《三个正数的算术—几何平均不等式》教案
3.三个正数的算术-几何平均不等式
1.1.3 三个正数的算术--几何平均不等式导学案一、学习目标1．探索并了解三个正数的算术-几何平均不等式的证明过程．2．会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值．3．会建立函数不等式模型，利用其解决实际生活中的最值问题．二、研究内容（一）导入新课引例1：已知长方形的周长为定值4，试问这个长方形的长、宽各是多少时，它的面积最大，求出这个最大值．引例2：已知长方体的棱长之和为定值12，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．（二）本节新课类比基本不等式的形式，猜想：如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a 3＋b 3＋c 3 3abc ，当且仅当 时，等号成立．证明此猜想定理3：如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c 33abc ，当且仅当 时，等号成立．即三个正数的算术平均 它们的几何平均．（三）问题解决（1）解决引例2（2）自主小课堂：（自己举一些能用定理3解决的简单不等式）（3）例题研究例1：求函数)0x (x4x 2y 2>+=的最小值。
解一：x 24x4x 22x 4x 2y 22=⋅≥+= 当x 4x 22=即32x =时，33min 44224y =⋅=解二： 3322263x3x 1x 23x 3x 1x 2x 4x 2y =⋅⋅≥++=+=∴3min 63y = 上述两种做法是否正确？不正确的话原因是什么？正确解法是什么？例1变式自主小课堂：分组讨论，举一些积定和最小的例子：_____________________总结：在利用不等式解决这类题目时关键是要注意_____________________例2 ：如下图，把一块边长是a 的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？例2变式自主小课堂：分组讨论，举一些和定积最大的例子：_____________________总结：在利用不等式解决这类题目时关键是要注意_____________________（四）小结（1）知识点（2）方法论（五）布置作业（1） 习题１.１（第10页）第１２、１４题（2） 探究n 个正数的算术—几何平均不等式（3） 生活中有许多有趣有用的不等式，请收集一些。
教学设计 三个正数的算术-几何平均不等式
三个正数的算术-几何平均不等式 教学目标：
1．了解三个正数的算术-几何平均不等式；
2．会用平均不等式求一些特定函数的最大（小）值。
教学重点：三个正数的算术-几何平均不等式及定理3的应用 教学难点：应用不等式解决应用问题
教学方法：六动感悟法（读，想，记，思，练，悟） 教学过程
1.三个正数的算术-几何平均不等式：
（1）如果333,,,c b a R c b a ++∈+那么>=abc 3，当且仅当 a=b=c 等号
成立。
（2）定理3：如果a,b,c ∈R+,那么
a b c 3++
≥ ,当且仅当a=b=c 时,等号成立.
2．基本不等式的推广
思考：利用平均不等式求最值的要注意条件？
注意：（1）获得定值需要一定的技巧，如配系数、拆项、分离常数、平方变形等；
（2）连续多次使用平均不等式定理时，要注意前后等号成立的条件是否一致；
3．思考并完成例5
4．如果的最小值？如何求212,0x x x +>
二、检测交流
1．已知9))((,,,≥++++∈+c a b c a b a c c b b a R c b a 求证（思考：根据此题你
能得到什么结论？）
2．若正数的最值计算满足y x xy y x 2,4,2+=
三、拓展探究
1．若的最值计算)(8
,0b a b a b a -+>>
2．若的最小值。
求)3)(2(1
,3,2--++>>b a b a b a
3．（参考例6）设的最大值求2)1(,10x x x -<<。
均值不等式教案2（共5篇）
均值不等式教案2（共5篇）第一篇：均值不等式教案2课题：第02课时三个正数的算术-几何平均不等式(第二课时）教学目标：1．能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题； 2．了解基本不等式的推广形式。
教学重点：三个正数的算术-几何平均不等式教学难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题教学过程：一、知识学习：定理3：如果a,b,c∈R+，那么推广：a+b+c3≥abc。
