《三个正数的算术—几何平均不等式》教案
3.三个正数的算术-几何平均不等式
1.1.3 三个正数的算术--几何平均不等式导学案一、学习目标1．探索并了解三个正数的算术-几何平均不等式的证明过程．2．会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值．3．会建立函数不等式模型，利用其解决实际生活中的最值问题．二、研究内容（一）导入新课引例1：已知长方形的周长为定值4，试问这个长方形的长、宽各是多少时，它的面积最大，求出这个最大值．引例2：已知长方体的棱长之和为定值12，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．（二）本节新课类比基本不等式的形式，猜想：如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a 3＋b 3＋c 3 3abc ，当且仅当 时，等号成立．证明此猜想定理3：如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c 33abc ，当且仅当 时，等号成立．即三个正数的算术平均 它们的几何平均．（三）问题解决（1）解决引例2（2）自主小课堂：（自己举一些能用定理3解决的简单不等式）（3）例题研究例1：求函数)0x (x4x 2y 2>+=的最小值。
解一：x 24x4x 22x 4x 2y 22=⋅≥+= 当x 4x 22=即32x =时，33min 44224y =⋅=解二： 3322263x3x 1x 23x 3x 1x 2x 4x 2y =⋅⋅≥++=+=∴3min 63y = 上述两种做法是否正确？不正确的话原因是什么？正确解法是什么？例1变式自主小课堂：分组讨论，举一些积定和最小的例子：_____________________总结：在利用不等式解决这类题目时关键是要注意_____________________例2 ：如下图，把一块边长是a 的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？例2变式自主小课堂：分组讨论，举一些和定积最大的例子：_____________________总结：在利用不等式解决这类题目时关键是要注意_____________________（四）小结（1）知识点（2）方法论（五）布置作业（1） 习题１.１（第10页）第１２、１４题（2） 探究n 个正数的算术—几何平均不等式（3） 生活中有许多有趣有用的不等式，请收集一些。
教学设计 三个正数的算术-几何平均不等式
三个正数的算术-几何平均不等式 教学目标：
1．了解三个正数的算术-几何平均不等式；
2．会用平均不等式求一些特定函数的最大（小）值。
教学重点：三个正数的算术-几何平均不等式及定理3的应用 教学难点：应用不等式解决应用问题
教学方法：六动感悟法（读，想，记，思，练，悟） 教学过程
1.三个正数的算术-几何平均不等式：
（1）如果333,,,c b a R c b a ++∈+那么>=abc 3，当且仅当 a=b=c 等号
成立。
（2）定理3：如果a,b,c ∈R+,那么
a b c 3++
≥ ,当且仅当a=b=c 时,等号成立.
2．基本不等式的推广
思考：利用平均不等式求最值的要注意条件？
注意：（1）获得定值需要一定的技巧，如配系数、拆项、分离常数、平方变形等；
（2）连续多次使用平均不等式定理时，要注意前后等号成立的条件是否一致；
3．思考并完成例5
4．如果的最小值？如何求212,0x x x +>
二、检测交流
1．已知9))((,,,≥++++∈+c a b c a b a c c b b a R c b a 求证（思考：根据此题你
能得到什么结论？）
2．若正数的最值计算满足y x xy y x 2,4,2+=
三、拓展探究
1．若的最值计算)(8
,0b a b a b a -+>>
2．若的最小值。
求)3)(2(1
,3,2--++>>b a b a b a
3．（参考例6）设的最大值求2)1(,10x x x -<<。
均值不等式教案2（共5篇）
均值不等式教案2（共5篇）第一篇：均值不等式教案2课题：第02课时三个正数的算术-几何平均不等式(第二课时）教学目标：1．能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题； 2．了解基本不等式的推广形式。
教学重点：三个正数的算术-几何平均不等式教学难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题教学过程：一、知识学习：定理3：如果a,b,c∈R+，那么推广：a+b+c3≥abc。
当且仅当a=b=c时，等号成立。
3a1+a2+Λ+ann≥a1a2Λan。
当且仅当a1=a2=Λ=an时，等号成立。
n语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
思考：类比基本不等式，是否存在：如果a,b,c∈R+，那么a+b+c≥3abc（当且仅当a=b=c时，等号成立）呢？试证明。
