高中物理中矢量标积的一些有用的结论
矢量的点积的物理意义
矢量的点积的物理意义
点积，也常称为“内积”，是实向量空间V中两个矢量A，B，来描述两个矢
量之间的相似程度，是矢量的计算数学中最基本的定义。
简而言之，两个矢量的点积是其线性组合的结果，可用来表示他们的夹角大小的结果。
具体来说，点积由向量A和B的分量A_i、B_i乘积，也就是v_i和B_i累加起来，作为最终结果，表
示为A·B=∑A_i·B_i=A_1·B_1+A_2·B_2+ …… +A_n·B_n。
矢量的点积具有其重要的物理意义。
从几何上来说，在二维不变的情况下，点
积实质上表达的是矢量A和B的夹角的余弦值。
由此可见，当两个矢量都发生旋转的时候，它们的夹角也将一起发生改变，而它们的夹角余弦值也会发生变化，从而也就反应的点积的变化。
从物理上来看，点积有着实际的直观意义。
点积可以代表两个矩量之间的力矩，比如两个电矢量AB可以表示为A·B，它可以表示矢量A在方向向量B上受到的力
矩大小，比如在某些场合，A·B可以表示矢量A在方向向量B上受到的力矩大小。
综上所述，矢量的点积由于其重要的几何和物理意义，在许多领域中得到了广
泛的应用，哪怕不深入的理解它，也能洞察到它的重要性。
高中物理原创题库1
1、空间存在着平行纸面的匀强电场，但电场的具体方向未知，现用仪器在纸面内沿互成60°角的OA 、OB 两个方向探测该静电场中各点电势，得到各点电势φ与到O 点距离的函数关系如图所示，则下列关于该电场的电场强度E 的说法中，正确的是A. V/m 2=E ，沿OA 方向B. V/m 200=E ，沿BO 方向C. V /m 3200=E ，沿AOB ∠角平分线向左D. V /m 33400=E ，沿AOB ∠角平分线向左 【答案】B【解析】由φ-x 和φ-y 图象可知，OA 、OB 两个方向上距离O 点相同距离处电势相等，比如，取距离均为20cm 处，电势均为40V ，则这两点位于同一等势面上，用直线将两点连接，然后作这条等势线的过O 点的垂线，由电场线和等势面的关系可知，这就是电场线，且方向向左，且电场强度大小等于V /m 33400cos3020cm V 40=⋅==οd U E ，故本题选B 。
【命题意图】考察电场线与等势面的关系、电场强度和电势差的关系，以及识图、信息提取能力。
【易错提醒】φ-x 和φ-y 图象的斜率xE x ∆∆=ϕ、y E y ∆∆=ϕ都只是电场强度在OA 、OB 两个方向上的投影，因此，不可以将这两者合成的方式求解电场强度，当然更不能把这两个投影直接当做电场强度本身。
认识到这点，本题就还可以用投影的方式直接求解电场强度。
【参考文献】陈恩谱老师《物理原来可以这样学》“高中物理中矢量标积的一些有用的结论”一文。
2、如图所示，两足够长的光滑平行金属导轨MN 、PQ 水平放置，导轨间距为L ，垂直导轨的虚线OO' 两侧导轨所在空间区域存在着磁感应强度均为B 的相反方向的竖直匀强磁场，两长度均为L 、电阻均为R 、质量均为m 的金属导体棒a 、b 垂直导轨放在OO' 左右两侧,并与导轨保持良好接触，不计其他电阻。
现给导体棒a 一个瞬时冲量，使a 获得一个水平向右的初速度v 0，则下列关于a 、b 两棒此后的整个运动过程的说法中，正确的是A 、a 、b 两棒组成的系统动量守恒B 、a 、b 两棒最终都将以大小为2v 的速度做匀速直线运动C 、整个过程中，a 棒上产生的焦耳热为820mvD 、整个过程中，流过a 棒的电荷量为LBmv 20【答案】BD【解析】由右手定则和左手定则可知，两导体棒所受安培力均向左，因此系统动量不守恒，A 错；回路总电动势为b a BLv BLv E -=，随着v a 的减小、v b 的增大，回路总电动势减小，回路电流减小，安培力ABO x y φ/V 25 O x /cm 50 φ/V 20 O y /cm 40MNQP减小，两棒加速度最终减为零，两棒均匀速运动，设整个过程回路中的平均电流为I ，则由动量定理，有a 棒：0mv mv LBt I a -=-b 棒：0-=b mv LBt I两式联立，解得20v v a =向右、20v v b =向左，流过a 棒的电荷量为BLmv t I q 20==。
高中物理矢量和标量的总结
高中物理矢量和标量的总结
矢量
1. 定义：矢量是在方向和大小上都有特定确定的量。
是向量的抽象，它描述了物体在某一方向上的变化或者运动的特性。
2. 特点：（1）方向性：方向就是指位置、运动和力的变化情况。
一般说，矢量包含的都是某一方向的变化或运动，如速度、加速度、原力等。
（2）大小有限性：矢量它有一个明确的量值，即它的大小。
它的数值一定是某一方向上物体变化或运动的实际量值，如速度、加速度等。
（3）单位性：矢量都有特定的单位系统来表示，这里涉及到的常用单位有米、千米、公里、米每秒等。
3. 例子：矢量可以作为表示气体运动特性，或表示位置、速度等等。
还有某一物体在特定方向上施加力的大小也可以用矢量表示。
标量
1. 定义：标量是指在特定方向上的一种特定的物理量，不论它有多少方向上的变化，它的数值并不会改变。
2. 特点：（1）无方向性：它不仅表示某一方向上的变化，而且表示所有方向上的变化情况。
（2）大小无限性：标量的数值不会随着位置、运动和力的变化而变化，因此它的范围是无限的。
（3）单位无关性：标量可以用任何单位表示，它所表示的数值不随着单位变化而改变。
3. 例子：标量可以作为表示物体和空间的距离，可以用来表示物体的体积、质量等等。
它也可以表示时间的长短，如秒、分、小时等。
矢量矢积(叉乘)在高中物理中的应用(1)(1)
c a(a, b)r⊥矢量矢积（叉乘）在高中物理中的应用★疑难辨析一、矢量矢积（叉乘）的定义两个矢量a 和b 的矢量积（简称矢积）为=⨯b ，有c 的大小：c=ab sinθ=a ⋅b⊥=a⊥⋅b，其中θ=，a 表示a 在垂直b 方向上的投影大小，b⊥表示b 在垂直a 方向上的投影大小；c 的方向：右手螺旋定则——伸出右手，大拇指与四指垂直，四指指向a 的方向，然后弯向b 的方向，则大拇指所指的方向就是c 的方向，如图1 所示，c 的方向垂直于a 和b 所确定的平面。
