时频分析方法综述

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

几种时频分析方法简介

1. 傅里叶变换(Fourier Transform )

1

2/201

22/0()()()()1()()()(::::)N j nk N ft N ft j nk N n H T h kT e H f h t e d DFT FT IFT IDFT t NT k h t H f e dt h nT H e N NT ππππ--∞

--∞∞--∞⎫=⎫⎪=⋅⎪⎪−−−−−−−→⎬⎬⎪⎪=⋅=⎭⎪⎭

∑⎰⎰∑离散化(离散取样)

周期化(时频域截断) 2. 小波变换(Wavelet Transform )

a. 由傅里叶变换到窗口傅里叶变换(Gabor Transform(Short Time Fourier

Transform)/)

从傅里叶变换的定义可知,时域函数h(t)的傅里叶变换H(f )只能反映其在整个实轴的性态,不能反映h (t )在特定时间区段内的频率变化情况。如果要考察h(t)在特定时域区间(比如:t ∈[a,b])内的频率成分,很直观的做法是将h(t)在区间t ∈[a,b]与函数

[][]

11,t ,()0,t ,a b t a b χ⎧∈⎪=⎨

∈⎪⎩,然后考察1()()h t t χ傅里叶变换。但是由于1()t χ在t= a,b 处突

然截断,导致中1()()h t t χ出现了原来h (t )中不存在的不连续,这样会使得1()()h t t χ的傅里叶变化中附件新的高频成分。为克服这一缺点,D.Gabor 在1944年引入了“窗口”傅里叶变换的概念,他的做法是,取一个光滑的函数g(t),称为窗口函数,它在有限的区间外等于0或者很快地趋于0,然后将窗口函数与h(t)相乘得到的短时时域函数进行FT 变换以考察h(t)在特定时域内的频域情况。

22(,)()()()()(,)ft f ft f STFT ISTF G f h t g t e dt

h t df g t G f e d T ππτττττ+∞

--∞

+∞+∞

-∞

-∞

=-=-⎰⎰⎰

::

图:STFT 示意图

STFT 算例

cos(210) 0s t 5s cos(225) 5s t 10s (t)=cos(250) 10s t 15s cos(2100) 15s t 20s

t t x t t ππππ≤≤⎧⎪≤≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩

图:四个余弦分量的

STFT

b.窗口傅里叶变换(Gabor)到小波变换(Wavelet Transform)

图:小波变换

定义满足条件:

()()()()2

=ˆ=00

ˆ0t dt t dt f df f

ψψψψ+∞

-∞

+∞

<+∞-∞

+∞-∞

⎰<+∞−−−−−−→⇔⎰

⎰假定:

的平方可积函数ψ(t)(即ψ(t)∈L 2(—∞,+∞))为——基本小波或小波母函数。

Haar 小波函数

db3小波函数

db4小波函数

db5小波函数

mexh 小波函数 图:几种常用的小波函数

()

ab t b t a ψ-⎛⎫

=

⎪⎝⎭

,a 、b 为实数,且a ≠0, 称ψab 为由母函数生成的有赖于参数a,b 的连续小波函数。设f(t)∈L 2(—∞,+∞),定义其小波变换为:

()()

,,

f ab t b W a b f f t dt a ψψ+∞

-∞

-⎛⎫

==

⎪⎝⎭

与Fourier 类似,小波变化也具有反演公式:

()()()

2

1,f ab dadb

f t W a b t C a

ψ

ψ+∞+∞

-∞

-∞

=

⎰⎰

, 以及Parseval 等式:

()(

)

()

()2

22

2

,,,,1,.f g f dadb

W a b W a b C f g a dadb

W a b f t dt C a ψψ

+∞+∞

-∞

-∞+∞

+∞+∞-∞

-∞

-∞==⎰⎰

⎰⎰

⎰ 小波变换虽然具有频率愈高相应时间或空间分辨率愈高的优点,但其在频率域上的分辨率却相应降低。这是小波变换的弱点,使它只能部分地克服Fourier 变换的局限性。小波包变换将在一定程度上弥补小波变换的这一缺陷。

图:FT 变换、STFT 变换及Wavelet Analysis 比较

图:Wavelet应用1——探测数据突变点

图:Wavelet应用1——探测数据突变点(树状显示)

图:Wavelet应用2——探测数据整体变化趋势

图:Wavelet应用2——探测数据中的频率成分

图:Wavelet应用3——压缩数据

图:Wavelet 应用3——压缩数据

3. 希尔伯特—黄变换(Hilbert-Huang Transform )

3.1希尔伯特与瞬时频率(Hilbert Transform and instantaneous frequency ) 对于任意一个时间序列X(t),它的希尔伯特变换具有如下形式:

-1

()

(t)=

,-X Y P d t ττπ

τ

其中,P ——积分的柯西主值;

希尔伯特变换对于任何属于L p 空间中的函数都存立,即上式中X(t)∈L p (—∞,+∞)。 通过上述定义,X(t)和Y(t)成为一组复共轭对,同时能够构造一个实部和虚部分为X(t)和Y(t)的解析信号(Analytic Signal)Z(t),Z(t)表示为:

()()

(t)=(t)(t)=a ,i t Z X iY t e

θ+

其中,

()()1/222

(t)a =(t)+(t),arctan .X(t)Y t X Y t θ⎛⎫⎡⎤= ⎪⎣⎦⎝⎭

理论上讲有无数种方式去定义虚部,但是希尔伯特变换是唯一能够得到解析信号结果的方法。

相关文档
最新文档