2014年自主招生培训讲义
2014年自主招生培训讲义10讲第一讲 方程与多项式
2014年自主招生培训讲义（四川培训专用） 第一讲.方程与多项式知识要求1.因式分解方法2.待定系数方法 3．对称参引方法 4.构造方法例题分析1. 解不等式(1)(2)(3)(4)24.x x x x ----≥ （2009年南京大学）2. 3.= （2005年复旦大学保送生试题） 相关习题（1）.已知1x y +=，n 为正整数，求证：22122.n n nx y -+≥ （2009年清华大学）（2）已知a 、b 为非负实数，44M a b =+，且1a b +=，求M 的最值.（2006年清华大学）3.设实数9k ≥，解方程32229270.x kx k x k ++++= （2006年复旦大学保送生）相关习题（1）.已知方程3210x px qx +++=有3个实根，0p >且0q >.求证：9.pq ≥（2008年南开大学）（2）.设,,a b c ∈R ，使得方程320x ax bx c +++=有3个实根. 证明：如果20a b c -≤++≤，则至少存在一个根在区间[0,2]中.（2013年清华大学夏令营）4.已知方程320x ax bx c +++=的三个根分别为a ，b ，c ，并且,a ，b ，c 是不全为零的有理数，求a ，b ，c 的值. （2005年上海交通大学） 相关习题（1）.是否存在实数x，使得tan x和cot x （2009年北京大学） （2. （2008年复旦大学面试） 5.设实数1a 、2a 、3a 、1b 、2b 、3b 满足123123122331122331123123,,min{,,}min{,,}.a a ab b b a a a a a a b b b b b b a a a b b b ++=++⎧⎪++=++⎨⎪≤⎩求证：123123max{,,}max{,,}.a a a b b b ≤ （2008年北京大学） 6.（1）证明：多项式3()31p x x x =-+有三个实根a b c <<；（2）证明：若x t =为()p x 的一个根，则22x t =-也是()p x 的一个根； （3）定义映射:{,,}{,,}f a b c a b c →，22tt -，求()f a ，()f b ，()f c 的值.（2013年清华大学金秋营）7.给出一个整系数多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++，使()0f x =有一个根为（2009年清华大学）相关习题（1）.已知x =42()f x x bx c =++的一个零点，,b c 为整数，则b c +的值是多少？ （2013年清华大学夏令营） （2）.1n 次方程的最高次数n 的最小值为（ ）A.2B.3C.5D.6 （2013年北约）。
自主招生数学讲义
(2) 以集合 A ∪ B 的元素作为二次方程 x2 + px + q = 0 的两个根，试在 f (x) = x2 + px + q 的最小值
中求出它的最大值和最小值.
{ } { } 【例 19】如果集合 A =
a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6
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2014 年自主招生数学讲义
【例 33】下列有关命题的说法正确的是( )．
A．命题“若 x2 = 1 ，则 x = 1”的否命题为：“若 x2 = 1 ，则 x ≠ 1 ” B．“ x = −1 ”是“ x2 − 5x − 6 = 0 ”的必要不充分条件 C．命题“ ∃x ∈ R ，使得 x2 + x +1 < 0 ”的否定是：“ ∀x ∈ R ，均有 x2 + x +1 < 0 ” D．命题“若 x = y ，则 sin x = sin y ”的逆否命题为真命题
{ } 【例 03】(2012 年西城区第一次模拟考试试题)已知集合 A = x | x = a0 + a1 × 3 + a2 × 32 + a3 × 33 ，其
中 ak ∈{0 ，1， 2}(k = 0 ，1， 2 ， 3) 且 a3 ≠ 0 ，则 A 中所有元素之和等于
.
【例 04】(2011 年北大附中高三适应性训练试题)从 A = {a1 ，a2 ，a3 ，a4} 到 B = {b1 ，b2 ，b3 ，b4} 的
B． (a ∗ (b ∗ a)) ∗ (a ∗ b) = a
C． b ∗ (b ∗ b) = b
D． (a ∗ b) ∗ (b ∗ (a ∗ b)) = b
2014年自主招生考试考前培训
考试开始
考试结束
谢谢大家！
要求准考证、身份证两证齐全、无误。 证件不齐或有误的不得参加考试，立即
退场；如果已经看到考卷或开始答题，
也需退场，到留置室休息，并在考场记 录上写明。（尽量避免这种情况出现）
检查证件、座位
准考证号、座位号是否与座贴相符 准考证上姓名是否与证件姓名相符 准考证照片、身份证照片与本人是否 相符
通讯工具的处理
监考教师：不准带通讯工具入场，如带入，必 须关机，考场绝对禁区止用手机。
考生：考生携带通讯工具或其他违禁物品进入
考场，如时间允许可要求其送出考场，否则送
指定地点放置，声明遗失责任自负。不按要求
处理的，或者隐瞒通讯工具被发现的，以作弊 论处。
违纪处理
对违纪考生一经发现，第一时间报告考务办。
监考分组
监考教师分3组，考前随机抽取组合，每考场
监考教师3人。抽签时请不要挑拣，一次抽定。
监考教师签到、抽签后：
A组教师到领考卷 B组教师领取监考证3个、其他考试材料 C组教师直接进考场检查座位帖、门贴等是否有误
组织考生入场
8:35考生入场。
8:45：
监考教师A保护试卷袋，宣布考场检查
进场和退场
进场时间：考生提前25分钟入场。 退场时间：考试全过程学生原则上不得离开考试 教室（尽量要求学生不要离开教室）。提前答完 考卷的学生11:00分以后可在留置室休息，考试
结束方可出静安楼。
上卫生间：考试过程中原则上不得上卫生间，确
需要上卫生间的，必须有监考教师陪同监督。
检查证件
内容和考场纪律
监考教师B检查禁止随身携带的违规物 品 监考教师C逐一核对准考证、身份证
语文自主招生讲义(新)
2014年自主招生考前辅导 2014.7.17第一节基础知识一、汉字（一）六书象形“象形者，画成其物，随体诘诎，日、月是也。
”象形字来源久远，成为汉字构形的基础。
象形字大多用来表示具体的有形可象的事物，如：日、月、山、川、牛、羊、鱼、鸟、人、口、手、目、眉、木、石等等都是。
指事“指事者，视而可识，察而见义，上、下是也。
”这是用象征性的符号，或在象形字上加上符号，来表示某个词的造字方法。
如本、末、刃、亦。
会意“会意者，比类合谊，以见指撝，武、信是也。
”这是用两个或几个字组成一个字，把这几个字的意义合成一个字的意义的造字方法，如采、从、苗、林、休、炎、祭、降、陟、弄、宗、舁、益、集、寇、冠等。
根据其构成成分的差异，会意字主要分为两类：（1）同体会意，这类字是由两个或两个以上相同的表意符号组合而成的。
如（从），象一人跟在另一人后面，以此表示从义。
（北）像两人相背，以此表示乖离义。
（众），象众人聚集，以此表示众多义。
（2）异体会意字，这类字由两个或两个以上不同的表意符号组合而成的。
如（即），像人走近成盛食物的器皿前就餐，以此表示走近、接近义。
（既）像人用完餐转身离开，以表示动作或过程的完结。
（盥），用手在器皿里弄水，洗手义。
形声“形声者，以事为名，取譬相成。
江、河是也。
”这类字《说文》都用“从某，某声”来表达其结构，如“江”字的结构表述为“从水，工声。
”形声字的结构共有八种：左形右声铜洋硝右形左声攻颈削上形下声管爸晨下形上声案贡凳外形内声固匾衷内形外声问闷闻形在一角哉腾颖声在一角旗座房由以上的分析我们可以看到，实际上象形、指事字多是独体字，字形比较简单，而会意、形声字都是合体字，字形逐渐趋于复杂。
转注“转注者，建类一首，同意相受，考、老是也。
”这里说的转注，实际就是互训，就是用某些意义相同或相近的字互相解释。
假借“假借者，本无其字，依声托事，令、长是也。
”意思是说文献中的某一个词，本来没有为它造过专用字，就依据读音而把这个意义寄托给另一个音同或音近的文字。
(自主招生培训)第一讲：立体几何