当且仅当a=b=c时，等号成立。
3a1+a2+Λ+ann≥a1a2Λan。
当且仅当a1=a2=Λ=an时，等号成立。
n语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
思考：类比基本不等式，是否存在：如果a,b,c∈R+，那么a+b+c≥3abc（当且仅当a=b=c时，等号成立）呢？试证明。
二、例题分析：例1：求函数y=2x+223333(x>0)的最小值。
x解一：y=2x+31112=2x2++≥332x2⋅⋅=334∴ymin=334 xxxxx33312223解二：y=2x+≥22x⋅=26x当2x=即x=时x2xx23 ∴ymin=26⋅12=23312=26324 21的最小值。
(a-b)b上述两种做法哪种是错的？错误的原因是什么？变式训练1 若a,b∈R+且a>b,求a+由此题，你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要_____________________ 例2 ：如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？变式训练2 已知：长方体的全面积为定值Ｓ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．由例题，我们应该更牢记一 ____ 二 _____ 三 ________，三者缺一不可。
另外，由不等号的方向也可以知道：积定____________，和定______________.三、巩固练习 1.函数y=3x+12(x>0)的最小值是（）2xA.6B.66C.9D.12 2．函数y=x4(2-x2)(0<x<2)的最大值是（）D.2727A.0B.1C.四、课堂小结：通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，但是在应用时，应注意定理的适用条件。
1.1.3三个正数的算术--几何平均不等式(教学设计)
培养与他人合作的精神。学会与人合作交流，乐于探究，感受生活中的数学，
体验成功的喜悦，激发学生学习数学的兴趣，形成正确的学习态度。
重点
三个正数的算术几何平均不等式的理解及应用。
难点
三个正数的算术几何平均不等式应用。
教法
以“问题引导、合作探究”为主的引导发现式教学法。
2.让学生通过拓展练习，进一步掌握此不等式的应用。
拓展2：能不能用基本不等式解决与长方体的棱长和，表面积，体积有关的其他类似问题？
（小组讨论，展示讨论成果）
例2
及其拓展
例2：用边长为60厘米的正方形铁皮做一个无盖的水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边形翻转90°，再焊接而成，问截去小正方形的边长x为多少时，水箱容积V最大，最大的容积为多少？
教学环节设计
设计说明
教
学
过
程
复习引入
复习上节课学习的不等式的相关知识。
（1）基本不等式的内容
（2）基本不等式的应用：证明不等式，求最值。
（3）用基本不等式求最值的条件：“一正，二定，三相等”。
通过复习引入新课，使学生类比两个正数的基本不等式，学习三个正数的基本不等式。
新
课
讲
解
猜想
类比定理1,2猜想对于三个实数或正数有什么样的不等式。
例
1
及其
拓展
例1：已知x,y,z∈ ,求证： 。
（学生独立完成）
把三个正数的算术几何平均不等式的形式与两个正数的基本不等式做比较寻求解决方式，引导学生利用已有的知识经验求解。
拓展1：把x,y,z看做长方体的长宽高，那这个不等式说明什么问题？
教学设计 三个正数的算术—几何平均不等式
1、猜想：
abc 3 1. 学生自主思考，猜想结 借 助 类 比 的 若a, b, c R , 求证： abc , 3 论. 方法，引导学 当且仅当a b c时, 等号成立. 生进行猜想，
若a, b, c R , 求证： a 3 b3 c 3 3abc, 当且仅当a b c时, 等号成立.
键，
若a b c为定值，abc 可能最大值
对定理有效的 解读有利于学 生抓住数学的 本质， 提高学生 运用知识的敏 感性， 从而提升 学生的正确运 用数学知识的 能力.
⑶当且仅当 a b c 时，等式成 立，此时取到最大（小）值. 5、定理推广：n 个正数的算术 5、 类比基本不等式和三个正 借 助 类 比 的 —几何平均不等式： 数的算术-几何平均不等式， 方法，引导学 生进行类比 若a1 , a2 , a3 , , an R , 则 归纳出 n 个正数的算术—几 推理和归纳 a1 a2 a3 an n a1a2 a3 an , 何平均不等式 推理，培养学 n 生合情推理 当且仅当a1 a2 a3 an时, 能力. 等号成立.