由上述定义可以看出来：① b ⨯a =-a ⨯b ；②a∥b ：θ= (a, b)= 0 ，c = 0 ；a ⊥b ：θ= (a, b )= 90二、矢量矢积在高中物理中的应用1、力学——与转动相关问题（1）圆周运动运动学，c =ab 。
大学物理里，我们将学习到，角速度是一个矢量，其方向由右手螺旋定则确定——伸出右手，大拇指与四指垂直，四指弯向物体转动方向，则大拇指所指方向为角速度方向，如图2 所示。
①线速度与角速度：v =ω⨯r②向心加速度：a =ω⨯v（2）物体转动动力学①力矩：M =⨯F②角动量：L =⨯r p图 22、电磁学——与磁场相关问题（1）电流元I ⋅d l 的磁场中某点的磁感应强度：=μI⋅(d l⨯rˆ)，其中rˆ为从电流元指向该点的单位矢量，数值为1，无单位。
d B4πr 2由于磁感线切向方向即磁感应强度方向，因此，通电导线周围的磁感线方向直接由右手螺旋定则——安培定则判定，如图3 所示；同时，由上式可知，离通电导线越远，磁感应强度越小，磁感线越稀疏。
（2）磁场力①洛伦兹力：f =qv ⨯B大小为：f =qvB sinθ=qv ⋅B⊥=qv⊥⋅B方向为：伸出右手，大拇指与四指垂直，四指指向正电荷速度v 的方向（或负电荷速度v 的反方向），然后弯向B 图3cba图1vBvf的方向，则大拇指所指的方向就是 f 的方向；当然，我们也可以用左手定则来简单记忆——如图 4 所示伸出左手，大拇指与四指垂直，磁感线穿入手心，四指指向正电荷速度v 的方向（或负电荷速度 v 的反方向），则大拇指所指的方向就是 f 的方向。
矢量积分的定理及其在向量分析中的应用
矢量积分的定理及其在向量分析中的应用矢量积分是数学上的一种基础概念，它在各个领域都有广泛的应用。
在向量分析中，矢量积分的定理可以帮助我们求解复杂场的积分值，特别是电场和磁场的积分值。
因此，了解矢量积分的定理及其在向量分析中的应用，对于掌握相关领域的基本概念和解决实际问题非常重要。
一、矢量积分的基本概念矢量积分是对一个向量场在一条曲线上的积分。
一条曲线可以看做是由无数个小段组成的，因此在曲线上积分需要用到微积分中的极限概念，即对无穷小段的积分求和。
数学上，对于一个向量场F(x,y,z)和一个曲线C，其矢量积分形式为：∫ C F(r) · dr其中，F(r)表示一个位置向量为r的向量场。
由于积分的范围是曲线上的所有点，因此变量r可以看做是关于曲线参数t的函数：r(t)。
而无穷小段的长度则是通过计算r(t)的导数来得到的：dr = r'(t)dt。
因此，矢量积分可以被写成以下形式：∫ C F(r(t)) · r'(t)dt二、格林定理和斯托克斯定理在向量分析中，格林定理和斯托克斯定理是两个重要的矢量积分定理。
它们可以帮助我们求解一些复杂的向量场积分，特别是在求解电场和磁场的积分值时非常有用。
1. 格林定理格林定理是一个关于平面曲线的矢量积分定理。
简单来说，它可以将一个曲面积分转化为一个曲线积分，从而方便我们求解。
数学上，格林定理的表达式为：∫ C (Pdx + Qdy) = ∬ R (∂Q/∂x - ∂P/∂y)dxdy其中，P和Q分别是关于x和y的连续偏导数的函数，而R是一个位于平面曲线内部的有限区域。
该定理实际上是在描述一个平面曲线围成的区域内部，向量场在x和y方向上的变化率之差与曲线上对向走过的积分之间的关系。
2. 斯托克斯定理斯托克斯定理是一个关于曲面的矢量积分定理。
该定理可以将一个曲面积分转化为曲线积分，从而更容易求解。
数学上，斯托克斯定理的表达式为：∫ S curl(F) · dS = ∫ C F · dr其中，F是一个光滑的向量场，S是一个曲面，C是曲面边界上的一条曲线，而curl(F)表示向量场F的旋度。
矢量的矢积
矢量的矢积矢量的矢积是一种向量运算，涉及到三个矢量或以上的矢量运算。
这种运算在物理学和工程学中有着广泛的应用，特别是在处理具有多个变量的物理问题时。
下面将对矢量的矢积进行详细的介绍和讨论。
一、矢量的矢积定义矢量的矢积定义为：给定三个矢量A、B和C，它们的矢积可以通过以下方式计算：(A×B)·C。
这意味着矢积的结果是一个矢量，其方向垂直于原来三个矢量的平面，并且其大小等于原来三个矢量的模长和它们之间角度的余弦值的乘积。
二、矢量的矢积的性质1.反交换律：矢量的矢积不满足反交换律，即(A×B)·C≠A·(B×C)。
这意味着在计算矢量的矢积时，顺序很重要。
2.分配律：矢量的矢积满足分配律，即A×(B+C)=A×B+A×C。
这意味着在计算多个矢量的矢积时，可以将它们分成多个两两相乘的组合。
3.右手定则：在计算矢量的矢积时，通常使用右手定则来确定结果的方向。
将右手拇指指向第一个矢量的方向，食指指向第二个矢量的方向，那么手掌的方向就是矢积的方向。
三、矢量的矢积的应用1.物理学：在物理学中，矢量的矢积被广泛应用于各种场合。
例如，在电磁学中，矢量的矢积被用来描述电磁场中的向量场；在力学中，矢量的矢积被用来描述力矩等。
2.工程学：在工程学中，矢量的矢积也被广泛应用于各种场合。
例如，在航空航天领域中，矢量的矢积被用来描述飞行器的姿态；在机械工程中，矢量的矢积被用来描述机器人的运动等。
四、总结矢量的矢积是一种重要的向量运算，它涉及到三个或更多的矢量之间的运算。
这种运算在物理学和工程学中有着广泛的应用，特别是在处理具有多个变量的物理问题时。
通过对矢量的矢积进行详细介绍和讨论，我们可以更好地理解这种运算的本质和应用。
高一物理矢量和标量归纳知识点
高一物理矢量和标量归纳知识点在高一物理学习中，矢量和标量是重要的概念。
矢量是具有大小和方向的物理量，而标量只有大小没有方向。
深入理解和掌握这些概念对于学习物理非常关键。
下面将对高一物理矢量和标量的相关知识点进行归纳。
1. 矢量和标量的定义矢量是具有大小和方向的物理量，常用箭头表示，如力、速度、位移等。
