差数试商法(余维菊)
我在职高数学概念教学中的几个“懒方法”
二、 用“ 倒读 ” 的方法理解数列 中的概念
个概念 ． 在证 明题 的时候许 多学 生分 不清 自己是在证 明的单 调性还是奇偶性 ． 甚 至有 的学生用证 明单调性 的方法在证 明
奇偶性 ． 这些都充分反 映了学生对函数的奇偶性和单词性这 两个概念混淆不清 ， 在教学 中 ． 为 了解决这一问题 ， 我特别重 视数形结合的思想 ． 将枯燥 的文字概念通过 图像形象的展现
学生进入高 中后接触 的第一个 概念 是集合 。 而在集合运 算 中的交集、 并集两个概念的意义 和符 号对 于许 多学生来说
是一个难点 ， 很 容易 混 淆 。在 授 课 过 程 中 我 发 现 这 两 个概 念
我们再看一 下第 二个概念“ 等差 数列 ” ． 在讲授这一概念 时． 我们可 以把“ 等 差数列” 倒读为 “ 差等数列 ” ， 再做进一步
基 础知识 和运算技能 、发展逻辑论 证 和空间想象能力 的前
提 可见 正 确 地理 解 一 个 数 学概 念 在 我 们 的教 学 中有 着 至 关
正要的作用 ． 现在我就 自己在 教学 中对几个数学概念 的讲解
方法跟大家交流一下 ：
一
、
用肢 体 语 言解 释 交集 和 并 集 概 念
个定义我觉得 也可 以倒读 理解一下 ． 那 就是“ 方差” 的概念 ， 倒读为 “ 差方 ” ． 它 的定义是这 样的 ： 样本 中每一个元素与样 本平均数的差 的平 方和的平均数 ， 在 这里面用到了样本平均
数 的差 的平 方 ． 后 面再 做 解 释 即 可 。 三、 让 学 生在 函数 线 上 骑 自行 车 ， 理解 函数 的单 调性
集； “ ｎ” ， 这是交集 的符号 ． 我 们可 以弯腰做捡 抬东西状 ， 手
商 法 学
（二）技术性 （三）创新与路径依赖性 （四）进步与变动性 （五）国际性
三、商法的基本原则
商法的基本原则
维护企业自由
提高交易效率
确保交易安全
维护交易公平
创 业 自 由
企 业 自 治
行 业 自 律
交 易 定 型 化
行 权 时 限 化
时 效 短 期 化
强 制 主 义
公 示 主 义
外 观 主 义
严 格 责 任 主 义
二、判断题 1、作为调整商事关系的法律，商法规范一切商事 、作为调整商事关系的法律， 关系。（ 关系。（ ） 2、商法需要回应一日千里的社会经济关系发展之 、 不断修法，各国商事立法日益趋同。 需，不断修法，各国商事立法日益趋同。在这样 的制度变迁和移植过程中， 的制度变迁和移植过程中，也就无所谓不同文化 传统了。（ 传统了。（ ） 3、对中小企业予以这样那样的特殊保护，并不与 、对中小企业予以这样那样的特殊保护， 交易公平原则相悖。（ 交易公平原则相悖。（ ） 4、申请设立登记的时限原则上由当事人自主把握， 、申请设立登记的时限原则上由当事人自主把握， 变更登记和注销登记亦然。（ 变更登记和注销登记亦然。（ ） 5、商事账簿就是会计帐簿。（ ） 、商事账簿就是会计帐簿。（
3、强化造假者的责任 、
实战演练
一、选择题 1、下列属于形式意义上的商法的是（ 、下列属于形式意义上的商法的是（ A.商法典 B.公司法 商法典 公司法 C.票据法 D.证券法 票据法 证券法 ）
2、交易形态定型化强调通过法律规则预先 、 设定若干类型的典型化交易， 设定若干类型的典型化交易，使得任何组 织和个人，无论何时从事交易， 织和个人，无论何时从事交易，均可获得 同样的法律效果， 同样的法律效果，这体现了商法的哪项基 本原则（ 本原则（ ） A.维护商业自由原则 B.提高交易效率原则 维护商业自由原则 提高交易效率原则 C.维护交易安全原则 D.维护交易公平原则 维护交易安全原则 维护交易公平原则
基于思维能力的2013年数学高考试题研究
件信息 ， 还要观察选 项的特点 ， 通常选项也会提供
解题信息． 本题直接解不等式 （ 一１ ） ＜ ４求 出集 合 ， 进而根据交集的定义求出 ｎⅣ并非难事 ，
