立体几何的解题技巧

立体几何新题型的解题技巧

【命题趋向】在高考中立体几何命题有如下特点： 1.线面位置关系突出平行和垂直，将侧重于垂直关系．

2.多面体中线面关系论证，空间“角”与“距离”的计算常在解答题中综合出现．

3.多面体及简单多面体的概念、性质多在选择题，填空题出现．

4.有关三棱柱、四棱柱、三棱锥的问题，特别是与球有关的问题将是高考命题的热点． 此类题目分值一般在17---22分之间，题型一般为1个选择题，1个填空题，1个解答题.

【考点透视】掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念.

空间距离和角是高考考查的重点：特别是以两点间距离，点到平面的距离，两异面直线的距离，直线与平面的距离以及两异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角等作为命题的重点内容，高考试题中常将上述内容综合在一起放在解答题中进行考查，分为多个小问题，也可能作为客观题进行单独考查.考查空间距离和角的试题一般作为整套试卷的中档题，但也可能在最后一问中设置有难度的问题.

不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成，即寓证明于运算之中，正是本专题的一大特色.

求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。 考点1 点到平面的距离

求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用.

例1如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点．

（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ；（Ⅱ）求二面角1A A D B --的大小；（Ⅲ）求点C 到平面1A BD 的距离． 考查目的：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的 大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维 能力和运算能力． 解答过程：解法一：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ．ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥． 正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，AO ∴⊥平面11BCC B ．

连结1B O ，在正方形11BB C C 中，O D ，分别为1BC CC ，的中点， 1B O BD ∴⊥， 1AB BD ∴⊥． 在正方形11ABB A 中，11AB A B ⊥， 1AB ∴⊥平面1A BD ．

（Ⅱ）设1AB 与1A B 交于点G ，在平面1A BD 中，作1GF A D ⊥于F ，连结AF ，由（Ⅰ）得1AB

⊥平面1

A BD ． 1AF A D ∴⊥， AFG ∴∠为二面角1A A D

B --的平面角．在1AA D △中，由等面积法可求得AF =

又

11

2AG AB == sin AG AFG AF ∴==∠．所以二面角1A A D B --的大小为 （Ⅲ）1A BD △中，1

11A BD BD A D A B S ==△1BCD S =△．在正三棱柱中，1A 到平面11BCC B

设点C 到平面1A BD 的距离为d ．由1

1

A BCD C A BD V V --=，得11133

3BCD

A BD S S d =△△，1A BD d ∴=△

A

B C

D

1

A 1

C 1B A

C

D 1

A

1

C

1

B

O F

∴点C 到平面1A BD 的距离为2．

解法二：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ．ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥．在正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，AD ∴⊥平面11BCC B ．

取11B C 中点1O ，以O 为原点，OB ，1OO ，OA 的方向为x y z ，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则(100)B ，，，(110)D -，，，

1(023)A ，，，(003)A ，，，1(120)B ，，，1(123)AB ∴=-，，，(210)BD =-，，，1(1

23)BA =-，，． 12200AB BD =-++=，111430AB BA =-+-=，

1AB BD ∴⊥，11AB BA ⊥．1AB ∴⊥平面1A BD ．

（Ⅱ）设平面1A AD 的法向量为()x y z =，，n ．

(113)AD =--，，，1(020)AA =，，．

AD ⊥n ，1AA ⊥n ，

100AD AA ?=?∴?

=??，，n n 3020x y z y ?

-+-=?∴?=?

