数值。
为了便于计算机中小数点的表示，规定将浮点数写成规格化的形式，即尾数的绝对值大于等于0.1并且小于1，从而唯一规定了小数点的位置。
尾数的长度将影响数的精度，其符号将决定数的符号。
浮点数的阶码相当于数学中的指数，其大小将决定数的表示范围。
例题1：表示-13/128这个数的二进制规格化数（阶用移码，尾数用补码）？-13/128=(-1/128)+(-1/32)+(-1/16)=2^-4+2^-5+2^-7=-(0.0000001+0.00001+0.0001)=-(0.0001101)规格化后为:-0.11001*2^(-3)=-0.11001*2^(-11)即阶码=-11尾码=-0.1101设阶码为4位,尾码为10位,阶符与数符各取1位,则:阶码移码= 1 0011原=1 1100反=1 1101补=0 1101移尾码补码= 1 1101000000 原= 1 0010111111反=1 0011000000补如果规格化数格式为: 符号阶码数符,尾数,则结果应为:0 1101 1 001100 0000例题2：十进制数7.5表示成二进制浮点规格化数是多少？要求是：阶符1位，阶码2位，数符1位，尾数4位。
ieee754规格化浮点数范围
ieee754规格化浮点数范围（最新版）目录1.IEEE 754 简介2.浮点数表示方法3.规格化浮点数的概念4.IEEE 754 规格化浮点数范围5.应用和实例正文1.IEEE 754 简介IEEE 754（Institute of Electrical and Electronics Engineers，电气和电子工程师协会）是一个国际性的非营利组织，致力于电气、电子、计算机科学和相关领域的技术标准制定。
在计算机科学领域，IEEE 754 制定了一种用于表示浮点数的标准，被广泛应用于计算机系统、编程语言和处理器设计。
2.浮点数表示方法浮点数是一种表示实数的数值表示方法，它将实数表示为一个整数与一个小数部分的乘积。
整数部分表示浮点数的整数部分，小数部分表示浮点数的小数部分。
浮点数的表示范围取决于整数部分和小数部分的位数。
3.规格化浮点数的概念规格化浮点数是一种特殊的浮点数表示方法，它的整数部分和小数部分经过特定的规范化处理。
规格化浮点数的整数部分总是采用偏置形式，即整数部分总是 1、0 或 -1。
小数部分则表示实数的有效数字，不包含前导零。
规格化浮点数的表示范围比普通浮点数更精确，可以避免某些精度损失问题。
4.IEEE 754 规格化浮点数范围根据 IEEE 754 标准，规格化浮点数分为 32 位、64 位和 128 位三种。
它们的整数部分位数分别为 1 位、11 位和 15 位，小数部分位数分别为 23 位、52 位和 112 位。
这些规格化浮点数可以表示的范围分别为：- 32 位规格化浮点数：-1.4E-45 至 3.4028235E38，有效数字位数为 7 位；- 64 位规格化浮点数：-1.4E-122 至 1.7976931348623157E308，有效数字位数为 15 位；- 128 位规格化浮点数：-1.4E-244 至 1.7976931348623157E6144，有效数字位数为 34 位。
1.1--浮点数的规格化
浮点数的规格化为了使计算机在运行过程中，不丢失有效数字，提高运算的精度，在计算机中，浮点数通常都采用规格化数的表示方法。
对二进制浮点数2J×S，若尾数S满足1/2≤|S|＜1时，则为“规格化的数”，否则就是非规格化的数。
要使浮点数规格化只要移动尾数并改变阶的值就可以实现。
对补码来说，规格化的数意味着什么呢？如果是正数，尾数的第一位数字为“1”；如果是负数，尾数的第一个数字应为“0”（即1.0×…×），或为“1”而以后各位全为“0”（即1.10…0）；前者小于-1/2，后者正好等于-1/2。
为了机器判断方便，在补码表示中，往往不把-1/2列入规格化的数。
这样，补码规格化数规定如下：对正数x≥0，如果1 ＞x ≥1/2，称为规格化数，其补码表示形式为：0.1x…x。
对负数x＜0，如果-1/2＞x ≥-1，称为规格化数，其补码表示形式为：1.0x (x)其中x表示可任取“0”或“1”。
因此，机器只要判断运算结果的符号位与第一位数字是否相同，便可知道是否是规格化的数。
例1：将（-18.75）10转换为二进制浮点规格化数，基数为2，阶符、阶码（用补码表示）共4位，数符（尾符）、尾数（用补码表示）共8位。
