值域问题 高三数学必修教案
高中数学 函数的定义域值域教案 新人教A版必修1
函数的定义域与值域注意事项：1.考察内容：函数的定义域与值域 2.题目难度：难度适中3.题型方面：1２道选择，4道填空，４道解答。
4.参考答案：有详细答案5.资源类型：试题/课后练习/单元测试一、选择题1.设映射x x x f 2:2+-→是集合A R =到集合B R =的映射。
若对于实数p B ∈，在A 中不存在对应的元素，则实数p 的取值范围是（ ）A 、()+∞,1B 、[)+∞,1 Ｃ、()1,∞- D 、(]1,∞-2.已知正方形的周长为x ，它的外接圆半径为y ，则y 与x 的函数关系式为A y=4x (x ＞＞0)C y=8x (x ＞＞0) 3.若()23f x x =+，(2)()g x f x +=，则()g x 的表达式为 A ．21x + B ．21x - C ．23x - D ．27x +4.设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f ：A→B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素2n ＋n ，则在映射f 下，象20的原象是 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．55.函数y=x+x1的值域是 （A ）（2，+∞） （B ）[－2，2] （C ）[2，+∞] （D ）（－∞，－2]∪[2，+∞） 6.判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）⑴ 3)5)(3()(+-+=x x x x f ，5)(-=x x g ；⑵ 11)(-+=x x x f ，)1)(1()(-+=x x x g ；⑶ x x f =)(，2)(x x g =； ⑷0)(x x f =，xx x g =)(； ⑸ 2)52()(-=x x f ，52)(-=x x g A ⑴、⑵ B ⑵、⑶ C ⑷ D ⑶、⑸7.函数y =）A.(,9]-∞B.(0,27]C.(0,9]D.(,27]-∞8.定义运算a b ，ab ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a≤b，b ，a>b.例如1 2＝1，则函数y ＝1 2x的值域为A ．(0,1)B ．(－∞，1)C ．[1，＋∞)D ．(0,1]9.函数的定义域是 （ ）A ．B ．C ．D ．10.设函数2()272f x x x =-+-，对于实数(03)m m <<，若()f x 的定义域和值域分别为[,3]m 和3[1,]m，则m 的值为（ ） A 、1 B 、2 C 、611 D 、81111.函数()31log f x x =+的定义域是(]1,9，则函数()()()22g x f x f x =+的值域是（ ）A ．(]2,14B 。
高中数学函数——值域(教案)教案新人教版必修1
函数（3）——值域二．教学目标：1. 会求常见函数的值域；2. 掌握几种函数值域的常规求法：观察法、配方法、部分分式法、换元法等。
（一）复习：（提问） 1．函数的三要素；2．函数的定义域：自变量x 的取值的集合；函数的值域：自变量x 在定义于内取值时相应的函数值的集合。
（二）新课讲解：例1、试画出下列函数图象。
（1）f(x)=x+1, (2)f(x)=(x-1)2+1,[)1,3x ∈1．观察法求函数值域 例1．求下列函数值域： （1）32y x =-+ [1,2]x ∈- （2）21y x =- {2,1,0,1,2}x ∈--（3）31y x =+ （4）1,00,01,0x y x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（答案一[4,5]-）， （答案二{3,0,1}-）， （答案三(,1)(1,)-∞+∞），（答案四{1,0,1}-）2．配方法求二次函数值域 例2．已知函数223y x x =+-，分别求它在下列区间上的值域。
（1）x R ∈； （2）[0,)x ∈+∞； （3）[2,2]x ∈-；（4）[1,2]x ∈．解：（1）∵2(1)4y x =+-∴min 4y =-∴值域为[4,)-+∞．（2）∵223y x x =+-的图象如图， 当0x =时，min 3y =-，∴当[0,)x ∈+∞时，值域为[3,)-+∞． （3）根据图象可得： 当1x =-时，min 4y =-，当2x =时，max 5y =，∴当[2,2]x ∈-时，值域为[4,5]-． （4）根据图象可得：当1x =时，min 0y =， 当2x =时，max 5y =，∴当[1,2]x ∈时，值域为[0,5]． 说明：（1）函数的定义域不同，值域也不同；（2）二次函数的区间值域的求法：①配方；②作图；③求值域。
练习：已知函数231213y x x =-+，求它在下列各区间上的值域：（1）[1,1]-； （2）[1,4]； （3）(1,3]．3．部分分式法求分式函数的值域 例3．求函数541x y x +=-的值域。
2019-2020年高三数学第一轮总复习函数的值域教案
2019-2020年高三数学第一轮总复习函数的值域教案课题：函数的值域教学目标：理解函数值域的意义；掌握常见题型求值域的方法，了解函数值域的一些应用． 教学重点：求函数的值域与最值的基本方法。
教学过程：（一）主要知识：1．函数的值域的定义；2．确定函数的值域的原则；3．求函数的值域的方法．（二）主要方法：求函数的值域的方法常用的有：直接法，配方法，判别式法，基本不等式法，逆求法（反函数法），换元法，图像法，利用函数的单调性等．（三）例题分析：例1．求下列函数的值域：（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）；（7）； （8）； （9）．例2．（xx 年上海春卷）设函数.（1）在区间上画出函数的图像；（2）设集合{}),6[]4,0[]2,(,5)(∞+-∞-=≥= B x f x A . 试判断集合和之间的关系， 并给出证明；（3）当时，求证：在区间上，的图像位于函数图像的上方.例3．某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在xx 年度进行一系列的促销活动．经过市场调查和测算，化妆品的年销量万件与年促销费用万元之间满足：与成反比例；如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．已知xx 年，生产化妆品的固定投入为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元．当将每件化妆品的售价定为“年平均每件成本的150％”与“年平均每件所占促销费的一半”之和，则当年产销量相等．（1）将xx 年的年利润万元表示为年促销费万元的函数；（2）该企业xx 年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？（注：利润＝收入－生产成本－促销费）（四）高考回顾：考题1（xx 安徽）设，对于函数()sin (0)sin x a f x x xπ+=<<，下列结论正确的是（ ） A ．有最大值而无最小值 B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值考题2（xx 陕西文）函数f(x)=11+x 2 (x ∈R)的值域是( ) A.(0,1) B.(0,1] C.[0,1) D.[0,1]考题3（xx 福建文）已知是二次函数，不等式的解集是且在区间上的最大值是12。
