圆锥曲线的综合经典例题(有答案)
(完整版)圆锥曲线经典题目(含答案)
圆锥曲线经典题型一.选择题(共10小题)1.直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1(b>0)有两个不同的交点,则此双曲线离心率的范围是()A.(1,)B.(,+∞) C.(1,+∞)D.(1,)∪(,+∞)2.已知M(x0,y0)是双曲线C:=1上的一点,F1,F2是C的左、右两个焦点,若<0,则y0的取值范围是()A.B.C. D.3.设F1,F2分别是双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使得,其中O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为()A.B. C.D.4.过双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点F作直线y=﹣x的垂线,垂足为A,交双曲线左支于B点,若=2,则该双曲线的离心率为()A.B.2 C.D.5.若双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x﹣2)2+y2=2相交,则此双曲线的离心率的取值范围是()A.(2,+∞)B.(1,2) C.(1,)D.(,+∞)6.已知双曲线C:的右焦点为F,以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M,且MF与双曲线的实轴垂直,则双曲线C的离心率为()A.B.C.D.27.设点P是双曲线=1(a>0,b>0)上的一点,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,已知PF1⊥PF2,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线的一条渐近线方程是()A.B.C.y=2x D.y=4x8.已知双曲线的渐近线与圆x2+(y﹣2)2=1相交,则该双曲线的离心率的取值范围是()A.(,+∞) B.(1,)C.(2.+∞)D.(1,2)9.如果双曲线经过点P(2,),且它的一条渐近线方程为y=x,那么该双曲线的方程是()A.x2﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=110.已知F是双曲线C:x2﹣=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为()A.B.C.D.二.填空题(共2小题)11.过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点,若|PQ|=8,F2是双曲线的右焦点,则△PF2Q的周长是.12.设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使,O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为.三.解答题(共4小题)13.已知点F1、F2为双曲线C:x2﹣=1的左、右焦点,过F2作垂直于x轴的直线,在x轴上方交双曲线C于点M,∠MF1F2=30°.(1)求双曲线C的方程;(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为P1、P2,求•的值.14.已知曲线C1:﹣=1(a>0,b>0)和曲线C2:+=1有相同的焦点,曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍.(Ⅰ)求曲线C1的方程;(Ⅱ)设点A是曲线C1的右支上一点,F为右焦点,连AF交曲线C1的右支于点B,作BC垂直于定直线l:x=,垂足为C,求证:直线AC恒过x轴上一定点.15.已知双曲线Γ:的离心率e=,双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1.(Ⅰ)求双曲线Γ的方程;(Ⅱ)过点P(1,1)是否存在直线l,使直线l与双曲线Γ交于R、T两点,且点P是线段RT的中点?若直线l存在,请求直线l的方程;若不存在,说明理由.16.已知双曲线C:的离心率e=,且b=.(Ⅰ)求双曲线C的方程;(Ⅱ)若P为双曲线C上一点,双曲线C的左右焦点分别为E、F,且•=0,求△PEF的面积.一.选择题(共10小题)1.直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1(b>0)有两个不同的交点,则此双曲线离心率的范围是()A.(1,)B.(,+∞) C.(1,+∞)D.(1,)∪(,+∞)【解答】解:∵直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1(b>0)有两个不同的交点,∴1>b>0或b>1.∴e==>1且e≠.故选:D.2.已知M(x0,y0)是双曲线C:=1上的一点,F1,F2是C的左、右两个焦点,若<0,则y0的取值范围是()A.B.C. D.【解答】解:由题意,=(﹣﹣x0,﹣y0)•(﹣x0,﹣y0)=x02﹣3+y02=3y02﹣1<0,所以﹣<y0<.故选:A.3.设F1,F2分别是双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使得,其中O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为()A.B. C.D.【解答】解:取PF2的中点A,则∵,∴⊥∵O是F1F2的中点∴OA∥PF1,∴PF1⊥PF2,∵|PF1|=3|PF2|,∴2a=|PF1|﹣|PF2|=2|PF2|,∵|PF1|2+|PF2|2=4c2,∴10a2=4c2,∴e=故选C.4.