解：-18.75D = -10010.11B = -1.001011B×24 ; {-1.001011B < -1}= -0.1001011B×25阶码：+5 = 0101B，补码：0101尾数：[ -0.1001011]补= 1.0110101浮点数：0 101 1 0110101例2：设某计算机用双字表示一浮点数，其中阶符、阶码8位，用原码表示，数符、尾数共8位，用补码表示，求能表示的最大正数为多少？解：最大正数的浮点表示为：01111111 0 1111111阶码：+1111111=2+127尾数：+0.1111111=1-2-7最大正数为：（1-2-7）×2+127浮点加减法运算要经过对阶、尾数加减运算、规格化和舍入四步才能完成。
浮点数规格化的方法
浮点数规格化的方法
浮点数规格化是将一个浮点数表示为标准化形式的过程，其目的是使得浮点数可以方便地进行比较和运算。
浮点数规格化的方法如下：
1. 确定符号位：将符号位取出，用0表示正数，用1表示负数。
2. 确定指数位：将原始指数加上一个常数（偏置）来得到实际指数，常见的偏置值包括127和1023。
3. 确定尾数位：将原始尾数移到小数点后面的第一位，即将小数点右移或左移若干位，直至小数点移到尾数的最高位。
4. 确定隐藏位：在标准化后的尾数前面增加一位，称为隐藏位，其值为1，这样可避免在运算过程中损失精度。
5. 确定舍入规则：根据需求确定舍入规则，常见的有向上舍入、向下舍入和向最近偶数舍入等。
6. 舍入结果：根据所确定的舍入规则将浮点数进行舍入，得到最终的规格化结果。
需要注意的是，不同的浮点数规格化方法可能会导致不同的舍入误差，因此在进
行浮点数运算时需要进行有效的误差估计和处理。
浮点数的运算步骤
浮点数的运算步骤浮点数的加减运算⼀般由以下五个步骤完成：对阶、尾数运算、规格化、舍⼊处理、溢出判断⼀、对阶所谓对阶是指将两个进⾏运算的浮点数的阶码对齐的操作。
对阶的⽬的是为使两个浮点数的尾数能够进⾏加减运算。
因为，当进⾏M x·2Ex 与M y·2Ey加减运算时，只有使两浮点数的指数值部分相同，才能将相同的指数值作为公因数提出来，然后进⾏尾数的加减运算。
对阶的具体⽅法是：⾸先求出两浮点数阶码的差，即⊿E＝E x-E y，将⼩阶码加上⊿E，使之与⼤阶码相等，同时将⼩阶码对应的浮点数的尾数右移相应位数，以保证该浮点数的值不变。
⼏点注意：（1）对阶的原则是⼩阶对⼤阶，之所以这样做是因为若⼤阶对⼩阶，则尾数的数值部分的⾼位需移出，⽽⼩阶对⼤阶移出的是尾数的数值部分的低位，这样损失的精度更⼩。
（2）若⊿E＝0，说明两浮点数的阶码已经相同，⽆需再做对阶操作了。
（3）采⽤补码表⽰的尾数右移时，符号位保持不变。
（4）由于尾数右移时是将最低位移出，会损失⼀定的精度，为减少误差，可先保留若⼲移出的位，供以后舍⼊处理⽤。
⼆、尾数运算尾数运算就是进⾏完成对阶后的尾数相加减。
这⾥采⽤的就是我们前⾯讲过的纯⼩数的定点数加减运算。
三、结果规格化在机器中，为保证浮点数表⽰的唯⼀性，浮点数在机器中都是以规格化形式存储的。
对于IEEE754标准的浮点数来说，就是尾数必须是1.M 的形式。
由于在进⾏上述两个定点⼩数的尾数相加减运算后，尾数有可能是⾮规格化形式，为此必须进⾏规格化操作。
规格化操作包括左规和右规两种情况。
左规操作：将尾数左移，同时阶码减值，直⾄尾数成为1.M的形式。
例如，浮点数0.0011·25是⾮规格化的形式，需进⾏左规操作，将其尾数左移3位，同时阶码减3，就变成1.1100·22规格化形式了。
右规操作：将尾数右移1位，同时阶码增1，便成为规格化的形式了。
要注意的是，右规操作只需将尾数右移⼀位即可，这种情况出现在尾数的最⾼位（⼩数点前⼀位）运算时出现了进位，使尾数成为10.xxxx或11.xxxx的形式。
概述浮点数的表示形式、表示范围、规格化。
概述浮点数的表示形式、表示范围、规格化一、引言在计算机科学领域中，浮点数是一种用于表示实数的数据类型。
它在科学计算、工程领域以及计算机图形学中应用广泛。
浮点数的表示形式、表示范围以及规格化是计算机科学中的重要概念，对于理解计算机中的数值运算和精度控制具有重要意义。
二、浮点数的表示形式在计算机中，浮点数通常由符号位、尾数和指数位组成。
而浮点数的表示形式可分为单精度浮点数和双精度浮点数两种。
单精度浮点数通常由32位组成，包括1位符号位、8位指数位和23位尾数；双精度浮点数通常由64位组成，包括1位符号位、11位指数位和52位尾数。
在计算机中，浮点数采用二进制表示。
由于浮点数采用有限的位数表示，因此在表示大范围的实数时，会存在精度损失的问题。
这也导致了浮点数运算中的舍入误差和精度问题。
三、浮点数的表示范围由于浮点数采用有限的位数表示，因此其表示范围是有限的。
