函数单调性和奇偶性综合
函数单调性与奇偶性综合》教学设计
单元教学设计：3．2．3函数单调性与奇偶性综合一、内容和内容解析1．内容函数单调性与奇偶性综合．2．内容解析单调性和奇偶性是函数的两条重要基本性质，在利用函数观点解决问题中起着十分重要的作用．单调性与奇偶性之间有着密切的联系，综合利用两条性质，可以解决很多函数问题，特别是抽象函数问题．基于以上分析，本单元的教学重点：函数单调性与奇偶性的综合应用．二、目标和目标解析1．目标（1）进一步理解函数的性质，从形与数两个方面引导学生理解掌握函数的单调性与函数的奇偶性；（2）能正确地运用函数的有关性质解决相关的问题；（3）在抽象函数单调性与奇偶性综合应用的过程中，体会数形结合的数学思想．2．目标解析达成上述目标的标志是：（1）知道函数单调性和奇偶性是把函数图象的几何特性转化为代数关系，并用严格的符号语言表示，沟通了形与数，实现了从定性到定量的转化．（2）提升学生数学抽象、直观想象等素养，提高阅读数学符号语言和使用数学符号语言的能力．三、教学问题诊断分析数形结合既是重要的数学思想，也是解决数学问题的有效方法．通过把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．但大部分学生还没有主动利用数形结合思考和解决问题的意识，没有掌握数形结合的正确方法．在含有参数的抽象函数给出的运算中，可以利用函数的奇偶性和单调性，去掉“f”符号，将抽象不等式转化为具体的代数不等式．此类题目对学生的解决问题的能力及抽象能力要求较高．根据以上分析，确定本节课的教学难点：运用函数的单调性和奇偶性解决解决抽象函数问题．四、教学过程设计3．2．3函数单调性与奇偶性综合(一) 复习回顾前面，我们学习了函数的单调性、奇偶性：1．一般地，设函数()f x 的定义域为I ，如果∀∈x I ，都有-∈x I ，且_____________，那么函数()f x 就叫做偶函数，函数图象关于________对称．一般地，设函数()f x 的定义域为I ，如果∀∈x I ，都有-∈x I ，且_____________，那么函数()f x 就叫做奇函数，函数图象关于________对称．显然，对于偶函数()f x 来说，()()f x f x =-=___________．2．一般地，设函数()f x 的定义域为I ，区间D I ⊆：如果12,x x D ∀∈，当12x x <时，都有 ，那么就称函数()f x 在区间D 上单调递增．如果12,x x D ∀∈，当12x x <时，都有 ，那么就称函数()f x 在区间D 上单调递减．3．通过偶函数2()f x x =和奇函数3()f x x =图象，我们共同来复习偶函数与奇函数的定义：由图象可知，函数2()f x x =的单调递增区间为0(,)+∞，单调递减区间为0(,)-∞，函数3()f x x =的单调递增区间为(,)-∞+∞．（二）典例分析例1 已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，且当0≤x 时，2()2f x x x =+．现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图象，如下图所示：(1)请补全函数()y f x =完整的图象；(2)观察图象，写出函数()y f x =的单调区间；(3)求函数()f x 的解析式．解:(1)因为函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，所以()y f x =的图象关于y 轴对称． 图象如下：(2)由图象可知，函数()y f x =的单调增区间为10(,)-，1(,)+∞；单调减区间为1(,)-∞-，01(,)．(3)当0x >时，0-x <，则2222()()()f x x x x x -=-+-=-． 由于()f x 是偶函数，则()()f x f x -=，所以22()f x x x =-．所以()f x 的解析式为222020,≤,(),.x x x f x x x x ⎧+⎪=⎨⎪->⎩例2 （若将例1中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答？） 已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0≤x 时，22()f x x x =+．现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图象，如图所示．(1)请补全函数()y f x =完整的图象；(2)观察图象，写出函数()y f x =的单调区间；(3)求函数()f x 的解析式．解:(1)因为函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以()y f x =的图象关于原点对称．图象如下：(2)由图象可知，函数()y f x =的单调增区间为(-1，1)；单调减区间为1(,)-∞-，1(,)+∞．(3)当0x >时，0-x <，则2222()()()f x x x x x -=-+-=-．由于()f x 是奇函数，则()()f x f x -=-，所以22()f x x x =-+．所以()f x 的解析式为222020,≤,(),.x x x f x x x x ⎧+⎪=⎨⎪-+>⎩设计意图：已知函数的奇偶性及部分图象，根据对称性可补出另一部分图象．通过观察图象进而得出函数()y f x =的单调区间．知一半则可知全部，即缩小研究的范围，从而达到“事半功倍”的效果．探究：观察例1和例2中()y f x =的函数图象，你能发现偶函数与奇函数单调区间有什么特征吗？如何证明你的猜想呢？可以发现：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反．现以“偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反”为例，证明如下：已知()f x 是偶函数，在区间[，](0)a b a >上是单调递增的，证明()f x 在区间[-b ，-a ]上单调递减．证明：任取12,x x ∈[-b ，-a ]，且12x x <．因为()f x 为偶函数，故11()()f x f x -=，22()()f x f x -=，则1212()-()(-)-(-)f x f x f x f x =，因为12≤≤b x x a -<-， 因此21≤-≤a x x b <-， 因为()f x 在[a ，b ]上单调递增，所以12(-)()f x f x >-. 故可得12()()f x f x >．所以，()f x 在区间[-b ，-a ]上单调递减．例3 已知()f x 是偶函数，且在区间[0，2]上是减函数，则0()f ，0.5()f ，1()f -的大小关系是（ ）．（A ）0510(.)()()f f f <-<； （B ）0105()()(.)f f f <-<；（C ）1050()(.)()f f f -<<； （D ）0501(.)()()f f f <<-． 解：因为()f x 是偶函数，所以11()()f f -=．因为()f x 在区间[0，2]上是减函数，所以1050()(.)