但需要花一些时间． 如果学生仔细观察选项可以发 现０ ， １ ， ２ 是 ４个选项集合 中的共同元素 ， 因此我们
评析 本题 以二项式定理与积分知识为载体 ， 主要考查学生归纳类 比的能力． 学生初见此题时难
ｔ －Ｘ － Ｆ￣２ ＋ Ｘ ３ ＋ ． ．
・
一ห้องสมุดไป่ตู้
．
２边 同时积 分得
为基础 ， 在求同存异 的前提下 ， 依靠个人独特 的视
角， 挖掘 已知条 件 ， 从 而解 决相 关 问题 的一 种 思 维 能力． 达 尔 文 在 总 结 自己 的成 就 时 说 ： “ 我 既 没 有 突 出的理 解 力 ， 也 没 有 过 人 的机 智 ， 只 是 在 观 察 那 些 稍纵 即逝 的事 物并 对 其进 行精 确 观察 的 能力上 ， 我 可 能在 普 通 人 之 上 ． ” 可见 ， 观 察 发 现 能 力 对 于
第 ８期
余
莉， 等： 基 于思维能力的 ２ ０ １ ３年数 学高考试题研 究
・１ ３・
基 于 思 维 能 力 的２ ０ １ ３年 数 学 高 考 试 题 研 究
●余 莉 肖 雪 李 神 （ 福建师范大学数学与计算机科学学院 福建福州 ３ ５ ０ ０ ０ ７ ）
众所 周 知 ， 数 学是 一 门思维 的学科． 因此 ， 高考 对 于 数学 学 科 的考 查必 须 以数 学思 维能 力 为核 心． 数学 思 维能 力 是 指学 生在 分 析 和解 决 数 学 问题 时 所 表 现 出来 的 思 维 能 力． 《 普 通 高 中课 程标 准 （ 实
商法学PPT(覃有土)
行为意义上的商--经济学上的“商”
• 泛指社会产品从生产者手中流转到消费者手中的渠道、桥
梁和中介，以调剂供需，从中获取利润的活动。这是最本 原意义上的商，即买与卖，是简单商品生产条件下社会分 工的结果。 随着生产力水平的提高，剩余产品越来越丰富，买与 卖的规模越来越大，最后就使得作为一个特殊经营领域的 商业得以成型。 此种意义上的“商”的一个根本特点，就是商人作为 生产者和消费者之间的一个渠道、桥梁或中介，以先买后 卖的方式贯通了生产与消费的过程。
㈡近代大陆法系商法
• 以1673年和1681年，法国国王路易十四分
别颁发的《商事敕令》和《海事敕令》为 标志，商法进入了成文法阶段，其特点有： • 1、商人习惯法上升为国家立法 • 2、原商事裁判庭上升为国家机器 • 3、商人行会作为国家机器的辅助，自律管 理会员
（三）现代大陆法系商法
• 以1807年的《法国商法典》 的颁行为标志
第二节 商事主体
• 一、商事主体概述 • （一）商事主体的概念 • 商事主体，商主体在传统商法中又称
为“商人”。是指依据商事法的有关规定， （有资格从事营业活动）参加商事活动， （并通过实施商事交易行为-商行为）享有 商事权利并承担义务的自然人、法人或者 其他的营业组织。
第二节 商事主体
• （二）商主体的特征 • 1．商事主体必须具有商事能力。 • 2．商主体必须以营利性活动作为其营业内
第一节 商事法律关ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ概述
• （二）商事法律关系与民事法律关系 • 一方面，民事活动与商事活动是包容关
系，商事活动不过是对民事活动中某些具 有特殊重要意义的经济活动的概括。 • 另一方面，民事活动与商事活动又是一 般与特别的关系。
第一节 商事法律关系概述
作差法与作商法比较大小
(2)bc2＋ca2＋ab2－(b2c＋c2a＋a2b) ＝(bc2－c2a)＋(ca2－b2c)＋(ab2－a2b) ＝c2(b－a)＋c(a－b)(a＋b)＋ab(b－a) ＝(b－a)(c2－ac－bc＋ab) ＝(b－a)(c－a)(c－b)， ∵a>b>c，∴b－a<0，c－a<0，c－b<0. ∴(b－a)(c－a)(c－b)<0. ∴bc2＋ca2＋ab2<b2c＋c2a＋a2b.
