六年级数学下册辅导资料A(一)
六年级下册数学复习宝典——人教版
六年级下册数学复习宝典——人教版第一章：整数的运算- 整数的加减法- 整数的乘法- 整数的除法- 整数的运算性质第二章：分数的运算- 分数的加减法- 分数的乘法- 分数的除法- 分数的约分与化简第三章：小数的运算- 小数的加减法- 小数的乘法- 小数的除法- 小数与分数的相互转化第四章：面积和体积- 长方形的面积计算- 三角形的面积计算- 平行四边形的面积计算- 立方体的体积计算第五章：几何图形的性质- 正方形的性质- 长方形的性质- 三角形的性质- 平行四边形的性质第六章：数据统计- 数据的收集和整理- 数据的图表表示- 数据的分析和解读- 数据的比较和排序第七章：方程与方程式- 方程的基本概念- 一元一次方程的解- 一元一次方程的应用- 二元一次方程的解第八章：图形的坐标- 平面直角坐标系- 点的坐标表示- 图形的平移和旋转- 图形的对称性第九章：时间和时钟- 时间的读写和计算- 时钟的读写和计算- 时间的换算- 时钟的运动和指示第十章：数与代数- 数的分类和性质- 数的大小比较- 数的运算规则- 数的应用问题第十一章：数与图- 数与图的关系- 图的分析和解读- 图的绘制和表示- 图形的拼接和变换第十二章：数与量- 数与量的关系- 量的换算和计算- 量的应用问题- 量的估算和判断以上是六年级下册数学复宝典的大纲，涵盖了各个章节的主要内容。
通过复宝典，可以帮助同学们巩固知识，提高数学水平。
祝同学们取得好成绩！。
小学数学人教版六年级下册《第一课数学广角(鸽巢问题)》课件
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新知导入
把7本书平 均分成3份 7÷3＝2…1，如果 每个抽屉放2本， 还剩1本，把剩下 的这1本放进任何 一个抽屉，该抽屉 里就有3本书了。
把8本书放进3 个抽屉里呢？
8÷3＝2…2，把8 本书放进3个抽屉 里，总有一个抽屉 至少放进3本书。
数学人教版 六年级下
鸽巢问题
新知导入
我给大家表演一个“魔 术”。一副牌，取出大小 王，还剩52张牌，你们5人 每人随意抽一张，我知道 至少有2张牌是同花色的。
老师说得对不对呢？
新知导入
把4支铅笔放进3个笔筒中， 不管怎么放，总有一个笔 筒里至少有2支铅笔。
“总有”和“至 少”什么意思？
为什么呢？
新知导入
试一试： 把5支铅笔放到4个笔筒里呢？ 把6支铅笔放到5个笔筒里呢？ 你发现了什么规律？
首先通过平均分，余下1支，不管放在哪个笔筒里，一 定会出现“总有一个盒子里至少有2支铅笔”。
新知导入
抽屉原理一
只要物体数量是抽屉数量的1倍多，总有一个抽屉里至少放 进2个物体。
新知导入
1. 5只鸽子飞进了3个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进2 只鸽子。为什么？
至少取5个球可以保证 取到两个颜色相同的球。
新知导入
小组讨论
鱼缸里有足够数量的金鱼5种， 最少捞出多少条，可以保证捞 到6条同种类的金鱼？
（6-1） × 5+1=26（条）
抽取问题
要保证摸出n个同色的球，摸出的球的数 量至少要比颜色数的（n-1）倍多“1”
苏教版六年级下册数学讲义及试题小升初总复习资料：比和比例(含答案)
比和比例⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧→→⎭⎬⎫→→⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎭⎬⎫→⎪⎭⎪⎬⎫→⎩⎨⎧→→→应用意义正、反比例解比例性质意义比例比例尺按比例分配求未知数化简比性质求未知数求比值比与除法、分数的关系意义比比和比例一、本章概念： 比：比的意义：两个数相除，又叫做两个数的比。
比值：比的前项除以后项所得的商，叫作比值。
比值相等的两个比相等。
比、分数、除法的关系：)0(:≠÷==b b a bab a比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（0除外），比值不变。
按比例分配：在工农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比例进行分配。
比例：比例的意义：表示两个比相等的式子叫作比例。
比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。
解比例：根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另一个未知项。
求比例中的未知项，叫做解比例。
比例尺：图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。
比例尺分为数值比例尺和线段比例尺。
正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种也随着变化，如果这两种量中相对应的两个量的比值（也就是商）一定，这两种量叫做成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。
如果用字母x 和y 分别表示两种相关联的量，用k 表示它们的比值，正比例关系的式子可表示为：（一定）k xy =。
反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量对应的两个量积一定，这两种量就叫作反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。
如果用字母x 和y 分别表示两种相关联的量，用k 表示它们的积，反比例关系可以用式子表示为：（一定）k xy =。
