沪教版高中数学高二下册第十二章12.8 抛物线的性质-圆锥曲线的最值问题 课件
高中数学-圆锥曲线中的定点、定值与最值问题
[例 2] 如图，在平面直角
坐标系 xOy 中，椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的左、
右焦点分别为 F1(－c,0)，F2(c,0)．已知点(1，e)
和e，
23都在椭圆上，其中
e
为椭圆的离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)设 A，B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点，且直线 AF1 与直
线 BF2 平行，AF2 与 BF1 交于点 P，
法二：同(2)法一假设前内容． 假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M 必在x轴上． 取k＝0，m＝ 3，此时P(0， 3)，Q(4， 3)， 以PQ为直径的圆为(x－2)2＋(y－ 3)2＝4， 交x轴于点M1(1,0)，M2(3,0)； 取k＝－12，m＝2，此时P1，32，Q(4,0)， 以PQ为直径的圆为x－522＋y－342＝4156， 交x轴于点M3(1,0)，M4(4,0)．
因为 MP ＝－4mk－x1，m3 ， MQ ＝(4－x1,4k＋m)， 由 MP ·MQ ＝0，得－1m6k＋4kmx1－4x1＋x12＋1m2k＋3＝0， 整理，得(4x1－4)mk ＋x12－4x1＋3＝0.(**) 由于(**)式对满足(*)式的m，k恒成立， 所以4x1x2－1－4x41＝＋03，＝0， 解得x1＝1. 故存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.
圆锥曲线中的最值问题
[例3] 如图，在直角坐标系xOy中，点 P1，12到抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线的距 离为54.点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的 两动点，且线段AB被直线OM平分．
(1)求p，t的值； (2)求△ABP面积的最大值．
[思路点拨] (1)利用点M(t,1)在曲线上及点P 1，12 到准线的距 离为54求p与t的值；
圆锥曲线中的最值问题
面积最值问题
总结词
面积最值问题主要研究圆锥曲线与其 内部区域的面积的最小或最大值。
详细描述
求解面积最值问题通常需要利用曲线 的参数方程或极坐标方程，转化为关 于角度或参数的定积分，通过求积分 得到面积表达式，再求最值。
周长最值问题
总结词
周长最值问题主要研究圆锥曲线 上的点的轨迹形成的曲线的周长 的最小或最大值。
圆锥曲线中的最值问
• 引言 • 圆锥曲线中的最值问题类型 • 解决圆锥曲线中最大值最线中的最值问题的实例分析
01
引言
圆锥曲线的定义与性质
圆锥曲线是由平面与圆锥的侧面或顶 点相交形成的几何图形，包括椭圆、 抛物线和双曲线等。
圆锥曲线具有多种性质，如对称性、 焦点、准线等，这些性质在解决最值 问题时具有重要作用。
详细描述
解决周长最值问题通常需要利用 曲线的参数方程，通过求导数找 到曲线的拐点，从而确定周长的 最大或最小值。
角度最值问题
总结词
角度最值问题主要研究圆锥曲线上的点与坐标轴形成的角度 的最小或最大值。
详细描述
解决角度最值问题通常需要利用曲线的极坐标方程，通过求 导数找到曲线的极值点，从而确定角度的最小或最大值。
在实际生活中的应用
航天器轨道设计
在航天领域，卫星和行星的轨道通常呈现为某种圆锥曲线 的形状，通过研究这些轨道的最值问题，可以优化航天器 的发射和运行轨迹。
物流运输
在物流和运输行业中，货物的运输路径通常受到多种因素 的限制，呈现出某种圆锥曲线的轨迹，通过求解最值问题， 可以找到最优的运输路径和最低的成本。
03
解决圆锥曲线中最大值最小值问题的
方法
利用导数求最值
导数可以帮助我们找到函数的极值点 ，通过求导并令导数为零，我们可以 找到可能的极值点。
圆锥曲线专题：最值与范围问题的6种常见考法(解析版)
圆锥曲线专题：最值与范围问题的6种常见考法一、圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：1、几何法：通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；2、代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．二、最值问题的一般解题步骤三、参数取值范围问题1、利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；2、利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；3、利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；4、利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；5、利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．题型一距离与长度型最值范围问题【例1】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，焦距为2，点E 在椭圆上．当线段2EF 的中垂线经过1F 时，恰有21cos EF F ∠．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，且||2AB =，P 是以AB 为直径的圆上任意一点，O 为坐标原点，求||OP 的最大值．【答案】（1）2212x y +=；（2）max ||OP 【解析】（1）由焦距为2知1c =，连结1EF ，取2EF 的中点N ，线段2EF 的中垂线经过1F 时，1||22EF c ∴==，221212cos ,.1,F N EF F F N F F ∠∴∴-2122,2EF a EF EF a ∴=-∴=+=∴由所以椭圆方程为2212x y +=；（2）①当l 的斜率不存在时，AB 恰为短轴，此时||1OP =；②当l 的斜率存在时，设:l y kx m =+．联立2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得到222(21)4220k x kmx m +++-=，∴△2216880k m =-+>，122421km x x k -+=+，21222221m x x k -=+．21AB x x =-=2==，化简得2222122k m k +=+．又设M 是弦AB 的中点，121222()221my y k x x m k +=++=+∴()2222222241,,||212121km m k M OM k k k m -+⎛⎫= ⎪⎝⎭+⋅++,∴()()()222222222412141||22212221k k k OM k k k k +++=⋅=++++,令2411k t += ，则244||43(1)(3)4t OM t t t t===-++++∴||1OM =- （仅当t =，又||||||||1OP OM MP OM +=+2k =时取等号）．综上：max ||OP =【变式1-1】已知抛物线21:4C y x =的焦点F 也是椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦长为3．（1）求椭圆2C 的方程；（2）过椭圆2C 的右焦点F 作斜率为(0)k k ≠的直线l 与椭圆2C 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为P ，过点P 做垂直于AB 的直线交x 轴于点D ，试求||||DP AB 的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）1(0,)4【解析】（1）抛物线21:4C y x =的焦点F 为(1,0)，由题意可得2221c a b =-=①由1C 与2C 关于x 轴对称，可得1C 与2C 的公共点为2,33⎛± ⎝⎭，可得2248193a b +=②由①②解得2a =，b ，即有椭圆2C 的方程为22143x y+=；（2）设:(1)l y k x =-，0k ≠，代入椭圆方程，可得2222(34)84120k x k x k +-+-=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2122834kx x k +=+，212241234k x x k -=+，即有()312122286223434k ky y k x x k k k k -+=+-=-=++，由P 为中点，可得22243()3434k kP k k -++，，又PD 的斜率为1k -，即有222314:3434k k PD y x k k k ⎛⎫--=-- ++⎝⎭，令0y =，可得2234k x k=+，即有22034k D k ⎛⎫⎪+⎝⎭可得2334PD k ==+又AB ==2212(1)34k k +=+，即有DP AB =，由211k +>，可得21011k <<+，即有104<，则有||||DP AB 的取值范围为1(0,)4．【变式1-2】已知曲线C 上任意一点(),P x y2=，（1）求曲线C 的方程；（2）若直线l 与曲线C 在y 轴左､右两侧的交点分别是,Q P ，且0OP OQ ⋅=，求22||OP OQ +的最小值.【答案】（1）2212y x -=；（2）8【解析】（1）设())12,F F ，2=，等价于12122PF PF F F -=<，∴曲线C 为以12,F F 为焦点的双曲线，且实轴长为2，焦距为故曲线C 的方程为：2212y x -=；（2）由题意可得直线OP 的斜率存在且不为0，可设直线OP 的方程为()0y kx k =≠，则直线OQ 的方程为1=-y x k ，由2212y x y kx ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，得222222222x k k y k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，所以()2222221||2k OP x y k+=+=-，同理可得，()2222212121||1212k k OQ k k⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==--，所以()()()22222222211111||||22121k k k OP OQ k k -+-++===++()()22222222112222228||||OQ OP OP OQ OP OQOP OQ OP OQ ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当且仅当2OP OQ ==时取等号，所以当2OP OQ ==时，22||OP OQ +取得最小值8.【变式1-3】已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，过点F 且倾斜角为3π的直线被E 所截得的弦长为16.