中国石油大学 随机数据处理方法第七章答案

=
λ
⎡ ⎢⎣
L
+
s
−
s
+
t
+
L− | 2
s
+
L
−
t
|⎤ ⎥⎦
=
s
+
L 2
−
t
λ
+
λ
|
t
−
s− 2
L
|
当t −s > L时
CY
( s, t )
=
s
+
L 2
−
t
λ
+
λ
|
t
−
s− 2
L
|
=
λ(s
+
L 2
−
t
+
t
−
s− 2
L)
=
0
当t −s ≤ L时
—3—
第七章 习题参考答案与提示
CY
( s, t )
=
s
µN (t) = λt, DN (t) = λt, CN (s, t) = λ min(s, t), RN (s, t) = λ min(s, t) + λ 2st 得到 µY (t) = E[Y (t)] = E[ X (t + L) − X (t)] = λ(t + L) − λt = λL 因为 RY (s,t) = E[Y (s)Y (t)] = CY (s,t) + µY (s)µY (t) 对任意 0 ≤ s < t 有
第七章 习题参考答案与提示
第七章 随机过程习题参考答案与提示
1．利用抛掷一枚硬币的试验定义一随机过程
X
(t )
=
⎧2cosπ t , ⎨⎩−2cosπ t
当出现 H ，当出现 T
时 时
,
t ∈ R.
且 P(H ) = 2 , P(T ) = 1 ，求 1) 一维分布函数 F (x, 0) 和 F(x, 1 ) ; 2) 二维分布函数
⎛ 0.1 0.2 0.7 ⎞
P
=
⎜ ⎜
0.9
0.1
0
⎟ ⎟
⎜⎝ 0.1 0.8 0.1⎟⎠
初始分布为 p0 = 0.3, p1 = 0.4, p2 = 0.3, 试求概率 P{X 0 = 0, X1 = 1, X 2 = 2}.
答案与提示：0
15．设马氏链{X n , n ≥ 0}的状态空间为 I = {1, 2, 3} ，初始分布为
3
3
4
F(x, y, 0, 1 ) ；3）求该过程的均值函数,方差函数,相关函数,协方差函数. 4
答案与提示：本题是一个常规题型, 只要注意求 X (t) 的概率分布，进而求出
X
(0)
，
X
(
1 4
)
，
⎛ ⎜⎝
X
(0),
X
(
1 4
)
⎞ ⎟⎠
的概率分布以及
(
X
(t
),
X
(s))
的联合概率分布，从而求
出一维、二维分布函数及其数字特征。
1 ,
A2 − y2
⎪⎩ 0,
− A≤ y ≤+A 其它
11．从数1, 2,L, N 中任取一数，记为 X1 ；再从1, 2,L, X1 中任取一数，记为 X 2 ； 如此继续，从1, 2,L, X n−1 中任取一数，记为 X n . 说明{X n , n ≥ 1} 构成一齐次马氏链， 并写出它的状态空间和一步转移概率矩阵。
CX (s,t) = cos(ωt) cos(ωs) 。
—1—
第七章 习题参考答案与提示
3．设{X (t), t ≥ 0} 是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为 E{X (s) X (t)} = B(t − s), s ≤ t ，且是一个周期为 T 的函数，即 B(τ + T ) = B(τ ), τ ≥ 0 ， 试求方差函数 D[ X (t) − X (t + T )] 。
1) X (t) = W 2 (t),t ≥ 0;
2) X (t) = tW (1), t > 0. t
答案与提示：利用参数为σ 2 的维纳过程{W(t), t≥0}的师资特征：
µW (t) = 0, DW (t) = σ 2t, CW (s, t) = RW (s, t) = σ 2 min(s, t) 得到： 1） µX (t) = σ 2t ， RX (s, t) = σ 4 (st + 2 min2 (s, t))
为青天，问 5 月 3 日为晴天的概率是多少？
答案与提示：{X n , n ≥ 1}的一步转移概率矩阵为
01
⎛1
P
=
0
⎜ ⎜
2
1
⎜⎜⎝
1 3
1⎞
2
⎟ ⎟
，
2 3
⎟⎟⎠
5
月
1
日为晴天，则
5
月
3
日为晴天的概率
P00
(2)
=
5 12
=
0.4167
.