高中数学求值域教案
高中数学求值域教案一、教学目标：1. 知识目标：理解求值域的概念，掌握求值域的计算方法。
2. 能力目标：能够独立解决求值域问题，灵活运用求值域的相关知识。
3. 情感态度目标：培养学生对数学问题的探究和思考能力，增强学生对数学的兴趣和信心。
二、教学重点和难点：1. 教学重点：求值域的概念和计算方法。
2. 教学难点：掌握如何确定函数的值域。
三、教学过程：1. 导入活动（5分钟）：教师简要介绍求值域的概念，并通过一个简单的例子引导学生思考什么是函数的值域。
2. 理论讲解（15分钟）：教师系统地介绍求值域的定义和计算方法，重点讲解如何确定函数的最大值和最小值。
3. 示例分析（20分钟）：教师通过几个实例讲解求值域的具体计算过程，引导学生掌握解题方法和技巧。
4. 练习与讨论（15分钟）：学生通过小组合作或个人练习，解决一些求值域问题，并在讨论中互相交流思路和方法。
5. 总结与拓展（5分钟）：教师对本节课的内容进行总结，并展示一些扩展问题，鼓励学生进一步挑战。
四、教学方法：1. 讲授法：通过系统地讲解，帮助学生建立求值域的概念。
2. 实例引导法：通过实例分析，帮助学生理解求值域的计算方法。
3. 合作探究法：通过小组合作，培养学生解决问题的能力和团队合作精神。
五、教学资源：1. 教材教辅资料2. 多媒体设备六、教学评价：1. 课堂表现：学生是否积极参与讨论和练习。
2. 作业表现：学生是否独立完成求值域问题，并能正确解答。
3. 课后反馈：通过课后作业批改和答疑，检验学生对求值域的理解和掌握程度。
山西省平遥县高中数学专题二函数的值域教案新人教A版必修1
解释：配方法、换元法和数形结合法等方法比较复杂，学生可能难以掌握。教师需要通过详细的讲解、例题演示和练习题等方式，帮助学生逐步掌握这些方法。
（3）运用函数的性质判断函数的值域。
解释：函数的单调性和奇偶性等性质需要学生具备一定的数学推理能力。学生可能难以运用这些性质来判断函数的值域。教师需要通过讲解、练习和辅导等方式，帮助学生理解和运用这些性质。
-数形结合法：通过函数的图形来直观判断值域。
3.函数的单调性和奇偶性对值域的影响
-单调增加函数的值域是其定义域内的所有实数。
-单调减少函数的值域是空集或其定义域的一个子集。
-偶函数的值域与其定义域相同。
-奇函数的值域是关于原点对称的。
4.实际问题的值域求解
-理解实际问题中的函数关系，将其转化为数学问题。
教学方法/手段/资源：
-自主学习法：引导学生自主完成作业和拓展学习。
-反思总结法：引导学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。
作用与目的：
-巩固学生在课堂上学到的函数的值域知识点和求解技能。
-通过拓展学习，拓宽学生的知识视野和思维方式。
-通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。
-对于多变量函数，值域可以是多维空间中的一个区域。
3.函数的单调性
-函数的单调性是指函数在其定义域内是增加还是减少。
-单调增加函数的值域是其定义域内的所有实数。
-单调减少函数的值域是空集或其定义域的一个子集。
4.函数的奇偶性
-函数的奇偶性是指函数是否满足f(-x) = f(x)（偶函数）或f(-x) = -f(x)（奇函数）。
-偶函数的值域与其定义域相同。
（2）掌握求解函数值域的基本方法，如配方法、换元法、数形结合法等。
高中数学 函数值域求法教案 新人教A版必修1
函数值域求法1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1 求函数y =x 1的值域 解： x ≠0 ，∴x1≠0 显然函数的值域是：〔 -∞，0 〕∪〔0 ，+∞〕。
例2 求函数y = 3 -x 的值域。
解：x ≥0 ∴- x ≤0 3- x ≤3故函数的值域是：[ -∞，3 ]2 、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例1、求函数y=2x -2x+5，x ∈[-1，2]的值域。
解：将函数配方得：y=〔x-1〕2+4， x ∈[-1，2]， 由二次函数的性质可知： 当x = 1时，y m in = 4 当x = - 1，时m ax y = 8 故函数的值域是：[ 4 ，8 ]例2、求函数13432-+-=x x y 的值域。
解：()()[]713421342113426421+-+-=-+-=x x x x y =()31134212++-x ，所以27≥y ，故所求函数值域为[72，+∞]。
例3、求()()22log 26log 62log 222222-+=++=x x x y 。
解：………所以当41=x 时，y 有最小值-2。
故所求函数值域为[-2，+∞〕。
3 、判别式法2例1 求函数y = 2211x x x +++的值域。
解：原函数化为关x 的一元二次方程〔y-1 )2x +〔y - 1 〕x= 0 〔1〕当y ≠1时， x ∈R ,△ = (-1)2-4(y-1)(y-1) ≥0 解得：21≤y ≤23 〔2〕当y=1，时，x = 0,而1∈[21, 23]故函数的值域为[21，23] 例2求函数y=x+)2(x x -的值域。
解：两边平方整理得：22x -2〔y+1〕x+y 2=0 〔1〕x ∈R ，∴△=4〔y+1〕2-8y ≥0解得：1-2≤y ≤1+2但此时的函数的定义域由x 〔2-x 〕≥0，得：0≤x ≤2。
由△≥0，仅保证关于x 的方程：22x -2〔y+1〕x+y 2=0在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程〔1〕有实根，由△≥0求出的X 围可能比y 的实际X 围大，故不能确定此函数的值域为[21，23]。
高中数学人教版《函数的定义域与值域》教案2023版
高中数学人教版《函数的定义域与值域》教案2023版一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够：1. 理解函数的定义域和值域的概念；2. 掌握求解函数的定义域和值域的方法；3. 运用所学知识解决相关问题。
二、教学重点与难点1. 教学重点：函数的定义域和值域的概念及求解方法；2. 教学难点：应用所学知识解决相关问题。
三、教学过程1. 导入新课通过提问引入函数的定义域和值域的概念，为引出本课的教学内容做铺垫。