二、先关概念的比较1.比和比例的意义、形式、组成和基本性质的区别意义 形式 各部分名称 组成 基本性质比两个数相除由两项组成（前项、后项）项后号比：项前↓↓↓7149任意两个数都可以组成比（同类量或不同类量） 比的前项和后项同时乘以或除以相同 的数（0除外），比值不变比例两个比相等的式子由四项组成（内项、外项各两个）任意四个数不一定能组成比例 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积2.比、分数和除法的区别和联系相当部分区别比（bab a 或:） 前项 比号（：） 后项 比值 两个数的倍比关系分数（ba ） 分子 分数线（—） 分母 分数值 一个数值 除法（b a ÷）被除数除号（÷）除数商一种运算3.求比值和化简的区别意义一般方法结果求比值 前项除以后项所得的商根据比值的意义，用前项除以后项是一个商，可以是整数、小数或分数化简比把两个数的比化成最简单的整数比 根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（0除外）；有时也可以用求比值的方法来化简比 是一个比，它的前项和后项都是整数，而且公因数只有1 注意：当同类量的两个数相比，前项和后项单位不同时，要先化成相同的单位，然后再求比值或者化简比。
六年级下册数学(人教版)知识点归纳总结整理
人教版六年级数学下册知识点总结一、用字母表示运算定律或性质加法交换律: a+b=b+a加法结合律: (a+b)+c=a+(b+c)乘法交换律: ab=ba乘法结合律:(ab)c=a(bc)乘法分配律:a(b+c)=ab+ac二、几何图形计算公式(1)周长:物体或封闭图形一周的长度。
①长方形周长=(长+宽)×2 C=(a+b)×2②正方形周长=边长×4 C=4a③圆的周长=圆周率×直径 =圆周率×半径×2 C=πd C =2πr(2)面积:即物体的表面或封闭图形的大小。
①长方形的面积=长×宽 S=ab②正方形的面积=边长×边长 S=a•a=a2③平行四边形的面积=底×高 S=ah④三角形的面积=底×高÷2 S=ah÷2⑤梯形的面积=(上底+下底)×高÷2 S=(a+b)h÷2⑥圆的面积=圆周率×半径S=πr2⑦直径d=2r 半径=直径÷2 r= d÷2⑧环形面积=外圆面积-内圆面积S环=S外-S内【相互联系】平面图形的面积公式是以长方形面积计算公式为基础的。
如两个完全相同的三角形、梯形可拼成一个平行四边形。
圆拼成长方形的长时1/2C,宽是R.(3)表面积:立体图形的所有面的面积之和叫做它的表面积。
①长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh)②正方体的表面积=棱长×棱长×6 S=a×a×6 =6a2③圆柱体的侧面积=底面周长×高 S=Ch =2πrh④圆柱体的表面积=侧面积+底面积×2 S= Ch+2πr2 = 2πrh+2πr2 注意:圆柱的底面周长与高相等时侧面展开是正方形，C=h 2πr=h(4)体积:物体所占空间的大小叫体积。
人教版六年级下册数学试题-名校小升初招生数学必刷题(一)
往内每层按红花、黄花相间摆放。如果最外层一圈的正方形有红花 44 盆，那么完成造型共
需黄花（ A.48 B.60 C.72 D.84
）盆。
8 、 某商场在进行“满百省”活动，满 100 省 10，满 200 省 30，满 300 省 50。大于 400
的消费只能折算为等同于几个 100、200、300 的加和。已知一位顾客买某款衬衫 1 件支付
A.240 B.300 C.360 D.420 3 、 某厂生产一批商标，形状为等边三角形或等腰三角形。已知这批商标边长为 2cm 或 4cm，那么这批商标的周长可能是： A.6cm、12cm B.6cm、8cm、12cm C.6cm、10cm、12cm D.6cm、8cm、10cm、12cm 4 、 某网店连续 3 次下调某款手机的零售价格，每次下调幅度分别为：2.7%、5.5%和 4.6%。 经过 3 次调价，该款手机零售价较下调前大约下降了： A.12.3% B.12.8% C.13.3% D.13.8% 5 、 老张上山速度为 60 米/分钟，原路返回的速度为 100 米/分钟，问老张往返的平均速 度是多少米/分钟？ A.85 B.80 C.75
17 、 两种杂志全年定价分别为 168 元、216 元。全室人员都只订阅这两种杂志中的一种，
用去 2184 元，如果他们换订另一杂志，需用 2040 元。该室有多少人？ A.12 B.11 C.9 D.8
18 、 公司实行计件工资报酬，加工一件合格的得 4 元，不合格的不但不计入报酬，而且
每件扣除 12 元。某员工一个月加工 1000 件，得 3600 元报酬，该员工这个月加工产品的合
14 、 自来水收费标准，每户每月用水 5 吨以下为 2.2 元/吨，超过 5 吨时，超出部分为 3.2
苏教版六年级数学下册周周辅导资料第7、8讲
【同步教育信息】 一、本周主要内容统计与可能性、解决问题的策略二、考点分析（一）统计与可能性1、收集数据的常用方法有调查、测量、实验以及直接从报刊、杂志、图书和网络中获取；收集数据时需要及时进行记录，记录数据可采用画“√”或画“正”字等方法，以提高效率；整理数据的方法：一是分类整理，二是分段整理。
2、各种统计图的特点：3、不同统计图的特点。
4、不同统计图的画法。
5、正比例量的图像是一条直线。
6、“求一个数是另一个数的百分之几”、“求一个数的百分之几是多少”及“已知一个数的百分之几是多少，求这个数”的百分数的应用。
7、中位数、众数、平均数有什么不同。
8、怎样求一组数据的平均数。
9、体会有关统计量在表示数据特征方面的特点和作用。
10、掌握简单统计量的计算方法。
（二）解决问题的策略我们学过的解决问题的策略有：1、列表：用表格将条件和问题整理出来，就可以发现数量之间的联系。
发现和利用数量关系是解决实际问题的途径，通过整理信息明确和把握数量关系，既是可操作的方法，也是解决问题的策略。
2、画图：画直观图或线段图整理信息，发现数量之间的关系。
3、枚举（一一列举）：把事情发生的各种可能逐个4、逆推（倒过去想）：即从事情的结果倒过去想它在开始的时候是怎样的。
5、替换：“替”即替代，“换”即更换，将实际问题中的数量用别的数量来代替，从而使问题简化。
6、转化：把较复杂的问题变成较简单的问题，把新颖的问题变成已经解决的问题。
【典型例题】例1、选择适当的统计图表示下列数据。
（1） 空气的主要成分：氧气占20.9﹪，氮气占78.09﹪，其他气体占1.01﹪。
（2）下表是某地区2007年的月平均气温的变化情况。
例2、吴老师不小心将水洒了，把班级学生数学考试的成绩统计图弄糊了，请你根据提供的条件进行有关的计算，然后把统计图补充完整。
条件：①不及格人数占全班人数的201；②优秀人数占全班人数的30﹪； ③及格人数是优秀人数的65。
六年级下册数学(人教版)知识点归纳总结复习资料