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点C 为抛物线上的任意一点，以C 为圆心的圆过点F ，且与直线12y =-相交于,A B两点，求FA FB FC ⋅⋅的取值范围.【答案】（1）24x y =；（2）[)3,+∞【解析】（1）由抛物线方程得：0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可设过点F 且倾斜角为3π的直线为：2py =+，由222p y x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：220x p --=，由抛物线焦点弦长公式可得：)12122816y y p x x p p ++=++==，解得：2p =，∴抛物线E 的方程为：24x y =.（2）由（1）知：()0,1F ，准线方程为：1y =-；设AFB θ∠=，圆C 的半径为r ，则2ACB θ∠=，FC CA CB r ===，1133sin 2224AFBSFA FB AB AB θ∴=⋅=⋅=，又2sin AB r θ=，3FA FB r ∴⋅=；由抛物线定义可知：11c CF y =+≥，即1r ≥，333FA FB FC r ∴⋅⋅=≥，即FA FB FC ⋅⋅的取值范围为[)3,+∞.题型二面积型最值范围问题20y -=与圆O 相切．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）椭圆C 的上顶点为B ，EF 是圆O 的一条直径，EF不与坐标轴重合，直线BE 、BF 与椭圆C 的另一个交点分别为P 、Q ，求BPQ 的面积的最大值及此时PQ 所在的直线方程．【答案】（1）2219x y +=；（2）()max278BPQ S=，PQ 所在的直线方程为115y x =±+【解析】20y -=与圆O相切，则1b =，由椭圆的离心率223c e a ==，解得：29a =，椭圆的标准方程：2219x y +=；（2）由题意知直线BP ，BQ 的斜率存在且不为0，BP BQ ⊥，不妨设直线BP 的斜率为(0)k k >，则直线:1BP y kx =+．由22119y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22218911991k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，或01x y =⎧⎨=⎩，所以2221819,9191k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭.用1k -代替k ，2229189,9k k Q k k ⎛⎫-+ ⎝+⎪⎭则21891k PB k ==+2189BQ k==+，22222111818162(1)22919(9)(19)BPQ k k k S PB BQ k k k k +=⋅=⋅=++++△342221162()162()99829982k k k k k k k k ++==++++，设1k k μ+=，则21621622764829(2)89BPQ S μμμμ∆==≤+-+．当且仅当649μμ=即183k k μ+==时取等号，所以()max278BPQ S=.即21128(()49k k kk-=+-=，1k k -=直线PQ的斜率222222291911191918181010919PQk k k k k k k k k k k k k ---+-⎛⎫++===-= ⎪⎝⎭--++PQ所在的直线方程：1y =+.【变式2-1】在平面直角坐标系xOy 中，ABC 的周长为12，AB ，AC 边的中点分别为()11,0F -和()21,0F ，点M 为BC 边的中点（1）求点M 的轨迹方程；（2）设点M 的轨迹为曲线Γ，直线1MF 与曲线Γ的另一个交点为N ，线段2MF 的中点为E ，记11NF O MF E S S S =+△△，求S 的最大值.【答案】（1）()221043x y y +=≠；（2）max 32S =【解析】（1）依题意有：112F F =，且211211262MF MF F F ++=⨯=，∴121242MF MF F F +=>=，故点M 的轨迹C 是以()11,0F -和()21,0F 为焦点，长轴长为4的椭圆，考虑到三个中点不可共线，故点M 不落在x 上，综上，所求轨迹方程：()221043x y y +=≠.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，显然直线1MF 不与x 轴重合，不妨设直线1MF 的方程为：1x ty =-,与椭圆()221043x y y +=≠方程联立整理得：()2234690t y ty +--=，()()22236363414410t t t ∆=++=+>，112634t y y t +=+，1129034y y t =-<+,11111122NF O S F y y O ==△，112122211112222MF E MF F S S F F y y ==⋅=△△,∴()()1112122111Δ22234NF O MF E S S S y y y y t =+=+=-=⋅=+△△令()2344u t u =+≥，则()S u ϕ====∵4u ≥，∴1104u <≤，当114u =，即0=t 时，∴max 32S =,∴当直线MN x ⊥轴时，∴max 32S =.【变式2-2】已知双曲线()222210x y a a a-=>的右焦点为()2,0F ，过右焦点F 作斜率为正的直线l ，直线l 交双曲线的右支于P ，Q 两点，分别交两条渐近线于,A B 两点，点,A P 在第一象限，O 为原点．（1）求直线l 斜率的取值范围；（2）设OAP △，OBP ，OPQ △的面积分别是OAP S △，OBP S △，OPQS ，求OPQ OAP OBPS S S ⋅△△△的范围．【答案】（1）()1,+∞；（2）).【解析】（1）因为双曲线()222210x y a a a-=>的右焦点为()2,0F ，故2c =，由222c a a =+得22a =，所以双曲线的方程为，22122x y -=，设直线l 的方程为2x ty =+，联立双曲线方程得，()222222121021420Δ0120t x y t y ty t x ty y y ⎧⎧-≠⎪-=⎪⇒-++=⇒>⇒<⎨⎨=+⎪⎪⋅<⎩⎩，解得01t <<，即直线l 的斜率范围为()11,k t=∈+∞；（2）设()11,P x y ，渐近线方程为y x =±，则P 到两条渐近线的距离1d ，2d 满足，22111212x yd d-⋅==而21221AAxy x tx ty yt⎧⎧=⎪⎪=⎪⎪-⇒⎨⎨=+⎪⎪=⎪⎪-⎩⎩，OA==21221BBxy x tx ty yt⎧⎧=⎪⎪=-⎪⎪+⇒⎨⎨=+-⎪⎪=⎪⎪+⎩⎩，OB==所以12122112221OAP OBPS S OA d OB d d dt⋅=⋅⋅⋅=-△△由()2222214202x y t y tyx ty⎧-=⇒-++=⎨=+⎩，12OPQ OFP OFQ P QS S S OF y y=+=-△△△所以，OPQOAP OBPSS S=⋅△△△，∵01t<<，∴)2OPQOAP OBPSS S∈⋅△△△.【变式2-3】已知抛物线()2:20E y px p=>的焦点为F，P为E上的一个动点，11,2⎛⎫⎪⎝⎭Q与F在E的同一侧，且PF PQ+的最小值为54.（1）求E的方程；（2）若A点在y轴正半轴上，点B、C为E上的另外两个不同点，B点在第四象限，且AB，OC互相垂直、平分，求四边形AOBC的面积.（人教A版专题）【答案】（1）2y x=；（2）【解析】（1）作出E的准线l，方程为2px=-，作PR l⊥于R，所以PR PF=，即PR PQ+的最小值为54，因为11,2⎛⎫⎪⎝⎭Q与F在E的同一侧，所以当且仅当P，Q，R三点共线时PR PQ+取得最小值，所以5124p+=，解得0.5p=，所以E的方程为2y x=；（2）因为AB，OC互相垂直、平分，所以四边形AOBC是菱形，所以BC x⊥轴，设点()0,2A a，所以2BC a=，由抛物线对称性知()2,B a a-，()2,C a a，由AO OB =，得2a=a =所以菱形AOBC 的边AO =23h a ==，其面积为3S AO h =⋅==题型三坐标与截距型最值范围问题【例3】已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>过点()，渐近线方程为12y x =±，直线l 是双曲线C 右支的一条切线，且与C 的渐近线交于A ，B 两点．（1）求双曲线C 的方程；（2）设点A ，B 的中点为M ，求点M 到y 轴的距离的最小值．【答案】（1）2214x y -=；（2）2【解析】（1）由题设可知2281112a b b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩则C ：2214x y -=．（2）设点M 的横坐标为0M x >当直线l 斜率不存在时，则直线l ：2x =易知点M 到y 轴的距离为2M x =﹔当直线l 斜率存在时，设l ：12y kx m k ⎛⎫=+≠± ⎪⎝⎭，()11,A x y ，()22,B x y ，联立2214x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()222418440k x kmx m -+++=，()()222264164110k m k m ∆=--+=，整理得2241k m =+联立2204x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()22241840k x kmx m -++=，则122288841km km k x x k m m+=-=-=--，则12402Mx x kx m +==->，即0km <则222216444Mk x m m==+>，即2M x >∴此时点M 到y 轴的距离大于2；综上所述，点M 到y 轴的最小距离为2．【变式3-1】若直线:l y =22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行.（1）求双曲线的方程；（2）若过点B (0，b )且与x 轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M ，N ，MN 的垂直平分线为m ，求直线m 与y 轴上的截距的取值范围.【答案】（1）2213x y -=；（2）(4,)+∞.【解析】（1）直线323:33l y =-过x 轴上一点(2,0)，由题意可得2c =，即224a b +=，双曲线的渐近线方程为b y x a=±，由两直线平行的条件可得b a =1a b ==，即有双曲线的方程为2213x y -=.