(整理)傅立叶积分变换.
傅里叶变换总结
。
把上式积分中的 x 换成复变数 z(z=x+iy),即得复平面上定义的函数 F(z)：
。
(12)
可以证明 F（z）是复平面上的解析函数。此外,由于ƒ∈l2(-σ,σ)，可得估计
这就是说,(12)定义的 F(z)是一个指数σ型的整函数。下面的佩利-维纳定理则说明逆命 题也成立： 设σ>0,F(x∈l2(-∞,∞),那么 F(x)为 l2(-∞,∞)中以(－σ，σ)为支集的 某函数ƒ(t)的傅里叶变换的充分且必要的条件是，F(x)为指数σ型整函数 F(x+iy)在 x 轴上 的限制。
多元傅里叶变换 设
为 m 维欧几里得空间 Rm上的 l 可积函数,
即ƒ∈l(Rm),那么称函数
为ƒ的傅里叶变换,记作弮(x)。假如ƒ(x∈l2(Rm),那么同样可以证明，“截断”积分
，
当 K 趋 于 无 穷 时 ， 函 数
。F(x)就称为ƒ的傅里叶变换。类似于一元的情形， 成立着普朗歇尔定理。
。
(9)
上式称为弮(u)的傅里叶逆变换。例如
的傅里叶变换弮(u)等于
;而弮(u)的傅里叶逆变换是
。 L2（－∞,∞）中函数的傅里叶变换
对于ƒ(x∈l2(-∞,∞)，(8)中积分未必收敛，由
(8)定义的傅里叶变换可能不存在。因此,对由(8)定义的傅里叶变换需要从另一种意义上去 理解。可以证明，函数
，
佩利维纳定理假如?l并且?x0x那么?的傅里叶变换把上式积分中的x换成复变数zzxiy即得复平面上定义的函数fz
傅里叶变换 参考文献 E.M.Stein and G.Weiss,Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces,Princeton Univ.Press,Princeton,1971.
傅里叶积分变换
e jt0
f (u) e ju du
F e jt0 f (t)
返回
第六章 傅氏变换
前进
同样，傅氏逆变换具有类似的位移性质，即
F -1 F ( 0 ) f (t)e j0t
（4）
这表明频谱函数
F
(
)
沿
轴向左向右位移
的傅氏
0
变换等于f(t)的傅氐变换乘以因子 e j0t或 e j0t 。
lim
0
(t) f
(t)dt
lim
0
(t) f (t)dt
lim 1 f (t)dt f (0)
0 0
更一般地有
(t
t0 ) f (t)dt
f (t0 )
返回
第六章 傅氏变换
前进
c. 单位脉冲函数的傅氏变换F() F (t) 1
证明
F() F (t)
(t) e-jtd e j t 1
傅氏变换和频谱概念有着非常密切的关系，
这里只简单地介绍一下非周期函数频谱的基本 概念。
在频谱分析中，当非周期函数f(t)满足傅氏 积分定理中的条件时，将f(t)的傅氏变换F(ω)称 为f(t)的频谱函数，而频谱函数的模|F(ω)|称为 f(t)的振幅频谱（亦简称为频谱）。
对一个时间函数作傅氏变换，就可求出这
(t
)dt
1
j
F f (t)
（8）
证 因为
d
t
f (t)dt f (t)
dt
所以
F
d dt
t
f
(t)dt
F
f
(t)
根据微分性质：F
d
dt
t
f
(t)dt
傅立叶积分变换
cos nt
e
int
e 2
int
, sin nt
e
int
e 2i
int
5
级数化为： a0 e int e int e int e int an bn 2 n 1 2 2i a0 a n ibn int a n ibn int e e 2 n 1 2 2
n
f (t 4n),
2 2 n , n n T 4 2 2
f4(t)
1
T=4
1
3
t
11
则
1 L jn t cn fT (t )e dt 2L L 1 2 1 1 jnt jn t f 4 (t )e dt e dt 4 2 4 1 1 1 1 jn t jn jn e e e 4 jn 4 j n 1 1 sin n 1 sinc(n ) (n 0, 1, 2, ) 2 n 2
傅立叶积分变换
Recall: 周期函数在一定条件下可以展开为Fourier级数； 但全直线上的非周期函数不能有Fourier表示；
数学物理方法_傅里叶积分变换
sin ntdt (利用正交性)
2
[ak
cos kt sin ntdt bk
sin kt sin ntdt] bn,
k 1
则
1
bn
f (t)sin ntdt
(n 1,2,3,).
得到了现今教科书中的所谓狄利克雷判定准则.
周期函数,并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:
1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;
2) 在一个周期内只有有限个极值点,
则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有
a0
2
n1
an
cos nt
bn
sin nt
注意: 函数展成 傅里叶级数的条 件比展成幂级数 的条件低得多.
0
同理可证 : sin kt sin nt dt 0
(k n )
但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在
上的积分不等于 0 . 且有
11d t 2
cos2 nt dt
sin2 nt dt
cos2 nt 1 cos 2nt , sin2 nt 1 cos 2nt
0
(n 1, 2,
)
代入傅里叶系数的三角级数称为傅里叶级数
a0
2
n1
(an
cos nt
bn
sin
nt)
在什么条件下函数可以展开成傅里叶级数?
f (t) 条件?
a0 2
(an cos nt bn sin nt)
5-2傅立叶积分变换
(因为k
l
)
1 [
f ( ) cos d ]cosxd
0
A() cosxd 0
同理：
lim
l
k 1
bk
sin
k
x
lim
l
k 1
[1 l
l l
f ( ) sin k d ]sin k x
1 [
f ( ) sin d ]sin xd
0
B() sin xd 0
综上可得：在 l 时，
|
f
(x) |2dx
2
| F () |2 d 2
1 (1)2d
1 2
例题（选学）：以平衡位置为零点，建坐标系.初始值为 x0 ，初速 v 0 .