人教版六年级数学下册知识点总结一、用字母表示运算定律或性质加法交换律: a+b=b+a加法结合律: (a+b)+c=a+(b+c)乘法交换律: ab=ba乘法结合律:(ab)c=a(bc)乘法分配律:a(b+c)=ab+ac二、几何图形计算公式(1)周长:物体或封闭图形一周的长度。
①长方形周长=(长+宽)×2 C=(a+b)×2②正方形周长=边长×4 C=4a③圆的周长=圆周率×直径 =圆周率×半径×2 C=πd C =2πr(2)面积:即物体的表面或封闭图形的大小。
①长方形的面积=长×宽 S=ab②正方形的面积=边长×边长 S=a•a=a2③平行四边形的面积=底×高 S=ah④三角形的面积=底×高÷2 S=ah÷2⑤梯形的面积=(上底+下底)×高÷2 S=(a+b)h÷2⑥圆的面积=圆周率×半径S=πr2⑦直径d=2r 半径=直径÷2 r= d÷2⑧环形面积=外圆面积-内圆面积S环=S外-S内【相互联系】平面图形的面积公式是以长方形面积计算公式为基础的。
如两个完全相同的三角形、梯形可拼成一个平行四边形。
圆拼成长方形的长时1/2C,宽是R.(3)表面积:立体图形的所有面的面积之和叫做它的表面积。
①长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh)②正方体的表面积=棱长×棱长×6 S=a×a×6 =6a2③圆柱体的侧面积=底面周长×高 S=Ch =2πrh④圆柱体的表面积=侧面积+底面积×2 S= Ch+2πr2 = 2πrh+2πr2 注意:圆柱的底面周长与高相等时侧面展开是正方形，C=h 2πr=h(4)体积:物体所占空间的大小叫体积。
比的基本性质(教案)-2023-2024学年六年级下册数学人教版
技能训练：
1.通过例题讲解和练习，让学生掌握比的基本性质的应用方法。
2.设计实践活动或实验，如制作比的概念卡片、进行比的应用比赛等，让学生在实践中体验比的基本性质的应用，提高实践能力。
1.在比的基本性质新课呈现结束后，对比的基本性质知识点进行梳理和总结。
2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：
六年级的学生对数学知识有一定的兴趣，他们喜欢通过实践和操作来学习。在学习风格上，学生喜欢通过小组合作、讨论和交流来理解和掌握知识。他们具有较强的观察能力和分析问题的能力，能够通过比较和推理来得出正确的结论。
3.学生可能遇到的困难和挑战：
在学习本节课的过程中，学生可能会遇到以下困难和挑战：
核心素养目标
本节课旨在培养学生的数学思维和问题解决能力。通过学习比的基本性质，学生将能够运用数学概念和原理来分析和解决问题。具体来说，学生将能够：
1.理解比的概念和性质，掌握比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（0除外），比值不变的规律。
2.能够运用比的性质来解决实际生活中的问题，如比例尺的计算、商品价格的比较等。
③例题：商品价格比较、比例尺计算
2.板书形式：
①图文并茂：用图表示比的性质，如用图形表示比的前项和后项的变化
②色彩搭配：用不同颜色标注比的基本性质和例题，以区分重点和难点
③布局合理：板书内容布局合理，方便学生阅读和理解
3.板书艺术性：
①设计有趣的图案：如用卡通人物表示比的前项和后项，增加趣味性
②加入学生喜欢的元素：如用学生喜欢的颜色、图案等，增加学生的兴趣和主动性
激发兴趣：
1.通过展示与比的基本性质相关的图片，如比例尺、商品价格标签等，吸引学生的注意力。
2、3、5倍数的特征(1)(专项复习)六年级下册数学第一轮总复习人教版
一、选择题 1. 234，345，456，567，……下面说法正确的是（ ）A.都是奇数B.都是偶数C.都是3的倍数D.都是质数2. 下面的说法错误的是（ ）A.两个奇数的和一定是偶数B.所有的质数都是奇数C.一个数既是3的倍数又是4的倍数，这个数一定是12的倍数D.个位上是0的数，既是2的倍数又是5的倍数3. 下列数中，同时是3，5的倍数的最小的三位数是（ ）A.105B.30C.120D.904. 下面说法错误的是（ ）A.一个数的因数的个数是有限的，一个数的倍数的个数是无限的B.正方形边长是质数，它的面积一定是合数C.个位上是3，6，9的数都是3的倍数5. 以下说法正确的有（ ）个。
①最大的负数是−1，没有最小的负数；②个位是3，6，9的数都是3的倍数；③自然数可以分为奇数和偶数，也可以分为质数和合数；④一个正整数的因数的个数是有限的，而倍数的个数是无限的。
A.0B.1C.2D.36. 下面各数中，是5的倍数的数是( )A.220B.122C.1017. 一个数是9的倍数，这个数一定是（ ）的倍数．数与代数—2、3、 5倍数的特征 小升初专项RJA.3B.2C.5D.68. 是3的倍数的最小三位数是（）A.100B.101C.102D.1209. 一个数既是24的因数，又是3的倍数，这样的数有（）A.8个B.3个C.4个10. 一个偶数，它的各个数位上的数的和是36，如果个位上的数字是（），这个数就是2、3、5的倍数。
A.6B.2C.011. 同时是2，3，4，5的倍数的数是。
（）A.30B.40C.6012. 89389767至少加上（）就同时是2、3、5的倍数。
A.2B.3C.5二、填空题（本题共计 18 小题，每题 3 分，共计54分）13. 一个四位数▢34▢，既是2的倍数，又是5的倍数，则这个四位数最大是，最小是。
14. 用数字“0，4，5”组成一个三位数，分别满足下面的条件（不能重复填写）．（1）同时是2和5的倍数。
(必考题)小学数学六年级下册第一单元经典题(提高培优)
一、选择题1．在南北走向的公路上，规定向北走为正、向南走为负。
乙在甲的北边3千米处，丙距乙2千米，则丙在甲的（）。
A. 北边B. 南边C. 北边或南边D. 无法确定A 解析： A【解析】【解答】解：在南北走向的公路上，规定向北走为正、向南走为负。
乙在甲的北边3千米处，丙距乙2千米，则丙在甲的北边。
故答案为：A。
【分析】乙在甲的北边3千米处，丙可能是乙的北边或者南边，如果丙在乙的北边，则距离甲5千米，如果丙在乙的南边，则距离甲1千米。
2．人体正常体温平均为36℃~37℃，如果我们把人体体温标准定在36.5℃，37℃可以记作+0.5℃，那么35.8℃可以记作（）。