?，，03y x z =??∴?=-??，． 令1z =得(301)=-，，n 为平面1A AD 的一个法向量．

由（Ⅰ）知1AB ⊥平面1A BD ，1AB ∴为平面1A BD 的法向量．

cos

1

336222AB AB AB -->===-n n ．∴二面角1A A D B --的大小为6arccos

． （Ⅲ）由（Ⅱ），1AB 为平面1A BD 法向量，1(200)(123)BC AB =-=-，，，，，．

∴点C 到平面1A BD 的距离11

2222

BC AB d AB -===．

小结：本例中（Ⅲ）采用了两种方法求点到平面的距离.解法二采用了平面向量的计算方法，把不易直接求的B 点到平面1AMB 的距离转化为容易求的点K 到平面1AMB 的距离的计算方法，这是数学解题中常用的方法；解法一采用了等体积法，这种方法可以避免复杂的几何作图，显得更简单些，因此可优先考虑使用这一种方法.

考点2 异面直线的距离

此类题目主要考查异面直线的距离的概念及其求法，考纲只要求掌握已给出公垂线段的异面直线的距离. 例2已知三棱锥ABC S -，底面是边长为24的正三角形，棱SC 的长为2，且垂直于底面.D E 、分别为AB BC 、的中点，求CD 与SE 间的距离.

思路启迪：由于异面直线CD 与SE 的公垂线不易寻找，所以设法将所求异面直线的距离，转化成求直线与平面的距离，再进一步转化成求点到平面的距离. 解答过程：

如图所示，取BD 的中点F ，连结EF ，SF ，CF ，

EF ∴为BCD ?的中位线，EF ∴∥CD CD ∴,∥面SEF ,

CD ∴到平面SEF 的距离即为两异面直线间的距离.

z A

B C D

1

A

1

C

1

B

O F y

又 线面之间的距离可转化为线CD 上一点C 到平面SEF 的距离，设其为h ，由题意知，24=BC ,D 、E 、F 分别是 AB 、BC 、BD 的中点，

2,2,62

1

,62=====∴SC DF CD EF CD 3

3222621312131=????=????=

∴-SC DF EF V CEF S 在Rt SCE ?中，3222=+=CE SC SE 在Rt SCF ?中，30224422=++=+=CF SC SF

又3,6=∴=

?SEF S EF

由于h S V V SEF CEF S SEF C ??=

=?--3

1

，即332331=

??h ，解得332=h 故CD 与SE 间的距离为332. 小结：通过本例我们可以看到求空间距离的过程，就是一个不断转化的过程.

考点3 直线到平面的距离

此类题目再加上平行平面间的距离，主要考查点面、线面、面面距离间的转化. 例3． 如图，在棱长为2的正方体1AC 中，G 是1AA 的中点，求BD 到平面11D GB 的距离. 思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解. 解答过程：

解析一 BD ∥平面11D GB ，BD ∴上任意一点到平面11D GB 的距离皆为所求，以下求

点O 平面11D GB 的距离,

1111C A D B ⊥ ，A A D B 111⊥，⊥∴11D B 平面11ACC A ,

又?11D B 平面11D GB ∴平面1111D GB ACC A ⊥，两个平面的交线是G O 1, 作G O OH 1⊥于H ，则有⊥OH 平面11D GB ，即OH 是O 点到平面11D GB 的距离. 在OG O 1?中，2222

1

2111=??=??=?AO O O S OG O . 又362,23212111=∴=??=??=

?OH OH G O OH S OG O .即BD 到平面11D GB 的距离等于3

6

2. 解析二 BD ∥平面11D GB ，

BD ∴上任意一点到平面11D GB 的距离皆为所求，以下求点B 平面11D GB 的距离.

设点B 到平面11D GB 的距离为h ，将它视为三棱锥11D GB B -的高，则

，由于632221,111111=??=

=?--D GB GBB D D GB B S V V 34

222213111=????=-GBB D V , ,3626

4==∴h

即BD 到平面11D GB 的距离等于

3

62. B

A

C

D

O

G

H 1A 1

1D

1

B 1O

小结：当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点，转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离. 考点4 异面直线所成的角

此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角，然后通过解三角形来求角.异面直线所成的角是高考考查的重点. 典型例题

