高一函数分题型单元复习
函数的应用(知识梳理)-高一数学单元复习(人教A版必修1)
专题02函数的应用(知识梳理)第一节 函数与方程1．函数的零点 (1)函数零点的定义对于函数y ＝f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点． (2)几个等价关系方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0图象与x 轴的交点 (x 1,0)，(x 2,0)(x 1,0) 无交点 零点个数 21[小题体验]1．函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)答案：B2．(教材习题改编)函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点个数是______． 答案：13．函数f (x )＝kx ＋1在[1,2]上有零点，则k 的取值范围是________． 答案：⎣⎡⎦⎤－1，－121．函数f (x )的零点是一个实数，是方程f (x )＝0的根，也是函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标．2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象．[小题纠偏]1．(2018·诸暨模拟)函数f(x)按照下述方法定义：当x≤2时，f(x)＝－x2＋2x；当x>2时，f(x)＝12(x－2)2，则方程f(x)＝12的所有实数根之和是()A．2 B．3 C．5 D．8解析：选C画出函数f(x)的图象，如图所示：结合图象x<2时，两根之和是2，x>2时，由12(x－2)2＝12，解得x＝3，故方程f(x)＝12的所有实数根之和是5，故选C.2．给出下列命题：①函数f(x)＝x2－1的零点是(－1,0)和(1,0)；②函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有f(a)·f(b)<0；③二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点；④若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．其中正确的是________(填序号)．答案：③④考点一函数零点所在区间的判定基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．已知实数a>1,0<b<1，则函数f(x)＝a x＋x－b的零点所在的区间是()A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)解析：选B∵a>1,0<b<1，f(x)＝a x＋x－b，∴f(－1)＝1a－1－b<0，f(0)＝1－b>0，由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1,0)上存在零点．2．设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)解析：选B函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两函数大致图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．故选B.3．函数f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上______(填“存在”或“不存在”)零点．解析：法一：∵f(1)＝12－3×1－18＝－20<0，f(8)＝82－3×8－18＝22>0，∴f(1)·f(8)<0，又f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]的图象是连续的，故f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．法二：令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，∴(x－6)(x＋3)＝0.∵x＝6∈[1,8]，x＝－3∉[1,8]，∴f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．答案：存在[谨记通法]确定函数f(x)的零点所在区间的2种常用方法(1)定义法：使用零点存在性定理，函数y＝f(x)必须在区间[a，b]上是连续的，当f(a)·f(b)<0时，函数在区间(a，b)内至少有一个零点，如“题组练透”第1题．(2)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)＝g(x)－h(x)，作出y＝g(x)和y＝h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点，如“题组练透”第2题．考点二判断函数零点个数重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为()A．0B．1C．2 D．3解析：选C 由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)．在同一直角坐标系中画出函数y ＝|x －2|(x >0)，y ＝ln x (x >0)的图象，如图所示：由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选A 由f (f (x ))＋1＝0得f (f (x ))＝－1， 由f (－2)＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－1 得f (x )＝－2或f (x )＝12.若f (x )＝－2，则x ＝－3或x ＝14；若f (x )＝12，则x ＝－12或x ＝ 2.综上可得函数y ＝f (f (x ))＋1的零点的个数是4，故选A.[由题悟法]判断函数零点个数的3种方法(1)方程法：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．[即时应用]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，log 13x ，x >1，则函数y ＝f (x )＋x －4的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 函数y ＝f (x )＋x －4的零点，即函数y ＝－x ＋4与y ＝f (x )的交点的横坐标．如图所示，函数y ＝－x ＋4与y ＝f (x )的图象有两个交点，故函数y ＝f (x )＋x －4的零点有2个．故选B.2．(2018·杭州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，－1<x ≤1，f x －2＋1，1<x ≤3，则函数g (x )＝f (f (x ))－2在区间(－1,3]上的零点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，－1<x ≤1，f x －2＋1，1<x ≤3，∴当－1＜x ≤1时，12<f (x )≤2，当1<x ≤3时，－1<x －2≤1，f (x )＝f (x －2)＋1＝2x －2＋1∈⎝⎛⎦⎤32，3； 设h (x )＝f (f (x ))，①当－1<x ≤0时，h (x )＝22x ，2<h (x )≤2， ∴g (x )＝h (x )－2有一个零点x ＝0； ②当0<x ≤1时，h (x )＝22x －2＋1，32<h (x )≤2，∴g (x )＝h (x )－2有一个零点x ＝1； ③当1<x ≤3时，h (x )＝22x －2＋1－2＋1， 22＋1<h (x )≤3，g (x )有一个零点； 综上，函数g (x )在区间(－1,3]上有3个零点，故选C. 考点三 函数零点的应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝a |x －2|－a ，其中a ＞0，且为常数．若函数y ＝f (f (x ))有10个零点，则a 的取值范围是________．解析：当x ≥0时，令f (x )＝0，得|x －2|＝1， 即x ＝1或x ＝3.因为f (x )是定义在R 上的偶函数， 所以f (x )的零点为x ＝±1或x ＝±3. 令f (f (x ))＝0， 则f (x )＝±1或f (x )＝±3.因为函数y ＝f (f (x ))有10个零点，所以函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝±1和y ＝±3共有10个交点．由图可知1＜a ＜3.答案：(1,3)[由题悟法]已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用3方法 直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围 分离参数法 先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决数形结合法 先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解[即时应用]1．若函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点， ∴方程4x －2x －a ＝0在[－1,1]上有解， 即方程a ＝4x －2x 在[－1,1]上有解． 方程a ＝4x －2x 可变形为a ＝⎝⎛⎭⎫2x －122－14， ∵x ∈[－1,1]，∴2x ∈⎣⎡⎦⎤12，2， ∴⎝⎛⎭⎫2x －122－14∈⎣⎡⎦⎤－14，2. ∴实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，2. 答案：⎣⎡⎦⎤－14，2 2．(2018·浙江名校高考研究联盟联考)方程x 2＋3x －2＝0的解可视为函数y ＝x ＋3的图象与函数y ＝2x的图象交点的横坐标．若方程x 4＋ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点⎝⎛⎭⎫x i ，4x i (i ＝1,2，…，k )均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知，方程x 4＋ax －4＝0的实根是曲线y ＝x 3＋a 与曲线y ＝4x 的交点的横坐标，而曲线y ＝x 3＋a 是由函数y ＝x 3的图象向上或向下平移|a |个单位长度得到的．若方程x 4＋ax －4＝0的各个实数根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点⎝⎛⎭⎫x i ，4x i(i ＝1,2，…，k )均在直线y ＝x 的同侧，如图，结合图象可得⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，－23＋a >－2或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，23＋a <2，解得a <－6或a >6，所以实数a 的取值范围是(－∞，－6)∪(6，＋∞)．答案：(－∞，－6)∪(6，＋∞)第二节 函数模型及其应用1．几类函数模型函数模型 函数解析式一次函数模型 f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0) 反比例函 数模型 f (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数且k ≠0) 二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0) 指数函数模型f (x )＝ba x ＋c(a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1) 对数函数模型 f (x )＝b log a x ＋c(a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1) 幂函数模型 f (x )＝ax n ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)函数 性质 y ＝a x (a >1) y ＝log a x (a >1) y ＝x n (n >0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化随x 的增大 逐渐表现为 随x 的增大 逐渐表现为随n 值变化 而各有不同与y轴平行与x轴平行值的比较存在一个x0，当x>x0时，有log a x<x n<a x3.解函数应用问题的4步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型；(3)解模：求解函数模型，得出数学结论；(4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题．以上过程用框图表示如下：[小题体验]1．(教材习题改编)一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的()答案：B2．已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝a log3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到________只．答案：2001．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以要正确理解题意，选择适当的函数模型．2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．[小题纠偏]1．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是()A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲比乙先到达终点答案：D2．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元．若普通车存车量为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是__________．