时频分析方法综述
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
几种时频分析方法简介
1. 傅里叶变换(Fourier Transform )
1
2/201
22/0()()()()1()()()(::::)N j nk N ft N ft j nk N n H T h kT e H f h t e d DFT FT IFT IDFT t NT k h t H f e dt h nT H e N NT ππππ--∞
--∞∞--∞⎫=⎫⎪=⋅⎪⎪−−−−−−−→⎬⎬⎪⎪=⋅=⎭⎪⎭
∑⎰⎰∑离散化(离散取样)
周期化(时频域截断) 2. 小波变换(Wavelet Transform )
a. 由傅里叶变换到窗口傅里叶变换(Gabor Transform(Short Time Fourier
Transform)/)
从傅里叶变换的定义可知,时域函数h(t)的傅里叶变换H(f )只能反映其在整个实轴的性态,不能反映h (t )在特定时间区段内的频率变化情况。如果要考察h(t)在特定时域区间(比如:t ∈[a,b])内的频率成分,很直观的做法是将h(t)在区间t ∈[a,b]与函数
[][]
11,t ,()0,t ,a b t a b χ⎧∈⎪=⎨
∈⎪⎩,然后考察1()()h t t χ傅里叶变换。但是由于1()t χ在t= a,b 处突
然截断,导致中1()()h t t χ出现了原来h (t )中不存在的不连续,这样会使得1()()h t t χ的傅里叶变化中附件新的高频成分。为克服这一缺点,D.Gabor 在1944年引入了“窗口”傅里叶变换的概念,他的做法是,取一个光滑的函数g(t),称为窗口函数,它在有限的区间外等于0或者很快地趋于0,然后将窗口函数与h(t)相乘得到的短时时域函数进行FT 变换以考察h(t)在特定时域内的频域情况。
22(,)()()()()(,)ft f ft f STFT ISTF G f h t g t e dt
h t df g t G f e d T ππτττττ+∞
--∞
+∞+∞
-∞
-∞
=-=-⎰⎰⎰
::
图:STFT 示意图
STFT 算例
cos(210) 0s t 5s cos(225) 5s t 10s (t)=cos(250) 10s t 15s cos(2100) 15s t 20s
t t x t t ππππ≤≤⎧⎪≤≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩
图:四个余弦分量的
STFT
b.窗口傅里叶变换(Gabor)到小波变换(Wavelet Transform)
图:小波变换
定义满足条件:
()()()()2
=ˆ=00
ˆ0t dt t dt f df f
ψψψψ+∞
-∞
+∞
<+∞-∞
+∞-∞
⎰<+∞−−−−−−→⇔⎰
⎰假定:
的平方可积函数ψ(t)(即ψ(t)∈L 2(—∞,+∞))为——基本小波或小波母函数。
Haar 小波函数
db3小波函数
db4小波函数
db5小波函数
mexh 小波函数 图:几种常用的小波函数
令
()
ab t b t a ψ-⎛⎫
=
⎪⎝⎭
,a 、b 为实数,且a ≠0, 称ψab 为由母函数生成的有赖于参数a,b 的连续小波函数。设f(t)∈L 2(—∞,+∞),定义其小波变换为:
()()
,,
f ab t b W a b f f t dt a ψψ+∞
-∞
-⎛⎫
==
⎪⎝⎭
⎰
与Fourier 类似,小波变化也具有反演公式:
()()()
2
1,f ab dadb
f t W a b t C a
ψ
ψ+∞+∞
-∞
-∞
=
⎰⎰
, 以及Parseval 等式:
()(
)
()
()2
22
2
,,,,1,.f g f dadb
W a b W a b C f g a dadb
W a b f t dt C a ψψ
+∞+∞
-∞
-∞+∞
+∞+∞-∞
-∞
-∞==⎰⎰
⎰⎰
⎰ 小波变换虽然具有频率愈高相应时间或空间分辨率愈高的优点,但其在频率域上的分辨率却相应降低。这是小波变换的弱点,使它只能部分地克服Fourier 变换的局限性。小波包变换将在一定程度上弥补小波变换的这一缺陷。
图:FT 变换、STFT 变换及Wavelet Analysis 比较
图:Wavelet应用1——探测数据突变点
图:Wavelet应用1——探测数据突变点(树状显示)
图:Wavelet应用2——探测数据整体变化趋势
图:Wavelet应用2——探测数据中的频率成分
图:Wavelet应用3——压缩数据
图:Wavelet 应用3——压缩数据
3. 希尔伯特—黄变换(Hilbert-Huang Transform )
3.1希尔伯特与瞬时频率(Hilbert Transform and instantaneous frequency ) 对于任意一个时间序列X(t),它的希尔伯特变换具有如下形式:
-1
()
(t)=
,-X Y P d t ττπ
τ
∞
∞
⎰
其中,P ——积分的柯西主值;
希尔伯特变换对于任何属于L p 空间中的函数都存立,即上式中X(t)∈L p (—∞,+∞)。 通过上述定义,X(t)和Y(t)成为一组复共轭对,同时能够构造一个实部和虚部分为X(t)和Y(t)的解析信号(Analytic Signal)Z(t),Z(t)表示为:
()()
(t)=(t)(t)=a ,i t Z X iY t e
θ+
其中,
()()1/222
(t)a =(t)+(t),arctan .X(t)Y t X Y t θ⎛⎫⎡⎤= ⎪⎣⎦⎝⎭
理论上讲有无数种方式去定义虚部,但是希尔伯特变换是唯一能够得到解析信号结果的方法。