《高等代数》月测试试题与及答案
高等代数(一)试题及参考答案汇编
高等代数（一）考试试卷一、单选题（每一小题备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确答案的题号填入答题纸内相应的表格中。
错选、多选、不选均不给分，6小题，每小题4分，共24分）1. 以下乘积中（ ）是4阶行列式ij D a =展开式中取负号的项.A 、11223344a a a a .B 、14233142a a a a .C 、12233144a a a a .D 、23413214a a a a .2．行列式13402324a --中元素a 的代数余子式是（ ）.A 、0324-. B 、0324--. C 、1403-. D 、1403. 3．设,A B 都是n 阶矩阵，若AB O =，则正确的是（ ）. A 、()()r A r B n +≤. B 、0A =. C 、A O =或B O =. D 、0A ≠.4．下列向量组中，线性无关的是（ ）.A 、{}0.B 、{},,αβ0.C 、{}12,,,r ααα，其中12m αα=.D 、{}12,,,r ααα，其中任一向量都不能表示成其余向量的线性组合.5．设A 是n 阶矩阵且()r A r n =<，则A 中（ ）.A 、必有r 个行向量线性无关.B 、任意r 个行向量线性无关.C 、任意r 个行向量构成一个极大线性无关组.D 、任意一个行向量都能被其它r 个行向量线性表出.6．n 阶矩阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（ ）条件. A 、充要. B 、充分非必要. C 、必要非充分. D 、非充分非必要. 二、判断题（正确的打√，错误的打×，5小题，每小题2分，共10分）.1．若A 为n 阶矩阵，k 为非零常数，则kA k A =. （ ） 2．若两个向量组等价，则它们包含的向量个数相同. （ ） 3．对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变. （ ） 4．正交矩阵的逆矩阵仍是正交矩阵. （ ） 5．任何数域都包含有理数域. （ ） 三、填空题（每空4分，共24分）.1．行列式000100200100D n n==- . 2．已知5(1,0,1)3(1,0,2)(1,3,1),(4,2,1)αβ---=--=-，则α= ，(,)αβ= .3．矩阵12311211022584311112A ---⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥---⎢⎥--⎣⎦，则()r A = . 4．设线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩有解，其系数矩阵A 与增广矩阵A 的秩分别为s 和t ，则s 与t 的大小关系是 .5．设111123111,124111051A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，则1A B -= .四、计算题（4小题，共42分）1．计算行列式（1）111111111111a a a a；（2）111116541362516121612564.（每小题6分，共12分）2．用基础解系表出线性方程组123451234512345123452321236222223517105x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪+++-=⎪⎨+++-=⎪⎪+--+=⎩的全部解.（10分）3．求与向量组123(1,1,1,1),(1,1,0,4),(3,5,1,1)ααα==-=-等价的正交单位向量组.（10分）4．求矩阵211020413A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的特征根和特征向量.（10分）一、单选题（每题4分，共24分）二、判断题（每题2分，共10分）三、填空题（每空4分，共24分）1．(1)2(1)!n n n --⋅； 2．（1 （2）0；3．3； 4．s t =；5.351222312212112-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 四、计算题（共42分）1．（12分，每小题各6分） (1)解：11131111111111311111(3)111311111111311111a a a a a a a a a a a aa a a++==+++ ..............（3分）31111010(3)(3)(1)001001a a a a a a -=+=+--- ...................（3分）注：中间步骤形式多样，可酌情加分(2)解：222233331111111116541654136251616541216125641654=，此行列式为范德蒙行列式 ......（3分）进而2222333311111654=(61)(51)(41)(56)(46)(45)12016541654=------=-原式 .......（3分） 2．（10分）解：用初等变换把增广矩阵化为阶梯形1213211213211213212111360317740115411122220115410317742351710501711630171163---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-------⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥⎢⎥--------⎣⎦⎣⎦⎣⎦1213211213210115410115410317740048510171163000000--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦..................（3分） 得同解方程组12345234534523215414851x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪--+=-⎨⎪+-=-⎩取45,x x 为自由未知量，得方程的一般解为12345234534521321544185x x x x x x x x x x x x++=+-⎧⎪-=+-⎨⎪=--+⎩（其中45,x x 为自由未知量） 将450,0x x ==代入得特解01551(,,,0,0)444γ=--. ................（3分）用同样初等变换，得到与导出组同解的方程组12345234534523205404850x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩仍取45,x x 为自由未知量，得一般解12345234534523254485x x x x x x x x x x x x++=-⎧⎪-=-⎨⎪=-+⎩，将451,0x x ==和450,4x x ==分别代入得到一个基础解系：12(1,3,2,1,0),(9,11,5,0,4)ηη=--=- ...............（3分）所以，原方程组的全部解为01122k k γηη++，12,k k 为数域P 中任意数。
《高等代数》月测试试题与及答案
《高等代数》月测试试题与及答案（行列式与线性方程组部分）（2004 年 12 月）一、（共12分）叙述下列概念或命题：（1）线性相关；（2）极大线性无关组：（3）行列式按一行（列）展开左理.答：（1）向量组少,勺，…,％称为线性相关，如果有数域P 中不全为零的数/，込，…，/，使 k x a } +k 2a 2 +••• +《％ =0.注 对如下左义也视为正确：如果向量组（5>1 ）中有一个向量可由其余的向量线性 表出，那么向疑组…,a,称为线性相关的.（2）一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中任意添加一个向量（如果还有的话），所得的部分向量组都线性相关.注 对如下定义也视为正确：向量组冷勺，…“的一个部分组称为一个极大线性无 关组，是指：（i ）气，％，…，叫线性无关；（ii ） 4，勺，…，乞可由线性表出.（3）行列式等于某一行（列）的元素分别与它们代数余子式的乘积之和. 注用公式写岀按行（或列）展开左理亦可.二、判断题：（在括号里打“ 或“X”，共20分）(X)2.若向量组久冷…0（$>1）线性相关，则其中每个向量都是其余向量的线性组合.（X）H I3. 在全部“ （/7>1）级排列中，奇排列的个数为一.（J ）24. 若排列川疋〃为奇排列，则排列加木•为偶排列.（X ）5. 