它们在运算中需考虑方向和大小的综合作用。
而标量只有大小，没有方向，常用数字表示，如时间、温度、质量等。
标量在运算中只需考虑大小的计算。
2. 矢量的表示方法矢量可以使用多种表示方法，包括数值法、文字法和图示法。
数值法是指使用数值和单位来表示矢量，如10 m/s的速度矢量。
文字法是使用字母符号和单位来表示矢量，如V表示速度矢量。
图示法是通过箭头图示来表示矢量的大小和方向，箭头长度表示大小，箭头方向表示方向。
3. 矢量的运算矢量的运算包括矢量相加和矢量相减。
矢量相加时，可以使用平行四边形法则或三角形法则。
平行四边形法则是将矢量按照顺序排列，然后把它们的起点连起来构成平行四边形，连接对角线得到结果矢量。
三角形法则是将矢量按照顺序排列，然后从第一个矢量的尾部画一条线到第二个矢量的尾部，再从第二个矢量的尾部画一条线到第三个矢量的尾部，连接第一个矢量的起点和第三个矢量的终点得到结果矢量。
矢量相减可以通过将被减矢量取反后再进行矢量相加来实现。
4. 矢量的分解矢量的分解是将一个矢量分解为数个分量，常用直角坐标系进行分解。
例如，将一个力矢量分解为水平和垂直方向上的分量。
分解后的矢量之和等于原矢量。
分解矢量使计算和分析更方便和准确。
5. 标量的运算标量的运算较为简单，只需考虑标量的大小即可。
标量相加时，只需将各个标量相加即可；标量相减时，只需用被减数减去减数即可。
标量的乘除法也是类似的，只需进行相应的数值计算即可。
6. 矢量和标量的关系矢量和标量之间有一种特殊的关系，即矢量可以表示为标量与方向的乘积。
例如，力可以表示为施力大小乘以施力方向的矢量。
高中物理中矢量标积的一些有用的结论
高中物理中矢量标积的一些有用的结论湖北省恩施高中陈恩谱一、矢量的标积两个矢量a 和b的标积c 被定义为cos c a b ab θ=⋅= ，其中(,)a b θ= 。
【例】高中物理中常见的矢量标积有如下一些情况功是力与物体的位移的标积：cos W F l Fl θ=⋅= ，其中(,)F l θ=；功率是力和物体运动速度的标积：cos W F l lP F F v Fv t t tθ⋅===⋅=⋅= ，其中(,)F v θ= ；电势差是电场强度和两点间有向线段的标积：cos W F l F U l E l El q q qθ⋅===⋅=⋅=，其中(,)E l θ= ；磁通量是磁感应强度和有向面元的标积：ΔΔcos ΦB S B S θ=⋅=⋅ ，其中ΔΔS S n =⋅ （n为标识面元方向的单位矢量，垂直与面），(,)B n θ=；流量是流体流速和流体截面元的标积：ΔΔcos Q S v S v θ=⋅=⋅ ，其中ΔΔS S n =⋅ （n为标识面元方向的单位矢量，垂直与面），(,)v n θ=等。
二、一些有用的结论1、0θ=，c a b ab =⋅= ；180θ=，c a b ab =⋅=- .【例】力和位移方向相同时W Fl =，方向相反时W Fl =-；电场强度与两点间连线方向相同时U El =；磁感应强度与面元垂直时ΦBS =（此时，(,)0B n θ==）。
2、90θ=时，c =0.【例】力与位移垂直时，力不做功；力与速度垂直时，力的功率为零；两点间连线与电场强度垂直时，两点间电势差为零，即等势——所以等势面与电场线垂直；磁感线与面平行时，磁通量为零。
3、a b c a b a b =⋅=⋅.（1）证明：cos a b b θ=，则cos a c ab a b θ==⋅；同理易证b c a b=⋅（2）应用一：分解法求标积【例1】功、功率的计算y W G l Gl Gh =⋅==yP G v Gv =⋅=x W G l G l=⋅= x P G v G v=⋅=φ1φ2φ3Eb ab abaa bBB nnhGlvv y GGxGx lGG v【例2】电势差的计算ABE U E l El Ed=⋅==ABx U E l E l=⋅=【例3】磁通量的计算B ΦB S B S n B S ⊥=⋅=⋅⋅=⋅n ΦB S B S B S⊥=⋅=⋅=⋅（3）应用二：标积-矢量图像的斜率【例1】能量-位移（E -x ）图象将力分解到位移x 和垂直位移方向上来，就得到x x F xE W kF x x x⋅∆∆====∆∆∆，即E -x 图象的斜率是该能量对应那个力在x 方向的分量。
矢量代数在中学物理中的应用
矢量代数在（中学）物理中的应用建立空间直角坐标系，x轴水平向右，y轴竖直向上，z轴垂直屏幕指向读者，O是坐标原点。
规定i,j,k为三轴的单位矢量，即这三个矢量的长度（大小）都是1，方向分别指向x,y,z 轴的正向。
P,Q是空间两点，它们的坐标为P(4,3,0)、Q(3,4,0)令矢量a=OP=4i+3j+0k,矢量b=OQ=3i+4j+0k.对矢量a,我们可以说4是矢量a在x轴上的投影，3是a在y轴上的投影，0是a在z轴上的投影。
假定上述内容大家已经清楚，在此基础上介绍两个矢量的数量积及矢量积。
一）．两个矢量的数量积对任意两个（非零）矢量，数量积（也称为点乘，标量积，内积）的定义如下：定义：矢量a与矢量b的数量积（记为a·b,书写时a, b上要加箭头，中间的·不能省略）等于矢量a的大小乘以矢量b的大小，再乘以两矢量夹角的余弦。
即a·b=|a||b|cosθ（1）其中θ是两矢量的夹角。
由定义（1）可得下面两个重要性质：性质1：a与b垂直的充分必要条件是a·b=0性质2：a·a=|a|²即自己点乘自己等于自己长度的平方。
利用上述性质可得：i·i=j·j=k·k=1 i·j=j·k=k·i=0. 即对三个基本单位矢量，自己点乘自己为1，自己与别人点乘是0.设a=a₁i+a₂j+a₃k,b=b₁i+b₂j+b₃k利用上面所列的两个性质可得a·b = a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃（2）例如若矢量a=OP=4i+3j+0k, 矢量b=OQ=3i+4j+0k.则a·b=4×3＋3×4＋0×0=24利用（1），（2）两式可以计算：a,b两矢量的夹角cosθ= (a·b)/(|a||b|)a在b上的投影|a|cosθ= (a·b)/|b|物理上应用举例1）恒力的功设恒力F作用在质点上，质点的位移为S，如果F,S始终同向，则恒力F对质点做的功W=FS，对这种简单情况你把功说成力乘以距离也无所谓，这是初中的内容。