()f f f <<．故选C ．设计意图：比较两个函数值的大小，一般应该在同一个单调区间上进行比较．因此，当两个自变量的值不在同一个单调区间上时，需要利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．例4 定义在[-2，2]上的偶函数()g x ，且()g x 在区间[0，2]上单调递减，若1()()g m g m -<成立，求实数m 的取值范围．解：因为()g x 在[-2，2]上为偶函数，所以()11()g m g m -=-，()()g m g m =．因为1()()g m g m -<， 所以1()()g m g m -<，因为()g x 在区间[0，2] 上单调递减， 所以1m m ->因为212≤≤m --，22≤≤m -， 所以212221≤≤,≤≤,.m m m m ⎧--⎪-⎨⎪->⎩所以221221≤≤3,≤≤,().m m m m ⎧-⎪-⎨⎪->⎩所以112≤m -<． 例5 已知函数()f x 是奇函数，其定义域为（-1，1），且在[0，1）上为增函数．若2320()()f a f a -+-<，求实数a 的取值范围．解：因为2320()()f a f a -+-<，所以232()()f a f a -<--．因为()f x 为奇函数，所以3223()()f a f a --=-，所以223()()f a f a -<-．因为()f x 在[0，1）上为增函数，所以()f x 在（-1，1）上单调递增，所以1211321223a a a a ⎧-<-<⎪-<-<⎨⎪-<-⎩，解得12a <<．设计意图：解这类不等式问题的关键是去函数符号“f ”．通常首先判定自变量所在的区间，其次利用函数的奇偶性把已知不等式转化为12()()f x f x <或12()()f x f x >的形式；然后再根据函数的单调性，脱掉不等式中函数符号“f ”，最后转换为简单不等式或者不等式组进行求解．（四）反馈练习1．设偶函数()f x 的定义域为R ，当0[,)x ∈+∞时，()f x 是增函数，则23(),(),()f f f -π-的大小关系是_______________________．答案：()(3)(2)f f f π>->-．2．已知偶函数()f x 在区间)0,⎡+∞⎣上单调递增，则满足1()()f x f <的x 的取值范围是____________________．答案：11(,)-．3．设定义在[-3，3]上的奇函数()f x 在区间[0，3]上是减函数，若1()()f m f m -<则实数m 的取值范围是________． 答案：122[,)-． 4. 若函数()f x 是奇函数，且在区间0(,)+∞上是减函数，30()f -=，则()0xf x <的解集为________． 答案：{}30或03x x x -<<<<．（六）单元小结、布置作业教师引导学生回顾本节课所学知识：（1）偶函数与奇函数在定义域内关于原点对称区间上的单调性．（2）利用函数单调性与奇偶性解不等式的方法．设计意图：总结和归纳本节课的核心内容，提炼解决问题的方法． 布置作业：1.教材第86页第11题；2.教材第87页第12题；3.教材第92页探索与发现：探究函数1y x x =+的图象与性质。
单调性与奇偶性的综合
望：该函数恰恰具有奇偶性，于是我们怀着 函数单调性在解不等式中简化不等式的妙
激动又忐忑的心情去验证．验证如下： 定义域为 犚，关于原点对称，犳（－狓）＝
（－狓）３－２（－狓）＋ｅ－狓－ｅ１－狓 ＝－狓３＋２狓＋
一个简单的想法，化２为０，那么移项可 以 实 现 ，化 为 犳（狓２ －犪）－１＋犳（犪狓）－１＜ ０，整体化思想，［犳（狓２－犪）－１］＋［犳（犪狓）－ １］＜０，只 需 要 构 造 一 个 新 函 数，设 犵（狓）＝ 犳（狓）－１，不等式就可以转化为犵（狓２－犪）＋ 犵（犪狓）＜０（你可以尝试独自完成）．至此，与拓 展１雷同，类似于上述解答，难点化解，问题得
一般地：设 函 数 狔 ＝犳 （狓）的 定 义 域 为 犃，区间犐犃．如果对于区间犐 内的任意两 个值狓１，狓２，当狓１＜狓２ 时，都有犳（狓１）＜ 犳（狓２），那么就说狔＝犳（狓）在区间犐 上是单 调增函数，犐 称为狔＝犳（狓）的单调增区间…
（单调递减略）
定义中 展 示 的 是：当 函 数 犳（狓）满 足 一
－１≤犪≤１２． 由 此 可 见 ，对 于 一 个 函 数 ，形 如 犳（犕 ）±
犳（犖）＞０（＜０）的问题，可以综合运用函数 的２ 若奇，对则 偶任实拓性意展数和实２犪单 数的调已狓取知性都值函简有范数化犳围犳之（狓为（狓２．－ ）＝犪 ）－＋ 狓犳３ －（犪．狓狓＋）１＜，
鉴于前面的经验，我们更加倾向于用函 数的单调性简化问题，那么新的问题来了，不 等式右边的２如何处理？
微专题突破
单调性与奇偶性的综合
概 念 理 解 江苏省吴函 件．于是，如果已知函数的单调性，那么由自变
数的局部性质；而函数的奇偶性则是函数的 量的大小可以推出函数值的大小；反之，由函
整体性质；这两条性质是函数的基本性质．其 数值的大小也可以推出自变量的大小．于是，
函数的单调性和奇偶性的综合应用教案
函数的单调性和奇偶性的综合应用教案一、教学目标：1. 知识与技能：（1）理解函数的单调性和奇偶性的概念；（2）掌握判断函数单调性和奇偶性的方法；（3）学会运用函数的单调性和奇偶性解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过实例引导学生观察、分析函数的单调性和奇偶性；（2）利用图形直观地展示函数的单调性和奇偶性；（3）培养学生运用函数的单调性和奇偶性解决实际问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和好奇心；（2）培养学生合作、探究的精神；（3）培养学生运用数学知识解决实际问题的意识。
二、教学重点与难点：1. 教学重点：（1）函数的单调性和奇偶性的概念；（2）判断函数单调性和奇偶性的方法；（3）运用函数的单调性和奇偶性解决实际问题。
2. 教学难点：（1）函数的奇偶性在实际问题中的应用；（2）函数的单调性在实际问题中的应用。
三、教学准备：1. 教师准备：（1）熟练掌握函数的单调性和奇偶性的概念及判断方法；（2）准备相关实例和练习题；（3）准备多媒体教学设备。
2. 学生准备：（1）掌握函数的基本概念；（2）了解简单的函数图形；（3）具备一定的数学运算能力。
四、教学过程：1. 导入新课：（1）引导学生回顾函数的基本概念；（2）引导学生思考函数的单调性和奇偶性在实际问题中的应用。
2. 知识讲解：（1）讲解函数的单调性概念及判断方法；（2）讲解函数的奇偶性概念及判断方法；（3）结合实例分析函数的单调性和奇偶性在实际问题中的应用。
3. 图形展示：（1）利用图形直观地展示函数的单调性和奇偶性；（2）引导学生观察、分析图形，加深对函数单调性和奇偶性的理解。
4. 课堂练习：（1）布置针对性练习题，让学生巩固所学知识；（2）引导学生互相讨论、交流，共同解决问题。
5. 总结提升：（1）总结本节课所学内容，强调函数的单调性和奇偶性在实际问题中的应用；（2）鼓励学生在日常生活中发现和运用函数的单调性和奇偶性。
高三数学复习课件-函数的奇偶性和单调性综合复习
(3)f(x)= (x-1) .