二、例题分析：例1：求函数y=2x+223333(x>0)的最小值。
x解一：y=2x+31112=2x2++≥332x2⋅⋅=334∴ymin=334 xxxxx33312223解二：y=2x+≥22x⋅=26x当2x=即x=时x2xx23 ∴ymin=26⋅12=23312=26324 21的最小值。
(a-b)b上述两种做法哪种是错的？错误的原因是什么？变式训练1 若a,b∈R+且a>b,求a+由此题，你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要_____________________ 例2 ：如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？变式训练2 已知：长方体的全面积为定值Ｓ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．由例题，我们应该更牢记一 ____ 二 _____ 三 ________，三者缺一不可。
另外，由不等号的方向也可以知道：积定____________，和定______________.三、巩固练习 1.函数y=3x+12(x>0)的最小值是（）2xA.6B.66C.9D.12 2．函数y=x4(2-x2)(0<x<2)的最大值是（）D.2727A.0B.1C.四、课堂小结：通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，但是在应用时，应注意定理的适用条件。
1.1.3三个正数的算术--几何平均不等式(教学设计)
培养与他人合作的精神。学会与人合作交流，乐于探究，感受生活中的数学，
体验成功的喜悦，激发学生学习数学的兴趣，形成正确的学习态度。
重点
三个正数的算术几何平均不等式的理解及应用。
难点
三个正数的算术几何平均不等式应用。
教法
以“问题引导、合作探究”为主的引导发现式教学法。
2.让学生通过拓展练习，进一步掌握此不等式的应用。
拓展2：能不能用基本不等式解决与长方体的棱长和，表面积，体积有关的其他类似问题？
（小组讨论，展示讨论成果）
例2
及其拓展
例2：用边长为60厘米的正方形铁皮做一个无盖的水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边形翻转90°，再焊接而成，问截去小正方形的边长x为多少时，水箱容积V最大，最大的容积为多少？
教学环节设计
设计说明
教
学
过
程
复习引入
复习上节课学习的不等式的相关知识。
（1）基本不等式的内容
（2）基本不等式的应用：证明不等式，求最值。
（3）用基本不等式求最值的条件：“一正，二定，三相等”。
通过复习引入新课，使学生类比两个正数的基本不等式，学习三个正数的基本不等式。
新
课
讲
解
猜想
类比定理1,2猜想对于三个实数或正数有什么样的不等式。
例
1
及其
拓展
例1：已知x,y,z∈ ,求证： 。
（学生独立完成）
把三个正数的算术几何平均不等式的形式与两个正数的基本不等式做比较寻求解决方式，引导学生利用已有的知识经验求解。
拓展1：把x,y,z看做长方体的长宽高，那这个不等式说明什么问题？
教学设计 三个正数的算术—几何平均不等式
1、猜想：
abc 3 1. 学生自主思考，猜想结 借 助 类 比 的 若a, b, c R , 求证： abc , 3 论. 方法，引导学 当且仅当a b c时, 等号成立. 生进行猜想，
若a, b, c R , 求证： a 3 b3 c 3 3abc, 当且仅当a b c时, 等号成立.
键，
若a b c为定值，abc 可能最大值
对定理有效的 解读有利于学 生抓住数学的 本质， 提高学生 运用知识的敏 感性， 从而提升 学生的正确运 用数学知识的 能力.
⑶当且仅当 a b c 时，等式成 立，此时取到最大（小）值. 5、定理推广：n 个正数的算术 5、 类比基本不等式和三个正 借 助 类 比 的 —几何平均不等式： 数的算术-几何平均不等式， 方法，引导学 生进行类比 若a1 , a2 , a3 , , an R , 则 归纳出 n 个正数的算术—几 推理和归纳 a1 a2 a3 an n a1a2 a3 an , 何平均不等式 推理，培养学 n 生合情推理 当且仅当a1 a2 a3 an时, 能力. 等号成立.
2
4、类比基本不等式，引导学 abc 3 abc a b c 3 3 abc 3 生对定理进行解读，让学生
3
若abc为定值，a b c 可能有最小值 抓住利用定理解决问题的关
abc 3 a bc abc abc 3 3
培养学生合 情推理能力.
2、证明：
因为a3 b3 c3 3abc (作差)
新 知 探 究
从已有知识 出发，层层推 3 2.学生在教师引导下，经历 进，调动学生 = a b 3a 2b 3ab 2 演绎推理的论证过程. 进行逻辑思 c 3 3abc 维的内驱力， 逐步导出结 3 = a b c3 3a 2b 3ab 2 3abc 论，培养学生 演绎推理能 = a b c a b a b c c 3ab a b c 力.
