高中物理中矢量标积的一些有用的结论

高中物理中矢量标积的一些有用的结论

湖北省恩施高中

陈恩谱

一、矢量的标积

两个矢量a 和b

的标积c 被定义为cos c a b ab θ=⋅= ，其中(,)a b θ= 。

【例】高中物理中常见的矢量标积有如下一些情况

功是力与物体的位移的标积：cos W F l Fl θ=⋅= ，其中(,)F l θ=

；

功率是力和物体运动速度的标积：cos W F l l

P F F v Fv t t t

θ⋅===⋅=⋅= ，其中(,)F v θ= ；

电势差是电场强度和两点间有向线段的标积：cos W F l F U l E l El q q q

θ⋅===⋅=⋅=

，其中

(,)E l θ= ；

磁通量是磁感应强度和有向面元的标积：ΔΔcos ΦB S B S θ=⋅=⋅ ，其中ΔΔS S n =⋅ （n

为标识面

元方向的单位矢量，垂直与面），(,)B n θ=

；

流量是流体流速和流体截面元的标积：ΔΔcos Q S v S v θ=⋅=⋅ ，其中ΔΔS S n =⋅ （n

为标识面元

方向的单位矢量，垂直与面），(,)v n θ=

等。

二、一些有用的结论

1、0θ=，c a b ab =⋅= ；180θ=

，c a b ab =⋅=- .

【例】力和位移方向相同时W Fl =，方向相反时W Fl =-；电场强度与两点间连线方向相同时

U El =；磁感应强度与面元垂直时ΦBS =（此时，(,)0B n θ==

）。

2、90θ=

时，c =0.

【例】力与位移垂直时，力不做功；力与速度垂直时，力的功率为零；两点间连线与电场强度垂直时，两点间电势差为零，即等势——所以等势面与电场线垂直；磁感线与面平行时，磁通量为零。

3、a b c a b a b =⋅=⋅.

（1）证明：cos a b b θ=，则cos a c ab a b θ==⋅；同理易证b c a b

=⋅（2）应用一：分解法求标积

【例1】功、功率的计算

y W G l Gl Gh =⋅==

y

P G v Gv =⋅=

x W G l G l

=⋅= x P G v G v

=⋅=

φ1φ2φ3

E

b a

b a

b

a

a b

B

B n

n

h

G

l

v

v y G

Gx

Gx l

G

G v

【例2】电势差的计算

AB

E U E l El Ed

=⋅==

AB

x U E l E l

=⋅=

【例3】磁通量的计算

B ΦB S B S n B S ⊥

=⋅=⋅⋅=⋅

n ΦB S B S B S

⊥=⋅=⋅=⋅

（3）应用二：标积-矢量图像的斜率【例1】能量-位移（E -x ）图象

将力分解到位移x 和垂直位移方向上来，就得到x x F x

E W k

F x x x

⋅∆∆=

===∆∆∆，即E -x 图象的斜率是该能量对应那个力在x 方向的分量。

高中物理中常见的几种E -x 图象的斜率

能量动能

势能

机械能

重力势能

弹性势能

电势能

功能关系k

F x E ⋅∆=∆合p

G x E ⋅∆=∆p

F x E ⋅∆=∆弹p

qE x E ⋅∆=∆G F x E ⋅∆=∆外机

E -x 图象斜率意义

合力F 合，或者合力在x 方向分量x

F 合重力

G ，或者重力在x 方向分量G x

弹力F 弹，或者弹力在x 方向分量F 弹x

电场力qE ，或者电场力在x 方向分量qE x

除重力之外其他力G F 外，或者除重力之外其他力在x 方向分量G x

F 外说明：当力就在x 方向时，E -x 图象的斜率就是对应的力；当力不在x 方向时，则需将力正交分解到

垂直和平行x 方向，E -x 图象的斜率就是对应的力在x 方向的分量。

（2015武汉市二月调考17）如图1所示，固定的粗糙斜面长为10m ，一小滑块自斜面顶端由静止开始沿斜面下滑的过程中，小滑块的动能E k 随位移x 的变化规律如图2所示，取斜面底端为重力势能的参考平面，小滑块的重力势能E p 随位移x 的变化规律如图3所示，重力加速度g =10m/s 2。根据上述信息可以求出