2. 概念讲解（1）函数的定义域定义域是指函数中自变量可以取值的范围。
根据函数的定义和实际问题，确定自变量取值范围时需要考虑以下几点：- 函数中是否包含分母为零的情况；- 若函数存在根式，要求根式内的式子必须为非负数。
（2）函数的值域值域是指函数的所有可能取值所组成的集合。
要确定函数的值域，一般需要进行以下步骤：- 分析函数的性质，判断函数是增函数还是减函数；- 确定函数的最大值和最小值。
3. 求解示范通过具体的例题，讲解如何求解函数的定义域和值域。
引导学生理解求解过程，并解释每一步的原因和依据。
4. 深化训练组织学生进行一些练习，注重培养学生独立解决问题的能力。
根据学生的解答情况，及时给予指导和反馈。
5. 拓展应用提供一些拓展应用题，让学生将所学知识应用到实际问题中。
鼓励学生思考、分析和解决问题的能力，培养学生的数学建模能力。
6. 归纳总结通过学生讨论、总结，归纳总结本节课的内容，并梳理相关的思维导图或概念框架，帮助学生将知识点整合，加深记忆。
四、课堂小结本节课主要介绍了函数的定义域和值域的概念，并讲解了求解函数定义域和值域的方法。
通过练习与应用，帮助学生巩固所学知识。
五、作业布置1. 完成课后习题；2. 思考并解答一道与函数的定义域和值域相关的问题。
六、教学反思本节课的教学内容与学生的预期目标相符，通过多种教学方法的运用，调动了学生的学习积极性。
在示范求解步骤和培养学生解决实际问题的能力方面，可能还需要进一步加强。
高三数学第一轮复习教案第9课时-函数的值域
一．课题：函数的值域二．教学目标：理解函数值域的意义；掌握常见题型求值域的方法，了解函数值域的一些应用． 三．教学重点：求函数的值域． 四．教学过程： （一）主要知识：1．函数的值域的定义；2．确定函数的值域的原则；3．求函数的值域的方法． （二）主要方法（范例分析以后由学生归纳）：求函数的值域的方法常用的有：直接法，配方法，判别式法，基本不等式法，逆求法（反函数法），换元法，图像法，利用函数的单调性、奇偶性求函数的值域等． （三）例题分析：例1．求下列函数的值域：（1）232y x x =-+； （2）y =； （3）312x y x +=-；（4）y x =+ （5）y x =； （6）|1||4|y x x =-++；（7）22221x x y x x -+=++； （8）2211()212x x y x x -+=>-； （9）1sin 2cos xy x-=-．解：（1）（一）公式法（略）（二）（配方法）2212323323()61212y x x x =-+=-+≥Q ， ∴232y x x =-+的值域为23[,)12+∞． 改题：求函数232y x x =-+，[1,3]x ∈的值域．解：（利用函数的单调性）函数232y x x =-+在[1,3]x ∈上单调增，∴当1x =时，原函数有最小值为4；当3x =时，原函数有最大值为26．∴函数232y x x =-+，[1,3]x ∈的值域为[4,26]．（2）求复合函数的值域：设265x x μ=---（0μ≥），则原函数可化为y =．又∵2265(3)44x x x μ=---=-++≤，∴04μ≤≤[0,2]，∴y 的值域为[0,2]． （3）（法一）反函数法：312x y x +=-的反函数为213x y x +=-，其定义域为{|3}x R x ∈≠， ∴原函数312x y x +=-的值域为{|3}y R y ∈≠． （法二）分离变量法：313(2)773222x x y x x x +-+===+---， ∵702x ≠-，∴7332x +≠-， ∴函数312x y x +=-的值域为{|3}y R y ∈≠．（4）换元法（代数换元法）：设0t =，则21x t =-，∴原函数可化为2214(2)5(0)y t t t t =-+=--+≥，∴5y ≤， ∴原函数值域为(,5]-∞．说明：总结y ax b =++2y ax b =+2y ax b =++（5）三角换元法：∵21011x x -≥⇒-≤≤，∴设cos ,[0,]x ααπ=∈，则cos sin )4y πααα=+=+∵[0,]απ∈，∴5[,]44πππα+∈，∴sin()[42πα+∈-)[4πα+∈-， ∴原函数的值域为[-．（6）数形结合法：23(4)|1||4|5(41)23(1)x x y x x x x x --≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪+≥⎩，∴5y ≥，∴函数值域为[5,)+∞．（7）判别式法：∵210x x ++>恒成立，∴函数的定义域为R ．由22221x x y x x -+=++得：2(2)(1)20y x y x y -+++-= ①①当20y -=即2y =时，①即300x +=，∴0x R =∈②当20y -≠即2y ≠时，∵x R ∈时方程2(2)(1)20y x y x y -+++-=恒有实根， ∴22(1)4(2)0y y =+-⨯-≥V，∴15y ≤≤且2y ≠， ∴原函数的值域为[1,5]．（8）2121(21)11112121212122x x xx y x x x x x x -+-+===+=-++----，∵12x >，∴102x ->，∴112122x x -+≥=-当且仅当112122x x -=-时，即12x +=时等号成立．∴12y ≥，∴原函数的值域为1,)2+∞．（9）（法一）方程法：原函数可化为：sin cos 12x yx y -=-，)12x y ϕ-=-（其中cos ϕϕ==）， ∴sin()[1,1]x ϕ-=-，∴|12|y -≤2340y y -≤，∴403y ≤≤，∴原函数的值域为4[0,]3．（法二）数形结合法：可看作求点(2,1)与圆221x y +=上的点的连线的斜率的范围，解略． 例2．若关于x 的方程|3|2(22)3x a ---=+有实数根，求实数a 的取值范围． 解：原方程可化为|3|2(22)3x a --=--，令|3|2x t --=，则01t <≤，2()(2)3a f t t ==--，又∵()a f t =在区间(0,1]上是减函数，∴(1)()(0)f f t f ≤<，即2()1f t -≤<，故实数a 的取值范围为：21a -≤<．例3．（《高考A 计划》考点9，智能训练16）某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2003年度进行一系列的促销活动．经过市场调查和测算，化妆品的年销量x 万件与年促销费用t 万元(0)t ≥之间满足：3x -与1t +成反比例；如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件． 已知2003年，生产化妆品的固定投入为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元．当将每件化妆品的售价定为“年平均每件成本的150％”与“年平均每件所占促销费的一半”之和，则当年产销量相等．