《三个正数的算术—几何平均不等式》教案
《三个正数的算术一几何平均不等式》教案教学目标1 •能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题； 2•了解基本不等式的推广形式 •教学重、难点重点：三个正数的算术-几何平均不等式难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题 教学过程一、引入：思考：类比基本不等式的形式，猜想对于3个正数a , b , c ,可能有怎样的不等式成立？ 类比基本不等式的形式，猜想对于 3个正数a , b , c ,可能有：若 a,b,c ・R ,那么 a 亠b 亠c -------3 abc ，当且仅当a=b=c 时，等号成立. 3二、给出定理证明:若a, b,c ^ R+,则a 3 + b 3 +c 3畠3abc,当且仅当a = b = c 时,等号成立 和的立方公式： 3 3 2 2 3(x y) x 3x y 3xy y 立方和公式： x 3 y 3 = (x y)(x 2 -xy y 2)a b c- J -----------------------------------------------定理3如果a,b, c • R .，那么 3 abc 当且仅当a=b=c 时，等号成立.3(三个正数的算术平均不小于它们的几何平均 )说明：(1)若三个正数的积是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的和有 最小值.(2)若三个正数的和是一个常数， 那么当且仅当这三个正数相等时， 它们的积有最大值. 定理推广：n 个正数的算术一几何平均不等式：当且仅当 a i =a 2 =a 3二… =an 时,等号成立.三、例题解析例5 已知 m R .,求证(x y z)3 _27xyz. 例6如图1. 1-5(课本第9页)，把一块边长是a 的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方 形，再把它的边沿着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时， 才能使盒子的容积最大？ ^若a i , a 2, a 3, ,a n a i a 2 a 3 a n na n ,四、小结：回顾基本不等式及三个正数的算术—几何平均不等式以及它们的限制条件，I、- —、、＞ * t __-应用它们时,f.『的注意点.。
教学设计 三个正数的均值不等式教学设计
尽可能的 让学生进 行类比、 猜 想， 学生猜 想的结果 可能会很 多， 可一一 让学生展 示交流。
1
定理：如果 a, b, c R+，那么有
ab b c 时，等号成立。 这个等式表述为：三个正数的算术—几何平均不等式 注： １、 若三个正数的积是一个常数， 那么当且仅当这三个正数相等时， 它们的和有最小值。 2、若三个正数的和是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时， 它们的积有最大值。 事实上，基本不等式可以推广到一般的情形： 即：n 个正数的算术—几何平均不等式：
目标
过程与方法
情感态度与价值观 教学重点 教材分析 学法 指导 教学方法 教具 教学设计 教学难点
在学习中学生采用“自主探索---合作交流---问题解决”的小组方 式进行学习。 教学中采用“问题情境----引导思考----解释、应用”的模式进行 教学。 电脑,多媒体课件等 设计意图 师生活动 请学生 作答。
3
一、复习引入： 基本不等式：如果 a, b 0 那么
ab ab 2
当且仅当 a b 时成立 二、讲授新课 思考：基本不等式给出了两个正数的算术平均与几何平均的关 系，这个不等式能否推广呢？例如，对于 3 个正数，会有怎样的不 等式成立？ 类比基本不等式的形式，我们猜想： 对于 3 个正数 a, b, c, 可能有： 如果 a, b, c R+，那么有
复习旧知 识，让学 生容易进 入新课的 学习。 使学生在 已有知识 和经验的 基础上， 探 索 新 知。 引导学生 进 行 类 比、 猜想， 得出一般 的结论。
学生回 顾，并回 答。
abc 3 abc ， 3 当且仅当 a b c 时，等号成立。
证明： （课堂内不作要求，有兴趣的同学可以在课外研究。 ）
15-16版:3 三个正数的算术—几何平均不等式
3a＋3b＋c－
3
abc
≥2a＋2 b－
ab.