答案：y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)考点一二次函数模型重点保分型考点——师生共研[典例引领]某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示抛物线的一段．已知跳水板AB长为2 m，跳水板距水面CD的高BC为3 m．为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A处水平距h m(h≥1)时达到距水面最大高度4 m，规定：以CD为横轴，BC为纵轴建立直角坐标系．(1)当h＝1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；(2)若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h的取值范围．解：由题意，最高点为(2＋h,4)，(h≥1)．设抛物线方程为y＝a[x－(2＋h)]2＋4.(1)当h＝1时，最高点为(3,4)，方程为y＝a(x－3)2＋4.(*)将点A(2,3)代入(*)式得a＝－1.即所求抛物线的方程为y＝－x2＋6x－5.(2)将点A(2,3)代入y＝a[x－(2＋h)]2＋4，得ah2＝－1.由题意，方程a[x－(2＋h)]2＋4＝0在区间[5,6]内有一解．令f (x )＝a [x －(2＋h )]2＋4＝－1h2[x －(2＋h )]2＋4，则⎩⎨⎧f 5＝－1h 23－h 2＋4≥0，f6＝－1h24－h2＋4≤0.解得1≤h ≤43.故达到比较好的训练效果时的h 的取值范围是⎣⎡⎦⎤1，43. [由题悟法]二次函数模型问题的3个注意点(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法； (3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．[即时应用]A ，B 两城相距100 km ，在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度．(1)求x 的取值范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使供电总费用y 最少？ 解：(1)由题意知x 的取值范围为[10,90]． (2)y ＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)．(3)因为y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25 000＝152⎝⎛⎭⎫x －10032＋50 0003， 所以当x ＝1003时，y min ＝50 0003. 故核电站建在距A 城1003 km 处，能使供电总费用y 最少．考点二 函数y ＝x ＋ax模型的应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值．解：(1)由已知条件得C (0)＝8，则k ＝40，因此f (x )＝6x ＋20C (x )＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10)． (2)f (x )＝6x ＋10＋8003x ＋5－10≥2 6x ＋10·f(8003x ＋5)－10＝70(万元)， 当且仅当6x ＋10＝8003x ＋5， 即x ＝5时等号成立．所以当隔热层厚度为5 cm 时，总费用f (x )达到最小值，最小值为70万元．[由题悟法]应用函数y ＝x ＋a x模型的关键点 (1)明确对勾函数是正比例函数f (x )＝ax 与反比例函数f (x )＝b x叠加而成的． (2)解决实际问题时一般可以直接建立f (x )＝ax ＋b x的模型，有时可以将所列函数关系式转化为f (x )＝ax ＋b x的形式． (3)利用模型f (x )＝ax ＋b x求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件． [即时应用]“水资源与永恒发展”是2015年联合国世界水资源日主题，近年来，某企业每年需要向自来水厂所缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费(单位：万元)与管线、主体装置的占地面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.2.为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费C (单位：万元)与安装的这种净水设备的占地面积x (单位：平方米)之间的函数关系是C (x )＝k 50x ＋250(x ≥0，k 为常数)．记y 为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和．(1)试解释C (0)的实际意义，并建立y 关于x 的函数关系式并化简；(2)当x 为多少平方米时，y 取得最小值，最小值是多少万元？解：(1)C (0)表示不安装设备时每年缴纳的水费为4万元，∵C (0)＝k 250＝4， ∴k ＝1 000，∴y＝0.2x＋1 00050x＋250×4＝0.2x＋80x＋5(x≥0)．(2)y＝0.2(x＋5)＋80x＋5－1≥20.2×80－1＝7，当x＋5＝20，即x＝15时，y min＝7，∴当x为15平方米时，y取得最小值7万元．考点三指数函数与对数函数模型重点保分型考点——师生共研[典例引领](2016·四川高考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11, lg 2≈0.30)A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年解析：选B法一：设2015年后的第n年，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由130(1＋12%)n＞200，得 1.12n＞2013，两边取常用对数，得n＞lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝195，∴n≥4，∴从2019年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．法二：根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{a n}，其中，首项a1＝130，公比q＝1＋12%＝1.12，所以a n＝130×1.12n－1.由130×1.12n－1＞200，两边同时取常用对数，得n－1＞lg 2－lg 1.3lg 1.12，又lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.3－0.110.05＝3.8，则n＞4.8，即a5开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.[由题悟法]指数函数与对数函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．[即时应用]某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．解：(1)由题图，设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ kt ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －a ，t >1， 当t ＝1时，由y ＝4得k ＝4，由⎝⎛⎭⎫121－a ＝4得a ＝3.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4t ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －3，t >1. (2)由y ≥0.25得⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤t ≤1，4t ≥0.25或⎩⎪⎨⎪⎧ t >1，⎝⎛⎭⎫12t －3≥0.25，解得116≤t ≤5. 因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝7916(小时)．。
第三章 函数的概念与性质 单元检测卷(含解析)—2024-2025学年高一上学期数学必修第一册
第三章 函数的概念与性质（单元检测卷）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数y ＝－x 2＋2x ＋3的定义域为( )A.[－3，1] B.[－1，3]C.(－∞，－3]∪[1，＋∞)D.(－∞，－1]∪[3，＋∞)2.已知函数y ＝f(x ＋1)定义域是[－2，3]，则函数y ＝f(x －1)的定义域是( )A.[0，5] B.[－1，4]C.[－3，2]D.[－2，3]3.已知函数f(x)＝Error!若f(－a)＋f(a)≤0，则实数a 的取值范围是( )A.[－1，1] B.[－2，0]C.[0，2]D.[－2，2]4.设f(x)是定义域为R 的奇函数，且f(1＋x)＝f(－x)．若f ＝13，则f ＝( )A.－53B.－13C.13D.535.二次函数的图象的顶点为(0，－1)，对称轴为y 轴，则二次函数的解析式可以为( )A .y ＝－14x 2＋1B.y ＝14x 2－1C .y ＝4x 2－16 D.y ＝－4x 2＋166.拟定从甲地到乙地通话m min的话费(单位：元)符合f(m)＝{3.71，0＜m ≤4，1.06×(0.5×[m]＋2)，m ＞4，其中[m]表示不超过m 的最大整数，从甲地到乙地通话5.2min 的话费是A.3.71元 B.4.24元C.4.77元D.7.95元7.若函数f(x)在R 上是减函数，则下列关系式一定成立的是( )A.f(a)＞f(2a) B.f(a 2)＜f(a)C.f(a 2＋a)＜f(a)D.f(a 2＋1)＜f(a 2)8.若函数f (x)是奇函数，且当x>0时，f (x)＝x 3＋x ＋1，则当x<0时，f (x)的解析式为( )A .f (x)＝x 3＋x －1B .f (x)＝－x 3－x －11()3 5()3C .f (x)＝x 3－x ＋1D .f (x)＝－x 3－x ＋1二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9.已知f (2x －1)＝4x 2，则下列结论正确的是( )A .f (3)＝9 B.f (－3)＝4C .f (x)＝x 2D.f (x)＝(x ＋1)210.函数f(x)的图象是折线段ABC ，如图所示，其中点A ，B ，C 的坐标分别为(－1，2)，(1，0)，(3，2)，以下说法正确的是( )A.f(x)＝Error!B.f(x －1)的定义域为[－1，3]C.f(x ＋1)为偶函数D.若f(x)在[m ，3]上单调递增，则m 的最小值为111.下列说法正确的是( )A.若幂函数的图象经过点，则该幂函数的解析式为y ＝x -3B.若函数f(x)＝，则f(x)在区间(－∞，0)上单调递减C.幂函数y ＝x α(α＞0)始终经过点(0，0)和(1，1)D.若函数f(x)＝x ，则对于任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)有f(x 1)＋f(x 2)2≤f 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上．12.设f(x)＝11－x，则f(f(x))＝__________13.已知二次函数f(x)＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－3，2]上的最大值为4，则a 的值为________14.若函数f(x)＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1，2a]，则a ＝________，b ＝________四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1(,2)845x-12x x ()2+15.（13分）已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)x－m-1(m∈R)为偶函数．(1)求f的值；(2)若f(2a＋1)＝f(a)，求实数a的值．16.（14分）已知函数f(x)＝Error!(1)求f(f(f(5)))的值；(2)画出函数的图象．17.（16分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝{400x－12x2，0≤x≤400，80 000，x＞400，其中x是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)18.（16分）已知函数f(x)＝x21＋x2＋1，x∈R．1 () 2(1)判断并证明函数的奇偶性；(2)求f(x)＋f 的值；(3)计算f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f ＋f ＋f ．19.（18分）已知二次函数f(x)＝x 2－2(a －1)x ＋4．(1)若a ＝2，求f(x)在[－2，3]上的最值；(2)若f(x)在区间(－∞，2]上单调单减，求实数a 的取值范围；(3)若x ∈[1，2]，求函数f(x)的最小值．参考答案及解析：一、单选题1()x 1()21()31()41.B 解析：由题意，令－x 2＋2x ＋3≥0，即x 2－2x －3≤0，解得－1≤x ≤3，所以函数的定义域为[－1，3]．故选B ．2.A 解析：由题意知－2≤x ≤3，所以－1≤x ＋1≤4，所以－1≤x －1≤4，得0≤x ≤5，即y ＝f(x －1)的定义域为[0，5]．3.D 解析：依题意，可得Error!或Error!或Error!解得－2≤a ≤2．4.C 解析：由题意，f ＝f ＝f ＝－f ＝－f ＝－f ＝f ＝13．5.B 解析：把点(0，－1)代入四个选项可知，只有B 正确．故选B ．6.C 解析：f(5.2)＝1.06×(0.5×[5.2]＋2)＝1.06×(0.5×5＋2)＝4.77．7.D 解析:因为f(x)是R 上的减函数，且a 2＋1＞a 2，所以f(a 2＋1)＜f(a 2)．故选D ．8.A 解析：∵函数f (x)是奇函数，∴f (－x)＝－f (x)，当x<0时，－x>0，∵x>0时，f (x)＝x 3＋x ＋1，∴f (－x)＝(－x)3－x ＋1＝－x 3－x ＋1，∴－f (x)＝－x 3－x ＋1，∴f (x)＝x 3＋x －1．即x<0时，f (x)＝x 3＋x －1．故选A ．