（2）设直线1(0)y kx k =+≠，代入2213x y -=，可得22(13)660k x kx ---=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则12122266,1313k x x x x k k +==--，MN 中点为2231,1313kk k ⎛⎫ --⎝⎭，可得MN 的垂直平分线方程为221131313k y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭，令0x =，可得2413y k =-，由223624(13)0k k ∆=+->，解得232k <，又26031k <-，解得231k <，综上可得，2031k <<，即有2413k -的范围是(4,)+∞，可得直线m 与y 轴上的截距的取值范围为(4,)+∞.【变式3-2】已知动圆C 过定点(2,0)A ，且在y 轴上截得的弦长为4，圆心C 的轨迹为曲线Γ.（1）求Γ的方程：（2）过点(1,0)P 的直线l 与F 相交于,M N 两点.设PN MP λ=，若[]2,3λ∈，求l 在y 轴上截距的取值范围.【答案】（1）24y x =；（2）⎡-⎣【解析】（1）设(,)C x y ，圆C 的半径为R ，则()()22222220R x x y =+=-+-整理，得24y x=所以Γ的方程为24y x =.（2）设1122(,),(,)M x y N x y ，又(1,0)P ，由PN MP λ=，得()()22111,1,x y x y λ-=--21211(1)x x y y λλ-=-⎧∴⎨=-⎩①②由②，得12222y y λ=，∵2211224,4y x y x ==∴221x x λ=③联立①､③解得2x λ=，依题意有0λ>(2,N N ∴-或，又(1,0)P ，∴直线l 的方程为())11y x λ-=-，或())11y x λ-=--，当[2,3]k ∈时，l 在y轴上的截距为21λ-或21λ--，21=[2,3]上是递减的，21λ≤≤-，21λ-≤-≤-∴直线l 在y轴上截距的取值范围为⎡--⎣.【变式3-3】已知两个定点A 、B 的坐标分别为()1,0-和()1,0，动点P 满足AP OB PB ⋅=（O 为坐标原点）．（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）设点(),0C a 为x 轴上一定点，求点C 与轨迹E 上点之间距离的最小值()d a ；(3)过点()0,1F 的直线l 与轨迹E 在x 轴上方部分交于M 、N 两点，线段MN 的垂直平分线与x 轴交于D 点，求D 点横坐标的取值范围．【答案】（1）24y x =；（2）(),22a a d a a ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩；（3）()3,+∞【解析】（1）设(),P x y ，()1,AP x y =+，()1,0OB =，()1,PB x y =--，()1101AP OB x y x ⋅=+⨯+⨯=+，B P =AP OB PB ⋅=，则1x +，所以2222121x x x x y ++=-++，即24y x =．（2）设轨迹E ：24y x =上任一点为()00,Q x y ，所以2004y x =，所以()()222200004CQ x a y x a x =-+=-+()()20200220x a x a x =--+≥，令()()()220000220g x x a x a x =--+≥，对称轴为：2a -，当20a -<，即2a <时，()0g x 在区间[)0,∞+单调递增，所以00x =时，()0g x 取得最小值，即2min 2CQ a =，所以min CQ a =，当20a -≥，即2a ≥时，()0g x 在区间[)0,2a -单调递减，在区间[)2,a -+∞单调递增，所以02x a =-时，()0g x 取得最小值，即()22min 2244CQ a a a =--+=-，所以minCQ =，所以(),22a a d a a ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩（3）当直线l 的斜率不存在时，此时l ：0x =与轨迹E 不会有两个交点，故不满足题意；当直线l 的斜率存在时，设l ：1y kx =+，()11,M x y 、()22,N x y ，代入24y x =，得2+14y y k =⨯，即2440ky y -+=，所以124y y k +=，124y y k =，121212211242y y y y x x k k k k k--+-+=+==-，因为直线l 与轨迹E 在x 轴上方部分交于M 、N 两点，所以0∆>，得16160k ->，即1k <；又M 、N 两点在x 轴上方，所以120y y +>，120y y >，即40k>，所以0k >，又1k <，所以01k <<，所以MN 中点1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，即2212,kk k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以垂直平分线为22121y x k k k k ⎛⎫-=--+ ⎝⎭，令0y =，得222111152248x k k k ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为01k <<，所以11k >，所以21115248x k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在11k >时单调递增，所以22111511522134848k ⎛⎫⎛⎫-+>-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即3x >，所以D 点横坐标的取值范围为：()3,+∞.题型四斜率与倾斜角最值范围问题【例4】设12F F 、分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点．（1）若P 是该椭圆上的一个动点，求125=4PF PF ⋅-，求点P 的坐标；（2）设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围．【答案】（1）⎛ ⎝⎭；（2）2,2⎛⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】（1）由题意知，2,1,a b c ===所以())12,F F ，设(,)(0,0)P m n m n >>，则22125(,),)34PF PF m n m n m n ⋅=-⋅-=+-=-，又2214m n +=，有222214534m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=-⎪⎩，解得1m n =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以P ；（2）显然0x =不满足题意，设直线l 的方程为2y kx =+，设()()1122,,A x y B x y ，，22221(14)1612042x y k x kx y kx ⎧+=⎪⇒+++=⎨⎪=+⎩，22(16)4(41)120k k ∆=-+⨯>，解得234k >，①1212221612,4141k x x x x k k +=-=++，则212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++，又AOB ∠为锐角，则cos 0AOB ∠>，即0OA OB ⋅>，12120x x y y +>，所以21212121212(1)2()4x x y y y y k x x k x x +==++++2222212(1)1624(4)40414141k k k k k k k +⋅-=-+=>+++，解得204k <<，②由①②，解得322k -<<或322k <<，所以实数k的取值范围为(2,-.【变式4-1】已知椭圆:Γ22221(0x y a b a b +=>>）的左焦点为F ，其离心率22e =，过点F垂直于x 轴的直线交椭圆Γ于P ，Q两点，PQ （1）求椭圆Γ的方程；（2）若椭圆的下顶点为B ，过点D （2，0）的直线l 与椭圆Γ相交于两个不同的点M ，N ，直线BM ，BN 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的取值范围．【答案】（1）2212x y +=；（2）()1211,,2222k k ⎛⎫⎛+∈-∞⋃-⋃+∞⎪ ⎝⎭⎝【解析】（1）由题可知2222222c e a bPQ a a b c⎧==⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩.所以椭圆Γ的方程为：2212x y +=.（2）由题可知，直线MN 的斜率存在，则设直线MN 的方程为(2)y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y .由题可知2212(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得2222(21)8820k x k x k +-+-=22222(8)4(21)(81)8(21)0k k k k ∆=--+-=-->，解得22k ⎛∈- ⎝⎭.由韦达定理可得2122821k x x k +=+，21228221k x x k -=+.由（1）知，点(0,1)B -设椭圆上顶点为A ，(0,1)A ∴，12DA k k ≠=-且12DB k k ≠=，∴()()1212121212211111k x k x y y k k x x x x -+-++++=+=+()()()221221228121212228212k k k x x k k k k x x k -⋅-++=+=+-+()242111212,,221212122k k k k k k ⎛⎫⎛=-==-∈+∞⋃-∞⋃ ⎪ +++⎝⎭⎝∴12k k +的取值范围为()11,,2222⎛⎫⎛-∞⋃-⋃+∞ ⎪ ⎝⎭⎝．【变式4-2】）已知椭圆1C 的方程为22143x y +=，双曲线2C 的左、右焦点分别为1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点.（1）求双曲线2C 的方程；（2）若直线:2l y kx =+与双曲线2C 恒有两个不同的交点A 和B ，且1OA OB ⋅>（其中O 为原点），求k 的取值范围.【答案】（1）2213y x -=（2）(()1,1-【解析】（1）由题,在椭圆1C 中,焦点坐标为()1,0-和()1,0；左右顶点为()2,0-和()2,0,因为双曲线2C 的左、右焦点分别为1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点,所以在双曲线2C 中,设双曲线方程为22221x ya b-=,则221,4a c ==,所以2223b c a =-=,所以双曲线2C 的方程为2213y x -=（2）由（1）联立22213y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩,消去y ,得()223470k x kx -++=①；消去x ,得()2223121230k y y k -+-+=②设()()1122,,,A x y B x y ,则12,x x 为方程①的两根,12,y y 为方程②的两根；21212227123,33k x x y y k k -+⋅=⋅=--，21212227123133k OA OB x x y y k k -+⋅=⋅+⋅=+>--，得23k >或21k <③,又因为方程①中,()22216384k k k ∆=-4⨯7-=-12+>0,得27k <④,③④联立得k的取值范围(()1,1⋃-⋃【变式4-3】已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2．