14．考虑状态 0，1，2 上的一个 Markov 链 X n , n ≥ 0 ，它有转移概率矩阵
(2)
P(N (3,5)
=
k)
=
P(N (2)
=
k)
=
8k e−8 k!
,k
=
0,1, 2,L
(3) P(N (2) ≥ 4) = 1 − e−8(1 + 8 + 82 + 83 ) = 0.95762 26
7．设 N1(t) 和 N2 (t) 分别是强度为 λ1 和 λ2 的相互独立的泊松过程,令
fθ
(x)
=
⎪⎧ 1 ⎨ 2π
,
−π ≤ x≤π
⎪⎩ 0,
其它
求在 t 时刻 X (t) 的概率密度。
答案与提示：固定时刻 t ，则随机变量 X (t) = Acos(ω t + θ ) 是随机变量θ 的函
数。先求出分布函数，然后求导。 X (t) 的概率密度为：
⎧ f X (t) ( y) = ⎪⎨π
=
⎧λ (L−
⎨ ⎩
0
|
s
−
t
|)
| s − t |≤ L | s − t |> L
所以
RX
(s,
t
)
=
⎧λ ⎨ ⎩
2
L2 + λ λ 2 L2
L
−
λ
|
s
−
t
|
| s − t |≤ L | s − t |> L
10．如果正弦波随机过程为 X (t) = Acos(ω t + θ )
其中振幅 A取常数，角频率ω 取常数，而相位θ 是一个随机变量，它均匀分布于 (−π ,π ) 间，即：
+
L 2
−
t
λ
+
λ
|t
−
s− 2
L
|
=
λ(s
+
L 2
−
t
+
L
−t 2
+
s)
=
λ(L
+
s
−
t)
所以
CY
( s, t )
=
⎧λ (L
⎨ ⎩
0
+
s
−
t)
t−s≤L t−s>L
同理，对任意的 0 ≤ t < s
CY
( s, t )
=
⎧λ (L
⎨ ⎩
0
+
t
−
s)
s−t≤ L s−t> L
综之得 CY
( s, t )
= λ ⎡⎣min{s + L,t + L} − min{s,t + L} − min{s + L,t} + min{s,t}⎤⎦
= λ ⎡⎣L + 2 min{s,t} − min{s,t + L} − min{s + L,t}⎤⎦
= λ ⎡⎣L + 2s − s − min{s + L,t}⎤⎦
2) µX (t) = 0, t > 0 ， RX (s, t) = σ 2 min(s, t) 。 9．设{X (t)}是强度为 λ 的泊松过程，定义Y (t) = X (t + L) − X (t) ,其中 L > 0 为
常数，求 µY (t), RY (s,t) 。 答案与提示：利用强度为 λ 的泊松过程 N (t) 的数字特征：
写出 X (t) 的一维分布函数族，并求出 X (t) 的协方差函数。
答案与提示：注意到 ∀t ∈T , Acos(ωt) 仍服从正态分布，求出 E[ X (t)] = 0 ，
D[ X (t)] = cos2(ωt) 。 即 知 X (t) 的 一 维 分 布 函 数 族 为 N (0, cos2 (ωt)) ，
⎡ ⎢ ⎣
σ
2 1
ρσ1σ
2
ρσ1σ
σ
2 2
2
⎤ ⎥ ⎦
答案与提示：
σ
2 1
+
stσ
2 2
+
(s
+
t)ρσ1σ
2
6．设粒子按平均率为每分钟4个的泊松过程到达某记数器, N (t) 表示在[0, t)
内到达计数器的粒子个数,试求:
(1) N (t) 的均值函数、方差函数、自相关函数与自协方差函数;
(2) 在第3分钟到第5分钟之间到达计数器的粒子个数的概率分布;