二、多选题9.BD 解析：令t ＝2x －1，则x ＝t ＋12，∴f (t)＝4＝(t ＋1)2．∴f (3)＝16，f (－3)＝4，f (x)＝(x ＋1)2．故选BD ．10.ACD 解析：由图可得当－1≤x ＜1时，图象过(1，0)，(－1，2)两点，设f(x)＝kx ＋b ，∴Error!解得Error!＝－x ＋1，当1≤x ≤3时，根据图象过点(1，0)，(3，2)，同理可得f(x)＝x －1，∴f(x)＝Error!A 正确；由图可得f(x)的定义域为[－1，3]，关于x ＝1对称，∴f(x －1)的定义域为[0，4]，f(x ＋1)为偶函数，即B 错误，C 正确；当f(x)在[m ，3]上单调递增，则1≤m ＜3，故m 的最小值为1，D 正确．故选ACD ．11.CD 解析：若幂函数的图象经过点，则该幂函数的解析式为y ＝，故A 错误；函数f(x)＝是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，故在(－∞，0)上单调递增，故B 错误；幂函数y ＝x α(α＞0)始终经过点(0，0)和(1，1)，故C 正确；对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)，要证f(x 1)＋f(x 2)2≤f ，即x 1＋x 22≤x 1＋x 22，即x 1＋x 2＋2x 1x 24≤x 1＋x 22，即(x 1－x 2)2≥0，易知成立，故D 正确．三、填空题5()32(1)3+2()3-2(31[1(3+-1()31()3-2t 1()2+1(,2)813x -45x -12x x ()2+12.答案：x －1x (x ≠0且x ≠1)解析：f(f(x))＝11－11－x ＝11－x －11－x＝x －1x ．13.答案：－3或38解析：f(x)的对称轴为直线x ＝－1．当a ＞0时，f(x)max ＝f(2)＝4，解得a ＝38；当a ＜0时，f(x)max ＝f(－1)＝4，解得a ＝－3．综上所述，a ＝38或a ＝－3．14.答案：13，0解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a －1＝－2a ，解得a ＝13．又函数f(x)＝13x 2＋bx＋b ＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，则－b2×73＝0，易得b ＝0．四、解答题15.解：(1)由m 2－5m ＋7＝1，得m ＝2或m ＝3．当m ＝2时，f(x)＝x -3是奇函数，所以不满足题意，所以m ＝2舍去；当m ＝3时，f(x)＝x -4，满足题意，所以f(x)＝x -4．所以f ＝＝16．(2)由f(x)＝x -4为偶函数且f(2a ＋1)＝f(a)，得|2a ＋1|＝|a|，即2a ＋1＝a 或2a ＋1＝－a ，解得a ＝－1或a ＝－13．16.解：(1)因为5＞4，所以f(5)＝－5＋2＝－3．因为－3＜0，所以f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1．因为0＜1＜4，所以f(f(f(5)))＝f(1)＝12－2×1＝－1，即f(f(f(5)))＝－1．(2)图象如图所示．1()241()217.解：(1)设月产量为x 台，则总成本为(20 000＋100x)元，从而f(x)＝{－12x 2＋300x －20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x ＞400．(2)当0≤x ≤400时，f(x)＝－12(x －300)2＋25 000，所以当x ＝300时，f(x)max ＝25 000．当x ＞400时，f(x)＝60 000－100x 单调递减，f(x)＜60 000－100×400＝20 000＜25 000．所以当x ＝300时 ，f(x)max ＝25 000，即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25 000元．18.解：(1)f(x)是偶函数，理由如下．f(x)的定义域为R ，关于y 轴对称．因为f(－x)＝(－x)21＋(－x)2＋1＝x 21＋x 2＋1＝f(x)，所以f(x)＝x 21＋x 2＋1是偶函数．(2)因为f(x)＝x 21＋x 2＋1，所以f ＝＋1＝1x 2＋1＋1，所以f(x)＋f ＝3．(3)由(2)可知f(x)＋f ＝3，又因为f(1)＝32，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋ff ＋f ＋f ＝f(1)＋＝32＋3×3＝21219.解：(1)当a ＝2时，f(x)＝x 2－2x ＋4，x ∈[－2，3]，因为f(x)的对称轴为x ＝1，所以f(x)在[－2，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增，所以当x ＝1时，f(x)取得最小值为f(1)＝1－2＋4＝3，当x ＝－2时，f(x)取得最大值为f(－2)＝22＋4＋4＝12．1()x 221()x 11()x +1(x 1()x 1()21()31()4111[f (2)f ()][f (3)f ()][f (4)f ()]234+++++(2)二次函数f(x)＝x 2－2(a －1)x ＋4的对称轴为x ＝a －1，f(x)在区间(－∞，2]单调递减，则a －1≥2，解得a≥3．所以实数a 的取值范围为[3，＋∞)．(3)二次函数f(x)＝x 2－2(a －1)x ＋4的对称轴为x ＝a －1，当a －1≤1，则a≤2，此时f(x)在[1，2]上单调递增，所以f(x)min ＝f(1)＝1－2(a －1)＋4＝7－2a ．当1＜a －1＜2，则2＜a ＜3，此时f(x)在[1，a －1]上单调递减，在[a －1，2]上单调递增，所以f(x)min ＝f(a －1)＝(a －1)2－2(a －1)2＋4＝－a 2＋2a ＋3．当a －1≥2，则a ≥3，此时f(x)在[1，2]上单调递减，所以f(x)min ＝f(2)＝22－4(a －1)＋4＝12－4a ．综上，f(x)min ＝{7－2a ，a ≤2，－a 2＋2a ＋3，2＜a ＜3，12－4a ，a ≥3．。
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使解析式有意义：
解析式有意义的情况：
（1）若解析式是整式，则函数的定义域为全体实数R； （2）若解析式中含有分式，则分母不为零； （3）若解析式中含有偶次根式，则被开方数为非负数；
（4）若解析式中含有 x0 ，则底数x不为零；
（5）若解析式中含有对数式，则真数大于零，底数 大于零且不等于1； （6）实际问题中不仅要考虑解析式的意义，还应该 注意其实际意义； （7）若解析式中含有以上某几种情况，则应该去它 们的交集
x [ 3, 2 ] [ 2 , 3] 22
三，求函数值的问题
设函数y f (x)，x A，如果自变量x 取值为a，则由法则f确定的y的值叫做 函数在x a时的函数值，记为f (a)
例9、（12江西理3）若函数
f
(x)
x2
1,
x
1
，则
f ( f (10))
lg x, x 1
A 、lg、101 B、2 C、1 D、0
bx ex
c f
(ad
0)
的函数，把其化为一个常数和另一个
函数的和（差）的形式，即
f (x) ax b k m (k, m是常数)或
cx d
cx d
f (x)
ax2 bx c dx2 ex f
k
dx2
m ex
f
(k, m是常数)
即对那个函数进行求取值范围即可；
例14，求下列函数的值域
例13，（2010重庆文第4题）函数 y 16 4x 的值域是（ ）
A. [0, ) B. [0, 4]
C. [0, 4) D. (0, 4)
4x 0 0 16 4x 16 y [0, 4)
高一数学第二章《基本初等函数》单元测试卷4
高一数学第二章《基本初等函数》单元测试卷班级 学号 姓名一、选择题（每小题5分，共40分） 1.3334)21()21()2()2(---+-+----的值（ ） A 437 B 8 C －24 D －8 2.函数x y 24-=的定义域为（ ）A ),2(+∞B (]2,∞-C (]2,0D [)+∞,13.下列函数中，在),(+∞-∞上单调递增的是（ ） A ||x y = B x y 2log = C 31x y = D x y 5.0=4.函数x x f 4log )(=与x x f 4)(=的图象（ ）A 关于x 轴对称B 关于y 轴对称C 关于原点对称D 关于直线x y =对称5.已知2log 3=a ，那么6log 28log 33-用a 表示为 （ ）A 2-aB 25-aC 2)(3a a a +-D 132--a a6.若函数)1,0)(1(≠>+-=a a b a y x 的图象在第一、三、四象限，则有（ ）A 1>a 且1<bB 1>a 且0>bC 10<<a 且0>bD 10<<a 且0<b7.已知10<<a ，0log log <<n m a a ，则 （ ）A m n <<1B n m <<1C 1<<n mD 1<<m n8.函数⎩⎨⎧>-≤-=--)1(23)1(2311x x y x x 的值域是A )1,2(--B ),2(+∞-C ]1,(--∞D ]1,2(--二、填空题（每小题5分，共20分）9.若n m a a )()(->-ππ，且1>>n m ，则实数a 的取值范围为 。
10.已知函数)(x f 为偶函数,当),0(+∞∈x 时，12)(+-=x x f ，当)0,(-∞∈x 时，=)(x f _____________.11.已知函数⎩⎨⎧<+≥=-),3)(1(),3(2)(x x f x x f x 则=)3(log 2f _________.12.已知)2(log ax y a -=在]1,0[上是减函数，则a 的取值范围是_________三、解答题（共40分）13（本题满分10分）计算下列各式的值：（写出化简过程）（1）5.02120)01.0()412(2)532(-⨯+--；（５分）（2）432981⨯；（５分）14.已知函数x y 2=（1）作出其图象；（4分）（2）由图象指出单调区间；（2分）（3）由图象指出当x 取何值时函数有最小值，最小值为多少？（4分）15.已知[]2,1,4329)(-∈+⨯-=x x f x x（1）设[]2,1,3-∈=x t x ，求t 的最大值与最小值；（4分）（2）求)(x f 的最大值与最小值；（6分）16.已知函数.11lg )(xx x f +-= （1） 求证：);1()()(xyy x f y f x f ++=+（4分） （2） 若,2)1(,1)1(=--=++abb a f ab b a f 求)(a f 和)(b f 的值.（6分）《基本初等函数》参考答案一、1～8 CBCD ABAD二、9、{}1-<πa a 10、12)(+-=-x x f11、12112、{}21<<a a三、13、（1）1516（2） 67314、（1）如图所示：（2）单调区间为()0,∞-，[)+∞,0.（3） 由图象可知：当0=x 时，函数取到最小值1min =y15、解：（1）x t 3= 在[]2,1-是单调增函数∴ 932max ==t ，3131min ==-t（2）令x t 3=，[]2,1-∈x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∴9,31t 原式变为：42)(2+-=t t x f ，1xy3)1()(2+-=∴t x f ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈9,31t ，∴当1=t 时，此时1=x ，3)(min =x f ，当9=t 时，此时2=x ，67)(max =x f 。
高一数学必修一集合与函数的概念单元测试题附答案解析
高一数学必修一集合与函数的概念单元测试附答案解析时间：120分钟满分：150分一、选择题本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1．设集合M＝{x|x2＋2x＝0,x∈R},N＝{x|x2－2x＝0,x∈R},则M∪N＝A．{0} B．{0,2} C．{－2,0} D．{－2,0,2}2．设f：x→|x|是集合A到集合B的映射,若A＝{－2,0,2},则A∩B＝A．{0} B．{2} C．{0,2} D．{－2,0}3．fx是定义在R上的奇函数,f－3＝2,则下列各点在函数fx图象上的是A．3,－2 B．3,2 C．－3,－2 D．2,－34．已知集合A＝{0,1,2},则集合B＝{x－y|x∈A,y∈A}中元素的个数是A．1 B．3 C．5 D．95．若函数fx满足f3x＋2＝9x＋8,则fx的解析式是A．fx＝9x＋8 B．fx＝3x＋2 C．fx＝－3x－4 D．fx＝3x＋2或fx＝－3x－4 6．设fx＝错误!则f5的值为A．16 B．18 C．21 D．247．设T＝{x,y|ax＋y－3＝0},S＝{x,y|x－y－b＝0},若S∩T＝{2,1},则a,b的值为A．a＝1,b＝－1 B．a＝－1,b＝1C．a＝1,b＝1 D．a＝－1,b＝－18．已知函数fx的定义域为－1,0,则函数f2x＋1的定义域为A．－1,1 C．－1,09．已知A＝{0,1},B＝{－1,0,1},f是从A到B映射的对应关系,则满足f0>f1的映射有A．3个B．4个C．5个D．6个10．定义在R上的偶函数fx满足：对任意的x1,x2∈－∞,0x1≠x2,有x2－x1fx2－fx1>0,则当n∈N时,有A．f－n<fn－1<fn＋1 B．fn－1<f－n<fn＋1C．fn＋1<f－n<fn－1 D．fn＋1<fn－1<f－n11．函数fx是定义在R上的奇函数,下列说法：①f0＝0；②若fx在0,＋∞上有最小值为－1,则fx在－∞,0上有最大值为1；③若fx在1,＋∞上为增函数,则fx在－∞,－1上为减函数；④若x>0时,fx＝x2－2x,则x<0时,fx＝－x2－2x.其中正确说法的个数是A．1个 B．2个 C．3个 D．4个12．fx满足对任意的实数a,b都有fa＋b＝fa·fb且f1＝2,则错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＝A．1006 B．2014 C．2012 D．1007二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分．把答案填在题中横线上13．函数y＝错误!的定义域为________．14．fx＝错误!若fx＝10,则x＝________.15．若函数fx＝x＋abx＋2a常数a,b∈R是偶函数,且它的值域为－∞,4,则该函数的解析式fx＝________.16．