若矩阵A 的秩是r,则A 的所有高于r 级的子式（如果有的话）全为零. （J ）6. 若一组向量线性相关，则至少有两个向量的分量成比例. （X ）7. 当线性方程组无解时，它的导岀组也无解.a } +b x a 2 +Z?2 q ©+$ 5+®a 3h 2 h4（X ）8.对”个未知戢“个方程的线性方程组，当它的系数行列式等于0时，方程组一泄无解.（X）9.等价向量组的秩相等.（V ）10.齐次线性方程组解的线性组合还是它的解.（J ）三、（共18分）计算行列式(2) 1 8 27 641 23 33 4311111 4 9 161 22 32 4212 34解原式==12 3 412 3 41 22 32 42 111111111 23 33 43酌情给分. 解将所有列加到第1列上，则第1列与第4列成比例，故原式=0.注本题也可以从第4行提取公因子芥然后用第2行、第3行都和后加到第4彳亍，把第4行化 为元素全为零，故原式=0.(3) a } + X] a 2 q a a 2♦ • •a n +俎召(1 +弟)o ...r —1• • • • • • • • • •注 本题得递推式: 答案正确给满分，有正确的另外对按第一行（或列）展开者类似给分.(1)注用其它方法计算岀a 2+x 2 a 2+x 2四.设向量组冬=（1 丄0,0）,勺=（1，2丄一1）, «3= （0,1,1,-1）,勺= （1,321）, a5 =（2,6.4,-1）•试求向咼组的秩及其一个极大线性无关组，并将其余向量用这个极大线性无关组线性表出.（10分）1 0 1 2、 0 一1 01 2 1 3 6 T 0 11 0 20 1 1 2 40 0 0 1 1、0 -1 -1 1 —1丿<0 0 0 0 0丿（5分）（8分）五、（2分） （3分）1 1'久+ 2 2 + 2 2 + 2 3、 1 2 1112 11 、1 1 2 1 /< 1 1 1,31+21 2-1A-13 2 + 2 2-1 2 + 2 2-1（10分）&3 = — e +a 2, a 5 = -a x + 2a 2 + a 4 ・注 本题关于极大线性无关组答案中，除冬,仪2,勺不能构成极大线性无关组外，任何三个向量都 是极大线性无关组，对其它方法求出极大线性无关组，但未得到线性表出式的给5分. 讨论几取什么值时下列线性方程组有解，并求解.（10分）（5分）斗=1一尤2—禺（兀2*3为自由未知量），或表成疔=（1,0,0） + «（—1丄0） +心（一1,0,1）・……（10分）注本题也可以对增广矩阵用初等行变换的方法讨论.对唯一解及无穷多组解的表达式未能给出 者，各扣2分.(-21 1 n"-2 1 11 -2 1 iT 1-2 1 1 ，无解： .......（7分） 1 1 -2<00 0 3丿1 1 n<1 1 1 p1 1 1T 0 0 0 0 ♦ 有无穷多组解，通解为 1 1<0 0 0 0丿1 （3）当几=1时，增广矩阵 1 解故向咼组的秩为3,印,冬,巾是一个极大线性无关组，并且2方程有唯一解，此时当；IH1且2^-2时, ->六、证明题：（每小题10分，共30分）1.证明：如果向量组,a r线性无关，而少,冬，…,a,，0线性相关，则向量0可以由002,…，M线性表示，且表示法唯一.（10分）.证明（1）由a®、…、j卩线性相关，存在不全为零的数匕人|，使如+也+…+ 也+510 = 0 ............. （2分）又由4，函，…,％线性无关，得—严0 （否则，匕心…,％线性相关,矛盾）.............. （4分）于是，0 = -亠4 一亠a, --------------- -r~a r'............. （5 分）kz k 冲- —（2）设0 = ca +C2a2+・・・ + Cra『，P = l\a\ +I2a2 +••• + C«r»贝I」昭+ c2a2+ •••+c r a T=也+ l2a2 + …+l r a r,即（q 一/,）a｛ +（c2-/2）a2+•••+（c r-/r）a r =0,由于％线性无关，故C] 一厶=0,。
高等代数试题(附答案)
科目名称：《高等代数》姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌一、填空题（每小题5分，共25分）1、 在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。
2、 向量组()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩 为 ，一个最大无关组为 .。
3、 （维数公式）如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么 。
4、 假设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=175131023A 的特征根是 ，特征向量分别为 。
5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为二、是非题（每小题2分，共20分）1、如果r a a a ,,,21 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。
（ ）2、在][x P 中，定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0，是一固定的数，那么变换A 是线性变换。
（ ）3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间，那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。
（ ）4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。
（ ）5、 令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量，那么δ是4R 到自身的线性变换。
其中),,,()(24232221x x x x =ξδ。
（ ）6、 矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。
（ ）7、 若矩阵A 与B 相似，那么A 与B 等价。
（ ） 8、 n 阶实对称矩阵A 有n 个线性无关的特征向量。
（ ）9、 在)(2R M 中，若W 由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么W 是)(2R M 的子空间。
（ ）10、齐次线性方程组0)(=-X A E λ的非零解向量是A 的属于λ的特征向量。
高等代数试卷含答案
1 1．已知)2,1,2,1(1-=a ,3),(1,2,2,(2,3,1,0),32-==a a 则),,(321a a a L 的维数为的维数为①① , ,此生成空间的一组基为此生成空间的一组基为此生成空间的一组基为 ②② . 2．已知)0,0,1(),0,1,1(),1,1,1(321===a a a 是3P 的一个基，由基)0,0,1(1=e ，)1,0,0(),0,1,0(32==e e 到基321,,a a a 的过渡矩阵为① ，向量),,(c b a =b关于基321,,a a a 的坐标为的坐标为② .3.3. 设123,,a a a 是3维欧氏空间V 的一组基，这组基的度量矩阵为212121212-æöç÷--ç÷ç÷-èø， 则向量12x a a =+的长度x 为 .三．（16分）已知复系数矩阵=A ÷÷÷øöçççèæ100021032104321，（1） 求矩阵A 的行列式因子、不变因子和初等因子；的行列式因子、不变因子和初等因子； （2） 求矩阵A 的若当标准形；的若当标准形； （3）求矩阵A 的有理标准形。
的有理标准形。
2 三．解：(1)÷÷÷÷øöççççèæ--------=-1000210032104321λλλλλA E 因因为)1(4210321432+--------λλλλ＝－，而3)1(100210321-=------λλλλ ………………………44分 故故行列式因子1)(3=λD ，显然,1)(,1)(12==λλD D 44)1()(-=λλD …………22分 不不变因子为 )(1λd ＝)(2λd ＝1)(3=λd ，44)1()(-=λλd ………………22分初初等因子为4)1(-λ ………………22分(2)若当标准型ççççèæ÷÷÷÷øö=1100011000110001J ………………………………33分 (3)1464)(2344+-+-=λλλλλd故有理标准型为：3 ççççèæ÷÷÷÷øö--4100601040011000 ………………………………33分七．七．(10(10分) 1、设σ是n 维欧式空间V 的一个线性变换。