第一讲：立体几何第一部分：立体几何中的一些结论1、如图1，分别在两条异面直线上的两点间的距离公式：l =θ为两条异面直线所成的角．2、如图2，PA 与平面π所成的角是PAO α=∠，AQ ⊆面π，QAO β=∠，QAP θ=∠，则得三线角定理：cos cos cos θαβ=．3、如图3，在二面角12l ππ--中，射线DA 、DB 分别在平面1π、2π内，已知ABD θ∠=，ADC α∠=，BDC β∠=，且θ、α、β都是锐角，ϕ是二面角12l ππ--的平面角，则cos cos cos cos sin sin θαβϕαβ-=．4、如图4，二面角12l ππ--的大小为ϕ，A ∈面1π，B ∈面2π，AB 与面1π和面2π所成的角分别为α、β，点A 、B 到棱l 的距离分别为b 、a ，AB c =，则sin sin sin a b cαβϕ==． 5、欧拉定理：设V 、E 和F 分别表示凸多面体的顶点、棱（或边）、面的个数，则2V E F -+=． 6、类比平面几何中的三角形，可以得到空间四面体的一些性质：（1）四面体的六条棱的垂直平分面交于一点，这一点叫四面体的外接球球心；A BM Ndlm n ABM Ndl m n图1PAQO图2lBA D1π2π图3ClBAD1π 2π图4Cr 、S 分别表示四面体的体积、内切球半径、表面积，则13V rS =；（3）四面体的四个面的重心与相对顶点的连线交于一点，这一点叫四面体的重心，四面体的四个面的重心与相对顶点的连线段被四面体的重心分为3:1；（4）每个四面体都有外接球和内切球；7、直角四面体：有一个三面角的三个面角均为直角的四面体称为直角四面体，以长方体的共顶点的三条棱的端点为顶点的四面体是直角四面体．对于直角四面体A BCD -，若直三面角的顶点为A ，互相垂直的三条棱长为a 、b 、c ，外接球半径为R ，内切球半径为r ，则有如下结论：（1）空间勾股定理：22222222221()4ABC ACD ABD BCD S S S S a b b c a c ∆∆∆∆++==++； （2）ABC ACD ABD BCD S S S S r a b c ∆∆∆∆++-=++；（3）R =；（4）直角四面体的对棱中点的连线长相等，且等于外接球半径；8、等腰四面体：三组对棱都相等的四面体统称为等腰四面体，以长方体的一个顶点的三条面对角线的端点为顶点的四面体是等腰四面体，正四面体是特殊的等腰四面体（犹如平几中等腰三角形与等边三角形的关系）；在等腰四面体ABCD 中，记BC AD a ==，AC BD b ==，AB CD c ==，体积为V ，外接球半径为R ，内切球半径为r ，高为h ，则有：（1）V 22222a b c k ++=；（2）R =（3）4h r =；（4）等腰四面体的四个顶点与对面重心的连线段的长相等，且可表示为m =AB DC OM 图5 ADBC图6第二部分：例题讲解【例1】（“卓越联盟”2012自招）在直角梯形ABCD 中，90ABC ∠=，1AB AD AP ===,2BC =，面ABP ⊥面A B C D． （1）求证：面PAB ⊥面PBC ；（2）若0120PAB ∠=，求二面角B PD C --的正切值．【例2】（清华2008自招）（1）一个四面体，证明：至少存在一个顶点，从其出发的三条棱可以组成一个三角形；（2）四面体的一个顶点的三个面角分别为090、060、arctan 2，求060的面和arctan 2的面所成的二面角的大小．【例3】（同济2010自招）四面体ABCD 中，AB 和CD 为对棱，设AB a =，CD b =，且异面直线AB 与CD 间的距离为d ，夹角为θ．（1）若2πθ=，且棱AB 垂直与平面BCD ，求四面体ABCD 的体积； （2）当2πθ=时，证明：四面体ABCD 的体积为定值；（3）求四面体ABCD 的体积． PAB C DAB C D ACBNO【例4】（清华2009自招）四面体ABCD 中，AB CD =，AC BD =，AD BC =． （1）求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形；（2）设底面为BCD ，另外三个面与面BCD 所成的二面角为α、β、γ，求证：cos cos cos 1αβγ++=．【例5】（复旦2009自招）半径为R 的球内部装4个半径相同的小球，则小球半径r 的最大值为 ．【例6】（1）（武大2006自招）已知一个简单多面体的每一个面均为五边形且它共有30条棱，则多面体的面数F 和顶点数V 分别是 ．（2）一个凸多面体各面的内角和为20π，求它的面数、棱数和顶点数．【例7】（五校联考2010）如图，四棱锥P ABCD -中，1B 、1D 分别为PB 、PD 的中点，求两个棱锥11A B CD -、P ABCD -的体积之比11A B CD P ABCDV V --的值．（提示：本题可用这样一个结论：如图，1A 、1B 、1C 分别是OA 、OB 、OC 上（或其延长线）的点，则111111O A B C O ABCV OA OB OC V OA OB OC--=） ADBCABCDP1B1D【例8】（五校联考2010）（1）一个正三棱锥的体积为3，求它的表面积的最小值； （2）一个正n 棱锥的体积为V （定值），求一个与n 无关的充要条件，使得正n 棱锥的表面积取得最小值．【例9】（复旦2001基地）全面积为定值2a π（0a >）的圆锥中，体积的最大值为 ．第三部分：练习题1、（五校联考2010）平面α∥平面β，直线m α⊆，n β⊆，A m ∈，B n ∈，AB 与平面α所成角为4π，AB n ⊥，AB 与m 的夹角为3π，则m 与n 所成的角为 ．2、直线l ⊆面α，经过面α外一点A 作与直线l 、面α都成030的直线有且只有 条． 3、（华约2011自招）两条异面直线a 、b 所成角为060，点P 为空间一定点，则过点P 且与直线a 、b 所成的角都是045的直线有且只有 条．4、已知二面角l αβ--的大小为050，P 为空间一定点，则过点P 且与面α、面β所成的角都是025αβmn AB5、直线a 与平面α所成的角为030，P 为空间一定点，过P 作与直线a 、面α都成045角的直线有且只有 条．6、过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线l ，使l 与棱AB 、AD 、1AA 所成的角都相等，这样的直线有 条．7、（复旦2008自招）空间中，与三条两两异面的直线都相交的直线有 条．8、已有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点相连能焊接成一个三棱锥的铁架，则a 的范围是 ．9、一个空间四面体有5条棱长均为2，则该四面体的体积的取值范围为 ． 10、在正三棱锥P ABC -中，M 为ABC ∆内（含边界）一动点，若点M 到三个侧面PAB 、面PBC 、面PCA 的距离成等差数列，则点M 的轨迹是 ．11、在直三棱柱111ABC A B C -中，底面为直角三角形，090ACB ∠=，6AC =，1BC CC ==，点P 是1BC 上一动点，则1A P PC +的最小值为 ．12、一个四棱锥和三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面是正方形，且底面边长和侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长和侧棱长也相等，设四棱锥、三棱锥、棱柱的高分别为1h 、2h 、h ，则12::h h h = ．13、在三棱锥O ABC -中，三条棱OA 、OB 、OC 两两垂直，且OA OB OC >>，分别过三条棱作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为1S 、2S 、3S ，则1S 、2S 、3S 的大小关系为 ．14、在三棱锥P ABC -中，2PA BC ==，3PB AC ==，4PC AB ==，则此三棱锥外接球的表面积为 ．15、在正三棱锥P ABC -中，E 、F 分别是PA 、AB 的中点，若090CEF ∠=，AB =，则此三棱锥的外接球球心到底面ABC 的距离是 ．若M ∈面ABC ，且点M 到面PAB 、面PBC 、面PAC 的距离分别为1、2、3，则PM = ．16、（华南理工2009自招）已知A 、B 、C 、D 四点是某球面上不共面的四点，且AB BC AD ===2BD AC ==，BC AD ⊥，则此球的表面积为 ．17、半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，且2AB CD ==，则四面体ABCD 的体积的最大值为 ．18、（复旦2008自招）在三棱柱111ABC A B C -中，M 、N 分别是1BB 和11B C 的中点，由A 、M 、N 所确定的平面将该三棱柱分割成的体积不等的两部分，则小部分的体积和大部分的体积之比为 ． 19、（南大2009自招）四面体ABCD 中，平面π截四面体所得的截面为EFGH ，且AB ∥面π，CD ∥面π，AB 到平面π的距离为1d ，CD 到平面π的距离为2d ，1d k d =．则空间几何体ABEFGH 与四面体ABCD 的体积之比 ．（用k 表示）20、（华南理工2009自招）在正三棱锥P ABC -中，侧棱长为3，底面边长为2，E 为BC 的中点，EF ⊥PA 于F ．（1）求证：EF 为异面直线PA 与BC 的公垂线；（2）求异面直线PA 与BC 间的距离； （3）求点B 到面PAC 的距离． 21、（华约2011）在正四棱锥P ABCD -中，M 、N 分别为PA 、PB 的中点，且侧面与底面所成，则异面直线DM 与AN 所成角的余弦值为 ．22、（卓越联盟2011）在三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长均为2，且E 为1CC 的中点，则点1C 到平面1AB E 的距离为 ．23、（复旦2012）侧面积为定值a 的圆锥的最大体积的二次幂为 ．24、（2011年全国高中数学联赛）在四面体ABC D 中，3A DB B DC CD A π∠=∠=∠=，3AD BD ==，2CD =，则外接球的半径是 ．。
高二自主招生讲座(解析几何)
2014自主招生（数学）解读与备考2013、12一、先看一个问题：例1、（2011年自主招生华约数学试题14）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，12F F 、分别为C 的左、右焦点。
P 为C 右支上一点，且12=,3F PF π∠ 12F PF ∆的面积为2．（Ⅰ）求C 的离心率e ；（Ⅱ）设A 为C 的左顶点，Q 为第一象限内C 上的任意一点，问是否存在常数(0)λλ>,使得22QF A QAF λ∠=∠恒成立。
若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 谈几个问题：1、北约考察的重点：研究能力（意识与方法）；2、谈谈题是怎么编的 （1）、机器 （2）、理论结论1、设F 为圆锥曲线焦点，其相应准线为l ，作一直线交圆锥曲线于P A 、两点，交l 于M ，则FM 平分AFP ∠（或其外角）。