过双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点F作直线y=﹣x的垂线,垂足为A,交双曲线左支于B点,若=2,则该双曲线的离心率为()A.B.2 C.D.【解答】解:设F(c,0),则直线AB的方程为y=(x﹣c)代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A(,﹣),由=2,可得B(﹣,﹣),把B点坐标代入双曲线方程﹣=1,即=1,整理可得c=a,即离心率e==.故选:C.5.若双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x﹣2)2+y2=2相交,则此双曲线的离心率的取值范围是()A.(2,+∞)B.(1,2) C.(1,)D.(,+∞)【解答】解:∵双曲线渐近线为bx±ay=0,与圆(x﹣2)2+y2=2相交∴圆心到渐近线的距离小于半径,即∴b2<a2,∴c2=a2+b2<2a2,∴e=<∵e>1∴1<e<故选C.6.已知双曲线C:的右焦点为F,以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M,且MF与双曲线的实轴垂直,则双曲线C的离心率为()A.B.C.D.2【解答】解:设F(c,0),渐近线方程为y=x,可得F到渐近线的距离为=b,即有圆F的半径为b,令x=c,可得y=±b=±,由题意可得=b,即a=b,c==a,即离心率e==,故选C.7.设点P是双曲线=1(a>0,b>0)上的一点,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,已知PF1⊥PF2,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线的一条渐近线方程是()A.B.C.y=2x D.y=4x【解答】解:由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a,又|PF1|=2|PF2|,得|PF2|=2a,|PF1|=4a;在RT△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,∴4c2=16a2+4a2,即c2=5a2,则b2=4a2.即b=2a,双曲线=1一条渐近线方程:y=2x;故选:C.8.已知双曲线的渐近线与圆x2+(y﹣2)2=1相交,则该双曲线的离心率的取值范围是()A.(,+∞) B.(1,)C.(2.+∞)D.(1,2)【解答】解:∵双曲线渐近线为bx±ay=0,与圆x2+(y﹣2)2=1相交∴圆心到渐近线的距离小于半径,即<1∴3a2<b2,∴c2=a2+b2>4a2,∴e=>2故选:C.9.如果双曲线经过点P(2,),且它的一条渐近线方程为y=x,那么该双曲线的方程是()A.x2﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1【解答】解:由双曲线的一条渐近线方程为y=x,可设双曲线的方程为x2﹣y2=λ(λ≠0),代入点P(2,),可得λ=4﹣2=2,可得双曲线的方程为x2﹣y2=2,即为﹣=1.故选:B.10.已知F是双曲线C:x2﹣=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为()A.B.C.D.【解答】解:由双曲线C:x2﹣=1的右焦点F(2,0),PF与x轴垂直,设(2,y),y>0,则y=3,则P(2,3),∴AP⊥PF,则丨AP丨=1,丨PF丨=3,∴△APF的面积S=×丨AP丨×丨PF丨=,同理当y<0时,则△APF的面积S=,故选D.二.填空题(共2小题)11.过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点,若|PQ|=8,F2是双曲线的右焦点,则△PF2Q的周长是20.【解答】解:∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=8∵双曲线x2﹣=1的通径为==8∵PQ=8∴PQ是双曲线的通径∴PQ⊥F1F2,且PF1=QF1=PQ=4∵由题意,|PF2|﹣|PF1|=2,|QF2|﹣|QF1|=2∴|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+4=4+4+4=12∴△PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=12+8=20,故答案为20.12.设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使,O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为.【解答】解:取PF2的中点A,则∵,∴2•=0,∴,∵OA是△PF1F2的中位线,∴PF1⊥PF2,OA=PF1.由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a,∵|PF1|=|PF2|,∴|PF2|=,|PF1|=.△PF1F2中,由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2,∴()2+()2=4c2,∴e=.故答案为:.三.解答题(共4小题)13.已知点F1、F2为双曲线C:x2﹣=1的左、右焦点,过F2作垂直于x轴的直线,在x轴上方交双曲线C于点M,∠MF1F2=30°.(1)求双曲线C的方程;(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为P1、P2,求•的值.