高中矢量与标量归纳总结
高中矢量与标量归纳总结高中物理学习中，矢量与标量是非常重要的概念。
它们是描述物理量的两种不同方式，具有不同的运算规律和物理意义。
一、矢量矢量是由大小和方向两个部分组成的物理量。
在平面直角坐标系中，可以用箭头表示，箭头的长度表示物理量的大小，箭头的方向表示物理量的方向。
在三维空间中，矢量需要用三个数表示，分别代表三个方向上的分量。
矢量的运算包括加法、减法、数乘和点乘。
其中加法和减法是矢量与矢量之间的运算，数乘是矢量与标量之间的运算，点乘是矢量与矢量之间的一种特殊运算，结果是一个标量。
矢量在物理学中有着广泛的应用，例如力、速度、加速度等都是矢量。
在求解物理问题时，需要根据物理量的性质选择合适的运算方法，进行计算分析。
二、标量标量是只有大小没有方向的物理量。
标量可以用一个数表示，例如质量、时间、温度等。
标量的运算只包括加法、减法和数乘，没有点乘。
标量在物理学中也有着重要的应用。
例如功、能量、功率等都是标量。
在计算物理问题时，需要注意标量的运算规律和物理意义。
三、矢量与标量的区别矢量与标量的最大区别在于是否有方向。
矢量有方向，需要用箭头表示；标量没有方向，只需要用一个数表示。
矢量和标量的运算规律也不同。
矢量的运算包括加法、减法、数乘和点乘，而标量的运算只包括加法、减法和数乘。
在物理学中，矢量和标量有着不同的应用。
例如速度和加速度是矢量，而时间和质量是标量。
在解决物理问题时，需要根据物理量的性质选择合适的运算方法。
四、总结矢量与标量是物理学中非常重要的概念，是描述物理量的两种不同方式。
矢量有方向，需要用箭头表示，运算规律包括加法、减法、数乘和点乘；而标量没有方向，只需要用一个数表示，运算规律包括加法、减法和数乘。
在物理学中，需要根据物理量的性质选择合适的运算方法，进行计算分析。
矢量和标量在物理学中有着广泛的应用，例如力、速度、加速度、功、能量、功率等。
掌握矢量与标量的概念和运算规律，对于学好物理学非常重要。
矢量矢积(叉乘)在高中物理中的应用
矢量矢积（叉乘）在高中物理中的应用湖北省恩施高中陈恩谱一、矢量矢积（叉乘）的定义两个矢量a 和b 的矢量积（简称矢积）为c a b =⨯ ，有c 的大小：sin c ab a b a b θ⊥⊥==⋅=⋅，其中(,)a b θ= ，a ⊥表示a 在垂直b 方向上的投影大小，b ⊥表示b 在垂直a 方向上的投影大小；c 的方向：右手螺旋定则——伸出右手，大拇指与四指垂直，四指指向a 的方向，然后弯向b 的方向，则大拇指所指的方向就是c 的方向，如图1所示，c 的方向垂直于a 和b 所确定的平面。
由上述定义可以看出来：①b a a b ⨯=-⨯ ；②a b ∥：(,)0a b θ== ，0c =；a b ⊥ ：(,)90a b θ== ，c ab =。
二、矢量矢积在高中物理中的应用1、力学——与转动相关问题（1）圆周运动运动学大学物理里，我们将学习到，角速度是一个矢量，其方向由右手螺旋定则确定——伸出右手，大拇指与四指垂直，四指弯向物体转动方向，则大拇指所指方向为角速度方向，如图2所示。
①线速度与角速度：v r ω=⨯②向心加速度：a vω=⨯ （2）物体转动动力学①力矩：M r F =⨯ ②角动量：p r L ⨯=2、电磁学——与磁场相关问题（1）电流元d I l ⋅ 的磁场中某点的磁感应强度：0ˆ(d )d 4πI l r B rμ⋅⨯= ，其中ˆr 为从电流元指向该点的单位矢量，数值为1，无单位。
由于磁感线切向方向即磁感应强度方向，因此，通电导线周围的磁感线方向直接由右手螺旋定则——安培定则判定，如图3所示；同时，由上式可知，离通电导线越远，磁感应强度越小，磁感线越稀疏。
（2）磁场力①洛伦兹力：f qv B=⨯ 大小为：sin f qvB qv B qv Bθ⊥⊥==⋅=⋅方向为：伸出右手，大拇指与四指垂直，四指指向正电荷速度v 的方向（或负电荷速度v 的反方向），然后弯向B a b c 图1图2图3的方向，则大拇指所指的方向就是f 的方向；当然，我们也可以用左手定则来简单记忆——如图4所示伸出左手，大拇指与四指垂直，磁感线穿入手心，四指指向正电荷速度v 的方向（或负电荷速度v 的反方向），则大拇指所指的方向就是f 的方向。
标量积和矢量积的特点
标量积和矢量积的特点标量积和矢量积是向量运算中常见的两种形式。
它们有着不同的特点和应用。
1. 标量积（也称为点积或数量积）：标量积是两个向量之间的乘积，结果是一个标量（即一个实数）。
它的计算公式为：A·B = |A| |B| cosθ，其中A和B是两个向量，|A|和|B|分别是它们的模长，θ是它们之间的夹角。
特点：-标量积的结果是一个实数，表示了两个向量的相关性。
如果标量积为正，则表示两个向量之间的夹角小于90度，它们的方向相似；如果标量积为负，则表示夹角大于90度，它们的方向相反；如果标量积为零，则表示两个向量垂直。
-标量积可以用于计算向量的模长，以及两个向量之间的夹角。
-标量积的计算可以通过向量的坐标分量进行，或者通过向量的几何特征进行。
2. 矢量积（也称为叉积或向量积）：矢量积是两个向量之间的乘积，结果是一个新的向量。
它的计算公式为：A ×B = |A| |B| sinθn，其中A和B是两个向量，|A|和|B|分别是它们的模长，θ是它们之间的夹角，n是一个垂直于A和B所在平面的单位向量。
特点：-矢量积的结果是一个新的向量，其方向垂直于A和B所在的平面，符合右手法则。
-矢量积的模长等于两个向量模长的乘积与它们之间夹角的正弦值的乘积。
-矢量积可以用于计算两个向量所在平面的面积，以及求解力矩和角动量等物理量。