① 求解振动问题 ② 让整个箱子自由下落，求解振动问题
解：① mx kx x 2x 0
(0
k) m
则
x Asin(0t ),
由初始条件求得
6. 积分定理：如果 f (x) 在 (, ) 上满足： lim
x
f (x)dx 0 ，则有
x -
Y [ x f (x)dx] 1 F ()
i
（若 lim x f (x)dx 0 ，则Y [ x f (x)dx] 1 F () F (0) () ）
x -
i
此为初稿，问题很多，请读者注意甄别
A
x0 ，
2
.
整个箱子自由下落，表示弹簧振子处于一个非惯性系中，应
受到惯性力 f ma mg ，由此得到运动方程：
mx kx mg ，
此为初稿，问题很多，请读者注意甄别
数学物理方法
傅立叶积分变换
丁成祥
即：
复变函数与积分变换-第七章-傅里叶变换
2
1
2
2d
0 ejt d
ejt
0
ej0t
.
即ej0t 和2d 0 构成了一个傅氏变换对。
由上面两个函数的变换可得
e jt dt 2d
1
2
f ( )cos(t )d
j
f
(
) sin
(t
)d
d
因 f ( )sin(t )d 是ω的奇函数， f cos t d是 的偶函数,
定义
d
t
lim
0
d
t
0
t 0。 t 0
O
d t dt
lim 0
d t dt
lim 0
1 dt
0
1
（在极限与积分可交换意义下）
工程上将d-函数称为单位脉冲函数。
22
d -函数的筛选性质：
若f(t)为无限次可微的函数,则有
2 3
19
3.单位脉冲函数及其傅里叶积分变换
在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在电学中, 要 研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电 流; 在力学中, 要研究机械系统受冲击力作用后的运 动情况等. 研究此类问题就会产生我们要介绍的单位 脉冲函数.
从 f t 1
2
f
复变函数第1节 傅氏积分,傅氏变换
解. 由Fourier变换的定义
F (w) F [ f (t)] f (t) e-iw td t -
1 e-iw t d t e-iwt 1 2sinw
-1
-iw -1
w
再求F(w)的Fourier逆变换即得 f(t)的积分表达式,
f (t) F -1[F (w)] 1 F (w) eiwtd w
1
1/2
t
二、单位脉冲函数及其傅氏变换
在物理学和工程技术中，除了连续分布量之外， 还有集中作用在一点的量. 例如，点电荷、点热源、 质点、单位脉冲等. 下面分析在原点处的单位脉冲.
设矩形电流脉冲：
(t
)
1
/
0
0t
其它
- (t)dt 1
(t)
1/
O
t
lim
0
(
t
)
0
t 0 t 0
引进狄拉克(Dirac)的函数,
i
-
f
( ) sin w(t
-
)d
dw
1
2p
-
-
f
(
)
cos w (t
-
)
d
d
w
(1.5)
由
f (t) 1
2p
-
-
f
(
)
cos w (t
-
)
d
d
w
(1.5)
可得
f (t) 1
p
0
-
f ( ) cosw(t
-
)
d
d
w
(1.6)
傅氏积分公式的三角形式
-
)
d
d
傅里叶积分变换
§ 6.2 傅立叶（Fourier）积分变换
1.傅里叶积分变换的概念
2.单位脉冲函数
复变函数与积分变换
© 2009, Henan Polytechnic University
11 September 2018
13 13 目录
课程
第六章傅里叶积分变换
1. Fourier积分变换及逆变换
定义：
频谱函数
F ( w )e iwt dw ,
傅里叶积分公式三角结 构：
f ( x )e iwx dx e iwt dw为傅里叶积分公式 .
0
f ( x ) cos w( t x )dx dw .
1 1 iwx iwt iw ( t x ) dw f (t ) f ( x ) e dx e dw f ( x ) e dx 2 2 1 i dw . f ( x ) cos w ( t x ) dx dw f ( x ) sin w ( t x ) dx 2 2
n 设wn ,将系数代入得： l
整理后得复数形式的傅里叶级数：
f ( x)
iwn x ( c e n )
n -
1 其中： cn 2l
l
l
f ( )e iwn d（n 2,1,0,1,2） .
复变函数与积分变换
© 2009, Henan Polytechnic University
e 2 e 2i
i
d , d .