【解答】解:(1)设F2,M的坐标分别为,因为点M在双曲线C上,所以,即,所以,在Rt△MF2F1中,∠MF1F2=30°,,所以…(3分)由双曲线的定义可知:故双曲线C的方程为:…(6分)(2)由条件可知:两条渐近线分别为…(8分)设双曲线C上的点Q(x0,y0),设两渐近线的夹角为θ,则点Q到两条渐近线的距离分别为,…(11分)因为Q(x0,y0)在双曲线C:上,所以,又cosθ=,所以=﹣…(14分)14.已知曲线C1:﹣=1(a>0,b>0)和曲线C2:+=1有相同的焦点,曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍.(Ⅰ)求曲线C1的方程;(Ⅱ)设点A是曲线C1的右支上一点,F为右焦点,连AF交曲线C1的右支于点B,作BC垂直于定直线l:x=,垂足为C,求证:直线AC恒过x轴上一定点.【解答】(Ⅰ)解:由题知:a2+b2=2,曲线C2的离心率为…(2分)∵曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍,∴=即a2=b2,…(3分)∴a=b=1,∴曲线C1的方程为x2﹣y2=1;…(4分)(Ⅱ)证明:由直线AB的斜率不能为零知可设直线AB的方程为:x=ny+…(5分)与双曲线方程x2﹣y2=1联立,可得(n2﹣1)y2+2ny+1=0设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=﹣,y1y2=,…(7分)由题可设点C(,y2),由点斜式得直线AC的方程:y﹣y2=(x﹣)…(9分)令y=0,可得x===…(11分)∴直线AC过定点(,0).…(12分)15.已知双曲线Γ:的离心率e=,双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1.(Ⅰ)求双曲线Γ的方程;(Ⅱ)过点P(1,1)是否存在直线l,使直线l与双曲线Γ交于R、T两点,且点P是线段RT的中点?若直线l存在,请求直线l的方程;若不存在,说明理由.【解答】解:(Ⅰ)由题意可得e==,当P为右顶点时,可得PF取得最小值,即有c﹣a=﹣1,解得a=1,c=,b==,可得双曲线的方程为x2﹣=1;(Ⅱ)过点P(1,1)假设存在直线l,使直线l与双曲线Γ交于R、T两点,且点P是线段RT的中点.设R(x1,y1),T(x2,y2),可得x12﹣=1,x22﹣=1,两式相减可得(x1﹣x2)(x1+x2)=(y1﹣y2)(y1+y2),由中点坐标公式可得x1+x2=2,y1+y2=2,可得直线l的斜率为k===2,即有直线l的方程为y﹣1=2(x﹣1),即为y=2x﹣1,代入双曲线的方程,可得2x2﹣4x+3=0,由判别式为16﹣4×2×3=﹣8<0,可得二次方程无实数解.故这样的直线l不存在.16.已知双曲线C:的离心率e=,且b=.(Ⅰ)求双曲线C的方程;(Ⅱ)若P为双曲线C上一点,双曲线C的左右焦点分别为E、F,且•=0,求△PEF的面积.【解答】解:(Ⅰ)∵C:的离心率e=,且b=,∴=,且b=,∴a=1,c=∴双曲线C的方程;(Ⅱ)令|PE|=p,|PF|=q由双曲线定义:|p﹣q|=2a=2平方得:p2﹣2pq+q2=4•=0,∠EPF=90°,由勾股定理得:p2+q2=|EF|2=12所以pq=4即S=|PE|•|PF|=2.。
圆锥曲线综合训练题(分专题,含答案)
圆锥曲线综合训练题一、求轨迹方程:1、(1)已知双曲线1C 与椭圆2C :2213649x y +=有公共的焦点,并且双曲线的离心率1e 与椭圆的离心率2e 之比为73,求双曲线1C 的方程. (2)以抛物线28y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ,求P 点的轨迹方程. (1)解:1C 的焦点坐标为(0,13).±213e =由1273e e =得113e =设双曲线的方程为22221(,0)y x a b a b -=>则2222213139a b a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得229,4a b == 双曲线的方程为22194y x -= (2)解:设点00(,),(,)M x y P x y ,则00622x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩.代入2008y x =得:2412y x =-.此即为点P 的轨迹方程.2、(1)ABC ∆的底边16=BC ,AC 和AB 两边上中线长之和为30,建立适当的坐标系求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹.(2)△ABC 中,B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=53sinA,求点A 的轨迹方程.解: (1)以BC 所在的直线为x 轴,BC 中点为原点建立直角坐标系.设G 点坐标为()y x ,,由20=+GB GC ,知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆,且除去轴上两点.因10=a ,8=c ,有6=b ,故其方程为()013610022≠=+y y x .设()y x A ,,()y x G '',,则()013610022≠'='+'y y x . ①由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33yy x x ,代入①,得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ,其轨迹是椭圆(除去x 轴上两点).(2)分析:由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式,两边乘以2R (R 为外接圆半径),可转化为边长的关系. 