例4如图，在Rt AOB △中，π6

OAB ∠=，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为

轴旋转得到，且二面角B AO C --的直二面角．D 是AB 的中点． （I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ；（II ）求异面直线AO 与CD 所成角的大小． 思路启迪：（II ）的关键是通过平移把异面直线转化到一个三角形内. 解答过程：解法1：（I ）由题意，CO AO ⊥，BO AO ⊥， BOC ∴∠是二面角B AO C --是直二面角，

CO BO ∴⊥，又AO BO O =，CO ∴⊥平面AOB ，又CO ?平面COD ．

∴平面COD ⊥平面AOB ．

（II ）作DE OB ⊥，垂足为E ，连结CE （如图），则DE AO ∥， CDE ∴∠是异面直线AO 与CD 所成的角． 在Rt COE △中，2CO BO ==，112

OE BO ==，

CE ∴

12

DE AO ==

∴在Rt CDE △

中，tan CE CDE DE

===．

∴异面直线AO 与CD

所成角的大小为

解法2：（I ）同解法1．

（II ）建立空间直角坐标系O xyz -，如图，则(000)O ，，

，(00A ，，(200)C ，，

，(01D ，

(00OA ∴=，

，(2CD =-，cos OA CD OA CD OA CD

∴<>=

，6322

=

=

∴异面直线AO 与CD 所成角的大小为

小结： 求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：①平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如解析二；②补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系，如解析三.一般来说，平移法是最常用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法.同时要特别注意异面直线所成的角的范围：??

? ??2,

0π. 考点5 直线和平面所成的角

此类题主要考查直线与平面所成的角的作法、证明以及计算. 线面角在空间角中占有重要地位，是高考的常考内容.

例5.四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面

ABCD ．已知45ABC =∠，2AB

=，BC =SA SB ==

（Ⅰ）证明SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小．

考查目的：本小题主要考查直线与直线,直线与平面的位置关系，

二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力． 解答过程：解法一：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ， 得SO ⊥底面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =，

O C

A

D

B

E

x

D C

A

S

又45ABC =∠，故AOB △为等腰直角三角形，AO BO ⊥，由三垂线定理，得SA BC ⊥． （Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥，依题设AD BC ∥， 故SA AD ⊥

，由AD BC ==

SA =

AO =1SO =，

SAB △的面积2

1112

2S AB

SA ?=- ?

连结DB ，得DAB △的面积21

sin13522

S AB AD ==

设D 到平面SAB 的距离为h ，由于D SAB S ABD V V --=，得

1211

33

h S SO S =，解得h = 设SD 与平面SAB 所成角为α，则sin h SD α=

所以，直线SD 与平面SBC 所成的我为

解法二：

（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥平面ABCD ．

因为SA SB =，所以AO BO =．

又45ABC =∠，AOB △为等腰直角三角形，AO OB ⊥． 如图，以O 为坐标原点，OA 为x 轴正向，建立直角坐标系O xyz -，

0)A ，，(0B ，(0C ，，(001)S ，，，(21)SA =-，

，， (0CB =，0SA CB =，所以SA BC ⊥．

（Ⅱ）取AB 中点E ，0E ?????

，连结SE ，取SE 中点G ，连结OG ，12G ???

??

，． 12OG ?=????，，1SE ?=??

??

，(AB =． 0SE OG =，0AB OG =，OG 与平面SAB 内两条相交直线SE ，AB 垂直．

所以OG ⊥平面SAB ，OG 与DS 的夹角记为α，SD 与平面SAB 所成的角记为β，则α与β互余．

D ，(DS =．

22cos 11

OG DS OG DS

α=

=

sin β

所以，直线SD 与平面SAB 所成的角为

小结：求直线与平面所成的角时，应注意的问题是（1）先判断直线和平面的位置关系；（2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤：①构造——作出斜线与射影所成的角，②证明——论证作出的角为所求的角，③计算——常用解三角形的方法求角，④结论——点明直线和平面所成的角的值.

考点6 二面角

A