点(0,1),E 且与椭圆相交于,C D 两点.① 求椭圆方程；② 若直线l 与x 轴相交于点G ，且,GC DE =求k 的值；③ 设A 为椭圆的下顶点，,AC AD k k 分别为直线,AC AD 的斜率. 证明对任意的k ，恒有2AC AD k k ⋅=-xy结论2、设),(00y x P 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一定点，PB PA 、为它的任意两条弦，斜率分别为21,k k 。
若12k k λ⋅=（注：22b a λ≠），则直线AB 过定点（2222002222,a b a b x y a b a bλλλλ++---）。
例3、已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率是，且经过点(2,1)M ．直线1(0)2y x m m =+<与椭圆相交于A ，B 两点． （1）求椭圆的方程；（2）求△MAB 的内心的横坐标．结论3、设),(00y x P 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一定点，PB PA 、为它的任意两条弦，斜率分别为21,k k ，若021=+k k ，则直线AB 的斜率是定值0202y a x b k =。
高三自主招生培训资料
2014届高三自主招生培训资料第一部分：相关政策回顾：文件1：三大联盟自主招生方案：“华约”由清华大学、中国人民大学、中国科学技术大学、上海交通大学、西安交通大学、南京大学、浙江大学7校组成。
2013年“华约”自主招生考试（简称“AAA测试”）报名将于12月15日开始，2013年3月2日上午在全国30个省（自治区、直辖市）的考点同时举行，考生可以在报名时自由选择一个考点参加考试。
除完成网上报名外，考生还须按照各高校要求寄送相关报名材料。
高校将在收到材料后，组织专家独立评审，并初定于2013年1月12日前后在报名系统中公布初审结果。
“北约”由北京大学（含医学部）、北京航空航天大学、北京师范大学、厦门大学、山东大学、武汉大学、华中科技大学、中山大学、四川大学、兰州大学、香港大学11所高校组成。
2013年上述高校继续在自主选拔录取中联合命题、统一组织笔试并共享考试成绩。
每位考生最多可报3所高校。
各高校根据考生提交的申请材料独立进行初审，合格者获得参加于2013年3月2日在全国各省（自治区、直辖市）同时举行的综合性大学自主选拔录取联合考试资格。
“卓越联盟”由北京理工大学、重庆大学、大连理工大学、东南大学、哈尔滨工业大学、华南理工大学、天津大学、同济大学、西北工业大学9校组成。
该大学联盟2013年自主选拔录取工作将于2012年12月15日开始，考生可同时申请两所卓越大学联盟高校，并按申请高校的要求提交申报材料。
高校将对报名考生资格进行审核，审核合格考生将统一于2013年3月2日进行“学科基础测试”。
为方便考生，测试将在全国大部分省会城市和主要城市设置考点，考生可就近选择考点参加学科基础测试。
文件2：关于北京大学2013年自主选拔录取笔试有关情况的说明近日，我办陆续接到考生关于2013年北京大学自主选拔录取笔试工作的咨询。
经研究，现将我校2013年自主选拔录取选测科目和报考专业等相关注意事项说明如下:1、笔试选测科目1：自然科学基础（数学、物理）；选测科目2：人文科学基础（语文、数学）。
2014年上海民航职业技术学院依法自主招生
2014年上海民航职业技术学院招收中等职业学校应届毕业生《民航基础知识》专业技能考试复习资料第一部分绪论一、世界民用航空发展简史人类向往飞行的梦想一直伴随着整个人类的历史。
最初因飞鸟的启示而向往升空飞翔，由于技术的不发达，飞行的理想自然得不到实现，于是人类便以宗教和神话为寄托，出现了许多美妙神话和动人传说。
中国古代在飞行技艺方面的发明和创造相当丰富，如竹蜻蜓、木鸟、风筝、孔明灯以及火箭等。
风筝和竹蜻蜓可以说是人类最早的人造飞行器，而孔明灯则是人类最早的热气球，这些发明曾对欧洲航空产生了很大的影响。
真正开始航空科学研究的人是意大利科学家达·芬奇。
他研究了鸟的飞行原理，得出了许多关于飞行的正确认识，还设计了扑翼机、降落伞和直升机等。
1783年，法国的蒙哥尔菲兄弟研制的热气球成功载人升空。
同年出现了氢气球，随后德国人就用气球运送邮件和乘客，这可以说是民用航空的开始。
1852年，法国的吉法尔成功地进行了载人飞艇飞行。
此后的一段时间内，轻于空气的飞行器成了航空发展的主流。
由于缺乏航空技术理论的指导，重于空气的飞行器发展十分缓慢。
19世纪的航空发展主要在四个方面进行探索：一是气球与飞艇研制；二是滑翔机研制与试验；三是动力飞机试制；四是空气动力学研究。
当时最为活跃的动力飞机研制主要集中在法国，阿代尔正是法国在这一领域的主要代表人物之一，飞机这个词就是他发明的。
进入19世纪后期，滑翔飞行异常活跃，德国工程师奥托·李林塔尔是其中的代表人物，并为此献出生命。
美国的兰利以其丰富的理论知识，研制并成功地试验了模型飞机，他研制的全尺寸飞机也接近取得成功。
1903年12月17日，在广泛吸收前人的成果并结合自己研究的基础上，美国莱特兄弟制造的“飞行者1号”飞机腾空而起，飞行时间12秒，飞行距离36.6米，人类历史上第一架靠动力推进，可持续平飞的重于空气的载人飞行器—飞机终于诞生，航空新纪元开始了。
1909年7月25日，法国布莱里奥驾驶他设计的单翼机首次飞越英吉利海峡，飞机第一次成为实际使用的运输工具。
2014年高中数学自主招生数列综合题讲座
2014年高中数学自主招生数列综合题讲座陕西特级教师 安振平● 趣味引例麻雀会数数吗？窑洞里放着麦粒，一群麻雀飞进去吃．有1个人进去，麻雀“呼”的飞出来了，落在窑洞门口的桐树上，人不出来它们不进去，人一出来它们就飞进去，这说明麻雀会数“数1”；有2个人进去，麻雀“呼”的又飞出来，落在窑洞门口的桐树上，人不出来它们不进去，1个人出来它们还不进去，2个人出来它们就飞进去了，这说明麻雀会数“数2”；4个人进去，麻雀“呼”的飞出来，落在窑洞门口的桐树上，第1个人出来它们不进去，第2个人出来它们还不进去，第3人一出来它们就飞进去，看见里面有人“呼”的又飞出来了，这说明麻雀对“3以上”的数已经数不清楚了．● 知识梳理 数列： 等差数列 等比数列 周期数列 递减数列 递增数列 有界数列 递推数列通项、求和、数列不等式证明、 数列参数范围的探求、数学归纳法。
● 简单例子例1（2013北约）若数列{}n a 首项为1，142n n s a +=+，求2013a 的值 解：由11a =，142n n s a +=+得，25a =当2n ≥时，142n n s a -=+，因此，()11442n n n a a a n +-=-≥，变形得，()()112222n n n n a a a a n +--=-≥，因为 2123a a -=，所以， ()1112122252n n n n a a a a --+-=-⋅=⋅()2n ≥，两边同除12n +得，()1132224n n n n a a n ++-=≥， 于是，()()1212332122244n n a a n n n +++=+-⋅=≥ 所以，()11322n n a n -+=+⋅()2n ≥，故 2012201330192a =⋅评析：本题是数列综合题，全面检测学生的数列综合知识.考查学生分析、推理与化归能力，为高等数学微积分中极限、级数等内容的顺利学习奠定基础.例2已知数列{}n a 满足)(log log 1133++∈=+N n a a n n ，且2469a a a ++=，则()3579log a a a ++的值是______.解：由3311log log n n a a ++=，得 ()331log 3log n n a a +=， 所以13n n a a +=，即13n na a +=，则正项数列{}n a 是公比为3的等比数列.因为2469a a a ++=，所以 33335246333393a a a ++=⋅=， 即 55793a a a ++=，所以 ()535793log log 3 5.a a a ++==填5.例3 对于三次函数d cx bx ax x f +++=23)(，定义)(''x f y =是函数)('x f y =的导函数。
自主招生讲座―考前培训geng课件
2 同理：uw x, vw z,于是有uvw xyz,命题成立。
所证不等式两端为乘积形式， 为轮换对称式，
通常由同向不等式相乘得到结果。
二、换元引参
例、(2011华约)已知向量a (0,1),b ( 3 , 1), c ( 3 , 1),
22
22
xa yb zc (1,1),求x2 y2 z2的最小值。
自主招生讲座
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如何应对自主招生
❖ 考前：自信基础上的淡定。 1、自主招生考试超纲题很少，重点是通过知识的灵
活运用及思想方法的迁移来考察学生的创新意识， 综合分析能力和创新素养。要相信自己具备了相应 的材料，你只需精心制造产品。 2、积极通过真题适应：一要有充分的心理准备。二 要明白题目的设置特点，了解题情。三要冷静下来 揣摩切入的关键，形成经验和机智。 3、积极准备，平常心面对，不求完美，尽力而为。
(i
1、2、3、4)，
4
则 xi =-10. i 1
4
要使
xi
2最大，且-6
x i
10（；不能超过两个正数）
i 1
设有y个-6，则-6 y 10(4 y) 10,得y 3.