高等代数考试题和答案
高等代数考试题和答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 向量空间中，线性无关的定义是（）。
A. 向量空间中的任意向量不能表示为其他向量的线性组合B. 向量空间中的任意向量可以表示为其他向量的线性组合C. 向量空间中的所有向量可以表示为其他向量的线性组合D. 向量空间中的部分向量可以表示为其他向量的线性组合答案：A2. 矩阵A的行列式为0，则矩阵A（）。
A. 可逆B. 不可逆C. 可逆或不可逆D. 不能确定答案：B3. 对于实数域上的多项式f(x)，其根的个数（）。
A. 等于其次数B. 小于其次数C. 大于其次数D. 不确定答案：D4. 线性变换T:V→W，若对于V中的任意向量v，都有T(v)=0，则称T为（）。
A. 可逆变换B. 非奇异变换C. 零变换D. 恒等变换答案：C5. 矩阵A与矩阵B相似，则（）。
A. A和B具有相同的秩B. A和B具有相同的行列式C. A和B具有相同的特征值D. A和B具有相同的迹答案：C6. 向量组α1, α2, ..., αs在向量空间V中张成V，则称向量组（）。
A. 线性相关B. 线性无关C. 基D. 零向量组答案：C7. 矩阵A的转置记作（）。
A. A'B. A^TC. A^HD. A*答案：B8. 矩阵A的特征多项式为f(λ)=det(A-λI)，则f(λ)的根称为矩阵A的（）。
A. 特征值B. 特征向量C. 特征多项式D. 特征函数答案：A9. 向量空间V的维数等于V的任意一组基的向量个数，这称为（）。
A. 基定理B. 维数定理C. 线性空间定理D. 向量空间定理答案：B10. 矩阵A和B可以进行矩阵乘法，则（）。
A. A的列数等于B的行数B. A的行数等于B的列数C. A的行数等于B的行数D. A的列数等于B的列数答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 矩阵A的秩是指矩阵A中线性无关的行（或列）向量的最大个数，记作rank(A)。
12. 矩阵A和B的乘积记作AB，其中A的列数必须等于B的行数。
高代题库试题与答案
高等代数（下）试题(10)一 填空题 （每小题三分共15分）1 A,B 为n 阶可逆矩阵， C=⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ，则C 1-＝________。
2 A 为n 阶矩阵， A =21，则*1)3(A A --=_______ 3 设f 是一个n 元负定的二次型，则二次型f 的秩等于______________.4 设n ααα,...,21线性无关，W=L （n ααα,...,21），则W 的维数为______________ 。
5 数量矩阵A=aE 的 特征根 为 _______________。
二 单项选择题（每小题三分共15分） 1 设A 是m n ⨯矩阵, B 是n ⨯m 矩阵,则（ ） (A) 当m>n 时，必有行列式AB ≠0 （B ）当m>n 时，必有行列式AB =0 （C ）当n>m 时，必有行列式AB ≠0 （D ）当n>m 时，必有行列式AB =02设A ，B ，C 均为n 阶矩阵，且秩A=秩B ，则 （ ） (A) AB 的秩与AC 的秩不一定相等。
(B) AB 的秩与AC 的秩一定相等。
(C) AB 的秩与AC 的秩一定不相等。
(D) AB 的秩一定不超过C 的秩。
3 设向量空间V 中含有r 个向量，则下列结论成立的是 （ ） （ A ） r=1； （B ）r=2 ； （C ） r=m （有限数）； （D ） r=1或∞4 数域F 上 n 维向量空间V 有（ ）个基（ A ） １； （B ） n ； （C ） n!； （D ）无穷多.5 设向量空间W= {(a,2a,3a) R a ∈},则W 的基为： （ ） （A ） （ 1, 2, 3,） ； （B ） （a, a ,a ）；（C ） ( a , 2a 3a) ； （D ） (1 ,0, 0), (0, 2 ,0), (0 ,0, 3) 三 （15分）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--121011322X=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-417 求X 四 （15分） 把二此型f (,x 2,x 3)= x 1x 2+ x 1,x 3+ x 2x 3通过非退化线性替换化成平方和。
高等代数试题及参考答案
高等代数试题及参考答案The document was prepared on January 2, 2021高等代数一考试试卷一、单选题每一小题备选答案中,只有一个答案是正确的,请把你认为正确答案的题号填入答题纸内相应的表格中.错选、多选、不选均不给分,6小题,每小题4分,共24分 1. 以下乘积中 是4阶行列式ij D a =展开式中取负号的项.A 、11223344a a a a .B 、14233142a a a a .C 、12233144a a a a .D 、23413214a a a a .2．行列式13402324a --中元素a 的代数余子式是 .A 、0324-. B 、0324--. C 、1403-. D 、1403. 3．设,A B 都是n 阶矩阵,若AB O =,则正确的是 . A 、()()r A r B n +≤. B 、0A =. C 、A O =或B O =. D 、0A ≠.4．下列向量组中,线性无关的是 .A 、{}0.B 、{},,αβ0.C 、{}12,,,r ααα,其中12m αα=.D 、{}12,,,r ααα,其中任一向量都不能表示成其余向量的线性组合. 5．设A 是n 阶矩阵且()r A r n =<,则A 中 .A 、必有r 个行向量线性无关.B 、任意r 个行向量线性无关.C 、任意r 个行向量构成一个极大线性无关组.D 、任意一个行向量都能被其它r 个行向量线性表出.6．n 阶矩阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的 条件. A 、充要. B 、充分非必要. C 、必要非充分. D 、非充分非必要. 二、判断题正确的打√,错误的打×,5小题,每小题2分,共10分.1．若A 为n 阶矩阵,k 为非零常数,则kA k A =. 2．若两个向量组等价,则它们包含的向量个数相同. 3．对任一排列施行偶数次对换后,排列的奇偶性不变. 4．正交矩阵的逆矩阵仍是正交矩阵. 5．任何数域都包含有理数域. 三、填空题每空4分,共24分.1．行列式000100201000D n n==- . 2．已知5(1,0,1)3(1,0,2)(1,3,1),(4,2,1)αβ---=--=-,则α= ,(,)αβ= .3．矩阵12311211022584311112A ---⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥---⎢⎥--⎣⎦,则()r A = . 4．设线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩有解,其系数矩阵A 与增广矩阵A 的秩分别为s 和t ,则s 与t 的大小关系是 .5．设111123111,124111051A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦,则1A B -= . 四、计算题4小题,共42分1．计算行列式1111111111111a a a a；2111116541362516121612564.每小题6分,共12分2．用基础解系表出线性方程组123451234512345123452321236222223517105x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪+++-=⎪⎨+++-=⎪⎪+--+=⎩的全部解.10分3．求与向量组123(1,1,1,1),(1,1,0,4),(3,5,1,1)ααα==-=-等价的正交单位向量组.10分4．求矩阵211020413A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的特征根和特征向量.10分 一、单选题每题4分,共24分二、判断题每题2分,共10分三、填空题每空4分,共24分1．(1)2(1)!n n n --⋅； 2． 20；3．3； 4．s t =；5.351222312212112-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 四、计算题共42分1．