1 x 1 x
评析 用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下： (1)求函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称. (2)计算f(-x)，并与f(x)比较，判断f(-x)＝f(x)或f(-x)＝-f(x)
之一是否成立.f(-x)与-f(x)的关系并不明确时，可考查其
例2：函数f(x)是定义在（0，+∞）上的增函数，满足： f(xy)=f(x)+f(y)，f(8)=3，解不等式f(x)+f(x-2)≥3
[4，+∞）
注：利用函数的单调性解不等式时，必须考虑条件和定义域
练习 1、函数f(x)在（0，+∞）上是减函数求f(a2-a+1)与 f( 3 )的大小关系
3 f(a2-a+1) ≤f( ) 4 2－mx＋5 在区间 [－2，+∞) 上是增 2、函数 f(x)＝4x 函数，求f(1) 的取值范围。 f(1) ≥25 3、设f(x)是定义域为[-1，1]上的增函数， 解不等式f(x-1)<f(x2-1). （1， 2 ]
函数图像能直观地显示函数的单调性.在单调区间上的增函 数，它的图像是沿x轴正方向逐渐上升的；在单调区间上的减 函数，它的图像是沿x轴正方向逐渐下降的.
y
例1 、 画出函数y＝-x2+2｜x｜+3的图像， 并指出函数的单调区间.
解：函数图像如下图所示，
当x≥0时，y＝-x2+2x+3＝-(x-1)2+4； 当x＜0时，y＝-x2-2x+3＝-(x+1)2+4.
减↓ 增↑ 减↓ 减↓ 增↑
注：
1、复合函数y=f[g(x)]的单调区间必须是其定义域的 子集 2、对于复合函数y=f[g(x)]的单调性是由函数y=f(u)及 u=g(x)的单调性确定的且规律是“同增，异减”
函数的单调性和奇偶性的综合应用
函数的单调性和奇偶性的综合应用对称有点对称和轴对称奇数的图像关奇函于原点成点对称，偶函数的图像关于y 轴成轴对称图形。
1、函数的单调性：应用：若()y f x =是增函数，12()()f x f x > ⇒ 1x 2x应用：若()y f x =是减函数，12()()f x f x > ⇒ 1x 2x(1)若()y f x =是R 上的减函数，则(1)f 2(22)f a a ++2、熟悉常见的函数的单调性：y kx b =+、ky x =、2y ax bx c =++(2)若()f x ax =，()bg x x =-在(,0)-∞上都是减函数，则2()f x ax bx =+在(0,)+∞上是 函数（增、减）3、函数的奇偶性：定义域关于原点对称，()()f x f x -= ⇒ ()f x 是偶函数定义域关于原点对称，()()f x f x -=- ⇒ ()f x 是奇函数（当然，对于一般的函数，都没有恰好()()f x f x -=±，所以大部分函数都不具有奇偶性）(3) 已知函数21()4f x ax bx a b =+++是定义在[1,2]a a -上的奇函数，且(1)5f =，求a 、b(4) 若2()(2)(1)3f x K x K x =-+-+是偶函数，则()f x 的递减区间是_________________。
(5) 若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)f =____________________________。
(6) 函数()y f x =的奇偶性如下：画出函数在另一半区间的大致图像O点对称：对称中心O 轴对称：偶函数奇函数奇函数奇函数4、单调性和奇偶性的综合应用 【类型1 转换区间】(1) 根据函数的图像说明，若偶函数()y f x =在(,0)-∞上是减函数，则()f x 在(0,)+∞上是 函数（增、减）(2) 已知()f x 为奇函数，当0x >时，()(1)f x x x =-，则当0x <时，()x =(3) R 上的偶函数在(0,)+∞上是减函数，3()4f - 2(1)f a a -+ (4) 设()f x 为定义在（(,)-∞+∞上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞为增函数，则(2)f -、()f π-、 (3)f 的大小顺序是（ ）A. ()(3)(2)f f f π->>-B. ()(2)(3)f f f π->->C. ()(3)(2)f f f π-<<-D. ()(2)(3)f f f π-<-<(5) 如果奇函数()f x 在区间[3,7]上的最小值是5，那么()f x 在区间[7,3]--上( )A. 最小值是5B. 最小值是－５C. 最大值是－５D. 最大值是5(6) 如果偶函数()f x 在[3,7]上是增函数，且最小值是－５那么()f x 在[7,3]--上是( )A. 增函数且最小值为－５B. 增函数且最大值为－５C. 减函数且最小值为－５D. 减函数且最大值为－５(7) 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(,0)-∞上()f x 是单调增函数，那么当10x <，20x >且120x x +<时，有（ ）A. 12()()f x f x ->-B. 12()()f x f x -<-C. 12()()f x f x -=-D. 不确定(8)如果()f x 是奇函数，而且在开区间(,0)-∞上是增函数，又(2)0f =，那么()0x f x ⋅<的解是（ ）A. 20x -<<或02x <<B. 20x -<<或2x >C. 2x <-或02x <<D. 3x <-或3x >(9) 已知函数()f x 为偶函数，x R ∈，当0x <时，()f x 单调递增，对于10x <，20x >，有12||||x x <，则（ ）A. 12()()f x f x ->-B. 12()()f x f x -<-C. 12()()f x f x -=-D. 12|()||()|f x f x -<-5、单调性和奇偶性的综合应用 【类型2 利用单调性解不等式】(1) 已知()y f x =是(3,3)-上的减函数，解不等式(3)(2)f x f x +>-(2) 定义在(1,1)-上的奇函数()f x 是减函数，且满足条件(1)(12)0f a f a -+-<，求a 的取值范围。