四个数中，-6越多，越好，故取3个-6，一个8.
自主招生资料2014
这几天，自主招生校荐指标马上要发到中学了，各高校自招简章也即将陆续发布。
自主招生是当下的热门话题。
那自主招生，要不要参与？怎样理性参与？今年，在高考一系列改革之下，自主招生该怎样理解和应对？一、高考系列改革，对14年自主招生的可能影响：保送政策变化：加剧顶尖高校竞争。
取消了原学科竞赛省级一等奖保送资格，但这部分学科特长生仍是高校最青睐对象，拔尖计划等特殊人才选拔类自主招生，将向他们倾斜。
前阵的清北金秋营可见一斑。
如果总自主招生认定人数、招生计划不增加的话，将极大地加剧清北等顶尖高校的竞争程度。
照顾加分变化：获取自招资格更有效。
照顾加分项目（人数）减少、分值降低，将使自主招生资格更加有效，自主优惠比以往更能体现其价值。
原优干（20分）等，往年政策加分优惠较大，在自招上重在参与，今年则可能会下大工夫力争。
这也一定程度上加剧竞争。
招生计划变化：统考竞争加剧，波及自主招生。
13年一本高校招生计划骤降，统考竞争加剧，为保证高校录取概率，自招竞争加剧，高校投放自招计划、学生参与意愿双增强，14招生计划下，该影响可能延续。
考题难度降低：高考统考区分度降低，高校自招强化。
这个不用说了，区分度降低，顶尖高校为确保目标生源，必将强化自主招生。
14年，已有消息说考题难度与13基本持平，高校必在自主招生上对策。
报考政策变化：次顶尖高校圈生源策略变化，自招强化。
清北以外，往年次顶尖高校可确保捡漏一部分高分生源，14年新政下，绝大多数考生会有冲高，高校为圈生源，在自主招生上圈人，是一个优选策略和趋势。
二、自主招生报考高校选择注意：1A的有效性限制：新志愿填报政策下，自主招生认定资格，只在1A填报下有效。
因此，校荐资格的取得、自荐高校，主攻目标宜以将来可能的1A高校为主。
如果获得高校自招资格，将只在1A位置报考有效，提前批、1B位置报考将不会生效。
适报高校定位：新政下，适报高校（孩子成绩对应市排名、高校录取分数对应市排名，二者之间的匹配）与往年政策下会有较小变化，高校提档线对应市排名有可能有微小提高，参考往年数据，应注意适当调整。
2014年自主招生详解
自主招生政策不变的背后原因：今年三中全会思想提出关于教育的改革方案正在缓慢实现，基本分成三类。
第一类是“大学多次选拔招生”，这个思想在今年的自主招生中实施得非常好，尤其是以清华北大为首的高校举行的各种特殊自主招生。
第二类是“招考分离、专业机构组织考试”，这部分政策在近几年正在努力实行，形式上已经完成。
教育部考试院组织三大联盟命题、考试、阅卷就是一个例子。
第三类是“中学自主教学、大学自主招生、社会参与监督”，这部分政策近几年可能会缓慢实行。
公平和灵活是一对矛盾的词，教育向灵活方向改革进行的太快就会必然导致不公平，所以这一类偏向灵活性的政策需要时间。
自主招生的总方针“削弱高考、多元选拔、多次考试、自主招生”是一个美好的愿望，实际操作需要在“公平”和“灵活”上找到平衡点，有不少困难，实际进行选拔和招生上以妥协为主是一个重要的手段，所以自主招生的组织形式在变，但实际命题、实际考试、实际招生不会变。
具体从备考上来说，实际命题人是大学教授中学老师不变，必然导致由题型题目描述构成的笔试风格分成明显的两类。
像学而思自主招生研究中心在多次讲座上题到的一样，笔试难度一定是1/3高考难度的题、1/3高考边缘的题、1/3竞赛超纲的题。
教育部考试院统一组织，必然导致了不管是考华约、北约、还是卓越的同学都必须同时准备这两类题，因为这两类题可能以单独或者混编的形式出现在三大联盟的考试试卷上。
具体备考可以参见学而思自主招生研究中心的讲座。
自招规模：不少高校的自主招生简章上都有再次申明自主招生选拔人数占招生计划总数的5%。
但实际上今年自招规模和往年相比不增不减，总人数随高考总人数减少而减少。
高校实际招生人数是招生计划总数的2倍，清华北大实际加分人数占实际招生人数的50%，华约北约实际加分人数占实际招生人数的25%。
另一方面，今年自主招生的规模不会因为竞赛保送的取消而受到冲击。
各高校尤其是清华北大已经通过“强省签约”、“数学营”、“物理营”、“化学营”、“冬令营”、“拔尖计划”等等将竞赛优秀选手以特殊自主招生的形式进行多次选拔，特殊自主招生选拔的竞赛选手和往年的竞赛保送人数相当。
2014年自主招生面试讲义第一讲
自主招生第一讲——从礼仪做起，礼仪与面试程序一、着装着装是构成第一印象的一个重要部分，很多人忽视这一部分。
衣服的搭配要请父母好好斟酌一下，因为是初春，所以保暖是要保证的，但是，不要太过臃肿，不要太花哨，简单整洁。
对于男生，着装相对简单，穿符合自己时代的衣服个人认为很重要，在几年中，我都看到了不少着正装参加面试的同学，个人不是很建议着正装参加面试，因为成熟程度与之相差较大，但如果个人情况，那么在下面会介绍。
而女生，是比较特殊的，很多大学生认为，并用图片证明，高中的自己和大二的自己发生的变化太大，感觉到那时太土，所以，可以从人人上看一看大一的学长学姐怎么穿冬装，当然是比较保守的，而不是要风度不要温度的，相信多看几张你的家长会明白的。
当然如果着正装，也只限于男生，女生正装参加这个面试，从来还没有见过，这不是模联。
男生正装一定要穿皮鞋，把鞋擦干净，不要穿白袜子，黑，灰色推荐，白色或者浅蓝色的衬衣，领带要打好，不要打得不伦不类，正装第二个扣不系，尤其在坐下的时候。
二、礼仪和流程入场，面试五个人一组，大家会自觉列队进入面试间，一个小研讨室，方桌的对面三位教授已然坐好，进入面试间时，请挺胸抬头，按照正常步伐，有些同学会因为对环境陌生而紧张，。
进入研讨室时，最好不要只顾自己，因目光投给教授，示意，教授一般会让你们放好东西，有放在地上的，有放在靠背椅上的。
这里要注意，拉出靠背椅时，不要拖动，轻抬靠背椅，使自己能够进入，放好书包，拿出笔，坐下，调整椅子位置使自己坐正坐舒服，切忌拉出很大的声音，很多人知道也不想这样做，却总是不小心，这里不会给你不小心的机会，也不会让你解释。
调整好位置坐得才能端正，坐得端正也相当重要。
自我介绍环节，有时抽签，有时不抽签，所以不建议你站在最后一个或者第一个，因为有可能第一个说，也有可能最后一个说，这都不是很好。
因为自我介绍有可能教授会加上一些特殊的元素，所以有可能需要短暂的思考，所以，不是第一很重要。
2014年自主招生考试考前培训
收缴考试材料（一）
11:15，提醒考生考试还有15分钟结束。 收考试材料：考试结束铃声响后，考生停
止答题，但不得离开教室，监考教师清点 考试材料，准确无误后考生方可离场。
收缴考试材料（二）
装订考卷：按考号顺序装（包括缺考者），缺 考考生的试卷也一起装订在其应在的位置。
缴考试材料：监考教师将收齐的考试材料立即 送交考务办，清点无误后密封。
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考场监控要求
考场电子监控人员应提前40分钟到达总控 室
教案2014-2015自主招生介绍.pptx
以上；
者；
18、德智体美全面发展，高中阶段学习成绩名列前茅，
10、有航空模型（制作和飞行操控方面）的特长，在高 综合素质优秀，有特殊才能或超常培养潜能，有相关
中阶段获得过全国比赛和世界级比赛名次；
材料可以证明的学生。
12
积极为参加自主招生选拔做准备
社会实践活动的具体形式和内容
时间
2011.3 2011.1 20102011 20102011 2010 2011.5 2011.5 多次 2010 2011
8
自主招生与高考备考关系
• 高考备考与自主招生备考的高度一致性（就高分考生及优秀学生而言）
学科
一致性与相关性的体现
语文
学科核心能力与创新思维的高度一致
数学
高考区分度考题与自主招生考试内容的密切联系
物理
学科主干知识与考查范围的一致性
9
积极为参加自主招生选拔做准备
从四个角度入手准备
成绩
竞赛奖项和作品
特科系——五校联盟 • 北京邮电大学、北京交通大学、北京林业大学、北京化工
大学、北京科技大学
4
参加自主招生考试的重要性与必要性分析
• 照顾加分的不公平现象客观存在，必须通过自主招生获得更多加分。
照顾类型
奥林匹个竞赛 省级优秀学生
市优秀干部 市体优考生 二级运动员 国家或全国比赛前六
市三好 单科成绩优胜者
2014、2015自主招生备考指导
主讲人：吴艳红
.精品课件.