证明
∵3a＋3b＋c－3 abc－2a＋2 b－
ab
＝a＋b＋c－a－b－33 abc＋2 ab＝c－33 abc＋2 ab
＝ ab＋ ab＋c－33 abc≥33 abc－33 abc＝0，
∴原不等式成立．
3 三个正数的算术—几何平均不等式
13
35
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
6．用长为16 cm的铁丝围成一个矩形，则可围成的矩形的最大面 积是___1_6____cm2. 解析 设矩形长为x cm(0＜x＜8)，则宽为(8－x) cm， 面积S＝x(8－x)．由于x＞0,8－x＞0， 可得 S≤x＋82－x2＝16，当且仅当 x＝8－x 即 x＝4 时，Smax＝16. 所以矩形的最大面积是 16 cm2.
2a2c b.
3 三个正数的算术—几何平均不等式
27
分层训练
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
一、基础达标
1．设 a，b，c∈(0，＋∞)且 a＋b＋c＝1，令 x＝1a－11b－11c－1，
则 x 的取值范围为( )
A.0，18
B.18，1
C．[1,8)
D．[8，＋∞)
29
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
2．已知 x，y 都为正数，且1x＋4y＝1，则 xy 有( )
A．最小值 16
B．最大值 16
C．最小值116
D．最大值116
解析 ∵x，y∈(0，＋∞)且1x＋4y＝1，
∴1＝1x＋4y≥2 x4y＝ 4xy，∴ xy≥4，∴xy≥16，
人教版高中选修4-53.三个正数的算术——几何平均不等式教学设计
人教版高中选修4-53.三个正数的算术——几何平均不等式教学设计一、教学目标1.掌握三个正数的算术平均和几何平均的概念及其计算方法，理解三个正数的算术平均大于等于几何平均的基本思想；2.运用几何平均不等式解决实际问题，提高数学思维能力和解决实际问题的能力；3.培养学生良好的合作精神和创造性思维能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点•算术平均与几何平均的概念与计算方法；•三个正数的算术平均大于等于几何平均的基本思想。
2. 教学难点•如何运用几何平均不等式解决实际问题。
三、教学内容和教学步骤1. 教学内容1.算术平均与几何平均的概念及其计算方法；2.三个正数的算术平均大于等于几何平均的基本思想；3.几何平均不等式的应用。
2. 教学步骤第一步：导入1.引入本节课的主题，介绍生活中有关于三个数的问题。
2.让学生思考：如何求三个数的平均数？是否有大小之分？为什么？第二步：概念讲解1.讲述算术平均与几何平均的概念及其计算方法。
2.提出三个正数的算术平均大于等于几何平均的基本思想，并进行简单的证明。
第三步：示例演练1.让学生自己推导一下证明，加深理解。
2.解析一道具体的例子，引导学生掌握应用几何平均不等式解决实际问题的方法。
第四步：作业1.布置课后作业，包括书面练习、思考题、拓展练习等多种形式。
2.留出时间让学生在小组合作中讨论问题，提高学生的合作精神和创造性思维能力。
四、教学方式和教学手段1. 教学方式采用讲授、讨论、实例演练、小组合作等多种教学方式，注重学生的参与和交流。
2. 教学手段1.录制教学视频，让学生自主学习；2.设计多元化的书面练习，既注重知识的考查，也注重学生的应用能力；3.设计一些互动性强的思考题和拓展练习，帮助学生扩展视野，拓展思路。
五、教学评价1. 教学效果•通过考察学生的课余作业和课堂互动表现，综合评价本节课的教学效果。
2. 学生评价•通过问卷调查的形式，征求学生对本节课教学内容、教学方式、教学手段、教学效果等方面的评价，反馈教学情况，为今后的教学改进提供依据。
三个正数的算术—几何平均不等式
[变式训练] 已知 a，b，c∈R＋，a＋b＋c＝1，求证： 1a＋1b＋1c≥9.
证明：因为 a，b，c∈R＋，a＋b＋c≥33 abc.
又
a＋b＋c＝1，所以3
abc≤13，所以3
1 ≥3， abc
所以1a＋1b＋1c≥3 3 a1bc≥9. 故原不等式成立． 当且仅当 a＝b＝c＝13时，“＝”成立．
c
c
(2)求函数 y＝ax＋bx2的最小值，其中 ax＞0，bx2＞
0.