在一定范围内,某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系,如果购买1000吨,每吨为800元,购买2000吨,每吨为700元,那么客户购买400吨,单价应该是________元．三、解答题本大题共6小题,共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．本小题满分10分已知集合A＝{x|2≤x≤8},B＝{x|1<x<6},C＝{x|x>a},U＝R.1求A∪B,U A∩B；2若A∩C≠,求a的取值范围．18．本小题满分12分设函数fx＝错误!.1求fx的定义域；2判断fx的奇偶性；3求证：f错误!＋fx＝0.19．本小题满分12分已知y＝fx是定义在R上的偶函数,当x≥0时,fx＝x2－2x.1求当x<0时,fx的解析式；2作出函数fx的图象,并指出其单调区间．20．本小题满分12分已知函数fx＝错误!,1判断函数在区间1,＋∞上的单调性,并用定义证明你的结论．2求该函数在区间1,4上的最大值与最小值．21．本小题满分12分已知函数fx的定义域为0,＋∞,且fx为增函数,fx·y＝fx＋fy．1求证：f错误!＝fx－fy；2若f3＝1,且fa>fa－1＋2,求a的取值范围．22．本小题满分12分某商场经销一批进价为每件30元的商品,在市场试销中发现,此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下表所示的关系：1在所给的坐标图纸中,根据表中提供的数据,描出实数对x,y的对应点,并确定y与x 的一个函数关系式．2设经营此商品的日销售利润为P元,根据上述关系,写出P关于x的函数关系式,并指出销售单价x为多少元时,才能获得最大日销售利润1.解析M＝{x|xx＋2＝0.,x∈R}＝{0,－2},N＝{x|xx－2＝0,x∈R}＝{0,2},所以M∪N＝{－2,0,2}．答案D2. 解析依题意,得B＝{0,2},∴A∩B＝{0,2}．答案C3. 解析∵fx是奇函数,∴f－3＝－f3．又f－3＝2,∴f3＝－2,∴点3,－2在函数fx的图象上．答案A4. 解析逐个列举可得．x＝0,y＝0,1,2时,x－y＝0,－1,－2；x＝1,y＝0,1,2时,x－y ＝1,0,－1；x＝2,y＝0,1,2时,x－y＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合B的元素为－2,－1,0,1,2.共5个．答案C5. 解析∵f3x＋2＝9x＋8＝33x＋2＋2,∴fx＝3x＋2.答案B6. 解析f5＝f5＋5＝f10＝f15＝15＋3＝18.答案B7. 解析依题意可得方程组错误!错误!答案C8. 解析由－1<2x＋1<0,解得－1<x<－错误!,故函数f2x＋1的定义域为错误!.答案B9. 解析当f0＝1时,f1的值为0或－1都能满足f0>f1；当f0＝0时,只有f1＝－1满足f0>f1；当f0＝－1时,没有f1的值满足f0>f1,故有3个．答案A10.解析由题设知,fx在－∞,0上是增函数,又fx为偶函数,∴fx在0,＋∞上为减函数．∴fn＋1<fn<fn－1．又f－n＝fn,∴fn＋1<f－n<fn－1．答案C11. 解析①f0＝0正确；②也正确；③不正确,奇函数在对称区间上具有相同的单调性；④正确．答案C12. 解析因为对任意的实数a,b都有fa＋b＝fa·fb且f1＝2,由f2＝f1·f1,得错误!＝f1＝2,由f4＝f3·f1,得错误!＝f1＝2,……由f2014＝f2013·f1,得错误!＝f1＝2,∴错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＝1007×2＝2014.答案B13. 解析由错误!得函数的定义域为{x|x≥－1,且x≠0}．答案{x|x≥－1,且x≠0}14. 解析当x≤0时,x2＋1＝10,∴x2＝9,∴x＝－3.当x>0时,－2x＝10,x＝－5不合题意,舍去．∴x＝－3.答案－315. 解析fx＝x＋abx＋2a＝bx2＋2a＋abx＋2a2为偶函数,则2a＋ab＝0,∴a＝0,或b＝－2.又fx的值域为－∞,4,∴a≠0,b＝－2,∴2a2＝4.∴fx＝－2x2＋4.答案－2x2＋416. 解析设一次函数y＝ax＋ba≠0,把错误!和错误!代入求得错误!∴y＝－10x＋9000,于是当y＝400时,x＝860.答案86017. 解1A∪B＝{x|2≤x≤8}∪{x|1<x<6}＝{x|1<x≤8}．A＝{x|x<2,或x>8}．U∴U A∩B＝{x|1<x<2}．2∵A∩C≠,∴a<8.18. 解1由解析式知,函数应满足1－x2≠0,即x≠±1.∴函数fx的定义域为{x∈R|x≠±1}．2由1知定义域关于原点对称,f－x＝错误!＝错误!＝fx．∴fx为偶函数．3证明：∵f错误!＝错误!＝错误!,fx＝错误!,∴f错误!＋fx＝错误!＋错误!＝错误!－错误!＝0.19. 解1当x<0时,－x>0,∴f－x＝－x2－2－x＝x2＋2x.又fx是定义在R上的偶函数,∴f－x＝fx．∴当x<0时,fx＝x2＋2x.2由1知,fx＝错误!作出fx的图象如图所示：由图得函数fx的递减区间是－∞,－1,0,1．fx的递增区间是－1,0,1,＋∞．20. 解1函数fx在1,＋∞上是增函数．证明如下：任取x1,x2∈1,＋∞,且x1<x2,fx－fx2＝错误!－错误!＝错误!,1∵x1－x2<0,x1＋1x2＋1>0,所以fx1－fx2<0,即fx1<fx2,所以函数fx在1,＋∞上是增函数．2由1知函数fx在1,4上是增函数,最大值f4＝错误!,最小值f1＝错误!.21. 解1证明：∵fx＝f错误!＝f错误!＋fy,y≠0∴f错误!＝fx－fy．2∵f3＝1,∴f9＝f3·3＝f3＋f3＝2.∴fa>fa－1＋2＝fa－1＋f9＝f9a－1．又fx在定义域0,＋∞上为增函数,∴错误!∴1<a<错误!.22. 解1由题表作出30,60,40,30,45,15,50,0的对应点,它们近似地分布在一条直线上,如图所示．设它们共线于直线y＝kx＋b,则错误!错误!∴y＝－3x＋1500≤x≤50,且x∈N,经检验30,60,40,30也在此直线上．∴所求函数解析式为y＝－3x＋1500≤x≤50,且x∈N．2依题意P＝yx－30＝－3x＋150x－30＝－3x－402＋300.∴当x＝40时,P有最大值300,故销售单价为40元时,才能获得最大日销售利润．。
必修1第二单元函数综合复习
必修 1 第二单元函数综合复习 1.“函数”概念辨析 一、定义域 1．函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示． 2．求函数定义域的方法 x＋2 例 1 求 y＝ x＋2＋ 的定义域． |x|－4 例 2 已知函数 y＝f(x＋1)的定义域为(－1,1)，求函数 y＝f(x)的定义域． 例 3 一矩形的周长为 20，长 y 是宽 x 的函数，求其解析式和定义域． 二、对应关系:例 4 已知函数 f(x)＝x2－2x，求 f(1)、f(a)、f(2x)． 三、值域 1．函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应关系确定，常用集合或区间来表示． 2．值域的求法，就我们现在所学的知识而言，暂时介绍如下三种方法： (1)二次函数型利用“配方法”:例 5 求函数 y＝－2x2＋4x＋6 的值域． (2)换元法(注意换元后新元的范围)．:例 6 求函数 y＝2x＋4 1－x的值域． (3)形如 y＝ ax＋b (a，c≠0)的函数用分离常数法． cx＋d )
(1)求证：f(x)在 R 上是减函数；
跟踪训练：函数 f(x)的定义域为 D＝{x|x≠0}，且满足对于任意 x1，x2∈D，有 f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)． (1)求 f(1)的值； (2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果 f(4)＝1，f(x－1)<2，且 f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求 x 的取值范围．
)
10．已知定义在 R 上的奇函数满足 f(x)＝x2＋2x(x≥0)，若 f(3－m2)>f(2m)，则实数 m 的取值范围是________． 三、解答题 11．函数 f(x)＝4x2－4ax＋a2－2a＋2 在区间[0,2]上有最小值 3，求 a 的值．
12．已知二次函数 f(x)＝ax2＋bx(a，b 为常数，且 a≠0)满足条件：f(x－1)＝f(3－x)，且方程 f(x)＝2x 有两等根． (1)求 f(x)的解析式；(2)求 f(x)在[0，t]上的最大值．
第四讲 函数常考知识复习讲义(学生版)
第四讲函数常考知识复习讲义I本章知识思维导图 2 II典型例题 3题型一：求具体函数与抽象函数的定义域 3题型二：求函数的解析式 4题型三：求函数的值域 5题型四：函数的单调性 6题型五：函数的奇偶性 8题型六：函数性质的综合应用 10题型七：幂函数 12题型八：函数的实际应用 14 III数学思想方法 19①分类讨论思想 19②转化与化归思想 19③数形结合思想 20I本章知识思维导图II典型例题题型一：求具体函数与抽象函数的定义域【例1】(2024·广东深圳·高一校考期中)函数y=9-x2x的定义域是.【例2】(2024·上海松江·高一校考期末)函数y=xx2-1的定义域为(用区间表示).【例3】(2024·河南新乡·高一校联考期末)函数f x =8x2-x2-1的定义域为．【例4】(2024·新疆乌鲁木齐·高一校考期中)若函数f x 的定义域为-1,2，则函数f3+2x的定义域是．【例5】(2024·高一课时练习)已知函数f(x+1)的定义域是[-2,2]，则函数f(x)的定义域是．【例6】(2024·吉林长春·高一长春市解放大路学校校考阶段练习)已知函数f x 的定义域为0,+∞，则函数F x =f x+2+3-x的定义域为.【例7】(2024·全国·高一专题练习)已知函数f x+1的定义域为1,2，则f2x的定义域为.【例8】(2024·全国·高一专题练习)已知函数f x 的定义域为-1,1则y=f x+1x2-2x-3的定义域为【例9】(2024·全国·高一专题练习)已知函数f2x的定义域为12,2，则函数f x2的定义域为.【例10】(2024·全国·高一专题练习)函数f3x+1的定义域为1,7，则函数f x 的定义域是.【例11】(2024·河南郑州·高一校考阶段练习)已知函数f(x)是一次函数且f(f(x))+2f(x)=-x-2，则函数f(x)的解析式为．【例12】(2024·全国·高一专题练习)已知f x 是二次函数．且f x+1+f x-1=2x2-4x．则f x =．【例13】(2024·四川眉山·高一校考阶段练习)已知f x+1=2x2+3，则f x =．【例14】(2024·高一课时练习)已知函数f x+1=x，则函数f x 的解析式是.【例15】(2024·全国·高一专题练习)已知f1x=x1-x2，则f x =.【例16】(2024·江苏盐城·高一统考期中)已知函数f(x)满足f3-2x=x2-x，则f(x)=.【例17】(2024·全国·高一专题练习)已知f1+1 x=1x-1，则f x =．【例18】(2024·上海·高一专题练习)已知函数f x 满足2fx-1x+f x+1x=1+x，其中x∈R且x≠0，则函数f x 的解析式为【例19】(2024·高一课时练习)已知函数y=f(x)满足f(x)=2f1x+x，则f(x)的解析式为.【例20】(2024·全国·高一专题练习)求下列函数的值域.(1)f x =2x+41-x;(2)f x =5x+4x-2;(3)f x =x2-2x-3，x∈-1,4(4)y=x2+x+1x【例21】(2024·高一课时练习)求下列函数的值域．(1)y=5x+4x-1；(2)y=x-1-2x；(3)y=2--x2+4x.【例22】(2024·高一课时练习)求下列函数的值域．(1)y=16-x2；(2)y=x2-4x+61≤x≤5；(3)y=xx+1；(4)y=2x+41-x.【例23】(2024·全国·高一课堂例题)求下列函数的值域：(1)y=x+1，x∈1,2,3,4,5；(2)y=x2-2x+3，x∈0,3；(3)y=2x+1x-3x>4；(4)y=2x-x-1；(5)y=x2-2x+4x-2x>2；(6)y=2xx2+3x+4x<0；(7)y=2x2+2x+5x2+x+1．【例24】(2024·高一校考课时练习)求下列函数的值域:(1)y =2x +1x -3，(2)y =x +4xx >0 ，(3)y =-2x 2+x +3，(4)y =x +41-x题型四：函数的单调性【例25】(2024·高一课时练习)定义域为(-2,0)∪(0,2)的函数f (x )在区间(-2,0)上是增函数，在区间(0,2)上是减函数，则：(1)函数y =-f (x )的单调递增区间是；单调递减区间是；(2)函数y =-f (x +1)的单调递增区间是；单调递减区间是．【例26】(2024·山东·高一山东省实验中学校考阶段练习)函数y =7+6x -x 2的单调递增区间为.【例27】(2024·全国·高一专题练习)已知函数f x =x +1x -52x >0 ，则f x 的递减区间是.【例28】(2024·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期中)函数f x =xx -1,x ≤0-x 2-a +1 x +2a ,x >0在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是.【例29】(2024·全国·高一课堂例题)已知函数f x 在0,+∞ 上单调递减，对任意x ∈0,+∞ ，均有f x ⋅f f x +2x =13，记g x =f x +4x 2，x ∈0,+∞ ，则函数g x 的最小值为．【例30】(2024·安徽安庆·高一安庆市第七中学校考期中)若f x =x 2-ax +2a 在区间1,+∞ 上是增函数，则实数a 的取值范围是.【例31】(2024·全国·高一专题练习)设函数f x =x +1,x <a a x -2 2,x ≥a，若f x 存在最大值，则实数a 的取值范围为．【例32】(2024·全国·高一专题练习)函数f (x )=x +1x-a +a 在区间[1,2]上的最大值为5，则a =．【例33】(2024·湖北武汉·高一校联考期中)函数f x 是定义在0,+∞ 上的增函数，若对于任意正实数x ,y ，恒有f xy =f x +f y ，且f 3 =1，则不等式f x +f x -8 <2的解集是.【例34】(2024·全国·高一专题练习)已知函数y =f x 的定义域为R ，对任意的x 1、x 2，且x 1≠x 2都有f x 1 -f x 2 x 1-x 2 >0成立，若f x 2+1 >f t 2-t -1 对任意x ∈R 恒成立，则实数t 的取值范围是．