（1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值.【答案】（1）24y x =；（2）最大值为13.【解析】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为222p p p ⎛⎫--== ⎪⎝⎭，所以该抛物线的方程为24y x =；（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法设()00,Q x y ，则()00999,9PQ QF x y ==--，所以()00109,10P x y -，由P 在抛物线上可得()()200104109y x =-，即20025910y x +=，据此整理可得点Q 的轨迹方程为229525=-y x ，所以直线OQ 的斜率000220001025925910OQ y y y k y x y ===++，当00y =时，0OQ k =；当00y ≠时，0010925OQ k y y =+，当00y >时，因为0092530y y +≥，此时103OQ k <≤，当且仅当00925y y =，即035y =时，等号成立；当00y <时，0OQ k <；综上，直线OQ 的斜率的最大值为13.[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法同方法一得到点Q 的轨迹方程为229525=-y x ．设直线OQ 的方程为y kx =，则当直线OQ 与抛物线229525=-y x 相切时，其斜率k 取到最值．联立2,29,525y kx y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩得22290525k x x -+=，其判别式222940525⎛⎫∆=--⨯= ⎪⎝⎭k ，解得13k =±，所以直线OQ 斜率的最大值为13．题型五向量型最值范围问题【例5】在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221:142x y C -=与椭圆222:142x y C +=，A ，B分别为1C 的左､右顶点，点P 在双曲线1C 上，且位于第一象限.（1）直线OP 与椭圆2C 相交于第一象限内的点M ，设直线PA ，PB ，MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，求1234k k k k +++的值；（2）直线AP 与椭圆2C 相交于点N （异于点A ），求AP AN ⋅的取值范围.【答案】（1）0；（2）()16,+∞【解析】（1）方法1：设直线():0OP y kx k =>，联立22142y kxx y =⎧⎪⎨-=⎪⎩，消y ，得()22124k x -=，所以20120k k >⎧⎨->⎩，解得202k <<，设()()1111,0,0P x y x y >>，则11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以P ⎛⎫.联立22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y ，得()22124k x +=，设()()2222,0,0M x y x y >>，则22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以M ⎛⎫.因为()2,0A -，()2,0B ，所以211111221112821124224412k y y x y k k k x x x k k-+=+===-+---，222223422222821124224412ky y x y k k k x x x k k ++=+==--+--+，所以1234110k k k k k k ⎛⎫+++=+-= ⎪⎝⎭.方法2设()()1111,0,0P x y x y >>，()()2222,0,0M x y x y >>，因为()2,0A -，()2,0B ，所以11111221112224y y x yk k x x x +=+=-+-，22223422222224y y x yk k x x x +=+=-+-.因为点P 在双曲线1C 上，所以2211142x y -=，所以221142x y -=，所以1121x k k y +=.因为点Q 在椭圆线2C 上，所以2222142x y +=，所以222242x y -=-，所以2342x k k y +=-.因为O ，P ，M 三点共线，所以1212y y x x =，所以121234120x x k k k k y y +++=-=.（2）设直线AP 的方程为2y kx k =+，联立22224y kx k x y =+⎧⎨-=⎩，消y ，得()()22222184210k x k x k -+++=，解得12x =-，2224212k x k +=-，所以点P 的坐标为222424,1212k k k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭，因为点P 位于第一象限，所以222420124012k k k k ⎧+>⎪⎪-⎨⎪>⎪-⎩，解得202k <<，联立22224y kx k x y =+⎧⎨+=⎩，消y ，得()()22222184210k x k x k +++-=，解得32x =-，2422412kx k -=+，所以点N 的坐标为222244,1212k k k k ⎛⎫- ++⎝⎭，所以()22222224161422444221212121214k k k k kAP AN AP AN k k k k k +⎛⎫⎛⎫+-⋅=⋅=--+⋅= ⎪⎪-+-+-⎝⎭⎝⎭，设21t k =+，则312t <<，所以22161616314(1)48384t tAP AN t t t t t ⋅===---+-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.因为函数3()4f x x x=+在区间31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以当312t <<时，3748t t <+<，所以30841t t ⎛⎫<-+< ⎪⎝⎭，所以1616384t t >⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，即16AP AN ⋅>，故AP AN ⋅的取值范围为()16,+∞.【变式5-1】已知O为坐标原点，椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为3，且经过点P．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C交于A，B两点，直线OA的斜率为1k，直线OB的斜率为2k，且1213k k=-，求OA OB⋅的取值范围．【答案】（1）22193x y+=；（2）[3,0)(0,3]-.【解析】（1）由题意，223611caa b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，又222a b c=+，解得3,a b==所以椭圆C为22193x y+=.（2）设()()1122,,,A x yB x y，若直线l的斜率存在，设l为y kx t=+，联立22193y kx tx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y得：()222136390+++-=k x ktx t，22Δ390k t=+->，则12221226133913ktx xktx xk-⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，又12k k=121213y yx x=-，故121213=-y y x x且120x x≠，即2390-≠t，则23≠t，又1122,y kx t y kx t=+=+，所以()()()222222222121212221212122691133939313-+++++-+==+=+==---+k t tkx t kx t kt x x ty y t kkk ktx x x x x x tk，整理得222933=+≥t k，则232≥t且Δ0>恒成立．221212121212222122393333133313--⎛⎫⋅=+=-==⋅=⋅=-⎪+⎝⎭t tOA OB x x y y x x x x x xk t t，又232≥t，且23≠t，故2331[3,0)(0,3)⎛⎫-∈-⎪⎝⎭t.当直线l的斜率不存在时，2121,x x y y==-，又12k k=212113-=-yx，又2211193x y+=，解得2192x=则222111233⋅=-==OA OB x y x．综上，OA OB ⋅的取值范围为[3,0)(0,3]-．【变式5-2】已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的离心率为2，F 为双曲线的右焦点，直线l 过F 与双曲线的右支交于P Q ，两点，且当l 垂直于x 轴时，6PQ =；（1）求双曲线的方程；（2）过点F 且垂直于l 的直线'l 与双曲线交于M N ，两点，求MP NQ MQ NP ⋅⋅+的取值范围．【答案】（1）2213y x -=；（2）(],12-∞-【解析】（1）依题意，2c a =，当l 垂直于x 轴时，226b PQ a==，即23b a =，即223c a a -=，解得1a =，b =2213y x -=；（2）设:2PQ l x my =+，联立双曲线方程2213y x -=，得：()22311290m y my -++=，当0m =时，()()()()2,3,2,3,0,1,0,1P Q M N --，12MP NQ MQ NP ⋅+⋅=-，当0m ≠时，设()()()()11223344,,,,,,,P x y Q x y M x y N x y ，因为直线PQ 与双曲线右支相交，因此1229031y y m =<-，即m ⎛⎫⎛∈⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，同理可得234293m y y m =-，依题意()()MP NQ MF FP NF FQ MF NF FP FQ =+⋅+=⋅+⋅⋅，同理可得，()()MQ NP MF FQ NF FP MF NF FP FQ =+⋅+⋅=⋅+⋅，而()212342111FP FQ MF NF m y y y y m ⎛⎫⋅+⋅=+++ ⎪⎝⎭，代入122931y y m =-，234293m y y m =-，()()()()()()222242224222919118163633133103133m m m m m FP FQ MF NF m m m m m m ++-+++⋅+⋅=+==----+--，分离参数得，2429663103m FP FQ MF NF m m ⋅+⋅=---+，因为3333m ⎛⎫⎛∈⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，当210,3m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，由22110,3m m ⎛⎫+∈+∞ ⎪⎝⎭，()22966,61310FP FQ MF NF m m ⋅+⋅=-∈-∞-⎛⎫+- ⎪⎝⎭，所以()()2,12MP NQ MQ N FP FQ MF NF P ⋅=⋅+⋅∈∞-⋅-+，综上可知，MP NQ MQ NP ⋅⋅+的取值范围为(],12-∞-.