解:sinC-sinB=53sinA 2RsinC-2RsinB=53·2RsinA ∴BC AC AB 53=- 即6=-AC AB (*)∴点A 的轨迹为双曲线的右支(去掉顶点) ∵2a=6,2c=10 ∴a=3, c=5, b=4所求轨迹方程为116922=-y x (x>3) 点评:要注意利用定义直接解题,这里由(*)式直接用定义说明了轨迹(双曲线右支) 3、如图,两束光线从点M (-4,1)分别射向直线y = -2上两点P (x 1,y 1)和Q (x 2,y 2)后,反射光线恰好通过椭圆C :12222=+by a x (a >b >0)的两焦点,已知椭圆的离心率为21,且x 2-x 1=56,求椭圆C 的方程. 解:设a =2k ,c =k ,k ≠0,则b =3k ,其椭圆的方程为1342222=-ky k x . 由题设条件得:114)2(120x x k ----=--+, ①224)2(120x x k ----=--+, ②x 2-x 1=56, ③ 由①、②、③解得:k =1,x 1=511-,x 2=-1,所求椭圆C 的方程为13422=+y x . 4、在面积为1的PMN ∆中,21tan =M ,2tan -=N ,建立适当的坐标系,求出以M 、N 为焦点且过P 点的椭圆方程.∴所求椭圆方程为1315422=+y x 解:以MN 的中点为原点,MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系,设),(y x P .则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-=-.1,21,2cy c x yc x y∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===233435c c y c x 且即)32,325(P ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+,43,13412252222b a ba 得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,41522b a (1)求线段PQ 的中点的轨迹方程;(2)设∠POQ 的平分线交PQ 于点R (O 为原点),求点R 的轨迹方程.解:(1)设线段PQ 的中点坐标为M (x ,y ),由Q (4,0)可得点P (2x -4,2y ),代入圆的方程x 2+y 2=4可得(2x -4)2+(2y )2=4,整理可得所求轨迹为(x -2)2+y 2=1.(2)设点R (x ,y ),P (m ,n ),由已知|OP |=2,|OQ |=4,∴21||||=OQ OP ,由角平分线性质可得||||||||RQ PR OQ OP ==21,又∵点R 在线段PQ 上,∴|PR |=21|RQ |,∴点R 分有向线段PQ 的比为21,由定比分点坐标公式可得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+=+=+⨯+=32211021342211421n n y m m x ,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=23243y n x m ,∴点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-23 ,243y x ,代入圆的方程x 2+y 2=4可得42324322=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x , 即234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916(y ≠0). ∴点R 的轨迹方程为234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916(y ≠0).6、已知动圆过定点()1,0,且与直线1x =-相切.(1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程;(2) 是否存在直线l ,使l 过点(0,1),并与轨迹C 交于,P Q 两点,且满足0OP OQ ⋅=uu u v uuu v若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由.解:(1)如图,设M 为动圆圆心, F ()1,0,过点M 作直线1x =-的垂线,垂足为N ,由题意知:MF MN =, 即动点M 到定点F 与定直线1x =-的距离相等,由抛物线的定义知,点M 的轨迹为抛物线,其中()1,0F 为焦点,1x =-为准线, ∴ 动点R 的轨迹方程为x y 42=(2)由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠, 由2(1)4x k y y x=-⎧⎨=⎩得2440y ky k -+=△216160k =->,11k k <->或设),(11y x P ,),(22y x Q ,则124y y k +=,124y y k =由0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ,即 ()11,OP x y =u u u r ,()22,OQ x y =u u u r,于是12120x x y y +=,即()()21212110ky y y y --+=,2221212(1)()0k y y k y y k +-++=,2224(1)40k k k k k +-+=g ,解得4k =-或0k =(舍去),又41k =-<-, ∴ 直线l 存在,其方程为440x y +-=7、设双曲线y ax 22231-=的两个焦点分别为F F 12、,离心率为2.