A. -0.7℃B. +35.8℃C. -0.2℃A解析： A【解析】【解答】解：36.5℃-35.8℃=0.7℃，所以35.8℃可以记作-0.7℃。
故答案为：A。
【分析】正负数表示相反意义的量，以36.5℃为标准，高于36.5℃的部分记作正，则低于36.5℃的温度就记作负。
3．下列描述正确的是（）。
A. 在上图上可以找到-5、20、3.5三个数对应的点B. 上图中，直线上的数不是正数就是负数C. 在0和3之间的数只有1和2A解析： A【解析】【解答】解：A：任何数都可以在数轴上找到，此选项正确；B：直线上有5个数，0不是正数，也不是负数。
此选项错误；C：在0和3之间的数有无数个。
此选项错误。
故答案为：A。
【分析】在数轴上0右边的数都是正数，左边的数都是负数，0不是正数也不是负数。
4．-2到-4之间有（）个负数。
A. 1个B. 2个C. 3个D. 无数个D 解析： D【解析】【解答】解：-2到-4之间有无数个负数。
故答案为：D。
【分析】因为没有说明数字的类型，所以-2到-4之间的数有无数个。
5．如果规定向东走为正，那么﹣300m表示（）A. 向东走300mB. 向西走300mC. 向南走300mD. 向北走300m B解析： B【解析】【解答】如果规定向东走为正，那么﹣300m表示向西走300米。
六年级数学下册(1~3单元)重点知识归纳
人教版新课标六年级数学下册（1~3单元）重点知识归纳第一单元：负数1．（1）正、负数的读写方法：○1写正数时，加“+”号或省略“+”号两种形式都可以，但是读正数时，加“+”的，一定要读出“正”字；省略“+”号的，这个“正”字也要省略不读。
○2写负数时，一定要写出“一”号，读时也一定要读出“负”字。
（2）0既不是正数，也不是负数，它是正数与负数的分界点。
2．正、负数不能凭正、负号进行区分，比如“+（一3）”是一个负数，而一（一3）却是一个正数。
3．能表示出正数、0、负数的直线，我们把它叫做数轴。
4．（1）数轴的概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
（2）温度计也可以看作是一数轴。
5．（1）在数轴上，从左到右的顺序就是数从小到大的顺序。
（2）所有的负数都在0的左边，即负数都比0小；所有的正数都在0的右边，即正数都比0大。
因此，负数都比正数小。
（3）比较两个负数的大小，可以先比较与其对应的两个正数的大小，对应的正数大的那个负数反而小。
6．温馨提示：水结冰时的温度是0摄氏度，0在这里的意义不是表示“没有”，而是一个具体的数。
7．温馨提示：在用正负数表示具有相反意义的量时，要先规定哪个量为正（或负）。
如果上升用正数表示，那么下降一定用负数表示。
8．负数与正数相加，如果负数中负号后面的数比正数大，那么得数为负数，式中负号后面的数减去正数得几，结果就是负几。
第二单元：圆柱与圆锥1．圆柱是由两个底面和一个侧面三部分组成的。
2．（1）圆柱的两个圆面叫做底面。
（2）底面各部分的名称：圆柱的底面圆的圆心、半径、直径和周长分别叫做圆柱的底面圆心、底面半径、底面直径和底面周长。
（3）底面的特征：圆柱底面是完全相同的两个圆。
3．（1）圆柱周围的面叫做侧面。
（2）特征：圆柱的侧面是曲面。
4．（1）圆柱两个底面之间的距离叫做圆柱的高。
（2）一个圆柱有无数条高。
5．把圆柱平行于底面进行切割，切面是和底面大小相同的两个圆；把圆柱沿底面直径垂直于底面进行切割，切面是两个完全相同的长方形。
第一单元 3.圆柱的体积(课件)-2022-2023学年六年级数学下册同步备课(北师大版)
典题精讲
算一算
一个圆柱形沙坑，从里面量得底面半径是2 m，深 1.5 m， 在这个沙坑里填入20 m3的黄沙，能填满吗？
3.14×22×1.5＝18.84(m3) 18.84 m3<20 m3 答：能填满。
典题精讲
计算下面各圆柱的体积。
(1) (1) 3.14×102×10＝3140(cm3)
(2)已知圆柱的底面周长是37.68 dm，高是12 dm。
(3) 两 个 圆 柱 ， 底 面 积 大 的 体 积 也 一 小红的做法对吗？若不对，请改正。 一个圆柱形水桶，从里面量，底面周长是6.28 dm，
高是2 dm，这个水桶最多能装水多少升？ 小红的做法：
6.28×2＝12.56(dm3)＝12.56 L 答：这个水桶最多能装水12.56 L。 不对。改正： 6.28÷3.14÷2＝1(dm) 3.14×12×2＝6.28(dm3)＝6.28 L 答：这个水桶最多能装水6.28 L。 易错点：能装水多少升是求体积，应用底面积乘高。
3.14×（3.14÷3.14÷2）2×4＝3.14（m3）
小试牛刀
算一算
一个装满稻谷的圆柱形粮囤，底面面积为2m2，高为80cm。每 立方米稻谷约重600kg，这个粮囤存放的稻谷约重多少千克？
80cm＝0.8m 2×0.8×600＝960（kg） 答：这个粮囤存放的稻谷约重960千克。
小试牛刀
下面的长方体和圆柱哪个体积大？说说你的比较方法。
因为长方体和圆柱的高相等，所以比较它们底面 积的大小，即可得到体积的大小关系。 4×4＝16(dm2) 3.14×22＝12.56(dm2) 因为16＞12.56，所以长方体的体积大。
小试牛刀
如图，求出小铁块的体积。
(趣味数学)第一讲 百分数(二)(培优讲义)2023-2024学年六年级下册数学思维拓展
第一讲百分数（二）成语中的百分数成语是我国汉字语言词汇中一部分定型的词组或短句,它是我国独有的语言资源,是祖先留给我们的文化遗产,我们要乐观地争辩它。
看,它们还能变身成百分数呢?十有八九 80%~90%事半功倍 200%百里挑一 1%挑战生活中的百分数：事倍功半( ) 一箭双雕( ) 半信半疑( )十全十美（）百发百中（）十拿九稳（）1．折扣【学问点归纳】1、折扣：用于商品，现价是原价的百分之几，叫做折扣。
通称“打折”。
2、几折就是格外之几，也就是百分之几十。
例如：八折＝8÷10＝80%，六折五＝6.5÷10＝65÷100＝65%3、解决打折的问题，关键是先将打的折数转化为百分数或分数，然后依据求比一个数多（少）百分之几（几分之几）的数的解题方法进行解答。
4、商品现在打八折：现在的售价是原价的80%；商品现在打六折五：现在的售价是原价的65%。