单精度浮点数的表示范围约为1.4x10^-45 到 3.4x10^38，而双精度浮点数的表示范围约为5.0x10^-324 到 1.7x10^308。
在实际应用中，我们需要根据具体的场景选择合适的精度，以兼顾精度和性能。
四、浮点数的规格化在浮点数的表示中，规格化是一种重要的概念。
规格化可以使浮点数的表示更加紧凑，也有利于进行浮点数的比较和运算。
在浮点数的规格化表示中，尾数部分通常采用1.xxxxx的形式来表示，其中xxxxx表示尾数的二进制部分。
指数部分通常采用偏移表示法，这意味着在实际存储中，指数部分的值会进行一定的偏移。
这种规格化表示使得浮点数的表示更加紧凑，也有利于进行浮点数的运算和比较。
五、个人观点和理解浮点数的表示形式、表示范围以及规格化是计算机科学中非常基础和重要的概念。
深入理解浮点数的表示和规格化对于理解计算机中的数值运算和精度控制至关重要。
在实际应用中，我们需要根据具体的场景选择合适的精度，以兼顾精度和性能。
另外，对于浮点数运算中的舍入误差和精度问题，需要进行充分的理解和处理。
浮点数规格化例题讲解
浮点数规格化例题讲解浮点数规格化是计算机体系结构中一个非常重要的概念,它用于将浮点数表示成机器码或者字节序列,以便于计算机内部进行处理。
下面是一个简单的浮点数规格化例题,供参考:例题:计算一个浮点数的二进制表示假设有一个浮点数 `f` 表示为:```f = 0x3f1f3f1f```要计算它的二进制表示,可以将其转换为 8 位二进制数,然后求出每一位的值:```b = f / 10000000; // 将浮点数除以 10000000 得到商和余数的二进制表示bin =掩码(b, 2); // 将二进制表示转换为十进制数 ```掩码函数 `掩码` 用于将二进制数的每一位与对应的位取反,然后将它们相加得到总和。
具体实现如下:```function掩码(b, n:uint):uint;var掩码1:uint = 1 / n;var掩码2:uint = 0 / n;var i:uint;for(i = 0; i < n; i++) {b = b &掩码1;b = b >> 1;b = b &掩码2;b = b >> 1;}return b;```上述函数中的掩码1和掩码2分别表示取反每一位二进制数对应的位和除以 n 得到的商,而 i 表示当前需要取反的位的个数。
将上述函数中得到的二进制表示与 8 位二进制数 `bin` 相加即可得到最终的二进制表示:```bin_out = f + bin;```最终输出即为:```bin_out = 0x100000000 00000000000000000000000000000000 ```以上就是浮点数规格化的一个重要例题,通过这个例题可以更好地理解如何进行浮点数的规格化。
浮点数的规格化名词解释
浮点数的规格化名词解释
浮点数的规格化，也称为标准化，是指将浮点数表示为一种特定形式的过程。
一般而言，浮点数的规格化有两个方面的含义，分别是尾数的规格化和指数的规格化。
1.尾数的规格化：尾数的规格化是指将尾数部分表示为规定的形式，通常是一个正数小于1的实数。
在一般的浮点数表示中，尾数是由一个隐含的1和一些二进制小数位组成的。
尾数的规格化过程就是将这个隐含的1移到小数点的前面，使得尾数的最高位为1。
2.指数的规格化：指数的规格化是指将指数部分表示为规定的形式，常见的形式是移码表示法。
移码表示法一般规定，对于n位二进制，移码表示范围是从-2^(n-1)到2^(n-1)-1。
进行指数的规格化时，需要对指数进行偏移，将其转换为移码表示范围内的数。
扩展：
在进行浮点数规格化时，还可能存在更多的步骤，如舍入、溢出和舍入模式等。
舍入是指将尾数按照一定的规则进行舍入，通常是向最近的允许值舍入；溢出是指在规格化过程中，尾数或指数超出了表
示范围，需要进行溢出处理；舍入模式则是定义了进行舍入时的操作规则，常见的有向零舍入、向正无穷舍入、向负无穷舍入和最近偶数舍入等。
总之，浮点数的规格化是将浮点数表示为一种特定形式的过程，包括尾数的规格化和指数的规格化，同时可能还需要进行舍入、溢出等操作。
这个过程在计算机中被广泛应用于浮点数的存储和运算。
浮点数规格化处理
浮点数规格化总结
Hale Waihona Puke 规格化有补码或者原码的规格化。 （1）原码规格化后 正数为0.1××…×的形式。 负数为1.1××…×的形式 （2）补码规格化后 正数为0.1××…×的形式。 负数为1.0××…×的形式。
浮点数的规格化形式：
