高考专题训练：传球问题

高考专题训练：传球问题1．（2014春•下城区校级期中）三人相互传球，由甲开始发球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方法的种数是（）A．6 B．8 C．10 D．162．（2013春•甘州区校级期末）如图A、B、C三个同学进行篮球传球训练，若每个同学传给另外两个中的某一个的可能性相同且从A起开始传球，则经过4次传球后篮球仍停在A 的概率是．3．（2007秋•宁海县校级月考）足球场上三个人相互传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过五次传球后，球又回到甲手中，则不同的传球种数有种．4．甲、乙、丙、丁各拿一个足球同时进行一次传球，要求每个人可以将球传给另外三人中的任何一人，一次传球后，每个人仍各有一个球的概率为．5．（2012春•酉阳县月考）A，B，C，D四名同学在操场上训练传球，球从A手中传出，记为第一次传球．设经过K次传球又传给A，不同的传球方法数为a k经过K+1次传球又传给A，不同的传球方法数为a k+1，运用归纳推理找出a k+1与a k（k∈N+且K≥2）的关系是．三．解答题（共7小题）6．n个人互相传球，由甲开始发球，经过m次传球后，球仍回到甲的手中，一共有多少种传法？（m≥2，n≥3）．7．（2014•安徽一模）甲乙丙丁四个人做传球练习，球首先由甲传出，每个人得到球后都等概率地传给其余三个人之一，设P n表示经过n次传递后球回到甲手中的概率，求：（1）P2之值；（2）P n（以n表示过n次传递后球落在甲的手中）8．（2015•文登市二模）星空电视台组织篮球技能大赛，每名选手都要进行运球、传球、投篮三项比赛，每个选手在各项比赛中获得合格与不合格的机会相等，且互不影响．现有A、B、C、D、E、F六位选手参加比赛，电视台根据比赛成绩对前2名进行表彰奖励．（Ⅰ）求A至少获得一个合格的概率；（Ⅱ）求A与B只有一个受到表彰奖励的概率．9．（2010秋•城厢区校级期中）福建省第14届运动会在妈祖故里莆田举行，在开幕式表演“篮球操”的训练中我校A、B、C三个同学一组进行传球训练，每个同学传给另外两个中的某一个的可能性都相同（Ⅰ）列出从A开始3次传球的所有路径（用A、B、C表示）；（Ⅱ）求从起A开始3次传球后，篮球停在A的概率．10．（2012•北京模拟）甲、乙、丙、丁四个人进行传球练习，每次球从一个人的手中传入其余三个人中的任意一个人的手中．如果由甲开始作第1次传球，经过n次传球后，球仍在甲手中的所有不同的传球种数共有a n种．（如，第一次传球模型分析得a1=0．）（1）求a2，a3的值；（2）写出a n+1与a n的关系式（不必证明），并求a n=f（n）的解析式；（3）求的最大值．11．（2014春•上城区校级期中）包含甲在内的甲、乙、丙3个人练习传球，设传球n次，每人每次只能传一下，首先从甲手中传出，第n次仍传给甲，共有多少种不同的方法？为了解决上述问题，设传球n次，第n次仍传给甲的传球方法种数为a n；设传球n次，第n次不传给甲的传球方法种数为b n．根据以上假设回答下列问题：（1）求出a1，a2，b1的值；（2）根据你的理解写出a n+1与b n的关系式；（3）求a5的值及通项公式a n．12．（2014秋•屯溪区校级月考）现有六名篮球运动员进行传球训练，由甲开始传球（第一次传球是由甲传向其他五名运动员中的一位），若第n次传球后，球传回到甲的不同传球方式的种数记为a n．（1）求出a1、a2的值，并写出a n与a n﹣1（n≥2）的关系式；（2）证明数列是等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；（3）当n≥2时，证明：．参考答案1．（下城区校级期中）三人相互传球，由甲开始发球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方法的种数是（）A．6 B．8 C．10 D．16解：根据题意，做出树状图，第五次要穿的甲的手里，∴第四次时球不能在甲的手中．分析可得，从图中可以看出共有10种不同的传球方式；故答案为：10．2．