幂函数指数函数和对数函数·反函数

幂函数、指数函数和对数函数·反函数

教学目标

1．使学生正确理解反函数的概念，初步掌握求反函数的方法．

2．培养学生分析问题、解决问题的能力及抽象概括的能力．

3．使学生思维的深刻性进一步完善．

教学重点与难点

教学重点是求反函数的技能训练．

教学难点是反函数概念的理解．

教学过程设计

一、揭示课题

师：今天我们将学习函数中一个重要的概念——反函数．

（板书：反函数 1．反函数的概念）

二、讲解新课

师：什么是反函数呢？让我们一起来思考这样一个问题：在函数y=2x+1中，如果把x当作因变量，把y当作自变量，能否构成一个函数呢？

生：可以构成一个函数．

师：为什么是个函数呢？

一的x与之相对应．

师：根据这位同学的表述，这是符合函数定义的，也就是说，按照上述原则，函数y=2x+1是存在反函数的．这个反函数的解析式是怎样的呢？

师：这种表示方法是没有问题的，但不符合我们的习惯，按习惯用字母x 表示自变量，用字母y表示因变量，故这个函数的解析式又可以

是不是同一函数呢？

生：是．

师：能具体解释一下吗？

和值域，皆为R，同时对应法则都是自变量减1除以2得因变量，也是相同的，所以它们是相同的函数．

生：有．就是y=2x+1．

那么，是不是所有函数都会有反函数呢？

生：不是所有函数都有反函数．

师：能举个例子说明吗？

生：如函数y=x2，将y当作自变量，x当作因变量，在y允许取值范围内，一个y可能对应两个x，如y=1，则对应x=±1，因此不能构成函数，说明它没有反函数．

师：说得非常好．如果从形的角度来解释，会看得更清楚，见图1，从图中可看出给出一个y能对应两个x．

通过对几个具体函数的研究，了解了什么是反函数，把前面对函数y=2x+1的反函数的研究过程一般化，概括起来就可以得到反函数的定义．由于这个定义比较长，所以我们一起阅读书上相关内容．（板书：（1）反函数的定义）

（要求学生打开书第60页第二自然段，请一名同学朗读这一段内容．

为帮助学生理解定义中的描述，教师可以再以一个具体函数为例解

字

的含义表示不是所有函数都有反函数．）

对于反函数有了初步的了解之后，下面进一步对这个特殊的函数概念作点深入研究．

（板书：（2）对概念的理解．）

师：反函数的“反”字应当是相对原来给出的函数而言的，那么它

加以研究．

生：对应法则不同．

师：能否说得再具体点，怎么不同？

生：这两个函数的对应法则中，x与y的位置换位．

（研究两函数间的关系应从函数三要素角度入手研究，老师可适当引导学生向三要素靠拢．）

师：还有什么联系吗？

师：根据刚才我们的讨论，可以发现反函数的三要素是由原来函数决定的，当给出的函数确定下来后，其反函数的三要素也就确定下来了，可以简记为“三定”．把这种确定关系具体化，也就是反函数的“反”字体现在什么地方呢？

生：反函数的定义域就是原来函数的值域；反函数的值域就是原来函数的定义域；反函数的对应法则就是把原来函数对应法则中x与y的位置互换．

师：由此我们可以看到反函数的“反”实际体现为“三反”．在这“三反”中，起决定作用的就是x与y的反置，正是由于它们位置的改变，才把相应取值反置，从而引起另外两“反”．

（板书：a．“三定”，b．“三反”）

师：从函数概念的角度来看，我们明确了原来函数与其反函数间的关系，当然还可以从其它方面入手进行研究，如：一个函数有没有反函数？若有反函数，它的性质如何？与原来函数的性质有什么关系？通过前面几个例子可以发现，上述问题中，原来函数的性质起着决定性作用，而且反函数的性质也与原来函数的性质相关．

由于函数和反函数有如此密切的关系，它已成为进一步研究函数的重要方面．当我们研究某个函数性质时，如果这个函数有反函数，就可以在两者中择其简而研究之，这就增加了函数的研究方法．

师：对反函数概念作了较全面认识之后，自然提出这样一个问题：如果一个函数存在反函数，如何去求这个函数的反函数呢？一起看这样二个题目．

生：（板书）

（在表述上不规范之处，先暂时不追究，待例2解完之后再一起讲评．）

例2求f（x）=x2+1（x≥1）的反函数．

生：（板书）

师：下面请同学对两个例题的表述作个评价．

师：这和黑板上所得的函数有什么不同吗？

生：两个函数的定义域分别是x≥1和x≥2，所以是不同的两个函数．

生：因为反函数的定义域应是原来给出函数f（x）的值域，而f（x）

师：说得很好．根据我们对反函数的认识，反函数的定义域就是原来给出函数的值域．所以要求出反函数的定义域，就必须先求出原来函数的值域．那么例2的求解过程应当怎样调整呢？

师：通过刚才的讨论，我们发现并解决了例2反函数的存在问题，同时也注意到求反函数必须明确指出其定义域，以保证结论的正确性．除此之外，还有什么问题吗？

生：为什么没有在例1中求原来所给函数的值域呢？

师：请同学们针对这个问题讨论一下．

生：因为原来所给的函数的值域是y≠0，这和所求出的反函数的定义域是x ≠0为结论是一致的，所以没有出错．

师：此题出现的这种结论的一致性，应当说是一种偶然，而不是必然．因此，在求反函数的过程中，必须要求出原来所给函数的值域，并且在最后结果中注明反函数的定义域．那么，例1的规范书写过程应如何调整呢？

生：（板书）

≠0，y∈R}，所以，所求反函数为

师：通过刚才对两个具体例子的讨论，能否总结一下求用解析式表达的函数的反函数的基本步骤呢？

（板书：2．求反函数的步骤）

生：首先从解析式中解出x，其次求出所给函数的值域，最后再改写为习惯的表示形式．

师：把这几步用简单的几个字来概括一下．

1．反解：既把解析式看作x的方程，求出反函数的解析式；

2．互换：既求出所给函数的值域并把它改换为反函数的定义域；

3．改写：将函数写成y=f-1（x）的形式．

（板书：1．反解2．互换3．改写．）

师：下面通过几个练习来看看同学们是否真正理解这三个基本步骤．

三、巩固练习

练习求下列函数的反函数．

（由一个学生在黑板上完成．）