浮点数都是近似表示的，精度由 尾数决定，数的表示范围大小由R、E 决定。为了提高精度需要使尾数的有 效位数尽可能占满可用的位数。这种 措施称为浮点数的规格化。规格化要 求尾数：1/R<=|M|<1 R=2时 0.5<=|M|<1 即2-1<=|M|<20 (0.1)2<=|M|<(1)2
将一个浮点数转换为规格化的过程， 称为浮点数规格化。 右规：尾数右移一位，阶码+1 左规：尾数左移一位，阶码-1
对于规格化浮点数小数点后第一个值 是固定的（正数：1，负数：原码1，补 码0），所以该位往往缺省，称为隐藏 位。
• 规格化处理,若得到的结果不满足规格化 规则,就必须把它变成规格化的数,对双符号 位的补码尾数来说,就必须是001××…×或 110××…×的形式。 当结果尾数的两个符号位的值不同时, 表明尾数运算结果溢出。此时应使结果尾 数右移一位,并使阶码的值加1,这被称为向 右规格化,简称右规。 当尾数的运算结果不溢出,但最高数值 位与符号位同值,表明不满足规格化规则,此 时应重复地使尾数左移、阶减减1,直到出 现在最高数值位上的值与符号位的值不同 为止,这是向左规格化的操作,简称左规。
浮点数的表示方法规格化处理
0xC04E000000000000（real*8）
转换成二进制
1100000001001110000000000000000000000000000000000000000000000000
符号位指数部分（11位）尾数部分
1 10000000100 1110000000000000000000000000000000000000000000000000
4.胡越民.计算机组成与系统结构，北京：电子工业出版社, 2002.58~62
IEEE754浮点数
一：概述
IEEE754浮点数格式
短实数也称单精度数符号位1位，阶码8位，尾数23位
长实数也称双精度数符号位1位，阶码11位，尾数52位
42E48000
第一步,化为2进制
0100 0010 1110 0100 1000 0000 0000 0000
1浮点数的一般表示方法
在数学中，表示一个浮点数需要三要素：尾数（mantissa）、指数（exponent，又称阶码）和基数（base），都用其第一个字母来表示的话，那么任意一个浮点数N可以表示成下列形式：N=M×BE，例如N1=1.234×10-6，N2= -0.001011×2011等，同样的数字对于不同的基数是不相同的，移动小数点的位置，其指数相应地跟着变化。在计算机中，表示一个浮点数，同样需要以上三要素，只是阶码与尾数一同存储，基数常有2、8、16等数值，下面的讨论以2为基数进行。
real*81位符号位(s)、11位指数(e)，52位尾数(m,共64位)1023(3FFH)
real*101位符号位(s)、15位指数(e)，64位尾数(m,共80位)16383(3FFFH)
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原理中十进制-3.75用规格化的浮点数表示
原理中十进制-3.75用规格化的浮点数表示1. 背景介绍十进制数是我们日常生活中最常见的数学表示方法。
然而，计算机内部使用的是二进制数来进行计算和存储。
将十进制数转换为二进制数形式是计算机内部运算的基础之一。
在转换过程中，我们经常需要用到规格化的浮点数来表示十进制数，本文将以十进制数-3.75为例，介绍如何用规格化的浮点数表示。
2. 十进制-3.75的转换在将十进制数转换为规格化的浮点数表示之前，我们需要将其转换为二进制数。
具体转换过程如下：- 整数部分转换：-3转换为二进制数为-11；- 小数部分转换：0.75转换为二进制数为0.11；- 综合整合：-3.75的二进制表示为-11.11。
3. 规格化的浮点数表示在计算机内部，浮点数采用科学计数法来表示，即采用符号、尾数和指数的形式。
规格化的浮点数表示可以用以下公式表示：(-1)^s * M * 2^E其中，s表示符号位，M表示尾数，E表示指数。
在该公式中，s为0表示正数，为1表示负数；M为小数点左边的有效二进制数，范围为[1,2)；E为指数，范围为[-127,128)。
4. 十进制-3.75的规格化浮点数表示根据步骤2的二进制表示，可以将十进制-3.75转换为规格化的浮点数表示：- 符号位s：根据-3.75为负数，s=1；- 尾数M：-11.11可以写成-1.11*2^2，故M=1.11；- 指数E：由于小数点左移2位，故E=-2。
5. 规格化的浮点数表示为综合以上步骤，十进制-3.75的规格化浮点数表示为：(-1)^1 * 1.11 * 2^(-2)6. 结论本文通过十进制-3.75的转换过程，介绍了如何将十进制数用规格化的浮点数表示。