则
y
＝
ax
＋
c bx2
＝
ax 2
＋
ax 2
＋
c bx2
≥
3
3
ax ax c 3 2 · 2 ·bx2＝2
3 2ab2c.当且仅当a2x＝bcx2，即 x＝ 3 a2bc时，等号成立．
2．拼凑数学结构，以便能利用基本不等式求最值， 是必须掌握的一种方法，但要注意拼凑的合理性．在三个 正数的算术—几何平均不等式中，也要满足“一正、二定、 三相等”的条件，缺一不可．
(2)基本不等式：a1＋a2＋n …＋an≥n a1a2…an(n∈N*， ai∈R＋，1≤i≤n)．当且仅当 a1＝a2＝…＝an 时等号成立．
语言表述：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何 平均数．
温馨提示 两个定理的使用前提都是“正数”．
[思考尝试·夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
[典例 1] 已知 x∈R＋，求函数 y＝x(1－x2)的最大值．
解：因为 y＝x(1－x2)，
所以
y2
＝
x2(1
－
x2)2
＝
1 2
×
2x2(1
教学案：3.4三个正数的算术—几何平均数
课题
三元基本不等式
主导人
审核人
上课教师
上课班级
上课时间
教学目标
1．理解掌握三元基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题，能类比推理得到n元基本不等式.
2．如何将问题转化出积为定值，或和为定值.
3．进一步掌握类比推理、演绎推理等方法与途径.
教学重点
1．基本不等式成立时的三个限制条件（即一正、二定、三相等）.
复习
（一）二元基本不等式的内容和研究方法：
重要不等式：若 ，则 （当且仅当 时取“=”）.
1.指出定理的适用范围： ;
2.强调取“=”的条件： ;
基本不等式：若 ，则 （当且仅当 时取“=”）.
1.这个不等式的适用范围为 ;
2.语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数;
3.利用此不等式时一定要注意条件：一正二定三相等！有一个条件达不到就不能取得最值.
渗透研究事物的途径和方法
前后贯串
形成整体认知结构
二、例题选讲（应用）
（问题2.1）以上不等式可用于解决哪些问题呢？
【板书】1.证明不等式（从代数结构——数运算角度：和与积的相互转化，可用于含和积不等式的证明）.
例1.已知 ，求证： .
设置意图：综合运用三元基本不等式，培养学生的转化化归能力.
分析引导：（问题1）式中有几个字母？结构如何？
二、自编题
根据基本不等式的“一个不等式，二种思想，三个注意”编写5道难度适中的解答题，并给出方法，相互交流点评：
教后感
分析：根据题设条件建立 与 的关系式 将它代入
得到以 为自变量， 为因变量的函数关系式
用算术——几何不等式求函数的最值 获得问题的解
教学设计 三个正数的算术-几何平均不等式
三个正数的算术-几何平均不等式教学目标：知识与技能：1、掌握三个正数的算术-几何平均不等式；2能够证明三个正数的算术-几何平均不等式3.会应用此定理求某些函数的最值；过程与方法：通过类比学习让学生进一步掌握均值不等式定理,并推广到三个，n 个正数，并会用这些定理求某些函数的最值。
情感态度与价值观：通过学习让学生体会类比学习，培养学生的知识迁移能力；教学重、难点重点：三个正数均值不等式定理的应用；难点：解题中的转化技巧。
教学过程：温故知新：两个正数的均值不等式引入新课：猜想对于3个正数如果+∈R c b a ,,，那么33abc c b a ≥++ （当且仅当c b a ==时取“=”）是否成立？探究1a 、b 、c ∈R +, 那么a 3+b 3+c 3≥3abc , 当且仅当a =b =c 时, 等号成立即可（参考公式: (a +b )3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3; a 3+b 3=(a +b )(a 2-ab +b 2)）证明:对上述结果作简单的恒等变形，就可以的到33333233332222222222223()333()333()()()3()()23()()1()()()()0,2a b c abc a b a b ab c abc a b c a b ab abc a b c a b a b c c ab a b c a b c a ab b ac bc c ab a b c a b c ab bc ca a b c a b b c c a ++-=+--+-=++---⎡⎤=+++-++-++⎣⎦⎡⎤=++++--+-⎣⎦=++++---⎡⎤=++-+-+-≥⎣⎦定理3 如果+∈R c b a ,,，那么33abc c b a ≥++ ，当且仅当c b a ==时取“=” 语言表述： 三个正数的算术平均不小于它们的几何平均. (2)定理3可变形为：①abc ≤(a ＋b ＋c 3)3；②a 3＋b 3＋c 3≥3abc 推广： na a a n +++ 21≥ n i R a N n i ≤≤∈∈+1,,* 语言表述：上述重要不等式有着广泛的应用，例如：证明不等式，求函数最值，判断变量或数学式子的取值范围等等它们涉及到的题目活，变形多，必须把握好凑形技巧今天，我们就来进一步学习均值不等式的应用.