圆锥曲线基础知识与典型例题

圆锥曲线

|+|MF 2|=6，则M 点的轨迹

(D)线段

则动点的轨迹方程是( )

(D))0(125

162

2≠=+y y x

数学基础知识与典型例题(第八章圆锥曲线)答案

例1. D 例2. B 例3. C 先考虑M+m =2a ，然后用验证法. 例4. B 提示：e =

5

4

,P 点到左准线的距离为2.5，它到左焦点的距离是2， 2a =10, P 点到右焦点的距离是8，∴P 点到右焦点的距离与到左焦点的距离之比是4 : 1;

例5. B ∵1212||||||||22sin15sin 751sin15sin 75sin15cos15PF PF PF PF c a +====︒︒︒+︒︒+︒

，∴22c e a ===

例6. C 提示：椭圆3x 2＋4y 2=48中，a =4, c =2, e =

2

1

, 设椭圆上的P 点到右准线的距离为d ，则d

|PF |=21

, ∴|AP |＋2|PF |=|AP |＋d , ∴当AP 平行于x 轴且P 点在A 点与右准线之间时，|AP |＋d 为一直线段，距离最小，此时P 点纵坐标等于3，∴P 点坐标是(23,

3)

例7. (3,±4) 或(-3, ±4)

例8. (1)

1162522=+y x 或1251622=+y x ; (2) 1362

2=+y x ; (3)1922=+y x 或181922=+y x ; (4) 142

2=+y x 或116

422=+y x . 例9. 12||||PF PF ⋅≤2

212||||(

)42PF PF a +== 例10. 解:设椭圆方程为22a x +22

b

y =1,(a >b >0)

⑴P Q ⊥x 轴时，F(-c ,0)，|FP|=a b 2，又|F Q |=|FP|且OP ⊥O Q ，∴|OF|=|FP|,即c =a

b 2

∴ac =a 2-c 2,

∴e 2+e -1=0,∴e =215-与题设e =2

3

不符,所以P Q 不垂直x 轴.

⑵P Q ∶y =k (x +c ),P(x 1,y 1),Q (x 2,y 2),∵e =2

3

,∴a 2=34c 2,b 2=31c 2,

所以椭圆方程可化为:3x 2+12y 2-4c 2=0,将P Q 方程代入，

得(3+12k 2

)x 2

+24k 2

cx +12k 2c 2

-4c 2

=0,∴x 1+x 2=2212324k c k +-,x 1x 2=22

22123412k c c k +-

由|P Q |=920得2

1k +·2

222222123)412(4)12324(k c c k k c k +--

+=920① ∵OP ⊥O Q,∴1

1x y

·22x y = -1即x 1x 2+y 1y 2=0,∴(1+k 2)x 1x 2+k 2c (x 1+x 2)+c 2k 2=0②

把21x x +，21x x 代入，解②得k 2=114，把1142

=k 代入①解得c 2=3

∴a 2=4,b 2

=1，则所求椭圆方程为4

2x +y 2=1.

例11. B 例12. C 例13. D 例14. C 例15. C

例16. A 假设12PF PF >,

由双曲线定义12PF PF -=

12PF PF +=

解得12PF PF

12F F =12

12112

PF F S PF PF =⋅=

[点评]考查双曲线定义和方程思想.

例17.

)2(112

422-<=-x y x 例18. 1

2 例19.⑴设双曲线方程为22916x y λ-=(λ≠0),∴

2(3)9λ-=∴ 14λ=,

∴ 双曲线方程为22144

x y -=;⑵设双曲线方程为22

1164x y k k -=-+16040k k ->⎛⎫ ⎪+>⎝⎭∴

2

214k

-=+,解之得k =4,∴ 双曲线方程为221128x y -

= 评注：与双曲线22221x y a b -=共渐近线的双曲线方程为22

22x y a b

λ-=(λ≠0)，当λ>0时，焦

点在x 轴上；当λ<0时，焦点在y 轴上。与双曲线22

221x y a b

-=共焦点的双曲线为

22

2

21x y a k b k

-=+-(a 2+k >0，b 2-k >0)。比较上述两种解法可知，引入适当的参数可以提高解题质量，特别是充分利用含参数方程的几何意义，可以更准确地理解解析几何的基本思想. 例20. 解题思路分析：

法一：显然AB 斜率存在设AB ：y -2=k (x -1) 由22

212y kx k

y x =+-⎧⎪⎨-

=⎪⎩得：(2-k 2)x 2-2k (2-k )x -k 2+4k -6=0 当△>0时，设A （x 1,y 1），B （x 2,y 2） 则122

(2)

22x x k k k +-==- ∴ k =1，满足△>0∴ 直线AB ：y =x +1

法二：设A （x 1,y 1），B （x 2,y 2）则221122221212

y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩两式相减得：(x 1-x 2)(x 1+x 2)=21(y 1-y 2)(y 1+y 2)

∵ x 1≠x 2∴ 12121212

2()y y x x x x y y -+=

-+∴ 2112AB k ⨯== ∴ AB ：y =x +1代入22

12y x -=得：△>0 评注：法一为韦达定理法，法二称为点差法，当涉及到弦的中点时，常用这两种途径处理。

在利用点差法时，必须检验条件△>0是否成立。

（2）此类探索性命题通常肯定满足条件的结论存在，然后求出该结论，并检验是否满足所有条件.本题应着重分析圆的几何性质，以定圆心和定半径这两定为中心

设A 、B 、C 、D 共圆于⊙OM ，因AB 为弦，故M 在AB 垂直平分线即CD 上；又CD 为弦，故圆心M 为CD 中点。因此只需证CD 中点M 满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|

由22

112

y x y x =+⎧⎪⎨-

=⎪⎩得：A （-1，0），B （3，4）又CD 方程：y =-x +3