7 7 目录
傅里叶积分和变换
C() 称为 f (x) 的振幅谱，() 称为 f (x) 的相位谱。可
以对应于物理现象中波动（或振动）。
数学物理方法
同傅里叶级数的情形类似，奇函数 f (x) 的傅里叶积分是傅
里叶正弦积分，
f (x) 0 B() sin xd
B()是 f (x) 的傅里叶正弦变换，
（5.2.6）
B()
2
0
f
( )sin d
( 0) ( 0)
数学物理方法
将(5.2.5)代入上式，可以证明，无论 0 还是 0 ，
F () 1 f (x)[eix ]*dx 2π
(5.2.13)
（ 5.2.12 ） 是 f (x) 的 复 数 形 式 的 傅 里 叶 积 分 表 示 式 ，
（5.2.13）则是 f (x) 的傅里叶变换式。这两个式子还可以
i
证明：
(x)
记 f ( )d (x) ，则
'(x) f (x) ，对于(x) 应用导数定理有
F[ '(x)] iF((x))
即： F[
(x)
f ( )d ]
1
F[f (x)]= F()
i
i
导数定理和积分定理很重要，原函数的求导和积分运
算，通过傅里叶变换后，变成了像函数的代数运算。
数学物理方法
2
eix0 F ()
数学物理方法
（5）位移定理 F[ei0x f (x)] F ( 0 )
证明：
F[ei0x
f
(x0 )]
1
2
ei0x f (x)eixdx
1 f (x)ei(0 )xdx
2
F( 0 )
数学物理方法
(整理)希尔伯特变换与傅立叶变换
在数学与信号处理的领域中，一个实数值函数的希尔伯特转换(Hilbert transform)——在此标示为——是将信号与做卷积，以得到。
因此，希尔伯特转换结果可以被解读为输入是的线性非时变系统(linear time invariant system)的输出，而此一系统的脉冲响应为。
这是一项有用的数学，用在描述一个以实数值载波做调制的信号之复数包络(complex envelope)，出现在通讯理论（应用方面的详述请见下文。
）希尔伯特转换是以著名数学家大卫·希尔伯特(David Hilbert)来命名。
希尔伯特转换定义如下：其中并考虑此积分为柯西主值(Cauchy principal value)，其避免掉在以及等处的奇点。
另外要指出的是：若，则可被定义，且属于；其中。
频率响应希尔伯特转换之频率响应由傅立叶变换给出：,其中∙是傅立叶变换，∙i (有时写作j )是虚数单位，∙是角频率，以及∙即为符号函数。
既然：,希尔伯特转换会将负频率成分偏移+90°，而正频率成分偏移−90°。
反（逆）希尔伯特转换我们也注意到：。
因此将上面方程式乘上，可得到：从中，可以看出反（逆）希尔伯特转换傅里叶变换（Fourier变换）是一种线性的积分变换。
因其基本思想首先由法国学者约瑟夫·傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。
傅里叶变换在物理学、声学、光学、结构动力学、量子力学、数论、组合数学、概率论、统计学、信号处理、密码学、海洋学、通讯、金融等领域都有着广泛的应用。
例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成振幅分量和频率分量。
∙傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。
在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。
最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的[1]。
大学物理-傅里叶积分变换
设想周期函数的周期 2l 不断增大而趋于无穷，即自 变量每增长无穷，函数才变化一次，当自变量增长为有 限值时，函数并不重复变化，此时它已经转化为非周期 函数。这样，可以把符合一定条件的非周期函数展开成 傅里叶积分。
可以证明： 如果定义在 (–, ) 的函数在任一有限区间上满足
说明：(1) 原函数存在积分运算，像函数中无积分运算；
(2) 积分运算
代数运算 (除法运算)。
证明：令
即 同理，有
，则 g' (x) = f (x)。于是
后 面 的 例 题 会 用 到
)
(
7. 卷积定理
说明： (1) 卷积 f1 (x) * f2 (x) 的定义为
(2) 原函数存在卷积运算
像函数间的普通乘积
3. 积分变换法求解数理方程的基本思想 如果不方便从原函数的方程直接求解，那么可能找
到适当的积分变换，把问题变换成比较简单的求像函数 的定解问题，再通过逆变换把求得的像函数变换成原函 数，从而得到所要求的解。
从物理上讲，经过积分变换后，自变量定义域的类 别也发生了变化。
例：
时间域 t 空间域 r
频率域
U (k, t) (k)ek2a2t t C(k, )ek2a2 (t )d 0
(3) 作像函数的傅里叶逆变换 (10-1-19)
由卷积定理，有
F[ f1(x) f2(x)] F[ f1(x)]F[ f2(x)] f1(k) f2(k)
取上式的傅里叶逆变换，得到 F1[ f1(k) f2 (k)] f1(x) f2 (x) F1[ f1(k)]F1[ f2(k)]
(1 x 1) ( x 1)
x
傅里叶积分变换性质
傅里叶积分变换性质
傅里叶积分变换(Fourier integral transform，FIT)是一种重要的数学变换，它可以
将复杂的数学函数拆分为由实部和虚部构成的复数函数，它把时间域中信号变换到频域中，从而为我们提供了一种非常强大的数学工具，用于分析数学问题。
傅里叶积分变换基本性质包括幅度和相位变换，它们都是分析复杂信号的基本方法，幅度变换可以将信号变换到频域，而相位变换则将时间域的图形变换到频域的形式，以提取不同频率的信号。
这是因为傅里叶定理指出，任何正弦波都可以由多个单一频率的正弦和余弦波的和解析出来，综合这些元素形成一个复杂的信号。
傅里叶积分变换具有许多特殊的优点。
首先，它可以极大地减少计算量，并且可以非常精确地变换一种复杂的数学函数。
其次，傅里叶积分变换也可以被用来分析“抗锯齿”(antialiasing)过程中使用的低通滤波器，用于优化传播信号中最大信号强
度和最小噪声强度之间的比值。
