【数学】备战中考数学旋转解答题压轴题提高专题练习含详细答案

一、旋转 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．平面上，Rt △ABC 与直径为CE 的半圆O 如图1摆放，∠B ＝90°，AC ＝2CE ＝m ，BC ＝n ，半圆O 交BC 边于点D ，将半圆O 绕点C 按逆时针方向旋转，点D 随半圆O 旋转且∠ECD 始终等于∠ACB ，旋转角记为α（0°≤α≤180°）

（1）当α＝0°时，连接DE ，则∠CDE ＝ °，CD ＝ ；

（2）试判断：旋转过程中

BD

AE

的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明； （3）若m ＝10，n ＝8，当α＝∠ACB 时，求线段BD 的长；

（4）若m ＝6，n ＝2，当半圆O 旋转至与△ABC 的边相切时，直接写出线段BD 的长．

【答案】（1）90°，2n ；（2）无变化；（3125；（4）BD=102114． 【解析】

试题分析：（1）①根据直径的性质，由DE ∥AB 得CD CE

CB CA

=即可解决问题．②求出BD 、AE 即可解决问题．

（2）只要证明△ACE ∽△BCD 即可．

（3）求出AB 、AE ，利用△ACE ∽△BCD 即可解决问题．

（4）分类讨论：①如图5中，当α=90°时，半圆与AC 相切，②如图6中，当α=90°+∠ACB 时，半圆与BC 相切，分别求出BD 即可． 试题解析：（1）解：①如图1中，当α=0时，连接DE ，则∠CDE =90°．∵∠CDE =∠B =90°，∴DE ∥AB ，∴CE CD AC CB ==12．∵BC =n ，∴CD =1

2

n ．故答案为90°，

1

2

n ． ②如图2中，当α=180°时，BD =BC +CD =

32n ，AE =AC +CE =32m ，∴BD AE =n m

．故答案为n

m

． （2）如图3中，∵∠ACB =∠DCE ，∴∠ACE =∠BCD ．∵

CD BC n

CE AC m

==，

∴△ACE ∽△BCD ，∴

BD BC n

AE AC m

==．

（3）如图4中，当α=∠ACB 时．在Rt △ABC 中，∵AC =10，BC =8，∴AB =22AC BC -=6．在Rt △ABE 中，∵AB =6，BE =BC ﹣CE =3，

∴AE =22AB BE +=2263+=35，由（2）可知△ACE ∽△BCD ，∴

BD BC

AE AC

=，∴

35=810，∴BD =125．故答案为125

． （4）∵m =6，n =42，∴CE =3，CD =22，AB =22CA BC -=2，①如图5中，当α=90°

时，半圆与AC 相切．在Rt △DBC 中，BD =22BC CD +=224222+（）（）

=210． ②如图6中，当α=90°+∠ACB 时，半圆与BC 相切，作EM ⊥AB 于

M ．∵∠M =∠CBM =∠BCE =90°，∴四边形BCEM 是矩形，∴342BM EC ME ===，，∴AM =5，AE =

22AM ME +=57，由（2）可知

DB AE =223

，∴BD =2114

3． 故答案为210或

2114

3

．

点睛：本题考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，正确画出图形是解决问题的关键，学会分类讨论的思想，本题综合性比较强，属于中考压轴题．

2．已知△ABC 是边长为4的等边三角形，边AB 在射线OM 上，且OA=6，点D 是射线OM 上的动点，当点D 不与点A 重合时，将△ACD 绕点C 逆时针方向旋转60°得到△BCE ，连接DE ．

（1）如图1，猜想：△CDE的形状是三角形．

（2）请证明（1）中的猜想

（3）设OD=m，

①当6＜m＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．

②是否存在m的值，使△DEB是直角三角形，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）等边；（2）详见解析；（3）3；②当m=2或14时，以D、E、B 为顶点的三角形是直角三角形．

【解析】

【分析】

（1）由旋转的性质猜想结论；

（2）由旋转的性质得到∠DCE=60°，DC=EC，即可得到结论；

（3）①当6＜m＜10时，由旋转的性质得到BE=AD，于是得到

C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE=CD，由垂线段最短得到当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，于是得到结论；

②存在，分四种情况讨论：a）当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形；

b）当0≤m＜6时，由旋转的性质得到∠ABE=60°，∠BDE＜60°，求得∠BED=90°，根据等边三角形的性质得到∠DEB=60°，求得∠CEB=30°，求得OD=OA﹣DA=6﹣4=2=m；

c）当6＜m＜10时，此时不存在；

d）当m＞10时，由旋转的性质得到∠DBE=60°，求得∠BDE＞60°，于是得到m=14．

【详解】

（1）等边；

（2）∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE=60°，DC=EC，∴△CDE 是等边三角形．

（3）①存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得：BE=AD，

∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE=CD，

∴C△DBE=CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD3，∴△BDE的最小周长=CD3；

②存在，分四种情况讨论：

a）∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合