-矢量积的计算需要通过向量的坐标分量进行，一般需要进行向量的叉乘运算。
综上所述，标量积和矢量积在向量运算中起着不同的作用。
标量积是两个向量的乘积，结果为实数，用于表示向量之间的相关性和几何特征；而矢量积是两个向量的乘积，结果为一个新的向量，用于表示向量所在平面的特征和物理量的计算。
矢量的点积和叉积的物理意义
矢量的点积和叉积的物理意义矢量的点积和叉积，是矢量的两个分支。
矢量具有三种特性：方向性、大小、位置。
对矢量的这三种特性，我们在学习中应该注重掌握。
1、物理意义，是矢量的一种变化形式，或者说就是它的三种特性。
2、平面上，某一点M到两个定点P、 Q的距离之比，称为该点的“矢径”。
矢量的叉积表示矢径之比。
用公式表示为：叉积= a(b)。
即A×B=AB，其中A和B分别是矢量A和B的大小，矢量A的方向，矢量B的大小。
所以叉积表示矢径之比，即相当于力的分力和合力的关系，所以叉积的物理意义又可理解为力的矢量，它也是矢量三种特性的一种体现。
3、应用，矢量与矢量之间可以相互转化。
例如：动能与势能、电势差与电压之间可以相互转化。
矢量的叉积和点积，这两种矢量形式，相对于另外一种矢量，它是矢量的变化形式。
所以在生活中，遇到矢量，你要想到他的大小，矢量还可以用大小进行度量，然而你还要想到他的方向，如果矢量有大小，方向，那么我们可以把它叫做标量，所以我们要把矢量和标量区分开来。
矢量的叉积，其实就是一个矢量，这个矢量的变化方向可以用一个矢量A的大小来表示，也可以用一个矢量B的大小来表示，如果把A、 B加起来，得到的数字称为“矢量的叉积”，也就是通常讲的矢量的点积。
因此在这里提醒同学们，记住矢量叉积的规律：大小叉积=矢量大小×矢量大小；矢量点积=矢量大小。
再根据矢量的叉积和矢量的点积的三种特性来解题。
我认为比较好用的方法就是：“化繁为简”，在最短的时间内找到问题的本质，正确分析求出矢量的大小，使用矢量的点积或者矢量的叉积去解决问题。
5、最后在学习中应该怎样去理解与运用矢量的叉积和点积？这里我想谈谈自己的看法：首先应该明白每一个矢量都有一个大小，其次应该明白矢量点积的运算步骤，然后我认为应该会计算这些大小和各自的点积，最后应该能够根据这些点积在物理学中去应用它们，从而解决更多的问题。
在初中阶段的教学中，我们应该着重培养学生的概括能力、联想能力、分析能力、综合能力等能力，让学生掌握新知识的思维方法和探究技巧，并且灵活地将所学知识运用于实际生活中。
矢量点积的几何意义-概念解析以及定义
矢量点积的几何意义-概述说明以及解释1.引言1.1 概述矢量点积是向量分析中一个重要的操作，它具有丰富的几何意义和广泛的应用。
通过对向量的定义和表示方法的介绍，本文将详细探讨矢量点积的定义和计算方法，并深入研究矢量点积的几何意义。
在几何学中，向量是表示大小和方向的量，常用箭头来表示。
而矢量点积是对两个向量的数学运算，其结果是一个标量（即一个实数），表示两个向量之间的关系。
矢量点积根据两个向量的长度和形成的夹角来计算，其计算方法是将两个向量的对应分量相乘再相加。
矢量点积的几何意义在于，它能够帮助我们刻画两个向量之间的夹角关系。
当两个向量的点积为正数时，表示它们之间的夹角为锐角；当点积为负数时，表示夹角为钝角；而点积为零则表示两个向量垂直或平行。
这种几何意义使得矢量点积在许多领域中都有广泛的应用。
矢量点积在物理学中常常用来描述力和位移之间的关系。
通过计算两个向量的点积，我们可以判断力的方向是否与物体的位移方向一致，从而确定做功的大小。
此外，在计算机图形学中，矢量点积也被广泛应用于光照计算和投影变换等方面。
总结而言，矢量点积是一种重要的向量运算，它能够帮助我们刻画两个向量之间的夹角关系。
具有丰富的几何意义和广泛的应用领域，矢量点积在物理学、计算机图形学等领域都发挥着重要作用。
本文将进一步介绍矢量点积的定义和计算方法，以及探讨其在几何学中的几何意义，以期对读者深入理解和应用矢量点积提供帮助。
1.2 文章结构本文将按照以下结构进行论述：第一部分是引言，介绍矢量点积的背景和重要性。
在这一部分中，将对矢量点积的概念进行概述，并给出文章的目的和主要内容。
第二部分是正文，主要围绕矢量的定义和表示方法、矢量点积的定义和计算方法以及矢量点积的几何意义展开阐述。
在矢量的定义和表示方法部分，将介绍矢量的基本概念和不同的表示方法，如坐标表示和向量表示。
然后转入矢量点积的定义和计算方法，详细介绍矢量点积的公式和求解方法。
最后，重点探讨矢量点积的几何意义，包括矢量夹角的几何意义、正交与平行的概念以及矢量投影的应用等。
矢量的标积和矢积
矢量的标积和矢积
在研究矢量的运算中，矢量的标积和矢积是两个非常重要的概念。
简单来说，标积和矢积都属于矢量积，但是它们所描述的性质和运算方法却存在很大的区别。
下面就让我们更深入地了解一下矢量的标积和矢积。
首先，矢量的标积又称点积或数量积，是两个矢量在数量上的乘积。
具体来说，设有两个矢量A和B，则它们的标积定义为
A·B=|A||B|cosθ，其中|A|和|B|分别表示矢量A和B的模长，θ为两个矢量之间的夹角。
由此可以看出，标积不仅考虑了两个矢量的大小，还考虑了它们的夹角。
因此，它在许多物理和几何应用中非常有用，例如计算力学中的功和负功、计算几何中的点之间的距离等等。
其次，矢量的矢积又称叉积或向量积，是两个矢量所构成的第三个矢量，该矢量垂直于原来的两个矢量所在的平面。
具体来说，设有两个矢量A和B，则它们的矢积定义为A×B=|A||B|sinθn，其中，|A|和|B|仍然表示矢量A和B的模长，θ为两个矢量之间的夹角，而n则表示垂直于原来两个矢量所在平面的单位矢量。
矢积在物理的矢量分析和几何中也有广泛的应用，例如计算力矩、计算平面的面积、描述磁场的定量性质等等。
总之，矢量的标积和矢积是矢量运算中非常重要的两个概念，而它们的区别在于标积只考虑矢量的数量方面，矢积则考虑了矢量的方向和叉积方向的垂直关系。
在物理和数学的研究中，这两个概念都起到了非常重要的作用，对于矢量运算的深入理解和应用都有很大的帮助。