函数的奇偶性和单调性综合训练
偶函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$，则 称$f(x)$为偶函数。
奇函数和偶函数的性质
奇函数的图像关于原点对称，即当$x$取任意值时，其对应的$y$ 值都是关于原点对称的。
偶函数的图像关于y轴对称，即当$x$取任意值时，其对应的$y$ 值都是关于y轴对称的。
利用奇偶性和单调性解题
利用奇偶性求函数值
对于奇函数，有$f(-x) = -f(x)$；对于偶函数， 有$f(-x) = f(x)$。
利用单调性比较函数值大小
在单调递增区间内，如果$x_1 < x_2$，则$f(x_1) < f(x_2)$；在单调递减区间内，如果$x_1 < x_2$，则 $f(x_1) > f(x_2)$。
奇偶性的判断方法
定义法
根据奇偶函数的定义来判断。
图像法
通过观察函数的图像来判断。
代数法
通过代入特殊值来判断。
单调性的定义
单调递增
如果对于函数$f(x)$的定义域内的任意两个数$x_1$和$x_2$（$x_1<x_2$），都有$f(x_1)<f(x_2)$，则 称函数$f(x)$在定义域内单调递增。
函数的奇偶性和单调性综合训 练
目
CONTENCT
录
• 函数的奇偶性 • 函数的单调性 • 奇偶性与单调性的关系 • 综合训练题 • 总结与回顾
01
函数的奇偶性
奇函数和偶函数的定义
奇函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，都有$f(-x)=-f(x)$， 则称$f(x)$为奇函数。
100%
导数法
通过求函数的导数并判断导数的正 负来判断。如果导数大于0，则为 增函数；如果导数小于0，则为减 函数。
有关函数单调性、奇偶性的综合应用
有关函数单调性、奇偶性的综合应用函数的单调性是对于函数定义域内某个子区间而言的“局部”性质，它反映了函数()f x 在区间上函数值的变化趋势；函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的“整体”性质，主要讨论的是函数的对称性．作为函数的两个最重要的性质，我们往往将二者结合起来研究．本文将针对这一方面的综合应用举例说明．例1 已知()y f x =是奇函数，它在(0,)+∞上是增函数，且()0f x <，试问1()()F x f x =在(,0)-∞上是增函数还是减函数？证明你的结论． 【分析】根据函数的单调性的定义，可以设210x x x ∆=-<，进而判断21()()Y F x F x ∆=-2111()()f x f x =-=1212()()()()f x f x f x f x - 的正负号． 【解析】任取12(,0)x x ∈-∞、，且210x x x ∆=-<，则有21()()0x x x -∆=--->． ()y f x =在(0,)+∞上是增函数，且()0f x <，∴12()()0f x f x ---<，又 ()y f x =是奇函数，∴()()f x f x -=-所以12()()0f x f x ->．于是21()()Y F x F x ∆=-2111()()f x f x =-=1212()()()()f x f x f x f x - 0>， ∴1()()F x f x =在(,0)-∞上是减函数． 【评析】本题最容易发生的错误是一开始就在(0,)+∞内任取21x x <，展开证明，这样就不能保证12,x x --在(,0)-∞内的任意性而导致错误．例2 已知函数()y f x =，(1,1)x ∈-，即是偶函数又是减函数，解不等式(1)(23)0f x f x -+-<．【解析】先求(1)(23)f x f x -+-的定义域：1111231x x -<-<⎧⎨-<-<⎩得0212x x <<⎧⎨<<⎩，∴定义域为{|12}x x <<∴不等式(1)(23)0f x f x -+-<即可写为：(1)[(23)]0f x f x ----<， 因为函数()y f x =是偶函数，有(23)(23)f x f x --=-，原不等式就是(1)(23)0f x f x ---<，已知函数是减函数，所以(1)(23)0x x x ∆=--->，即43x <， 由于x ∈{|12}x x <<，所以原不等式解集为：4{|1}3x x <<． 【评析】利用函数的性质，将不等式(1)(23)0f x f x -+-<中函数符号f 去掉，化为普通的不等式，同时要注意函数的定义域对x 的限制．。
函数单调性与奇偶性的综合应用
解：原不等式化为 f(1－3a)＜－f(1－a)． ∵f(x)是奇函数，∴－f(1－a)＝f(a－1)． ∴原不等式化为 f(1－3a)＜f(a－1)． ∵f(x)是减函数，且定义域为(－1,1)，
三、抽象函数的奇偶性与单调性的综合
【例3】已知函数f(x)，当x，y∈R时，恒有 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)如果 x∈R＋，f(x)<0，并且 f(1)＝－12， 试求 f(x)在区间[－2,6]上的最值．
三、抽象函数的奇偶性与单调性的综合
跟踪训练 3 已知函数 f(x)，当 x，y∈R 时，恒有 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)． (1)求证：f(x)是奇函数； (2)如果 x∈R＋，f(x)<0，并且 f(1)＝－12，试求 f(x)在区间[－2,6]上的最值．
递减．若f(a)＜f(2)，求实数a的取值范围.
迁移与应用 1．B 解析：∵f(x)是偶函数，
∴f(－2)＝f(2)． 又 f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴f(2)＞f(1)＞f(0)， 即 f(－2)＞f(1)＞f(0)． 2．解：∵y＝f(x)是偶函数，∴f(a)＝f(|a|)． ∵f(a)＜f(2)，∴f(|a|)＜f(2)， ∵y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数， ∴|a|＞2，即 a＞2 或 a＜－2. ∴实数 a 的取值范围是 a＜－2 或 a＞2.