【方法总结】与折扣有关的实际问题的解题方法：已知原价和折扣，求现价：现价＝原价×折扣；已知原价和折扣，求廉价的钱数：廉价的钱数＝原价﹣原价×折扣；已知现价和折扣，求原价：原价＝现价÷折扣；（4）已知原价和现价，求折扣：用现价除以原价，结果用百分数表示，同时在答语中要体现出来。
2．成数【学问点归纳】①农业收成，经常用“成数”来表示。
例如，报纸上写道：“今年我省油菜籽比去年增产二成”②成数表示一个数是另一个数的格外之几，通称“几成”。
例如，“一成”就是格外之一，改写成百分数是10%“三成五”是格外之三点五，改写成百分数就是35%③“成数”已经广泛应用于表示各行各业的进展变化状况。
例如：出口汽车总量比去年增加三成，北京出游人数比去年增加两成。
3．利率【学问点归纳】存入银行的钱叫本金；取款时银行多支付的钱叫做利息；本金与利息之和叫做本息；单位时间内的利息与本金的比率叫做利率；存款的时间为存期。
【方法总结】利息＝本金×利率×存期利率＝利息÷存期÷本金4．税率【学问点归纳】1、纳税的含义：纳税是依据国家税法的有关规定，依据肯定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。
六年级下册数学培优讲义- 数论.余数问题(ABC级)(解析版)全国通用
一、带余除法的定义及性质1、 定义：一般地,如果a 是整数,b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ,也就是a ＝b ×q ＋r ,0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式.这里：(1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除,q 称为a 除以b 的商或完全商(2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除,q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书,共有a 本,这个a 就可以理解为被除数,现在要求按照b 本一捆打包,那么b 就是除数的角色,经过打包后共打包了c 捆,那么这个c 就是商,最后还剩余d 本,这个d 就是余数.这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系.并且可以看出余数一定要比除数小. 2、 余数的性质⑴ 被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数．二、三大余数定理：1. 余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数,等于a ,b 分别除以c 的余数之和,或这个和除以c 的余数.例如：23,16除以5的余数分别是3和1,所以23+16＝39除以5的余数等于4,即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之和再除以c 的余数.例如：23,19除以5的余数分别是3和4,所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2 2. 余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数,等于a ,b 分别除以c 的余数之差.例如：23,16除以5的余数分别是3和1,所以23－16＝7除以5的余数等于2,两个余数差3 －1知识框架余数问题＝2.当余数的差不够减时时,补上除数再减.例如：23,14除以5的余数分别是3和4,23－14＝9除以5的余数等于4,两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数的积,或者这个积除以c所得的余数.例如：23,16除以5的余数分别是3和1,所以23×16除以5的余数等于3×1＝3.当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之积再除以c的余数.例如：23,19除以5的余数分别是3和4,所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数,即2.乘方：如果a与b除以m的余数相同,那么n a与n b除以m的余数也相同．三、弃九法原理在公元前9世纪,有个印度数学家名叫花拉子米,写有一本《花拉子米算术》,他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行,由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确,他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234189818922678967178902889923++++=1234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3,那么上面这个算式一定是错的.上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理,即如果这个等式是正确的,那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同.而我们在求一个自然数除以9所得的余数时,常常不用去列除法竖式进行计算,只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了,在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去,所以这种方法被称作“弃九法”.所以我们总结出弃九法原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和.以后我们求一个整数被9除的余数,只要先计算这个整数各数位上数字之和,再求这个和被9除的余数即可.利用十进制的这个特性,不仅可以检验几个数相加,对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确,但不能保证一定正确.例如：检验算式9+9=9时,等式两边的除以9的余数都是0,但是显然算式是错误的.