证明: (a3 b3 ) (a2b ab2 )
(a3 a2b) (ab2用骤作为b差：3 )比作较差法—变证形明—不定等号式.的常步用
a2 (a b) b2 (a的变b形) 方法有：配方法，通分
(a2 b2 )(a b) 法形 ，为(a因常式数b分或)(解变a法形，为b)有常2 时数把与差几变个
三、例题讲解
例1 求证 : x2 3 3x.
证明: x2 3 3x
x2 3x (3)2 (3)2 3 22
(x 3)2 3 0 24
x2 3 3x.
上面的证明方法称比差法. 其步骤是:作差--变形--判断--结论
三、例题讲解
例3 已知a,b是正数,且a b,求证 : a3 b3 a2b ab2.
a, b是正数,且a b数,的平方和的形式或变形为几 a b 0, (a b)2 个符因号0式为, 积止的. 形式.变形到可判断
即(a3 b3 ) (a2b ab2 ) 0
a3 b3 a2b ab2.
[悟一法] (1)当不等式的两边为对数式或指数式时，可用作商比较法来 证明，另外，要比较的两个解析式均为正值，且不宜采用作差比 较法时，也常用作商比较法．
[悟一法] (1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目 的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少． (2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可 以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法． (3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的 符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式， 当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用判别式法判 断符号．有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进 行分类讨论．
试商方法
几种灵活试商方法除数是两位数的除法，通常用的试商方法有：四舍五入法和口算法。
在教学四舍五入试商时，首先讲清什么是四舍，什么是五入。
然后对除数的处理得出：“1.2.3当0看，两头凑，往上走”的规律。
这样学生对除数个位上的数是“舍”还是“入”就有了明确的标准。
另外在学生掌握了四舍五入法试商的基础上，根据题目的具体情况还要掌握一些特殊、巧妙的试商方法。
如：（1）口算试商法当除数个位上的数是4、5、6时，也可以看成几十五直接口算。
当除数十位上的数比较小，个位上的数又不接近整十数。
当除数个位上的数是4、5、6时，也可以看成几十五直接口算。
特别是当除数是14、15、16、24、25、26等（2）折半商5试商法折半商5就是被除数的前两位是除数的一半时，直接商5来一次定商。
如24548、18136这两个算式的被除数的前两位比除数小，不够商1，但24是48的一半，18是36的一半，这时就可以直接商5（524548、518136），这叫折半商5试商法。
（3）同头无除商9、8的试商方法当被除数和除数的首位数字相同，且前两位不够商1时，通常直接商9或商8。
若当第二位上的差数不超过首位时，通常可以直接商9。
如980987、960065；当被除数和除数的首位数字相同，而第二位上的差数超过首位时，通常可以直接商8。
如8410 46，832538均可直接商8.当被除数和除数的最高位相同，而第二位的差数不超过首位时，通常可以商“9”，如440÷46、802÷8、900÷98等。
当被除数和除数的最高位相同，而第二位的差数超过首位时，通常可以商“8”，如410÷46、152÷18、325÷38等。
（4）扩倍试商法扩倍试商法是将被除数、除数同时扩大相同的倍数后再试商的方法。
一般适合除数是15、25、35、45的情况。
如28035→856070，（280和35同时扩大2倍后，变成560÷70，很快就能找到初商是8）。
用“四舍五入”法试商并且调商
“四舍”法试商需调商的笔算除法单位：天补小学 主备人：王海燕 教学内容四（上）第18页例5和“练一练”及“练习四”第1～4题。
共几课时 4 课型 新授 第几课时 1 教学目标 1.经历探讨调商方法的过程，了解把除数看作比它小的整十数试商时，可能出现初商偏大的情况，学会调商的方法，能正确进行计算。