最后，傅里叶积分变换可以在多维空间中表示许多非常强大的信号处理函数，它们可以准确地重建不同的模式。
因此，傅里叶积分变换是一种非常有用的数学变换，它在多维数学函数，信号模式分析，信号滤波，计算概率等方面都有广泛应用。
它使我们能够准确地分析复杂信号，从而使我们在涉及分析数学问题时更加有效，从而为我们分析问题提供了更多的帮助。
傅里叶积分变换
例1
求指数衰减函数函数
f
(t)
0, Biblioteka t0e t , t 0
的傅氏变换及其积分表达式，其中β>0。
解：根据（2）式，傅氏变换为
F() F f (t) f (t)e j t dt
0 f (t)e j t dt f (t)e j t dt
0
e t ej t dt
0
0
e ( j )t dt
1 j j 2 2
通过傅氏逆变换，可求得指数衰减函数的积分表达 式。由（3）式，并利用奇偶数的积分性质，可得
f (t) F 1 F ()
1
F (
)e
j
t
d
2
1 j e j td
2 2 2
1
(
j )(cost j sin t)d
2 2 2 2 2
（2） f(t)在无限区间(-∞,+∞)上绝对可积（即积分
f (t) dt 收敛），则有
f (t) 1
2
f
(τ
)ej dτ
e j t d
（1）
成立，而左端的f(t)在它的间断点t处，应以
f (t 0) f (t 0) 来代替。 2
2．傅氏变换的概念
若函数f(t)满足傅氏积分定理中的条件，则在f(t) 的连续点处，式（1）
例5 作出图1-8中所示的单个矩形脉冲的频谱图。 图1-8
1
2
,
2
,t 0; t 0;
0, 1,
t 0; t 0;
这表明 1 j
() 的傅氏逆变换为u(t) 。u(t)
和 1 ()构成了一个傅氏变换对。同时得到 j
单位阶跃函数u(t)的一个积分表达式
傅里叶积分与变换
ˆ ˆ (ω ) = F[ f (ω )] = 2π f ( −t ) ˆ 称f 为 傅氏 对称公式
两个傅里叶变换对 ⎧ f (t ) ↔ fˆ (ω ) ⎪ ⎨ ⎪ fˆ (t ) ↔ 2π f ( −ω ) (由 对称公式 ) ⎩
例 题 2：
(1).求 矩 形 脉 冲 函 数 的 傅 氏 变 换 ⎧1, | t |≤ a , ( a为 正 常 数 ) f (t ) = ⎨ ⎩ 0, | t |> a (2).用 傅 氏 积 分 公 式 证 明
由 傅 氏 积 分 定 理 有 +∞ 1 −1 ˆ ( ω ) e jω t d ω ˆ (ω ) ] = F [ f ∫−∞ f 2π + ∞ β − jω 1 jω t = ∫−∞ β 2 + ω 2 e d ω 2π
=
∫ π
1
+∞
0
β cos ω t + ω sin ω t dω 2 2 β +ω
jω t
dω
ˆ (3).f (t )称为象原函数,f (ω )称为象函数
(4).在不考虑间断点的取值时,f (t )与 ˆ f (ω )在傅里叶变换下是一一对应的, ˆ 称f (t )与f (ω )构成一个傅里叶变换对,
ˆ (ω) 记为 f (t ) ↔ f
注：
(1).积分定理中出现f (t )的广义积分, 均按照柯西主值意义下取值,即
∞
a0 ∞ ⎛ nπ t nπ t ⎞ + bn sin f (t ) = + ∑ ⎜ an cos ⎟ l l ⎠ 2 n=1 ⎝ 1 l 其中系数a0 = ∫ f (τ )dτ , l −l
(1.1)
1 l nπτ 对n = 1,2,L，an = ∫ f (τ )cos dτ , l −l l
积分变换主要公式
一、傅里叶变换1、傅里叶积分存在定理：设()f t 定义在(),-∞+∞内满足条件：1）()f t 在任一有限区间上满足狄氏条件； 2）()f t 在(),-∞+∞上绝对可积（即()f t dt +∞-∞⎰收敛；则傅氏积分公式存在，且有()()()()()(),1[]11002,2iw iwt f t t f t f e d e dw f t f t t f t τττπ+∞+∞--∞-∞⎧⎪=-⎨++-⎪⎩⎰⎰是的连续点是的第一类间断点2、傅里叶变换定义式：()[]()()iwt F f t F w f t e dt +∞--∞==⎰ 1-2 傅里叶逆变换定义式：()11[]()()2iwt F F w f t F w e dw π+∞--∞==⎰1-33、常用函数的傅里叶变换公式()1()FFf t F ω-−−→←−− 矩形脉冲函数1,22()sin 20,2F F E t E f t t ττωτω-⎧≤⎪⎪−−→=⎨←−−⎪>⎪⎩1-4 单边指数衰减函数()()1,0110,0tFFe t e t F e t iw j t βββω--⎧≥−−→=⇒=⎡⎤⎨←−−⎣⎦++<⎩ 1-5 单位脉冲函数 ()11FF t δ-−−→←−− 1-6 单位阶跃函数 ()()11FFu t w iwπδ-−−→+←−− 1-7 ()112F Fw πδ-−−→←−− 1-8 ()12F Ft j πδω-−−→'←−− 1-9 ()0102F j t Fe ωπδωω-−−→-←−− 1-10 ()()1000cos F Ft ωπδωωδωω-−−→++-⎡⎤←−−⎣⎦1-11 ()()1000sin F Ft j ωπδωωδωω-−−→+--⎡⎤←−−⎣⎦1-12 4、傅里叶变换的性质设()()[]F f t F w =， ()()[]i i F f t F w =（1）线性性：()()1121()()FFf t f t F F αβαωβω-−−→++←−− 1-13 （2）位移性：()()010Fj t Ff t t e F ωω--−−→-←−− 1-14 ()010()F j t Fe f t F ωωω-−−→-←−− 1-15 （3）微分性：()1()FFf t j F ωω-−−→'←−− 1-16 ()()()1()Fnn Ff t j F ωω-−−→←−− 1-17 ()()1()FFjt f t F ω-−−→'-←−− 1-18 ()()()()1()Fn n Fjt f t F ω-−−→-←−− 1-19 （4）积分性：()11()tFFf t dt F j ωω--∞−−→←−−⎰ 1-20 （5）相似性：11()FFf at F a a ω-⎛⎫−−→←−− ⎪⎝⎭1-21 （6）对称性：()1()2FFF t f πω-−−→-←−− 1-22 上面性质写成变换式如下面：（1）线性性：[]1212()()()()F f t f t F w F w αβαβ⋅+⋅=⋅+⋅ 1-13-1[]11212()()()()F F w F w f t f t αβαβ-⋅+⋅=⋅+⋅（,αβ是常数）1-13-2（2）位移性：[]0()F f t t -=()0iwt e F w - 1-14()000()()iw tw w w F e f t F w F w w =-⎡⎤==-⎣⎦ 1-15（3）微分性：设+∞→t 时,0→)t (f , 则有[]()()()()[]()F f t iw F f t iw F w '== 1-16()()()()()[]()nn n F f t iw F f t iw F w ⎡⎤==⎣⎦1-17 []()()dF tf t jF w dw= 1-18 ()()nnnn d F t f t j F w dw ⎡⎤=⎣⎦ 1-19（4）积分性：()()t F w F f t dt iw-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰ 1-20（5）相似性：[]1()()wF f at F a a=1-21-1 翻转性:1=a 时()()w F t f F -=-][ 1-21-2 （6）对称性:设 ()()w F t f −→←，则()()w f t F π2−→←- 或 ()()2F t f w π←−→- 1-225、卷积公式 ：)()(21t f t f *=τττd t f f )()(21-⎰+∞∞-。
复变函数与积分变换-第七章-傅里叶变换
t e intdt n
0,1,2,L
这就是Fourier级数的复指数形式，或者写为
6
接下来讨论非周期函数的展开问题。
任何一个非周期函数 f (t) 都可以看成是由某个 周期函数 fT(t) 当T时转化而来的。
作周期为T 的函数 fT (t), 使其在[T/2,T/2]之内 等于 f (t), 在[T/2,T/2]之外按周期T 延拓到整个数轴 上, 则T 越大, fT (t)与 f (t) 相等的范围也越大, 这就说 明当T时, 周期函数 fT(t) 便可转化为 f (t), 即有
1
2
f ( )cos(t )d
j
f
(
) sin
(t
)d
d
因 f ( )sin(t )d 是ω的奇函数， f cos t d是 的偶函数,
1 F eitd 称为F 的Fourier逆变换，
2
n-1n
又 (n )
1
2
f
(
)e jn
d
e jnt
f
(t
)
lim
n 0
n
T
(n
)n
(n ) d n
( )d
最后可得：
f (t) 1
2
an
2 T
T2
T 2 fT t cosntdt
bn
2 T
T2
T 2 fT t sinntdt
在间断点t 处成立：
傅立叶积分变换
第一章 傅里叶积分变换所谓积分变换，实际上就是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的一种 变换.这类积分一般要含有参变量，具体形式可写为：()()ττF dt t f t k ba−−→−⎰记为),( 这里()t f 是要变换的函数，称为原像函数；()τF 是变换后的函数，称为像函数；()τ,t k 是一个二元函数，称为积分变换核 .数学中经常利用某种运算先把复杂问题变为比较简单的问题，求解后，再求其逆运算就可得到原问题的解. 如，初等数学中，曾经利用取对数将数的积、商运算化为较简单的和、差运算； 再如，高等数学中的代数变换，解析几何中的坐标变换，复变函数中的保角变换， 其解决问题的思路都属于这种情况.基于这种思想，便产生了积分变换.其主要体现在： 数学上：求解方程的重要工具； 能实现卷积与普通乘积之间的互相转化. 工程上：是频谱分析、信号分析、线性系统分析的重要工具.1．傅里叶级数的指数形式在《高等数学》中有下列定理：定理1.1 设()t f T 是以()0T T <<∞为周期的实函数，且在,22T T ⎛⎫-⎪⎝⎭上满足狄利克雷条件，即()t f T 在一个周期上满足：（1）连续或只有有限个第一类间断点； （2）只有有限个极值点. 则在连续点处，有()()∑∞=++=10sin cos 2n n n T t n b t n a a t f ωω (1)其中()dt t f T a TT T ⎰-=2201,()() ,2,1cos 122==⎰-n tdt n t f T a TT T n ω,()() .2,1sin 122==⎰-n tdt n t f T b T T T n ω,在间断点0t 处，(1)式右端级数收敛于()()20000-++t f t f T T .又2cos φφφi i e e -+=,ie e i i 2sin φφφ--=,.于是()∑∞=--⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++=10222n t in t in nt in t in n T i e e b e e a a t f ωωωω∑∞=-⎪⎭⎫⎝⎛++-+=10222n t in n n t in n n e ib a e ib a a ωω 令,200a c =2n nn ib a c -=, 2n n n ib a c +=-, ,,3,2,1 -n 则 ()∑∞-∞==n tin nT ec t f ω()()2201212i t i t in t i t i t in t n n c c e c e c e c e c e c e ωωωωωω------=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅(2)(2）式称为傅里叶级数的复指数形式，具有明显的物理意义. 容易证明n c 可以合写成一个式子 ,即()() ,2,1,0122±±==--⎰n dt e t f T c t in TT T n ω. (3)2．傅里叶积分任何一个非周期函数 ()t f , 都可看成是由某个周期函数()t f T 当T →+∞时转化而来的. 即()t f T T ∞→=lim ()t f =.