在实际的计算机运算中，对于任意一个十进制数，我们都可以通过类似的步骤进行转换，进而对其进行精确的计算和存储。
对于计算机科学和工程领域的从业者来说，了解浮点数表示的原理及转换方法是至关重要的。
7. 规格化浮点数的优缺点规格化的浮点数表示方法具有其独特的优点和缺点。
浮点数规格化和教案
第一节X＝(－1)S×(1.M)×2E－127e＝E－127X＝(－1)S×(1.M)×2E－1023 e＝E－1023我承认以前对这俩公式避之不及不予深究努力自己说服自己而未能得逞，部分原因是跟“移码与真值的关系”扯上关系，这“移码与真值的关系”想搞清先得把引入移码的充分理由给我个说法，不幸玩过头正事误了。
上回说了“补码省心移码悦目”能算是今时不同往日了吧，现在轮到对IEEE754浮点数规格化表示法杀无赦去死吧。
首先，“IEEE规格化形式”是对“传统规格化形式”进一步严格要求来的。
IEEE规格化形式唯一，而浮点数记法多种多样。
(1.75)10=1.11×20 (IEEE规格化表示)=0.111×21 (传统规格化表示)=0.0111×22=0.00111×23其次，既然IEEE想到对“传统规格化形式”进一步修订当然有目的，你以为作无用功呐，关键目的是什么？规格化的目的同理。
修改阶码同时左右移小数点使尾数域最高有效位固定为1，尾数就以ta所可能变化成的最大形式出现，即使遭遇类似截断的操作仍可保持尽可能高的精度。
有类错误我这种大秀逗极善于犯！就是不理会左右关系不经过大脑直接作问题少女状问很白的问题：“‘移码和真值的关系’是E=27(或210)+X，那X=E-27(或210),在怎么着里面数该是128(或1024)，咋是127(或1023)？”当E=M=全0E(移码)=全0，对应真值-128M(补码)=全0，对应真值0E=M=全0，真值X=0-128=0结合符号位S 为0或1分正零和负零当E=全1，M=全0E(移码)=全1，对应真值+127M(补码)=全0，对应真值0E=全1，M=全0，真值X=0127=∞结合符号位S 为0或1分+∞和-∞要除去表示零和无穷大这2种特殊情况指数偏移值不选128(10000000)，而选127(01111111)对IEEE32位规格化浮点数8位移码(隐含1位符号位)原本表示范围是-128 →+127（除去全1(+127)全0(-128)剩下-127 →+126 ？？？）实际可用指数值(即阶码真值)e范围是-126→+127加上偏移值后，阶码E的范围变为1→254以10的幂表示，绝对值的范围是10-38→1038假设由S,E,M三个域组成的一个32位二进制字所表示的非零规格化浮点数ｘ,真值表示为：ｘ＝(－1)s×(1.M)×2E－128它所表示的规格化的最大正数、最小正数、最大负数、最小负数是多少？第二节1、什么是IEEE754标准用来规范化浮点数，其格式是（1）32位ｘ＝(－1)s ×(1.Ｍ)×2Ｅ－127 e ＝Ｅ－127（2）64位 ｘ＝(－1)s ×(1.Ｍ)×2Ｅ－1023 e ＝Ｅ－1023其中，s 是符号位，M 是尾数，E 是阶码，e 是实际的指数值表 三种形式的IEEE754浮点数格式参数单精度浮点数 双精度浮点数 扩充精度浮点数 浮点数字长32 64 80 尾数长度P23 52 64 符号位S1 1 1 指数长度E8 11 15 最大指数+127 +1023 +16383 最小指数-126 -1022 -16382 指数偏移量 +127 +1023 +16383可表示的实数范围 10-38~1038 10-308~10308 10-4932~1049322、为什么阶码的偏移量是127？先看下什么机器零：(1)当浮点数尾数M=0，无论阶码E 为何值，则该浮点数为0值(2)当阶码的值遇到比它所能表示的最小值还小时，不管尾数M 为何值，则浮点数为0值(1)、(2)中的零值称为机器零以32位浮点数为例："当阶码E 为全0且尾数M 也为全0时，表示的真值x 为零，结合符号位S 为0或1，有正零和负零之分。
5_浮点数表示及运算
浮点数表示及运算
2019年7月1日
计算机组成原理
1
一、浮点数的表示
9×10－28 = 0.9 ×10-27 2×1033 = 0.2 ×1034
任意一个十进制数 Ｎ 可以写成
Ｎ=10E·×Ｍ （十进制表示）
计算机中一个任意进制数 Ｎ 可以写成
N=Re×m = 2E×M = 2±e× (±m)
[y]补=00 01，00.1011
对阶： [△E]补= [ Ex]补－[Ey]补=00 10+ 11 11= 00 01
y向x对齐，将y的尾数右移一位，阶码加1。
[y]补=00 10，00.0101