12分,每小题各6分 1解：11131111111111311111(3)111311111111311111a a a a a a a a a a a aa a a++==+++ ..............3分31111010(3)(3)(1)001001a a a a a a -=+=+--- ...................3分注：中间步骤形式多样,可酌情加分 2解：222233331111111116541654136251616541216125641654=,此行列式为范德蒙行列式 ......3分 进而2222333311111654=(61)(51)(41)(56)(46)(45)12016541654=------=-原式 .......3分2．10分解：用初等变换把增广矩阵化为阶梯形1213211213211213212111360317740115411122220115410317742351710501711630171163---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-------⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥⎢⎥--------⎣⎦⎣⎦⎣⎦1213211213210115410115410317740048510171163000000--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦ ..................3分 得同解方程组取45,x x 为自由未知量,得方程的一般解为12345234534521321544185x x x x x x x x x x x x++=+-⎧⎪-=+-⎨⎪=--+⎩其中45,x x 为自由未知量 将450,0x x ==代入得特解01551(,,,0,0)444γ=--. ................3分用同样初等变换,得到与导出组同解的方程组12345234534523205404850x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩仍取45,x x 为自由未知量,得一般解12345234534523254485x x x x x x x x x x x x++=-⎧⎪-=-⎨⎪=-+⎩,将451,0x x ==和450,4x x ==分别代入得到一个基础解系：12(1,3,2,1,0),(9,11,5,0,4)ηη=--=- ...............3分所以,原方程组的全部解为01122k k γηη++,12,k k 为数域P 中任意数. ............1分注：答案不唯一,但同一齐次方程组的基础解系必等价. 3．10分解：因123(1,1,1,1),(1,1,0,4),(3,5,1,1)ααα==-=-是线性无关向量组,现将 123,,ααα正交化,令11βα=,αβαββαββββββ-=--=-----=-313233121122(,)(,)814(3,5,1,1)(1,1,1,1)(0,2,1,3)(,)(,)414(1,1,2,0)............................6分再将向量组123,,βββ单位化,得βγβ==1111111(,,,)2222,βγβ==--2222,1,3)14,βγβ==-3332,0)6. 即123,,γγγ就是与123,,ααα等价的正交单位向量组. ....................4分 注：答案不唯一. 4．10分解：A 的特征多项式为所以A 的特征值为1,2-2重. ....................4分1λ=-对应的齐次线性方程组为它的基础解系是1101η⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 11k η10k ≠为A 的属于特征值1-的特征向量； .................3分2λ=对应的齐次线性方程组为它的基础解系是1144231,001ηη⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；2233k k ηη+23,k k 不同时为零为A 的属于特征值2的特征向量. ...............3分注：答案不唯一.。
大学高等代数试题及答案
大学高等代数试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A为3×3矩阵，且|A|=2，则矩阵A的伴随矩阵|adj(A)|的值为：A. 4B. 8C. 16D. 32答案：C2. 若向量组α1=(1, 2, 3)，α2=(2, 3, 4)，α3=(3, 4, 5)，则向量组α1，α2，α3是否线性相关？A. 是B. 否答案：A3. 设函数f(x)=x^2-6x+8，求f(x)的最小值。
A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C4. 已知方程组\begin{cases}x+y=1 \\2x+3y=4\end{cases}的解为：A. x=1, y=0B. x=0, y=1C. x=2, y=-1D. x=1, y=-2答案：B二、填空题（每题5分，共20分）5. 设矩阵B为2×2矩阵，且B=\begin{bmatrix}1 & 2\\3 &4\end{bmatrix}，则B的逆矩阵为\begin{bmatrix} \_\_\_\_\_ &\_\_\_\_\_ \\ \_\_\_\_\_ & \_\_\_\_\_ \end{bmatrix}。
答案：\begin{bmatrix}-2 & 1\\ 3/2 & -1/2\end{bmatrix}6. 向量β=(1, 2, 3)与向量γ=(4, 5, 6)的点积为\_\_\_\_\_。
答案：327. 设函数g(x)=x^3-3x^2+4，求g'(x)。
答案：3x^2-6x8. 已知方程组\begin{cases}x-2y+z=1 \\3x+4y-2z=2 \\2x+y-z=3\end{cases}的解为：x=\_\_\_\_\_，y=\_\_\_\_\_，z=\_\_\_\_\_。
答案：x=1，y=1，z=1三、解答题（每题15分，共40分）9. 设矩阵C为3×3矩阵，且C=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 &6\\7 & 8 & 9\end{bmatrix}，求矩阵C的行列式。
(完整word版)高等代数试卷及答案(二),推荐文档
一、填空题 （共10题，每题2分，共20 分）1．只于自身合同的矩阵是 矩阵。
2．二次型()()11212237,116x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的矩阵为__________________。
3．设A 是实对称矩阵，则当实数t _________________,tE A +是正定矩阵。
4．正交变换在标准正交基下的矩阵为_______________________________。
5．标准正交基下的度量矩阵为_________________________。
6．线性变换可对角化的充要条件为__________________________________。
7．在22P ⨯中定义线性变换σ为：()a b X X c d σ⎛⎫= ⎪⎝⎭，写出σ在基11122122,,,E E E E 下的矩阵_______________________________。
8．设1V 、2V 都是线性空间V 的子空间，且12V V ⊆，若12dim dim V V =，则_____________________。
9．叙述维数公式_________________________________________________________________________。
10．向量α在基12,,,n ααα⋅⋅⋅（1）与基12,,,n βββ⋅⋅⋅（2）下的坐标分别为x 、y ，且从基（1）到基（2）的过渡矩阵为A ，则x 与y 的关系为_____________________________。
二、判断题 （共10 题，每题1分，共10分）1．线性变换在不同基下的矩阵是合同的。
（ ） 2．设σ为n 维线性空间V 上的线性变换，则()10V V σσ-+=。
（ ） 3．平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法，构成实数域上的线性空间。