例1：已知x 、y 、z ∈R +, 求(x +y +z )3≥27xyz例 2 将一块边长为a 的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？解：设切去窃取的正方形边长为x,无盖方盒子的容积为V,则3x y z ++≥证明：因为，所以3xyz >（x+y+z ），27327xyz≥即（x+y+z ）20(,)2(2a x x a x V <<-=)2()2(441x a x a x V -⋅-⋅⋅=272]3)2()2(4[4133a x a x a x =-+-+≤（师生共同总结此题规律。
三个正数的算术-几何平均不等式 说课稿 教案 教学设计
课 题： 几个著名的不等式之三：平均不等式目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：1、定理1：如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取“=”） 证明：222)(2b a ab b a -=-+ ⇒⎭⎬⎫>-≠=-=0)(0)(22b a b a b a b a 时，当时，当ab b a 222≥+ 1．指出定理适用范围：R b a ∈,强调取“=”的条件b a =。
2、定理2：如果b a ,是正数，那么ab b a ≥+2（当且仅当b a =时取“=”） 证明：∵ab b a 2)()(22≥+ ∴ab b a 2≥+即：ab b a ≥+2 当且仅当b a =时 ab b a =+2注意：1．这个定理适用的范围：+∈R a ；2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
3、定理3：如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取“=”） 证明：∵abc ab b a c b a abc c b a 333)(32233333---++=-++ )(3])())[((22c b a ab c c b a b a c b a ++-++-+++=]32)[(222ab c bc ac b ab a c b a -+--++++=))((222ca bc ab c b a c b a ---++++=])()())[((21222a c c b b a c b a -+-+-++= ∵+∈R c b a ,, ∴上式≥0 从而abc c b a 3333≥++指出：这里+∈R c b a ,, ∵0<++c b a 就不能保证。
推论：如果+∈R c b a ,,，那么33abc c b a ≥++。
（当且仅当c b a ==时取“=”） 证明：3333333333)()()(c b a c b a ⋅⋅≥++⇒33abc c b a ≥++⇒33abc c b a ≥++ 4、算术—几何平均不等式： ①．如果++∈>∈N n n R a a a n 且1,,,,21 则：n a a a n +++ 21叫做这n 个正数的算术平均数，n n a a a 21叫做这n 个正数的几何平均数；②．基本不等式： na a a n +++ 21≥n n a a a 21（n i R a N n i ≤≤∈∈+1,,*） 这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）语言表述：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
1.1.3-三个正数的算术-几何平均不等式-教案(优秀经典公开课比赛教案)
课题：1.1.3三个正数的算术-几何平均不等式一、教材分析：基本不等式在证明不等式的过程中是一个很重要的桥梁，也是求最值的的一种常见方法，经常运用于实际问题，是高考高频考点。
三个正数的算术—几何平均不等式是基本不等式的进一步推广，通过三个正数的算术—几何平均不等式，常常可以将一些较为复杂的求最值的问题化为简单问题，在化归方法中起着重要的承接作用。
因此，本节课注重在例题中呈现类比及转化等数学思想，引导学生进行数学思想方法的探究，培养用数学思想方法解决问题的意识．二、教学目标：1、知识与技能：掌握三个正数的算术-几何平均不等式；2能够证明三个正数的算术-几何平均不等式3.会应用此定理求某些函数的最值；2、过程与方法：通过类比学习让学生进一步掌握均值不等式定理,并推广到三个，n 个正数，并会用这些定理求某些函数的最值。
3、情感、态度与价值观： 通过学习让学生体会类比学习，培养学生的知识迁移能力；三、教学重点：三个正数均值不等式定理的应用；四、教学难点：解题中的转化技巧。
