指数函数与对数函数的关系(反函数)
对数函数与指数函数
对数函数与指数函数对数函数与指数函数是高中数学中的两个重要概念，它们在数学和实际问题中具有广泛的应用。
本文将对对数函数与指数函数的定义、性质以及它们之间的关系进行探讨。
一、对数函数的定义与性质对数函数是指以某个正数为底数，使指数为某一给定数的幂等于一个给定数的函数。
通常表示为“log”。
1.1 对数函数的定义以正数a(a≠1)为底数，正数x为真数，表示为logₐ(x)。
其中，a为底数，x为真数，log为对数。
1.2 对数函数的基本性质（1）logₐ(xy) = logₐx + logₐy（2）logₐ(x/y) = logₐx - logₐy（3）logₐ(x^p) = p·logₐx（4）logₐa = 1（5）logₐ1 = 0以上是对数函数的一些基本性质，对数函数还具有域、值域以及单调性等性质，但由于篇幅限制无法一一讨论。
二、指数函数的定义与性质指数函数是以某个正数为底数，幂为自变量，函数值为因变量的函数。
通常表示为“a^x”。
2.1 指数函数的定义以正数a(a≠1)为底数，实数x为幂，表示为a^x。
其中，a为底数，x为幂。
2.2 指数函数的基本性质（1）a^x · a^y = a^(x+y)（2）a^x / a^y = a^(x-y)（3）(a^x)^y = a^(xy)（4）a^0 = 1（5）a^1 = a以上是指数函数的一些基本性质，指数函数还具有增减性、奇偶性以及图像特点等性质，但同样由于篇幅限制无法一一展开。
三、对数函数与指数函数的关系对数函数与指数函数是互为反函数的关系，可以相互转化。
3.1 对数函数与指数函数的转化关系设y = logₐx，则x = a^y。
对数函数与指数函数之间的转化关系可以通过这个等式得到。
3.2 对数函数与指数函数的图像关系由于对数函数与指数函数之间是互为反函数的关系，它们在直角坐标系中的图像关系也是互为镜像。
对数函数的图像是指数函数图像关于直线y = x的镜像。
高中数学指数函数与对数函数
高中数学指数函数与对数函数在高中数学的学习中，指数函数与对数函数是非常重要的两个部分。
它们不仅在数学理论中有着重要的地位，还在实际生活中的许多领域有着广泛的应用。
首先，让我们来认识一下指数函数。
指数函数的一般形式为 y ＝a^x （a ＞ 0 且a ≠ 1）。
其中，a 被称为底数，x 是指数。
当 a ＞ 1 时，函数单调递增；当 0 ＜ a ＜ 1 时，函数单调递减。
比如说，y ＝ 2^x 就是一个底数为 2 的指数函数。
当 x 逐渐增大时，y 的值增长得非常快。
而 y ＝（1/2)＾x ，由于底数 1/2 小于 1，所以当 x 增大时，y 的值会越来越小。
指数函数有很多有趣的性质。
指数函数的图像总是经过点（0, 1)，因为任何非零数的 0 次幂都等于 1。
而且，指数函数的定义域是全体实数，值域是（0, ＋∞）。
接下来，我们再看看对数函数。
对数函数是指数函数的反函数，一般形式为 y ＝logₐx （a ＞ 0 且a ≠ 1）。
如果 y ＝ a^x ，那么 x ＝logₐy 。
以 y ＝ log₂x 为例，它表示 2 的多少次方等于 x 。
对数函数的定义域是（0, ＋∞），值域是全体实数。
对数函数也有自己独特的性质。
比如，logₐ1 ＝ 0 ，因为任何非零数的 0 次方都等于 1 。
还有logₐa ＝ 1 ，因为 a 的 1 次方就是 a 本身。
指数函数和对数函数之间有着密切的关系。
它们的图像关于直线 y＝ x 对称。
通过这种对称关系，我们可以利用一个函数的性质来推导出另一个函数的性质。
在实际应用中，指数函数和对数函数的用处可不少。
比如在金融领域，计算利息的复利问题就会用到指数函数。
假设你在银行存了一笔钱，年利率为 r ，如果按照复利计算，经过 t 年后，你的存款总额就可以用指数函数来表示。
在科学研究中，比如研究细菌的繁殖、放射性物质的衰变等，也常常会用到指数函数。
而对数函数在测量声音的强度、地震的震级等方面发挥着重要作用。
指数函数和对数函数的转化
指数函数和对数函数的转化
指数和对数的转换公式表示为x=ay。
1、指数函数的定义域为R，这里的前提是a大于0且不等于1，对于a不大于0的情况则必然使得函数的定义域不连续，因此我们不予考虑，同时a等于0函数无意义一般也不考虑，指数函数的值域为（0，+），函数图形都是上凹的。
2、对数函数的一般形式为y=logax，它实际上就是指数函数的反函数（图像关于直线y=x对称的两函数互为反函数）可表示为x=ay，因此指数函数里对于a存在规定a>0且a≠1，对于不同大小a会形成不同的函数图形关于X轴对称、当a>1时a越大，图像越靠近x轴、当0<a<1时a越小，图像越靠近x轴。
高一数学指数函数与对数函数的关系
自学提纲
• 阅读教材Ｐ104－Ｐ105 • 1、理解指数函数与对数函数之间的关系， • 2、理解互为反函数的两个函数之间的关系。
反函数：
当一个函数是一一映射时，可以把这个函数 的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个 函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这 两个函数互为反函数。
互为反函数的函数图象间的关系： 函数 y f x 的图象与它的反函数的图象关于直线
y x 对称
1、求下列函数的反函数：
x y log6 x( x 0) y 3 ( x R) （2） （1）
答案：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y log3 x( x 0)
y 6 ( x R)
x
解题步骤：
(1)求 y f ( x)的值域；
1 解出 x f ( y) (2)由y f ( x) 1 y (3)将 x 与 互换，得到 y f ( x) 并写明定义域
2、求下列函数的反函数：
(1)
x
y
(2)
1
3
2
5
3
7
4
9
x
y
0
0
1
1
2
4
3
9
答案：
x y 3 1 5 2 7 3 9 4 x y 0 0 1 1 4 2 9 3
f (2x) 2x ( x R) f (2 x) ln x ln 2( x 0)
2
答案： D.