【变式5-3】已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，直线4x =分别与x 轴交于点P ，与抛物线E 交于点Q ，且54QF PQ =.（1）求抛物线E 的方程；（2）如图，设点,,A B C 都在抛物线E 上，若ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，求AB AC ⋅uu u r uuu r的最小值.【答案】（1）24x y =；（2）32【解析】（1）设点()04,Q y ，由已知000216524py p y y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，则8102p p p +=，即24p =.因为0p >，则2p =，所以抛物线E 的方程是24x y =.（2）设点()222312123123,,,,,444x x x A x B x C x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，直线AB 的斜率为()0k k >，因为AB BC ⊥，则直线BC 的斜率为1k-.因为AB BC =，则1223x x x x -=-，得()2312x x k x x -=-，①因为22121212444x x x x k x x -+==-，则124x x k +=，即124x k x =-，②因为223223231444x x x x k x x -+-==-，则234x x k +=-，即324x x k =--③将②③代入①，得()2242420x k k x k+--=，即()()322212120k k x k kk-+---=，则()()32211k xk k -=+，所以()()()()22222122··cos 451421AB AC AB AC AB x x k k x k ︒===-+=-+()()()()()2332222411614111k k k k k k k k ⎡⎤-+⎢⎥=-+=++⎢⎥⎣⎦因为212k k +≥，则()22214k k +≥，又()22112k k++≥，则()()3222121k k k +≥+，从而()()3222121kk k +≥+当且仅当1k =时取等号，所以AB AC 的最小值为32.题型六参数型最值范围问题【例6】已知点()()1122,,,M x y N x y 在椭圆222:1(1)xC y a a+=>上，直线,OM ON 的斜率之积是13-，且22212x x a +=.（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点()0,2Q 的直线与椭圆C 交于点,A B ，且(1)QB t QA t =>，求t 的取值范围.【答案】（1）2213x y +=；（2）(]1,3【解析】（1）椭圆方程改写为:2222x a y a +=，点()()1122,,,M x y N x y 在椭圆上，有222211a y a x =-，222222a y a x =-，两式相乘，得：()()()222222222241142122122a a a y y a x a x x x x x --==-++，由22212x x a +=，得222212241a y y x x =，由直线,OM ON 的斜率之积是13-，得121213y y x x =-，即222212129y y x x =，∴49a =，23a =，椭圆C 的方程为：2213x y +=.（2）过点()0,2Q 的直线若斜率不存在，则有()0,1A ，()0,1B -，此时3t =；当过点()0,2Q 的直线斜率存在，设直线方程为2y kx =+，由22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()22131290k x kx +++=，直线与椭圆C 交于点,A B 两点，∴()2221249(13)36360k k k ∆=-⨯⨯+=->，得21k >设()()1122,,,A x y B x y ''''，(1)QB t QA t =>，21x x t '='由韦达定理12122121212(1)13913k x x t x k x x tx k ''''-⎧+==+⎪⎪+⎨⎪⋅+'='=⎪⎩，消去1x '，得()229131441t k t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+，由21k >，2101k<<，∴()2311641t t <<+，由1t >，解得13t <<，综上，有13t <≤，∴t 的取值范围为(]1,3【变式6-1】已知A 、B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点，O 为坐标原点，=6AB ，点2,3⎛⎫⎪⎝⎭5在椭圆C 上．过点()0,3P -，且与坐标轴不垂直的直线交椭圆C 于M 、N 两个不同的点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点B 落在以线段MN 为直径的圆的外部，求直线的斜率k 的取值范围；（3）当直线的倾斜角θ为锐角时，设直线AM 、AN 分别交y 轴于点S 、T ，记PS PO λ=，PT PO μ=，求λμ+的取值范围．【答案】（1）22195x y +=；（2）227,,1,332k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）因为=6AB ，所以=3a ；又点2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭5在图像C 上即()22252319b⎛⎫⎪⎝⎭+=，所以b 所以椭圆C 的方程为22195x y +=；（2）由（1）可得()3,0B ，设直线3l y kx =-：，设11(,)M x y 、22(,)N x y ，由22=-3=195y kx x y ⎧⎪⎨+⎪⎩得22(59)54360k x kx +-+=，22(54)436(59)0k k ∆=-⨯⨯+>解得23k >或23k <-①∵点()3,0B 在以线段MN 为直径的圆的外部，则0BM BN ⋅>，又12212254+=5+936=5+9k x x k x x k ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩②211221212(3,)(3,)(1)3(1)()180BM BN x y x y k x x k x x ⋅=--=+-+++>，解得1k <或72k >由①②得227,,1,332k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）设直线3l y kx =-：，又直线的倾斜角θ为锐角，由（2）可知23k >，记11(,)M x y 、22(,)N x y ，所以直线AM 的方程是：()1133y y x x =++，直线AN 的方程是：()2233y y x x =++.令=0x ，解得113+3y y x =，所以点S 坐标为1130,+3y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭；同理点T 为2230,+3y x ⎛⎫⎪⎝⎭.所以1130,3+3y PS x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2230,3+3y PT x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()0,3PO =.由PS PO λ=，PT PO μ=，可得：11333+3y x λ+=，22333+3y x μ+=，所以1212233y yx x λμ+=++++，由（2）得1225495k x x k +=+，1223695x k x =+，所以()()()1212121212122311333338229kx x k x x kx kx x x x x x x λμ--++-+-+=++=+++++()222254231189595254936369595k k k k k k k k ⎛⎫⋅+-- ⎪++⎝⎭=+⎛⎫++ ⎪++⎝⎭21012921k k k +=-⨯+++()()2110291k k +=-⨯++101291k =-⨯++，因为23k >，所以5131,0315k k +><<+，10142,2913k ⎛⎫-⨯+∈ ⎪+⎝⎭，故λμ+的范围是4,23⎛⎫⎪⎝⎭.【变式6-2】设A ，B 为双曲线C ：22221x y a b-=()00a b >>，的左、右顶点，直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右支交于M ，N 两点，当直线l 垂直于x 轴时，AMN 为等腰直角三角形．（1）求双曲线C 的离心率；（2）已知4AB =，若直线AM ，AN 分别交直线1x =于P ，Q 两点，若()0D t ，为x 轴上一动点，当直线l 的倾斜角变化时，若PDQ ∠为锐角，求t 的取值范围．