高中物理标量矢量总结
高中物理标量矢量总结高中物理中，标量和矢量是两个重要的概念。
它们在物理世界中常常被用来描述物理量的性质和特征。
本文将以高中物理标量和矢量为主题，对其进行详细的总结。
一、标量标量是指只有大小而没有方向的物理量。
我们可以用一个数值来表示标量的大小，比如温度、质量、时间等。
标量之间可以进行加减乘除等简单的数值运算。
1. 温度：温度是物体内部分子的平均动能的度量。
在物理学中，我们通常使用摄氏度或开尔文来表示温度，例如摄氏度下的水的沸点是100℃，冰点是0℃。
2. 质量：质量是物体所固有的，与物体的体积、形状和状态无关的属性。
质量是标量，它可以用千克或克等单位来表示。
3. 时间：时间是描述事件发生先后顺序的物理量。
时间是标量，我们通常使用秒来表示时间。
二、矢量矢量是指既有大小又有方向的物理量。
矢量需要用矢量箭头来表示，箭头的长度表示矢量的大小，箭头的方向表示矢量的方向。
矢量之间可以进行矢量加法、减法和数乘等运算。
1. 位移：位移是指物体从一个位置到另一个位置的变化。
位移是矢量，它的大小是物体移动的距离，方向是物体移动的方向。
2. 速度：速度是物体在单位时间内移动的位移。
速度是矢量，它的大小是物体移动的距离与所用时间的比值，方向是物体移动的方向。
3. 加速度：加速度是物体速度变化的快慢，是速度的变化率。
加速度也是矢量，它的大小是速度变化的大小，方向是速度变化的方向。
三、标量和矢量的区别与联系标量和矢量在物理上有着明显的区别。
标量只有大小，而矢量既有大小又有方向。
标量之间可以进行简单的数值运算，而矢量之间可以进行矢量运算。
然而，标量和矢量之间也有一定的联系。
例如，位移、速度和加速度都是描述物体运动的物理量，它们既可以是矢量也可以是标量。
当我们只关心物体运动的距离时，位移、速度和加速度可以看作是标量；当我们需要考虑物体运动的方向时，位移、速度和加速度就是矢量。
总结：标量和矢量是高中物理中的重要概念。
标量只有大小，而矢量既有大小又有方向。
高中物理矢量归纳总结
高中物理矢量归纳总结
以下是高中物理中矢量的一些归纳总结：
1. 矢量：既有大小又有方向的物理量。
常见的矢量有速度、加速度、力、位移、动量等。
2. 矢量的合成与分解：矢量可以通过平行四边形法则或三角形法则进行合成与分解。
合矢量等于各分矢量按平行四边形法则（或三角形法则）求和，分矢量则依据合矢量按平行四边形法则（或三角形法则）确定。
3. 矢量的运算：矢量运算包括加法、减法、数乘和点乘等。
加法和减法是通过平行四边形法则或三角形法则进行的。
数乘则是将矢量的大小按比例缩放，方向保持不变。
点乘则是计算两个矢量的点积，结果是一个标量。
4. 矢量在物理中的应用：矢量在物理中有着广泛的应用，如速度和加速度是描述物体运动状态的重要物理量，力是改变物体运动状态的原因，位移是描述物体位置变化的物理量，动量是描述物体运动状态的另一个重要物理量等。
以上是关于高中物理中矢量的归纳总结，通过学习和掌握矢量的概念、性质和运算方法，可以帮助我们更好地理解和分析物理问题。
向量积物理意义
向量积物理意义1. 嘿，你知道向量积的物理意义吗？就像两个人一起用力推一个物体，方向不同效果就完全不一样啊！比如说在帆船比赛中，风的方向和船的行驶方向的向量积，可就决定了船能跑多快多稳呢！2. 哇哦，向量积物理意义可太重要啦！这就好比你走路，你走的方向和地球引力的方向形成的向量积，会影响你每一步的感觉呀！想想跳伞的时候，空气阻力和重力的向量积，是不是决定了下降的状态呢？3. 嘿呀，向量积的物理意义真的很神奇呢！好比一辆汽车转弯，轮子的转速和转弯方向的向量积，直接关系到车能不能顺利转弯呀！在飞行模拟器中，各种力的向量积，不就是决定飞机姿态的关键吗？4. 哎呀，向量积物理意义可不能小瞧啊！就像扔飞盘，你扔的力度和角度的向量积，决定了飞盘能飞多远多高呢！想想火箭发射，燃料推力和方向的向量积，那可是决定能不能进入轨道的要点啊！5. 哟呵，向量积的物理意义很厉害吧！好比骑自行车，你踩踏板的力和车轮方向的向量积，会影响速度啊！在冲浪的时候，海浪的力量和你滑行方向的向量积，是不是决定了你的刺激程度呢？6. 嘿，想想向量积的物理意义多有意思啊！就像打篮球投篮，你出手的力量和角度的向量积，决定球能不能进呀！研究卫星轨道时，地球引力和卫星速度的向量积，不就是关键因素吗？7. 哇，向量积物理意义真的超有趣啊！好比滑冰时的转向，你用力的方向和冰刀方向的向量积，决定了你的转向效果呢！在赛艇比赛中，桨叶划水的力量和方向的向量积，是不是影响着速度呀？8. 呀，向量积的物理意义真不简单呢！就像放风筝，线的拉力和风向的向量积，决定风筝能不能飞起来呀！在游乐场坐过山车，重力和轨道方向的向量积，就是那刺激的来源啊！9. 嘿，可别小看了向量积物理意义哦！好比弹弓发射，皮筋的拉力和发射方向的向量积，影响着石子能飞多远呢！研究天体运动时，天体之间引力和相对运动的向量积，是不是特别重要？10. 哇哦，向量积物理意义真的超酷的！就像冲浪者在浪尖上，自身的速度和海浪的向量积，决定了那一瞬间的精彩呀！在航空领域，飞机发动机推力和气流方向的向量积，不就是飞行的关键所在吗？我的观点结论：向量积的物理意义在各种实际情境中都有着至关重要的作用，它帮助我们更好地理解和分析物体的运动和相互作用。
高中数学中的向量积与动能定理解析
高中数学中的向量积与动能定理解析在高中数学中，向量积和动能定理是两个重要的概念。
向量积是向量运算中的一种，用于描述两个向量之间的关系和性质。
动能定理则是物理学中的一个基本定理，用于描述物体的运动状态和能量转化的规律。
本文将对这两个概念进行详细解析。
一、向量积向量积，也称为叉乘或矢量积，是向量运算中的一种。
它的定义如下：设有两个向量a和b，它们的向量积记作a×b，其结果是一个新的向量，其大小等于a和b的模长的乘积再乘以它们夹角的正弦值，方向垂直于a和b所在的平面，并遵循右手定则。
向量积在几何学和物理学中都有广泛的应用。