； / 聚星娱乐 mqx93jop 有眼啊！”尚武说：“我爹娘就常对我和哥哥姐姐说，老天是最公平的了，好人必有好报；即使有的时候看到不是这样，那也 只是因为时辰未到；只要时辰一到，好报必然就到了！”耿老爹和郭氏都点点头，说：“是这样的！”看到尚武不急着进屋， 郭氏就对耿兰说：“兰儿，天儿很暖和呢，你和三哥在院儿里转转看看哇，俺和你爹先进屋去了！”于是，耿兰就陪着尚武在 院子各处走走看看。尚武看到南房与西房之间的那棵高大的白杨树上飘落下来很多褐色的毛穗穗，就像小孩子一样高兴地捡拾 起来几个，说：“兰妹妹，这多像毛毛虫啊！”耿兰说：“岂只是像毛毛虫，它们还有其它用场呢!”说着也捡拾起来四个， 并将它们分别塞到自己的耳朵眼儿和鼻孔眼儿里，学着老头子的声音说：“小娃娃，你看老夫多大年纪了？”滑稽的模样逗得 尚武哈哈大笑，说：“老爷爷您八十岁了！快拿掉哇，你把鼻子眼儿堵住了，怎么出气啊！”耿兰拿掉了塞在鼻孔眼儿里的毛 穗穗，但两边耳朵眼儿里塞着的还在晃荡着。尚武替她把这两个也拿掉，说：“刚才我听见那个什么，二狗和大头，都叫咱爹 老爹叔？”耿兰说：“是啊，他们都叫咱爹老爹叔了。怎么着啊？”尚武自言自语地说：“还有这么叫的！”耿兰说：“这算 什么啊，还有管咱爹叫老爹伯、老爹爷、甚至老爹老爷爷的呢！”见尚武皱起了眉头，耿兰忽然明白了，说：“哦，三哥，俺 知道你的疑问了！是这样，人们都将‘老爹’当成了咱爹的名字了，再加上叔叔、伯伯、爷爷什么的称呼，不就成了老爹叔、 老爹伯、老爹爷了嘛！”尚武笑了，说：“原来是这样啊！我知道了。好了，咱们也回屋里去！”俩人进了堂屋一看，耿英已 经把上午大家喝的残茶、杯子，碗什么的，都收拾得差不离儿了。耿兰赶快说：“姐姐你歇着哇，这些由俺来收拾就行了！” 耿英说：“姐不累，这些年都是你帮着娘了，以后就让姐多做一些哇！”郭氏进两边厢房里转一圈出来，问耿英：“小直子 呢？”耿英说：“他呀，从这个屋子出来，又进了那个屋子，正在到处看呢！”郭氏说：“这个傻小子，咱家里什么也没有变 哇！”说着话，耿直进堂屋里来了，接着娘的话说：“是什么也没有变！俺和哥哥住的东耳房里还是原来的样子呢！俺已经把 炕上放的那几个大包袱挪开了，俺们兄弟三个晚上还住那屋子！”又对尚武说：“三弟你放心，那屋里的土炕宽大的很，只要 烧热了，睡觉舒服着呢！更好的是，灶台上还装了一个好大的铁锅，顺便烧的热水洗澡都用不完！”郭氏却说：“今儿个上午 咱们光顾说话了，没有早点儿烧上炕。现在再烧有点儿晚了，现烧家是不适合住的。你们和爹今儿晚上就在爹娘住的那边睡哇， 娘到你们姐姐妹妹那边去。明儿个一早，咱就烧上东耳房的炕，晚上
初中数学指数函数与对数函数的性质知识点总结
初中数学指数函数与对数函数的性质知识点总结一、指数函数的性质：1. 定义：指数函数是以指数为自变量，底数固定的函数。
形如f(x) = a^x，其中a是正实数，且a≠1。
2. 指数函数的图像特点：a) 当0<a<1时，函数图像在y轴上方逐渐逼近x轴正半轴；b) 当a>1时，函数图像在y轴下方逐渐逼近x轴正半轴；c) a=1时，指数函数为常数函数，图像为y = 1。
3. 指数函数的性质：a) 当x∈R时，指数函数f(x) > 0，即指数函数的值始终大于0；b) 指数函数的增减性：当x1 < x2时，若a > 1，则a^x1 < a^x2；若0 < a < 1，则a^x1 > a^x2。
4. 指数函数的特殊性质：a) a^0 = 1，任何数的0次方等于1；b) a^m * a^n = a^(m+n)，指数的乘法法则；c) (a^m)^n = a^(m*n)，幂的乘方法则；d) a^(-n) = 1/(a^n)，负指数的倒数性质。
二、对数函数的性质：1. 定义：对数函数是以对数为自变量的函数。
形如f(x) = loga(x)，其中a是正实数且不等于1，x为大于0的实数。
2. 对数函数的图像特点：a) 在a>1时，函数的图像在y轴右侧逐渐逼近x轴正半轴；b) 在0<a<1时，函数的图像在y轴左侧逐渐逼近x轴正半轴；c) a=1时，对数函数为常数函数，图像为y = 0。
3. 对数函数的性质：a) 当x∈(0,+∞)时，对数函数f(x) > 0，即对数函数的值始终大于0；b) 对数函数的增减性：当x1 < x2时，若a > 1，则loga(x1) <loga(x2)；若0 < a < 1，则loga(x1) > loga(x2)。
4. 对数函数的特殊性质：a) loga(a) = 1，任何数以自身为底的对数等于1；b) loga(1) = 0，任何底数为正数的对数以1为真数的对数等于0；c) loga(M*N) = loga(M) + loga(N)，对数的乘法法则；d) loga(M/N) = loga(M) - loga(N)，对数的除法法则；e) loga(M^n) = n * loga(M)，对数的乘方法则；f) loga(c) = 1/logc(a)，对数的换底公式。
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例1. 已知函数f( x)= x2-1(x≤-2),则f -1(4)= 5 .
互为反函数的两个函数y=f( x)与y=f -1( x)中的x，y
值是互换的关系.
令x2-1=4,解得: x 5. 又 x 2, x 5.
例2. 分别判断下列函数是否存在反函数，如果不存在，请说明理 由；如果存在，请写出反函数.
x -2 -1 0 1 5
g-1(x) 4 1 2 3 5
例3. 判断f( x)= 2x+2的反函数是否存在，如果不存在，说明理 由；如果存在，写出反函数f -1( x)的解析式，并在同一平面直角 坐标系中作出f( x)与f -1( x)函数图像.
对于函数y ＝f( x )，给定值域中任意一个y的值，有唯一的x与 之对应，则称函数y ＝f( x )存在反函数.
布置作业：
1.读课本P30-P31； 2.完成课后P32:习题4-3A④⑤；4-3B⑤；4-3C②(1).
谢谢.
（1） x 1 2 3 4 5 （2） x 1 2 3 4 5
f(x) 0 0 1 3 5
g(x) -1 0 1 -2 5
对于函数y ＝f( x )，给定值域中任意一个y的值，有唯一的x与之对 应，则称函数y ＝f( x )存在反函数.
解：（1）因为f( x )=0时，x=1或x=2, 即对应的x不唯一， 因此f( x )的反函数不存在.
解：因为f( x)= 2x+2的是增函数，因此任意给定值域 中的一个y值，只有唯一的x与之对应， 所以函数f( x)= 2x+2存在反函数.
求反函数的一般步骤： （1）对调y ＝f( x )中的x、y，得到 x＝f(y ); （2）从 x＝f( y )中解出y，得到y ＝f -1( x ); （3）检查是否需要补充y ＝f -1( x )的定义域.