2
4、类比基本不等式，引导学 abc 3 abc a b c 3 3 abc 3 生对定理进行解读，让学生
3
若abc为定值，a b c 可能有最小值 抓住利用定理解决问题的关
abc 3 a bc abc abc 3 3
培养学生合 情推理能力.
2、证明：
因为a3 b3 c3 3abc (作差)
新 知 探 究
从已有知识 出发，层层推 3 2.学生在教师引导下，经历 进，调动学生 = a b 3a 2b 3ab 2 演绎推理的论证过程. 进行逻辑思 c 3 3abc 维的内驱力， 逐步导出结 3 = a b c3 3a 2b 3ab 2 3abc 论，培养学生 演绎推理能 = a b c a b a b c c 3ab a b c 力.
《三个正数的算术—几何平均不等式》教案
《三个正数的算术一几何平均不等式》教案教学目标1 •能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题； 2•了解基本不等式的推广形式 •教学重、难点重点：三个正数的算术-几何平均不等式难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题 教学过程一、引入：思考：类比基本不等式的形式，猜想对于3个正数a , b , c ,可能有怎样的不等式成立？ 类比基本不等式的形式，猜想对于 3个正数a , b , c ,可能有：若 a,b,c ・R ,那么 a 亠b 亠c -------3 abc ，当且仅当a=b=c 时，等号成立. 3二、给出定理证明:若a, b,c ^ R+,则a 3 + b 3 +c 3畠3abc,当且仅当a = b = c 时,等号成立 和的立方公式： 3 3 2 2 3(x y) x 3x y 3xy y 立方和公式： x 3 y 3 = (x y)(x 2 -xy y 2)a b c- J -----------------------------------------------定理3如果a,b, c • R .，那么 3 abc 当且仅当a=b=c 时，等号成立.3(三个正数的算术平均不小于它们的几何平均 )说明：(1)若三个正数的积是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的和有 最小值.(2)若三个正数的和是一个常数， 那么当且仅当这三个正数相等时， 它们的积有最大值. 定理推广：n 个正数的算术一几何平均不等式：当且仅当 a i =a 2 =a 3二… =an 时,等号成立.三、例题解析例5 已知 m R .,求证(x y z)3 _27xyz. 例6如图1. 1-5(课本第9页)，把一块边长是a 的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方 形，再把它的边沿着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时， 才能使盒子的容积最大？ ^若a i , a 2, a 3, ,a n a i a 2 a 3 a n na n ,四、小结：回顾基本不等式及三个正数的算术—几何平均不等式以及它们的限制条件，I、- —、、＞ * t __-应用它们时,f.『的注意点.。
教学设计 三个正数的均值不等式教学设计
尽可能的 让学生进 行类比、 猜 想， 学生猜 想的结果 可能会很 多， 可一一 让学生展 示交流。
1
定理：如果 a, b, c R+，那么有
ab b c 时，等号成立。 这个等式表述为：三个正数的算术—几何平均不等式 注： １、 若三个正数的积是一个常数， 那么当且仅当这三个正数相等时， 它们的和有最小值。 2、若三个正数的和是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时， 它们的积有最大值。 事实上，基本不等式可以推广到一般的情形： 即：n 个正数的算术—几何平均不等式：
目标
过程与方法
情感态度与价值观 教学重点 教材分析 学法 指导 教学方法 教具 教学设计 教学难点
在学习中学生采用“自主探索---合作交流---问题解决”的小组方 式进行学习。 教学中采用“问题情境----引导思考----解释、应用”的模式进行 教学。 电脑,多媒体课件等 设计意图 师生活动 请学生 作答。
3
一、复习引入： 基本不等式：如果 a, b 0 那么
ab ab 2
当且仅当 a b 时成立 二、讲授新课 思考：基本不等式给出了两个正数的算术平均与几何平均的关 系，这个不等式能否推广呢？例如，对于 3 个正数，会有怎样的不 等式成立？ 类比基本不等式的形式，我们猜想： 对于 3 个正数 a, b, c, 可能有： 如果 a, b, c R+，那么有
复习旧知 识，让学 生容易进 入新课的 学习。 使学生在 已有知识 和经验的 基础上， 探 索 新 知。 引导学生 进 行 类 比、 猜想， 得出一般 的结论。
学生回 顾，并回 答。
abc 3 abc ， 3 当且仅当 a b c 时，等号成立。
证明： （课堂内不作要求，有兴趣的同学可以在课外研究。 ）
15-16版:3 三个正数的算术—几何平均不等式
3a＋3b＋c－
3
abc
≥2a＋2 b－
ab.