1
自主招生简述 适合对象 招生数量 加分政策 招生程序
2
自主招生常识
考试内容 命题风格与难度 招生院校 特殊高校 未来趋势
3
自主招生常识
2014年自主招生物理考前辅导(1)
2.平衡条件的应用。
解析：
N1 （1）设直杆质量为m1，圆环质 量为m2，以圆环为研究对象， m 2g 其受力分析如图所示 F 0 A x θ N2 即 N1 sin f 2 f1 cos 0 f2 设圆环半径为R，A点到环与地面切点间距离为L，由合力 矩为零，对圆环圆心O有： f1R f 2 R 0 对A点有： N 2 L m2 gL N1L 0 再以杆和环整体为研究对象，对A点有：
A SA S SA SB S SB SC S SC
B
C
在S’系观察者看来，外力做功之和为：
W FA S A FB S B FC SC FA ( S A S ) FB ( S B S ) FC ( SC S ) FA S A FB S B FC SC ( FA +FB +FC )S 0
例5．如图所示，质量为M的平板小车放在倾角为θ的光滑斜面 上（斜面固定），一质量为m的人在车上沿平板向下运动时， 车恰好静止，求人的加速度。
点评： 以车和人组成的系统为研究对象，进行受力分析和运动状 态分析，应用牛顿第二定律列方程求解。
(M m) g sin ma 0
( M m) a g sin m
例3. A、B、C三个物体（均可视为质点）与地球构成一个系 统，三个物体分别受恒外力FA、FB、FC的作用。在一个与地 面保持静止的参考系S中，观测到此系统在运动过程中动量守 恒、机械能也守恒。S’系是另一个相对S系做匀速直线运动的 参考系，讨论上述系统的动量和机械能在S’系中是否也守恒。 （功的表达式可用WF =FS的形式，式中F为某个恒力，S为在 力F作用下的位移） 点评： （1）惯性参考系和非惯性参考系 （2）动量守恒的条件 （3）机械能守恒的条件
2014年高校自主招生解读
2014年高校自主招生解读：自主招生的三种类型第一类是复旦和上海交大的预录取。
这一类是2006年开始的，当年是各个学校300个学生进行自主招生，被认为是面试就可以直接招生入学，当然后来教育部否定了通过面试就入学的这种决定。
当时这两个学校决定只要参加面试，被录取的学生不要参加高考。
当时我还参加了这个政策的决定。
但后来教育部是反对，是需要获得预录取的学生还要参加高考，但是高考成绩仅仅作为参照。
那么当然这个就是可以不受一本线的约束。
那么这是我们全国范围内最优惠的一类自主招生。
后来是到2008年，对两个学校的名额增加到500名。
再到后来，应该讲这两个学校的自主招生的录取名额现在都增加为700名。
包括交大在内，他们就把5%的自主招生名额都涵盖在预录取中了。
这是第一类自主招生，是全国范围内最优惠的自主招生，也称为预录取，只有复旦和上海交大有，其他学校都没有。
第二类自主招生是5%的自主招生。
5%的自主招生呢，就是这个学校拿出他们招生计划的5%进行自主招生。
像2003年开始，当时是有22个学校，现在全国范围内总共有90所高校进行5%的自主招生。
名额大概在全国范围内是4万名左右。
占所有招生计划的5‰。
虽然这个计划不多，但是影响力比较大，因为它涉及到的都是比较好的学校。
其中上海就有8所学校，就是除了复旦和交大之外，还有6所学校，就是同济、华师大、华东理工、上海外国语大学、东华大学、还有华东师范大学。
总共6所大学，他们有5%的自主招生名额。
这是大家要注意的。
除了上海的这8所之外，全国的其他城市，还有82所，这82所，有部分是在本省进行，有的是向全国各个地方进行，因此大家要注意。
这是第二类自主招生。
这一类自主招生，它跟我们的上海的复旦跟交大的预录取是不一样的，复旦和上海交大预录取，它是最优惠的一类改革。
而这类自主招生呢，它实际上是给学生录取分数上的优惠，上海学校呢是在一本线上即可录取，外地学校呢，是在他们的录取分数线下20分到60分之间的录取优惠。
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2014年自主招生培训讲义 第一讲.方程与多项式知识要求1.因式分解方法2.待定系数方法 3．对称参引方法 4.构造方法例题分析1. 解不等式(1)(2)(3)(4)24.x x x x ----≥ （2009年南京大学）2. 3. （2005年复旦大学保送生试题） 相关习题（1）.已知1x y +=，n 为正整数，求证：22122.n n nx y -+≥ （2009年清华大学）（2）已知a 、b 为非负实数，44M a b =+，且1a b +=，求M 的最值.（2006年清华大学）3.设实数9k ≥，解方程32229270.x kx k x k ++++= （2006年复旦大学保送生）相关习题（1）.已知方程3210x px qx +++=有3个实根，0p >且0q >.求证：9.pq ≥（2008年南开大学）（2）.设,,a b c ∈R ，使得方程320x ax bx c +++=有3个实根. 证明：如果20a b c -≤++≤，则至少存在一个根在区间[0,2]中.（2013年清华大学夏令营）4.已知方程320x ax bx c +++=的三个根分别为a ，b ，c ，并且,a ，b ，c 是不全为零的有理数，求a ，b ，c 的值. （2005年上海交通大学） 相关习题（1）.是否存在实数x ，使得tan x 和cot x （2009年北京大学）（2. （2008年复旦大学面试）5.设实数1a 、2a 、3a 、1b 、2b 、3b 满足123123122331122331123123,,min{,,}min{,,}.a a ab b b a a a a a a b b b b b b a a a b b b ++=++⎧⎪++=++⎨⎪≤⎩求证：123123max{,,}max{,,}.a a a b b b ≤ （2008年北京大学） 6.（1）证明：多项式3()31p x x x =-+有三个实根a b c <<；（2）证明：若x t =为()p x 的一个根，则22x t =-也是()p x 的一个根； （3）定义映射:{,,}{,,}f a b c a b c →，22tt -，求()f a ，()f b ，()f c 的值.（2013年清华大学金秋营）7.给出一个整系数多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++，使()0f x =有一个根为（2009年清华大学）相关习题（1）.已知x =42()f x x bx c =++的一个零点，,b c 为整数，则b c +的值是多少？ （2013年清华大学夏令营） （2）.1n 次方程的最高次数n 的最小值为（ ）A.2B.3C.5D.6 （2013年北约）第二讲．数学逻辑知识要求1.反证法2.数形结合方法3.不动点问题例题分析1. 是否存在四个正实数，它们两两乘积分别为2，3，5，6，10，16.（2011年北约十三校联考）相关习题（1）.是否存在π02x <<，使得sin x ，cos x ，tan x cot x 的某种排列为等差数列？ （2010年北约）（2）是否存在两两不同的实数,,a b c 使平面直角坐标系中的三条直线y ax b =+，y bx c =+，y cx a =+共点. （2013年北京大学保送生）2.已知由正整数组成的无穷等差数列中有3项：13，25，41，求证：2009为其中一项.（2009年北京大学）相关习题（1）. 已知12310,,,,a a a a 为大于零的正实数，且1231030a a a a ++++=，1231021a a a a <.求证：12310,,,,a a a a 这10个数是必有一个数在(0,1)之间.（2012年北京大学保送生）（2）已知正数数列12,,,n a a a .对于大于的整数n ，有1232n a a a n +++=，1212n n a a a +=，试证：12,,,n a a a 中至少有一个小于1. （2000年上海交通大学）（3）已知i a （1,2,,2013i =）为2013个实数，满足：1220130a a a +++=，且122320131|2||2||2|a a a a a a -=-==-，求证：1220130.a a a ==== （2013年北约）3.至多能取多少个两两不同的正整数，使得其中任意三个数的和为质数？证明你的结论.（2013年北约）相关习题（1）在1、2、3、…、2012中任取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，则所取的 这组数中最多有多少个数？ （2012年北约） （2）写出由3个质数组成的公差为8的等差数列. （2009年清华大学） 4. 有限多条抛物线（线和线的内部）能够覆盖整个平面吗？证明你的结论.（2009年清华大学特色测试）5. 设p ，q 为实数，函数2()f x x px q =++，如果(())0f f x =只有一个实数根， 求证：p ，0.q ≥ （2011年北京大学保送生试题） 相关习题（1）. 已知函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且()f x x =没有实数根.那么(())f f x x =是否有实数根？并证明你的结论. （2008年上海交通大学冬令营） （2）.证明：若(())f f x 有唯一的不动点，则()f x 也有唯一的不动点.（2009年上海交通大学）6.已知方程()f x x =的根是函数()f x 的不动点，令().bx cf x x a+=+ （1）若12，3为函数()f x 的不动点，求a ，b ，c 的值； （2）在（1）的条件下，若1(1)3f =，求()f x 的解析式. （2003年同济大学）相关习题（1） .已知a 、b 、c 、d 为非负实数，()ax bf x cx d+=+()x ∈R ，且(19)19f =，(97)97f =，若dx c≠-，对任意的x 均有(())f f x x =，试求出()f x 值域以外的唯一数. （2013年清华大学夏令营）7.