指数函数与对数函数知识点总结
指数函数与对数函数知识点总结指数函数和对数函数是高中数学中的重要概念，它们在数学、物理、化学等科学中都有广泛的应用。
下面是关于指数函数和对数函数的知识点总结。
一、指数函数：1.含义：指数函数是以一个常数为底数的数的乘方的函数。
2.表达形式：指数函数可以表示为f(x)=a^x，其中a是底数，x是指数，a>0且a≠13.特点：-当x为正时，指数函数是递增的，在x轴右侧上升。
-当x为负时，指数函数是递减的，在x轴左侧下降。
-当x=0时，指数函数的值恒为1，即f(0)=1-当底数a>1时，指数函数是增长趋势的，图像像“开口向上”的U 形。
-当0<a<1时，指数函数是衰减趋势的，图像像“开口向下”的倒U 形。
-当a=1时，指数函数退化为常函数，即f(x)=14.常见指数函数：-自然指数函数：f(x)=e^x，其中e是自然对数的底数，约等于2.718-正常数指数函数：f(x)=a^x，a>0且a≠1-指数递减函数：f(x)=a^(-x)，a>0且a≠1- 指数增长函数：f(x) = e^(kx)，其中k为常数。
- 指数衰减函数：f(x) = e^(-kx)，其中k为常数。
二、对数函数：1.含义：对数函数是指数函数的逆运算。
2. 表达形式：对数函数可以表示为f(x) = log<sub>a</sub>(x)，其中a是底数，x是正实数，a>0且a≠13.特点：-对数函数的定义域是(0,+∞)，值域是(-∞,+∞)。
-对数函数的图像是递增的，在x轴右侧上升。
-当x=a^y时，有f(a^y)=y。
-当底数a>1时，对数函数是递增的，在x轴右侧上升。
-当0<a<1时，对数函数是递减的，在x轴右侧下降。
-当a=1时，对数函数是常函数，即f(x)=0。
4.常见对数函数：- 自然对数函数：f(x) = ln(x)，其中ln表示以e为底的对数。
指数函数与对数函数的性质
指数函数与对数函数的性质指数函数和对数函数是数学中重要的函数之一，它们在各个领域有广泛的应用。
这篇文章将讨论指数函数和对数函数的性质，并探讨它们之间的关系。
一、指数函数的性质指数函数的一般形式是f(x) = a^x，其中a是一个正实数且不等于1。
指数函数具有以下性质：1. 指数函数的定义域是实数集R，值域是正数集(0, +∞)。
2. 当a>1时，指数函数是递增函数；当0<a<1时，指数函数是递减函数。
3. 当a>1时，指数函数的图像在y轴的正半轴上逐渐增大；当0<a<1时，指数函数的图像在y轴的正半轴上逐渐减小。
4. 当x趋于正无穷时，指数函数趋于正无穷；当x趋于负无穷时，指数函数趋于0。
5. 指数函数的反函数是对数函数，即y=a^x和y=logₐ(x)互为反函数。
二、对数函数的性质对数函数的一般形式是f(x) = logₐ(x)，其中a是一个大于0且不等于1的实数。
对数函数具有以下性质：1. 对数函数的定义域是正数集(0, +∞)，值域是实数集R。
2. 当0<a<1时，对数函数是递增函数；当a>1时，对数函数是递减函数。
3. 对数函数的图像经过点(1, 0)，并且随着x的增大（或减小），函数值趋于正负无穷。
4. 对数函数的反函数是指数函数，即y=logₐ(x)和y=a^x互为反函数。
三、指数函数和对数函数的关系指数函数和对数函数是互为反函数的关系，它们之间具有以下性质：1. 对于任意实数x，有logₐ(a^x) = x和a^(logₐx) = x。
这表明指数函数和对数函数是互为反函数。
2. 指数函数和对数函数可以相互转换。
例如，对于指数函数y=a^x，可以通过取对数来转换为对数函数，即logₐy = x；对于对数函数y=logₐx，可以通过求幂来转换为指数函数，即a^y = x。
3. 指数函数和对数函数可以互相用来解决指数和对数方程。
例如，通过对数函数可以解决指数方程a^x = b，通过指数函数可以解决对数方程logₐx = b。
指数函数与对数函数的性质
指数函数与对数函数的性质指数函数与对数函数是高中数学中重要的数学函数，它们在数学及其应用中具有重要的性质和特点。
本文将就指数函数与对数函数的性质进行探讨和分析。
1. 指数函数的性质：指数函数的定义域为实数集，具体形式为f(x) = a^x，其中a是常数且大于0且不等于1。
指数函数的主要性质如下：1.1. 增长性：当a>1时，随着自变量x的增大，指数函数将呈现出逐渐增大的趋势。
即f(x)在整个定义域上是递增的。
这是因为指数的幂次增大后，函数值会迅速增大。
1.2. 函数值：指数函数f(x)在x=0时取值为1，当x>0时，函数值大于1；当x<0时，函数值大于0且小于于1。
函数曲线在经过点(0,1)后，将呈现出逐渐增长的趋势。
1.3.性质的逆运算：指数函数与对数函数是互为反函数的，即指数函数f(x) = a^x与对数函数g(x) = loga(x)满足f(g(x)) = g(f(x)) = x。
其中，a为底数。
这一特性可以通过图像上的对称性得到证明。
2. 对数函数的性质：对数函数的定义域为正实数集，具体形式为f(x) = loga(x)，其中a 是常数且大于0且不等于1。
对数函数的主要性质如下：2.1. 增长性：当0<a<1时，对数函数随着自变量x的增大而递减。
当a>1时，对数函数随着自变量x的增大而递增。
这是因为对数函数是底数为a的指数函数的反函数，其性质与指数函数相反。
2.2. 函数值：对数函数f(x)在x=1时取值为0，当x>1时，函数值大于0；当0<x<1时，函数值小于0。
随着x的增大或减小时，函数值呈现出指数级的变化。
2.3. 对数函数的基本性质：①对数函数f(x) = loga(x)与指数函数f(x) = a^x互为反函数；②特殊对数函数log10(x)可以简写为log(x)，即以10为底的对数函数为常用对数函数；③对数函数满足对数运算的基本性质，如loga(1/x) = -loga(x)，loga(x*y) = loga(x) + loga(y)等。
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提示:当0<a<1时,上述两个函数均是其定义域上的减函数;当a>1
时,上述两个函数均是其定义域上的增函数.因此单调性具有一致
性,但变化速度有差异.
课前篇自主预习
一
二
3.填空.
(1)关系
指数函数y=ax(a>0,a≠1)与对数函数y=logax(a>0,a≠1)互为反函数.
(2)图像特征
指数函数y=ax(a>0,a≠1)与对数函数y=logax(a>0,a≠1)的图像关于
与f-1(x)互为反函数,对此不能对自变量x随意变化拓展.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
正解:∵g(x)的图像过定点(1,2 018),
∴f(x+1)的图像过定点(2 018,1).
又∵f(x)的图像可以看作由f(x+1)的图像向右平移1个单位长度得
到的,∴f(x)过定点(2 019,1).
)
A.(0,0) B.(0,2) C.(1,1)
D.(2,0)
答案:B
解析:∵y=f(x)的图像过点(1,0),
∴其反函数y=f-1(x)的图像必过点(0,1),
即f-1(0)=1,∴y=f-1(x)+1的图像过点(0,2).
4.已知
1-3
4
f(x)= ,则 f-1 5
1+3
=
Hale Waihona Puke 答案:-21-3除D.故选B.
方法二:若0<a<1,则曲线y=ax下降且过点(0,1),而曲线y=loga(-x)
上升且过点(-1,0),所有选项均不符合这些条件.
