计算方法实验一-二分法

学院 长望学院 专业 大气科学实验班 年级 班次 1 姓名 仙女 学号
1. 引言-问题重述
问题一要求对方程3()250f x x x =--=，用二分法，至少找到一个根，并展示一下信息：（a ）近似根（b ）初始猜测（区间）（c ）迭代次数（d ）停止准则（3）收敛速度 问题二要求用二分法求出以下两个方程的近似根：
（a ）5()10f x x x =--=,
（b ）22520x e x -+=.
2. 数学公式-数值方法和参数定义
二分法求根原理为：若[,]f C a b ∈，严格单调，且()()0f a f b <g ，则f 在(,)a b 上有一实根。

其基本思想为：逐步将区间分半,计算中点处的函数值，根据介值定理选择比原区间缩小一半的有根区间,如此继续下去,直到得到满足精度要求，从而求出满足给定精度的根的近似值。

针对问题一，本文根据方程，定义函数f(x)=a*x*x*x+b*x*x+c*x+d=0，其中,,,a b c d 为各项系数；精度16eps e =-；,m n 分别为求根区间的左右端点，即收敛区间[,]m n ；i 为近似根；v 为收敛速度，count 为当前迭代次数。

其中，count 为单精度int 类型，其余均为双精度double 类型。

基于以上参数定义，设置收敛准则为：当根和函数值的精度小于所设置精度时，结束循环，并输出收敛区间、迭代次数、近似根以及收敛速度。

具体表现为：每进行一次循环视近似根i 的相对位置对收敛区间进行修正，同时对迭代次数+1；收敛速度可通过下式计算：
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n n n n x x v x x +--=-. 针对问题二（a ）在问题一的基础上，更改方程f(x)=a*x*x*x+b*x*x+c*x+d=0的系数以及相关项即可求得相应结果。

对于（b ）将方程改为：exp(2*x)-5*x*x+20=。

3. 数值实验-讨论和分析数值结果
针对方程3()250f x x x =--=，首先对其求导，判断单调性，再进行需略估算，发现(2)(3)0f f <g ，于是设置初始收敛区间为[2,3]，进而通过二分法求得结果如图1。

结果为：迭代次数21次，近似跟* 2.094551x =，收敛速度为0.5.
针对方程5()10f x x x =--=，通过人工求导，判断单调性，粗略估算初始收敛区间为[1,2]，同样，通过二分法求解，结果如图2。

结果为：迭代次数21，近似跟* 1.167304x =，收敛速度为0.5.
针对方程22520x e x -+=，通过求导，判断单调性，粗略估算初始收敛区间为[1,0]-，
学院 长望学院 专业 大气科学实验班 年级 班次 1 姓名 仙女 学号 同样，通过二分法求解，结果如图2。

结果为：迭代次数17次，近似跟*0.672398x =-，收敛速度为0.5.
图1 方程3
()250f x x x =--=的求解结果
图2 方程5()10f x x x =--=的求解结果
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图3 方程22520x e x -+=的求解结果
4. 结论 二分法算法简单，容易理解，且总是收敛的，收敛速度与方程无关，恒为0.5，速度较慢，当精度为16eps e =-时，迭代次数基本在15~25之间。

然而，仅适用于单调函数，当所求函数非单调时，须进行预估；此外，不能求复根、偶数重根等。

5. 程序
#include <stdio.h>
#include <math.h>
const double eps = 0.5*1e-6; //定义我们计算的精度
double a,b,c,d;//假定我们输入的函数是一元三次方程组，a*x*x*x+b*x*x+c*x+d=0 double f(double x) //定义我们的函数
{
return a*x*x*x+b*x*x+c*x+d;
}
int main()
{
int count=0;
double m,n,v=0.0;//求根区间[m,n]
double i,j,sum;
printf("请输入一元三次方程组的系数：a,b,c,d:");
scanf("%lf%lf%lf%lf",&a,&b,&c,&d);
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printf("\n请输入初始求根区间[m,n]:");
scanf("%lf%lf",&m,&n);
if(f(m)*f(n)<0)
{
while(fabs(m-n)>eps)
{
i=(m+n)/2.0;
sum=f(i);
printf("第%d次迭代区间为：[%lf，%lf] 近似根：%lf 函数值：%lf\n",count,m,n,i,sum);
if(fabs(sum)<eps)//停止准则
{
break;
}
else if(f(i)*f(m)<0)
{
n=i; //修正区间，将[m,n]换成[m,i],这里的i是中点
}
else if(f(i)*f(n)<0)
{
m=i;//修正区间，将[m,n]换成[i,n],这里的i是中点
}
count++;
}
}
/*else{
printf("请输入正确的初始求根区间") ;
} */
printf("收敛区间：[%lf，%lf]\n迭代次数：%d",m,n,count);
j=(m+n)/2;
v=(m-j)/(n-m);
v=fabs(v);
printf("\n该方程组的近似根:x*=%lf\n收敛速度：%lf\n",j,v);
return 0;
}。