【答案】（1）2；（2）{2t t <-或}4t >【解析】（1）由双曲线C ：22221x y a b-=()00a b >>，可得：右焦点(),0F c ，将x c =代入2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>中，2by a=±，当直线l 垂直于x 轴时，AMN 为等腰直角三角形，此时AF FM =，即2b ac a+=，整理得：220a ac b +-=，因为222b c a =-，所以2220a ac c +-=，方程两边同除以2a 得：220e e +-=，解得：2e =或1-（舍去），所以双曲线C 的离心率为2；（2）因为24AB a ==，所以2a =，因为2c e a ==，解得4c =，故22212b c a =-=，所以双曲线的方程为221412x y -=，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()4y k x =-，与双曲线联立得：()22223816120kxk x k -+--=，设()()1122,,,M x y N x y ，则212283k x x k +=-，212216123k x x k +=-，则()()()221212121244416y y k x x k x x x x =--=-++⎡⎤⎣⎦222221612321633k k k k k ⎛⎫+=-+ ⎪--⎝⎭22363k k -=-，因为直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右支交于,M N 两点，所以22121222816124,433k k x x x x k k ++=>=>--，解得：23k >，直线()11:22y AM y x x =++，则1131,2y P x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理可求得：2231,2y Q x ⎛⎫⎪+⎝⎭，所以11,213y D x P t ⎪+⎛⎫=- ⎝⎭，22,213y D x Q t ⎪+⎛⎫=- ⎝⎭，因为PDQ ∠为锐角，所以()()12221192202D y y x Q t x P D t ⋅=+-+>++，即()1122122109224y y x x x t x t +-+++>+，所以22222221203693161216433k k k k t k t k -⨯-++--+++>-所以21290t t +-->即()219t ->，解得2t <-或4t >；当直线l 的斜率不存在时，将4x =代入双曲线可得6y =±，此时不妨设()()4,6,4,6M N -，此时直线:2AM y x =+，点P 坐标为()1,3，同理可得：()1,3Q -，所以()1,3DP t =-，()1,3DQ t =--，因为PDQ ∠为锐角，所以2280DP DQ t t ⋅=-->，解得2t <-或4t >；综上所述，t 的取值范围{2t t <-或}4t >【变式6-3】22122:1y x C a b-=上的动点P 到两焦点的距离之和的最小值为22:2(0)C x py p =>的焦点与双曲线1C 的上顶点重合．（1）求抛物线2C 的方程；（2）过直线:(l y a a =为负常数）上任意一点M 向抛物线2C 引两条切线，切点分别为AB ，坐标原点O 恒在以AB 为直径的圆内，求实数a 的取值范围．【答案】（1）24x y =；（2）40a -<<.【解析】（1）由已知：双曲线焦距为，则长轴长为2，故双曲线的上顶点为(0,1)，即为抛物线焦点.∴抛物线2C 的方程为24x y =；（2）设(,)M m a ，2111(,)4A x x ，2221(,)4B x x ，故直线MA 的方程为211111()42y x x x x -=-，即21142y x x x =-，所以21142a x m x =-，同理可得：22242a x m x =-，∴1x ，2x 是方程242a xm x =-的两个不同的根，则124x x a =，2212121()416OA OB x x x x a a ∴⋅=+=+，由O 恒在以AB 为直径的圆内，240a a ∴+<，即40a -<<．。
沪教版高中数学高二下册-12.8 抛物线的性质——焦点弦的常用结论 教案
标题：抛物线的性质——焦点弦的常用结论说明：本教学设计是提炼了抛物线的一些常用结论在具体解题中的应用与深入，配有中学生比较喜爱的来自网络的数学歌曲——小苹果之《圆锥曲线》及用几何画板给出图像的运动变化来帮助学生直观的理解知识，对得到的结论又用学生看得见的图像运动的变化数据进行验证。
培养学生用运动的观点来学习数学，提高学生的学习兴趣！同时也用简便的方法解决了抛物线中比较难的知识点，符合现在提倡结合多媒体进行教学的要求。
体现了数形结合思想！课堂设计简洁、明了，思路清晰！抛物线的性质——焦点弦的常用结论教学目的：帮学生去探讨抛物线焦点弦的一些性质，并能应用于以后的解题中.教学重点：抛物线焦点弦长度的简便计算，两端点坐标的定值关系，及角的关系.教学难点：抛物线焦点弦的一些性质的推导与证明.教学过程： 一、复习引入1、如图，若_______|PA |),,(=则y x P . 焦半径_____.__________|PF |=2、已知直线3-=x y 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，求弦AB 的长.分析：①设建方程组：⎩⎨⎧-==342x y x y ；②消元得一元二次方程：01242=--y y ；③得出韦达定理：⎩⎨⎧-==+1242121y y y y ④画图求结论：28||212=-=y y d .设计意图：提醒学生牢固抛物线概念，它是解题之本.二、讲解新课1、将上面例题改为：已知直线1-=x y 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，求弦AB 的长. 要求：①发现了什么？它告诉我们在以后的解题中要注重于观察！ ②已知直线经过焦点，属于特殊直线，求解方法有没有特殊性？ ③如果直线是过焦点的任意直线，有没有其他不变的结论？ 分析：①抛物线的焦点坐标为)0,1(，发现直线经过抛物线的焦点.②由复习1知，p x x ++=21|AB |.8||,6.016212=∴=+=+-∴AB x x x x . 结论1、抛物线的焦点弦长：p x x ++=21|AB |推论：当抛物线的焦点弦与对称轴垂直时，焦点弦长最短，此时的焦点弦称为抛物线的通经,其长为p 2.2、将问题一般化：已知直线）（0)2(≠-=k px k y 与抛物线px y 22=交于B A ,两点，求弦AB 的长. 分析：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⇒=+=+⇒=++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=2212212221222222-4)2(04)2(2)2(p y y p x x k pk x x k p px k x k px y p x k y结论2、抛物线的焦点弦长：pkk21|AB|22⋅+=，特别的有⎪⎩⎪⎨⎧-==2212214pyypxx(其中2121,,,yyxx分别是BA,的横纵坐标。
微专题-圆锥曲线中的最值问题(解析版)
专题30 圆锥曲线中的最值问题【考情分析】与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。
江苏高考试题结构平稳，题量均匀．每份试卷解析几何基本上是1道小题和1道大题，平均分值19分，实际情况与理论权重基本吻合；涉及知识点广．虽然解析几何的题量不多，分值仅占总分的13%，但涉及到的知识点分布较广，覆盖面较大；注重与其他内容的交汇。
圆锥曲线中的最值问题，范围问题都是考查学生综合能力的载体．俗话说：他山之石可以攻玉．在研究这几年外省新课程卷解析几何试题时，就很有启发性．比如2010年安徽卷理科19题，该题入题口宽，既可用传统的联立直线与曲线，从方程的角度解决，也可利用点在曲线上的本质，用整体运算、对称运算的方法求解．再比如2011年上海卷理科23题，主要涉及到中学最常见的几个轨迹，通过定义点到线段的距离这一新概念设置了三个问题，特别是第三问，呈现给学生三个选择，学生可根据自已的实际情况选择答题，当然不同层次的问题，评分也不一样，体现让不同的学生在数学上得到不同的发展【备考策略】与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。
（4）利用代数基本不等式。
代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；【激活思维】1．已知双曲线12222=-by a x (a >0,b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是[2,)+∞2． P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN |的最大值为73．抛物线y=-x 2上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是434．已知抛物线y 2=4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是 32 .5．已知点M (-2，0)，N (2,0)，动点P 满足条件||||22PM PN -=.记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程；（Ⅱ）若A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ⋅的最小值.解：（Ⅰ）依题意，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，所求方程为：22x y 122－＝ （x >0）（Ⅱ）当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x ＝x 0，此时A （x 0，2x 2－），B （x 0，－20x 2－），OAO B ⋅ ＝2当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，代入双曲线方程22x y 122－＝中，得：(1－k 2)x 2－2kbx －b 2－2＝0 依题意可知方程1︒有两个不相等的正数根，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则2222122212244(1)(2)0201201k b k b kb x x k b x x k ⎧⎪∆=--∙--≥⎪⎪+=>⎨-⎪⎪+=>⎪-⎩解得|k |>1， 又OA OB ⋅＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋（kx 1＋b ）（kx 2＋b ）＝（1＋k 2）x 1x 2＋kb （x 1＋x 2）＋b 2＝2222k 242k 1k 1＋＝＋－－>2 综上可知OA OB ⋅的最小值为2【典型示例】求抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值? 分析一：设抛物线上任一点坐标为P(0x ,-x20)，由点到直线的距离公式得P 到直线的距离d(0x )=5|834|200--x x =5320)32(320+-x 34≥， 当0x =32时，d(0x )取得最大值34,分析二：设抛物线上点P(0x ,-x20)到直线4x+3y-8=0距离最小，则过P 且与抛物线相切的直线与4x+3y-8=0平行，故y '( 0x )=-2 0x =-34,∴0x =32,∴P(32,-94), 此时d=5|8943324|--⨯+⨯）（=34，. 分析三：设直线方程为4x+3y+C=0则当l 与抛物线相切时l 与4x+3y-8=0间的距离为所求最小，由⎪⎩⎪⎨⎧=++-=0342C y x y x 得4x-3x 2+C=0，∴△=16+12C=0, ∴c=-34,此时d=345|348|=---）（【分类解析】例1:已知椭圆221259x y +=，A （4，0），B （2，2）是椭圆内的两点，P 是椭圆上任一点，求：（1）求5||||4PA PB +的最小值；（2）求||||PA PB +的最小值和最大值 分析：（1）A 为椭圆的右焦点。
圆锥曲线求最值方法总结及典型例题
圆锥曲线最值问题—5大方面最值问题是圆锥曲线中的典型问题，它是教学的重点也是历年高考的热点。