证明
∵3a＋3b＋c－3 abc－2a＋2 b－
ab
＝a＋b＋c－a－b－33 abc＋2 ab＝c－33 abc＋2 ab
＝ ab＋ ab＋c－33 abc≥33 abc－33 abc＝0，
∴原不等式成立．
3 三个正数的算术—几何平均不等式
13
35
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
6．用长为16 cm的铁丝围成一个矩形，则可围成的矩形的最大面 积是___1_6____cm2. 解析 设矩形长为x cm(0＜x＜8)，则宽为(8－x) cm， 面积S＝x(8－x)．由于x＞0,8－x＞0， 可得 S≤x＋82－x2＝16，当且仅当 x＝8－x 即 x＝4 时，Smax＝16. 所以矩形的最大面积是 16 cm2.
2a2c b.
3 三个正数的算术—几何平均不等式
27
分层训练
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
一、基础达标
1．设 a，b，c∈(0，＋∞)且 a＋b＋c＝1，令 x＝1a－11b－11c－1，
则 x 的取值范围为( )
A.0，18
B.18，1
C．[1,8)
D．[8，＋∞)
29
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
2．已知 x，y 都为正数，且1x＋4y＝1，则 xy 有( )
A．最小值 16
B．最大值 16
C．最小值116
D．最大值116
解析 ∵x，y∈(0，＋∞)且1x＋4y＝1，
∴1＝1x＋4y≥2 x4y＝ 4xy，∴ xy≥4，∴xy≥16，
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《三个正数的算术—几何平均不等式》教案
教学目标
1．能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题； 2．了解基本不等式的推广形式.
教学重、难点
重点：三个正数的算术-几何平均不等式
难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题 教学过程
一、引入：
思考：类比基本不等式的形式，猜想对于3个正数a ，b ，c ，可能有怎样的不等式成立？ 类比基本不等式的形式，猜想对于3个正数a ，b ，c ，可能有：若+∈R c b a ,,，那么33
abc c b a ≥++，当且仅当a =b =c 时，等号成立． 二、给出定理
.,,3,,,:333等号成立时当且仅当则若证明c b a abc c b a R c b a ==≥++∈+ 和的立方公式：3223333)(y xy y x x y x +++=+
立方和公式：))((2233y xy x y x y x +-+=+
定理3 如果+∈R c b a ,,，那么33
abc c b a ≥++当且仅当a =b =c 时，等号成立． (三个正数的算术平均不小于它们的几何平均)
说明：(1)若三个正数的积是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的和有最小值．
(2)若三个正数的和是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的积有最大值． 定理推广：n 个正数的算术—几何平均不等式：
.
,,,,,,,321322321131等号成立时当且仅当则若n n n n a a a a a a a a n a a a a R a a a a n ====≥++++∈+
三、例题解析
例5 已知,,x y z R +∈，求证3
()27.x y z xyz ++≥
例6如图1.1-5(课本第9页)，把一块边长是a 的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？
四、小结：
回顾基本不等式及三个正数的算术—几何平均不等式以及它们的限制条件，应用它们时的注意点.。