【例35】(2024·全国·高一假期作业)定义在R 上的函数f (x )的图象关于直线x =2对称，且f (x )在(-∞，2)上是增函数，则f (-1)与f (3)的大小关系是．【例36】(2024·全国·高一课堂例题)证明函数f x =x +1xx >0 在区间0,1 上递减，在区间1,+∞ 上递增，并指出函数在区间0,+∞ 上的最值点和最值．【例37】(2024·全国·高一专题练习)已知函数f (x )对任意的实数x 、y 都有f (x +y )=f (x )+f (y )-1，且当x>0时，f (x )>1.求证：函数f (x )在R 上是增函数.【例38】(2024·河北邯郸·高一校考期末)已知定义在(0,+∞)上的函数f (x )满足：①对任意的x ,y ∈(0,+∞)，都有f (xy )=f (x )+f (y )；②当且仅当x >1时，f (x )<0成立．(1)求f (1)；(2)用定义证明f (x )的单调性；【例39】(2024·天津·高一统考期中)已知函数f(x)=x2+a2ax+b是奇函数，且f1 =2.(1)求f x 的解析式；(2)判断f x 在区间0,1上的单调性并说明理由.题型五：函数的奇偶性【例40】(2024·新疆巴音郭楞·高一八一中学校考期中)已知f x =11+x(x∈R，且x≠-1)，g x =x2+2x∈R．(1)求f g2的值；(2)判断函数g x =x2+2x∈R的奇偶性；(3)证明函数g x =x2+2在0,+∞上是增函数．【例41】(2024·湖南株洲·高一株洲二中校考阶段练习)已知定义在-1,1上的奇函数f x =ax-bx2+1，且f-12=-25.(1)求函数f x 的解析式;(2)判断f x 的单调性(并用单调性定义证明);(3)解不等式f(3t)+f(2t-1)<0.【例42】(2024·全国·高一随堂练习)判断下列函数是否具有奇偶性：(1)f(x)=5x+3；(2)f(x)=5x；(3)f(x)=2x2+1；(4)f(x)=x2+6x+9；(5)f(x)=1x2+2x4；(6)f(x)=x+1x3.【例43】(2024·全国·高一期中)已知函数f(x)=2x-ax，且f(2)=92.(1)求实数a的值；(2)判断该函数的奇偶性；(3)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性，并证明.【例44】(2024·甘肃白银·高一校考期中)已知函数f x =x2-ax+4，g x =x+b ax2+2.(1)若f x+1在b-1,b+1上为偶函数，求a，b的值；(2)设g x 的定义域为-1,1，在(1)的条件下：①判断函数g x 在定义域上的单调性并证明；②若g t-1+g2t<0，求实数t的取值范围.【例45】(2024·全国·高一期中)已知定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x)满足：①∀x，y∈(-∞,0)∪(0, +∞)，f(x⋅y)=f(x)+f(y)；②当x>1时，f(x)>0，且f2 =1．(1)试判断函数f x 的奇偶性；(2)判断函数f x 在0,+∞上的单调性；(3)求函数f x 在区间[-4,0)∪(0,4]上的最大值；(4)求不等式f(3x-2)+f(x)≥4的解集．【例46】(2024·江西南昌·高一南昌市八一中学校考阶段练习)已知函数y=f x 是定义在R上的奇函数，当x>0时，f x =x2-ax，其中a∈R(1)求函数y=f x 的解析式；(2)若函数y=f x 在区间0,+∞不单调，求出实数a的取值范围.【例47】(2024·黑龙江牡丹江·高一牡丹江市第二高级中学校考期末)设函数f x 是增函数，对于任意x，y∈R都有f x+y=f x +f y ．(1)写一个满足条件的f x 并证明；(2)证明f x 是奇函数；(3)解不等式12f x2-f x >12f3x．题型六：函数性质的综合应用【例48】(多选题)(2024·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期中)函数f(x)=x+1，g(x)=(x+1)2，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记为M(x)=max{f(x),g(x)}，则下列说法正确的是()A.M(2)=3B.∀x≥1，M(x)≥4C.M(x)有最大值D.M(x)最小值为0【例49】(多选题)(2024·江苏南通·高一统考期末)奇函数f x 与偶函数g x 的定义域均为R，在区间a,ba<b上都是增函数，则()A.0∉a,bB.f x 在区间-b,-a上是增函数，g x 在区间-b,-a上是减函数C.f x g x 是奇函数，且在区间a,b上是增函数D.f x -g x 不具有奇偶性，且在区间a,b上的单调性不确定【例50】(多选题)(2024·福建福州·高一校联考期中)已知连续函数f x 对任意实数x恒有f(x+y)=f(x)+ f(y)-1，当x>0时，f x >1，f1 =2，则()A.f0 =1B.f x 在-4,4上的最大值是4C.f x 图像关于-1,0中心对称D.不等式f3x2-2f x <f3x-2的解集为0,5 3【例51】(多选题)(2024·江西赣州·高一统考期中)世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数y=x ，x 表示不超过x的最大整数，例如1,1=1，-1,1=-2．已知函数f x =x-x ，则()A.f x 在R上是增函数B.f-3 2=12C.f x 为奇函数D.f x 的值域为0,1【例52】(多选题)(2024·全国·高一专题练习)已知定义域为R的函数f x 满足：∀x,y∈R，f x+y+f x-y=f x f y ，且f1 =1，则下列结论成立的是()A.f0 =2B.f x 为偶函数C.f x 为奇函数D.f2 =-1【例53】(多选题)(2024·全国·高一专题练习)设函数f x 是定义在0,+∞上的函数，并且满足下面三个条件：①对正数x，y都有f xy=f x +f y ；②当x>1时，f x >0；③f8 =3.则下列说法不正确的是()A.f1 =1B.f14=-2C.不等式f x +f x-3<2的解集为x|-1<x<4D.若关于x的不等式f kx+f3-x≤2恒成立，则k的取值范围是0,16 9【例54】(多选题)(2024·重庆长寿·高一统考期末)若函数f x 在定义域内D内的某区间M是增函数，且f xx在M上是减函数，则称f x 在M上是“弱增函数”，则下列说法正确的是()A.若f x =x4则不存在区间M使f x 为“弱增函数”B.若f x =x+x-1则存在区间M使f x 为“弱增函数”C.若f x =x5+x3+x则f x 为R上的“弱增函数”D.若f x =x2+4-ax+a在区间0,2上是“弱增函数”，则a=4【例55】(2024·福建漳州·高一校考期中)已知定义在区间0,+∞上的函数f x =t x+4 x-5(t>0)．(1)若函数f x 分别在区间0,2,2,+∞上单调，试求t的取值范围；(直接写出答案)(2)当t=1时，在区间1,4上是否存在实数a,b，使得函数f x 在区间a,b上单调，且f x 的取值范围为ma,mb，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．【例56】(2024·全国·高一期中)已知函数f x =ax2-x+2a-1a>0(1)设f x 在区间1,2的最小值为g a ，求g a 的表达式；(2)设h x =f xx，若函数h x 在区间1,2上是增函数，求实数a的取值范围．【例57】(2024·高一单元测试)已知偶函数f(x)的定义域是{x|x≠0}的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有f(x1⋅x2)=f(x1)+f(x2)，且当x>1时，f(x)>0，f(2)=1.(1)证明：f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数；(2)解不等式f(2x-1)<2.题型七：幂函数【例58】(2024·全国·高一专题练习)已知幂函数f x =x-m2-2m+3-2<m<2,m∈Z满足：①f x 在0,+∞上为增函数，②对∀x∈R，都有f-x-f x =0，求同时满足①②的幂函数f x 的解析式，并求出x∈1,4时，f x 的值域.【例59】(2024·浙江金华·高一校考期中)已知点2,2在幂函数f(x)的图像上.(1)求f(x)的解析式；(2)若函数g(x)=f(x)+ax+3，x∈1,+∞是否存在实数a，使得g(x)最小值为5？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由【例60】(2024·全国·高一假期作业)已知幂函数f x =m2-6m+10x-n2+4n n>1,n∈Z,m∈R的图象关于y轴对称，且在0,+∞上单调递增.(1)求m和n的值；(2)求满足不等式2a+3-m3<a-1-n2的a的取值范围.【例61】(2024·江苏南通·高一海安高级中学校考期中)已知幂函数f x =m 2-5m +7 x m -1为奇函数.(1)求实数m 的值；(2)求函数g x =14f x +1+12-f x -14<x <2 的最小值.【例62】(2024·黑龙江七台河·高一勃利县高级中学校考期中)已知幂函数y =x m 2-2m -3(m ∈N ∗)关于y 轴对称，且在0,+∞ 上单调减函数．(1)求m 的值；(2)解关于a 的不等式a +1 2m3<3-2a 2m3．【例63】(2024·广西柳州·高一柳铁一中校联考阶段练习)已知幂函数f x =k 2+k -1 x 2-k 1+k ，且f 2 <f 3 .(1)求函数f x 的解析式；(2)试判断是否存在正数m ，使得函数g x =1-f x +2mx 在区间0,1 上的最大值为5，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.【例64】(2024·广东佛山·高一佛山市顺德区乐从中学校考期中)已知幂函数f x =m 2-2m -2 x m 在0,+∞ 上单调递增.(1)求f x 的解析式；(2)若f x >3x 2+k -1 x 在1,3 上恒成立，求实数k 的取值范围．【例65】(2024·浙江杭州·高一校联考期中)已知幂函数f (x )=x -3n 2+9(n ∈N )为偶函数，且在区间(0,+∞)上单调递增(1)求函数y =f (x )的解析式;(2)设函数g (x )=3f (x )+2tx +3，求函数y =g (x )在区间[2,6]上的最小值G (t ).【例66】(2024·福建漳州·高一福建省华安县第一中学校考阶段练习)已知幂函数f x =2m2-5m+3x m是定义在R上的偶函数.(1)求f x 的解析式；(2)在区间-1,1上，f x 的图象总在函数y=kx-2图象的上方，求实数k的取值范围.【例67】(2024·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期中)已知幂函数f x =m2-5m+7x m-1，且f x =f-x.(1)求函数f x 的解析式；(2)若g x =f xf x +1,a,b均为正数且g a +g b =1，求f a +f b 的最小值.题型八：函数的实际应用【例68】(2024·全国·高一专题练习)党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②(注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元).(1)分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？【例69】(2024·全国·高一专题练习)某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2024年利用新技术生产某款新手机，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本250万元，每生产x(千部)手机，需另外投入成本R x 万元，其中R x =10x2+100x+800,0<x<50504x+10000x-2-6450,x≥50，已知每部手机的售价为5000元，且生产的手机当年全部销售完.(1)求2024年该款手机的利润y关于年产量x的函数关系式；(2)当年产量x为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？【例70】(2024·全国·高一专题练习)党的二十大报告提出“积极稳妥推进碳达峰碳中和”，降低能源消耗，建设资源节约型社会．日常生活中我们使用的LED灯具就具有节能环保的作用，它环保不含汞，可回收再利用，功率小，高光效，长寿命，有效降低资源消耗．经过市场调查，可知生产某种LED灯需投入的年固定成本为3万元，每生产x万件该产品，需另投入变动成本W(x)万元，在年产量不足6万件时，W x =12x2+x，在年产量不小于6万件时，W x =7x+81x-37．每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量．(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式．(注：年利润=年销售收入-固定成本-变动成本)(2)年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？【例71】(2024·全国·高一专题练习)某学校为了支持生物课程基地研究植物的生长规律，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x (单位：m )，三块种植植物的矩形区域的总面积为S (单位：m 2)．(1)求S 关于x 的函数关系式；(2)求S 的最大值，并求出此时x 的值．【例72】(2024·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考开学考试)党中央、国务院对节能减排高度重视，各地区、各部门认真贯彻党中央、国务院关于“十三五”节能减排的决策部署，把节能减排作为转换发展方式，经济提质增效，建设生态文明的重要抓手，取得重要进展.新能源汽车环保、节能、以电代油，减少排放，既符合我国国情，也代表了汽车产业发展的方向.为了响应国家节能减排的号召，2020年常州某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析：全年需投入固定成本2500万元.每生产x (百辆)新能源汽车，需另投入成本C x 万元，且C x =10x 2+500x ,0<x <40901x +10000x-4300,x ≥40.