（1）将2003年的年利润y 万元表示为年促销费t 万元的函数；（2）该企业2003年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？ （注：利润＝收入－生产成本－促销费）解：（1）由题设知：31k x t -=+，且0t =时，1x =，∴2k =，即231x t =-+， ∴年生产成本为2[32(3)3]1t -++万元，年收入为21150%[32(3)3]12t t -+++．∴年利润212{150%[32(3)3]}[32(3)3](0)121y t t t t t =-++--+-≥++，∴29835(0)2(1)t t y t t -++=≥+．（2）由（1）得2(1)100(1)6413250()50422(1)21t t t y t t -+++-+==-+≤-=++，当且仅当13221t t +=+，即7t =时，y 有最大值42． ∴当促销费定为7万元时，2003年该化妆品企业获得最大利润．（四）巩固练习：1．函数221xx y =+的值域为(0,1)．2．若函数()log a f x x =在[2,4]上的最大值与最小值之差为2，则a =2．五．课后作业：《高考A 计划》考点1，智能训练3，4，9，12，13，14．。
高三数学 第二章 函数 函数的值域专题复习教案
城东蜊市阳光实验学校第10课时：第二章函数——函数的值域一．课题：函数的值域二．教学目的：理解函数值域的意义；掌握常见题型求值域的方法，理解函数值域的一些应用．三．教学重点：求函数的值域．四．教学过程： 〔一〕主要知识：1．函数的值域的定义；2．确定函数的值域的原那么；3．求函数的值域的方法． 〔二〕主要方法〔范例分析以后由学生归纳〕：求函数的值域的方法常用的有：直接法，配方法，判别式法，根本不等式法，逆求法〔反函数法〕，换元法，图像法，利用函数的单调性、奇偶性求函数的值域等． 〔三〕例题分析： 例1．求以下函数的值域：〔1〕232y x x =-+；〔2〕y =；〔3〕312x y x +=-；〔4〕y x =+〔5〕y x =；〔6〕|1||4|y x x =-++；〔7〕22221x x y x x -+=++；〔8〕2211()212x x y x x -+=>-；〔9〕1sin 2cos xy x-=-解：〔1〕〔一〕公式法〔略〕〔二〕〔配方法〕2212323323()61212y x x x =-+=-+≥，∴232y x x =-+的值域为23[,)12+∞．改题：求函数232y x x =-+，[1,3]x ∈的值域．解：〔利用函数的单调性〕函数232y x x =-+在[1,3]x ∈上单调增，∴当1x =时，原函数有最小值为4；当3x =时，原函数有最大值为26． ∴函数232y x x =-+，[1,3]x ∈的值域为[4,26]．〔2〕求复合函数的值域：设265x x μ=---〔0μ≥〕，那么原函数可化为y =．又∵2265(3)44x x x μ=---=-++≤，∴04μ≤≤[0,2]，∴y =的值域为[0,2]．〔3〕〔法一〕反函数法：312x y x +=-的反函数为213x y x +=-，其定义域为{|3}x R x ∈≠， ∴原函数312x y x +=-的值域为{|3}y R y ∈≠． 〔法二〕别离变量法：313(2)773222x x y x x x +-+===+---， ∵702x ≠-，∴7332x +≠-， ∴函数312x y x +=-的值域为{|3}y R y ∈≠．〔4〕换元法〔代数换元法〕：设0t =≥，那么21x t =-，∴原函数可化为2214(2)5(0)y t t t t =-+=--+≥，∴5y ≤，∴原函数值域为(,5]-∞．说明：总结y ax b =+型值域，变形：2y ax b =+或者者2y ax b =+〔5〕三角换元法：∵21011xx -≥⇒-≤≤，∴设cos ,[0,]x ααπ=∈，那么cos sin )4y πααα=+=+∵[0,]απ∈，∴5[,]444πππα+∈，∴sin()[4πα+∈，)[4πα+∈-，∴原函数的值域为[-．〔6〕数形结合法：23(4)|1||4|5(41)23(1)x x y x x x x x --≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪+≥⎩，∴5y ≥，∴函数值域为[5,)+∞． 〔7〕判别式法：∵210xx ++>恒成立，∴函数的定义域为R ．由22221x x y x x -+=++得：2(2)(1)20y x y x y -+++-=① ①当20y -=即2y =时，①即300x +=，∴0x R =∈②当20y -≠即2y ≠时，∵x R ∈时方程2(2)(1)20y x y x y -+++-=恒有实根， ∴22(1)4(2)0y y =+-⨯-≥，∴15y ≤≤且2y ≠，∴原函数的值域为[1,5]．〔8〕2121(21)111121212121222x x x x y x x x x x x -+-+===+=-++----，∵12x >，∴102x ->，∴112122x x -+≥=-，当且仅当112122x x -=-时，即x =12y ≥，∴原函数的值域为1,)2+∞．〔9〕〔法一〕方程法：原函数可化为：sin cos 12x y x y -=-，)12x y ϕ-=-〔其中cos ϕϕ==，∴sin()[1,1]x ϕ-=-，∴|12|y -≤，∴2340y y -≤，∴403y ≤≤，∴原函数的值域为4[0,]3． 〔法二〕数形结合法：可看作求点(2,1)与圆221x y +=上的点的连线的斜率的范围，解略．例2．假设关于x 的方程|3|2(22)3x a ---=+有实数根，务实数a 的取值范围．解：原方程可化为|3|2(22)3x a --=--，令|3|2x t --=，那么01t <≤，2()(2)3a f t t ==--，又∵()a f t =在区间(0,1]上是减函数，∴(1)()(0)f f t f ≤<，即2()1f t -≤<，故实数a 的取值范围为：21a -≤<．例3．〔高考A 方案考点9，智能训练16〕某化装品消费企业为了占有更多的场份额，拟在2021年度进展一系列的促销活动．经过场调查和测算，化装品的年销量x 万件与年促销费用t 万元(0)t ≥之间满足：3x-与1t +成反比例；假设不搞促销活动，化装品的年销量只能是1万件．2021年，消费化装品的固定投入为3万元，每消费1万件化装品需再投入32万元．当将每件化装品的售价定为“年平均每件本钱的150％〞与“年平均每件所占促销费的一半〞之和，那么当年产销量相等． 〔1〕将2021年的年利润y 万元表示为年促销费t 万元的函数；〔2〕该企业2021年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？ 〔注：利润＝收入－消费本钱－促销费〕解：〔1〕由题设知：31k x t -=+，且0t =时，1x =，∴2k =，即231x t =-+， ∴年消费本钱为2[32(3)3]1t -++万元，年收入为21150%[32(3)3]12t t -+++． ∴年利润212{150%[32(3)3]}[32(3)3](0)121y t t t t t =-++--+-≥++， ∴29835(0)2(1)t t y t t -++=≥+． 〔2〕由〔1〕得2(1)100(1)6413250()50422(1)21t t t y t t -+++-+==-+≤-=++，当且仅当13221t t +=+，即7t =时，y 有最大值42． ∴当促销费定为7万元时，2003年该化装品企业获得最大利润． 〔四〕稳固练习：1．函数221xx y =+的值域为(0,1)．2．假设函数()log a f x x =在[2,4]上的最大值与最小值之差为2，那么a =．。