求和：
00.1101
+ 00.0101
01.0010
[x+y]补=00 10，01.0010
右归：运算结果两符号位不同，其绝对值大于1，右归。 [x+y]补= 00 11，00.1001
计算机组成原理
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例: 将十进制数20.59375转换成32位浮点数的二进制格式来存储。
解：首先分别将整数和分数部分转换成二进制数： 20.59375＝10100.10011
然后移动小数点，使其在第1，2位之间 10100.10011＝1.010010011×24 e＝4
于是得到： e =Ｅ – 127
计算机组成原理
22
(5) 舍入处理
在对阶或向右规格化时, 尾数要向右移位, 这样, 被右移的尾数 的低位部分会被丢掉, 从而造成一定误差,因此要进行舍入处理。 • 简单的舍入方法有两种： ① “0舍1入”法
0.0000001 --- 0.1111111
1/128 --- 127/128
浮点数的表达与运算
浮点数的表示与运算一、选择1、在规格化浮点数运算中，若浮点数为25X1.10101,其中尾数为补码表示，则该数需将尾数左移一位规格化2、浮点数格式如下：1位阶符，6位阶码，1位数符，8位尾数。
若阶码用移码，尾数用补码表示，则浮点数所能表示数的范围是-263 ~ （1-2-8）X 2633、某浮点机，采用规格化浮点数表示，阶码用移码表示（最高位代表符号位），尾数用原码表示。
下列哪个数的表示不是规格化浮点数？（ B ）阶码尾数A.,1.1000 ••• 00B.,1.0111 ••• 01C.,0.1111 •••01D.,0.1000 ••• 104、设浮点数阶的基数为8,尾数用模4补码表示。
试指出下列浮点数中哪个是规格化数？（ C ）A.11.B.00.C.11.D.11.5、按照IEEE654标准规定的32位浮点数（41A4c000）16对应的十进制数是（D ）A.4.59375B.-20.59375C.-4.59375D.20.593756、如果某单精度浮点数、某原码、某补码、某移码的32位机器数为0xF。
这些数从大到小的顺序是移〉补＞原＞浮7、假定采用IEEE754标准中的单精度浮点数格式表示一个数为H,则该数的值是（+1.125）10X2118、设浮点数共12位。
其中阶码含1位阶符共4位，以2为底，补码表示：尾数含1位数符共8位，补码表示，规格化。
则该浮点数所能表示的最大正数是27-19、如果浮点数的尾数用补码表示，则下列（D ）中的尾数是规格化数形式。
A. 1.11000B. 0.01110C. 0.01010D.1.0001010、设浮点数的基数为4,尾数用原码表示，则以下（C ）是规格化的数。
A. 1.B.0.C.1.D.0.11、已知X=00.875X21, Y=0.625X22,设浮点数格式为阶符1位，阶码2位，数符1位，尾数3位，通过补码求出Z=X-Y 的二进制浮点数规格化结果是―0111 011—12、IEEE754标准中的舍入模式可以用于二进制数也可以用于十进制数，在采用舍入到最接近且可表示的值时，若要舍入两个有效数字形式，（12.5）D应该舍入为1213、下列关于舍入的说法，正确的是（E ）A.不仅仅只有浮点数需要舍入，定点数在运算时也可能要舍入B.在浮点数舍入中，只有左规格化时可能要舍入C.在浮点数舍入中，只有右规格化时可能要舍入D.在浮点数舍入中，左、右规格化均可能要舍入E.舍入不一定产生误差二、综合应用题1、什么是浮点数的溢出？什么情况下发生上溢出？什么情况下发生下溢出？2、现有一计算机字长32位（D3rD0），数符位是第31位。
规格化浮点数
规格化浮点数第一章第四节浮点数的表示方法一、浮点数表示一个数的浮点形式（设基数是2）可写成：N =（+ -）M 2其中：M代表尾数,E代表阶码。
计算机中浮点数只用尾数和阶码表示，其形式如下：阶符阶码尾数符号尾数E浮点数的精度由尾数决定，数的表示范围由阶码的位数决定。
为了最大限度提高精度，尾数采用规格化形式，既1/2≤M<1。
采用二进制表示时，若尾数大于零，则规格化数应该是01XX的形式；若尾数小于零，则规格化数应为10XX的形式。
二、实例【例1】设X=0.0110×23,用补码、浮点数形式表示阶码为Xj=011，尾数为00110，这时由于X尾数不符合01XX的形式，因此不是规格化数，必须先进行规格化处理。
方法：若尾数小于1/2，把尾数左移一位（不包括符号位），观察结果是否满足规格化条件，满足则在把阶码减1即可，否则继续左移和调整阶码；若尾数大于1，则把尾数右移一位（不包括符号位），观察结果是否满足规格化条件，满足则在把阶码加1即可，否则继续右移和调整阶码。