解决这类问题不仅要紧紧把握圆锥曲线的定义，而且要善于综合应用代数、平几、三角等相关知识。
以下从五个方面予以阐述。
一．求距离的最值例1.设AB 为抛物线y=x 2的一条弦，若AB=4，则AB 的中点M 到直线y+1=0的最短距离为 ， 解析：抛物线y=x 2的焦点为F （0 ，41），准线为y=41-，过A 、B 、M 准线y=41-的垂线，垂足分别是A 1、B 1、M 1， 则所求的距离d=MM 1+43=21(AA 1+BB 1) +43=21(AF+BF) +43≥21AB+43=21×4+43=411, 当且仅当弦AB 过焦点F 时，d 取最小值411， 评注：灵活运用抛物线的定义和性质，结合平面几何的相关知识，使解题简洁明快，得心应手。
二．求角的最值例2．M ，N 分别是椭圆12422=+y x 的左、右焦点，l 是椭圆的一条准线，点P 在l 上，则∠MPN 的最大值是 .解析：不妨设l 为椭圆的右准线，其方程是22=x ，点)0)(,22(00>y y P ，直线PM 和PN 倾斜角分别为βα和.∵)0,2(),0,2(N M -∴,232220tan 00y y k PM =+-==α22220tan 00y y k PN =--==β于是)tan(tan αβ-=∠MPN 2321232tan tan 1tan tan 0000y y y y ⋅+-=+-=αβαβ 33622262262200200=≤+=+=y y y y ∵)2,0[π∈∠MPN ∴6π≤∠MPN 即∠MPN 的最大值为6π. 评注：审题时要注意把握∠MPN 与PM 和PN 的倾斜角之间的内在联系.三、求几何特征量代数和的最值例3.点M 和F 分别是椭圆192522=+y x 上的动点和右焦点，定点B(2,2).⑴求|MF|+|MB|的最小值. ⑵求45|MF|+|MB|的最小值. 解析：易知椭圆右焦点为F(4,0)，左焦点F ′(-4,0)，离心率e=54，准线方程x=±425. ⑴|MF| + |MB| = 10―|MF ′ | + |MB| =10―（|MF ′|―|MB|）≥10―|F ′B|=10―210.故当M ，B ，F ′三点共线时，|MF|+|MB|取最小值10―210.⑵过动点M 作右准线x=425的垂线，垂足为H ， 则54||||==e MH MF ⇒||54|H |MF M =. 于是45|MF|+|MB|=|MH|+|MB|≥|HB|=417. 可见，当且仅当点B 、M 、H 共线时，45|MF|+|MB|取最小值417. 评注：从椭圆的定义出发，将问题转化为平几中的问题，利用三角形三边所满足的基本关系，是解决此类问题的常见思路。
《圆锥曲线中的最值问题》数学教案
《圆锥曲线中的最值问题》数学教案一、教学目标：1. 让学生掌握圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）中最值问题的解法。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生分析问题、解决问题的能力。
二、教学内容：1. 椭圆中最值问题2. 双曲线中最值问题3. 抛物线中最值问题5. 圆锥曲线中最值问题的应用三、教学重点与难点：1. 教学重点：圆锥曲线中最值问题的解法及应用。
2. 教学难点：圆锥曲线中最值问题的灵活运用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究圆锥曲线中最值问题的解法。
2. 通过案例分析，让学生了解圆锥曲线中最值问题在实际中的应用。
3. 利用数形结合思想，帮助学生直观地理解圆锥曲线中最值问题。
五、教学过程：1. 导入：回顾圆锥曲线的定义及性质，引导学生关注圆锥曲线中最值问题。
2. 讲解：（1）椭圆中最值问题：分析椭圆的性质，引导学生运用几何方法、代数方法解决最值问题。
（2）双曲线中最值问题：分析双曲线的性质，引导学生运用几何方法、代数方法解决最值问题。
（3）抛物线中最值问题：分析抛物线的性质，引导学生运用几何方法、代数方法解决最值问题。
4. 练习：布置课后作业，让学生巩固圆锥曲线中最值问题的解法。
5. 拓展：介绍圆锥曲线中最值问题在实际应用中的例子，激发学生兴趣。
六、课后作业：1. 复习圆锥曲线中最值问题的解法。
2. 完成课后练习题。
3. 探索圆锥曲线中最值问题在实际应用中的例子。
七、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况。
2. 课后作业：检查学生的作业完成情况，评估学生对圆锥曲线中最值问题的掌握程度。
3. 实践应用：评估学生在实际问题中运用圆锥曲线中最值问题的能力。
八、教学资源：1. 教材、教辅资料。
2. 圆锥曲线的图形软件。
3. 实际问题案例。
九、教学进度安排：1. 第一课时：导入及椭圆中最值问题讲解。
2. 第二课时：双曲线中最值问题讲解。
数学：圆锥曲线中的最值问题》课件
• 引言 • 圆锥曲线中的最值问题类型 • 解决圆锥曲线最值问题的方法 • 经典例题解析 • 圆锥曲线最值问题的应用 • 总结与展望
01
引言
圆锥曲线简介
01
圆锥曲线是平面几何中一个重要 内容，包括椭圆、双曲线和抛物 线等。
02
圆锥曲线在日常生活和科学研究 中有着广泛的应用，如行星轨道 、光学、工程学等。
详细描述
解决这类问题需要利用导数和切线的性质，通过求导和转化，将斜率表示为易于 处理的形式，再利用基本不等式或求导方法求解。
03
解决圆锥曲线最值问题的方法
利用基本不等式求解
总结词
利用基本不等式求解圆锥曲线中的最值问题是一种常见的方法，通过将问题转化为不等式形式，可以简化计算过 程。
详细描述
基本不等式是数学中常用的工具，如AM-GM不等式、Cauchy-Schwarz不等式等。这些不等式能够提供一些关 于变量之间关系的约束条件，从而帮助我们找到最值。在圆锥曲线问题中，我们通常将曲线的方程与基本不等式 结合，通过代数运算和变换，找到满足条件的解。
通过参数方程求解
总结词
参数方程是解决圆锥曲线最值问题的另一种有效方法，通过引入参数来表示曲线上点的坐标，可以将 问题转化为参数的取值范围和变化规律。
详细描述
参数方程通常用于表示曲线上点的坐标，通过引入参数来表示这些坐标。这种方法可以将复杂的几何 问题转化为参数的代数问题，从而简化计算过程。在求解最值问题时，我们可以通过分析参数的变化 规律和取值范围，找到满足条件的解。
解决圆锥曲线最值问题需要综合运用多种数学方法和技巧，如配方法、判别式法、 参数法等。
最值问题的发展趋势和未来研究展望
随着数学理论和方法的不断发展，圆 锥曲线最值问题将不断涌现出新的问 题和挑战。
沪教版高中数学教材目录
高一上第一章集合与命题一集合1.1 集合及其表示法1.2 集合之间的关系1.3 集合的运算二四种命题的形式1.4 命题的形式及等价关系三充分条件与必要条件1.5 充分条件、必要条件1.6 子集与推出关系第二章不等式2.1 不等式的基本性质2.2 一元二次不等式的解法2.3 其他不等式的解法2.4 基本不等式及其应用*2.5 不等式的证明第三章函数的基本性质3.1 函数的概念3.2 函数关系的建立3.3 函数的运算3.4 函数的基本性质第四章幂函数、指数函数和对数函数（上）一幂函数4.1 幂函数的性质与图像二指数函数4.2 指数函数的性质与图像*4.3 借助计算器观察函数递增的快慢高一下第四章幂函数、指数函数和对数函数（下）三对数4.4 对数的概念及其运算四反函数4.5 反函数的概念五对数函数4.6 对数函数的性质与图像六指数方程和对数方程4.7 简单的指数方程4.8 简单的对数方程第五章三角比一任意角的三角比5.1 任意角及其度量5.2 任意角的三角比二三角恒等式5.3 同角三角比的关系和诱导公式5.4 两角和与差的正弦、余弦和正切5.5 二倍角与半角的正弦、余弦和正切三解斜三角形5.6 正弦定理、余弦定理和解斜三角形第六章三角函数一三角函数的图像及性质6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质6.2 正切函数的图像与性质6.3 函数y=Asin（ωx+ψ）的图像与性质二反三角函数与最简三角方程6.4 反三角函数6.5 最简三角方程高二上第七章数列与数学归纳法一数列7.1 数列7.2 等差数列7.3 等比数列二数学归纳法7.4 数学归纳法7.5 数学归纳法的应用7.6 归纳—猜想—证明三数列的极限7.7 数列的极限7.8 无穷等比数列各项的和第八章平面向量的坐标表示8.1 向量的坐标表示及其运算8.2 向量的数量积8.3 平面向量的分解定理8.4 向量的应用第九章矩阵和行列式初步一矩阵9.1 矩阵的概念9.2 矩阵的运算二行列式9.3 二阶行列式9.4 三阶行列式第十章算法初步10.1 算法的概念10.2 程序框图*10.3 计算机语句和算法程序高二下第十一章坐标平面上的直线11.1 直线的方程11.2 直线的倾斜角和斜率11.3 两条直线的位置关系11.4 点到直线的距离第十二章圆锥曲线12.1 曲线和方程12.2 圆的方程12.3 椭圆的标准方程12.4 椭圆的性质12.5 双曲线的标准方程12.6 双曲线的性质12.7 抛物线的标准方程12.8 抛物线的性质第十三章复数13.1 复试的概念13.2 复数的坐标表示13.3 复数的加法和减法13.4 复数的乘法和除法13.5 复数的平方根和立方根13.6 实系数的一元二次方程高三上第十四章空间直线与平面14.1 平面及其基本性质14.2 空间直线与直线的位置关系14.3 空间直线与平面的位置关系14.4 空间平面与平面的位置关系第十五章简单集合体一多面体15.1 多面体的概念15.2 多面体的直观图二旋转体15.3 旋转体的概念三几何体的表面积、体积和球面距离15.4 几何体的表面积15.5 几何体的体积15.6 球面距离第十六章排列组合与二项式定理16.1 计数原理Ⅰ——乘法原理16.2 排列16.3 计数原理Ⅱ——加法原理16.4 组合16.5 二项式定理高三下第十七章概率论初步17.1 古典概型17.2 频率与概率第十八章基本统计方法18.1 总体和样本18.2 抽样技术18.3 统计估计18.4 实例分析*18.5 概率统计实验。
高中数学抛物线的几何性质总结课件
抛物线在几何作图中的应用
绘制图形
在几何作图中，抛物线被用来绘制各种曲线和图形，如椭圆 和双曲线。
设计艺术
艺术家和设计师利用抛物线的形状和性质来创造各种艺术作 品和设计。
抛物线在其他领域的应用
经济预测
在经济学中，抛物线可以用来拟合数 据并预测未来的趋势，例如通过建立 抛物线模型来预测股票价格或销售量。
信号处理
在信号处理中，抛物线被用来进行滤 波和降噪处理，以提取信号中的有用 信息。
THANKS
线的交点。
抛物线的焦距等于顶点到焦点 的距离。
抛物线上的任意一点到焦点的 距离等于该点到准线的距离。
02 抛物线的焦点与准线
抛物线的焦点
01
抛物线的焦点是固定的 点，位于抛物线的对称 轴上。
02
对于开口向右或向左的 抛物线，焦点位于其对 称轴上，距离顶点一定 距离的位置。
03
对于开口向上的抛物线， 焦点位于其顶点的上方。
04 抛物线的对称性
抛物线的对称轴
抛物线关于其对称轴对称，对称轴是 一条垂直于x轴的直线。
对称轴是抛物线几何性质的一个重要 特征，它决定了抛物线的形状和位置。
对于标准形式的抛物线 y=ax^2+bx+c，其对称轴的方程是 x=-b/2a。
抛物线的对称中心