高中数学函数(值域二次函数)教案新人教版必修1
高中数学函数（值域二次函数）教案新人教版必修1 一、教学目标1．函数的值域2．二次函数3．一元二次方程实根的分布说明 二次函数及有关内容是高考命题的重要题材，为此作适当补充.二、考点、热点回顾1．函数的值域与求函数的定义域相比，求函数的值域往往比较困难，我们只能求一些比较简单的函数的值域. 例1 求下列函数的值域：（1）1122+-=x x y ； （2）2234x x y -+-=.例2 求函数2312++=x x y 的值域. 例3 求函数x x y --=12的值域.2．二次函数在已知某些条件求二次函数的解析式时，常用待定系数法.常见的二次函数的表示形式有()0≠a ： ①标准式：c bx ax y ++=2；②顶点式：m k x a y +-=2)(； ③零点式：))((21x x x x a y--= （式中1x 、2x 为一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根）.例4已知二次函数)(x f y =有最小值3-，且当3-=x 和2=x 时)(x f 的值都是219，求)(x f . 例5 已知抛物线c bx axy ++=2的顶点是()9,2-，抛物线与x 轴两个交点之间的距离是6，求a 、b 、c 的值.例6 二次函数()0)(2>++=a c bx ax x f 的图象与坐标轴分别交于点()0,1-和()1,0-，且抛物线的顶点在第四象限，求 c b a ++的取值范围.3． 一元二次方程实根的分布设 ()()0>++=a c bx ax x f ，则一元二次方程()0=x f 实根的分布情况，可以由()x f y =的图象或由韦达定理来确定.如果 ()()()n m n f m f <<⋅0，由二次函数()x f y =的图象知，一元二次方程()0=x f 在区间()n m ,内必有一个实数根.二次方程()0=x f 的两个实数根1x 、2x 的分布情况，可有如下几种（m 、n 为常数）：（1）若m x x <<21，则应有()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->>-=∆,2,0,042m a b m f ac b 或()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<-+->-->-=∆.0,0,0421212m x m x m x m x acb（2）若21x x m <<，则应有()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->>-=∆,2,0,042m a b m f ac b 或()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>-+->-->-=∆.0,0,0421212m x m x m x m x ac b（3）若21x m x <<，则应有(),0<m f 或()()021<--m x m x .（4）若n x x m <<<21，则应有()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-<>>>-=∆.2,0,0,042n a bm n f m f ac b（5）若21x n m x <<<，则应有()()⎩⎨⎧<<.0,0n f m f例7（1）若关于x 的方程0252=-+-a ax x的两根一根比1大，一根为比1小，求实数a 的取值范围； （2）若关于x 的方程042=+-a x x 的两根均大于1，求实数a 的取值范围；（3）若关于x 的方程01222=-+-k kx kx的两根一根在()1,0内，另一根在()3,1内，求实数k 的取值范围. 例8 设{},,03,0,01222⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧≤-+≤+-=<-=bx x a x x x B x x A 且.A B A = 求实数a 、b 的取值范围. 例 9 已知关于x 的方程01)1(2=-+-mx xm 至少有一个正根，求实数m 的取值范围．例10 求抛物线22-++=a ax x y 在x 轴上截得最短线段的长,求此时实数a 的值.DSE 金牌数学专题系列过手训练 姓名：（快速五分钟，稳准建奇功）1．下列四个函数：⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-=-+=+=-=),0(1),0()4;102)3;11)2;3)122x xx x y x x y x y x y 其中值域是R 的函数有（ ）A ． 1个 B. 2个C ． 3个 D. 4个2．函数xy --=121的值域为（ ） A ．),21()0,(+∞-∞ B. ),21[)0,(+∞-∞ C. ),21(]0,(+∞-∞ D. ),21[]0,(+∞-∞ 3. 关于x 的方程013)3(2=-++-m x m x 的两个实根一个大于2，另一个小于2， 则实数m 的取值范围是（ ）A ．3<m B.3≤mC ．3>m D.3≥m4.若关于x 的方程04)73(32=+-+x k kx 的两实根α、β满足D y x 0B y x0A y x 0Cy x 0210<<<<βα,则实数k 的取值范围是 ( )A.47>kB. 547<<k C.52<<k D. 447<<k 5. 已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的系数a 、b 、c 满足abc <0, 则函数y =f (x )的图像可能是( )q px x x f ++=2)(的6．已知二次函数对称轴是直线x =2,则下列式子中不正确的是 （ ） A ．)3()2(f f < B.)32()(f f <π C. )()0(πf f > D. )2()5(f f > 7．函数的值域为321)(-+=x x x f . 8. 函数32-+=x y 的值域为 .9. 二次函数的图像经过三点A(1,0), B(3,0), C(4,3),则这个二次函数是 10. 若方程0222=++mx x 有负根, 则实数m 的取值范围是 .11．求函数.5468222的值域++++=x x x x y 12．求函数的值域21)(-+-=x x x f .13. 已知关于x 的方程02322=--k x x在区间[－1 ，1]上有实数根，求实数k 的取值范围. 14. 已知函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像过点（－1，0），是否存在常数a 、b 、c, 使 得)1(212+≤≤x y x 对一切实数x 都成立？ 说明你的结论．。