（ ） 4．设1V 与2V 分别是齐次线性方程组120n x x x ++⋅⋅⋅+=与12n x x x ==⋅⋅⋅=的解空间，则12n V V P ⊕= （ ）5．2211nn i i i i n x x ==⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑为正定二次型。
《高等代数》习题与参考答案
《高等代数》习题与参考答案数学系第一章 多项式1． 用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ： 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f ； 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。
解 1）由带余除法，可得92926)(,9731)(--=-=x x r x x q ； 2）同理可得75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q 。
2．q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1， 2）q px x mx x ++++242|1。
解 1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2=-+++m q x m p ，所以当⎩⎨⎧=-=++0012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1。
2）类似可得⎩⎨⎧=--+=--010)2(22m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=--m p 时，代入（2）可得1=q 。
综上所诉，当⎩⎨⎧+==10q p m 或⎩⎨⎧=+=212m p q 时，皆有q px x mx x ++++242|1。
3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：1）53()258,()3f x x x x g x x =--=+； 2）32(),()12f x x x x g x x i =--=-+。
解 1）432()261339109()327q x x x x x r x =-+-+=-；2）2()2(52)()98q x x ix i r x i=--+=-+。
4．把()f x 表示成0x x -的方幂和，即表成2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +-+-++-+的形式：1）50(),1f x x x ==；2）420()23,2f x x x x =-+=-；3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+-+-++=-。
高等代数试题2(附答案)
科目名称：《高等代数》姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌一、填空题（每小题5分，共25分）1、在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。
2、向量组()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩 为 ，一个最大无关组为 .。
3、（维数公式）如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么 。
4、假设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=175131023A 的特征根是 ，特征向量分别为 。
5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为二、是非题（每小题2分，共20分）1、如果r a a a ,,,21Λ线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。
（ ）2、在][x P 中，定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0，是一固定的数，那么变换A 是线性变换。
（ ）3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间，那么它们的并Y 21W W 也是V 的一个子空间。
（ ）4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。
（ ）5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量，那么δ是4R 到自身的线性变换。
其中),,,()(24232221x x x x =ξδ。
（ ）6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。
（ ）7、若矩阵A 与B 相似，那么A 与B 等价。
（ ）8、n 阶实对称矩阵A 有n 个线性无关的特征向量。
（ ）9、在)(2R M 中，若W 由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么W 是)(2R M 的子空间。
（ ）10、齐次线性方程组0)(=-X A E λ的非零解向量是A 的属于λ的特征向量。
大学高等代数试题及答案
大学高等代数试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=1，则矩阵A的逆矩阵的行列式是（）。
A. 0B. 1C. -1D. 32. 若线性方程组有唯一解，则该方程组的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩（）。
A. 不相等B. 相等C. 相差1D. 相差23. 以下哪个矩阵是正交矩阵？（）A. \[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]B. \[\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\]C. \[\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\]D. \[\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\]4. 矩阵A的特征值是λ，那么矩阵A的转置的特征值是（）。
A. λB. -λC. 0D. 不确定5. 设A是n阶方阵，且A^2=I（I是单位矩阵），则A的行列式是（）。
A. 1B. -1C. 0D. 不确定二、填空题（每题3分，共15分）6. 若矩阵A的秩为2，则A的行最简形矩阵中非零行的个数为_________。
7. 设A是3×3矩阵，且A的迹等于3，则A的对角线元素之和为_________。
8. 若线性方程组的系数矩阵A和增广矩阵B的秩相等，则该方程组有_________解。
9. 设矩阵A的特征多项式为f(λ)=λ^2-5λ+6，则A的特征值为_________。
10. 若矩阵A与B相似，则A与B有相同的_________。
三、解答题（每题10分，共20分）11. 给定矩阵\[A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix}\]，求矩阵A的特征值和特征向量。
高等代数试卷考卷及答案 (一)
一、填空题（共10 题，每题2分，共20分）。
1． 多项式可整除任意多项式。
2．艾森施坦因判别法是判断多项式在有理数域上不可约的一个 条件。
3．在n 阶行列式D 中，0的个数多于 个是0D =。
4．若A 是n 阶方阵，且秩1A n =-，则秩A *= 。
5．实数域上不可约多项式的类型有 种。
6．若不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式，则()p x 是(1)()k f x -的 重因式。
7．写出行列式展开定理及推论公式 。
8．当排列12n i i i 是奇排列时，则12n i i i 可经过 数次对换变成12n 。
9．方程组12312322232121x x x ax bx cx d a x b x c x d ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，当满足 条件时，有唯一解，唯一解为 。
10．若242(1)1x ax bx -∣++，则a = ，b = 。
二、判断题（共10 题，每题1分， 共 10分）。