2．培养学生认真的计算，养成主动探索、互动合作的良好学习习惯，培养克服困难的意志。
教学重点 难 点 重点、难点：掌握试商后初商过大需调小的方法。
教学资源 学情资源：学生能正确进行三位数除以两位数（不要调商）的笔算。
教材分析：这部分内容继续教学三位数除以两位数的笔算，但初商后需要调商。
在预习中学生会发现初商偏大的问题，从而形成认知冲突，教师应充分利用这一教学资源因势利导，让学生主动探索解决问题的方法。
教学准备：小黑板。
学 程 设 计 导 航 策 略修 改 调 整 一、揭示课题，认定目标。
（预设3分钟） 1．说说把除数分别看作几十来试商。
210÷42 274÷29 450÷63 362÷482．明确学习内容和目标。
二、目标驱动，自主学习。
（预设15分钟） 1.（学习例5）自主学习导学单：（时间：8分钟）（1）仔细观察，说一说：你从图中获得哪些数学信息？（2）能不能提出用除法计算的问题？怎样列式？（3）学生尝试列竖式计算。
（4）在小组内交流计算方法和发现的问题。
2．探索调商方法。
（1）分析初商偏大的原因；说明：除数本来是34，我们把它看作30来试商，这时除数变小了，初商就可能偏大。
（2）寻求解决问题的办法。
→说说你为什么想到这些整十数。
今天，我们要继续探索三位数除以两位数的笔算，通过探索发现一些新问题，并想办法解决它们。
（出示课题） →你们刚才在试商的过程中，遇到了什么问题？（9乘34得306，比被除数大）说明了什么？（说明初商偏大，平均每人借书本数不可能满9本） →我们把34看作30试商的方法是正确的，为什么初商会偏大呢？9偏大，怎么办？（改成商8）商8合适吗？ →在计算时，用“四舍”法把除数看成整十数试商，除数变小了，初商就可能偏大；那就把商调小1后，再按原来的方法计算。
廖艳嫔-商法概论 第一部分
在中国，民商合一的体制，使得商法长期以来被遗 忘、忽视或被民法所替代。商法的理论与实践，开 始1992年确立市场经济体制后，发展于2000年中国 加入WTO后。随着市场经济体制的建立和国际贸易 的需要，立法机关制定了一大批商事法律 商事法律，商事司 商事法律 法活动日趋扩大，商事审判一词出现在法院审判中。 商事法律例如：公司法、中外合作经营企业法、中 商事法律 外合资经营企业法、外商投资企业法、合伙企业法、 个人独资企业法、合同法、担保法、保险法、证券 法、信托法、票据法、商业银行法、破产法，等等。
五、商法制度体系： 商法制度体系： 从私法层面到公私结合
商法的研究不仅应该包括传统私法层面的原 则和制度（例如商事主体法、商事行为法）； 也应该涵盖与商事活动具有密切关系的、公 法层面的原则和制度（例如商事管理法、商 事程序法，因为“没有不受监管的商事活 动”。
从实用主义的角度，作为适用商法最多的主 体，商人或许可以不明白“民商合一”、不 理解“调整对象”，不了解“中世纪商人 法”，但是却需要清楚知道：商事活动需遵 循哪些行政管理制度，商事权利应如何实现 法律救济。 传统商法仅以商法总论、商主体和商行为为 主的研究体系需要改进。所以应打破部门法 如实体与程序、民商法与经济界限和学科界 限如法学与经济学来学习和研究商法。
和谐社会以法律正式规范为制度基础， 和谐社会以法律正式规范为制度基础，但更强调道 习俗、惯例、信用等非正式规范的调整作用。 德、习俗、惯例、信用等非正式规范的调整作用。 由于商法起源于商事习惯并以商事习惯作为主要内 容，所以而商法除了重视国家商事立法之外，还强 调对商事习惯法、民间法、商事惯例和当事人约定 等非正式规范的适用，后者对于避免贸易摩擦、节 约交易成本、减少诉讼和国家强制执行的适用、以 至于构建和谐社会无疑都具有重要作用。
2006年全国硕士研究生入学考试数学(四)答案解析与点评
= f ′(4x2 − y 2 ) ⋅ (8xdx − 2 ydy)
= 2 f ′(4x2 − y 2 ) ⋅ (4xdx − ydy)
于是 dz = 2 f ′(0)(4dx − 2dy) = 4dx − 2dy . (1, 2 )
可参见水木艾迪 2006 考研数学 36 计例 15-5 等题 （4）已知 a1, a2 为 2 维列向量，矩阵 A = (2a1 + a2 , a1 − a2 ) ， B = (a1, a2 ) ．若行列式
(2) 设函数 f (x) 在 x = 2 的某邻域内可导,且 f ′(x) = e f (x) , f (2) = 1则 f ′′′(2) = 2e3.