但是反过来,如果一个算式一定是正确的,那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律.这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式谜问题.四、同余定理1、定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数,那么称a、b对于模m同余,用式子表示为：a≡b ( mod m ),左边的式子叫做同余式.同余式读作：a同余于b,模m.2、重要性质及推论：（1）若两个数a,b除以同一个数m得到的余数相同,则a,b的差一定能被m整除例如：17与11除以3的余数都是2,所以1711（）能被3整除．（2）用式子表示为：如果有a≡b ( mod m ),那么一定有a－b＝mk,k是整数,即m|(a－b)3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时,虽然可以用长除法去求得余数,但当被除位数较多时,计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N被m除的余数”,我们希望找到一个较简单的数R,使得：N与R对于除数m同余．由于R是一个较简单的数,所以可以通过计算R被m除的余数来求得N被m除的余数．1)整数N被2或5除的余数等于N的个位数被2或5除的余数；2)整数N被4或25除的余数等于N的末两位数被4或25除的余数；3)整数N被8或125除的余数等于N的末三位数被8或125除的余数；4)整数N被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；5)整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；6)整数N被7,11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节,奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7,11或13除的余数就是原数被7,11或13除的余数．重难点理解余数性质时,要与整除性联系起来,从被除数中减掉余数,那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在,不便于我们计算,去掉余数,回到我们比较熟悉的整除性问题,那么问题就会变得简单了例题精讲【例 1】1013除以一个两位数,余数是12．求出符合条件的所有的两位数．【巩固】一个两位数除310,余数是37,求这样的两位数.【例 2】有一个三位数,其中个位上的数是百位上的数的3倍.且这个三位数除以5余4,除以11余3.这个三位数是_【巩固】一个自然数,除以11时所得到的商和余数是相等的,除以9时所得到的商是余数的3倍,这个自然数是_________.【例 3】甲、乙两数的和是1088,甲数除以乙数商11余32,求甲、乙两数．【巩固】当1991和1769除以某个自然数n,余数分别为2和1．那么,n最小是多少？【例 1】 2000"2"2222个除以13所得余数是_____.【巩固】1996777777 个除以41的余数是多少？【例 4】 著名的斐波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？【巩固】 有一列数：1,3,9,25,69,189,517,…其中第一个数是1,第二个数是3,从第三个数起,每个数恰好是前面两个数之和的2倍再加上1,那么这列数中的第2008个数除以6,得到的余数是 ．【例 5】 将从1开始的到103的连续奇数依次写成一个多位数：A ＝13579111315171921……9799101103.则数a 共有_____位,数a 除以9的余数是___.【巩固】将12345678910111213......依次写到第1997个数字,组成一个1997位数,那么此数除以9的余数是________．【例 6】有一个整数,用它去除70,110,160所得到的3个余数之和是50,那么这个整数是______．【巩固】用自然数n去除63,91,129得到的三个余数之和为25,那么n=________．【例 7】在图表的第二行中,恰好填上8998～这十个数,使得每一竖列上下两个因数的乘积除以11所得的余数都是3．【巩固】求478296351⨯⨯除以17的余数．【例 8】求1~2008的所有自然数中,有多少个整数a使2a与2a被7除余数相同？【巩固】今天是星期四,100010天之后将是星期几？【例 9】 2008222008+除以7的余数是多少？【巩固】 ()30313130+被13除所得的余数是多少？【例 10】 3个三位数乘积的算式234235286abc bca cab ⨯⨯= (其中a b c >>), 在校对时,发现右边的积的数字顺序出现错误,但是知道最后一位6是正确的,问原式中的abc 是多少？【巩固】有2个三位数相乘的积是一个五位数,积的后四位是1031,第一个数各个位的数字之和是10,第二个数的各个位数字之和是8,求两个三位数的和.【例 11】某个两位数加上3后被3除余1,加上4后被4除余1,加上5后被5除余1,这个两位数是______.【巩固】有一个自然数,除345和543所得的余数相同,且商相差33．求这个数是多少？【例 12】有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数.【巩固】有一个整数,除300、262、205得到相同的余数.问这个整数是几?【例 13】一个自然数除429、791、500所得的余数分别是5a 、2a、a,求这个自然数和a的值.【巩固】有3个吉利数888,518,666,用它们分别除以同一个自然数,所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是_____.【例 14】一个大于10的自然数,除以5余3,除以7余1,除以9余8,那么满足条件的自然数最小为多少？【巩固】 一个大于10的数,除以3余1,除以5余2,除以11余7,问满足条件的最小自然数是多少？【随练1】 3782除以某个整数后所得的商恰好是余数的21倍,那么除数最小可能是 .【随练2】199566666667 个的余数是多少？