程组解的结构

１．解向量的概念设有齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 若记（1）一、齐次线性方程组解的性质,a a a a a a a a a A mn m m n n ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x x 21则上述方程组（1）可写成向量方程.Ax 0=1212111n n x ,,x ,x ξξξ=== 若为方程的0=Ax 解，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==121111n x ξξξξ 称为方程组(1) 的解向量，它也就是向量方程(2)的解．２．齐次线性方程组解的性质（1）若为的解，则21ξξ==x ,x 0=Ax 21ξξ+=x 0=Ax 也是的解.证明()02121=+=+∴ξξξξA A A 0021==ξξA ,A .Ax x 的解也是故021=+=ξξ（2）若为的解，为实数，则也是的解．1ξ=x 0=Ax k 1ξk x =0=Ax 证明()().k kA k A 0011===ξξ由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组的解空间．0=Ax 证毕.如果解系的基础称为齐次线性方程组,0 ,,, 21=Ax t ηηη ;0,,,)1(21的解的一组线性无关是=Ax t ηηη .,,,0)2( 21出线性表的任一解都可由t Ax ηηη =１．基础解系的定义二、基础解系及其求法的通解可表示为那么的一组基础解系为齐次线性方程组如果0 ==Ax Ax t ,,0,,,21ηηη tt k k k x ηηη+++= 2211.,,,21是任意常数其中r n k k k -定理1.,)(,0 r n S r A R S x A n n m n m -==⨯⨯的维数为解空间时当系数矩阵的秩是一个向量空间构成的集合的全体解所元齐次线性方程组例1求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=--+0377,02352,0432143214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系与通解.解,0000747510737201137723521111~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=A 对系数矩阵作初等行变换，变为行最简矩阵，有A13423423,77 54.77x x x x x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩便得341234343344232377775454,77771001x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+==+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭对应有,107473,01757221⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ξξ即得基础解系).,(,10747301757221214321R c c c c x x x x ∈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 并由此得到通解例2解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=--+-=-+++=-+++76530230553203454321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=76513123115531234111A 对系数矩阵施行初等行变换1021201131~0000000000-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(),r n ,n ,r A R 352=-===即方程组有无穷多解，其基础解系中有三个线性无关的解向量.13452345223x x x x x x x x =--+⎧⎨=-+⎩代入⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------26220262201311034111~34513452334455223x x x x x x x x x x x x x x --+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令所以原方程组的一个基础解系为,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=001121ξ故原方程组的通解为.k k k x 332211ξξξ++=.k ,k ,k 为任意常数其中321,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=010312ξ.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100123ξ34513452333454455222123131100010001x x x x x x x x x x x x x x x x x --+⎛⎫⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭令定理1.,)(,0 r n S r A R S x A n n m n m -==⨯⨯的维数为解空间时当系数矩阵的秩是一个向量空间构成的集合的全体解所元齐次线性方程组证明记B = (b 1, b 2, ···, b l )，则A (b 1, b 2, ···, b l ) = (0 , 0 , ···, 0) ,即Ab i = 0 (i = 1 , 2 , ···, l ) ,表明矩阵B 的l 个列向量都是齐次方程Ax = 0的解.记方程Ax = 0 的解集为S ，由b i S ，知有R (b 1, b 2, ···, b l ) ≤R S ，即R (B ) ≤R S . 而由定理7设m ×n 矩阵A 的秩R (A ) = r , 则有R (A ) + R S = n ，故R (A ) + R (B ) ≤n . 例设A m ×n B n ×l = O ，证明R (A ) + R (B ) ≤n .例设n 元齐次线性方程组Ax = 0 与Bx = 0 同解，证明R (A ) = R (B ) .证明由于线性方程组Ax = 0 与Bx = 0 同解,即它们有相同的解集，设为S ，则由定理7设m ×n 矩阵A 的R S = n -r .n 元齐次线性方程组Ax = 0 的解即有R (A ) = n –R S , R (B ) = n –R S .因此R (A ) = R (B ) .例3).()(A R A A R T=证明证.,维列向量为矩阵为设n x n m A ⨯;0)(,0)(,0===x A A Ax A Ax x T T 即则有满足若 .0,0)()(,0)(,0)(====Ax Ax Ax x A A x x A A x T T T T 从而推知即则满足若 ,0)(0同解与综上可知方程组==x A A Ax T).()(A R A A R T = 因此.0,1)( 2121的解为对应的齐次方程则的解都是及设=-====Ax x b Ax x x ηηηη证明().021=-=-∴b b A ηη.021=-=Ax x 满足方程即ηηbA b A ==21,ηη １．非齐次线性方程组解的性质三、非齐次线性方程组解的性质证明()ηξηξA A A +=+,0b b =+=.的解是方程所以b Ax x =+=ηξ证毕．.,0,2)( 的解仍是方程则的解是方程的解是方程设b Ax x Ax x b Ax x =+=====ηξξη.11*--+++=ηξξr n r n k k x 其中为对应齐次线性方程组的通解，为非齐次线性方程组的任意一个特解.r n r n k k --++ξξ 11*η２．非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组Ax=b 的通解为例4求解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+--=-+-=+--.2132,13,0432143214321x x x x x x x x x x x x 解:施行初等行变换对增广矩阵B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=2132111311101111B ,00000212100211011~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎩⎨⎧+=++=.212,2143421x x x x x并有故方程组有解可见,,2)()(==B R A R ⎩⎨⎧+=++=.212,2143421x x x x x .021021⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=*η1242224121234441211121112100100,(,). 21202120212010010R x x x x x x x c c c c x x x x ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==++=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭方程组Ax = b 的解, R (A ) = 1, 且,111,011,001313221⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+ηηηηηη求方程组的通解.例已知η1 , η2 , η3是三元非齐次线性由题设易得)()2(21323211ηηηηηη+-++⋅=解由题设易得)()2(21323211ηηηηηη+-++⋅=)()]()()[(2132313221ηηηηηηηη+-+++++=,21021⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=解同理,.21121,2102132⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ηη由非齐次线性方程组解的性质知,010,100312211⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=ηηξηηξ是对应的齐次线性方程组Ax= 0 的两个线性无, ξ2是对关的解向量, 又n-R(A) = 3 -1 = 2, 故ξ1应的齐次线性方程组的基础解系. 所以原方程组的通解是x= η1+ k1ξ1+ k2ξ2 ,,k2是任意常数.其中k1。