求证：一个数列12321,,,,n a a a a +中各数相等的充分必要条件是p ：其中任意2n 个元素中n 个元素之和等于另外n 个元素之和. （2009年清华大学）第三讲．集合与函数知识要求1.注重理解集合的基础知识2.掌握柯西方法及柯西方程的转化3.注意函数性质拓展与深化，注意导数工具的作用4.了解极限的概念典型例题1.已知集合225{(,)(1)(2)}4A x y x y =-+-≤，集合{(,)|1|2|2|}B x y x y a =-+-≤， 且A B ⊆，求实数a 的取值范围. （2008年浙江大学） 相关习题（1）已知集合{(,)|(1)(1)}M x y x x y y =-≤-，22{(,)|}N x y x y k =+≤.若M N ⊂，则实数k 的最小值为 （2009年上海交通大学）2. 设{|()}M x f x x ==，{|(())}.N x f f x x == （1）求证：.M N ⊆（2）当()f x 是一个R 上增函数时，是否有?M N =如果有，请证明.（2010年浙江大学）3. 求有限集合12{,,,}n A a a a =，其中12,,,n a a a 为互不相等的正整数，使得1212.n n a a a a a a =++ （2009年上海交通大学、2006年清华大学）相关习题（1）求所有满足tan tan tan [tan ][tan ][tan ]A B C A B C ++≤++的非直角ABC ∆. 这里[]x 表示不大于x 的最大整数（例如[ 1.62]-=-，[1.6]1=）.（2009年南京大学保送生）（2）方程1111x y z++=的所有正整数解(,,)x y z = （2012年清华大学保送生）（2003年上海交通大学冬令营）4. 对于集合2M R ⊆，称M 为开集，当且仅当0P M ∀∈，0r ∃>，使得20{||}}.P R PP r M ∈<⊆判断集合{(,)4250}x y x y +->与{(,)0,0}x y x y ≥>是否为开集，并证明你的结论. （2007年清华大学） 相关习题（1）. 称{1,2,39}，，的某些非空子集为奇子集，如果其中所有数的和为奇数；则共有多少个奇子集？ （2013年北京大学保送生） 5. 已知当1α>时，函数y x α=（0α>）的图象如图所示.（1）设1α>，试用y x α=（0α>）说明，当10x >，20x >时，不等式1212()22x x x x ααα++≤ ○1 成立. （2）利用（1）中不等式证明：若0s t <<，则对任意的正数1x 、2x ，不等式111212()()22s s t t s t x x x x ++≤ ○2 成立. （3）当0x >、0y >且332216x y +=时，求22x y +的最小值.（2010年华中师范大学）6. （柯西方程）设()f x 在R 上单调，对12,x x R ∈有1212()()()f x x f x f x +=+ ○1 则()(1).f x f x =⋅ 相关习题（1）. 若函数()f x 满足()()()()f x y f x f y xy x y +=+++且(0)1f '=，求函数()f x 的解析式. （2000年上海交通大学）（2） 若对每一个实数x ，y ，函数()f x 满足()()()1f x y f x f y xy +=+++，若(2)2f -=-，试求满足()f a a =的所有整数.a （2013年清华大学夏令营）7.已知函数()f x 满足：对实数a ，b 有()()()f ab af b bf a =+，且|()|1f x ≤， 求证：()0f x ≡.（可用以下结论：若lim ()0x g x →+∞=，|()|f x M ≤，M 为一常数，那么lim ()()0x f x g x →+∞=）（2006年清华大学）相关习题（1）. 设()f x 对一切实数x ，y 满足：222()()()()f x y x f y y f x x y =+-，且2|()| 1.f x x -≤求函数().f x （2007年南京大学） （2）求所有的**:f →N N ，满足22()()()()xf y yf x x y f x y +=++对所有的正整数x ，y 都成立. （2013年中国科技大学夏令营）8.方程e 4xx =-，ln 4x x =-的解分别为1x ，2x ，则12x x +=（ ）A.2B.4C.6D.8 （2013年复旦大学） 相关习题（1）实数a ，b 满足lg 10a a +=，1010bb +=，则a b +=_________（2009年上海交通大学）9.（1）已知函数()f x 不恒为0，且对,x y ∀∈R ，有()()2()()f x y f x y f x f y ++-=，若存在常数T ，使得()0.f T =求证：4T 是()f x 的一个周期，且1() 1.f x -≤≤（2013年华东师范大学）相关习题（1）已知函数()f x 满足1(1)4f =，4()()()()(,)f x f y f x y f x y x y R =++-∈，则(2010)f ＝ （2010年高考重庆卷）（2）定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++（,x y R ∈），且(1)2f =，则(3)f -=（ ）A.2B.3C.6D.9 （2008年陕西卷） 10. 已知函数()f x 在[0,)+∞上可导，且满足(0)0f =，|()()| 1.f x f x '-≤证明：当[0,)x ∈+∞时，|()|e 1.xf x ≤- (2012山东大学) 11. （1）设函数()|lg |,,f x x a b =为实数，且0a b <<，若,a b 满足：()()2()2a bf a f b f +==，试写出a 与b 的关系，并证明在这一类关系中存在b 满足3 4.b << （2002上海交通大学）相关习题（1）已知函数|lg |,010,()16,10.2x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若a 、b 、c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ）A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)（2010年全国课标卷）（2）已知函数()|lg |.f x x =若0a b <<，且()()f a f b =，则2a b +的取值范围是（ ）A.)+∞B.)+∞C.(3,)+∞D.[3,)+∞ （2010年全国I 卷） 12.是否存在这样的实数a ，使得()sin f x ax x =+存在两切线相互垂直.（2011年北京大学保送生）13.求证：方程2270x x --=只有5x =一个根. （2008年南开大学）14. 设0x >，（1）求证：21e 12xx x >++； （2）若21e 1e 2xyx x =++，求证：0.y x << （2013年卓越） 15.已知()(1)e 1.x f x x =--（1）求证：当0x >时，()0f x <； （2）若数列{}n x 满足1e1n x n x +=-，11x =，求证：数列{}n x 单调递减，且1.2n x > （2013年华约） 相关习题（1）.已知e 1()ln x f x x-=，11a =，1()n n a f a +=.（i ）求证：e e 10xxx -+≥恒成立； （ii ）试求()f x 的单调区间；（iii ）求证：{}n a 为递减数列，且0n a >恒成立. （2012年清华大学保送生）第四讲．三角函数知识要求1.三角公式的灵活运用2.了解布洛卡点3.合理运用平面几何知识解决三角形问题典型例题1. 已知sin(20)cos(10)cos(10)x x x +=++-，求tan x 的值. （2010年浙江大学） 相关习题（1）. 求值：444sin 10sin 50sin 70.++ （2010年清华大学）（2）. 比较1)sin cos 22x y x y -+与1的大小. （2013年清华大学夏令营）2.. 在单位圆221x y +=上有三点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y 满足：1230x x x ++=，1230.y y y ++=求证：2222221231233.2x x x y y y ++=++=（2011年北京大学保送生） 3. 已知方程sin 4sin 2sin sin3x x x x a -=在[0,)π有唯一解，求实数a 的值.（2012年北约）相关习题（1）方程2(sin cos )30x x ++=是否有解？若有解，求出所有的解；若无解，说明理由.（2009年清华大学）4.在ABC ∆内存在一点O ，满足BAO CAO CBO ACO ∠=∠=∠=∠，求证：ABC ∆的三边构成等比数列. （2011年北京大学保送生）5.设函数()|sin ||cos |f x x x =+，讨论函数()f x 的性质（有界性、奇偶性、单调性、周期性等），并求出极值. （2007年上海交通大学） 相关习题（1）. .函数()2(sin 2)cos sin32f x x x x =+-，且[0,2].x π∈ （i ）求函数()f x 的最大值与最小值；（ii ）求方程()f x =. （2012年清华大学保送生试题）6. 求证：边长为1 （2008年北约）相关习题（1）. 设,,A B C 为边长为1的三角形三边长上各一点，求222AB BC CA ++的最小值.（2013年北约联考）（2）一个圆内接四边形的四个边长依次为1，2，3，4，求这个圆的半径.（2009年北京大学）7.已知ABC ∆不是直角三角形.