【解析与点评】由题设 f (x) 在 x = 2 的某邻域内可导以及 f ′(x) = e f (x) ，可知 f ′(x) 也在
x = 2 的同一邻域内可导，于是在该邻域内函数 f (x) 二阶可导，且
(3) 设 函 数 f (u) 可 微 , 且 f ′(0) = 1 , 则 z = f (4x 2 − y 2 ) 在 点 (1,2) 处 的 全 微 分 2
dz = 4dx − 2dy 。 (1, 2 )
【解析与点评】 该题为多元函数微分学基本题。利用一阶全微分形式不变性直接计算可得
dz = f ′(u)du = f ′(4x2 − y 2 ) ⋅ d (4x2 − y 2 )
2006 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评
水木艾迪考研辅导班命题研究中心
2006 年全国硕士研究生入学考试数学（四）
答案解析与点评
水木艾迪考研辅导班命题研究中心 清华大学数学科学系 刘坤林 谭泽光 俞正光 葛余博 1． 06 年考题仍然以基本的概念，理论和技巧为主, 注意考察基础知识的理解与简单综合运 用。除概率统计比 05 年考题难度略有增加以外，试卷难度普遍降低，估计平均难度系 数为 55-62%，平均分数为 80-83 分；而前几年为 38-45%，平均分数只有 60-63 分。 2． 各套试题共用题目比例有较大幅度提高，在大纲要求的共同范围内难度趋于统一。特别 是数三数四连续几年并无任何经济特色，正如我们在讲座和教学中强调的那样，考的是 数学，确切说是理工类数学的能力。这是对 07 年考生的重要参考。 3． 06 年考题进一步说明了我们在水木艾迪考研辅导中教学策略的正确性，教学内容的准 确性和有效性，包括基础班、强化班及考研三十六计冲刺班，对广大学员的教学引导与 训练，使更大面积的考生最大限度受益。 就四套试题的全局而言，水木艾迪考研辅导教学题型、方法与技巧在 06 年的考试 中得到完美的体现，许多试题为水木艾迪考研辅导教学或模拟试题的原题，还有大量 题目仅仅有文字和符号的差别，问题类型及所含知识点与所用方法完全相同，特别是 水木艾迪考研数学三十六计为广大学员提供了全盛的锐利武器。 在面向 07 年考研的水木艾迪考研辅导教学中，水木艾迪的全体清华大学教师将进 一步总结经验，不辜负广大考生的支持和赞誉，以独树一帜的杰出教学质量回报考生 朋友，为打造他们人生的 U-形转弯倾心工作，送他们顺利走上成功之路。
骗分导论3
n
例 2 （经典问题）求 lim
n →∞ i = 1
∑i
1
2
.
答案：极限为
π2 . 6
分析：曾有一道数学竞赛题 ，就是证明该式小于 2. 利用了整数 的分拆和放缩。
1+
1 2
2
+
1 3
2
+ ...