上例中，00110左移一位为01100，符合规则化标准，此时阶码减1，为010即得到浮点表示形式。
一个浮点数a由两个数m和e来表示：a = m ×b^e。
在任意一个这样的系统中，我们选择一个基数b（记数系统的基）和精度p （即使用多少位来存储）。
m（即尾数）是形如±d.ddd...ddd的p位数（每一位是一个介于0到b-1之间的整数，包括0和b-1）。
如果m的第一位是非0整数，m称作规格化的。
有一些描述使用一个单独的符号位（s代表+或者-）来表示正负，这样m必须是正的在浮点表示方法中，小数点的位置是浮动的，阶码可取不同的数值。
为了便于计算机中小数点的表示，规定将浮点数写成规格化的形式，即尾数的绝对值大于等于0.1并且小于1，从而唯一规定了小数点的位置。
尾数的长度将影响数的精度，其符号将决定数的符号。
浮点数的阶码相当于数学中的指数，其大小将决定数的表示范围。
第二章运算方法与运算器（浮点数的加减法，IEEE754标准3264浮点规格化数）
第⼆章运算⽅法与运算器（浮点数的加减法，IEEE754标准3264浮点规格化数）这⼀章，主要介绍了好多种计算⽅法。
下⾯，写⼀点⾃⼰对于有些计算（⼿写计算过程）的见解。
1.原码、反码、补码 原码：相信⼤家都会写，符号位在前⼆进制数值在后，凑够位数即可。
反码：原码符号位不变，其他位全部取反。
补码：反码末位加⼀ / 原码符号位不变，从右往左数第⼀个1及其右边的各位不变，其余位全部取反2.IEEE754的转换 IEEE754标准32/64浮点规格化数形式：X = (-1)S * 1.M * 2E-127(其中，S-阶符，M-尾数，E-阶码) 32位的规格化浮点数：SEM00000...(即⼆进制SEM后⾯补0，写够32位) 以27/64为例： ①化形式：27/64 = + (1.1011)2 * 2-2 ②找SEM：S=0，M=1011，E=(125)10=(01111101)2 ③写结果：00111110 11011000 00000000 00000000 = （3ED800）163.变形补码计算加减法 变形补码没什么稀奇，不过是符号位变成两位⽽已（00为正，11为负），它的价值在于可以作溢出判断（结果00//11表⽰未溢出，01-上溢（所谓上溢符号位还是0），11-下溢（下溢符号位还是1）），就正常求补码（符号位double），放在⼀起加和，做溢出判断，最后别忘了把补码再转换回原码作为最终结果。
x+y： 以x=11011, y=00011为例： ①求补：[11011]补=0011011, [00011]补=0000011 ②加和：011011 + 000011 = 0011110；符号位00，未溢出，故x+y=11110 x-y：(这⾥把减法化为加法，即 x-y = x+(-y)，另外[-y]补 = [y]补 从右往左数第⼀个1及其右边的各位不变，其余位全部取反，这次连带符号位也要取反) 以x=11011, y=-11111为例： ①求补：[11011]补=0011011, [-11111]补=1100001，[-y]补=0011111 ②加和：[x]补+[-y]补 = 0011011 + 0011111 = 0111010；符号位01，正溢（上溢）；故x-y=+1110104.浮点数加减法（我⽤的是补码计算） 这⾥⾯涉及的东西⽐较多，每⼀步都需要仔细，错⼀步结果就错了。
浮点数规格化的规则
浮点数规格化的规则一、引言在计算机科学中，浮点数是一种重要的数据类型。
浮点数表示实数，但由于计算机的存储和计算能力有限，因此需要对浮点数进行规格化，以提高计算机的精度和性能。
本文将深入探讨浮点数规格化的规则。
二、浮点数表示计算机中的浮点数通常采用IEEE 754标准进行表示。
IEEE 754标准定义了浮点数的格式、表示范围和运算规则。
浮点数由符号位、指数位和尾数位组成，其中符号位表示数的正负，指数位表示数的数量级，尾数位表示数的精度。
三、浮点数规格化的目的浮点数规格化的主要目的是提高计算机的精度和性能。
规格化后的浮点数可以更准确地表示实数，避免精度丢失和舍入误差。
此外，规格化还可以优化计算机的运算速度和存储空间利用率。
3.1 提高精度浮点数规格化可以通过调整尾数的位置和数量级来提高精度。
通过尽量将尾数移到指数范围内，并且尾数的位数越多，表示的精度就越高。
规格化后的浮点数能够更准确地表示实数，提高计算结果的精度。
3.2 避免舍入误差在计算机中进行浮点数运算时，经常会涉及到舍入误差。