课堂检测【随练3】有一列数排成一行,其中第一个数是3,第二个数是10,从第三个数开始,每个数恰好是前两个数的和,那么第1997个数被3除所得的余数是多少？【随练4】商店里有六箱货物,分别重15,16,18,19,20,31千克,两个顾客买走了其中的五箱．已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍,那么商店剩下的一箱货物重量是________千克．【随练5】求19973的最后两位数．家庭作业【作业1】在大于2009的自然数中,被57除后,商与余数相等的数共有______个.【作业2】 有三个自然数a ,b ,c ,已知b 除以a ,得商3余3；c 除以a ,得商9余11.则c 除以b ,得到的余数是 .【作业3】 有两个自然数相除,商是17,余数是13,已知被除数、除数、商与余数之和为2113,则被除数是多少？【作业4】 已知20082008200820082008a 个,问：a 除以13所得的余数是多少？【作业5】有48本书分给两组小朋友,已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组,那么每人4本,有剩余；每人5本,书不够．如果把书全分给第二组,那么每人3本,有剩余；每人4本,书不够．问：第二组有多少人?【作业6】六张卡片上分别标上1193、1258、1842、1866、1912、2494六个数,甲取3张,乙取2张,丙取1张,结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另—个人的2倍,则丙手中卡片上的数是________．(第五届小数报数学竞赛初赛)【作业7】求2461135604711⨯⨯÷的余数．【作业8】12342005+++++除以10所得的余数为多少？12342005【作业9】设20092009的各位数字之和为A,A的各位数字之和为B,B的各位数字之和为C,C的各位数字之和为D,那么D【作业10】在除13511,13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是_________．。
六年级下册数学教案-6分数、百分数解决问题(一)-人教新课标
六年级下册数学教案：分数、百分数解决问题（一）——人教新课标教学目标1. 知识与技能：使学生能够理解和运用分数、百分数解决实际问题，掌握分数、百分数的基本概念及其相互转换方法。
2. 过程与方法：通过实例分析，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的逻辑思维和运算能力。
3. 情感态度价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作精神和探究意识。
教学内容第一课时：分数解决实际问题1. 导入：通过生活实例引入分数的概念，例如“一个披萨被分成8份，小明吃了其中的3份，请问他吃了披萨的多少？”2. 讲解：详细讲解分数的定义、性质和运算规则，并通过示例进行演示。
3. 练习：布置一些分数解决实际问题的练习题，让学生独立完成，然后进行讲解和讨论。
第二课时：百分数解决实际问题1. 导入：通过实例引入百分数的概念，例如“一件衣服原价100元，打8折后的价格是多少？”2. 讲解：详细讲解百分数的定义、性质和运算规则，并通过示例进行演示。
3. 练习：布置一些百分数解决实际问题的练习题，让学生独立完成，然后进行讲解和讨论。
教学方法1. 讲授法：通过讲解分数、百分数的概念和运算规则，使学生掌握相关知识。
2. 实例分析法：通过分析实例，使学生理解分数、百分数在实际问题中的应用。
3. 练习法：通过布置练习题，让学生在实际操作中掌握分数、百分数的运算方法。
教学评价1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的参与程度，了解他们对知识的掌握情况。
2. 作业完成情况：通过批改作业，了解学生对分数、百分数运算方法的掌握程度。
3. 测试成绩：通过定期测试，评估学生对分数、百分数知识的掌握程度。
教学资源1. 教材：《人教版六年级下册数学教材》。
2. 教学辅助工具：PPT、黑板、粉笔等。
教学建议1. 注重实际应用：在教学过程中，要注重将分数、百分数知识与实际问题相结合，让学生在实际问题中运用所学知识。
2. 激发学生兴趣：通过生动的实例和有趣的问题，激发学生学习分数、百分数的兴趣。
【名师课堂】人教新课标版六年级数学下册期末综合总复习核心考点梳理(复习课件)(共87张PPT)
运用提升
巩固训练1
2.如果把平均成绩记为0分，＋8分表示比平均成绩 ( 多8分 )，－10分表示( 比平均成绩少10分)； 比平均成绩多5分，记作( +5分)，比平均成绩少3 分，记作( －3分)。
知识梳理
2、正、负数的读写法：
读正（负）数时，先读“正（负）”，再读数， 省略“+”的，“正”字不读出来。写正（负） 数时，先写“+（－）”，再写数，”“+”可以 省略，“－”不能省略。 0既不是正数，也不是负数。
拓展延伸
3．电梯从1楼上升到6楼，又从6楼下降到2楼，然 后再上升到5楼，再下降到1楼，照样子请把这个 过程记录下来。
顺序
移动层 数
第1次 ＋5
第2次
第3次
第4次
拓展延伸
电梯从3楼上升到8楼，再下降3层，现在电梯在 几楼？
5楼 易错点拨：①注意“几楼”与移动几层的区别； ②简单正负数计算。
拓展延伸
圆柱的侧面展开图及其与圆
柱
柱的关系
与 圆柱
圆 锥
圆柱的表面积 圆柱的表面积＝圆柱的侧
面积＋两个底面的面积
圆柱的体积
V =sh=πr2h
知识梳理
圆
柱
与 圆
圆锥
锥
圆锥的认识 圆锥的体积
圆锥各个部分的名称和特征
V＝
1 3
Sh
或V＝
1 3
πr²h。
知识梳理
1、圆柱的认识
给下面圆柱的各部分填上相应的名称。
4．一艘潜艇在海平面以下300 m处，记作－300 m，一 条鲨鱼在潜艇上方100 m处。如果潜艇下潜100 m，鲨 鱼上游50 m。此时，潜艇和鲨鱼相距多少米？
六年级下册数学总复习试题-单位“1”的认识及确定专项练(通用版 含答案)