1 n
2
< 1+
1 1 1 + + + ... 1 ×2 2 ×3 3 ×4
=1+1 -
1 1 1 1 1 1 1 1 + - + - + ... - = 2- <2 . 2 2 3 3 4 n -1 n n
这是一个不错的构造的例子。但我们想知道，这个“放过头”的结论显然不是上式的确 界。那么如何求极限？ 这个问题莱布尼茨和伯努力都曾经研究过， 但是没有结果， 而欧拉运用他娴熟的数学技 巧给出了如下的算法。他实际上采用了泰勒展开的方法（请参阅微积分教程） 。 已知 sinZ=Z -Z^3/3! +Z^5/5! -Z^7/7!+ „„ （在此，n!表示 n 的阶乘） 而 sinZ=0 的根为 0，±π, ±2π , „„（π表示圆周率） 所以 sinZ/Z=1- Z^2/3! +Z^4/5! -Z^6/7!+„„的根为±π ,±2π ,„„ 令 w=Z^2,则 1-w/3！ +w^2/5! -w^3/7! +„„=0 的根为π^2， （2π)^2，„„ 又由一元方程根与系数的关系知，根的倒数和等于一次项系数的相反数，得 1/π^2+1/（2π)^2 +1/(3π)^2 + „„=1/3! 化简，得 1+1/2^2+1/3^2+ „„＝π^2/6 欧拉将毫无关系的三角函数与级数放在一起， 解决了多年没有结果的问题， 他的数学运 用能力可见一斑， 我们不妨从他的实例中学习解题的方法技巧， 有时大胆猜想也是一种不错 的办法。 在“骗分”之前，先观察式子具有的特征，不要急于对整体运用不等式或放缩，而要先 对每个小单元进行恒等变形或放缩，使各个单元之间建立起关系，或有相等、大小关系，或 恰能互相消去，或恰好符合著名不等式的结构，达到“先局部后整体，以局部促整体”的目 的，也许会柳暗花明。 例 3 设 x,y ,z≥0, x+y +z=3. 证明： 证明：要证结论，即证
2018.05.24 方法精讲-数量1 牟立志 (笔记)
方法精讲-数量1主讲教师：牟立志授课时间：2018.05.24粉笔公考·官方微信方法精讲-数量1（笔记）数量关系方法精讲1本节学习任务：1.授课内容：代入排除法、数字特性法、方程法。
2.时长：2.5小时。
3.对应讲义：156页～162页。
4.重点内容：（1）掌握代入排除法的适用范围。
（2）掌握奇偶特性的条件特征与使用方法。
（3）掌握倍数特性的基础知识、判定法则，以及余数型和比例型的解题思路。
（4）掌握设未知数的技巧，熟悉不定方程的三种特性分析方法，了解赋零法的运用前提和运用方法。
【注意】1.课堂小贴士：（1）认真的学习态度，要么玩，要么学，玩的时候玩得痛快，学的时候心无杂念，认真去学，拿着纸笔听课，这是对于自己和梦想的尊重。
（2）听懂打1，不懂打0。
每道题或每个知识点讲完之后，需要大家给予反馈，数学的知识点之间有衔接，需要保证大家都听懂才能继续，数学比较难，但不要怕，遇到不懂的地方可以提出来，老师会想办法在合适的时间进行解答。
开始可以不会，通过学习学会了便是进步。
（3）跟上节奏：网络课程人数多、授课节奏相对较快，如果只有1～2人不懂，为了整体节奏会继续讲，不会的同学无需着急，先把时间点记下来，然后把问题打在公屏上，老师看到会回答，如果老师没有回复，可以课后回放，如果依旧不会，一般9：30下课，有问题可以到微博私信，备注1班学员，会优先解答。
每节课提前15分钟答疑。
2.国考数量：（1）题量：10道（地市）或15道（副省）。
地市级考10道题，副省级考15道题。
（2）分值：0.7分/道。
性价比比较低，且难度较高。
资料、言语、判断很重要，但对手也在学，很难拉开差距，学会他人忽略的数量，便是赢对手的机会。
（3）要求：10～15分钟，对一半以上。
数量的平均正确量为2～3个，稍微努力可以做对5～6个，差距约为3道题→2分，但不要小看2分，很多人差0.几分没进面，数量再努力一点便赢了。
3.数学运算：四天安排。
不常见的试商法
不常见的试商法
姜堰区东桥北校四（4）班申佳生指导老师：华秀琴
在实际的学习除法过程中，本人常常粗心大意导致做错题，为此经常被家长批评。
为避免这种无谓的错误，能迅速检查所做题目的正确与否，在老师的教导下我总结有如下几种试商法。
1、直接试商法：当被除数的前两位与除数约有几倍关系时，可直接商几。
例如计算730÷24
被除数的前两位，73约时24的3倍，可直接商3.
