求函数值域题型和方法(一)

求函数值域题型和方法（一）一、函数值域基本知识1．定义：在函数()y f x =中，与自变量x 的值对应的因变量y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（或函数值的集合）。

2．确定函数的值域的原则①当函数()y f x =用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合；②当函数()y f x =用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合；③当函数()y f x =用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；④当函数()y f x =由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。

二、常见函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。

函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。

一般地，常见函数的值域：1.一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.2.二次函数()20y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，当0a <时的值域为24,4ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦.，3.反比例函数()0ky k x=≠的值域为{}0y R y ∈≠.4.指数函数()01xy aa a =>≠且的值域为{}0y y >.5.对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R.6.正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R.三、求解函数值域的7种题型题型一：一次函数()0y ax b a =+≠的值域（最值）1、一次函数：()0y ax b a =+≠当其定义域为R ，其值域为R ；2、一次函数()0y ax b a =+≠在区间[],m n 上的最值，只需分别求出()(),f m f n ，并比较它们的大小即可。

若区间的形式为(],n -∞或[),m +∞等时，需结合函数图像来确定函数的值域。

题型二：二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的值域（最值）1、二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ，当其定义域为R 时，其值域为()()224 044 04ac b y a a ac b y a a ⎧-≥>⎪⎪⎨-⎪≤<⎪⎩2、二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在区间[],m n 上的值域(最值)首先判定其对称轴2bx a=-与区间[],m n 的位置关系（1）若[],2b m n a -∈,则当0a >时，(2bf a-是函数的最小值，最大值为(),()f m f n 中较大者；当0a <时，()2bf a-是函数的最大值，最大值为(),()f m f n 中较小者。

（2）若[],2bm n a-∉,只需比较(),()f m f n 的大小即可决定函数的最大（小）值。

特别提醒：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；②若给定的区间形式是[)(]()(),,,,,,,a b a b +∞-∞+∞-∞等时，要结合图像来确函数的值域；③当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。

例1：已知()22f x x --的定义域为[)3,-+∞，则()f x 的定义域为(],1-∞。

例2：已知()211f x x -=+，且()3,4x ∈-，则()f x 的值域为()1,17。

题型三：一次分式函数的值域1、反比例函数)0(≠=k xky 的定义域为{}0x x ≠，值域为{}0y y ≠2、形如：cx dy ax b +=+的值域：（1）若定义域为b x R x a ⎧⎫∈≠-⎨⎬⎩⎭时，其值域为c y R y a ⎧⎫∈≠⎨⎩⎭（2）若[],x m n ∈时，我们把原函数变形为d byx ay c-=-，然后利用[],x m n ∈（即x 的有界性），便可求出函数的值域。

例3：函数23321x xy -=-的值域为[)1,3,3⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ ；若[]1,2x ∈时，其值域为11,511⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。

例4：当(]3,1x ∈--时，函数1321xy x -=+的值域34,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭。

（2）已知()312x f x x -+=-，且[)3,2x ∈-，则()f x 的值域为6,5⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦。

例5：函数2sin 13sin 2x y x -=+的值域为[)1,3,5⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦；若3,22x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，其值域为12,23⎡⎫-⎪⎢⎣⎭。

题型四：二次分式函数22dx ex c y ax bx c++=++的值域一般情况下，都可以用判别式法求其值域。

但要注意以下三个问题：①检验二次项系数为零时，方程是否有解，若无解或是函数无意义，都应从值域中去掉该值；②闭区间的边界值也要考查达到该值时的x 是否存在；③分子、分母必须是既约分式。

例6：2216x x y x x +-=+-；()21,,7⎛⎤+∞⋃-∞ ⎥⎝⎦例7：2221x x y x +-=-；{}1y R y ∈≠例8：432+=x x y ；33,44⎡⎤-⎢⎣⎦例9：求函数()211,21x y x x x -=∈-+∞++的值域解：由原函数变形、整理可得：()22110yx y x y +-++=求原函数在区间()1,-+∞上的值域，即求使上述方程在()1,-+∞有实数解时系数y 的取值范围当0y =时，解得：()11,x =∈-+∞也就是说，0y =是原函数值域中的一个值…①当0y ≠时，上述方程要在区间()1,-+∞上有解，即要满足()10f -<或02112y y ≥⎧⎪-⎨->-⎪⎩解得：108y <≤……②综合①②得：原函数的值域为：10,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦题型五：形如y ax b =+±的值域这类题型都可以通过换元转化成二次函数在某区间上求值域问题，然后求其值域。