(1)证明:tan tan tan tan tan tan .A B C A B C ++=⋅⋅(2)若tan tan 1tan B CC A+-=，且sin 2A 、sin 2B 、sin 2C 的倒数成等差数列，求cos2A C-的值. (2011年华约七校联考) 相关习题63 .在ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ， 已知()(sin sin )()sin .a c A C a b B -+=- （1）求角C 的大小；（2）求sin sin A B 的最大值. （2013年卓越） 8. 设,,,a b A B 均为已知实数，对任意x ∈R ，cos 2sin 2cos sin 1A x B x a x b x +++≤恒成立，求证：222a b +≤且221.A B +≤ （第19届IMO ）（2009年哈尔滨工业大学） 相关习题（1）.已知对任意x 均有cos cos 21a x b x +≥-恒成立，求a b ω=+的最大值.（2009年北京大学）第五讲．等式与不等式知识要求1.研究等式成立的条件，并进行求值；2.掌握不等式的解法3.掌握几个重要的不等式，如平均值不等式、柯西不等式、排序不等式、琴生不等式等典型例题1..已知1abc =-，221a bc c+=，222a b b c c a t ++=，求555ab bc ca ++的值. （2013年清华大学保送生试题）相关习题（1）已知225x y =+，225y x =+，求32232x x y y -+的值. （2013年北约）2. 若α、β、π(0,)2γ∈，且222cos cos cos 1.αβγ++=求证：tan tan tan αβγ⋅⋅≥ （2013年中国科技大学夏令营） 相关习题（1）有小于1的正数：12,,,n x x x 满足12 1.n x x x +++=求证：33311221114.n nx x x x x x +++>--- （2010年浙江大学） 3. 求证：对任意的,x y R ∈，不等式223(1)x xy y x y ++≥+-总成立.（2009年中国科技大学）4.. 设12342x x x x ≥≥≥≥，且2341.x x x x ++≥求证：212341234()4.x x x x x x x x +++≤ （2013年清华大学夏令营） 相关习题（1）. 已知*n ∈N ， 2.n ≥求证：1(1) 3.nn+< （2013年中国科技大学夏令营）5. （1）求证：对于任何实数a ，b ，三个数||a b +、||a b -、|1|a -中至少有一个不小于1.2（2004年同济大学）（2）若对一切实数x 都有|5||7|x x a -+->，则实数a 的取值范围是（ ） A.12a < B.7a < C.5a < D.2a < （2008年复旦大学） 相关习题（1）. 如图，一条公路的两侧有六个村庄，要建一个车站，要求到六个村庄的路程之和最小，应该选在哪里最合适？如果在P 的地方增加了一个村庄，并且沿着地图的虚线修了一条小路，那么这时车站设在什么地方好？（2010年浙江大学）（2）. 求()|1||21||20111|f x x x x =-+-++-的最小值. （2011年北约）3.. 若正数,,a b c 1a b c ++=.求证：1111000()()().27a b c a b c ++++≥（2008年南京大学） 相关习题（1）. 设n 为正整数，求证：111(1)(1).1nn nn ++<++ （2008年山东大学） （2）设,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：222111()()()a b c a b c+++++的最小值.（2008年南开大学）4. 设P 为ABC ∆内一点，它到三边,,BC CA AB 的距离分别为123,,,d d d S 为ABC ∆的面积，求证：2123().2a b c a b c d d d S++++≥ （2009年南京大学）（1）.在实数范围内求满足方程组2229,4862439.x y z x y z ⎧++=⎪⎨⎪-+-=⎩的实数,,x y z 的值.（2008年同济大学） 1A 2A 3A 4A 5A 6A BCD EFP（2）.设实数,,a b c 222323.2a b c ++=求证：3927 1.a b c ---++>（2008年西安交通大学）（3）求函数1()2f x x =(06)x <<的最大值. （2013年中国科技大学夏令营）5. 已知,,0x y z >，3x y z ++=，求证：3232321.x y zx y z y z x z x y++≤++++++ （2013年北京大学“百年数学” 金秋科学体验营）相关习题（1）.已知,,A B C 是锐角三角形ABC ∆的三个内角，求tan tan tan A B C ++的最小值.（2010年北京科技大学）（2）. 已知A 、B 、π(0,)2C ∈，且222sin sin sin 1A B C ++=.求A B C ++的最大值.（2013年清华大学夏令营）6.求实数k 的最大值，使得对于任意正实数x ，y ，z ，均有3333|()()()|.x y z xyz k x y y z z x ++-≥--- （2013年北京大学单独招生）7. 求证：在ABC ∆中，3cos cos cos .2A B C ++≤ （2013年中国科技大学夏令营）第六讲．数列知识要求1.掌握等差数列与等比数列的相关知识2.掌握递推数列的通项的求法3.了解极限的相关内容4.掌握数学归纳法典型例题1. （1）已知数列{}n a满足：*110,)n a a n N +==∈，则n a = (2010武汉大学)（2）已知数列{}n a 满足：11a =，123nn n a a a +=+，求数列{}n a 的通项公式（2010东南大学）2.已知方程22(2)(2)x x m x x n -+-+的四个根组成一个首项为14的等差数列，则||m n -的值是（ ）（A ）1 （B ）34 （C ）12 （D ）38（2012年北约） 相关习题（1）.等差数列{}n a 满足：313a =-，7 3.a =这个数列的前n 项和为n S ，数列1S ，2S ，…中哪一项最小？并求出这个最小值. （2011年北约）（2） 已知数列{}n a 的通项公式为22lg(1)3n a n n=++，1,2,.n =n S 是数列的前n 项和，则lim n n S →∞=（A ）0 （B ）3lg2（C ）lg 2 （D ）lg 3 （2012年华约联考） 3. 数列{}n a 、{}n b 的定义是1a ，12b =，11n n n n n a a b a b +++=，11n n nn nb a b b a +++=，求证：2013 5.a < （2013年清华大学夏令营） 相关例题（1）. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足(1).n S na n n =+- （i ）求证：{}n a 为等差数列；（ii ）求点{,}nn S a n所在的直线方程. （2009年清华大学文科）(2). 已知数列{}n a 、{}n b 满足：12n n n a a b +=--，（1） 166n n n b a b +=+（2），又12a =，14b =，试求数列{}n a 、{}n b 的通项公式. （2012年苏州大学自主招生） 4. 设数列{}n a 满足：1a a =，2a b =，212.n n n a a a ++=+（i ）设1n n n b a a +=-，证明：若a b ≠，则{}n b 是等比数列； （ii ）若12lim()4n n a a a →∞+++=，求a 、b 的值. （2011年卓越联盟）相关习题(1) 正项等比数列{}n a 满足：34215a a a a +--=，求56a a +的最小值.（2012北京大学） 5. 已知数列{}n a 满足2111,n n a a a n +==-+，求数列{}n a 的通项公式n a ，并求2000a 的值.（2013年华东师大）相关习题（1）. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：11a =，且142n n S a +=+，则2013a =（2013年北约）（2）. .正数数列{}n x ，{}n y 满足：212n n n x x x ++=+，212n n n y y y ++=+（*n N ∈），证明：存在正整数0n ，使得对任意的正整数0n n >，都有n n x y >成立. （2009年中国科技大学） 6. 设函数()1x m f x x +=+，且存在函数()s t at b ϕ==+（12t >，0a ≠），满足2121().t s f t s-+= （1）证明：存在函数()t s cs d ψ==+（0s >），满足2121()s t f s t +-=； （2）设13x =，1()n n x f x +=，1,2,n =，证明：11|2|.3n n x +-≤（2010年华约） 相关习题（1） 已知数列{}n a 满足：22n n n a a na α+=-+，首项1 3.a =（i ）若对一切n 满足2n a n ≥，求α的取值范围； （ii ）若2α=-，求证：121112.222n a a a +++<--- （2013年卓越联盟）第七讲．几何问题知识要求1.了解平面几何的几个古典定理2.了解三角形的五心的性质3.掌握圆锥曲线的基本概念4.熟练掌握圆锥曲线与直线的位置关系问题典型例题1. 如图，已知ABC ∆面积为1，D 、E 、F 分别在BC 、CA 、AB 上，2BD DC =，2CE EA =，2AF FB =，AD 、BE 、CF 两交于P 、Q 、R ，求PQR ∆的面积.（2009年中国科技大学）相关习题（1） 求证：若圆内接五边形的每个角都相等，则它为正五边形. （2012年北约）（2）. 如图，AB 是圆O 的直径，CD AB ⊥于点H ，且10AB =，8CD =，4DE =，EF 是圆的切线，BF 交HD 于点.G（1）求GH ；（2）连接FD ，判断FD 与AB 的关系，并加以证明.