（甘州区校级期末）如图A、B、C三个同学进行篮球传球训练，若每个同学传给另外两个中的某一个的可能性相同且从A起开始传球，则经过4次传球后篮球仍停在A的概率是．解：画树状图得：则经过4次传球后，球仍回到甲手中的不同传球的方法共有6种，而所有的传球方法共有24=16种，故经过4次传球后篮球仍停在A的概率是=，故答案为．3．（宁海县校级月考）足球场上三个人相互传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过五次传球后，球又回到甲手中，则不同的传球种数有种．解：根据题意，做出树状图，第五次要穿的甲的手里，∴第四次时球不能在甲的手中．分析可得，从图中可以看出共有10种不同的传球方式；故答案为：104．甲、乙、丙、丁各拿一个足球同时进行一次传球，要求每个人可以将球传给另外三人中的任何一人，一次传球后，每个人仍各有一个球的概率为．解：∵甲、乙、丙、丁各拿一个足球同时进行一次传球，要求每个人可以将球传给另外三人中的任何一人，∴一次传球后，基本事件总数n=34，一次传球后，每个人仍各有一个球，包含的基本事件的个数：假设甲先传，由3种传法，假设传给乙，则乙有3种传法，此时丙和丁都只有一种传法，由分步计数原理，得一次传球后，每个人仍各有一个球，包含的基本事件的个数：m=3×3×1×1=9，∴一次传球后，每个人仍各有一个球的概率p==．故答案为：．5．（酉阳县月考）A，B，C，D四名同学在操场上训练传球，球从A手中传出，记为第一次传球．设经过K次传球又传给A，不同的传球方法数为a k经过K+1次传球又传给A，不同的传球方法数为a k+1，运用归纳推理找出a k+1与a k（k∈N+且K≥2）的关系是______ 解：（1）当k=2时，依题意：经过2次传球又传给A，所以由A传出后传给BCD中的任意一个后又传给A，共3种不同的传法，所以a2=3．（2）当k=3时，依题意：经过3次传球又给A，所以用树状图表示为：所以a3=6，因此．（3）当k=4时，依题意：经过4次传球又给A，所以用树状图表示为：所以a4=21，故．因此猜想a k+1与a k（k∈N+且K≥2）的关系是．故答案为．6．n个人互相传球，由甲开始发球，经过m次传球后，球仍回到甲的手中，一共有多少种传法？（m≥2，n≥3）．解：设k（k∈N*）次传给甲的方式有a k种，得a k+1=（n﹣1）k﹣a k，令b k=，得（n﹣1）b k+1+b k=1，变形得，b k+1=（b k﹣），{b k﹣}是公比为的等比数列，∴b k﹣=（），，∴b k﹣=（），∴b k=[（n﹣1）k﹣1﹣（﹣1）k﹣1]，∵[1﹣]，当k=m时，[（n﹣1）m﹣1﹣（﹣1）m﹣1]∴一共有[（n﹣1）m﹣1﹣（﹣1）m﹣1]种传法．7．（安徽一模）甲乙丙丁四个人做传球练习，球首先由甲传出，每个人得到球后都等概率地传给其余三个人之一，设P n表示经过n次传递后球回到甲手中的概率，求：（1）P2之值；（2）P n（以n表示过n次传递后球落在甲的手中）解：（1）经过一次传递后，落在乙丙丁手中的機率分別为，而落在甲手中的概率为0，因此P1=0，两次传递后球落在甲手中的概率为P2=×+×+×=（4分）（2）要想红过n次传递后球落在甲的手中，那么在n﹣1次传递后球一定不在甲手中，所以P n=（1﹣P n﹣1），n=1，2，3，4，…，因此P3=（1﹣P2）=×=，P4=（1﹣P3）=×=，P5=（1﹣P4）=×=，P6=（1﹣P5）=×=，∵P n=（1﹣P n﹣1）∴P n﹣=﹣（P n﹣1﹣）P n﹣=（P1﹣）所以P n=﹣．8．（文登市二模）星空电视台组织篮球技能大赛，每名选手都要进行运球、传球、投篮三项比赛，每个选手在各项比赛中获得合格与不合格的机会相等，且互不影响．现有A、B、C、D、E、F六位选手参加比赛，电视台根据比赛成绩对前2名进行表彰奖励．（Ⅰ）求A至少获得一个合格的概率；（Ⅱ）求A与B只有一个受到表彰奖励的概率．解：（Ⅰ）记A运球，传球，投篮合格分别记为W1，W2，W3，不合格为则A参赛的所有可能的结果为（W1，W2，W3），（），（），（），（），（），（），（）共8种，由上可知A至少获得一个合格对应的可能结果为7种，∴A至少获得一个合格的概率为：（Ⅱ）所有受到表彰奖励可能的结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}共15个，则A与B只有一个受到表彰奖励的结果为{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}共8种则A与B只有一个受到表彰奖励的概率为9．