高中数学值域与最值教案人教版必修一doc
专题一：求函数解析式㈠考纲要求函数的解析式是函数表示法中最重要的一种形式，它对研究函数性质起着非常主要的作用。
㈡考点回放⑴函数解析式的定义：把两个变量的函数关系用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析式。
⑵求函数解析式的主要方法：①配凑法 ②换元法 ③代定系数法⑶建立简单实际问题的函数式，首先要选定变量而后寻找等量关系，求得函数表达式，并标注函数定义域。
㈢高考趋势考察实际问题中函数的建模能力其关键是正确写出函数的解析式。
㈣基础训练1 已知f(x)=9x 2-6x+5 则f(x)= .2 已知f(x+x 1)= x 2+21x则f(x)= . 3已知f(x)=221x x 那么f(2)+f(21)= . 4已知函数f(x)和g(x)图象关于原点对称且f(x)= x 2+2x 则g(x)= .5 已知f(x)是一次函数且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17求 f(x)= .㈤例题讲解例1 已知二次函数f(x)满足f(-2)=-1 f(-1)=-1 且f(x)的最大值是8，求二次函数f(x)探究拓展：设二次函数f(x)满足f(x+2)= f(2-x)且f(x)=0的两个实根的平方和为10，f(x)的图像过点（0，3）求f(x)的解析式。
例2 已知f(x)满足2f(x)+f(x1)=3x 求f(x)的解析式例3某商场促销饮料，规定一次购买一箱在原价48元的基础上打9折，一次购买二箱可打8.5折，一次购买三箱可打8折 ， 一次购买三箱以上均可享受7.5折的优惠。
若此饮料只整箱销售且每人每次限购10箱，试用解析法写出顾客购买的箱数x 与每箱所支付的费用y 之间的函数关系，并画出其图象。
巩固练习：1． 如果正比例函数f(x)满足[]x x f f 9)(=，则f(x)=2． 如图所示，在一边长为10cm 的正方形铁皮的4个角上各减去一个边长为x cm 的小正方形，折成一个容积为y cm 3的无盖长方体铁盒，试写出用x 表示y 的函数关系式，并写出其定义域3． 已知函数f(x)的定义域为),0(+∞，且f(x)=1)1(2-x x f ，则f(x)=专题二:函数值域与最值一.考纲要求:1.掌握求函数值域与最值常用的方法2.能运用求值域的常用方法解决实际问题和最优问题二.高考趋势:函数值域与最值问题是每年高考必考内容,一般不会对值域与最值问题单独命题,主要是结合其它知识综合在一起考察,特别是应用题,再就是求变量的取值范围,主要考求值域与最值的基本方法,有时也会在填空题中独立命题三.知识回顾:1.函数的值域的定义:在函数y=f(x)中与自变量x 的值对应的y 的值叫做函数值,所有函数值组成的集合叫做函数的值域2.确定函数值域的原则:○1当函数y=f(x)用表格给出时,函数的值域是指表格中实数y 的集合 ○2当函数y=f(x)用图象给出时,函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合 ○3当函数y=f(x)用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对应关系惟一确定 ○4当函数由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定 3.求函数值域的方法:○1基本函数法○2配方法○3换元法○4不等式法○5函数的单调性法 ○6数形结合法○7函数的有界性法○8导数 四.基础训练:1.函数x x y 22-=的定义域为{}3,2,1,0,那么其值域为2.函数x x x f +-=23)(在区间[]1,1-上的最大值为 ,最小值为3.函数1)(++=x x x f 的值域是4.设1>a ,函数x x f a log )(=在区间[]a a 2,上的最大值与最小值之差为21,则=a5.判断函数x x y sin 1sin +=有最 值,最值为6.求函数2211xx +-的值域例1.函数14)(2-+-=x x x f 在区间[]1,+t t )(R t ∈上的最大值记为)(x g ,(1)求)(x g 的解析式(2)求)(x g 的最大值例2.已知函数1)12()(2+-+=x a ax x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,23上的最大值为3, 求实数a 的值六.巩固练习:1.函数141)(2-+=x x x f 的最大值是 2.已知函数)331(1≤≤+=x x x y 则函数)(x f 的值域为 3.已知函数12)(--=x x x f ,则)(x f 的值域为4.设⎪⎩⎪⎨⎧<≥=1,1,)(x x x x x f ,则)(x f 的值域为 5.若函数42212+-=x x y 的定义域,值域都是闭区间[]b 2,2,则=b。
第二高一数学 函数的值域教案
诚西郊市崇武区沿街学校第二中学高一数学教案函数的值域(1) 教学目的：理解函数值域的意义，会求简单函数的值域。
教学重点：二次函数值域的求法。
教学过程:一．问题情境1、函数的概念2、函数1)1()(2+-=x x f x∈A={-1，0，1，2，3}。
(1)求每一个x 所对应的函数值f 〔x 〕。
并求这些函数值构成的集合C 。
(2)如B=R ，那么函数f 〔x 〕=〔x-1〕2+1，x∈A={-1，0，1，2，3}，那么这个对应是函数吗？集合B 和C 有何关系。
如x∈R 呢？二．数学建构用自己的语言说值域的定义。
三．数学应用问题1：函数f 〔x 〕=3x-6，〔i 〕当〔1〕x≥2,〔2〕x∈[-1，3]，分别求f 〔x 〕值域.分析：(1)图象观察(2)代数推理〔ii 〕当函数f(x)的值域为[-1,3],求函数f(x)的定义域。
问题2：试画出函数f(x)=x2+1的图象，并据图象答复以下问题：(1)比较f(-2)，f(1)，f(3)的大小；(2)假设0<x1<x2，试比较f(x1)与f(x2)的大小.(3)假设x1<x2<0，那么f(x1)与f(x2)哪个大？(4)假设|x1|<|x2|，试比较f(x1)与f(x2)的大小？问题3：函数f〔x〕=x2-2x+3，当定义域分别为以下集合时，求f〔x〕的值域。
〔1〕R〔2〕[2，3]〔3〕[-3，6]注：给定区间二次函数值域的求法步骤：1．配方画图。
2．确定对称轴和区间的位置，找出最高点和最低点。
3．写解。
考虑：一个函数的解析式为y=x2，它的值域是[1，4]，这样的函数有多少个，试写出其中两个。