1．任何两个多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变。
（ ）2．两个多项式互素当且仅当它们无公共根。
（ ） 3．设12n ααα是n P 中n 个向量，若nP β∀∈，有12,n αααβ线性相关，则12nααα线性相关。
（ ）4.设α是某一方程组的解向量，k 为某一常数，则k α也为该方程组的解向量。
（ ） 5．若一整系数多项式()f x 有有理根，则()f x 在有理数域上可约。
（ ） 6 秩()A B +＝秩A ，当 且仅当秩0B =。
（ ） 7．向量α线性相关⇔它是任一向量组的线性组合。
（ ）8． 若(),()[]f x g x P x ∈，且((),())1f x g x =，则(()(),()())1f x g x f x g x +=。
（ ） 9．(),()[]f x g x Z x ∈，且()g x 为本原多项式，若()()()f x g x h x =则()[]h x Z x ∈。
《高等代数》习题与参考答案
《高等代数》习题与参考答案数学系第九章 欧氏空间1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β,在n R 中定义内积βαβα'A =),(,1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量)0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε，的度量矩阵；3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。
解 1)易见βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =ji j i ijy x a,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此∑ji j i ij y x a,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。
2)设单位向量)0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε，的度量矩阵为)(ij b B =，则)0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a aa a a a a a ΛM O MM ΛΛ212222211211)(010j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A =。
4) 由定义，知∑=ji ji ij y x a ,),(βα，α==β==故柯西—布湿柯夫斯基不等式为2.在4R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设: 1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β， 2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β， 3) )2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。
高等代数 习题及参考答案
高等代数习题及参考答案第一章多项式1．用g(x)除f(x)，求商q(x)与余式r(x)：322f(x)?x?3x?x?1,g(x)?3x?2x?1； 1）2）f(x)?x4?2x?5,g(x)?x2?x?2。
q(x)?17262x?,r(x)??x?3999；解 1）由带余除法，可得2q(x)?x?x?1,r(x)??5x?7。
2）同理可得2．m,p,q适合什么条件时，有23x?mx?1|x?px?q， 1）242x?mx?1|x?px?q。
2）2(p?1?m)x?(q?m)?0，解 1）由假设，所得余式为0，即?p?1?m2?0?23q?m?0x?mx?1|x?px?q。
?所以当时有?m(2?p?m2)?0?2q?1?p?m?02）类似可得?，于是当m?0时，代入（2）可得p?q?1；而当2?p?m2?0时，代入（2）可得q?1。
?m?0?q?1??2242p?q?1p?m?2x?mx?1|x?px?q。
??综上所诉，当或时，皆有3．求g(x)除f(x)的商q(x)与余式：53f(x)?2x?5x?8x,g(x)?x?3； 1）2）f(x)?x?x?x,g(x)?x?1?2i。
32q(x)?2x4?6x3?13x2?39x?109解 1）r(x)??327；q(x)?x2?2ix?(5?2i)2）r(x)??9?8i。
x?x0的方幂和，即表成4．把f(x)表示成c0?c1(x?x0)?c2(x?x0)2?...?cn(x?x0)n??的形式：5f(x)?x,x0?1； 1）42f(x)?x?2x?3,x0??2； 2）432f(x)?x?2ix?(1?i)x?3x?7?i,x0??i。
3）2345f(x)?1?5(x?1)?10(x?1)?10(x?1)?5(x?1)?(x?1)解 1）由综合除法，可得； 2）由综合除法，可得x?2x?3?11?24(x?2)?22(x?2)?8(x?2)?(x?2)；432x?2ix?(1?i)x?3x?(7?i) 3）由综合除法，可得42234?(7?5i)?5(x?i)?(?1?i)(x?i)2?2i(x?i)3?(x?i)4。
高等代数1考试题及答案
高等代数1考试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 矩阵A的行列式为0，则矩阵A是（）A. 可逆的B. 不可逆的C. 正定的D. 负定的2. 线性方程组的解集是（）A. 一个点B. 一条直线C. 一个平面D. 一个空集3. 向量空间的基是（）A. 一组线性无关的向量B. 一组线性相关的向量C. 一组向量，但不一定线性无关D. 一组向量，但不一定线性相关4. 矩阵A和B可以相乘的条件是（）A. A的行数等于B的列数B. A的列数等于B的行数C. A的行数等于B的行数D. A的列数等于B的列数5. 矩阵的秩是指（）A. 矩阵中非零行的最大数量B. 矩阵中非零列的最大数量C. 矩阵中非零行和列的最大数量D. 矩阵中零行和零列的最大数量6. 线性变换的特征值是（）A. 变换后向量的长度B. 变换后向量的方向C. 变换后向量长度的缩放因子D. 变换后向量方向的旋转角度7. 二次型可以表示为（）A. 一个对称矩阵B. 一个斜对称矩阵C. 一个正定矩阵D. 一个负定矩阵8. 线性方程组的增广矩阵是（）A. 系数矩阵和常数项的组合B. 系数矩阵和变量的组合C. 常数项和变量的组合D. 系数矩阵和变量的组合9. 矩阵的迹是指（）A. 矩阵对角线元素的和B. 矩阵非对角线元素的和C. 矩阵所有元素的和D. 矩阵所有元素的乘积10. 线性方程组有无穷多解的条件是（）A. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且小于变量的个数B. 系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩C. 系数矩阵的秩大于增广矩阵的秩D. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且等于变量的个数二、填空题（每题4分，共40分）1. 如果矩阵A的行列式为1，则矩阵A是_________的。
2. 线性方程组的解集是空集，说明该方程组是_________的。
3. 向量空间的基是一组_________的向量。
4. 矩阵A和B可以相乘的条件是A的_________等于B的_________。
高等代数习题及答案(1)