在几何学中，向量积可以用于求解两个向量的夹角、判断向量的平行性、计算面积等。
在物理学中，向量积可以用于描述力的叉乘、磁场的计算、力矩的求解等。
二、动能定理动能定理是物理学中的一个基本定理，它描述了物体的运动状态和能量转化的规律。
动能定理的表达式如下：物体的动能等于物体所受的净外力对物体的功的变化量。
简单来说，动能定理可以用公式K = ΔW来表示，其中K表示物体的动能，ΔW表示物体所受的净外力对物体的功的变化量。
动能定理的应用非常广泛，尤其在力学和工程学中。
通过应用动能定理，可以分析物体的运动状态、计算物体的动能、研究力学系统的能量转化等。
动能定理在工程设计、机械运动、能源转化等领域都有着重要的应用价值。
三、向量积与动能定理的关系向量积和动能定理在数学和物理学中是两个独立的概念，但它们之间存在一定的联系。
具体来说，向量积可以用于推导和解释动能定理。
在力学中，物体所受的力可以分解为两个分量：一个是平行于物体运动方向的力，称为平行力；另一个是垂直于物体运动方向的力，称为垂直力。
根据动能定理，物体所受的净外力对物体的功等于物体的动能的变化量。
而根据向量积的性质，垂直力对物体的功等于垂直力的大小乘以物体位移的长度。
因此，可以得出结论：物体所受的垂直力对物体的功等于物体动能的变化量。
这个结论的物理意义是，当物体所受的垂直力对物体的功不为零时，物体的动能会发生变化。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中物理中矢量标积的一些有用的结论湖北省恩施高中陈恩谱一、矢量的标积两个矢量a 和b的标积c 被定义为cos c a b ab θ=⋅= ，其中(,)a b θ= 。
【例】高中物理中常见的矢量标积有如下一些情况功是力与物体的位移的标积：cos W F l Fl θ=⋅= ，其中(,)F l θ=；功率是力和物体运动速度的标积：cos W F l lP F F v Fv t t tθ⋅===⋅=⋅= ，其中(,)F v θ= ；电势差是电场强度和两点间有向线段的标积：cos W F l F U l E l El q q qθ⋅===⋅=⋅=，其中(,)E l θ= ；磁通量是磁感应强度和有向面元的标积：ΔΔcos ΦB S B S θ=⋅=⋅ ，其中ΔΔS S n =⋅ （n为标识面元方向的单位矢量，垂直与面），(,)B n θ=；流量是流体流速和流体截面元的标积：ΔΔcos Q S v S v θ=⋅=⋅ ，其中ΔΔS S n =⋅ （n为标识面元方向的单位矢量，垂直与面），(,)v n θ=等。
二、一些有用的结论1、0θ=，c a b ab =⋅= ；180θ=，c a b ab =⋅=- .【例】力和位移方向相同时W Fl =，方向相反时W Fl =-；电场强度与两点间连线方向相同时U El =；磁感应强度与面元垂直时ΦBS =（此时，(,)0B n θ==）。
2、90θ=时，c =0.【例】力与位移垂直时，力不做功；力与速度垂直时，力的功率为零；两点间连线与电场强度垂直时，两点间电势差为零，即等势——所以等势面与电场线垂直；磁感线与面平行时，磁通量为零。
3、a b c a b a b =⋅=⋅.（1）证明：cos a b b θ=，则cos a c ab a b θ==⋅；同理易证b c a b=⋅（2）应用一：分解法求标积【例1】功、功率的计算y W G l Gl Gh =⋅==yP G v Gv =⋅=x W G l G l=⋅= x P G v G v=⋅=φ1φ2φ3Eb ab abaa bBB nnhGlvv y GGxGx lGG v【例2】电势差的计算ABE U E l El Ed=⋅==ABx U E l E l=⋅=【例3】磁通量的计算B ΦB S B S n B S ⊥=⋅=⋅⋅=⋅n ΦB S B S B S⊥=⋅=⋅=⋅（3）应用二：标积-矢量图像的斜率【例1】能量-位移（E -x ）图象将力分解到位移x 和垂直位移方向上来，就得到x x F xE W kF x x x⋅∆∆====∆∆∆，即E -x 图象的斜率是该能量对应那个力在x 方向的分量。
高中物理中常见的几种E -x 图象的斜率能量动能势能机械能重力势能弹性势能电势能功能关系kF x E ⋅∆=∆合pG x E ⋅∆=∆pF x E ⋅∆=∆弹pqE x E ⋅∆=∆G F x E ⋅∆=∆外机E -x 图象斜率意义合力F 合，或者合力在x 方向分量xF 合重力G ，或者重力在x 方向分量G x弹力F 弹，或者弹力在x 方向分量F 弹x电场力qE ，或者电场力在x 方向分量qE x除重力之外其他力G F 外，或者除重力之外其他力在x 方向分量G xF 外说明：当力就在x 方向时，E -x 图象的斜率就是对应的力；当力不在x 方向时，则需将力正交分解到垂直和平行x 方向，E -x 图象的斜率就是对应的力在x 方向的分量。
（2015武汉市二月调考17）如图1所示，固定的粗糙斜面长为10m ，一小滑块自斜面顶端由静止开始沿斜面下滑的过程中，小滑块的动能E k 随位移x 的变化规律如图2所示，取斜面底端为重力势能的参考平面，小滑块的重力势能E p 随位移x 的变化规律如图3所示，重力加速度g =10m/s 2。
根据上述信息可以求出A 、斜面的倾角B 、小滑块与斜面之间的动摩擦因数C 、小滑块下滑的加速度的大小D 、小滑块受到的滑动摩擦力的大小【解析】本题中，图2是动能-位移图象（k E x -图象），其斜率是物体所受合外力l Ad EBl A E BE xB nSS ⊥n B BnSB ⊥=sin cos F mg mg θμθ-合，由图可知：=sin cos F mg mg θμθ-合=2.5N ；图3是重力势能-位移图象（p E x -图象），其斜率的绝对值是物体重力沿斜面的分量=sin x G mg θ，由图可知：=sin x G mg θ=10N.则可求出小滑块受到的滑动摩擦力的大小f =cos F mg μθ=7.5N ，D 答案正确。