四．回忆反思五．练习1、求以下函数的值域(1)y=+1；(2)y=x2-4x+6；x∈[1,5)(3)〔选〕y=2x-2、P28练习3、求函数值域f(x)=2x2-6x+cx∈[1,3]的值域。
高三数学《二次函数的值域的解法》教案
形如()22122111,0b x c y a b a x b x c +=≠++的函数的值域的解法下面我们看形如()22122111,0b x c y a b a x b x c +=≠++的函数的值域. 1、判别式法：若211140b a c -<,函数的定义域为R ,则可用判别式法.先去分母,得到含参数y 的二次方程()0f x =,根据判别式0∆≥()()f y ∆=,即可求出值域.例、求234xy x =+的值域. 由234x y x =+得2340yx x y -+=. 当0y =时,0x =,当0y ≠时,由0∆≥得3344y -≤≤. ∵函数的定义域为R . ∴函数234x y x =+的值域为33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 注：若211140b a c -≥或者题目指定函数的定义域非R 则不能用判别式法否则就会放大值域.2、斜率法：()2222222111111c x b b x c y b a x b x c a x b x c ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭==+++--可视为连结两点 ()221112,,,c A a x b x x B c b ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的斜率k .而A 的轨迹是抛物线211x a y b y =+,则可由点B 与抛物线211x a y b y =+的关系讨论斜率k 的范围从而确定原函数的值域.当B 在抛物线的内部时,斜率k 的取值范围为R .当B 在抛物线上时,斜率k 不可取过B 点的抛物线切线的斜率. 当B 在抛物线的外部时,先求过B 点的抛物线的两条切线,则A ,B 的连线夹在两条切线之间,如图所示.对于如何求两直线的斜率,将抛物线方程211x a y b y =+等号两边对x 求导得1112y a y b '=+设切点为()211,a y b y y +.则由2221111112c y b a y b y c a y b +=+++易求得两切点的值,从而求的两切线斜率. 例子： 求241xy x x =-+的值域. 解：因为()1,0-在抛物线2x y y =-的外部,容易求得过()1,0-与抛物线2x y y =-相切的直线斜率范围为1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.所以原函数的值域为4,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.对于上述两种解题方法,显然判别式法简单易操作,但其局限性也很明显,必须要满足定义域为R .斜率法虽然复杂,但其试用范围更广.在解题的过程中应先考虑简单易操作的方法,当简单方法再用其他方法.下面我们看形如()22222111,0a x b x c y a b b x c ++=≠+的函数的值域.1、 转化为一次分式换元利用不等式求解： 因为()()()222211212221222111121221111112222122122212111112222122112222111221111a xb xc y b x c a b b a c b b a c b x c x b x c c c b b b b x c b b a c c c a b b a c b x b b b x c b b a c c c a b b b a c a cb xc b b x c b ++=+--++++-=+---=+++----=++++()22222111,0a x b x c y a b b x c ++=≠+222211a xb xc y b x c ++=+都可以化成1y mt n d t =++的形式,其中11t b x c =+,若m 和n 同号,则可由不等式a b +≥来求11y mt n t=+的值域,但须满足平均不等式一正二定三相等的原则,从而求得y 的值域. 例求234621x x y x ++=+的值域.解：令21t x =+则原函数可化为31911442y t t =++. 令1319144y t t =+,存在00t ≠满足319144t t =,故当0t >,13191574416y t t ≥=由函数1319144y t t =+的对称性可知,1319144y t t =+的值域为5757,,1616⎡⎤⎡⎤-∞-⋃∞⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 则原函数的值域为4965,,1616⎡⎤⎡⎤-∞-⋃∞⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 在用各种方法求解函数值域时，要注意有些方法的使用是有前提的,特别要讨论函数的定义域,注意那些奇异点.另外,()22122111,0b x c y a b a x b x c +=≠++与()22222111,0a x b x c y a b b x c ++=≠+是可以互相转化的（调换分子分母的位置），在转化的过程中定义域可能会改变,这是要加以讨论.转化过后求解的思路会更广.下面讨论含无理根式的分式函数的值域求无理根式的问题的原则一般是化无理为有理,主要途径为两边平方和三角换元.除此之外还有一些带根式的分式函数可以分类讨论求解,有的还可根据其几何意义使用斜率法求解. 1、 两边平方平方的过程中常常会使值域的范围放宽,从而产生错误.变形一定要等价. 例 求y =.解：当0x =时,0y =.当0x ≠时,两边平方得2222211111113124x y x x x x x ===++⎛⎫++++ ⎪⎝⎭. 所以2304y <≤,综上所求值域为33⎡-⎢⎣⎦. 不难看出,上面的解题过程有错误.显然2221xy x x =++与y =.原问题等价于当0x =时,0y =,当0x ≠时22210x y x x xy ⎧=⎪++⎨⎪>⎩.可转化为为22111324y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()0xy >.由图可知当10x>时,211y >,又x 与y 同号,故当0x >时,10y >>.当0x <时2134y ≥,又x 与y 同号,故0y ≤<.综上,所求值域为⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭.2、 分类讨论分类讨论通常能避免变形不等价.但常常出现变形时注意变量的范围而在求函数值时忽略了变量了范围.同样以上题为例： 当0x =时,0y =. 当0x >时,y ==.所以y ⎛∈ ⎝⎦. 当0x <时,y ==所以,03y ⎡⎫∈-⎪⎢⎪⎣⎭. 在讨论0x >时犯了个错误,即3y =,必须有2x =-.纠错后易得所求值域为⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭.在分类讨论问题时,一定要顾及前提条件. 3、 三角换元用三角换元,利用三角函数公式常常能把问题变得简单,但也容易出现扩大范围的错误 同样以前面的例子来讨论.令12x θ+=,则12x θ=-. 1.51.00.5则1tansin6cosyθπθθθθ-⎛⎫==-=-⎪⎝⎭.故所求值域为⎡⎢⎣⎦.上述解法错在把θ=等同于θ=.忽略了θ的取值范围.为了免去含绝对值的麻烦,不妨设,22ππθ⎛⎫∈-⎪⎝⎭.于是1sin6πθ⎛⎫-≤-<⎪⎝⎭,所求函数值域为⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭在做三角换元时，可以适当地限定角度的范围从而使问题更易解决.综上讨论可知,在进行两边平方、开根号、换元等操作时,一定要严控范围的放大与缩小,保证其前后等价.。