(1)证明 ∵函数定义域为R，其定义域关于原点对称． ∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令y＝－x， 则f(0)＝f(x)＋f(－x)．令x＝y＝0， 则f(0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0. ∴f(x)＋f(－x)＝0，得f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数．
函数奇偶性及单调性的综合应用课件
对于函数$f(x)$，如果对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) < f(x_2)$，则 称$f(x)$为增函数。
性质
增函数的图像是上升的，即随着$x$的 增大，$y$的值也增大。
单调减函数的定义与性质
定义
对于函数$f(x)$，如果对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) > f(x_2)$，则称 $f(x)$为减函数。
奇偶性与单调性在数学问题中的应用实例
函数图像分析
通过分析函数的奇偶性和 单调性，可以更好地理解 函数的图像和性质，进而 解决相关的数学问题。
数值计算优化
在数值计算中，利用函数 的奇偶性和单调性，可以 更高效地求解数学问题和 优化算法。
数学建模应用
在数学建模中，结合奇偶 性和单调性，可以建立更 精确的数学模型，解决实 际问题。
THANKS
感谢观看
性质
减函数的图像是下降的，即随着$x$的增大，$y$的值减小。
单调性在函数图像中的应用
1 2 3
判断函数图像的单调性
通过观察函数图像的走势，可以判断函数的单调 性。
利用单调性判断函数值大小
在单调增函数中，如果$x_1 < x_2$，则有 $f(x_1) < f(x_2)$；在单调减函数中，如果$x_1 < x_2$，则有$f(x_1) > f(x_2)$。
对于函数$f(x) = x^{2}$，其在区间 $(-infty, 0)$上单调递减，在区间$(0, +infty)$上单调递增。对于函数$f(x) = frac{1}{x}$，其在区间$(-infty, 0)$ 和$(0, +infty)$上均为单调递减。
函数单调性与奇偶性综合运用
函数单调性与奇偶性综合运用例1；设定义在[−3，3]上的偶函数f(x)在[0，3]上是单调递增，当f(a−1)＜f(a)时，求a的取值范围.解：∵f(a−1)＜f(a) ∴f(|a−1|)＜f(|a|)而|a−1|，|a|∈[0，3].例2；定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间的图象与f(x)的图象重合，设a＞b＞0，给出下列不等式，其中成立的是_________.①f(b)−f(−a)＞g(a)−g(−b)；②f(b)−f(−a)＜g(a)−g(−b)；③f(a)−f(−b)＞g(b)−g(−a)；④f(a)−f(−b)＜g(b)−g(−a).答案：①③.例3；设a为实数，函数f(x)=x2+|x−a|+1，x∈R，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值.解：当a=0时，f(x)=x2+|x|+1，此时函数为偶函数；当a≠0时，f(x)=x2+|x−a|+1，为非奇非偶函数.(1)当x≥a时，[1]且[2]上单调递增，上的最小值为f(a)=a2+1.(2)当x＜a时，[1]上单调递减，上的最小值为f(a)=a2+1[2]上的最小值为.小练习；选择题1．下面说法正确的选项( )A．函数的单调区间就是函数的定义域B．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间C．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称D．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象2．在区间上为增函数的是( )A．B．C．D．3．已知函数为偶函数，则的值是( )A. B. C. D.4．若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是( )A．B．C．D．5．如果奇函数在区间上是增函数且最大值为，那么在区间上是( )A．增函数且最小值是B．增函数且最大值是C．减函数且最大值是D．减函数且最小值是6．函数f(x)是定义在[−6，6]上的偶函数，且在[−6，0]上是减函数，则( )A. f(3)+f(4)＞0B. f(−3)−f(2)＜0C. f(−2)+f(−5)＜0D. f(4)−f(−1)＞0 7．若函数在上是单调函数，则的取值范围是( ) A．B．C．D．8．若是偶函数，其定义域为，且在上是减函数，则的大小关系是( )A．＞B．＜C．D．填空题1．设奇函数的定义域为，若当时，的图象如右图，则不等式的解是____________.2．已知定义在上的奇函数，当时，，那么时，______.3．若函数在上是奇函数，则的解析式为________. 4．奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为8，最小值为−1，则__________.5．若函数在上是减函数，则的取值范围为__________.6．若在区间上是增函数，则的取值范围是________.解答题1. 已知函数f(x)=x2−2ax+a2−1.(1)若函数f(x)在区间[0，2]上是单调的，求实数a的取值范围；(2)当x∈[−1，1]时，求函数f(x)的最小值g(a).解：(1)∵f(x)=(x−a)2−1 ∴a≤0或a≥2(2)1°当a＜−1时，如图1，g(a)=f(−1)=a2+2a2°当−1≤a≤1时，如图2，g(a)=f(a)=−13°当a＞1时，如图3，g(a)=f(1)=a2−2a，如图2. 已知函数f(x)在定义域(0，+∞)上为增函数，f(2)=1，且定义域上任意x、y都满足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x−2)≤3.解：令x=2，y=2，∴f(2×2)=f(2)+f(2)=2 ∴f(4)=2再令x=4，y=2，∴f(4×2)=f(4)+f(2)=2+1=3 ∴f(8)=3∴f(x)+f(x−2)≤3可转化为：f[x(x−2)]≤f(8).3. 判断函数上的单调性，并证明.证明：任取0＜x1＜x2，∵0＜x1＜x2，∴x1−x2＜0，x1·x2＞0(1)当时0＜x1·x2＜1，∴x1·x2−1＜0∴f(x1)−f(x2)＞0即f(x1)＞f(x2)上是减函数.(2)当x1，x2∈(1，+∞)时，上是增函数.难点：x1·x2−1的符号的确定，如何分段.4．已知函数的定义域为，且同时满足下列条件：(1)是奇函数；(2)在定义域上单调递减；(3)求的取值范围.解：，则，5．已知函数的定义域为，且对任意，都有，且当时，恒成立，证明：(1)函数是上的减函数；(2)函数是奇函数.证明：(1)设，则，而∴∴函数是上的减函数;(2)由得即，而∴，即函数是奇函数.6．设函数与的定义域是且，是偶函数，是奇函数且，求和的解析式.解：∵是偶函数，是奇函数，∴，且而，得，即，∴，.7．已知函数的定义域是，且满足，，如果对于，都有，(1)求；(2)解不等式. 解：(1)令，则(2)，则.8．已知函数的最大值不大于，又当，求的值. 解：，对称轴，当时，是的递减区间，而，即与矛盾，即不存在；当时，对称轴，而，且即，而，即∴.。