【例2】电势-位置坐标（φ-x ）图象将电场强度分解到x 轴方向和垂直x 轴方向，则有ΔΔx x E lU k E x l lϕ====，即φ-x 图象的斜率表示的是电场强度沿x 轴方向的分量x E 。
（2009•江苏）空间某一静电场的电势φ在x 轴上分布如图所示，x 轴上两点B 、C 点电场强度在x 方向上的分量分别是E Bx 、E Cx ，下列说法中正确的有（）A ．E Bx 的大小大于E Cx 的大小B ．E Bx 的方向沿x 轴正方向C ．电荷在O 点受到的电场力在x 方向上的分量最大D ．负电荷沿x 轴从B 移到C 的过程中，电场力先做正功，后做负功【解析】由图可知，B 点图象的斜率大于C 点图象的斜率，由ΔΔx k E xϕ==，可知E Bx ＞E Cx ，A 项正确；同理可知O 点场强最小，电荷在该点受到的电场力最小，C 项错误；沿电场方向电势降低，在O 点左侧，E Bx 的方向沿x 轴负方向，在O 点右侧，E Cx 的方向沿x 轴正方向，所以B 项错误，D 项正确．4、标积的直角坐标表示及其应用（1）标积的直角坐标表示两个矢量11a x i y j =+和22b x i y j =+ 的标积为112212121212()()c a b x i y j x i y j x x i i x y i j y x j i y y j j =⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅其中1i i ⋅= ，0i j ⋅= ，0j i ⋅= ，1j j ⋅=，则有1212c a b x x y y =⋅=+（2）应用【例1】一般运动过程的动能定理的严格证明矢量a与自身的标积为2c a a a =⋅= ；若在相互垂直的两个方向上，有212kx x x =，212ky y y =，则对矢量c xi yj =+、11a x i y j =+ 、22b x i y j =+ ，就有22212121122()()kc kc c kx ky x x y y x i y j x i y j a b=⋅=+=+=+⋅+=⋅ 我们知道，将力F 分解到两个相互垂直的方向为F x 、F y ，物体的位移也分解到两个相互垂直的方向为x 、y ，则由牛顿第二定律，有x x F a m =，22212x x x v v a x -=，得22211122x x x F x mv mv =-y y F a m=，22212y y y v v a y -=，得22211122y y y F y mv mv =-则有2222221111()()22x y x yx y F x F y m v v m v v +=+-+而x y W F l F x F y =⋅=+ ，222222x y v v v =+，222111x y v v v =+，则有22211122W F l mv mv =⋅=- 这就是一般运动过程中的动能定理。
从前述分析来看，动能定理不仅适用于直线运动，也适用于曲线运动。
O Ex E xF x F yx y lF xy v 2xv 2yxv 2由于22211122x x x F x mv mv =-与22211122F l mv mv ⋅=- 的形式是完全相同的，因此可以认为在某个方向上动能定理也成立。
【例2】正交分解法求功若x y F F i F j =+，ΔΔl xi yj =+ ，则x y x y W F l F x F y W W =⋅=∆+∆=+ ，其中x x W F x =∆，y y W F y =∆也就是两个垂直方向上的分力所做的功，因此合力的功，可以用几个分力的功的代数和来求解。
质量为m 、带负电的小球在轨道内侧做完整的圆周运动(电荷量不变)，经过C 点时速度最大，O 、C连线与竖直方向的夹角θ＝60°，重力加速度为g 。
(1)求小球所受的电场力大小；(2)求小球在A 点的速度v 0为多大时，小球经过B 点时对圆轨道的压力最小。
【解析】（1）小球在C 点时速度最大，则电场力与重力的合力沿DC 方向，所以小球受到的电场力的大小F ＝mg tan 60°＝3mg 。
（2）要使小球经过B 点时对圆轨道的压力最小，则必须使小球经过D 点时的速度最小，即在D 点小球对圆轨道的压力恰好为零，有mg cos 60°＝m v 2r解得v ＝2gr 。
在小球从圆轨道上的A 点运动到D 点的过程中，有mgr (1＋cos 60°)＋Fr sin 60°＝12mv 20－12mv2解得v 0＝22gr.【例3】正交分解法求电势差若x y E E i E j =+，ΔΔl xi yj =+ ，则x y x y U E l E x E y U U =⋅=∆+∆=+ ，其中x x U E x =∆，y y U E y =∆也就是两个垂直方向上的场强引起的电势差，因此总电势差，可以用几个分场强引起的电势差的代数和来求解。
（2017·全国卷Ⅲ）一匀强电场的方向平行于xOy 平面，平面内a 、b 、c 三点的位置如图所示，三点的电势分别为10V 、17V 、26V 。
下列说法正确的是A ．电场强度的大小为2.5V/cmB ．坐标原点处的电势为1VC ．电子在a 点的电势能比在b 点的低7eVD ．电子从b 点运动到c 点，电场力做功为9eV【解析】A 、2610V/m 2V/m 8ca x U E ca -===，2617V/m 1.5V/m 6cb y U E cb -===，则合场强为两者矢量和，则合场强的大小为 2.5V/m E ==；A 正确。
B 、9)25V Oc x y ac bc U U U U U =+=+-=-，由Oc O c U ϕϕ=-，得1V O ϕ=。
C 、a 点的电势比在b 点的电势低7V ，电子带负电，所以电子在a 点的电势能比在b 点的高7eV 。
故C 错误。
D 、b 点电势比c 点电势低9V ，电子从b 点运动到c 点，电场力做功为9eV ，故D正确。
说明：本文收录于陈恩谱老师《物理原来可以这样学》2019年6月第三次修订版。