高中数学函数的值域教案
函数的值域教学目标：使学生掌握如何求二次函数、无理函数和分式函数的值域.教学重点：联系图像求值域.教学难点：联系图像求值域.教学过程：[例1]求函数y ＝x 2在下列X 围内的值域：（1）x ∈[1，2] （2）x ∈[－1，2] （3）x ∈[－3，2]（4）x ∈[a ，2] （5）x ∈[T ，T ＋2][例2] 求函数y ＝－x 2＋2x ＋3 的值域.解：令t ＝－x 2＋2x ＋3，则：y ＝t 且t ∈[0，4]∴所求函数的值域为：[0，2][例3] 求函数y ＝2x －3＋4x －13 的值域.分析：对于没有给定自变量的函数，应先考查函数的定义域，再求其值域.解：∵4x －13≥0 ∴x ∈[134 ，＋∞） 令t ＝4x －13 则得：x ＝t 2＋134∴y ＝12 t 2＋t ＋72 ∴y ＝12（t ＋1）2＋3 ∵x ≥134 ∴t ≥0根据二次函数图象可得y ∈[72，＋∞） [例4] 求函数y ＝x ＋4x －4 －x －4x －4 的值域.解：y ＝（x －4 ＋2）－｜x －4 －2｜＝⎩⎨⎧4 x ≥82x －4 4≤x ＜8∴y∈[0，4][例5] 求函数y＝｜x＋1｜－｜x－2｜的值域.分析：对于y＝｜x＋1｜－｜x－2｜的理解，从几何意义入手，即利用绝对值的几何意义可知，｜x＋1｜表示在数轴上表示x的点到点－1的距离，｜x－2｜表示在数轴上表示x 的点到点2的距离，在数轴上任取三个点x A≤－1，－1＜x B＜2，x C≥c，如图所示，可以看出｜x A＋1｜－｜x A－2｜＝－3－3＜｜x B＋1｜－｜x B－2｜＜3，｜x C＋1｜－｜x C－2｜＝3，由此可知，对于任意实数x，都有－3≤｜x＋1｜－｜x－2｜≤3所以函数y＝｜x＋1｜－｜x－2｜的值域为y∈[－3，3][例6] 求函数y＝x4＋x2＋5（x2＋1）2的值域.解：∵函数定义域为x∈R由原函数可化得：y＝x4＋x2＋5（x2＋1）2＝x2（x2＋1）＋5（x2＋1）2＝5（x2＋1）2＋x2（x2＋1）2＝5（x2＋1）2＋x2＋1－1（x2＋1）2＝5（x2＋1）2－1x2＋1＋1 令t＝1x2＋1∵x∈R∴t∈(0，1]∴y＝5t2－t＋1＝5（t－110）2＋1920根据二次函数的图象得当t＝110时ymin ＝1920当t＝1时，y max＝5∴函数的值域为y∈[1920，5][例7] 求下列函数的值域.（1）y＝1x（2）y＝kx（k≠0，k是常数）（3）y＝1a x＋b（a、b是常数，a≠0）（4）y＝ka x＋b（a、b、k是常数，a、k≠0）[例8] 求函数y ＝1x（x ≠0）在下列定义域X 围内的值域. （1）x ∈（1，2）； （2）x ∈（0，2）； （3）x ∈（－1，2）；（4）x ∈（2，+∞）； （5）x ∈（－2，+∞）[例9] 求下列函数的值域：（1）y ＝2x －4x ＋1 ；（2）y ＝1－x 2x ＋5解：（1）∵y ＝2（x ＋1）－6x ＋1 ＝2－6x ＋1∴函数的值域为{ y ︱y ≠0}（2）∵y ＝－12 ＋72 2x ＋5∵72 2x ＋5 ≠0 ∴y ≠－12∴函数y 的值域为y ∈（－∞，－12 ）∪（－12，＋∞） [例10] 求函数y ＝3x 2－1x 2＋2的值域. 解：由y ＝3x 2－1x 2＋2可知，x ∈R 且yx 2＋2y ＝3x 2－1 即（3－y ）x 2＝2y ＋1若y ＝3时，则有0＝7，这是不可能的.∴y ≠3得：x 2＝2y ＋13－y ∵x 2≥0 ∴2y ＋13－y≥0 解得：－12≤y ＜3 ∴函数值域为y ∈[－12 ，3） [例11] 求下列函数的值域：（1）y ＝1x 2＋2x ＋3 ；（2）y ＝1x 2＋2x －3[例12] 求函数y＝x2－2x－32x2＋2x＋1的值域.解：由y＝x2－2x－32x2＋2x＋1得x∈R且可化为：（2y－1）x2＋2（y＋1）x＋（y＋3）＝0∴当y≠12时，Δ＝[2（y＋1）]2－4（2y－1）（y＋3）≥0∴y2＋3y－4≤0 ∴－4≤y≤1且y≠1 2又当y＝12时，2（1＋12）x＋（12＋3）＝0得：x＝－76，满足条件∴函数的值域为y∈[－4，1]评述：（1）求函数的值域是一个相当复杂的问题，它没有现成的方法可套用，要结合函数表达式的特征，以及与所学知识联系，灵活地选择恰当的方法.（2）对于以上例题也可以采取不同的方法求解每一个值域，请读者不妨试一试.（3）除以上介绍的方法求函数值域外，随着学生的继续学习，我们今后还会有“反函数”法、“单调性”法、“三角换元”法、“不等式”法及“导数法”等.课后作业：。
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分式函数求值域问题的通用解法
我这里所讲的分式函数指的是一次除一次，二次除一次，一次除二次，二次除二次，具体来看是指一下四种形式：
一次除以一次
二次除以一次
一次除以二次
二次除以二次
下面我以一些具体的例子来说一说分式函数值域的具体求法。
例1.求函数的值域。
解析：此题的标准解法叫分离常数
则该函数是由向右平移两个单位，向上平移2个单位得到，显然值域为
说明：该函数可以称为是反比例型函数，其值域为即。
另外此函数的对称性和单调性规律也很简单，大家可以试着总结一下。
再随便举一个例子：其值域为
求函数的值域。
解析：此例子比较简单，分母上的一次只是，显然我们可以化简得
则可以用对号函数的单调性解决值域为
求函数的值域。
解析：此题和例2其实一样，只不过分母稍复杂一点。
令代入上式得
所以值域为
求函数的值域。
解析：此题为一次除以二次的形式，则根据例3当时，我们可以先求出的值域为，则此时，当时，，综上进得到该函数的值域为
例5.求函数的值域。
解析：此题可以转化成例4来求。
（仍然是一次除以二次的情况）
当时
当时
综上
说明：分式函数求值域的问题，除了一次除以一次可以口算之外，其余的几种情况基本上都可以转化成对号函数来求。
以上几个题目都是我随手编的几个题，只是想给大家展示一下分式求值域通用的规律。
后面我会再给大家补充几道涉及到分式求值域的高考题以及高考模拟题。