由公式(2) 、(3)得()()t in n TT in T T e d e f T t f ωωτττ∑⎰∞-∞=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=221,可知()()t in n TT in T T e d e f T t f ωωτττ∑⎰∞-∞=--+∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡=221lim , 令1,--=∆=n n n n n ωωωωω,则T πω2=或nT ωπ∆=2 .于是()()t i n TT i TT n n e d e f T t f ωτωττ∑⎰∞-∞=--+∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡=221lim ()n t i n T T i T n n n e d e f ωττπωτωω∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑⎰∞-∞=--→∆22021lim , 令()()t i i TT T n T n n e d e f ωτωττπωφ][2122--⎰=,故()t f ()nn nTn ωωφω∆=∑∞-∞=→∆0lim. (4)注意到当,0→∆n ω即∞→T 时,()()t i i n n T n n e d e f ωτωττπωφωφ][21)(-+∞∞-⎰=→. 从而按照积分的定义，（4）可以写为：()t f ()⎰+∞∞-=ωωφd ，或者()()ωττπωωτd e d e f t f t i i ⎰⎰+∞∞-+∞∞--=][21. (5)公式（5）称为函数()t f 的傅氏积分公式.定理1.2 若()t f 在(-∞, +∞)上满足条件:(1) ()t f 在任一有限区间上满足狄氏条件; (2) ()t f 在无限区间(-∞, +∞)上绝对可积,即()dt t f ⎰+∞∞-收敛, 则（5）在()t f 的连续点成里; 而在()t f 的间断点0t 处应以()()20000-++t f t f 来代替.上述定理称为傅氏积分定理. 可以证明，当()t f 满足傅氏积分定理条件时，公式(5) 可以写为三角形式，即()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-++=-⎰⎰∞+∞+∞-.,200,]cos [1其它连续点处，在t f t f t f t f d d t f ωττωτπ(6)上一节介绍了：当()t f 满足一定条件时，在()t f 的连续点处有：()()ωττπωωτd e d e f t f t i i ⎰⎰+∞∞-+∞∞--=][21.从上式出发，设()()dt e t f F t i ωω-+∞∞-⎰= (1)则()t f ()ωωπωd e F t i ⎰+∞∞-=21 (2)称(1)式，即()()dt e t f F t i ωω-+∞∞-⎰=为()t f 的傅里叶变换简称傅氏变换,记为()=ωF F ()}{t f .称(2)式，即()t f ()ωωπωd e F t i ⎰+∞∞-=21为傅里叶逆变换简称傅氏逆变换,记为()t f =F 1-[()t f ].(1)式和(2)式，定义了一个变换对()ωF 和()t f 也称()ωF 为()t f 的像函数；()t f 为的原像函数 ,还可以将()t f 和()ωF 用箭头连接: ()t f ↔()ωF .例 1 求函数()t f ⎩⎨⎧≥<=-0,0,0t e t t β的傅氏变换及其积分表达式其中 0>β.这个函数称为指数衰减函数,在工程中常遇到.解:根据定义, 有()()dt e t f F t i ωω-+∞∞-⎰==dt e e t i t ωβ-+∞-⎰0=dt e t i ⎰+∞+-0)(ωβ=ωβi +1=22ωβωβ+-i . 这就是指数衰减函数的傅氏变换.根据积分表达式的定义,有()t f ()ωωπωd e F t i ⎰+∞∞-=21ωωβωβπωd e i ti ⎰+∞∞-+-=2221注意到t t eti ωωωsin cos +=， 上式可得()t f ()ωωωωβωβπd t i t i sin cos 2122++-=⎰+∞∞-=ωωβωωβπd tt ⎰+∞++022sin cos 1. 因此⎪⎩⎪⎨⎧>=<=++-∞+⎰.0,,0,2,0,0sin cos 022t e t t d t t t βππωωβωωβ 例2 求()t f =2tAeβ-的傅氏变换其中 0,>βA ---钟形脉冲函数.解: 根据定义, 有()()dt et f F ti ωω-+∞∞-⎰==dt e Ae t i t ωβ-+∞∞--⎰2,=βω42-Aedt Aei t ⎰∞+∞-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22βωββωβπ42-=Ae .这里利用了以下 结果：()02>=⎰∞+∞--βωπβdx e x . 2．傅里叶变换的物理意义如果仔细分析周期函数和非周期函数的傅氏积分表达式()∑∞-∞==n t in n T e c t f ω,()t f ()ωωπωd e F t i ⎰+∞∞-=21,以及n c 和()ωF 的表达式()() ,2,1,0122±±==--⎰n dt e t f T c tin TT T n ω,()()dt e t f F t i ωω-+∞∞-⎰=,由此引出以下术语： 在频谱分析中, 傅氏变换()ωF 又称为()t f 的频谱函数, 而它的模()||ωF 称为()t f 的振幅频谱(亦简称为谱). 由于ω是连续变化的, 我们称之为连续频谱,因此对一个时间函数作傅氏变换, 就是求这个时间函数的频谱. 显然，振幅函数()||ωF 是角频率ω的偶函数, 即()||ωF ()||ω-=F ,()||ωF 的辐角()ωF arg 称为相角频谱, 显然()ωF arg ()()⎰⎰∞+∞-+∞∞-=tdtt f tdt t f ωωcos sin arctan ,相角频谱()ωF arg 是ω的奇函数.例3 求单个矩形脉冲函数()t f =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤,2,0,2,a t a t E 的频谱图.解：()()dt e t f F t i ωω-+∞∞-⎰=dte E t i a a ω--⎰=222sin222ωωωωa Ea a e i E ti =--, 频谱为()||ωF =|2sin2|ωωa E. 请画出其频谱图.以上术语初步揭示了傅氏变换在频谱分析中的应用，更深入详细的理论会在有关专业课中详细介绍！在物理和工程技术中, 有许多物理、力学现象具有脉冲性质. 它反映出除了连续分布的量以外，还有集中于一点或一瞬时的量，例如冲力、脉冲电压、点电荷、质点的质量等等. 研究此类问题需要引入一个新的函数，把这种集中的量与连续分布的量来统一处理。