（城厢区校级期中）福建省第14届运动会在妈祖故里莆田举行，在开幕式表演“篮球操”的训练中我校A、B、C三个同学一组进行传球训练，每个同学传给另外两个中的某一个的可能性都相同（Ⅰ）列出从A开始3次传球的所有路径（用A、B、C表示）；（Ⅱ）求从起A开始3次传球后，篮球停在A的概率．解：（Ⅰ）3次传球的所有路径如下：A→B→C→A，A→B→C→B，A→B→A→B，A→B→A→C，A→C→B→A，A→C→B→C，A→C→A→C，A→C→A→B．共8条路径．（Ⅱ）记“3次传球后，停在A点”为事件A，则事件A包含2个基本事件：A→B→C→A，A→C→B→A．∴P（A）=．即3次传球后，停在A点的概率为．10．（北京模拟）甲、乙、丙、丁四个人进行传球练习，每次球从一个人的手中传入其余三个人中的任意一个人的手中．如果由甲开始作第1次传球，经过n次传球后，球仍在甲手中的所有不同的传球种数共有a n种．（如，第一次传球模型分析得a1=0．）（1）求a2，a3的值；（2）写出a n+1与a n的关系式（不必证明），并求a n=f（n）的解析式；（3）求的最大值．解：（1）可画出示意图：可得经过两次传球回到甲手中的所有不同种数为3；经过3次传球回到甲手中的所有不同种数为6．因此可得：得a2=3，a3=6．（2）依题意有a1=0，且a n+1+（n=1，2，3，…）．将a n+1+变形为，从而数列{}是首项为，公比为﹣1的等比数列．∴，可得（n=1，2，3，…）．（3）①当n是偶数时，，为关于n的单调递减函数∴当n是偶数时，随n的增大而减小，从而，当n是偶数时，的最大值是．②当n是奇数时，，为关于n的单调增减函数∴当n是奇数时，随n的增大而增大，且．综上，的最大值是．11．（上城区校级期中）包含甲在内的甲、乙、丙3个人练习传球，设传球n次，每人每次只能传一下，首先从甲手中传出，第n次仍传给甲，共有多少种不同的方法？为了解决上述问题，设传球n次，第n次仍传给甲的传球方法种数为a n；设传球n次，第n次不传给甲的传球方法种数为b n．根据以上假设回答下列问题：（1）求出a1，a2，b1的值；（2）根据你的理解写出a n+1与b n的关系式；（3）求a5的值及通项公式a n．解：（1）根据题意，做出树状图，当n=1时，球不在甲的手中，∴a1=0，同理求出a2=2，b1=2；（2）通过树状图，得a1=0，a2=2，a3=2，a4=6，…；b1=2，b2=2，b3=6，…；归纳、猜想，得出a n+1=b n；（3）根据题意，做出树状图，注意第四次时，球不在甲那里；分析可得，共有10种不同的传递方式；∴a5=10；设经过n次传球后球回到甲手中的传法有a n种．则经过（n﹣1）次传球后球回到甲手中的传法有a n﹣1种．而（n﹣1）次传球一共有2n﹣1次传法，所以经过（n﹣1）次传球后球没有回到甲手中的传法有a n=2n﹣1﹣a n﹣1，∴a2=21﹣a1，a3=22﹣a2=22﹣21+a1，…，∴a n=2n﹣1﹣2n﹣2+2n﹣3﹣2n﹣4+…，∴a n=×2n+×（﹣1）n．12．（屯溪区校级月考）现有六名篮球运动员进行传球训练，由甲开始传球（第一次传球是由甲传向其他五名运动员中的一位），若第n次传球后，球传回到甲的不同传球方式的种数记为a n．（1）求出a1、a2的值，并写出a n与a n﹣1（n≥2）的关系式；（2）证明数列是等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；（3）当n≥2时，证明：．解（1）：a1=0，a2=5，第n﹣1次传球后，不同传球方式种数为5n﹣1，不在甲手中的种数为5n﹣1﹣a n﹣1，∴当n≥2时，…（5分）（2）：由a n=﹣a n﹣1+5n﹣1，得，又，则数列是以为首项，为公比的等比数列．从而，故．…（9分）（3）证明：当n（n≥3）为奇数时，则n﹣1为偶数，==＜6•==＜==当n（n≥2）为偶数时，则n+1为奇数，从而综上，当n≥2时，．。