抛物线的对称中心是其顶点的位 置，顶点坐标可以通过二次函数 的顶点式y=a(x-h)^2+k得到。
抛物线的标准方程
开口向右的抛物线方程为 $y^2 = 2px$，其中 $p$ 是焦 距。
开口向左的抛物线方程为 $y^2 = -2px$，其中 $p$ 是 焦距。
抛物线的标准方程可以根据焦 点和准线的位置进行变换。
沪教版高中数学高二下册第十二章12.8 抛物线的性质-圆锥曲线的最值问题 课件PPT
y
B C
O D
x A
思考与收获
数形结合找方法 代数推演求结果
54.如果你盼望明天，那必须先脚踏现实;如果你希望辉煌，那么你须脚不停步。 66.树苗如果因为怕痛而拒绝修剪，那就永远不会成材。 57.生命就是一个逐渐支出和利用时间的过程。一旦丧失了时间，生命也就走到了尽头。 63.一杯本来清澈的水，不停地摇晃，它不会清澈。 68.不要言过其实夸大其词会使人怀疑你的判断力。精明的人表现出的是严谨，有时还会故意缩小其词。 50.一时的挫折往往可以通过不屈的搏击，变成学问及见识。 54.从今开始，我要帮自己一个忙：卸下负担忘却疼痛抚平创伤。 29.不比智力，比努力；不比起步，比进步。 84.人生观决定了一个人的人生追求;世界观决定了一个人的思想境界;价值观决定了一个人的行为准则。 62.要让事情改变，先改变我自己;要让事情变得更好，先让自己变得更好。 49.没有退路时潜能就发挥出来了。 73.黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。——颜真卿 65.花开堪折直须折，莫待无花空折枝。 67.不吃油腻的东西，让身体更清洁；不做不可及的梦，让睡眠更安恬；不穿不合脚的鞋，让步伐更悠闲；不跟无谓的潮流走，让情绪更宁静 ；不缅怀无法回头的过去，让生活更愉悦用心去爱，真诚去交，不求深刻，只求简单。简单每一天，愉悦每一天。
圆锥曲线的最值问题
热身练习
1、若点A的坐标为(3，2)，F为抛物线 y 2 2 x 的
焦点，点P在抛物线上移动，为使|PA|+|PF|取
最小值，则P点的坐标为____________。
2、椭F1圆、 F上2 运是动椭，圆则x42 3、设实数满足x2
圆锥曲线中的最值问题教学设计
圆锥曲线的专题复习圆锥曲线中的最值问题（第一课时）教学设计教学目标：1.进一步理解圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质，会求解圆锥曲线的相关变量的最值问题，并形成一定的方法；2.体会“解析法”思想，会从代数与几何两个角度分析和解决圆锥曲线的最值问题，会进行合理的选择；3形成圆锥曲线最值问题的方法体系和数学思想，形成处理最值问题的基本策略，培养创新意识。
（定义法、切线法、导数法、判别式法、基本不等式法）教学重点：求圆锥曲线中的最值问题的基本方法。
教学难点：形与数的相互转化，化归思想的应用，寻求解决问题的最优方案。
教学过程与方法：培养学生的分析问题和解决问题的能力。
渗透数形结合、转化与化归的思想。
一．情景引入思考：（1）用什么词语形容解析几何？在解析几何中，运动是曲线的灵魂，在形的运动中必然伴随着量的变化（2）运动中的变化又会引发什么问题？在变化中往往重点关注变化中不变的量或关系---------定点、定值问题；变量的变化趋势-------范围最值问题等二．活动探究在解析几何中，运动是曲线的灵魂，在形的运动中必然伴随着量的变化，通过下面的题目，我们进行探究，体会这种变化。
（结合多媒体教学让学生去感受最值问题的解决途径，进而探究解决最值问题的最佳方案）探究一：设21,F F 分别是椭圆192522=+y x 的左右焦点，M 为椭圆上任一点，()2,2B ,则1MF MB +的最大值为 ，最小值为 。
设计意图：本小题入口简单，计算容易，在方法上回归定义，使学生感受与体验定义法解决最值的问题。
定义法解决本体是最佳方案。
探究2：抛物线y x 22-=与直线22:-=x y l 相交于B A ,两点，当抛物线上一动点P 从点A 运动到点B 时，求ABP ∆面积的最值。
让学生进行分组讨论，然后进行小组展示，通过学生的展示进行点评，如有不足，进行补充。
设计意图：通过学生对本题的探索，发现解决本体的方法，如切线法、判别式法等。
高二年级数学 《圆锥曲线的统一定义及其应用》教学设计
《圆锥曲线的统一定义及其应用》教学设计一、教学分析１．教学内容分析本节课是在学习了圆锥曲线的定义及其基本几何性质之后的一节复习课。
本节课的内容是利用几何画板演示曲线随着离心率的变化而变化，观察圆锥曲线之间的内在联系，归纳总结椭圆、双曲线、抛物线的统一定义，并对利用统一定义求轨迹、求最值，并拓展到在实际生活中的应用。
为下节课复习用圆锥曲线的定义和性质解决实际问题打下基础。
在知识上是对已学知识的归纳拓展，在能力上是在学生已有能力基础上更高层次的提升。
本节课的内容是在探究圆锥曲线的内在联系的基础上，利用信息技术手段演练动态数学，探究其规律，进而使学生更深刻的感受数形结合思想反映的数学美。
通过了解圆锥曲线与实际生活的联系，让学生体会生活中的数学，增强学习数学的积极性。
２．教学对象分析本课的教学内容适合高二的学生学习掌握。
这个时期的学生在个体身心两方面逐步走向成熟，个性化特征也日趋明显。
这一时期的学生已经具有知识的迁移能力、联想与类比的学习策略，养成了探究与归纳的学习习惯。
学生通过前面的学习，已经对圆锥曲线本身的内在性质和它们之间的相互联系有了一定的认识，已经掌握了解决一些与圆锥曲线有关的问题的方法和技巧。
深圳的学生受环境的影响，了解、掌握信息的能力很强，特别是深圳学校的信息技术的使用程度，使学生对信息技术有深刻的认识，甚至学生也能较熟练的使用信息技术手段解决实际问题。
３．教学环境分析本节课内容需要借助几何画板演示圆锥曲线的动态变化情况，同时需要借助几何画板解决圆锥曲线有关的应用问题，以增强课堂教学的直观性和生动性，因此，本节课选择多媒体教室环境最佳。
二、教学目标知识与技能理解、掌握圆锥曲线的统一定义，并能利用圆锥曲线的统一定义求轨迹、求最值和解决实际问题等。
过程与方法①通过归纳得出圆锥曲线的统一定义的过程，提高类比转化的能力；②通过圆锥曲线随着离心率的变化而变化规律的探究，理解掌握椭圆、双曲线、抛物线的内在联系；③通过圆锥曲线统一定义的应用，并利用几何画板等信息技术手段，直观刻画动态圆锥曲线的过程，体会数形结合的思想与方法。
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9
| 的最大值是
3x4y的最大值是
．
__________，最小值是_______。
y
3 O ( t ,0 )
x
3x4yt
例1、求点 A (3, 0 ) 到抛物线y 2 4 x 的最短距离。
设抛物线上动点Mx,y,则MA x32y2 x324x x128
x0,x1时， MA最小为8=2 2
上 的 任 意 两 点 ， 且 分 别 在 AB的 异 侧 ， 求 四 边 形 ABCD面 积 的 最 大 值 。
y
B C
O D
x A
思考与收获
数形结合找方法 代数推演求结果
2 、一个人只有在全力以赴的时候才能发挥最大的潜能。 15. 考过高富帅，战胜官二代! 8. 成就是谦虚者前进的阶梯，也是骄傲者后退的滑梯。 10 、遇到困难时不要抱怨，既然改变不了过去，那么就努力改变未来。 10 、做任何事都要经受得挫折，要有恒心和毅力，满怀信心坚持到底。 21. 一分耕耘，一分收获，未必;九分耕耘，会有收获，一定! 5 、没有人会关心你付出过多少努力，撑得累不累，摔得痛不痛，他们只会看你最后站在什么位置，然后羡慕或鄙夷。 4. 努力吧，飞向属于自己的明天! 3 、没有退路时潜能就发挥出来了。 5 、我因X班而自豪，X班因我而骄傲 17. 先知三日，富贵十年。 5. 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。 3. 平凡的脚步也可以走完伟大的行程。 20. 悲观些看成功，乐观些看失败。轻松些看自己，宽容些看别人。理智些看问题，纯真些看人生。 7. 每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到成功的路。 11. 抢时间，抓基础，勤演练定有收获;树自信，誓拼搏，升大学回报父母。 10. 笑看人生峰高处，唯有磨难多正果。 15 、成熟不是心变老，而是眼泪在眼睛里打转，我们却还能保持微笑;总会有一次流泪，让我们瞬间长大。 8 、生活就像海洋，只有意志坚强的人才能达到生命的彼岸。 12. 最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。 11 、等青春轻飘的烟雾把少年的欢乐袅袅曳去，之后，我们就能取得一切值得吸取的东西。 ——普希金 19 、太阳每天都是新的，你是否每天都在努力。 12 、前面的路还很远，你可能会哭，但是一定要走下去，一定不能停。 7 、面对命运不妥协，面对困难不退缩，这样才能做自己的英雄。
变 式 2 ： 求 点 A ( a , 0 ) ( a R ) 到 抛 物 线 y 2 4 x 的 最 短 距 离 。
解 :设抛物线上动点M (x, y)
MA x a 2 y 2 x 2 2(a 2) x a 2 x a 2 2 4a 4
x0 当 a 2 0, a 2时, x a 2, MA 4a 4 2 a 1
y B
O D
x A
直线AB的方程: 3x 4y 12 0
设椭圆上动点D(4cos,3sin), 0,2
则点D到直线AB的距离d 12cos 12sin 12
12
2sin( )12
4
32 42
5
当
4
, dmax
12
2 12 5
ABD面积的最大值1512 2 12 6 2 6
2
5
变 式:已 知 A,B分 别 是 椭 圆x2y2 1的 右 顶 点 和 上 顶 点 ， 点 C,D是 椭 圆 16 9
圆锥曲线的最值问题
热身练习
1、若点A的坐标为(3，2)，F为抛物线 y 2 2 x 的
焦点，点P在抛物线上移动，为使|PA|+|PF|取
最小值，则P点的坐标为____________。
2、椭F1圆、 F上2 运是动椭，圆则x42 3、设实数满足x2
16
y 2 1 的左、右焦点，点P在
|
y
2PF1|| PF2
min
当 a 2 0, a 2时 ， x 0, MA a min
综 上 ， 点 A(a, 0)(a R )到 抛 物 线 y 2 4 x的 最 短 距 离 为 2 a 1, a 2 a , a 2
将点变为直线能做吗？
变 式 3 :在 抛 物 线 y 2 4 x 上 求 一 点 P ， 使 点 P 到 直 线 l:x y 4 0 的 距 离 最 短 。
解：设Px,y是抛物线上任一点，它到直线
x y 4 0的距离为d=
y2 y 4 4
1 y 22 12
4
5
5
,当且仅当y
2时，dmin
3 2， 2
此时，P1，2.
例 2 :已 知 A ,B 分 别 是 椭 圆 x 2y2 1 的 右 顶 点 和 上 顶 点 ， 点 D 是 1 6 9
椭 圆 上 的 任 意 一 点 ， 求 A B D 面 积 的 最 大 值 。
想一想，将抛物线方程变为椭 圆，双曲线方程能做吗？
变 式 1 ： 求 点 A (1 ,0 )到 椭 圆 x 2 y 2 1 的 最 短 距 离 。 4
解:设椭圆上动点M(x,y), MA x12 y2 x121x2
4
34x432
2 3
2x2,x4时，MA最小 6
3
3
想一想，将点A动起来能做吗？