五、教学准备1、课时安排：1课时2、学情分析：学生已经学习不等式的基本性质和基本不等式等相关知识，初步掌握运用所学知识解决简单的数学问题，但不等式作为高中数学的重点和难点,是学生的相对“头疼”的知识内容，尤其是基本不等式成立的前提条件“一正，二定，三相等”，学生解题时常常会顾此失彼，出现基本不等式运用的一些常见错误。
拓展到三个正数或者更多正数时，务必要结合基本不等式，注重类比，对不等式成立的前提条件加以强调。
3、教具选择： 多媒体六、教学方法：启发引导、合作探究七、教学过程1、自主导学：温故知新：两个正数的均值不等式引入新课：猜想对于3个正数如果+∈R c b a ,,，那么33abc c b a ≥++ （当且仅当c b a ==时取“=”）是否成立？ 2、合作探究（1）分组探究： 探究1a 、b 、c ∈R +, 那么a 3+b 3+c 3≥3abc , 当且仅当a =b =c 时, 等号成立即可（参考公式: (a +b )3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3; a 3+b 3=(a +b )(a 2-ab +b 2)） 证明:33333233332222222222223()333()333()()()3()()23()()1()()()()0,2a b c abc a b a b ab c abc a b c a b ab abc a b c a b a b c c ab a b c a b c a ab b ac bc c ab a b c a b c ab bc ca a b c a b b c c a ++-=+--+-=++---⎡⎤=+++-++-++⎣⎦⎡⎤=++++--+-⎣⎦=++++---⎡⎤=++-+-+-≥⎣⎦对上述结果作简单的恒等变形，就可以的到定理3 如果+∈R c b a ,,，那么33abc c b a ≥++ ，当且仅当c b a ==时取“=” 语言表述： 三个正数的算术平均不小于它们的几何平均. (2)定理3可变形为：①abc ≤(a ＋b ＋c 3)3；②a 3＋b 3＋c 3≥3abc推广： na a a n +++ 21≥ n i R a N n i ≤≤∈∈+1,,* 语言表述：（2）教师点拨：上述重要不等式有着广泛的应用，例如：证明不等式，求函数最值，判断变量或数学式子的取值范围等等它们涉及到的题目活，变形多，必须把握好凑形技巧今天，我们就来进一步学习均值不等式的应用.3、巩固训练： 例1：已知x 、y 、z ∈R +, 求(x +y +z )3≥27xyz例2 将一块边长为a 的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？解：设切去窃取的正方形边长为x,无盖方盒子的容积为V,则（师生共同总结此题规律。
三个正数的算术几何平均不等式说课稿
三个正数的算术--几何平均不等式说课稿一、教材分析教材背景“三个正数的算术几何平均不等式”出自普通高中课程标准实验教科书选修4-5不等式选讲第一讲。
作为研究数的不等关系的知识内容，是高中数学的基础知识和重要组成部分，是高考命题重点考查的内容，也是进一步学习高等数学必备的基础知识。
本说课为第三课时，主要内容有：三个正数的算术几何平均不等式的简单证明和应用本课地位和作用两个正数和三个正数的算术平均数与几何平均数的定理是这一选修教材的重点，它是解决函数最值问题的有力工具，在解决实际问题中的一些最佳策略问题应用广泛。
二、目标分析教学目标知识技能目标：理解、掌握三个正数的算术几何平均不等式，并能利用此不等式证明有关不等式和解决一些与其有关的实际问题。
过程性目标通过学生积极参与，亲身经历三个正数的算术几何平均不等式的获得过程，体验其在处理实际问题中的优越性，渗透类比的数学思想。
通过自主探索、合作交流，学生历经从“特殊——一般——特殊”的认知模式，完善认知结构。
通过层层深入，培养学生发散思维的能力，深化对三个正数的算术几何平均不等式理解。
情感、态度与价值观目标学会与人合作交流，乐于探究，感受生活中的数学，体验成功的喜悦，激发学习数学兴趣，形成正确的学习态度。
教学重点和难点重点：三个正数的算术几何平均不等式的理解及应用难点：三个正数的算术几何平均不等式应用确立依据:在利用三个正数的算术几何平均不等式解决问题过程中，必须注意其使用条件，而构造不等式的常用技巧是拆添项或配凑因式，这对于学生来说有一定困难。
三、教学方法及教材处理教学方法：探究发现教学法.通过教师的引导、启发，调动学生参与教学活动的积极性，充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用。
在教学中通过设置疑问，创造出思维情境，然后引导学生动脑、动手、动口，促进思维的发展。