傅里叶变换
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18 19 20 21
a>0 变换本身就是一个公式 J0(t) 是0阶第一类贝塞尔函数。 上一个变换的推广形式; Tn (t) 是第一类切比雪夫多项式。
22
变换8的频域对应。
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角频率表 时域信 示的 号 傅里叶变 换
弧频率表 示的 傅里叶变 换
注释
10 11 12 13 14 15 16 17
矩形脉冲和归一化的sinc函数 变换10的频域对应。矩形函数是理想的低通滤波器，sinc函数是这类滤波 器对反因果冲击的响应。 tri 是三角形函数 变换12的频域对应 高斯函数 exp( − αt2) 的傅里叶变换是他本身. 只有当 Re(α) > 0时，这是可 积的。 光学领域应用较多
傅里叶变换族 拉普拉斯轉換 Z轉換 傅里叶级数 傅里叶变换 连续傅里叶变换 離散傅立葉級數 离散时间傅里叶变换 离散傅里叶变换 快速傅里叶变换 分數傅立葉轉換 短時距傅立葉轉換 小波分析 離散小波轉換
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号
傅里叶变 换
傅里叶变 换
1 2 3 4 5 6 7 8 9
平方可积函数
线性 时域平移 频域平移, 变换2的频域对应 如果 值较大，则 会收缩到原点附近，而 会扩散并变得扁 得到.
傅里叶级数与傅里叶变换
傅里叶级数与傅里叶积分变换整理1 基本概念首先理清下面的概念：三角函数形式傅里叶级数（系数含1/T ）三角函数形式傅里叶级数改写为复指数形式傅里叶级数（系数含1/T ） 复指数形式傅里叶积分，系数1/T 变为1/(2π)三角函数形式傅里叶积分(将复指数核函数改写为三角函数形式，利用奇偶性变为余弦核函数).复指数形式傅里叶积分与更一般的积分变换：象函数，象原函数和核2 基本公式和变换过程欧拉公式，是连接复指数和三角函数，频域和时域的桥梁cos()sin()i e t i t ωωω=+三角函数改写为复指数形式：cos 2i i e e θθθ-+=，sin 2i i e e i θθθ--=2.1 三角函数形式的傅里叶级数“级数”就是对数列求和。
三角函数形式傅里叶级数, 系数1/T复指数形式傅里叶级数, 系数1/T复指数形式傅里叶积分, 系数1/(2π)上述四种形式都包括了傅里叶正变换和逆变换的过程 f (t ) = F -1 ( F ( f (t ) ) )更一般的积分变换形式三角函数形式傅里叶积分, 系数1/(2π)01()(cos sin )2T n n n a f x a n x b n x ωω∞==++∑其中/20/2/2/2/2/222()2()cos 2()sin T T T T n T T T n T TT a f x dx T a f x n xdx T b f x n xdx T πωωω---====⎰⎰⎰注意这里的系数含1/T2.2 复指数形式的傅里叶级数我们可以把三角函数形式的傅里叶级数改写为复指数形式，最后甚至合并成一个简单的式子：0101011/2000/2/2/2()()222()2221()21()cos ()sin 2n n in x in x in x in xT n n n in x in x n n n n n i xi x n n n n T i x T T T n n n T T T T a e e e e f x a b i a a ib a ib e e c c ec e a c f x e dx T a ib c f x n dx i f x n dx T ωωωωωωωωωω--∞=∞-=∞∞-==-⋅⋅---+-=++-+=++=++==-==-∑∑∑∑⎰⎰，其中/2/2/2/2/2/21()1()2()n T T i n xT T T i n xn n n T T i xT n f x e dx T a ib c f x e dx T f x c e ωωω-⋅⋅-⋅⋅--∞-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦+===⎰⎰⎰∑最后其中/2/21()n T i xn T Tc f x e dx T ω--=⎰，n n ωω= 即/2/21()()n n T i xi x T T T f x f x e dx e T ωω∞--∞-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑⎰2.3 复指数形式的傅里叶积分要知道傅里叶级数最初是用于周期函数的。
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n
T
2 T
2
fT
ein d eint
lim 1 2 n 0
n
T
2 T
2
fT
ein d eintn ,
令
T n
1 2
[
T
2 T
2
fT
ein d ]eint
,
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故
f
t
lim
n 0
T
n
n
n .
(4)
注意到当 n 0, 即T 时,
T
(n )
n
即
f tdt 收敛,
则（5）在
f t 的连续点成里;
而在
f t 的间断点 t0 处
应以 f t0 0 f t0 0 来代替.