高等代数试卷一、判断题〔下列命题你认为正确的在题后括号内打"√〞,错的打"×〞；每小题1分,共10分〕1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式,那么)(x p 在F 中必定没有根. 〔 〕2、若线性方程组的系数行列式为零,由克莱姆法则知,这个线性方程组一定是无解的. 〔 〕3、实二次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n . 〔 〕4、(){}321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i ===∈=是线性空间3R 的一个子空间.〔 〕 5、数域F 上的每一个线性空间都有基和维数. 〔 〕 6、两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数. 〔 〕 7、零变换和单位变换都是数乘变换. 〔 〕 8、线性变换σ的属于特征根0λ的特征向量只有有限个. 〔 〕 9、欧氏空间V 上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵. 〔 〕10、若{}n ααα,,,21 是欧氏空间V 的标准正交基,且∑==ni i i x 1αβ,那么∑==ni ix12β.〔 〕二、单项选择题〔从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其写在题干后面的括号内.答案选错或未作选择者,该题无分.每小题1分,共10分〕 1、关于多项式的最大公因式的下列命题中,错误的是〔 〕 ①()()()()()()n n nx g x f x g x f,,=；②()()()n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 =≠=⇔=； ③()()()()()()()x g x g x f x g x f ,,+=；④若()()()()()()()()1,1,=-+⇒=x g x f x g x f x g x f .2、设D 是一个n 阶行列式,那么〔 〕①行列式与它的转置行列式相等； ②D 中两行互换,则行列式不变符号； ③若0=D ,则D 中必有一行全是零； ④若0=D ,则D 中必有两行成比例. 3、设矩阵A 的秩为r r (>)1,那么〔 〕①A 中每个s s (<)r 阶子式都为零； ②A 中每个r 阶子式都不为零； ③A 中可能存在不为零的1+r 阶子式； ④A 中肯定有不为零的r 阶子式. 4、设()n x x x f ,,,21 为n 元实二次型,则()n x x x f ,,,21 负定的充要条件为〔 〕①负惯性指数=f 的秩； ②正惯性指数=0； ③符号差=n -； ④f 的秩=n .5、设{}m ααα,,,21 是线性空间V 的一个向量组,它是线性无关的充要条件为〔 〕①任一组不全为零的数m k k k ,,,21 ,都有∑=≠mi i i k 10α；②任一组数m k k k ,,,21 ,有∑==mi i i k 10α；③当021====m k k k 时,有∑==mi i i k 10α；④任一组不全为零的数m k k k ,,,21 ,都有∑==mi i i k 10α.6、若21,W W 都是n 维线性空间V 的子空间,那么〔 〕①维()1W +维()21W W =维()2W +维()21W W +； ②维()21W W +=维()1W +维()2W ； ③维()1W +维()21W W +=维()2W +维()21W W ； ④维()1W -维()21W W =维()21W W +-维()2W .7、设σ是n 维线性空间V 的线性变换,那么下列错误的说法是〔 〕①σ是单射⇔σ的亏=0； ②σ是满射⇔σ的秩=n ； ③σ是可逆的⇔核()σ={}0； ④σ是双射⇔σ是单位变换. 8、同一个线性变换在不同基下的矩阵是〔 〕①合同的； ②相似的； ③相等的； ④正交的. 9、设V 是n 维欧氏空间 ,那么V 中的元素具有如下性质〔 〕 ①若()()γβγαβα=⇒=,,； ②若βαβα=⇒=； ③若()11,=⇒=ααα； ④若()βα,>βα=⇒0. 10、欧氏空间3R 中的标准正交基是〔 〕①()0,1,0;21,0,21;21,0,21⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛； ②()1,0,0;21,21;0,21,21⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛；③()0,0,0;31,31,31;31,31,31⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛； ④()()()1,1,1;1,1,1;1,1,1---三、填空题〔将正确的内容填在各题干预备的横线上,内容填错或未填者,该空无分.每空2分,共20分〕1、多项式2)(24-+=x x x f 在实数域R 上的标准分解为.2、利用行列式的性质可知四阶行列式gfe d c b a00000000的值为.3、若一个非齐次线性方程组无解且它的系数矩阵的秩为3,那么该方程组的增广矩阵的秩等于.4、在线性空间V 中,定义()0αασ=〔其中0α是V 中一个固定向量〕, 那么当=0α时,σ是V 的一个线性变换.5、实对称矩阵的属于不同特征根的特征向量是彼此的..6、n 阶实对称矩阵的集合按合同分类,可分为类.7、若基Ⅰ到Ⅱ的过渡矩阵为P ,而向量α关于基Ⅰ和Ⅱ的坐标分别为X 和Y ,那么着两个坐标的关系是.8、设W 是线性空间V 的非空子集,若W 对V 的加法和数乘,则称W 为V 的子空间.9、若线性变换σ关于基{}21,αα的矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ,那么σ关于基{}12,3αα的矩阵为.10、两个欧氏空间同构的充要条件是它们有.四、改错题〔请在下列命题中你认为错误的地方划线,并将正确的内容写在预备的横线上面.指出错误1分,更正错误2分.每小题3分,共15分〕1、如果)(x p 是)(x f 的导数)('x f 的1-k 重因式,那么)(x p 就是)(x f 的k 重因式.2、若线性方程组B AX =相应的齐次线性方程组0=AX 有无穷多解,那么B AX =也有无穷多解.3、设A 是一个n m ⨯矩阵,若用m 阶初等矩阵()()4,53E 右乘A ,则相当对A 施行了一次"A 的第三列乘5加到第四列〞的初等变换.4、若21,αα都是数域F 上的方阵A 的属于特征根0λ的特征向量,那么任取221121,,ααk k F k k +∈也是A 的属于0λ的特征向量.5、设σ是欧氏空间V 的线性变换,那么σ是正交变换的充分必要条件是σ能保持任二个非零向量的夹角.五、计算题〔每小题10分,共40分〕 1、计算n 阶行列式2、用相应的齐次线性方程组的基础解系表示下列线性方程组的全部解3、解矩阵方程 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--87107210031012423321X4、设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000,0100,0010,00014321αααα是()F M 2的一个基,而⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2231,2121,1121,25324321ββββ是另一组基,求由{}4321,,,αααα到{}4321,,,ββββ的过渡矩阵,并求向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2945ξ在{}4321,,,ββββ下的坐标.六、证明题设321,,ααα是三维欧氏空间V 的一个标准正交基,试证： 也是V 的一个标准正交基.高等代数试卷参考解答一、判断题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10××√√×√√×√√二、单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ②①④③①④④②③① 三、填空题1、()()()2112++-x x x ；2、acef ；3、4；4、0；5、正交；6、()()221++n n ； 7、X P Y 1-=； 8、封闭；9、⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡b a d c 33； 10、相同的维数. 四、改错题1、'那么)(x p 就是)(x f 的k 重因式.'2、若线性方程组B AX =相应的齐次线性方程组0=AX 有无穷多解,那么BAX =也有无穷多解.当AX=B 有解时,AX=B 也有无穷多解3、设A 是一个n m ⨯矩阵,若用m 阶初等矩阵()()4,53E 右乘A ,则相当对A 施行了一次"A 的第三列乘5加到第四列〞的初等变换.A 的第4列乘5加到第3列4、若21,αα都是数域F 上的方阵A 的属于特征根0λ的特征向量,那么任取,,21F k k ∈5、设σ是欧氏空间V 的线性变换,那么σ是正交变换的充分必要条件是σ能保持任二个非零向量的夹角.必要条件。
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《高等代数》月测试试题与及答案（行列式与线性方程组部分）
一、（共12分）叙述下列概念或命题：
（1）线性相关；（2）极大线性无关组；（3）行列式按一行（列）展开定理.