（2012年卓越）2. 如图所示，已知正六边形111AC BACB 中，11AC AB =，11BC BA =，11CA CB =，111A B C A B C ∠+∠+∠=∠+∠+∠，求证：ABC ∆的面积是六边形面积的一半. (2008年北京大学)相关习题（1）.ABC ∆内点M 满足100CMB ∠=，线段BM 的中垂线交边AB 为P ，线段CM 的中垂线交边AC 于点Q ，已知点,,P M Q 三点共线，求.CAB ∠（2013年北京大学保送生试题）3. 设M 是直线24x y +=上一点，1F 与2F 是椭圆22162x y +=的焦点.过M ，以1F 、2F 为1焦点作椭圆.C 问M 在何处时，所作椭圆C 的长轴最短?并求此时椭圆C 的方程.（2008年南京大学）相关习题（1）. 已知两点(2,0)A -，(2,0)B ，动点P 在y 轴上的射影是H ，且22||P A P B P H ⋅=. （i ）求动点P 的轨迹C 的方程；（ii ）已知过点B 的直线交曲线C 于x 轴下方不同的两点M ，N ，设MN 的中点为R ，过R 与点(0,2)Q -作直线RQ ，求直线RQ 斜率的取值范围. （2012年华约）(2). 已知椭圆22221x y a b+=，过椭圆的左顶点(,0)A a -的直线l 与椭圆交于点Q ，与y 轴交于点.R 过原点且与直线l 平行的直线交椭圆于点.P求证：AQ 、AR 成等比数列. （2013年清华大学夏令营）（2009年清华大学） 4. 已知0k >，从直线y kx =和y kx =-上分别选取点(,),(,)A A B B A x y B x y ，0A B x x >，21OA OB k ⨯=+，O 为坐标原点，AB 中点M 的轨迹为C⑴求C 的轨迹方程⑵抛物线22x py =（p ＞0）与C 相切与两点，求证两点在两条定直线上，并求出两条切线方程. （2013年华约） 相关习题（1）. 设椭圆22214x y a +=（2a >）的离心率为3，斜率为k 的直线l 过点(0,1)E 且与椭圆交于C 、D 两点.（i ）求椭圆方程；（ii ）若直线l 与x 轴交于点G ，且GC DE =，求实数k 的值； （iii ）设A 为椭圆的下顶点，AC k ，AD k 分别为直线AC ，AD 的斜率.证明：对任意的实数k ，恒有 2.AC AD k k ⋅=- （2013年卓越） 5. 抛物线上有两点A 、B ，过A 、B 的切线交于点C ，且AB 的中点为K .求证：KC 的中点在抛物线上. （2011年北京大学优秀中学生体验营）相关习题（1）．已知椭圆方程为221169x y +=，过长轴顶点(4,0)A -的两条斜率乘积为916-的直线交椭圆于另两点B 、C ，是否存定点D ，使得直线BC 过定点D ？若存在，求出D 点的坐标，若不存在，说明理由. （2013年华东师范大学） （2）.抛物线22y px =（p >），F 为抛物线的焦点，A ，B 是抛物线上两点，直线AB 与x 轴不垂直，线段AB 的中垂线光x 轴于点(,0)D a （0a >），||||.m A F B F =+（i ）证明：a 是p ，m 的等差中项；（ii ）若3m p =，l 是平行于y 轴的直线，其被以AD 为直径的圆所截得的弦长为定值，求直线l 的方程. （2012年卓越）第八讲．向量与复数知识要求1.掌握平面向量的有关知识，学会利用平面向量解决相关问题2.掌握复数的三种形式3.掌握复数方法典型例题1. ,,O A B 为平面上的三点，且||2OA =，||1OB =，θ为OA 与OB 的夹角.已知OP tOA =，(1)OQ t OB =-，设||PQ 取得最小时0t t =，问θ取何值时，有0105t <<成立？ （2010年北京大学）2． 如图，设P 、Q 为ABC ∆内两点， 且2155AP AB AC =+，2134AQ AB AC =+， 则ABP ∆的面积与ABQ ∆的面积之比为（ ）A.13 B.14 C.35 D.45（2010年武汉大学）相关习题（1）. 已知动直线l 与椭圆C ：22132x y +=交于()()1122,,,P x y Q x y 两不同点，且OPQ ∆的面积2OPQ S ∆=，其中O 为坐标原点． （i ）证明：2212x x +和2212y y +均为定值；（ii ）设线段PQ 的中点为M ，求OM PQ ⋅的最大值；（iii ）椭圆C 上是否存在三点,,D E G，使得ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===？若存在，判断DEG ∆的形状；若不存在，请说明理由． （2011年山东卷高考） 3. 求0.4 1.222ii e e ππ++的模. （2009年清华大学）相关习题（1） 求最小的正整数n ，使得1()2nI =为纯虚数，并求出.I （2006年清华大学）4. 平面坐标系逆时针旋转θ，求原坐标中点(,)P x y 在新坐标系下的坐标11(,)P x y '.（2008年中国科技大学）相关习题（1）在实数分解因式 （i ）321x x x +++；（ii ）4321.x x x x ++++ （2008年山东大学）（2006年复旦大学）5. 已知sin cos z t i t =+，且sin cos 1.t t +=试求1nk k z =∑的值. （2009年清华大学）6. 对自然数n ，令n S 为1ni =的最小值，其中1a 、2a 、…、n a 为正实数，其和为17，若存在唯一的n 使得n S 也为整数，求n . 7. 证明：*1π2π(1)πsinsin sin(2,).2n n nn n n nn --⋅⋅⋅=≥∈N （2013年中国科技大学夏令营）8. 求方程53102040x x x ++-=的所有根.（2013年北京大学“百年数学” 金秋科学体验营）第九讲．初等数论相关知识1.了解数的整除性；2.掌握奇偶分析方法；4.了解同余分析； 5.学会不定方程的求解典型例题1. 当,p q 都是奇数时，方程2220x px q ++=是否有有理根？请证明之（2009年清华大学）相关习题（1） 设,,a b c 数. （2008年清华大学） 2.求正整数区间[,]m n 中不能被3整除的数之和. （2008年清华大学保送生） 相关习题（1）是否存在一个2012位数，各数码均由1或2组成，且可以被20122整除？（2012年南开大学数学试点班试题）3. 记2012!1232012=⨯⨯⨯⨯为从1到2012之间所有整数的连乘积，则2012！的值的尾部（从个位往前计数）连续的0的个数是（ ）A.504B.503C.502D.501 （2012年复旦大学）4.不定方程2232x y -=的整数解的个数是（ ）A.0B.1C.3D.无穷多个 （2013年复旦大学） 5. 求证：存在无穷多对正整数对(,)a b 满足84| 1.ab a b ++（2013年北京大学“百年数学” 金秋科学体验营）相关习题（1）已知67xyzabc abcxyz =，则xyzabc =（2004年上海交通大学）（2）讨论方程20142420122013(1)(1)2014xx x x x +++++=的根的情况.（2013年中国科技大学夏令营）第十讲.组合数学知识要求1.掌握组合计数的方法2.掌握组合恒等式3.学会算两次的思想4.学会进行组合构造典型例题1. 红蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这6枚棋子排成一列，其中每对同字的棋子中，均为红棋子在前，蓝棋子在后，满足这种条件的不同的排列方式共有（A ）36种 （B ）60种 （C ）90种 （D ）120种 （2102年华约） 相关习题（1）将6个不同的球装入3个不同的盒子中（每个盒子都不空），有 种不同的方法.（2012年南京航空航天大学）2. 求证：01122222222(2).k k k k n n n n C C C C C C C k -----=⋅+⋅+⋅≥ （2006年中国科技大学）相关习题（1）. 已知n 为偶数，*n N ∈，求证：111112.1!(1)!3!(3)!5!(5)!(1)!1!!n n n n n n -++++=⋅-⋅-⋅--⋅ （2012年华东理工大学）3. 已知实数[6,10]i x ∈-，121050x x x +++=，当2221210x x x +++取到最大值时，则有（ ）个 6.-A.3B.4C.5D.6（2012年华约）4. 求证：对任意的正整数n ，(1n +*s N ∈）的形式.（例如2(1= （2012年北约）5. 系统中每个元件正常工作的概率都是p (01)p <<，各个元件正常工作的事件相互独立.如果系统中有多于一半的元件正常工作，系统就能正常工作.系统正常工作的概率称为系统的可靠性.（I ）某系统配置有21k -个元件，k 为正整数，求该系系统正常工作概率的表达式； （II ）现为改善（I ）中系统的性能，拟增加两个元件.试讨论增加两个元件后，能否提高系统的可靠性. （2012年华约）相关习题（1） 随机挑选一个三位数.I （i ）求I 含有因子5的概率； （ii ）求I 中恰有两个数码相等的概率.（2009年清华大学理科）6. 在一次考试中333个同学共答对了1000道题.至多答对3题者为不及格，至少答对6题者为优秀.已知不是所有的同学答对的题的个数的奇偶性都相同.成绩不及格者和成绩优秀者人数哪个多？ （2009年北京大学） 相关习题（1）．某乒乓球培训班共有n 位学员，在班内双打训练期间，每两名学员都将做为搭档恰好参加过一场双打比赛.试确定n 的所有可能值并分别给出对应的一种安排比赛的方案.（2012年华约）7. 记函数2()1,1,2,.2!!nn x x f x x n n =++++=证明：当n 为偶数时，方程()0n f x =没有实根；当n 为奇数时，方程()0n f x =有唯一的实根n θ，且2.n n θθ+> （2012年华约）。