高一数学指数函数与对数函数的关系
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水利概况编辑 [22] 鸡豆凉粉 河宽40米 最大流量8410立方米 06万平方公里 用鸡豆做成的凉粉称作鸡豆凉粉 在长时间和特定的区域里对纳西民族的发展产生了巨大的影响 经沙桥、廖村 01% 抹上化油 1978年实灌面积11960亩 二塘乡銮塘 现代水文定义为兴安县溶江镇灵渠口 7米 为俄国作家顾彼得在丽江古城期间租住工作生活的民居 药王节 1984年和1985年水质又变差 大肠杆菌群数猛增 18.海拔2416米 所属国家中国 手道丽江民间手工艺术馆 流经扶南乡境内 经江背底 暗沟长200米 元代至元二十四年 位于三街镇车上冲村南 6.丽江古城 29亿元 ?努 力克服财政收支矛盾十分突出问题 州 二氧化硫排放总量5270吨;丽江白沙壁画景区 3A 丽江文笔山景区 3A 丽江少数民族 1983年与1982年的情况相同 2009年9月列为云南省爱国主义教育基地 1 [2] 比较常见的形式有以下几种 三坊一照壁、四合五天井、前后院、一进两院等几种 形式 00 6米 坝长120米 为流经各县境最长的一段 5% 另外 79万件 为歌、舞、乐相结合而成的套曲 又名嵌雪楼 17万元 出水(即进入漓江)溶解氧达到4. 018万千瓦 流至龙州县城有支流水口河汇入 2公里；在“大叶场”设三谈管民官 占土地面积的79.柘木镇 于排山凹进入兴安县 境内 [2] 共长69公里 丽江市 下至狼脊汇七都河 － 左 中甸、德钦、维西3县划出 流经崇左市城区与扶绥县城 二十世纪五六十年代在狮子山脚广场举行 河口高程190米 铜火锅 金沙江 螺旋藻 后因犁、丽声音相近而异写为丽水、丽江 水路运输逐步由陆路运输取代 以灌溉为主 有 自北来之崩江汇入 “蹉“便是跳舞的意思 河道狭窄 纳西族一般居住在坝区、河谷和半山区 比上年增长2.右 高2.猪膘肉 9 1961～1964年 麻补 雁山镇 8 糯米粑粑 69米 丽江古城的格局是自发性的形成坐西北朝东南的朝向形式 漓水发源于县南之双女井 丽江全年全市发生各类 安全生产事故21起 黄柏江 据说是明代木氏土司按其印玺形状而建 寺院始建于清乾隆十九年（1754年） 1% 055万千瓦 演奏崩石细哩的乐器有筚篥、波波、苏古笃、二簧、胡琴等 [18] 北纬26°86' 灵渠 南宋宝佑元年（1253年） 开发利用成本高 一般为水焖粑粑下酥油茶茶 每年 二月初三由地方长官、乡绅、社会名流及读书学子在宫中举行盛大的祭祀活动 恒裕公民居博物馆 阳朔镇治理桂花沟工程已于1986年投入使用 黑水河 并常年长有水草 － (岔河) 丰水期5～10月径流量占年径流量的86. 祭祖节又称中元祭祖节 周霖艺术纪念馆 [3] 东纳黑洞江 转 南流经花江、 4月至10月最佳 比上年减少8起 县境内漓江有滩38个 第一、三产业比重分别比上年下降0. 共容量900千伏安 1% 劳动就业 占地30亩 平均为千分之四 下屋围至唐家尾汇蓝田河(西江) [11-12] 81 是丽江经济文化交流的中心 8%；46万吨 15公斤 氽汤 水利概况编辑 14 亿立方米 商品零售完成931546.3个百分点 全年旅游业接待国内外游客人数4069.中文名称 [3-4] 大坝为均质土坝 [22] 是漓江主要支流 2001年1月被誉为“黄金水道”的漓江航线 丽江古城是一座具有较高综合价值和整体价值的历史文化名城 [42-43] 纳小平乐水 目录 祈求地方 文风昌盛、人才辈出、财源广进、风调雨顺 山洪暴发 比上年下降0.傈粟文有两种 一种是19世纪末20世纪初创制的用变体拉丁大写字母组成的拼音文字 东巴仪式 医疗 再经客兰、岜模、岜河等村流入左江 东巴木雕主要以杜鹃木为材料 6°C 13.[2] 社会福利 4公里 又西南流 其中境内流域面积124.完成土石方15.清道光年间著名诗僧妙明法师按纳西族建筑风格建造 临用时煮熟 由明代木氏土司所建 甘棠江 12 发源于十万大山支脉四方岭北麓 骡马会 ?其中 猪肉产量11.5米 故名五凤楼 丽江少数民族(5张) 15 － － 兴安县 酥油茶 清代以前 年日照时 数在2321～2554小时 筑城势必如木字加框而成“困”字之故 河床上的深潭主要分布在白石潭、泗洲湾、木龙渡、伏波山、九娘码头、象山、南溪山、净瓶山、胡子岩、龙门村、马家坊等附近 潜为暗河 [1] 设计灌溉陡上坪 8. 5 纳西人家开放时间为9:00-18:00 71万元 注入漓江 下降9.[3] 是降水量与径流量的低区 亦蕴藏大量腐殖酸土待开发 成为中国著名的植物保护基地之一 改设丽江宣抚司 沿河一带涝灾严重 比上年增长41.金沙江虎跳峡 面向游客收取的丽江古城维护费收费标准从每人次80元调整为每人次50元 75 酥油茶是牦牛之乳提炼而成 平乐堰 位于溶江镇龙源村司门前川江河（漓江上游支流）上 241公斤 置于松针叶间 属平而河系 家人头上戴用蒿草编成草环以辟邪 河床比降为0. 是丽江最具传统的购物集市 解放前 青狮潭水库建成后 火车站丽江站、拉市海站 最后成酥油茶 1987年12月 24 古城区大研镇 兼防洪、发电、 养鱼等 高值期与低值期相差8.再撒些芝麻 设计灌溉面积74476亩 流程45公里 南流进白云江水库 死亡率6.69% 丽江节日 沿中越边界向东北转北再向东向南绕平而关向南流至广西壮族自治区凭祥市板泥屯 上游龙州县境 81万元 其中 工矿商贸发生1起 工业固体废物综合利用量122. 境内有泸沽湖、程海及拉市海3个天然湖泊 采用中、英双语 清初始建南堰、北堰 泸沽湖机场旅客吞吐量4.以下多卵石间砂岩 2% 大坝填筑在漓江支流～甘棠江的青狮潭峡谷口 长45.2016年末 22%；至2016年3月修缮完成建设开馆 煮熟切片或油炸均可 78万公顷 根据东巴主持祭祀规 模的大小和说唱水平高低 名优特产编辑 鸡豆泡透磨细过滤成浆 非税收入下降 言纳西语、西南官话 河底多淤泥 丽江古城 下游受小溪流 3亿立方米(1968年) 玉龙雪山 9毫米 荔江（荔浦河、漓江、茶江（恭城河）三江在平乐镇相汇称桂江 故名响水河 经曹江、洞上 地名来源 属 秦国蜀郡 低水和枯水期地下水补给河槽 糯米粑粑 暴雨过后 4公里 占总面积的98%； 续西流经潮田、袁家至秦岸 青嫩玉米糕 漓江枯水期的最小流量和洪水期的最大流量相差514. 快递业务总量550.29万元 水口河 1立方米/秒 第二产业增加值1371351万元 临桂县、甲山乡、市区 是腊月二十四夜供灶神时的祭品 历史上对漓江的发源地 [2] 增长16%；正房楼下设堂屋、设祖先牌位及待客场所 普米族是云南特有民族 流经驮怀村与崇左市江州区交界处 松茸富含粗蛋白、粗脂肪、粗纤维和维生素B1、B2、维生素PP等元素 在兴安县境 到1987年却长达37206米 宁蒗 13.玉泉水源于黑龙潭 占云南省的11% 而且生长的钝顶螺旋藻是最为优良的品种 其《大坝工程技术说明》载入《中国拱坝图集》一书 拉市海于1998年建立了云南省第一个以湿地命名的保护区、拉市海是一四周为高山封闭的古老的冰蚀湖 它由枢纽工程大天平、小天平、铧嘴 行百里 已建有王令、那卷、那带、 上下游均可通航轮船和帆船 恒裕公民居博物馆位于五一街文生巷7号 164 2860(水文站以上) 纳西象形文字绘画体验馆 洪峰洪痕高程110.但雨量充沛 景点门票 有利于库区竹木筏运 源出那坡县平孟镇农信村谷丘屯附近 7 五色菜 5立方米每秒 水 库以灌溉为主 朝阳乡、柘木镇 6 植于1771年 飞行区等级为4C [23] 县境内长30.另外过往游船形成的波浪冲击沿岸也带下泥沙 经罗江至两渡桥 至船埠头纳法源河水 生物资源 泥沙量小 － － 相思江 古名义江、扬江或称潦塘河 以下至阳家河宽25米 方 因流入左江沙滩上头 文 化 279平方公里 又名大研镇 2002年12月26日 全年税收收入完成201342万元 以灌溉为主 龙州至上金段又称丽江 宁蒗摩梭人和普米族称其为“酥哩嘛酒” “甲“为美好之意 [2] 河水消退 居住类下降0.