高中数学：函数单调性和奇偶性的综合练习及答案
高中数学：函数单调性和奇偶性的综合练习及答案1.下列函数中，既是偶函数又在$(0,+\infty)$上单调递增的函数是（）A。
$y=x^3$B。
$y=|x|+1$C。
$y=-x^2+1$D。
$y=2-|x|$2.已知函数$f(x)=x^2+|x|$A。
是偶函数，在$(-\infty,+\infty)$上是增函数B。
是偶函数，在$(-\infty,+\infty)$上是减函数C。
不是偶函数，在$(-\infty,+\infty)$上是增函数D。
是偶函数，且在$(0,+\infty)$上是增函数3.已知函数$f(x)=3x-(x\neq 0)$，则函数（）A。
是奇函数，且在$(0,+\infty)$上是减函数B。
是偶函数，且在$(0,+\infty)$上是减函数C。
是奇函数，且在$(0,+\infty)$上是增函数D。
是偶函数，且在$(0,+\infty)$上是增函数4.定义在$\mathbb{R}$上偶函数$f(x)$在$[1,2]$上是增函数，且具有性质$f(1+x)=f(1-x)$，则函数$f(x)$A。
在$[-1,0]$上是增函数B。
在$[-1,0]$上增函数，在$(-\infty,0]$上是减函数C。
在$[1,0]$上是减函数D。
在$[-1,0]$上是减函数，在$(-\infty,0]$上是增函数5.$f(x)$是定义在$\mathbb{R}$上的增函数，则下列结论一定正确的是（）A。
$f(x)+f(-x)$是偶函数且是增函数B。
$f(x)+f(-x)$是偶函数且是减函数C。
$f(x)-f(-x)$是奇函数且是增函数D。
$f(x)-f(-x)$是奇函数且是减函数6.已知偶函数$f(x)$在区间$[0,+\infty)$上的解析式为$f(x)=x+1$，下列大小关系正确的是（）A。
$f(1)>f(2)$B。
$f(1)>f(-2)$C。
$f(-1)>f(-2)$D。
$f(-1)<f(2)$7.已知$f(x)$是偶函数，对任意的$x_1,x_2\in(-\infty,-1]$，都有$(x_2-x_1)[f(x_2)-f(x_1)]<0$，则下列关系式中成立的是（）A。
单调性与奇偶性的综合应用 课件
C.f(2)<f(-1)<f D.f(2)<f -
3
3
2
<f(-1)
2
解析:∵f(-x)=f(x),∴f(2)=f(-2),
3
∵-2<- <-1,又 f(x)在(-∞,-1]上是增函数,
2
3
∴f(-2)<f - 2 <f(-1).故选 D.
答案:D
)
探究一应用函数的单调性与奇偶性判定函
数值的大小
【例1】已知偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,
则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是(
)
A.f(π)>f(-3)>f(-2)
B.f(π)>f(-2)>f(-3)
C.f(π)<f(-3)<f(-2)
D.f(π)<f(-2)<f(-3)
是(
)
A.f(-1)<f(-3) B.f(0)>f(1)
C.f(-2)<f(3) D.f(-3)<f(5)
解析:因为f(x)是奇函数,所以f(3)=-f(-3),f(1)=-f(-1).又f(3)<f(1),所
以-f(-3)<-f(-1),所以f(-3)>f(-1).
答案:A
做一做 3
定义在 R 上的偶函数 f(x),对任意的 x 1,x 2∈
解析:∵f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,
∴f(-1)=f(1).
又f(4)>f(1),f(4)>f(-1).
答案:D
2.已知当x>0时,f(x)=x-2 017,且f(x)在定义域上是奇函数,则当x<0
函数的单调性和奇偶性的综合应用教案
函数的单调性和奇偶性的综合应用教案第一章：函数的单调性1.1 单调性的定义引导学生理解函数单调性的概念，了解函数单调递增和单调递减的定义。
通过示例来说明函数单调性的判断方法。
1.2 单调性的性质引导学生了解单调性的几个重要性质，如单调性的传递性、复合函数的单调性等。
通过示例来演示这些性质的应用。
第二章：函数的奇偶性2.1 奇偶性的定义引导学生理解函数奇偶性的概念，了解奇函数和偶函数的定义。
通过示例来说明函数奇偶性的判断方法。
2.2 奇偶性的性质引导学生了解奇偶性的几个重要性质，如奇偶性的对称性、奇偶性与单调性的关系等。
通过示例来演示这些性质的应用。
第三章：单调性和奇偶性的综合应用3.1 单调性和奇偶性的关系引导学生了解单调性和奇偶性之间的关系，如奇函数的单调性、偶函数的单调性等。
通过示例来说明单调性和奇偶性在解决问题时的综合应用。
3.2 单调性和奇偶性的应用实例给出一些实际问题，引导学生运用单调性和奇偶性的知识来解决这些问题。
通过示例来说明单调性和奇偶性在实际问题中的应用。
第四章：函数的单调性和奇偶性的判断4.1 单调性和奇偶性的判断方法引导学生了解判断函数单调性和奇偶性的方法，如导数法、图像法等。
通过示例来说明这些方法的运用。
4.2 单调性和奇偶性的判断实例给出一些具体的函数，引导学生运用判断方法来确定这些函数的单调性和奇偶性。
通过示例来说明单调性和奇偶性的判断过程。
第五章：函数的单调性和奇偶性的综合应用练习5.1 单调性和奇偶性的综合应用练习题提供一些练习题，引导学生运用单调性和奇偶性的知识来解决问题。
通过练习来巩固学生对单调性和奇偶性的理解和应用能力。
5.2 练习题解答和解析对练习题进行解答和解析，帮助学生理解和巩固解题思路和方法。
通过解答和解析来提高学生对单调性和奇偶性的应用能力。
第六章：函数的单调性和奇偶性在图像分析中的应用6.1 图像的单调区间引导学生如何通过函数图像来判断函数的单调区间。
函数的单调性和奇偶性的综合应用教案
函数的单调性和奇偶性的综合应用教案一、教学目标1. 让学生理解函数的单调性和奇偶性的概念。
2. 让学生掌握判断函数单调性和奇偶性的方法。
3. 培养学生运用函数的单调性和奇偶性解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 函数的单调性：单调递增函数、单调递减函数。
2. 函数的奇偶性：奇函数、偶函数。
3. 函数的单调性和奇偶性的判断方法。
4. 函数的单调性和奇偶性在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：函数的单调性和奇偶性的概念及判断方法。
2. 教学难点：运用函数的单调性和奇偶性解决实际问题。
四、教学方法1. 采用讲授法讲解函数的单调性和奇偶性概念及判断方法。
2. 利用案例分析法引导学生运用函数的单调性和奇偶性解决实际问题。
3. 开展小组讨论法，让学生互相交流心得，提高解题能力。
五、教学过程1. 引入新课：通过生活中的实例，如商品打折、气温变化等，引导学生思考函数的单调性和奇偶性。
2. 讲解概念：讲解函数的单调性和奇偶性的定义，并通过图象进行演示。
3. 判断方法：教授判断函数单调性和奇偶性的方法，并进行练习。