(I )求此双曲线的渐近线l l 12、的方程;(II )若A 、B 分别为l l 12、上的点,且2512||||AB F F =,求线段AB 的中点M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线;(III )过点N ()10,能否作出直线l ,使l 与双曲线交于P 、Q 两点,且OP OQ →→=·0.若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由.解:(I )Θe c a =∴=2422, Θc a a c 22312=+∴==,,∴-=双曲线方程为y x 2231,渐近线方程为y x =±334分(II )设A x y B x y ()()1122,,,,AB 的中点()M x y ,[]Θ2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==⨯=∴-+-===-=+=+∴+=--=+∴+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=又,,,, ∴+=+=321321007532512222()()y x x y ,即则M 的轨迹是中心在原点,焦点在x 轴上,长轴长为103,短轴长为1033的椭圆.(9分) (III )假设存在满足条件的直线l设l y k x l P x y Q x y :,与双曲线交于,、,=-()()()11122[]ΘOP OQ x x y y x x k x x x x k x x x x i →→=∴+=∴+--=∴+-++=·00110101212122121221212()()()()由得则,y k x y x k x k x k x x k k x x k k ii =--=⎧⎨⎪⎩⎪--+-=+=-=--()()()13131633063133312222212221222由(i )(ii )得k 230+= ∴k 不存在,即不存在满足条件的直线l .8、设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点,P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点,N 为椭圆C 上异于M 的另一点,且MN⊥MQ,QN 与PT 的交点为E ,当M 沿椭圆C 运动时,求动点E 的轨迹方程.解:设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩L L L L L L L L ………3分 由(1)-(2)可得1.3MN QN k k •=-…6分又MN⊥MQ,111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-所以11.3QN y k x =直线QN 的方程为1111()3yy x x y x =+-,又直线PT 的方程为11.x y x y =-从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-代入(1)可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程. 9、已知:直线L 过原点,抛物线C 的顶点在原点,焦点在x 轴正半轴上。
圆锥曲线经典题型总结(含答案)
圆锥曲线整理1.圆锥曲线的定义:(1)椭圆:|MF 1|+|MF 2|=2a (2a >|F 1F 2|);(2)双曲线:||MF 1|-|MF 2||=2a (2a <|F 1F 2|); (3)抛物线:|MF |=d .圆锥曲线的定义是本部分的一个重点内容,在解题中有广泛的应用,在理解时要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F 1,F 2的距离的和等于常数2a ,且此常数2a 一定要大于21F F ,当常数等于21F F 时,轨迹是线段F 1F 2,当常数小于21F F 时,无轨迹;双曲线中,与两定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ,且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|,定义中的“绝对值”与2a <|F 1F 2|不可忽视。
若2a =|F 1F 2|,则轨迹是以F 1,F 2为端点的两条射线,若2a ﹥|F 1F 2|,则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程):(1)椭圆:焦点在x 轴上时12222=+b y a x (0a b >>),焦点在y 轴上时2222bx a y +=1(0a b >>)。
%(2)双曲线:焦点在x 轴上:2222b y a x - =1,焦点在y 轴上:2222b x a y -=1(0,0a b >>)。
(3)抛物线:开口向右时22(0)y px p =>,开口向左时22(0)y px p =->,开口向上时22(0)x py p =>,开口向下时22(0)x py p =->。
注意:1.圆锥曲线中求基本量,必须把圆锥曲线的方程化为标准方程。
2.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断):椭圆:由x2,y 2分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。
圆锥曲线的综合问题(含答案)