答：（1）向量组
称为线性相关，如果有数域
中不全为零的数
，使
.
注对如下定义也视为正确：如果向量组
（
）中有一个向量可由其余的向量线性表出，那么向量组
称为线性相关的.
（2）一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身
是线性无关的，并且从这向量组中任意添加一个向量（如果还有的话），所得的部分向量组都线性相关.
注对如下定义也视为正确：向量组
的一个部分组
称为一个极大线性无关组，是指：（ⅰ）
线性无关；（ⅱ）
可由
线性表出.
（3）行列式等于某一行（列）的元素分别与它们代数余子式的乘积之和.
注用公式写出按行（或列）展开定理亦可.
二、判断题：（在括号里打“√”或“×”，共20分）
1．
．
（×）
2．若向量组
（
）线性相关，则其中每个向量都是其余向量的线性组合．（×）3．在全部
（
）级排列中，奇排列的个数为
．（√）4．若排列
为奇排列，则排列
为偶排
列．（×）5．若矩阵
的秩是
，则
的所有高于
级的子式（如果有的话）全为零．（√）
6．若一组向量线性相关，则至少有两个向量的分量成比
例．（×）
7．当线性方程组无解时，它的导出组也无
解．（×）
8．对
个未知量
个方程的线性方程组，当它的系数行列式等于0时，方程组一定无
解．（×）
9．等价向量组的秩相
等．
（√）
10．齐次线性方程组解的线性组合还是它的
解．（√）
三、（共18分）计算行列式
（1）
解原式
．
注用其它方法计算出结果的给满分，方法正确而计算错误的，酌情给分．（2）
解将所有列加到第1列上，则第1列与第4列成比例，故原式
．
注本题也可以从第4行提取公因子
，然后用第2行、第3行都乘-1后加到第4行，把第4行化为元素全为零，故原式
．
（3）
（
）．
解原式
．
注本题也可按最后一列（或行）展开，得递推式：
，答案正确给满分，有正确的递推式但结果有误，给3分．另外对按第一行（或列）展开者类似给分．
四、设向量组
，
，
，
，
．试求向量组的秩及其一个极大线性无关组，并将其余向量用这个极大线性无关组线性表出．（10分）
解
…………（5分）
故向量组的秩为3，
是一个极大线性无关组，并且…………（8分）
，
．…………（10分）
注本题关于极大线性无关组答案中，除
不能构成极大线性无关组外，任何三个向量都是极大线性无关组，对其它方法求出极大线性无关组，但未得到线性表出式的给5分．
五、讨论
取什么值时下列线性方程组有解，并求解．（10分）
解方程组的增广矩阵为
，系数行列式为
……（2分）
（1）当
且
时，方程有唯一解，此时…………（3分）
，故得解为
；…………（5分）（2）当
时，增广矩阵
，无解；…………（7分）
（3）当
时，增广矩阵
，有无穷多组解，通解为
（
为自由未知量），或表成
．……（10分）
注本题也可以对增广矩阵用初等行变换的方法讨论．对唯一解及无穷多组解的表达式未能给出者，各扣2分．
六、证明题：（每小题10分，共30分）
1．证明：如果向量组
线性无关，而
线性相关，则向量
可以由
线性表示，且表示法唯一．（10分）．
证明（1）由
线性相关，存在不全为零的数
，使
…………（2分）
又由
线性无关，得
（否则，
线性相关，矛盾）…………（4分）
于是，
；…………（5分）（2）设
，
，则
，即
，
由于
线性无关，故
，即
（
）．
…………（10分）
2．证明：若向量
线性无关，则
也线性无关．并说明该结论对4个向量的情形是否成立．
证明设
，即
，
…………（2分）
由于
线性无关，故有
解之得，
…………（5分）
故
也线性无
关．…………（6分）
对4个向量的情形其相应结论不成立，因为，由4个向量
线性无关，并不能得到向量
线性无关的结论．
注1 由
知，
是线性相关的，对该问题未说明原因的，只要结论正确给满分；
注2 如果认为对4个向量的情形其相应结论也成立的，必须说明是指如下
结论: 若4个向量
线性无关，则向量
也线性无关．该答案也给满分，但仅说相应结论成立,而未给出任何说明者,不得分．
3．设
是数域
中个互不相同的数，
是数域
中任一组给定的数．求证：
（1）存在唯一的数域
上的次数不超过
的多项式
，使
，
；
（2）特别的，求出使
，
成立的
次的多项式
．
证明（1）将
，
，代入
，得
…………（2分）
由于系数行列式
，…………（4分）故线性方程组有且仅有唯一解，即存在唯一的数域
上的次数不超过
的多项式
，使
，
；…………（5分）（2）由克莱姆定理
，
，
，
，故使
，
成立的
次的多项式为
．…………（10分）注对（2）不用克莱姆定理，而直接观察出
的也给满分．
七、（附加题）证明或否定如下结论：若三个向量
两两线性无关，则
线性无关．并说明在三维几何空间中的意义．（10分）
解本结论的几何描述是：三个矢量（向量）两两不共线，则它们不共面．………（5分）
很明显该结论是错误的，例如某平面上存在彼此不共线的三个矢量，但它们共面．………（10分）
注否定上述结论时，也可构造反例，如
等，或构造三个二维向量，使它们两两线性无关．。