4. 应用实例：分析实际问题，如物体的运动、经济的增长等，运用函数的单调性和奇偶性进行解答。
5. 课堂小结：总结本节课所学内容，强调函数的单调性和奇偶性在实际问题中的应用。
6. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对函数单调性和奇偶性概念的理解程度。
2. 练习题解答：检查学生判断函数单调性和奇偶性的方法掌握情况。
3. 课后作业：分析学生完成作业的情况，了解学生对课堂所学知识的掌握程度。
七、教学反思1. 针对课堂教学过程，反思教学方法是否适合学生的学习需求。
2. 针对学生的反馈，调整教学策略，提高教学效果。
3. 探索更多实际问题，丰富教学案例，激发学生的学习兴趣。
八、拓展与延伸1. 探讨函数的单调性和奇偶性在高等数学中的应用。
2. 引导学生关注函数的单调性和奇偶性在其他领域的应用，如物理、化学等。
2.1.3.2 函数的奇偶性与单调性综合运用
函数单调性的定义、图象特征；
函数奇偶性的定义、图象特征； 奇偶性与单调性的联系： 奇函数在对称区间上的单调性相同； 偶函数在对称区间上的单调性相反；
增+增=增 减+减=减 -减=增
-增=减
例1奇函数在对称区间上的单调性相同； 奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，最大 偶函数在对称区间上的单调性相反； 值为17，则f(x)在[-7,-3]上的最小值为多少？
例5 函数f(x)、g(x)分别是区间D上的奇函数
、偶函数，求证：K(x)=f(x)g(x)是区间D上
的奇函数.
证明：对任意x∈D，-x∈D K(-x)=f(-x)g(-x) ∵f(x)、g(x)分别是区间D上的奇函数、偶函 数 ∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x) ∴K(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-K(x) ∴K(x)=f(x)g(x)是区间D上的奇函数.
f(x+y)=f(x)+f(y).当x>0时,f(x)<0,f(1)=-3.求：
(3)f(x)在R上是减函数;
(4)求f(x)在[-3,6]上的最大值与最小值.
x
课堂小结
判断函数奇偶性的一般方法及证明方法 . 条件的使用顺序、组合推理；
布置作,2]上的偶函数，且
在[-2,0]上是减函数,f(1-m)-f(-m)<0,求m范围. 解：根据f(x)的奇偶性和单调性，画出图象： f(1-m)-f(-m)<0 绝对值大小表示 f(1-m)<f(-m)=f(m) y 距离大小 f(1-m)<f(m) 1 f(x)在[-2,0]上是减函数 |1-m|<|m| -2≤1-m≤2 -2 1-m o -m 2 x -2≤m≤2 解得：0.5≤m≤2
函数的单调性与奇偶性的综合应用
【变式训练】设定义在[-2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调 递减，若f(m)+f(m-1)>0,求实数m的取值范围。
【例4】若f(x)是定义在R上的偶函数，在（- ∞ ，0]上是减函 数，且f(2)=0。 ①求使得f(x)<0的x的取值范围； ②求使得xf(x)<0的x的取值范围；
【变式训练】函数y=f(x) (x≠0)是奇函数，且当x>0时，是增函数， 若f(1)=0,求不等式f(x-2)<0的解集；
（- ∞ ，-1）和（1，+ ∞ ）是关于原点对称的区间 （-1，0） 和 （ 1，0） 是关于原点对称的区间
题型一、比较大小
【例1】（1）已知偶函数f(x)在区间[0，4]上是增函数， 试比较f(-1),f(-2),f(-3)的大小关系_____________ 试比较f(-1),f(3),f(4)的大小关系______________
题型四、抽象函数中的单调性与奇偶性
【例5】设函数f(x)对于任意的x,y ∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且 x>0时，f(x)<0,f(1)=-2.
(1)证明f(x)为奇函数；
（2）证明f(x)在R上位减函数； （3）若f(2x+5)+f(6-7x)>4,求x的取值范围；
总结：
1. 函数单调性与奇偶性之间的关系
函数的单调性和奇偶性的综合应用
学习目标：
1.了解函数单调性与奇偶性之间的关系
2.利用函数单调性与奇偶性解决综合性的数学 问题
共同学习，合作探究
单调性与奇偶性的关系
作函数 f ( x) x 并观察两个函数的单调性及奇偶性
2
函数单调性与奇偶性的综合应用--郝
函数单调性与奇偶性的综合应用一、基础知识：1. 若函数()f x 满足1212()[()()]0x x f x f x -->，则函数在该区间单调递增；若满足1212()[()()]0x x f x f x --<，则函数在该区间单调递减。
2.（1）对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-(或()()1=-x f x f 或()()0=--x f x f ）⇔函数()f x 是偶函数；（2）图象关于y 轴对称的函数是偶函数.3.（1）对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-(或()()1-=-x f x f 或()()0=+-x f x f ）⇔函数()f x 是奇函数；（2）图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；二、经典例题：类型一：分段函数利用函数奇偶性求函数关系式例1.若()y f x =在[)0,x ∈+∞上的表达式为(1)y x x =-，且()f x 为奇函数，则(],0x ∈-∞时()f x 等于（ ）A.(1)x x --B.(1)x x +C.(1)x x -+D.(1)x x - 变式1：若函数()f x 同时具备以下两个性质(1)()f x 是偶函数；(2)对任意实数x 都有(x)()44f f x ππ+=-，则()f x 解析式可以是() A.()cos f x x = B.()cos(2)2f x x π=+ C.()sin(4)2f x x π=+ D.()cos6f x x = 答案：D类型二：比较大小解题方法：利用单调性奇偶性作图，放到同一单调区间比较大小例1.已知定义在R 上的函数()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m ===，则,,a b c 的大小关系为( )A.a b c <<B.a c b <<C.c a b <<D.c b a <<变式1：定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的[)1,2120,()x x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<- 则（ ）A.(3)(2)(1)f f f <-<B.(1)(2)(3)f f f <-<C.(2)(1)(3)f f f -<<D.(3)(1)(2)f f f <<- 类型三：求参数或未知数取值范围解题方法：数形结合例 1. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增，若实数a 满足1(2)(a f f ->，则a 的取值范围是______. 答案：13(,)22变式1：已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞单调增加，则满足1(21)()3f x f -<的x 取值范围是（ ）A.12(,)33 B.12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭变式2：已知()f x 是奇函数，在区间(2,2)-上单调递增，且有(2)(12)0f a f a ++->,求实数a 的取值范围。