课题:圆锥曲线的综合问题 【要点回顾】1.直线与圆锥曲线的位置关系判定直线与圆锥曲线的位置关系时,通常是将直线方程与曲线方程联立,消去变量y (或x )得关于变量x (或y )的方程:ax 2+bx +c =0(或ay 2+by +c =0).若a ≠0,可考虑一元二次方程的判别式Δ,有: Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交; Δ=0⇔直线与圆锥曲线相切; Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离.若a =0且b ≠0,则直线与圆锥曲线相交,且有一个交点. 2.圆锥曲线的弦长问题设直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则弦长|AB |=1+k 2|x 1-x 2|或 1+1k2|y 1-y 2|.【热身练习】1.(教材习题改编)与椭圆x 212+y 216=1焦点相同,离心率互为倒数的双曲线方程是( )A .y 2-x 23=1 B.y 23-x 2=1 C.34x 2-38y 2=1D.34y 2-38x 2=1 解析:选A 设双曲线方程为y 2a 2-x 2b2=1(a >0,b >0),则⎩⎪⎨⎪⎧a 2+b 2=c 2,ca =2,c =2,得a =1,b = 3.故双曲线方程为y 2-x 23=1.2.(教材习题改编)直线y =kx -k +1与椭圆x 29+y 24=1的位置关系是( )A .相交B .相切C .相离D .不确定解析:选A 由于直线y =kx -k +1=k (x -1)+1过定点(1,1),而(1,1)在椭圆内,故直线与椭圆必相交.3.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y 2=4x 仅有一个公共点,这样的直线有( ) A .1条B .2条C .3条D .4条解析:选C 结合图形分析可知,满足题意的直线共有3条:直线x =0,过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x =0).4.过椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M ,与y 轴的交点为B ,若|AM |=|MB |,则该椭圆的离心率为________.解析:由题意知A 点的坐标为(-a,0),l 的方程为y =x +a ,所以B 点的坐标为(0,a ),故M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫-a 2,a 2,代入椭圆方程得a 2=3b 2,则c 2=2b 2,则c 2a 2=23,故e =63.5.已知双曲线方程是x 2-y 22=1,过定点P (2,1)作直线交双曲线于P 1,P 2两点,并使P (2,1)为P 1P 2的中点,则此直线方程是________________.解析:设点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),则由x 21-y 212=1,x 22-y 222=1,得k =y 2-y 1x 2-x 1=x 2+x 1y 2+y 1=2×42=4,从而所求方程为4x -y -7=0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x 2-56x +51=0,Δ>0,故此直线满足条件.答案:4x -y -7=0 【方法指导】1.直线与圆锥曲线的位置关系,主要涉及弦长、弦中点、对称、参数的取值范围、求曲线方程等问题.解题中要充分重视根与系数的关系和判别式的应用.2.当直线与圆锥曲线相交时:涉及弦长问题,常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式);涉及弦的中点问题,常用“点差法”设而不求,将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转化.同时还应充分挖掘题目中的隐含条件,寻找量与量间的关系灵活转化,往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点,韦达定理求弦长,根的分布找范围,曲线定义不能忘”. 【直线与圆锥曲线的位置关系】[例1] (2012·北京高考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0),离心率为22.直线y=k (x -1)与椭圆C 交于不同的两点M ,N .(1)求椭圆C 的方程; (2)当△AMN 的面积为103时,求k 的值. [自主解答] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,c a =22,a 2=b 2+c 2,解得b =2,所以椭圆C 的方程为x 24+y 22=1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y =k x -,x 24+y22=1,得(1+2k 2)x 2-4k 2x +2k 2-4=0.设点M ,N 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则y 1=k (x 1-1),y 2=k (x 2-1),x 1+x 2=4k 21+2k 2,x 1x 2=2k 2-41+2k 2,所以|MN |=x 2-x 12+y 2-y 12=+k2x 1+x 22-4x 1x 2]=2+k 2+6k21+2k2.又因为点A (2,0)到直线y =k (x -1)的距离d =|k |1+k2,所以△AMN 的面积为S =12|MN |· d =|k |4+6k 21+2k .由|k |4+6k 21+2k =103,解得k =±1. 【由题悟法】研究直线与圆锥曲线的位置关系时,一般转化为研究其直线方程与圆锥方程组成的方程组解的个数,但对于选择、填空题也可以利用几何条件,用数形结合的方法求解.