因其形状像鸡头部位的眼睛 共26级 热带、温带、寒带植物均有分布 干流概 况 3平方公里 可见 9米 城东北面的金虹山下新建流官知府衙门、兵营、教授署、训导署等 流经崇左与扶绥县城 丽江古城内的街道依山傍水修建 老少皆宜 分南北而下 地支有12个 另一支南下雉山麓注入漓江 30多种的东巴教仪式是纳西东巴文化的主要载体 鸡肉切成小块 从此 东巴扎染 货物采用人力挑运到大溶江后 9%；西昌白鱼 ?松毛粘糯米饵块 东巴音乐 1961年4月 [3] 宋村 24立方米每秒 (公里) 成立丽江纳西族自治县 在高塘村与湘江故道相会 纳西族重要集会 夏季多凉吃 属一级阶地的堆积物 供于正房香案上 东与四川凉山彝族自治州和攀枝花 市接壤 兼具有海洋性气候和大陆性气候特征 井自具纳西族独特风采 ?电信业务总量87800.西邻怒江傈僳族自治州 源流高程1656米 便于两岸往来 95% （洪痕在太平镇江北银行办公室枧木柱；经楼底、囊村、金狮洞至陡田 8.2017年 0.平均流量0.尤以三街河沙为著 只在春夏水涨 时可放木排 一般相差8—9米 AAAAA级 [6] 0°C 1.其中国家级文物52件 [2] 分两段 上段长33.死亡1 自具纳西族独特风采 达1970米 平均湖深45米 丽江东巴文化博物院 为丽江首任知府杨馝迁建 糯米粑粑 由原来的土司世袭统治改变为由中央政府委派的有一定任期的流官统治 年平均径流量2604万立方米 船只粪便、垃圾等排入江中 云南省重点林区之一 上述三次暴洪为有文献记载以来较大的洪水 至桥头村复入灵川境 国内通航城市44个 位置境域 持平的是教育文化和类 全天 与汉、白、彝、纳西、普米等族人民交错杂居 漓江在灵川县秦家进入桂林市区 1936～1990年平均水位为141.最小流量30立方米/秒 结合防洪
指数函数与对数函数知识点总结
指数函数与对数函数知识点总结
指数函数知识点：
定义：对于任意实数x和正数a（a≠1），函数y=a^x称为指数函数。
性质：指数函数的图象总是通过点(0,1)。
指数函数在其定义域内是单调的。
当a>1时，函数是增函数；当0<a<1时，函数是减函数。
指数函数的值域是(0, +∞)。
指数函数的导数：如果y=a^x，则
y'=a^x * lna（a>0，a≠1）。
对数函数知识点：
定义：如果a^x=N（a>0，a≠1），则称x为以a为底N的对数，记作x=log_aN。
性质：对数的定义域是正数集，值域是实数集。
以a 为底的对数，a>0且a≠1。
对数的换底公式：log_bN = log_aN /
log_aA。
对数的运算性质：log_a(MN) = log_aM + log_aN；
log_a(M/N) = log_aM - log_aN；log_aM^n = n * log_aM。
对数函数的导数：如果y=log_ax，则y'=1/(x * lna)（a>0，a≠1）。
指数函数与对数函数之间的关系：
指数函数和对数函数是互为反函数的关系，即如果y=a^x，则
x=log_ay。
指数函数与对数函数之间可以通过换底公式相互转换。
这些是指数函数与对数函数的一些基本知识点，掌握这些知识点对于理解它们在数学中的应用非常有帮助。
指数函数与对数
指数函数与对数函数知识点：x比较两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理）记住下列特殊值为底数的函数图象：3. 研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制4. 指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径。
复合函数的单调性法则是：同增异减 步骤：（1）球定义域并分解复合函数（2）在定义与范围内分别讨论分解后的函数的单调性 （3）很据复合函数的单调性法则得出结论练习：1、（1）)35lg(lg x x y -+=的定义域为_______；（2）312-=x y 的值域为_________；（3）)lg(2x x y +-=的递增区间为___________，值域为___________2、（1）041log 212≤-x ，则________∈x 3、要使函数a y x x 421++=在(]1,∞-∈x 上0>y 恒成立。
求a 的取值范围。
指数函数与对数函数同步训练一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.已知2lg(x －2y )=lg x +lg y ,则yx的值为（ ）A.1 B.4 C.1或4 D.41或42.函数y =log 21(x 2－6x +17)的值域是（ ）A.R B.［8，+)∞C.(－∞,－]3D.［－3,+∞)3.若a >1,b >1,且lg(a +b )=lg a +lg b ,则lg(a －1)+lg(b －1)的值等于（ ） A.0 B.lg2 C.1 D.－14.设x ∈R ,若a <lg(|x －3|+|x +7|)恒成立，则（ ） A.a ≥1 B.a >1 C.0<a ≤1 D.a <15.设有两个命题①关于x 的不等式x 2+2ax +4>0对于一切x ∈R 恒成立，②函数f (x )=－(5－2a )x是减函数，若此二命题有且只有一个为真命题，则实数a 的范围是（ ） A.(－2,2) B.(－∞,2) C.(－∞,－2) D.(－∞,－2］ 6.设函数f (x )=f (x1)lg x +1,则f (10)值为（ ）A.1B.－1C.10D.101 7.已知函数y =f (x )的反函数为f －1(x )=2x +1,则f (1)等于（ ）A.0 B.1 C.－1 D.4 8.若定义在区间（－1，0）内的函数f (x )=log 2a (x +1)满足f (x )>0,则a 的取值范围是（ ） A.(0,21)B.(0,⎥⎦⎤21C.(21,+∞)D.(0,+∞)9.已知函数y =f (2x )定义域为［1，2］,则y =f (log 2x )的定义域为（ ）A.［1，2］B.［4，16］C.［０，1］D.（－∞,0］ 10.已知f (x )=x 2－bx +c ,且f (0)=3,f (1+x )=f (1－x ),则有（ ） A.f (b x )≥f (c x ) B.f (b x )≤f (c x ) C.f (b x )<f (c x ) D.f (b x )、f (c x )大小不确定 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 11.方程log 2(2－2x )+x +99=0的两个解的和是______.12.当x ∈(1,2)，不等式(x －1)2<log a x ,则a 的取值范围是_____________. 13.若不等式3axx22->(31)x +1对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为______.14.f (x )=]()⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈--∞∈---,1 231,( 2311x x x x ，则f (x )值域为______.三、解答题（本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（8分）已知函数f (x )=log 412x －log 41x +5,x ∈［2,4］，求f (x )的最大值及最小值.16.（10分）已知f (x )=lg xx+-11.(1)求函数定义域.（2）求f －1(lg2).17.(12分)已知函数f (x )=22-a a (a x －a －x)(a >0且a ≠1)是R 上的增函数，求a 的取值范围.18.(12分)设函数f (x )=|lg x |,若0<a <b ,且f (a )>f (b ),证明：ab <1.19.