2、随舍随入法：被除数跟除数四舍五入，即除数舍被除数也舍，除数入被除数也入。
例如计算508÷41 可以看做500÷40进行试商。
例如计算267÷67 可以看做270÷70来试商。
3、取中间数法：当除数的个位数是4或6时，均可用他们的中间数5来代替试商。
例如计算392÷34 可用35来代替试商；
例如计算952÷46 可用45来代替试商；
用这种方法处理后的新数字与原数相差1，所以试商后一般不需要调商。
4、差数试商法：当除数是11～19之间的自然数，并且被除数的前两位不够除时，可以按照除数与被除数前两位的差来试商。
一般规律是相差1、2商9；相差3、4商8；相差
5、6商7，相差7、8商6；相差9商5。
例如计算135÷18，因为18-13=5，可以之间商7。
以上是我个人在学习除法中的一点心得体会，同学们，这种方法你们学会了吗？。
商法案例之二票据法案例集锦(三)
商法案例之二——票据法案例集锦（三）18、空白支票案情简介德亨水果批发公司和利兴进出口贸易公司签订了一份购销合同。
德亨水果批发公司卖给利兴进出口贸易公司价值20万元的水果，利兴进出口贸易公司以空白转账支票方式支付货款。
9月22日货物发出，利兴进出口贸易公司验收合格后签发给德亨水果批发公司一张在用途上注明“限额20万元”的空白转帐支票。
同年10月5日，德亨水果批发公司与瑰宝纸箱有限责任公司签订了一份购销合同。
德亨水果批发公司购买瑰宝纸箱有限责任公司30万元包装纸箱，遂将上述空白转帐支票补记30万元金额背书转让给了瑰宝纸箱有限责任公司。
10月20日，瑰宝纸箱有限责任公司向当地工商银行分行提示付款，银行拒付，理由是：票面写有限额20万元，而提示的票据票面金额为30万元，超过了限额。
瑰宝纸箱有限责任公司遂向出票人利兴进出口贸易公司行使追索权。
利兴进出口贸易公司认为自己出票时已经注明该空白转帐支票限额20万元，所以只能承担20万元的责任，对超过部分不承担。
瑰宝纸箱有限责任公司又向德亨水果批发公司行使追索权。
德亨水果批发公司认为尽管金额是自己补记的，但是支票是利兴进出口贸易公司签发的，应由利兴进出口贸易公司承担付款责任。
瑰宝纸箱有限责任公司只得起诉于法院。
试问：瑰宝纸箱有限责任公司是否有权得到30万元？本案参考结论银行审查票据合格后，应当足额付款，瑰宝纸箱有限责任公司是否有权得到30万元。
参考理论分析《中华人民共和国票据法》第85条规定了支票的绝对必要记载事项：（1）表明“支票”的字样。
（2）无条件支付的委托。
（3）确定的金额。
（4）付款人名称。
（5）出票日期；（6）出票人签章。
“确定金额”是支票绝对必要记载事项，空白支票可以授权补记。
只要支票被补记成为完全票据，就以据票据上记载的金额发生票据法上的效力。
合法票据持有人依法有权主张票据权利。
而注明“限额20万元”的限制，在票据法上是没有法律依据的。
所以，银行审查票据合格后，应当足额付款。
数学阅读教学中的两点做法(余维菊)
数学阅读教学中的两点做法著名数学教育家斯托利亚尔说：“数学教学就是数学语言的教学。
” 而语言的学习是离不开阅读的。
数学课程标准所强调的一个理念是：注重学生各种能力的培养，其中也就包括了数学阅读能力、数学应用能力和数学探究能力的培养。
教育家的论述和课程标准的要求，构成了初中数学阅读教学的理论基础。
由此可见，阅读并不只是语文教学的事。
但在过去，一谈及阅读，我往往认为与数学教学无关，单纯地认为数学教学就是解题教学，让学生阅读会浪费时间，不如我多讲几个例题。
有时虽然有加强学生阅读的想法，也是由我自己阅读、剖析代替了。
通过学习、实践、反思，我感受到过去的做法忽略了培养学生对数学语言的理解，其结果导致学生数学阅读能力低下，对数学的学习没把握住本质。
下面谈谈我在专题实验中，落实初中数学阅读教学的两点做法。
一、利用文本，激发阅读兴趣新的数学教材不仅内容非常贴切学生生活实际，而且在编排的形式上变得活泼新颖，内容呈现的方式也多样化，因此，它很容易引起学生的关注，容易激发学生阅读的兴趣。
我抓住这一特点，利用数学文本，引导学生自觉而有兴趣地与文本进行对话，并感受成功的喜悦。
九年级一元二次方程的应用，教材上题目的背景选的非常好，学生感兴趣。
北师大版《义务教育课程标准实验教科书》九年级数学上册，在第74页中有这样一道题：“新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元。
市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台。