由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完.(1)请写出2020年的利润L x (万元)关于年产量x (百辆)的函数关系式；(利润=销售-成本)(2)当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.【例73】(2024·浙江衢州·高一校考阶段练习)2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.为降低疫情影响，某厂家拟尽快加大力度促进生产.已知该厂家生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)=12x2+20x(万元).当年产量不小于80千件时，C(x)=51x+10000x-600(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？【例74】(2024·高一课时练习)新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供x0≤x≤10(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府x(万元)补贴后，防护服产量将增加到t=k⋅6-12 x+4(万件)，其中k为工厂工人的复工率(0.5≤k≤1).A公司生产t万件防护服还需投入成本20+9x+50t(万元).(1)将A公司生产防护服的利润y(万元)表示为补贴x(万元)的函数(政府补贴x万元计入公司收入)；(2)对任意的x∈0,10(万元)，当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？(精确到0.01).【例75】(2024·山西晋城·高一晋城市第一中学校校考阶段练习)新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供x(x∈[0,10])(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服．A公司在收到政府x(万元)补贴后，防护服产量将增加到t=k⋅ (万件)，其中k为工厂工人的复工率(k∈[0.5,1])．A公司生产t万件防护服还需投入成本6-12x+4(20+9x+50t)(万元)．(1)将A公司生产防护服的利润y(万元)表示为补贴x(万元)的函数(政府补贴x万元计入公司收入)；(2)在复工率为k时，政府补贴多少万元才能使A公司的防护服利润达到最大？III 数学思想方法①分类讨论思想【例76】设函数f (x )=x +2，g (x )=x 2-x -1.用M (x )表示f (x )，g (x )中的较大者，记为M (x )=max{f (x ),g (x )}，则M (x )的最小值是()A.1B.3C.0D.-54【例77】已知幂函数f (x )=(m 2-2m -2)x 2-m 满足f (2)<f (3)，则函数g (x )=2x +m -x -m 的值域为()A.-258,+∞ B.[-3,+∞)C.[-1,+∞)D.[1,+∞)【例78】若定义在R 的奇函数f (x )在0,+∞ 单调递增，且f (-3)=0，则满足xf (x +1)≤0的x 的取值范围是()A.[-2,0]∪[1,4]B.[-4,-1)∪[0,2]C.[-4,-1]∪[0,2]D.[-4,-1]∪[3,+∞)【例79】已知函数f x =x 2-2ax +2,x ≤1x +9x-3a ,x >1的最小值为f 1 ，则a 的取值范围是()A.[1,3]B.3,+∞C.0,3D.-∞,1 ∪3,+∞【例80】已知函数f (x )=|x 2+bx |(b ∈R )，当x ∈[0,1]时，f (x )的最大值为M b ，则M b 的取值范围是()A.[1,+∞)B.[3-22,+∞)C.[4-23,+∞)D.[5-25,+∞)②转化与化归思想【例81】定义在R 上的奇函数f (x )在[0,+∞)上单调递减，且f (-2)=1，则满足-1≤f (x -1)≤1的x 的取值范围是()A.[-2,2]B.[-2,1]C.[-1,3]D.[0,2]【例82】已知函数f x =3x+1,x≤1x2-1,x>1，若n>m，且f(n)=f(m)，设t=n-m，则t的最大值为()A. 1B.5-1C.1712 D.43【例83】若定义在R的奇函数f(x)在-∞,0单调递减，且f2 =0，则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是()A.[-1,1]∪[3,+∞)B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞)D.[-1,0]∪[1,3]【例84】设a=0.40.6，b=0.60.8，c=0.80.4，则()A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.b>a>c【例85】已知函数f(x)=4x2-kx-8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，则实数k的取值范围是()A.[160,+∞)B.(-∞,40]C.(-∞,40]∪[160,+∞)D.(-∞,20]∪[80,+∞)【例86】函数f(x)=3+2x-x2的单调递增区间是()A.(-∞,1]B.[1,+∞)C.[1,3]D.[-1,1]③数形结合思想【例87】已知函数f(x)为奇函数，x>0时为增函数且f2 =0，则{x|f(x-2)>0}=.()A.{x|0<x<2或x>4}B.{x|x<0或x>4}C.{x|x<0或x>6}D.{x|x<-2或x>2}【例88】已知定义在R上的偶函数f(x)满足：①对任意的x 1,x2∈0,+∞，且x1≠x2，都有f(x1)-f(x2)x1-x2>0成立；②f(-2)=0.则不等式f(x)x>0的解集为()A.(-2,0)∪(2,+∞)B.(-∞,-2)∪(0,2)C.(-2,0)∪(0,2)D.(-∞,-2)∪(2,+∞)21数学是打开科学大门的钥匙//邦达数学高一讲义宝剑锋从磨砺出【例89】已知函数f (x )=-x 2+4x ,x ∈[m ,5]的值域是[-5,4]，则实数m 的取值范围是()A.(-∞,-1)B.(-1,2]C.[-1,2]D.[2,5]【例90】奇函数f (x )在-∞,0 上单调递减，且f 2 =0，则不等式f (x )>0的解集是．()A.(-∞,-2)∪(0,2)B.(-∞,0)∪(2,+∞)C.(-2,0)∪(0,2)D.(-2,0)∪(2,+∞)【例91】如图，直线l 和圆C ，当l 从l 0开始在平面上绕点O 按逆时针方向匀速转到(转到角不超过90{^°})时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，这个函数的图像大致是()A.B.C.D.【例92】已知函数y =f (x )是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数，且当x <0时，函数的图像如图所示，则不等式xf (x )>0的解集为()22越努力越幸运//邦达数学高一讲义梅花香自苦寒来A.(-2,-1)∪(1,2)B.(-2,-1)∪(0,1)∪(2,+∞)C.(-∞,-2)∪(-1,0)∪(1,2)D.(-∞,-2)∪(-1,0)∪(0,1)∪(2,+∞)。
高一函数的概念单元测试题2
1．（5分）函数y=2x+的值域是 _________．2．（5分）设f（x）为定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上为增函数，则f（﹣2），f（﹣π），f（3）的大小顺序是_________．3．（5分）已知函数f（x）=（m﹣1）x2+（m﹣2）x+（m2﹣7m+12）为偶函数，则m的值是_________．4．（5分）设M={m∈Z|﹣3＜m＜2}，N={n∈Z|﹣1≤n≤3}，则M∩N=_________．5．（5分）求函数在区间[3，6]上的最大值_________和最小值_________．6．（5分）设f（x）=ax7+bx+5，已知f（﹣7）=﹣17，求f（7）的值_________．7．（5分）已知函数f（x），当x＜0时，f（x）=x2+2x﹣1，若f（x）为R上的奇函数，则函数在R上的解析式为_________．8．（5分）如果二次函数f（x）=x2﹣（a﹣1）x+5在区间（，1）上为增函数，则f（2）的取值范围是_________．9．（5分）（2010•广州模拟）若函数f（x）=（k﹣2）x2+（k﹣1）x+3是偶函数，则f（x）的递减区间是_________．10．（5分）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的增函数，且f（x﹣2）＜f（1﹣x），则x的取值范围为_________．11．（5分）定义在（﹣1，1）上的奇函数f（x）=，则常数m=_________，n=_________．12．（5分）已知定义在R上的函数y=f（x）是偶函数，且x≥0时，f（x）=ln（x2﹣2x+2），当x＜0时，f（x）的解析式为_________．13．（5分）已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]，若y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调函数．则实数a的取值范围_________．14．（5分）若f（x）是奇函数，且在区间（﹣∞，0）上是单调增函数，又f（2）=0，则xf（x）＜0的解集为_________．15．（15分）已知函数，求证：f（x）在上是增函数．16．（15分）定义在[﹣1，1]上的函数y=f（x）是减函数，且是奇函数，若f（a2﹣a﹣1）+f （4a﹣5）＞0，求实数a的取值范围．17．（15分）求二次函数f（x）=x2﹣2ax+2在[2，4]上的最大值与最小值．18．（15分）作出函数y=|x﹣2|（x+1）的图象，并根据函数的图象找出函数的单调区间．19．（15分）在经济学中，函数f（x）的边际函数为Mf（x），定义为Mf（x）=f（x+1）﹣f（x），某公司每月最多生产100台报警系统装置．生产x台的收入函数为R（x）=3000x﹣20x2（单位元），其成本函数为C（x）=500x+4000（单位元），利润等于收入与成本之差．①求出利润函数p（x）及其边际利润函数Mp（x）；②求出的利润函数p（x）及其边际利润函数Mp（x）是否具有相同的最大值；③你认为本题中边际利润函数Mp（x）最大值的实际意义．20．（15分）若非零函数f（x）对任意实数a，b均有f（a+b）=f（a）•f（b），且当x＜0时，f（x）＞1．（1）求证：f（x）＞0（2）求证：f（x）为减函数（3）当时，解不等式．1．（5分）函数y=2x+的值域是[﹣2，+∞）．2．（5分）设f（x）为定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上为增函数，则f（﹣2），f（﹣π），f（3）的大小顺序是f（﹣2）＜f（3）＜f（﹣π）．3．（5分）已知函数f（x）=（m﹣1）x2+（m﹣2）x+（m2﹣7m+12）为偶函数，则m的值是2．4．（5分）设M={m∈Z|﹣3＜m＜2}，N={n∈Z|﹣1≤n≤3}，则M∩N={﹣1，0，1}．5．（5分）求函数在区间[3，6]上的最大值3和最小值．6．（5分）设f（x）=ax7+bx+5，已知f（﹣7）=﹣17，求f（7）的值27．7．（5分）已知函数f（x），当x＜0时，f（x）=x2+2x﹣1，若f（x）为R上的奇函数，则函数在R上的解析式为f（x）=．8．（5分）如果二次函数f（x）=x2﹣（a﹣1）x+5在区间（，1）上为增函数，则f（2）的取值范围是[7，+∞）．9．（5分）（2010•广州模拟）若函数f（x）=（k﹣2）x2+（k﹣1）x+3是偶函数，则f（x）的递减区间是（0，+∞）．10．（5分）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的增函数，且f（x﹣2）＜f（1﹣x），则x的取值范围为．11．（5分）定义在（﹣1，1）上的奇函数f（x）=，则常数m=0，n=0．12．（5分）已知定义在R上的函数y=f（x）是偶函数，且x≥0时，f（x）=ln（x2﹣2x+2），当x＜0时，f（x）的解析式为ln（x2+2x+2）．13．（5分）已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]，若y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调函数．则实数a的取值范围（﹣∞，﹣5]∪[5，+∞）．14．（5分）若f（x）是奇函数，且在区间（﹣∞，0）上是单调增函数，又f（2）=0，则xf（x）＜0的解集为（﹣2，0）∪（0，2）．15．（15分）已知函数，求证：f（x）在上是增函数．﹣）在16．（15分）定义在[﹣1，1]上的函数y=f（x）是减函数，且是奇函数，若f（a﹣a﹣1）+f （4a﹣5）＞0，求实数a的取值范围．）是减函数，所以17．（15分）求二次函数f（x）=x2﹣2ax+2在[2，4]上的最大值与最小值．18．（15分）作出函数y=|x﹣2|（x+1）的图象，并根据函数的图象找出函数的单调区间．=如下图：，，19．（15分）在经济学中，函数f（x）的边际函数为Mf（x），定义为Mf（x）=f（x+1）﹣f（x），某公司每月最多生产100台报警系统装置．生产x台的收入函数为R（x）=3000x﹣20x2（单位元），其成本函数为C（x）=500x+4000（单位元），利润等于收入与成本之差．①求出利润函数p（x）及其边际利润函数Mp（x）；②求出的利润函数p（x）及其边际利润函数Mp（x）是否具有相同的最大值；20．（15分）若非零函数f（x）对任意实数a，b均有f（a+b）=f（a）•f（b），且当x＜0时，f（x）＞1．（1）求证：f（x）＞0（2）求证：f（x）为减函数（3）当时，解不等式．，因为﹣）由，，即。
高一数学函数单元的复习
（2）由所给图象的解析式得到
（3）忽略了函数与其反函数的定义域和值域之间的关系.
例3．（2005年福建）已知函数
f 0 2 ，则方程
f x 是定义在
上的以3为周期的奇函数，且 R
f x 0 在区间 0 , 6 内解的个数的最小值是
A．2 解： 又因为
B. 3
③当
x a 时，
1 2
1 3 f x x x a 1 x a , 2 4
2
2
若 a 若a
，则函数 f x 在 a ,
1 3 a. 上的最小值为 f 2 4
2
1 2
，则函数 f x 在 a , 上的最小值为 f a a 1.