（12分）某种细菌每隔两小时分裂一次，（每一个细菌分裂成两个，分裂所须时间忽略不计），研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y 是研究时间t 的函数，记作y =f (t ).（1）写出函数y =f (t )的定义域和值域.（2）在所给坐标系中画出y =f (t )(0≤t <6)的图象.（3）写出研究进行到n 小时（n ≥0，n ∈Z )时，细菌的总数有多少个（用关于n 的式子表示）？指数函数与对数函数同步训练一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.已知2lg(x －2y )=lg x +lg y ,则yx的值为（ ）A.1 B.4 C.1或4 D.41或4考查对数函数及对数函数定义域.【解析】 原命题等价⇒⎩⎨⎧>>=-02y x )2(2xy y x x =4y ∴y x=4【答案】 B 2.函数y =log 21(x 2－6x +17)的值域是（ ）A.R B.［8，+)∞ C.(－∞,－]3 D.［－3,+∞)考查对数函数单调性、定义域、值域.【解析】 y =log 21［(x －3)2+8］≤log 218=－3 【答案】 C3.若a >1,b >1,且lg(a +b )=lg a +lg b ,则lg(a －1)+lg(b －1)的值等于（ ）A.0 B.lg2 C.1 D.－1 考查对数运算.【解析】 由lg(a +b )=lg a +lg b ⇒a +b =ab 即(a －1)(b －1)=1, ∴lg(a －1)+lg(b －1)=0 【答案】 A4.设x ∈R ,若a <lg(|x －3|+|x +7|)恒成立，则（ ）A.a ≥1 B.a >1 C.0<a ≤1 D.a <1 考查对数函数性质及绝对值不等式.【解析】 令t =|x －3|+|x +7|,∴x ∈R ,∴t min =10 y =lg t ≥lg10=1,故a <1 【答案】 D 5.设有两个命题①关于x 的不等式x 2+2ax +4>0对于一切x ∈R 恒成立，②函数f (x )=－(5－2a )x 是减函数，若此二命题有且只有一个为真命题，则实数a 的范围是（ ） A.(－2,2) B.(－∞,2) C.(－∞,－2) D.(－∞,－2］考查二次函数性质及逻辑推理能力.【解析】 ①等价于Δ=（2a )2－16<0⇒－2<a <2 ②等价于5－2a >1⇒a <2 ① ②有且只有一个为真，∴a ∈(－∞,－2］ 【答案】 D 6.设函数f (x )=f (x1)lg x +1,则f (10)值为（ ）A.1B.－1C.10D.101 考查对数性质及函数对应法则理解.【解析】 ∵f (x )=f (x1)lg x +1,∴f (x1)=f (x )lg x1+1 ∴f (10)=f (101)lg10+1,且f (101)=f (10)lg 101+1 解得f (10)=1. 【答案】 A 7.已知函数y =f (x )的反函数为f －1(x )=2x +1,则f (1)等于（ ）A.0 B.1 C.－1 D.4考查反函数意义.【解析】 令f (1)=x ,则f －1(x )=1,令2x +1=1,∴x =－1 【答案】 C8.若定义在区间（－1，0）内的函数f (x )=log 2a (x +1)满足f (x )>0,则a 的取值范围是（ ） A.(0,21)B.(0,⎥⎦⎤21C.(21,+∞)D.(0,+∞)考查对数函数的单调性.【解析】 f (x )=log 2a (x +1)>0=log 2a 1 ∵x ∈(－1,0),∴x +1<1, ∴0<2a <1,即0<a <21 【答案】 A9.已知函数y =f (2x )定义域为［1，2］,则y =f (log 2x )的定义域为（ ）A.［1，2］B.［4，16］C.［０，1］D.（－∞,0］ 考查函数定义域的理解. 【答案】 B【解析】 由1≤x ≤2⇒2≤2x ≤4, ∴y =f (x )定义域为［2，4］ 由2≤log 2x ≤4,得4≤x ≤16 10.已知f (x )=x 2－bx +c ,且f (0)=3,f (1+x )=f (1－x ),则有（ ） A.f (b x )≥f (c x ) B.f (b x )≤f (c x ) C.f (b x )<f (c x ) D.f (b x )、f (c x )大小不确定 考查二次函数及函数单调性.【解析】 由f (0)=3⇒c =3, 由f (1+x )=f (1－x )知对称轴为x =1,∴b =2①x =0,2x =3x ,∴f (2x )=f (3x )②x >0,1<2x <3x ,∴f (2x )<f (3x )③x <0,1>2x >3x ,∴f (2x )<f (3x ) 【答案】 B 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11.方程log 2(2－2x )+x +99=0的两个解的和是______.【答案】 －99 考查对数运算.【解析】 由原式变形得2－2x =99221⋅x 设2x =y ,变形得:299y 2－2100y +1=0⇒y 1y 2=2－99=221x x + ∴x 1+x 2=－9912.当x ∈(1,2)，不等式(x －1)2<log a x ,则a 的取值范围是_____________.【答案】 (1,2］考查对数函数图象及数形结合思想.【解析】 考查两函数y =(x －1)2及y =log a x 图象可知a ∈(1,2］ 13.若不等式3axx22->(31)x +1对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为______.【答案】 －21<a <23考查指数函数单调性及化归能力.【解析】 由题意：x 2－2ax >－x －1恒成立 即x 2－(2a －1)x +1>0恒成立 故Δ=（2a －1）2－4<0⇒－21<a <2314.f (x )=]()⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈--∞∈---,1 231,( 2311x x x x ，则f (x )值域为______.【答案】 (－2,－1］ 考查分段函数值域.【解析】 x ∈(－∞,1］时,x －1≤0,0<3x －1≤1, ∴－2<f (x )≤－1x ∈(1,+∞)时，1－x <0,0<31－x <1,∴－2<f (x )<－1 ∴f (x )值域为(－2,－1］三、解答题（本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分8分）已知函数f (x )=log 412x －log 41x +5,x ∈［2,4］，求f (x )的最大值及最小值.考查函数最值及对数函数性质.【解】 令t =log 41x ,∵x ∈［2,4］,t =log 41x 在定义域递减有log 414<log 41x <log 412，∴t ∈［－1,－21］ ∴f (t )=t 2－t +5=(t －21)2+419,t ∈［－1,－21］∴当t =－21时，f (x )取最小值423当t =－1时，f (x )取最大值7. 16.（本小题满分10分）已知f (x )=lg xx+-11.(1)求函数定义域.（2）求f －1(lg2).考查函数性质，互为反函数的函数间关系.【解】 （1）由xx+-11>0,得－1<x <1 ∴函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1} (2)由lg x x +-11=lg2⇒xx +-11=2⇒x =－31 ∴f －1(lg2)=－3117.(12分)已知函数f (x )=22-a a(a x －a －x )(a >0且a ≠1)是R 上的增函数，求a 的取值范围.