二次函数 角度问题

如图1，直线l：y＝x+m与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线y＝x2+bx+c经过点B，与直线l的另一个交点为C（4，n）．

（1）求n的值和抛物线的解析式；

（2）点D在抛物线上，DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2），设点D的横坐标为t（0＜t＜4），矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；

（3）将△AOB绕平面内某点M旋转90°或180°，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“落点”，请直接写出“落点”的个数和旋转180°时点A1的横坐标．

如图，在平面直角坐标系中，O为原点，已知A（2，0）、C（1，），将△OAC绕AC的中点旋转180°，点O落到点B的位置，抛物线经过点A，点D是抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）判断点B是否在抛物线上；

（3）若点P是线段OA上的点，且∠APD＝∠OAB，求点P的坐标；

（4）若点P是x轴上的点，以P、A、D为平行四边形的三个顶点作平行四边形，使该平行四边形的另一个顶点在y轴上，请直接写出点P的坐标．

如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，4）两点，与x轴交于另一点B，（1）求抛物线的解析式；

（2）求P在第一象限的抛物线上，P点的横坐标为t，过点P向x轴作垂线交直线BC于点Q，设线段PQ的长为m，求m与t之间的函数关系式并求出m的最大值；

（3）在（2）的条件下，抛物线上一点D的纵坐标为m的最大值，连接BD，在抛物线是否存在点E（不与点A，B，C重合）使得∠DBE＝45°？若不存在，请说明理由；若存在，请求E点的坐标．

如图，直线y＝x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx﹣2经过A，B，C，点B坐标为（﹣1，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D是线段AC上一个动点，DE⊥AC，交直线AC下方的抛物线于点E，EG⊥x轴于点G，交AC于点F，请求出DF长的最大值；

（3）设抛物线对称轴与x轴相交于点H，点P是射线CH上的一个动点，当△ABP是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．

12．如图，已知直线y＝﹣3x+c与x轴相交于点A（1，0），与y轴相交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过

点A，B，与x轴的另一个交点是C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是对称轴的左侧抛物线上的一点，当S△P AB＝2S△AOB时，求点P的坐标；

（3）连接BC抛物线上是否存在点M，使∠MCB＝∠ABO？若存在，请直接写出点M的坐标；否则说明理由．

如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接DB．

（1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）点M是抛物线上的动点，设点M的横坐标为m．

①当∠MBA＝∠BDE时，求点M的坐标；

②过点M作MN∥x轴，与抛物线交于点N，P为x轴上一点，连接PM，PN，将△PMN沿着MN翻折，

得△QMN，若四边形MPNQ恰好为正方形，直接写出m的值．

24．如图，抛物线y1＝x2﹣1交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B，将此抛物线向右平移4个单位得抛物

线y 2，两条抛物线相交于点C ．

（1）请直接写出抛物线y 2的解析式；

（2）若点P 是x 轴上一动点，且满足∠CP A ＝∠OBA ，求出所有满足条件的P 点坐标；

（3）在第四象限内抛物线y 2上，是否存在点Q ，使得△QOC 中OC 边上的高h 有最大值？若存在，请求出点Q 的坐标及h 的最大值；若不存在，请说明理由．

23.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+c 的图象与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中点B 的坐标为(1，0)，点C 的坐标为(0，4)；点D 的坐标为(0，2)，点P 为二次函数图象上的动点．

（1）求二次函数的表达式；

（2）当点P 位于第二象限内二次函数的图象上时，连接AD ，AP ，以AD ，AP 为邻边作平行四边形APED ，设平行四边形APED 的面积为S ，求S 的最大值；

（3）在y 轴上是否存在点F ，使∠PDF 与∠ADO 互余？若存在，直接写出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由． D C

B A O P x

y

E

23.如图，已知顶点为C （0，﹣3）的抛物线y=ax2+b （a ≠0）与x 轴交于A ，B 两点，直线y=x+m 过顶点C 和点B ．

（1）求m 的值；

（2）求函数y=ax2+b （a ≠0）的解析式；

（3）抛物线上是否存在点M ，使得∠MCB=15°？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

1. 如图1，抛物线y =ax 2

+bx +3（a ≠0）与x 轴、y 轴分别交于点A (-1，0)，B (3，0)、点C 三点．

（1）求抛物线的表达式．

（2）点D (2，m )在第一象限的抛物线上，连接BC ，BD ．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P ，满足∠PBC =∠DBC ？如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．

（3）如图2，在（2）的条件下，将△BOC 沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为△B′O′C′．在平移过程中，△B′O′C′与△BCD 重叠的面积记为S ，设平移的时间为t 秒，直接写出．．．．S 与t 之间的函数关系式．

图2O'

B'C'x

y

O D C B A

x

y

O

C B A