单调性与奇偶性综合应用一
WAT C H I N G
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单调性与奇偶性在数列中的应用
在研究数列的单调 性时，可以利用偶 数列的性质来判断 数列的单调性。例 如，如果一个数列 是偶数列，那么它 的单调性可以通过 观察数列中相邻项 的商值来判断。
在研究数列的单调性时，可以利用奇数列的性质 来判断数列的单调性。例如，如果一个数列是奇 数列，那么它的单调性可以通过观察数列中相邻 项的差值来判断。
单调性与奇偶性的联系
在一些数学问题中，单调性和奇偶 性的综合应用可以帮助我们更好地 理解和解决这些问题。例如，在求 解函数的极值问题时，可以利用单 调性来确定函数的增减性，再结合 奇偶性来判断函数的极值点位置。
单调性描述的是函数值随自变量变 化的趋势，而奇偶性描述的是函数 值关于原点对称的性质。两者之间 存在一定的联系，例如，单调递增 的奇函数在区间内与单调递减的偶 函数在区间内具有相同的图像。
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奇偶性概念
奇偶性的定义
对于函数$f(x)$， 如果对于定义域内 的任意$x$，都有 $f(-x)=f(x)$，则称 $f(x)$为偶函数。
对于函数$f(x)$，如果对于定义域内的任意$x$， 都有$f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
奇函数
偶函数
奇偶性的分类
奇函数
单调性与奇偶性的综合应用
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单调性与奇偶性在函数中的应用
奇函数与单调性
奇函数在对称轴两侧的函数值具有对称性，这使得奇函数在单调递增或递减时具有 特定的性质。例如，奇函数在单调递增时，其图像在对称轴两侧均匀上升。
偶函数与单调性
偶函数在对称轴两侧的函数值具有对称性，这使得偶函数在单调递增或递减时具有 特定的性质。例如，偶函数在单调递增时，其图像在对称轴两侧均匀下降。
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函数单调性和奇偶性综合
➢ 教学重点、难点：函数奇偶性、单调性的综合应用．
➢ 教学过程：
一、复习提问
1．奇偶函数的定义及奇偶函数的图象特征．
2． 练习：已知函数()f x 是定义在 R 上的奇函数，给出下列命题：
（1）()0f x =；
（2）若 ()f x 在 [0, )∞+上有最小值 -1，则()f x 在)(0,∞-上有最大值1；
（3）若 ()f x 在 [1, )∞+上为增函数，则()f x 在](1,-∞-上为减函数．
其中正确的序号是： ① ②
二、新课讲解
例1．已知：函数()y f x =在R 上是奇函数，而且在(0,)+∞上是增函数，证明：()y f x =在(,0)-∞上也是增函数．
证明：设120x x <<，则120x x ->->∵()f x 在(0,)+∞上是增函数．
∴12()()f x f x ->-,又()f x 在R 上是奇函数．
∴12()()f x f x ->-,即12()()f x f x <
所以，()y f x =在(,0)-∞上也是增函数．
说明：函数的奇偶性和单调性的综合：奇函数在对称于原点的两个区间上的单调性一致；偶函数则在在对称于原点的两个区间上的单调性相反！
例2．()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，2
()231f x x x =-++，求()f x 的解析式． 解：设0x <，由于()f x 是奇函数，故()()f x f x =--，
又0x ->，由已知有22()2()3()1231f x x x x x -=--+-+=--+ 从而解析式为222310()0
02310x x x f x x x x x ⎧-++>⎪==⎨⎪+-<⎩
． 例3．（1）定义在(1,1)-上的奇函数()f x 为减函数，且2
(1)(1)0f a f a -+-<，求实数a 的取值范围；
(2) 定义在[2,2]-上的偶函数()g x ，当0x ≥时，()g x 为减函数，若(1)()g m g m -<成立，求m 的取值范围．
解：(1)∵2(1)(1)0f a f a -+-<∴2(1)(1)f a f a -<--
∵奇函数()f x ∴2(1)(1)f a f a -<- 又∵()f x 在(1,1)-上为减函数， ∴2211111111a a a a ⎧->-⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩
解得01a <<．
(2)因为函数()g x 在[2,2]-上是偶函数，
则(1)()g m g m -<有，可得(|1|)(||)g m g m -<
又当0x ≥时，()g x 为减函数，得到|1|2||2|1|||m m m m -≤⎧⎪≤⎨⎪->⎩解之得112m -≤<． 例4：（1）已知()f x 的定义域为{|0}x x ≠，且12()()f x f x x +=，试判断()f x 的奇偶性；
（2）函数()f x 定义域为R ，且对于一切实数,x y 都有()()()f x y f x f y +=+，试判断()f x 的奇偶性．
解：（1）∵()f x 的定义域为{|0}x x ≠，且12()()f x f x x += ①
令①式中x 为1x 得：112()()f f x x x
+= ②
解①②得221()3x f x x
-=， ∵定义域为{|0}x x ≠关于原点对称 又∵222()121()3()3x x f x x x
----==--()f x =- ∴221()3x f x x
-=是奇函数． （2）∵定义域关于原点对称，
又∵令0x y ==的(0)(0)(0)f f f =+则(0)0f =，
再令y x =-得(0)()()f f x f x =+-，
∴()()f x f x -=-
所以，原函数为奇函数．
三、课堂练习
已知偶函数()f x 定义域R ，且在[0,)+∞上是减函数，比较3()4f -和2(1)f a a -+的大小。
（答案：当12a =时，相等；当12a ≠时，3()4f ->2(1)f a a -+）．
四、本课小结
函数奇偶性、单调性综合应用的问题．
五、作业补充
1．偶函数()f x 在[]0,π上单调递增，则(3),()2f f f π--
从小到大排列的顺序是 ．
2．已知()f x 是R 上的偶函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-，求()f x 的解析式．。