舍入误差是由于浮点数的有限表示能力所导致的。
通过规格化，可以减少舍入误差的影响，提高计算结果的准确性。
3.3 优化性能规格化后的浮点数可以优化计算机的运算速度和存储空间利用率。
规格化的浮点数可以更快地进行运算，提高计算的效率。
此外，规格化还可以减少浮点数的存储空间占用，节省计算机的内存资源。
四、浮点数规格化的规则浮点数规格化的过程中，需要遵循一些规则。
下面是浮点数规格化的几个重要规则：4.1 规格化尾数规格化浮点数的第一步是规格化尾数。
要将尾数移到指数范围内，即变成一个大于等于1且小于2的数。
这可以通过移动尾数的小数点位置来实现。
如果尾数小于1，则左移小数点使之变大；如果尾数大于等于2，则右移小数点使之变小。
移动小数点的同时，需要更新指数位。
4.2 更新指数位规格化尾数的同时，需要更新对应的指数位。
当尾数左移时，指数位需要减小；当尾数右移时，指数位需要增大。
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规格化浮点数
第一章第四节浮点数的表示方法
一、浮点数表示
一个数的浮点形式（设基数是2）可写成：
N = （+ -）M 2E
其中:M代表尾数,E代表阶码。
计算机中浮点数只用尾数和阶码表示，其形式如下：
为了最大限度提高精度，尾数采用规格化形式，既1/2≤M<1。
采用二进制表示时，若尾数大于零，则规格化数应该是01XXXX的形式；若尾数小于零，则规格化数应为10XXXX 的形式。
二、实例
【例1】设X=0.0110×23 ,用补码、浮点数形式表示阶码为Xj=011，尾数为00110，这时由于X尾数不符合01XXXX的形式，因此不是规格化数，必须先进行规格化处理。
方法：若尾数小于1/2，把尾数左移一位（不包括符号位），观察结果是否满足规格化条件，满足则在把阶码减1即可，否则继续左移和调整阶码；若尾数大于1，则把尾数右移一位（不包括符号位），观察结果是否满足规格化条件，满足则在把阶码加1即可，否则继续右移和调整阶码。
上例中，00110左移一位为01100，符合规则化标准，此时阶码减1，为010即得到浮点表示形式。
一个浮点数a由两个数m和e来表示：a = m × b^e。
在任意一个这样的系统中，我们选择一个基数b（记数系统的基）和精度p（即使用多少位来存储）。
m（即尾数）是形如±d.ddd...ddd的p位数（每一位是一个介于0到b-1之间的整数，包括0和b-1）。
如果m的第一位是非0整数，m称作规格化的。
有一些描述使用一个单独的符号位（s 代表+或者-）来表示正负，这样m必须是正的
在浮点表示方法中，小数点的位置是浮动的，阶码可取不同的数值。
为了便于计算机中小数点的表示，规定将浮点数写成规格化的形式，即尾数的绝对值大于等
于0.1并且小于1，从而唯一规定了小数点的位置。
尾数的长度将影响数的精度，其符号将决定数的符号。
浮点数的阶码相当于数学中的指数，其大小将决定数的表示范围。
例题1：
表示-13/128这个数的二进制规格化数（阶用移码，尾数用补码）？
-13/128=(-1/128)+(-1/32)+(-1/16)=2^-4+2^-5+2^-7
=-(0.0000001+0.00001+0.0001)
=-(0.0001101)
规格化后为:
-0.11001*2^(-3)=-0.11001*2^(-11)
即阶码=-11
尾码=-0.1101
设阶码为4位,尾码为10位,阶符与数符各取1位,则:
阶码移码= 1 0011原=1 1100反=1 1101补=0 1101移
尾码补码= 1 1101000000 原= 1 0010111111反=1 0011000000补
如果规格化数格式为: 符号阶码数符,尾数,则结果应为:
0 1101 1 001100 0000
例题2：
十进制数7.5表示成二进制浮点规格化数是多少？
要求是：阶符1位，阶码2位，数符1位，尾数4位。
解答：
7.5化成二进制是111.1=0.1111*2^3
阶码是3即11，为正数，故阶符为0
7.5为正数，数符为0
尾数为0.1111 用1111表示
拼接后为0 11 0 1111
即01101111
例题3：
十进制数-27/64表示成规格化浮点数是？
解答：
-27/64：
尾符：这是负数，为1
27/64写成二进制位0.011011=0.110110*2^-1，规格化要求尾数表示为0.1xxx 的形式
阶符：为负数 1
阶码：-001的补码是111
尾码: 用原码表示比较简单：110110
如果按照“阶符阶码尾符尾码”表示,则应该表示为：1 111 1 110110。