例2．（2005年广东7）在同一平面坐标系中，函数
y f
x 和 y g x 的图象关于直线 y x 对称.现将
y g x
的图象沿 x 轴向左平移2个单位，再沿 y 轴向上平移1个单位，
所得的图象是由两条线段组成的折线（如图），则函数 f
2 x 2 1 x 0 A. f x x 2 0 x 2 2
（2）未能证明
x 0 ,1 时， f
1 2
x
0 以致出现由 f
2
1 a ，得出 2
（3）对抽象推理的每步变形依据不清，推理过程理由不充分，如 y f x 关于直线 x 1对称， f 0 f 2 f x f x 2 ，所以2即为 f （4）不会把
2
x a
若a
1 2
高一数学必修1《第三章 函数的应用》单元测试题(含答案)
高一数学必修1《第三章 函数的应用》单元测试题（满分150分 时间 120分钟）班级：__________ 姓名：__________ 成绩：__________第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题 （每题5分，共50分） 1. 函数223y x x =--的零点是（ ）A ．1,3-B ．3,1-C ．1,2D ．不存在2. 方程1lg x x -=必有一个根的区间是（ ）A ．(0.1,0.2)B ．(0.2,0.3)C ．(0.3,0.4)D ．(0.4,0.5)3．下列函数中增长速度最快的是（ ）Ａ．1100xy e =B ．y=100ln xC ．y=100xD ．y=1002x ⋅4．已知函数2212341,2,21,2,x y y x y x y x==--=-=其中能用二分法求出零点的函数个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45. 若函数()f x 唯一的零点一定在三个区间(2,16)2824、（，）、（，）内，那么下列命题中正确的是（ ）A ．函数()f x 在区间(2,3)内有零点B ．函数()f x 在区间(2,3(3,4)）或内有零点C ．函数()f x 在区间(3,16)内有零点D ．函数()f x 在区间(4,16)内无零点6. 如图表示人的体重与年龄的关系，则（ ）A ．体重随年龄的增长而增加B ．25岁之后体重不变C ．体重增加最快的是15~25岁D ．体重增加最快的是15岁之前7. 世界人口已超过60亿，若按千分之一的年增长率计算，则两年增长的人口约为（ ）A ．120万B ．1100万C ．1200万D ．12000万8. 已知函数()24f x mx =+，若在[]2,1-上存在0x 使0()0f x =，则实数m 的取值范围是（ ）A ．5,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.(][),21,-∞-+∞C. []1,2-D. []2,1-9. 若商品进价每件40元，当售价为50元/件时，一个月能卖出500件，通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件。
高一单元试题：三角函数
高一单元试题：三角函数(时量：120分钟 满分：150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列函数中，周期为1的奇函数是 （ ）A ．x y π2sin 21-=B ．)32(sin ππ+=x y C ．tan2y x π= D ．x x y ππcos sin =2．ω是正实数，函数x x f ωsin 2)(=在]4,3[ππ-上是增函数，那么 （ ）A ．230≤<ω B ．20≤<ωC ．7240≤<ω D ．2≥ω3．对于函数,cos sin ,cos cos sin ,sin )(⎩⎨⎧<≥=x x x xx x x f 则下列正确的是（ ）A ．该函数的值域是[－1，1]B ．当且仅当)(22Z k k x ∈+=ππ时，该函数取得最大值1C ．当且仅当0)()(2322<∈+<<+x f Z k k x k 时ππππ D ．该函数是以π为最小正周期的周期函数 4．若0cos 2sin <>αα且，则α是（ ）A ．第二象限角B ．第三象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第三象限角5．函数)232(22cos 1tan 11)(2ππ<<+++=x x xx f 的值域是 （ ）A ．[－2，2]B ．（0，2）C ．]2,0(D ．]1,0( 6．函数)252sin(π+=x y 的图象的一条对称轴方程是（ ）A ．4π-=xB ．2π-=xC ．8π=xD ．45π=x 7．函数)2(3cos 2cos )(ππ-≤≤-+-=x x x x f 有（ ）A ．最大值3，最小值2B ．最大值5，最小值3C ．最大值5，最小值2D ．最大值3，最小值8158．若B A B A 22cos cos ,32+=+则π的值的范围是 （ ） A ．]21,0[ B ．]23,21[ C ．]1,21[ D ．[0，1]9．要使函数45))(6312cos(5的值N k x k y ∈-+=ππ在区间[3,+a a ])(R a ∈上出现的次数不少于4次，不多于8次，则k 的值是（ ）A ．2B ．3C ．4或5D ．2或3 10．2θ是第四象限角，aa 12cos +=θ则θsin 的值是（ ）A ．aa 12+ B ．aa 12+-C ．aa 12-- D ．aa 12---11．函数f (x)＝|sinx+cosx|－|sinx －cosx|是 （ ）A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数12．要得到函数x y cos 2=的图象，只需将函数)42sin(2π+=x y 的图象上所有的点的（ ）(A)横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度 (B)横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度(C)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度 (D)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在题中横线上． 13．函数)4sin(cos )4cos(sin ππ+++=x x x x y 的最小正周期T= 。
高一数学函数经典练习题(含答案详细)
《函 数》复习题一、 求函数的定义域1、求下列函数的定义域：答案：x²又⑵y =答案：2111x x -⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭, ()()22111x x -≤+, ()()2211x x -≤+,222121x x x x -+≤++,-4x ≤0, ∴x ≥0{|0}x x ≥⑶01(21)111y x x =+-+-答案：211011011210210104022x x x x x x x x x ⎧+≠⇒-≠-⇒≠⎪-⎪⎪-≠⇒≠⎨⎪-≠⇒≠⎪≥⇒-≥⇒-≤≤∴1{|220,,1}2x x x x x -≤≤≠≠≠且2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _2 f x ()-2的定义域为________；答案：函数f(x)的定义域为[0.1], 则0≤x ≤1于是0≤x ²≤1 解得-1≤x ≤1所以函数f x ()2的定义域为[-1,1]f∴4≤x ≤93、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1x 1(2)f x+的定义域为 。
答案：y=f(x+1)的定义域是【-2,3】注：y=f(x+1)的定义域是【-2，3】 指的是里面X 的定义域 不是括号内整体的定义域 即-2<=x<=3∴-1<=x+1<=4 ∴x+1 的范围为 [-1,4] f(x)括号内的范围相等y=f(2x-1)f(4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。
答案解1：知函数f(x)的定义域为[-1.1],则对函数F （X ）=f(m+x)-f(x-m)来说 -1≤m+x ≤1 -1≤x-m ≤11. 由-1≤m+x 和x-m ≤1 两式相加-1+x-m ≤m+x+1 解得2m ≥-2 m ≥-12. 由m+x ≤1和-1≤x-m 两式相加 m+x-1≤x-m+12m ≤2 解得m ≤1综上：-1≤m ≤1答案解2： -1<x+m<1 →→-1-m < x<1-m-1<x-m<1 → -1+m<x<1+m定义域存在,两者的交集不为空集，（注：则只需（-m-1，1-m ）与（m-1，1-m ）有交集即可。
高一函数重难点突破(复习知识)
高一函数重难点突破一、 求复合函数的定义域的四种题型 1.已知f[x]的定义域,求f(g(x))的定义域例1设函数f(x)的定义域为(0,1),求函数f(lnx)的定义域2.已知f[g(x)]的定义域,求f(x)的定义域例2已知f(3-2x)的定义域为x ∈[-1,2], 求函数f(x)的定义域3.已知f[g(x)]的定义域,求f(h(x))的定义域例3若函数f(2x )的定义城为[-1,1], 求f(log 2x)的定义域4.已知()x f 的定义域，求四则运算型函数的定义域 例4 已知函数()x f 定义域为是],[b a ，且0>+b a 求函数()()()m x f m x f x h -++=()0>m 的定义域解 ⎩⎨⎧+≤≤+-≤≤-⇒⎩⎨⎧≤-≤≤+≤mb x m a mb x m a b m x a b m x a ，m a m a m +<-∴>,0 m b m b +<-，又m b m a +<-要使函数()x h 的定义域为非空集合，必须且只需m b m a -≤+，即20ab m -≤<， 此时函数()x h 的定义域为{x|a+m }*注* 定义域指的是自变量x 的取值范围；同一个对应关系f 作用下（）的范围一样；定义域写成集合的形式，区间也是集合的一种表示方法二、 求函数解析式的六种题型1.待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f2.配凑法或换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式。
[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。
但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。
例2 （1） 已知221)1(xx x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式（2） 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f3.构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
高一函数总结复习知识点与题型
高一函数巩固复习 第一节函数性质专题 一．补充概念解析1.抽象函数： 。
2.复合函数：如果函数)(t f y =的定义域为A ，函数)(x g t =的定义域为D ，值域为C ，则A C ⊆时，函数)]([x g f y =为f 与g 在D 上的复合函数，其中t 叫做中间变量，)(x g t =叫做内函数，)(t f y =叫做外函数。
3.分离常数法：将形如)0(≠++=a bax dcx y 的函数分离常数，变形过程为 。
4.函数图像变换规则：（1）平移变换：（1）水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；（2）竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到．（2）对称变换：（1）函数()y f x =-的图像与函数()y f x =的图像关于y 轴对称； （2）函数()y f x =-的图像与函数()y f x =的图像关于x 轴对称； （3）函数()y f x =--的图像与函数()y f x =的图像关于原点对称；（3）翻折变换:⑴函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分； ⑵函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到．二．题型总结 1. 已知函数)0(1<+=a ax y 在区间]1,∞-（上有意义，求实数a 的取值范围 。
2.（1）已知函数)(x f 的定义域为【0，1】，求函数)1(2+x f 的定义域；（2）已知函数)1-2(x f 的定义域为【0，1】，求函数)31(x f -的定义域；（3）已知函数)3(+x f 的定义域为【-5，--2】，求函数)1()1()(-++=x f x f x F 的定义域。
高一函数性质单元测试题及答案
高一函数性质单元测试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 函数f(x) = x^2 - 3x + 2的图像关于哪条直线对称？A. x = 3/2B. x = 0C. x = 1D. x = 22. 已知函数f(x) = 2x - 1，求f(-1)的值。
A. -3B. -1C. 1D. 33. 函数y = |x|的图像在x轴下方的部分是什么？A. y = xB. y = -xC. y = 0D. y = -|x|4. 函数f(x) = 3x^2 + 2x - 5的最小值是多少？A. -7B. -5C. -3D. 05. 函数y = 2x + 3与y = -x + 1的交点的x坐标是多少？A. -2B. 1C. 2D. 4二、填空题（每题2分，共10分）6. 函数f(x) = x^3 - x的导数是______。
7. 如果函数f(x) = 4x - 5在x = 2处的切线斜率为8，则该切线的方程是______。
8. 函数y = x^2 - 4x + 4的顶点坐标是______。
9. 如果函数f(x) = x^2 + bx + c的图像经过点(1, 2)，则b的值是______。
10. 函数y = 1/x的图像关于______对称。
三、解答题（每题5分，共20分）11. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2的极值点。
12. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求其在区间[0, 6]上的最大值和最小值。
13. 求函数y = 3x - 2与x轴的交点坐标。
14. 已知函数f(x) = x^2 + 2x + 1，求其图像与直线y = 4的交点坐标。
四、综合题（每题10分，共10分）15. 已知函数f(x) = x^2 - 2ax + 1，其中a > 0，求证：对于任意的x，都有f(x) ≥ 1 - a^2。
答案：一、选择题1. A2. A3. B4. A5. C二、填空题6. 3x^2 - 17. y = 8x - 168. (2, 0)9. -310. y轴三、解答题11. 极值点为x = 3。
高中数学试题：三角函数单元复习题(二)
【分析】要求β就必须先求β的某一个三角函数值，对照已知与欲求的目标，宜先求出cosβ的值，再由β的范围得出β.
【解】∵π＜α＜ π， π＜α＋β＜2π，∴0＜β＜π.
又∵cosα＝－ ，cos(α＋β)＝ ，∴sinα＝－ ，sin(α＋β)＝－
三角函数单元复习题（二）答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．D2．C3．C4．B5．C6．D7．C8．A9．B10．A
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11．2－ 12．4＋ 13．－ 14．
15．【解析】∵tan(α＋ )＝tan［(α＋β)－(β－ )］＝
【分析】这是一道探索性问题的题目，要求根据（1）、（2）联解，若能求出锐角α和β，则说明存在，否则，不存在.由于条件（2）涉及到 与β的正切，所以需将条件（1）变成 ＋β＝ ，然后取正切，再与（2）联立求解.
【解】由（1）得： ＋β＝
∴tan( ＋β)＝ ＝
将（2）代入上式得tan ＋tanβ＝3－ .
三角函数单元复习题（二）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．已知x∈(－ ，0)，cosx＝ ，则tan2x等于（）
A. B.－ C. D.－
2． cos －sin 的值是（）
A.0B.－ C. D.2
3．已知α，β均为锐角，且sinα＝ ，cosβ＝ ，则α＋β的值为（）
A. 或 B. C. D.2kπ＋ (k∈Z)
14．sin( －3x)cos( －3x)－cos( ＋3x)sin( ＋3x)＝_____________.
