七桥问题与一笔画

6、下图是某展览厅的平面图，它由五个展室组 成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有 一个进口和一个出口，问游人能否一次不重复地 穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？
BCDຫໍສະໝຸດ EFAE ●
●G F ● D●
C●
●
●A
B
4、下图是一个公园的平面图.要使游客走遍每 条路而不重复，问出入口应设在哪里？
GF
I
H
J
E CD
K
A
B
C
5、 甲乙两个邮递员去送信，两人同时出发以 同样的速度走遍所有的街道，甲从A点出发， 乙从B点出发，最后都回到邮局（C点）。如果 要选择最短的线路，谁先回到邮局？
观察下面的图形，哪些图形可以一笔画完，你能画出来吗？
连通图：任意两点间都有道路的就是连通图。
非连通图：非连通图看起来直接是断开的。
非连通图一定不能一笔画成，连通图有可能 一笔画成。
哥尼斯堡七桥问题
现今的加里宁格勒，旧称哥尼斯堡，是一座历史名城。 在十八、十九世纪，那里是东普鲁士的首府，曾经诞生和培育 过许多伟大的人物。著名的哲学家，古典唯心主义的创始人康 德，终生没有离开过哥尼斯堡一步!二十世纪最伟大的数学家 之一，德国的希尔伯特也出生于此地。
问题分析
问题的答案如何呢？让我们先来了解三个新概念。
①有奇数条边相连的点叫奇点。如：
●
●
●
②有偶数条边相连的点叫偶点。如：
●
●
●
③一笔画指：1、下笔后笔尖不能离开纸。 2、每条线都只能画一次而不能重复。
总结规律
①可以一笔画成的图形，与偶点个数无关， 与奇点个数有关。也就是说，凡是图形中没 有奇点的（奇点个数为0），可选任一个点做 起点，且一笔画后可以回到出发点。
哥城景致迷人，碧波荡漾的普累格河，横贯
其境。在河的中心有一座美丽的小岛。普河的两 条支流，环绕其旁汇成大河，把全城分为下图所 示的四个区域：岛区(A)，东区(B)，南区(C)和北 区(D)。
著名的哥尼斯堡大学，傍倚于两条支流 的河旁，使这一秀色怡人的区域，又增添了 几分庄重的韵味!有七座桥横跨普累格河及 其支流，其中五座把河岸和河心岛连接起来 。这一别致的桥群，古往今来，吸引了众多 的游人来此散步。
1、下图是国际奥委会的会标，你能一笔把它画出 来吗？
2、 一辆洒水车要给某城市的街道洒水，街 道地图如下：你能否设计一条洒水车洒水的 路线，使洒水车不重复地走过所有的街道， 再回到出发点？
小广场
超市 菜市场
文具店 电器城
服装城
3、 下图是一个公园的平面图，能不能使游 人走遍每一条路不重复？入口和出口又应设 在哪儿？
②若奇点个数为2，可选其中一个奇点做起点， 而终点一定是另一个奇点，即一笔画后不可以 回到出发点。
③凡是图形中有2个以上奇点的，不能完成一 笔画。
用你发现的规律，说一说七桥问题的答案？
由于七桥问题中的四个点都是奇点，因此可 以判断它是无法一笔画出来的 ，也就是说 根本不存在能不重复走遍七座桥的路线！
不难发现：右图中的点A、B、C、D，相当于 七桥问题中的四块区域；而图中的弧线，则相当于 连接各区域的桥。
想不到轰动一时的哥尼斯堡七桥 问题，竟然与孩子们的游戏，想用一 笔画画出“串”字和“田”字这类问 题一样。
聪明的欧拉，正是在此基础上， 经过悉心研究，确立了著名的“一笔 画原理”，从而成功地解决了哥尼斯 堡七桥问题。
的事！
问题的魔力，
竟然吸引了天才的 欧拉(Euler。1707--1783)。这位年轻 的瑞士数学家，以 其独具的慧眼，看 出了这个似乎是趣 味几何问题的潜在 意义。
欧拉运用他那娴熟的变换技巧，如同下图，把
哥尼斯堡七桥问题变为读者所熟悉的，简单的几何 图形的“一笔画”问题：即能否笔不离纸，一笔画 但又不重复地画完以下的图形？
早在十八世纪以前，当地的居民便热衷
于以下有趣的问题：能不能设计一次散步， 使得七座桥中的每一座都走过一次，而且只 走过一次?
这便是著名的哥尼斯堡七桥问题。
如果有兴趣，完全可以照样子画一张地图
，亲自尝试尝试。不过，要告诉大家的是,想把 所有的可能线路都试过一遍是极为困难的！因 为各种可能的线路有 P77=5040种。要想一一试 过，真是谈何容易。正因为如此，七桥问题的 解答便众说纷纭：有人在屡遭失败之后，倾向 于否定满足条件的解答的存在；另一些人则认 为，巧妙的答案是存在的，只是人们尚未发现 而已，这在人类智慧所未及的领域，是很常见