商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？”这题编排在“为什么是0.618”的大背景之后，学生对此很感兴趣。
教学时，我首先给学生发一张题为“阅读使我成功”的卡片，需要填写的内容是：题中的关键词句有；我读懂的数量关系有；需要解决的问题是；我解决问题的办法是；通过阅读我的感受是。
然后安排阅读，要求阅读三遍以上，并填写卡片，最后交流与评价。
成人计算整数除法的试商策略探查
成人计算整数除法的试商策略探查
巩子坤;余丽丽
【期刊名称】《教学月刊（小学版）（数学）》
【年(卷),期】2024()1
【摘要】试商是整数除法的重点和难点。
当前教材对试商策略的编排较为繁琐,未能关注到通性通法,导致学生频繁出现试商错误,而成人在计算整数除法时,总能表现得游刃有余。
为探究易于学生掌握且长久有效的试商策略,研究调查了成人计算不同类型的整数除法时采用的试商策略,并与教材编排的试商策略进行比较。
结果发现:成人在采用教材中的四条试商策略之余,还生成了教材之外的“五舍试商法”与“直接试商法”;无论“五入”试商是否需要调商,成人均主要采用“五舍试商法”;“四舍”或“五入”试商均需调商时,部分成人一贯采用“直接试商法”。
最后,对教材编写与教师教学提出建议。
【总页数】6页(P91-96)
【作者】巩子坤;余丽丽
【作者单位】杭州师范大学经亨颐教育学院;杭州师范大学中国教育现代化研究院【正文语种】中文
【中图分类】G62
【相关文献】
1.让学生经历和体会“试”的感觉——除法试商起始教学的一点建议
2.“口诀试商除法”是初学者最实用的除法
3.除法笔算,从理解开始--区域小学生整数除法笔
算技能的现状调研与培养策略4.智慧设练发展数感提升计算技能——以“除数是两位数的笔算除法练习课(试商方法与调商)”5.整体试商,提升思维素养——"
除数是两位数的除法(试商)"教学实践与思考
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根据余数试商
根据余数试商
黄绮琪
【期刊名称】《数学小灵通：小学中高年级班》
【年(卷),期】2003(000)004
【摘要】在除数是两位数的除法笔算中,最难试商的要算这种题了: 同学们不难发现,这类题目的除数是一个不太接近整十数的两位数。
【总页数】1页(P18)
【作者】黄绮琪
【作者单位】广东省江门市农林小学四（6）班学生
【正文语种】中文
【中图分类】G623.56
【相关文献】
1.重视过程在“再创造”中建构新知——以教学“有余数除法中余数与除数的关系”为例 [J], 程红霞
2.整体试商,提升思维素养
——"
除数是两位数的除法(试商)"教学实践与思考 [J], 鲍善军
3.余数,游离在商的边缘
——一道有余数的除法引发的思考 [J], 王兴彬
4.余数,游离在商的边缘——一道有余数的除法引发的思考 [J], 王兴彬
5.IPv6试商用加大投入46个项目获批列入下一代互联网业务试商用及设备产业化专项 [J],
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差数试商法（同头无除商8、9，除数折半商4、5）
当除数是11、12……19，被除数的前两位又不够除，初商估为9，往往要下调好多次才能找到合适的商，太麻烦了，为此我们可以在试商时先看除数与被除数前两位的相差数，（简称为差数）来定初商．
如果差数是1、2，则初商为9；
如果差数是3、4，则初商为8；
如果差数是5、6，则初商为7；
如果差数是7、8，则初商为6．
如132÷14＝9 (6)
除数14与被除数前两闰“13”差数是1，初商估9；经过除数个位上的4调商后，商定为再如10336÷17＝608
17和“10”差数是7，初商估6．
经除数个位上的7调商后，商定为6．17与136前两数“13”的差数是4，初商估8．经个位调商，商定为8．
以上各种试商的方法，可以推广到除数是三位数的除法中去．
当被除数的首位不是1时，怎样试商．
如5757÷19＝303
用差数法不合适．用高位试，低位调，来往下调二次商初商3．
还可以用四舍五入法把19看成20，57里有2个20，估商2，小了向上调3．这样一只调一次可以得到初商3．
这种方法是当除数大于15而小于19时，运用五入法，用20来试商，这样商易小，可看低位，再确定是否往上调．如果除数是小于15而大于10时，可用舍掉的方法．
再如5876÷13＝452
13小于15，用10试商，可商5．
看低位下调初商4．。