高一数学函数单元测试题及答案
高一数学函数单元测试题及答案单元测试题一、填空题1、设全集U=Z，集合A={-1,1,2}，B={-1,1,2}，从A到B的一个映射为x→y=f(x)=x/|x|，其中x∈A，y∈B，P={y|y=f(x)}，则B∩(C∪P)={-1,1}。
2、已知x1是方程x+lgx=3的根，x2是方程x+10=3的根，则x1+x2值为2.3、已知函数y=f(x)的图象关于直线x=-1对称，且当x>0时f(x)=x/1，则当x<-2时f(x)=-x/1.4、函数y=f(x)的反函数y=f^-1(x)的图像与y轴交于点P(0,2)，则方程f(x)=0在[1,4]上的根是x=2.5、设f(x)=2log(x-1)，x≥2；f(x)=3x-1，x<2，则f(f(2))的值为1.6、从甲城市到乙城市m分钟的电话费由函数f(m)=1.06×([m]+44)给出，其中[m]表示不大于m的最大整数（如[3]=3，[3.9]=3，[3.1]=3），则从甲城市到乙城市5.8分钟的电话费为7.7、函数f(x)=2-2/(x-1)，x≤2；f(x)=1-x/2，x>2，则f(0)=-1.8、函数y=(1-x)/(1+x)，x≠-1，的值域为(-1,1)。
9、若f(5/2x-1)=x-2，则f(125)=48.10、已知映射f:A→B，其中A=B=R，对应法则为f:x→y=x+2x+3.若对实数k∈B，在集合A中不存在原象，则k 的取值范围是(-3/2,-3)∪(-3,-2)∪(-2,-3/2)。
11、偶函数f(x)在(-∞,0)上是减函数，若f(-1)<f(lgx)，则实数x的取值范围是(1,e)。
12、关于x的方程|x-4x+3|-a=0有三个不相等的实数根，则实数a的值是1/2.13、关于x的方程(2x-1)/(x+2)+a=1有正根，则实数a的取值范围是(-∞,1/2)。
二、改写后的答案1、已知集合A={-1,1,2}，B={-1,1,2}，全集U=Z，映射f:A→B，f(x)=x/|x|，其中x∈A，y∈B，P={y|y=f(x)}，求B∩(C∪P)的值。
第二章一元二次函数、方程和不等式(单元复习)高一数学(人教A版必修第一册)课件
B． >
C． ≤
【答案】B
【解析】因为 − = ( − 3) 2 − ( − 2)( − 4)
= ( 2 − 6 + 9) − ( 2 − 6 + 8) = 1 > 0，
所以 > ．
故选：B
D． ≥
）
典型例题
题型一：不等式的性质及应用
【对点训练2】若α，β满足 − 2 < < < 2 ，则2α－β的取值范围是
所以：
2
2
≤≤2 ．
典型例题
题型三：含参数与不含参数一元二次不等式的解法
【对点训练9】解下列关于 的不等式 2 + + 2 + 1 > 0 ≠ 0 ．
【解析】方程： 2 + + 2 + 1 = 0 且 ≠ 0
2
| >
2
∴ Δ = ( + 2) − 4 = + 4 > 0,
ൠ.
2
综上所述， 当 > 0时，原不等式的解集为：
<
− −2+ 2 +4
2
或 <
− −2− 2 +4
2
当 < 0时，原不等式的解集为： ൜ |
<
−−2− 2 +4
ൠ.
2
;
− −2+ 2 +4
必修第一册 第二章
一元二次函数、方程和不等式
第二章 一元二次函数、方程和不等式
章末复习
知识网络
知识点梳理
1.两个实数比较大小的方法
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函数的定义及其表示考点1:考查函数的定义【例1】如下图可作为函数)(x f =的图像的是( )【例2】对于函数()y f x =，以下说法正确的有（ ）①y 是x 的函数；②对于不同的,x y 的值也不同；③()f a 表示当x a =时函数()f x 的值，是一个常量；④()f x 一定可以用一个具体的式子表示出来。
A.1个B.2个C.3个D.4个【例3】下列哪组中的两个函数是同一函数（ ）A ．与B ．与y ＝x 2C ．与y ＝x +1D ．与【例4】在下列四组函数中，f （x ）与g （x ）表示同一函数的是（ ）A ．f （x ）＝x －1，g （x ）＝112＋－x xB ．f （x ）＝｜x ＋1｜，g （x ）＝⎩⎨⎧≥1111＜－－－－＋x x x xC ．f （x ）＝x ＋1，x ∈R ，g （x ）＝x ＋1，x ∈ZD ．f （x ）＝x ，g （x ）＝2)(x考点2：考查求函数的定义域 一．求给定的解析式求定义域【例1】函数1()ln(1)f x x =+ ） A [2,0)(0,2]- B (1,0)(0,2]- C [2,2]-D (1,2]-【例2】函数lg 3y x =-的定义域是__________【例3】若函数2743kx y kx kx +=++的定义域为R ，则k ∈__________二．求复合函数的定义域【例1】 若函数)34(log 2++=kx kx y a 的定义域是R,则k 的取值范围是 ．【例2】设函数2()lg(21)f x ax x =++，若()f x 的定义域是R ，求实数a 的取值范围；(1a >)三．求抽象函数的定义域【例1】若函数2(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为________ 【例2】函数()f x 的定义域是[,]a b ，0b a >->，则函数()()()F x f x f x =+-的定义域是__________【例3】已知函数()f x 的定义域为[]2,1,-则函数()()121y f x f x =-+-的定义域为____ ___考点3：考查求函数的解析式【例1】已知f （x ）是一次函数，且f[f （x ）]=x+2，则f （x ）=（ ）A ．x+1B ．2x ﹣1C ．﹣x+1D ．x+1或﹣x ﹣1【例2】已知f （2x+1）=x 2﹣2x ﹣5，则f （x ）的解析式为（ ）A ．f （x ）=4x2﹣6B ．f （x ）=C ．f （x ）=D ．f （x ）=x2﹣2x ﹣5【例3】若f （x ）对任意实数x 恒有f （x ）﹣2f （﹣x ）=2x+1，则f （2）=（ ）A ．﹣B ．2C ．D ．3【例4】 已知221)1(xx x x f +=+)0(>x ，求 ()f x 的解析式【例5】 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f【例6】已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于原点对称，求)(x g 的解析式【例7】 设,)1(2)()(x xf x f x f =-满足求)(x f【例8】 设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,11)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式考点4：考查求函数的值域【例1】求 函 数的值 域。
【例2】 求函数的值域。
【例3】（1）求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域（2）当]2,0(∈x 时，函数3)1(4)(2-++=x a ax x f 在2=x 时取得最大值，则a 的取值范围是【例4】21y x =++的值域为__________【例5】 1.求1(19)y x x x=-<<x 1y =x 3y -=【例6】 ①2by k x =+型，可直接用不等式性质，如 求232y x=+的值域 ②2bxy x mx n =++型，先化简，再用均值不等式，如求21xy x=+的值域③2x m x n y mx n ''++=+型，可用判别式法或均值不等式法，如求211x x y x ++=+的值域【例7】 ：设函数2(1).(1)()41)x x f x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩，则使得()1f x ≥的自变量x 的取值范围是__函数单调性与最值考点1：考查函数单调性的定义及判定【题1】下列函数中在（0，+∞）上单调递减的是（）A．f（x）＝|x|B．f（x）＝（x﹣1）2C．f（x）＝21 1x+D．f（x）＝2x+1【题2】(2018北京101中学期中)下列函数中，在（－1，+∞）上为减函数的是（）A.y=3xB. y=x2－2x+3C. y=xD. y=3x4x-2+-【题3】(1)求函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1的单调区间．(2)试讨论函数f(x)＝axx－1(a≠0)在(－1,1)上的单调性．考点2：考查函数的单调区间【题1】已知函数y＝，那么（）A．函数的单调递减区间为（﹣∞，1），（1，+∞）B．函数的单调递减区间为（﹣∞，1]∪（1，+∞）C．函数的单调递增区间为（﹣∞，1），（1，+∞）D．函数的单调递增区间为（﹣∞，1]∪（1，+∞）【题2】已知函数f （x ）（x ∈R ）的图象如图所示，则函数的单调递减区间是（ ）A ．（﹣∞，0]，（3，+∞）B ．（﹣1，1），（1，2）C ．（﹣∞，1），（1，+∞）D ．[﹣1，1）考点3：考查函数单调性的应用 一．比较函数值的大小【题1】已知函数()f x 为R 上的减函数，则下列各式正确的是（ ）A ．()(2)f a f a >B ．2()()f a f a < C ．2()()f a a f a +< D ．2(1)()f a f a +<【题2】设f （x ）为定义在R 上的偶函数，且f （x ）在[0，+∞）上为增函数，则f （﹣2），f （﹣π），f （3）的大小顺序是（ ） A ．f （﹣π）＜f （﹣2）＜f （3） B ．f （﹣2）＜f （3）＜f （﹣π） C ．f （﹣π）＜f （3）＜f （﹣2） D ．f （3）＜f （﹣2）＜f （﹣π）【题3】已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （x ）＝f （4﹣x ），且在区间[0，2]上是增函数，那么（ ）A ．f （6）＜f （4）＜f （1）B ．f （4）＜f （6）＜f （1）C ．f （1）＜f （6）＜f （4）D ．f （6）＜f （1）＜f （4）二．解不等式【题1】已知()f x 为R 上的减函数，则满足1(1)f f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭的实数x 的取值范围是（ ）A ．(1)-∞，B ．(1)+∞，C ．(0)(01)-∞，， D ．(0)(1)-∞+∞，，【题2】已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x取值范围是（）A．（，）B．[，）C．（，）D．[，）【题3】设f（x）是定义在R上的偶函数，若f（x）在[0，+∞）是增函数，且f（2）＝0，则不等式f（x+1）＞0的解集为．【题4】已知偶函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）＝0，则不等式的解集为．三．求参数的取值范围【题1】若函数y＝在（1，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（）A．a≥﹣2B．a＞﹣2C．a≥﹣1D．a＞﹣1【题2】设奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，且f（﹣1）＝﹣1，若函数f（x）≤t2﹣2at+1对所有的x∈[﹣1，1]都成立，则当a∈[﹣1，1]时，t的取值范围是（）A．﹣2≤t≤2B．C．t≥2或t≤﹣2或t＝0D．四．求函数的最值【题1】函数f（x）＝，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，0]C．[1，2]D．[0，2]函数奇偶性与周期性考点1：考查函数奇偶性【题1】给出下列四个函数：①y ＝x 2；②y ＝x 3；③y ＝|x +1|；④y ＝e x ． 其中偶函数的序号是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④【题2】（2017北京十一学校期中)已知奇函数()f x ，当0x ≤时，有2()f x x x =+，则0x >时，函数()f x =__________．【题3】函数f （2x +1）是奇函数，则函数f （x ）的对称中心为（ ） A ．（0，0） B ．（1，0） C ．（﹣1，0） D ．（，0）考点2：考查函数周期性【题1】已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f ⎝⎛⎭⎫－112＝________.【题2】设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－2，－2≤x ≤0，x ，0<x <1，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫214＝________.考点3：奇偶性与周期性的综合应用【题1】已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32，且f (1)＝2，则f (2 018)＝________.【题2】已知f (x )是定义在R 上以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3，则实数a 的取值范围为________．考点4：考查函数奇偶性与单调性的综合应用【题1】（2017北京十一学校期中)已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调增加，则满足1(21)3f x f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭的x 的取值范围是__________．【题2】（2017北京十一学校期中)设奇函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为__________．考点5：函数性质的综合应用【题1】(2018·全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )A ．－50B ．0C ．2D ．50【题2】定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在[0,2)上单调递减，则下列结论正确的是( )A ．0<f (1)<f (3)B ．f (3)<0<f (1)C ．f (1)<0<f (3)D ．f (3)<f (1)<0【题3】已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且满足下列三个条件：①对任意的x 1，x 2∈[4,8]，当x 1<x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0恒成立；②f (x ＋4)＝－f (x )；③y ＝f (x ＋4)是偶函数．若a ＝f (6)，b ＝f (11)，c ＝f (17)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．a <c <bD ．c <b <a。