六年级下册数学总复习试题-单位“1”的认识及确定专项练一、单选题1.8月份增产与9月份产量相同，是把( )看作单位“1”.A. 8月份产量B. 9月份产量C. 8月份增产的产量2.甲数是635，，乙数是多少？列式是635÷（1﹣），那么横线上应补充的条件是（）A. 甲数比乙数多B. 甲数比乙数少C. 乙数比甲数多D. 乙数比甲数少3.小刚说：“我家养的白兔只数是黑兔的”小华说：“我家养的黑兔只数是白兔的”，他俩说法中的单位“1”，分别是指（）A. 都指自家黑兔的只数B. 都指自家白兔的只数C. 小刚指的是自家黑兔的只数，小华指的是自家白兔的只数D. 小刚指的是自家白兔的只数，小华指的是自家黑兔的只数4.某商品降价是100，求原价是多少？正确的算式是（）A. 100÷B. 100×（1﹣）C. 100÷（1﹣）5.一瓶牛奶，爸爸喝了整瓶的，小红喝了剩下的．（）喝得多．A. 爸爸B. 小红C. 无法比较6.（202X秋•磁县校级月考）“小羊只数是大羊只数的”，（）是单位“1”．A. 小羊B. 大羊C. 无法确定7.下面题各中（）把乙看作单位A. 甲的20%是乙B. 乙是甲的20%C. 乙的20%是甲8.在“白兔只数比灰兔多”中，把哪个数量看作单位“1”，正确的是（）A. 灰兔的只数B. 白兔的只数C. 白兔、灰兔的总只数D. 白兔、灰兔的只数差9.某班女生人数的等于男生人数的，那么男生人数（）女生人数．A. 小于B. 大于C. 等于10.在“女生人数的等于男生人数”中，把哪个数量看作单位“1”，正确的是（）A. 男生人数B. 女生人数C. 男、女生人数的和D. 男、女生人数的差二、判断题11.判断对错．用10天修完一条路，平均每天完成这条路的．12.甲的相当于乙．这里应把甲看作单位“1”．13.25比20多25%，20比25少20%．14.实际比原计划的产量增加了18%，是把实际增加的产量看作单位“1”。
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六年级数学下册辅导资料A（一）
姓名：___________
一、圆的面积：S＝πr²
1、已知半径。
如：沼气池底面半径5米，深2米，求占地面积。
直接套用公式。
S＝πr²
2、已知直径。
如：篮球场中间的圆圈直径是3m，面积是多少(先求半径，再套用公式。
)
3、已知周长。
如：周长是的圆形面积是多少(先求半径，再套用公式。
)
·
r＝C÷π÷2
二、圆的周长：C＝2πr
1、已知半径。
如：秒针长12厘米，走一圈针尖扫过的距离是多少C＝2πr
2、已知直径。
如：压路机滚筒直径1米，滚动一周前进几米
*
三、圆柱侧面积：S＝2πrh＝πdh＝Ch
1、已知半径和高。
如：圆柱形钢材，半径是4厘米，高是5厘米，求侧面积。
2、已知直径和高。
如：铁皮罐头的底面直径是6厘米，高是8厘米，求侧面积。
`
3、已知周长和高。
如：侧面展开是边长厘米的正方形，侧面积是多少
4、逆应用——已知侧面积和高。
如：圆柱侧面积平方米，高2米，求半径。
5、逆应用——已知侧面积和底面周长。
如：圆柱侧面积平方米，底面周长米，求高。
四、圆柱表面积
（一）完整：S＝2πr²＋2πrh
1、已知半径。
如：圆柱形木料，底面的半径是4厘米，高是5厘米，求表面积。
2、已知直径。
如：圆柱形水池，底面的直径是10米，高4米，要在底面和池壁贴瓷砖，贴瓷砖的面积是多少
@
3、已知周长。
如：一根木头，它的底面周长是厘米，长1米，求这根木头的表面积。
（二）无盖：S＝πr²＋2πrh
'
1、已知半径。
如：无盖的消防用黄沙桶，底面的半径是80厘米，高是50厘米，做这样的一个黄沙桶要铁皮多少平方厘米
2、已知直径。
如：无盖油桶，底面的直径是60厘米，高是80厘米，做一个这样的油桶至少要铁皮多少平方厘米
/
3、已知周长。
如：广场花柱的底面周长是米，高是4米，现在要粉刷这条花柱，要粉刷部分的面积是多少平方米
（三）烟囱（侧面积）：S＝2πrh
1、已知半径。
如：制造100条烟囱，每条烟囱的底面半径是40厘米，长2米，制造这批烟囱要用铁皮多少平方厘米
￥
2、已知直径。
如：压路机滚轮的底面直径是2米，宽1米。
压路机每分钟转100转，它一分钟可以压路的面积是多少平方米
3、已知周长。
如：大厅圆柱形立柱一共有120根，每根的底面周长是厘米，高5米，现在要粉刷这批柱，要粉刷的面积是多少平方米若每平方米用油漆升，一共要用油漆多少升
（四）面积变化。
#
1、切圆柱——横切：
（1）一根圆柱体木料切两段，面积增加平方厘米，原来这根木料长2米，原来这根木料的表面积是多少体积是多少
（2）一根长2米的圆柱木料锯下10厘米，表面积减少平方厘米，求原来这根木料的表面积是多少
2、切圆柱——竖切：一个圆柱切成两个半圆柱，它的表面积增加了40平方厘米，知道这根圆柱的底面半径是10厘米，这个圆柱原来的表面积是多少
#
3、切圆锥：一个圆锥的底面直径是10厘米，现在把这个圆柱切成两半，表面积增加了80平方厘米，这个圆锥的高是多少厘米
五、圆柱的体积：V＝πr²h
1、已知底面积。
如：圆柱横截面积18平方厘米，长20厘米，体积多少
~
2、已知半径。
如：圆柱形沼气池，它的底面半径是2米，深米，这个池的体积是多少
3、已知直径。
（1）鞋油一支50毫升，出油口直径厘米，每次挤出1厘米，能用几次
（2）水管管壁内直径2分米，每秒流出2米。
几小时能注满长50米，宽20米，深米的长方体游泳池
）
4、已知周长。
如：一个圆柱侧面展开是一个长厘米，宽厘米的长方形，体积是多少
6、体积变化。
（1）高不变，半径扩大2倍，体积（ ）
（2）半径不变，高扩大3倍，体积（ ）
—
六、圆锥的体积：V ＝3
1πr ²h 1、已知半径。
如：底面半径3厘米，高5厘米，体积是多少
2、已知直径。
如：圆锥形麦堆，底面的直径是米，高1米，它的体积是多少
3、已知周长。
如：圆锥形沙堆，高米，绕着它的外边缘走一圈是米。
体积多少
—
七、圆柱和圆锥关系题：
1、等底等高，圆柱18立方厘米，圆锥体积（ ）
2、等底等高，圆柱体积比圆锥大18立方厘米，圆柱体积（ ），圆锥体积（ ）。
3、等底等体积，圆柱高18厘米，圆锥高（ ）。
4、等高等体积，圆柱底面积18平方厘米，圆锥底面积（ ）。
八、组合图形：
1、圆柱vs 圆锥。
如：一个粮屯上面是圆锥，下面是圆柱，底面的直径是4
米，下面的高是3米，上面的高是米，它的体积是多少
2、正方体vs圆柱。
如：用一个棱长是6厘米的正方体加工一个最大的圆柱。
这个圆柱的体积是多少
3、圆锥vs正方形。
如：用一个棱长12厘米的正方体加工一个
最大的圆锥。
这个圆锥的体积是多少。