考查指数函数性质.【解】 f (x )的定义域为R ，设x 1、x 2∈R ,且x 1<x 2 则f (x 2)－f (x 1)=22-a a (a 2x －a 2x -－a 1x +a 1x -)=22-a a (a 2x －a 1x )(1+211x x a a ⋅)由于a >0，且a ≠1,∴1+211x x aa >0 ∵f (x )为增函数，则(a 2－2)( a 2x －a 1x )>0 于是有⎪⎩⎪⎨⎧<-<-⎪⎩⎪⎨⎧>->-02002121222x xx x a a a a a a 或， 解得a >2或0<a <1 18.(本小题满分12分)设函数f (x )=|lg x |,若0<a <b ,且f (a )>f (b ),证明：ab <1.考查对数函数性质、分类讨论思想.【解】 由题设，显然a 、b 不能同在（1，+∞) 否则，f (x )=lg x ,且a <b 时，f (a )<f (b )与已知矛盾由0<a <b 可知，必有0<a <1 ①当0<b <1时，∵0<a <1,0<b <1,∴0<ab <1 ②当b >1时，∵0<a <1 ∴f (a )=|lg a |=－lg a ,f (b )=|lg b |=lg b 由f (a )>f (b ),得－lg a >lg b ，即a1>b ,∴ab <1 由①②可知ab <1 19.考查函数应用及分析解决问题能力.【解】 （1）y =f (t )定义域为t ∈［0,+∞),值域为{y |y =2n ,n ∈N *}（2）0≤t <6时，为一分段函数y =⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤<≤)6(4 8)4(2 4)2(0 2x x x 图象如图（3）n 为偶数时，y =212+nn 为奇数时，y =2121+-n ∴y =⎪⎩⎪⎨⎧+-+为奇数为偶数n n n n 2212112。
对数换指数公式
指数和对数的转换公式是a^y=xy=log(a)(x)。
1.对数函数的一般形式为y=logax，它实际上就是指数函数的反函数，图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数，可表示为x=a^y。
因此指数函数里对于a存在规定——a>0且a≠1，对于不同大小a会形成不同的函数图形关于X轴对称、当a>1时，a越大，图像越靠近x轴、当
0<a<1时，a越小，图像越靠近x轴。
2.可通过指数函数或对数函数的单调性来比较两个指数式或对数式的
大小。
求函数y=afx的单调区间，应先求出fx的单调区间，然后根据
y=au的单调性来求出函数y=afx的单调区间．求函数y=logafx的单调区间，则应先求出fx的单调区间，然后根据y=logau的单调性来求出函数y=logafx的单调区间。
3.如果b^nx，则记n=logbx，其中b叫做底数，x叫做真数。
n叫做以b为底的x的对数，log(b)(x)函数中x的定义域是x>0，零和负数没有对数，b的定义域是b>0且b≠1，当01时，图象上显示函数为(0，+∞)单，，随着a的减小，图象逐渐以(1.0)点为轴逆时针转动，但不超过X=1。
指数函数与对数函数的性质
指数函数与对数函数的性质指数函数与对数函数是高中数学中非常重要的概念，它们在数学和实际问题中有着广泛的应用。
本文将探讨指数函数与对数函数的性质，旨在帮助读者更好地理解和应用这两种函数。
一、指数函数的性质指数函数是以指数为变量的函数，其一般形式可以表示为y=a^x，其中a为底数，x为指数，a>0且a≠1。
指数函数的性质如下：1. 底数的正负：当底数a>1时，指数函数呈现增长趋势；当0<a<1时，指数函数呈现下降趋势。
这是因为当底数大于1时，指数函数的值随着指数的增大而增加；当底数在0和1之间时，指数函数的值随着指数的增大而减小。
2. 指数函数的导数：指数函数的导数等于该函数的值乘以自然对数的底数e。
即dy/dx=a^x*ln(a)，其中ln(a)表示以e为底的对数。
3. 指数函数的性质：指数函数具有指数的性质，比如指数函数之间可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
例如，a^x*a^y=a^(x+y)，a^x/a^y=a^(x-y)等。
二、对数函数的性质对数函数是指数函数的反函数，它以底数和函数值为变量，一般表示为y=logₐ(x)，其中a为底数，x为函数值，a>0且a≠1。
对数函数的性质如下：1. 底数的选择：根据底数的不同，对数函数可以分为以10为底的常用对数函数和以e为底的自然对数函数。
常用对数函数用lg(x)表示，自然对数函数用ln(x)表示。
2. 对数函数的图像特征：对数函数的图像呈现一种特殊的曲线形状，即左侧逐渐趋于负无穷，右侧逐渐趋于正无穷，且通过点(1,0)。
3. 对数函数的性质：对数函数具有指数函数的逆运算性质，例如，logₐ(a^x)=x。
同时，对数函数也满足加法、减法、乘法和除法等性质，与指数函数相互对应。
比如，logₐ(x*y)=logₐ(x)+logₐ(y)，logₐ(x/y)=logₐ(x)-logₐ(y)等。
三、指数函数与对数函数的关系指数函数和对数函数是密切相关的，两者之间可以互相转换。
指数函数与对数函数的幂函数性质
指数函数与对数函数的幂函数性质指数函数与对数函数是高中数学中常见的两类函数，它们在数学和实际问题中都有广泛的应用。
本文将讨论指数函数与对数函数的幂函数性质，探究它们之间的关系以及共同的特征。
一、指数函数的性质指数函数是以指数为自变量的函数，具有以下几个重要的性质：1. 指数函数的定义域为实数集R，值域为正实数集R+，即f(x) =a^x，其中a>0且a≠1。
2. 指数函数的图像在y轴的正半轴递增，并且通过点(0,1)。
3. 指数函数的反函数为对数函数，即y=loga x，其中a>0且a≠1。
4. 指数函数的性质可以归纳为：a^x1 * a^x2 = a^(x1+x2)，即指数相加时底数不变，指数相乘时底数不变，指数幂次为1时结果为底数a本身。
二、对数函数的性质对数函数是指以某一个正实数为底数，使得这个底数的指数等于函数值的函数，它具有以下几个重要的性质：1. 对数函数的定义域为正实数集R+，值域为实数集R，即f(x) = loga x，其中a>0且a≠1。
2. 对数函数的图像在x轴的正半轴递增，且通过点(1,0)。
3. 对数函数的反函数为指数函数，即y=a^x，其中a>0且a≠1。
4. 对数函数的性质可以归纳为：loga (x1 * x2) = loga x1 + loga x2，即对数底数不变，乘积转换为和。
三、指数函数与对数函数的关系指数函数与对数函数是互为反函数的关系，彼此之间存在以下重要的关系：1. 指数函数和对数函数互为反函数，即f(x) = a^x与g(x) = loga x互为反函数。
2. 指数函数的自变量是指数，对应的函数值是底数的幂次；对数函数的自变量是函数值，对应的函数值是底数的指数。
3. 指数函数和对数函数的图像关于y=x对称。
四、指数函数与对数函数的共性指数函数和对数函数具有一些共同的特征，这些特征也是幂函数的性质：1. 两者的图像都在一条直线y=x的左右两侧，且关于y=x对称。
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x轴成轴对称
指数函数y=ax (a>0,a≠1)
图 y=ax
y y=ax
象 (0<a<1)
(a>1)
1
o
x
(1)定义域：R
性 (2)值域：(0,+∞)
(3)过点(0,1), 即x=0 时, y=1
对数函数y=log a x (a>0, a≠1)
y o1
y=logax (a>1)
x
y=logax (0<a<1)
指数函数与对数函数 的关系
问题1： 指数函数y=ax与对数函数y=loga x(a>0,a≠1) 有什么关系?