学法指导学生学法：互相讨论、探索发现由于学生在尝试问题解决的过程中常会在新旧知识联系、策略选择、思想方法运用等方面遇到一定的困难，需要教师指导.作为学生活动的组织者、引导者、参与者，教师要帮助学生重温与问题解决有关的旧知，给予学生思考的时间和表达的机会，共同对（解题）过程进行反思等，在师生（生生）互动中，给予学生启发和鼓励，在心理上、认知上予以帮助.这样，在学法上确立的教法，能帮助学生更好地获得完整的认知结构，使学生思维、能力等得到和谐发展.设计理念：三个正数的算术几何平均不等式的证明就是在基本不等式的基础上，引导学生通过类比的方式自主探索，求得结论。
2022年高中数学新人教版A版精品教案《3.三个正数的算术-几何平均不等式》
三个正数的算术—几何平均不等式【学习目标】〔1〕知识目标：掌握三个正数的算术—几何平均不等式，理解其推导过程，能应用该定理证明简单的不等式及求函数最值，注意不等式使用的条件。
〔2〕能力目标：建立知识点之间的联系，建立数与形的联系，建立代数与几何联系，学会运用所学知识解决新问题。
〔3〕情感目标：培养学生不断探索、善于发现和勇于创新的科学态度，为将来的开展打下根底。
【学情分析】学生已掌握两个正数的算术—几何平均不等式，能够熟练使用作差法比拟大小，学生数形结合的数学思想已经初步建立，这为本节课作了知识上的铺垫。
本节课，教师以探究式的教学让学生在合作探究中掌握本节课的知识要点，在小组合作中实现难点的突破。
【难点重点】〔1〕重点：三个正数的算术—几何平均不等式及其推导过程、不等式的简单应用。
〔2〕难点：定理推导及几何意义。
【教学过程】活动1——知识回忆利用问题1：假设.引出对根本不等式的回忆：【设计意图】以二维为起点，为后面让学生用类比的方法在原有知识层面上生长出新的知识做铺垫，有意思的培养学生分析问题的能力。
活动2——类比猜测提出问题2：.在学生用现有知识无法解决的根底上，引发学生比照根本不等式的特征，引发思考，水到渠成的提出下一个问题。
问题3：利用类比推理的思想，大胆猜测，如果是三个正数，会有怎样的结论呢？【设计意图】利用两道题表述上的一致性，表达二维到三维的变化，引发学生的思考，促使学生利用类比的思想来解决问题。
在学生猜测出三个正数的算术—几何平均不等式，强调类比和不完全归纳法得出的结论不一定正确，提出问题5：如何证明？活动3——理论推导〔小组讨论〕法一〔做差法〕：【设计意图】这是课本上给出的证明方法，原命题难证，换元后变成多项式之间的不等关系的证明，可以明显减轻思维量和计算量，培养学生的求简意识。
法二〔构造函数〕：【设计意图】这是意外惊喜，学生在上课时自己提出来的，临时决定展示，有利于开拓学生的视野，建立知识之间的联系，提升学生思维层次。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《三个正数的算术—几何平均不等式》教案
教学目标
1．能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题； 2．了解基本不等式的推广形式.
教学重、难点
重点：三个正数的算术-几何平均不等式
难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题 教学过程
一、引入：
思考：类比基本不等式的形式，猜想对于3个正数a ，b ，c ，可能有怎样的不等式成立？ 类比基本不等式的形式，猜想对于3个正数a ，b ，c ，可能有：若+∈R c b a ,,，那么33
abc c b a ≥++，当且仅当a =b =c 时，等号成立． 二、给出定理
.,,3,,,:333等号成立时当且仅当则若证明c b a abc c b a R c b a ==≥++∈+ 和的立方公式：3223333)(y xy y x x y x +++=+
立方和公式：))((2233y xy x y x y x +-+=+
定理3 如果+∈R c b a ,,，那么33
abc c b a ≥++当且仅当a =b =c 时，等号成立． (三个正数的算术平均不小于它们的几何平均)
说明：(1)若三个正数的积是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的和有最小值．
(2)若三个正数的和是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的积有最大值． 定理推广：n 个正数的算术—几何平均不等式：
.
,,,,,,,321322321131等号成立时当且仅当则若n n n n a a a a a a a a n a a a a R a a a a n ====≥++++∈+
三、例题解析
例5 已知,,x y z R +∈，求证3
()27.x y z xyz ++≥
例6如图1.1-5(课本第9页)，把一块边长是a 的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？
四、小结：
回顾基本不等式及三个正数的算术—几何平均不等式以及它们的限制条件，应用它们时的注意点.。