A 、斜面的倾角

B 、小滑块与斜面之间的动摩擦因数

C 、小滑块下滑的加速度的大小

D 、小滑块受到的滑动摩擦力的大小

【解析】本题中，图2是动能-位移图象（k E x -图象），其斜率是物体所受合外力

l A

d E

B

l A E B

E x

B n

S

S ⊥

n B B

n

S

B ⊥

=sin cos F mg mg θμθ-合，由图可知：=sin cos F mg mg θμθ-合=2.5N ；图3是重力势能-位移图象

（p E x -图象），其斜率的绝对值是物体重力沿斜面的分量=sin x G mg θ，由图可知：=sin x G mg θ=10N.则可求出小滑块受到的滑动摩擦力的大小f =cos F mg μθ=7.5N ，D 答案正确。

【例2】电势-位置坐标（φ-x ）图象

将电场强度分解到x 轴方向和垂直x 轴方向，则有ΔΔx x E l

U k E x l l

ϕ====，即φ-x 图象的斜率表示的是电场强度沿x 轴方向的分量x E 。

（2009•江苏）空间某一静电场的电势φ在x 轴上分布如图所示，x 轴上两点B 、C 点电场

强度在x 方向上的分量分别是E Bx 、E Cx ，下列说法中正确的有（）

A ．E Bx 的大小大于E Cx 的大小

B ．E Bx 的方向沿x 轴正方向

C ．电荷在O 点受到的电场力在x 方向上的分量最大

D ．负电荷沿x 轴从B 移到C 的过程中，电场力先做正功，后做负功

【解析】由图可知，B 点图象的斜率大于C 点图象的斜率，由ΔΔx k E x

ϕ

=

=，可知E Bx ＞E Cx ，A 项正确；同理可知O 点场强最小，电荷在该点受到的电场力最小，C 项错误；沿电场方向电势降低，在O 点左侧，E Bx 的方向沿x 轴负方向，在O 点右侧，E Cx 的方向沿x 轴正方向，所以B 项错误，D 项正确．

4、标积的直角坐标表示及其应用（1）标积的直角坐标表示

两个矢量11a x i y j =+

和22b x i y j =+ 的标积为

112212121212()()c a b x i y j x i y j x x i i x y i j y x j i y y j j =⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅

其中1i i ⋅= ，0i j ⋅= ，0j i ⋅= ，1j j ⋅=

，则有

1212

c a b x x y y =⋅=+

（2）应用

【例1】一般运动过程的动能定理的严格证明

矢量a

与自身的标积为2c a a a =⋅= ；若在相互垂直的两个方向上，有2

12kx x x =，2

12ky y y =，则

对矢量c xi yj =+

、11a x i y j =+ 、22b x i y j =+ ，就有

222

12121122()()kc kc c kx ky x x y y x i y j x i y j a b

=⋅=+=+=+⋅+=⋅ 我们知道，将力F 分解到两个相互垂直的方向为F x 、F y ，物体的位移也分解到两个相互垂直的方向为x 、y ，则由牛顿第二定律，有

x x F a m =

，22

212x x x v v a x -=，得22211122x x x F x mv mv =-y y F a m

=

，22

212y y y v v a y -=，得22211122y y y F y mv mv =-则有22

22221111()()22

x y x y

x y F x F y m v v m v v +=+-+而x y W F l F x F y =⋅=+ ，222222x y v v v =+，222

111x y v v v =+，则有

22

21

1122W F l mv mv =⋅=- 这就是一般运动过程中的动能定理。从前述分析来看，动能定理不仅适用于直线运动，也适用于曲线

运动。

O E

x E x

F x F y

x y l

F x

y v 2x

v 2y

x

v 2