2
上述定理称为傅氏积分定理. 可以证明，当 f t 满足傅氏积分定理条件时，公式(5)
可以写为三角形式，即
f t, 在f t连续点处，
1
[ f 0
cost
d ]d
an
n 1
cos nt
bn sin nt
(1)
其中
a0
1 T
T
2 T
fT
2
t dt ,
an
1 T
T
2 T
fT tcosntdtn
1,2,,
2
bn
1 T
T
2 T
fT tsin ntdtn
1,2. ,
2
在间断点 t0 处，(1)式右端级数收敛于
fT t0
0
fT t0
0 .
2
又 cos ei ei , sin ei ei ,.于是
例 2 求 f t Aet2 的傅氏变换其中 A, 0 ---钟形脉冲函数.
解: 根据定义, 有
F
f
t eitdt
Aet 2 eit dt ,
2
Ae 4
Ae
t
i 2
2 dt
2
Ae 4
.
这里利用了以下 结果：
ex2 dx 0.
2．傅里叶变换的物理意义
如果仔细分析周期函数和非周期函数的傅氏积分表达式
§1.1 傅里叶级数与积分
1．傅里叶级数的指数形式
在《高等数学》中有下列定理：
定理
1.1
设
fT t 是以T 0 T
为周期的实函数，且在
T 2
,
T 2
上满足狄利克雷
条件，即 fT t 在一个周期上满足：（1）连续或只有有限个第一类间断点； （2）只有有限
个极值点. 则在连续点处，有
fT t
a0 2
c0
c1eit c2ei2t cneint
c1eit
c2ei 2t
c
eint
n
(2)
(2）式称为傅里叶级数的复指数形式，具有明显的物理意义.
容易证明 cn 可以合写成一个式子 ,即
cn
1 T
T
2 T
fT teintdtn 0,1,2,.
2
(3)
2．傅里叶积分
任何一个非周期函数 f t , 都可看成是由某个周期函数 fT t 当 T→+∞时转化而来的.
即 由公式(2) 、(3)得
lim
T
fT t
f
2 T
2
fT
ein d eint ,
f
t
lim 1 T T
n
T
2 T
2
fT
ein d eint ,
令 n
n, n
n
n1 ,则
2 T
或T
2 n
.
于是
f
t
lim 1 T T
可得到原问题的解. 如，初等数学中，曾经利用取对数将数的积、商运算化为较简单的和、 差运算； 再如，高等数学中的代数变换，解析几何中的坐标变换，复变函数中的保角变换， 其解决问题的思路都属于这种情况.基于这种思想，便产生了积分变换.其主要体现在： 数学 上：求解方程的重要工具； 能实现卷积与普通乘积之间的互相转化. 工程上：是频谱分析、 信号分析、线性系统分析的重要工具.
F F{ f t} .
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称(2)式，即 f t 1 F eitd 为傅里叶逆变换简称傅氏逆变换,记为
2
f t F 1 [ f t]. (1)式和(2)式，定义了一个变换对 F 和 f t也称 F 为 f t的像函数； f t为的原像 函数 ,还可以将 f t和 F 用箭头连接: f t F .
1 2
[
f
ein d ]eint .
从而按照积分的定义，（4）可以写为：
f
t
d
，
或者
f t 1
[
f
ei d ]eitd .
2
(5)
公式（5）称为函数 f t 的傅氏积分公式.
定理 1.2 若 f t 在(-∞, +∞)上满足条件:
(1) f t 在任一有限区间上满足狄氏条件; (2) f t 在无限区间(-∞, +∞)上绝对可积,
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第一章 傅里叶积分变换
积分变换简介
所谓积分变换，实际上就是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的一种
变换.这类积分一般要含有参变量，具体形式可写为：
b
a k
(t
,
)
f
t
dt
记为
F
这里 f t 是要变换的函数，称为原像函数； F 是变换后的函数，称为像函数； kt, 是
一个二元函数，称为积分变换核 . 数学中经常利用某种运算先把复杂问题变为比较简单的问题，求解后，再求其逆运算就
f
t
0
2
f
t
0,
其它.
(6)
§1．2 傅里叶积分变换
上一节介绍了：当 f t 满足一定条件时，在 f t 的连续点处有：
从上式出发，设
f t 1
[
f
ei d ]eitd .
2
F
f
t eitdt
(1)
则
f t 1 Feitd
2
(2)
称(1)式，即 F f teitdt 为 f t 的傅里叶变换简称傅氏变换,记为
2
2i
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fT
t
a0 2
n 1
an
eint
eint 2
bn
eint
eint 2i
a0 an ibn eint an ibn eint
2 n1 2
2
令 c0
a0 2
,
cn
an
ibn 2
,
c n
an
ibn 2
,
n 1,2,3,, 则
fT t cneint n
例
1
求函数
f
t
0, e
t
,
t0 的傅氏变换及其积分表达式其中 0 .这个函数称
t0
为指数衰减函数,在工程中常遇到. 解:根据定义, 有
F
f
t eitdt =
eteit dt =
0
e( i)t dt
0
=
1 i
=
i 2 2
.
这就是指数衰减函数的傅氏变换.根据积分表达式的定义,有
f t 1
2
F eitd 1
2
2
i 2
eit
d
注意到 eit cost sint ， 上式可得
f t 1
2
2
i 2
cost
i sintd
1
0
cost sin 2 2
t
d
.
因此
0, t 0,
0
cost sin 2 2
t
d
2, et ,
t t
0, 0.