例10：求函数x x y -+=142在[]8,1x ∈-时的值域[]4,4-题型六：分段函数的值域：一般分别求出每一分段上函数的值域，然后将各个分段上的值域进行合并即可。

如果各个分段上的函数图像都可以在同一坐标系上画出，从图像上便可很容易地得到函数的值域。

例11：21++-=x x y [)3,+∞例12：241y x x =-++(],5-∞题型七：复合函数的值域对于求复合函数的值域的方法是：首先求出该函数的定义域，然后在定义域的范围内由内层函数的值域逐层向外递推。

例13：)11y x =-≤≤[]0,2例14：y =50,2⎡⎤⎢⎣⎦四、函数值域求解的十六种求法（1）直接法（俗名分析观察法）：有的函数结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。

即从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。

或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。

注意此法关键是定义域。

例1：已知函数()112--=x y ，{}2,1,0,1-∈x ，求函数的值域。

{}1,0,3-例2：求函数1y =+的值域。

[1,)+∞例3：求函数()1y x =≥的值域。

)+∞例4：求函数y =[)1,+∞（2）配方法：二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解，但在转化的过程中要注意等价性，特别是不能改变定义域。

对于形如()20y ax bx c a =++≠或()()()()20F x a f x bf x c a =++≠⎡⎤⎣⎦类的函数的值域问题，均可使用配方法。

例1．求函数322+--=x x y 的值域。

分析与解答：因为0322≥+--x x ，即13≤≤-x ，4)1(2++-=x y ，于是：44)1(02≤++-≤x ，20≤≤y 。

例2．求函数x x x y 422++=在区间]4,41[∈x 的值域。

分析与解答：由x x x y 422++=配方得：62242+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=++=x x x x y ，当241≤≤x 时，函数24++=x x y 是单调减函数，所以41186≤≤y ；当42≤≤x 时，函数24++=xx y 是单调增函数，所以76≤≤y 。

所以函数在区间]4,41[∈x 的值域是41186≤≤y 。

（3）最值法：对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值，求函数的值域的方法。

例1求函数y =3-2x -x 2的值域。

解：由3-2x -x 2≥0，解出定义域为［-3，1］。

函数y 在［-3，1］内是连续的，在定义域内由3-2x -x 2的最大值为4，最小值为0。

∴函数的值域是［0,2］例2：求函数2xy =，[]2,2x ∈-的值域。

1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦例3：求函数2256y x x =-++的值域。

73,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（4）反函数法（逆求或反求法）：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。

即通过反解，用y 来表示x ，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围。

对于形如)0(≠++=a bax dcx y 的值域，用函数和它的反函数定义域和值域关系，通过求反函数的定义域从而得到原函数的值域。

例1：求函数1212xxy -=+的值域。

解：由1212x xy -=+解得121xy y -=+，∵20x>，∴101yy->+，∴11y -<<∴函数1212xxy -=+的值域为(1,1)y ∈-。

（5）分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。

小结：已知分式函数)0(≠++=c dcx bax y ，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠c a y y ；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为)(bc ad d cx c adb c a y ≠+-+=，用复合函数法来求值域。

例1：求函数125xy x -=+的值域。

解：∵177(25)112222525225x x y x x x -++-===-++++，∵72025x ≠+，∴12y ≠-，∴函数125x y x -=+的值域为1{|}2y y ≠-。

（6）换元法（代数/三角）：对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑运用代数或三角代换，将所给函数化成值域简单的熟悉的容易确定的基本函数，从而求得原函数的值域。

当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。

对形如()1y f x =的函数，令()f x t =；形如,,,,0)y ax b a b c d ac =+±≠均为常数的函数，t =；形如含的结构的函数，可利用三角代换，令[]cos ,0,x a θθπ=∈，或令sin ,,22x a ππθθ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦.例1：求函数2y x =+的值域。