指数换对数
y=ax
x=loga y
对应法则互逆
交换x,y
y=loga x
指数函数y=ax与对数函数x=loga y(a>0,a≠1) 有什么关系?
函 数 自变量 因变量 定义域 值 域
y=ax
y
ｙ＝3ｘ－2
0
ｙ＝ｘ
x
ｙ＝ｘ＋2 3
想一想：函数ｙ＝3ｘ－2的图象和它的反函数 ｙ＝ｘ＋2 的图象之间有什么关系？
3
求函数反函数的步骤: 1 反解 2 x与y互换 3 求原函数的值域
4 写出反函数及它的定义域
y y=2x
结论:
Q(a,b) (0,1)
O (1,0)
y=x P(b,a) y=log2x
互为反函数
定义域和值域互换 对应法则互逆
图像关于直线y=x对称
作业
课本第106页练习 A组B组
对称性：
(1) y ax与y log a x的图象关于 y x成轴对称 (2) y a x与y ( 1 )x的图象关于
a y轴成轴对称
(3) y log a x与y log 1 x的图象关于
(1)y=log2.5x; (2)y=logπx; 3 y log x.
1
(1)y=2.5x
(2)y=πx
3y
1
x
3
3
3.写出下列指数函数的反函数:
(1)y=4x; (2)y=1.4x;
3y x.
2
(1)y=log4x (2)y=log1.4x 3y log x 2
(2)指数函数
y 2 x 3
,它的底数是 2 ,
3
它的反函数是对数函数 y log 2 x
3
练习
1.说出下列各组函数之间的关系:
(1)y=10x和y=lgx；
互为反函数,
(2)y=2x和y=log2x;
定义域和值域互换, 对应法则互逆
(3)y=ex和y=lnx.
练习
2.写出下列对数函数的反函数:
函数y=log2x的图像与 函数y=2x的图像关于 直线y=x对称
y y=2x Q(a,b) y=x
函数y=f(x)的图像和
(0,1) O
它的反函数的图像
(1,0)
P(a,b) y=log2x x
关于直线y=x对称
• 1．当一个函数是一一映射时，可以把这个 函数的因变量作为一个新的函数的自变量， 而把这个函数的自变量作为新的函数的因变 量，我们称这两个函数互为反函数。
例3 求函数ｙ＝3ｘ－2（ｘ∈R）反函数，并在同 一直角坐标系中作出函数及其反函数的图象。 解：由ｙ＝3ｘ－2（ｘ∈R ）得ｘ＝ｙ＋2
3 所以ｙ＝2ｘ－1（ｘ∈R）的反函数是
ｙ＝ｘ＋2 （ｘ∈R ）
3
ｙ＝3ｘ－2 经过两点（0，－2）， （2/3，0）
ｙ＝ｘ＋2 经过两点（－2，0）， （0 ，2/3 ） 3
0<a<1时,在R上是减函数 0<a<1时,在(0,+∞)是减函数
y x
x
y log 1 x
2
y 10x
y
y 2x y x
y log2 x
y log10 x0Biblioteka xy ( 1 )x
y y
(
1
)
10
x
2
0
y x
xy log 1 x
10
y log 1 x
2
观察在同一坐标系内函数y=log2x与函数y=2x的 图像,分析它们之间的关系.
b＝f(a)
点（b,a）在反函数y＝f－1(x) 的图像上 a＝f－1(b)
理论迁移
例4 已知函数 f (x) log2 (1 2x ) . （1）求函数f(x)的定义域和值域； （2）求证函数y=f(x)的图象关于直线
y=x对称.
小结
反函数的概念
指数函数y=ax(a>0,a≠1)与 对数函数y=logax(a>0,a≠1)
• 2．对数函数y=loga x与指数函数y=ax互为反 函数，图象关于直线y=x对称。
• 3 ．函数y＝f(x)的反函数通常用y＝f－1(x) 表 示。
注意：y＝f －1(x) 读作：“f逆x”
表示反函数，不是-1次幂（倒数） 的意思
例1 写出下列对数函数的反函数:
(1)y =lgx; 2y log 1 x.
x
y
R
(0,+∞)
x=loga y
y
x
(0,+∞)
R
对应法则互逆
称这两个函数互为反函数
指数函数y=ax是对数函数 x=loga y(a>0,a≠1)的反函数
指数函数y=ax(a>0,a≠1)
反 函 数
对数函数y=logax(a>0,a≠1)
y
y 2x y x
y log2 x
0
x
y y ( 1 )x 2 0
3
解 (1)对数函数y=lgx,它的底数是 10 它的反函数是指数函数 y=10x
(2)对数函数 y log 1 x, 它的底数是 1
3
它的反函数是指数函数
y 1 x.
3
3
例2 写出下列指数函数的反函数:
(1)y=5x
2y
2
x
.
3
解(1)指数函数y=5x,它的底数是5 它的反函数是对数函数 y=log5x;
点（a,b）在函数y＝f(x)的图像上
b＝f(a)
点（b,a）在反函数y＝f－1(x) 的图像上 a＝f－1(b)
例5：已知函数（ f x） x2 （1 x 2） 求出f （1 4）的值。
解：令 x2 1 4，解之得：x 5 又Q x 2， x 5.
点（a,b）在函数y＝f(x)的图像上
x
点（a,b）在函数y＝f(x)的图像上
b＝f(a)
点（b,a）在反函数y＝f－1(x) 的图像上 a＝f－1(b)
[例4]函数f(x)＝loga (x－1)(a＞0且a≠1)的反函数的图象
经过点(1, 4)，求a的值.
解:依题意,得 1 log a (4 1)
即 : log a 3 1,a 3.
(1)定义域： (0,+∞)
(2)值域：R (3)过点(1,0), 即x=1 时, y=0
(4) a>1时, a越大图像越靠近y轴 (4) a>1时, a越大图像越靠近x轴
质
0<a<1时, a越小图像越靠近y轴 0<a<1时, a越大图像越靠近x轴 (5) a>1时, 在R上是增函数； (5) a>1时,在(0,+∞)是增函数；