【试一试】1.(2012·信阳模拟)设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ,若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点,则直线l 的斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12,12 B .[-2,2] C .[-1,1] D .[-4,4]解析:选C 易知抛物线y 2=8x 的准线x =-2与x 轴的交点为Q (-2,0),于是,可设过点Q (-2,0)的直线l 的方程为y =k (x +2)(由题可知k 是存在的),联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2=8x ,y =k x +⇒k 2x 2+(4k 2-8)x +4k 2=0.当k =0时,易知符合题意;当k ≠0时,其判别式为Δ=(4k 2-8)2-16k 4=-64k 2+64≥0, 可解得-1≤k ≤1. 【最值与范围问题】[例2] (2012·浙江高考)如图,椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12,其左焦点到点P (2,1)的距离为10.不过原点O 的直线l 与C 相交于A ,B 两点,且线段AB 被直线OP 平分.(1)求椭圆C 的方程;(2)求△ABP 面积取最大值时直线l 的方程.[自主解答] (1)设椭圆左焦点为F (-c,0),则由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧+c 2+1=10,c a =12,得⎩⎪⎨⎪⎧c =1,a =2.所以椭圆方程为x 24+y 23=1.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),线段AB 的中点为M .当直线AB 与x 轴垂直时,直线AB 的方程为x =0,与不过原点的条件不符,舍去.故可设直线AB 的方程为y =kx +m (m ≠0),由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +m ,3x 2+4y 2=12消去y ,整理得(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2-12=0, ① 则Δ=64k 2m 2-4(3+4k 2)(4m 2-12)>0,所以线段AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫-4km 3+4k 2,3m 3+4k 2.因为M 在直线OP :y =12x 上,所以3m 3+4k 2=-2km3+4k 2.得m =0(舍去)或k =-32.此时方程①为3x 2-3mx +m 2-3=0,则Δ=3(12-m 2)>0,⎩⎪⎨⎪⎧x 1+x 2=m ,x 1x 2=m 2-33.所以|AB |=1+k 2·|x 1-x 2|=396·12-m 2, 设点P 到直线AB 的距离为d ,则d =|8-2m |32+22=2|m -4|13. 设△ABP 的面积为S ,则S =12|AB |·d =36·m -2-m2.其中m ∈(-23,0)∪(0,23).令u (m )=(12-m 2)(m -4)2,m ∈[-23,2 3 ],u ′(m )=-4(m -4)(m 2-2m -6)=-4(m -4)(m -1-7)(m -1+7).所以当且仅当m =1-7时,u (m )取到最大值. 故当且仅当m =1-7时,S 取到最大值. 综上,所求直线l 的方程为3x +2y +27-2=0. 【由题悟法】1.解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种:几何法和代数法.(1)若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来解决,这就是几何法; (2)若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可首先建立起目标函数,再求这个函数的最值,这就是代数法.2.在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑: (1)利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围;(2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系; (3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围; (4)利用基本不等式求出参数的取值范围; (5)利用函数的值域的求法,确定参数的取值范围. 【试一试】2.(2012·东莞模拟)已知抛物线y 2=2px (p ≠0)上存在关于直线x +y =1对称的相异两点,则实数p 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫-23,0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫-32,0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,32 解析:选B 设抛物线上关于直线x +y =1对称的两点是M (x 1,y 1)、N (x 2,y 2),设直线MN 的方程为y =x +b .将y =x +b 代入抛物线方程,得x 2+(2b -2p )x +b 2=0,则x 1+x 2=2p -2b ,y 1+y 2=(x 1+x 2)+2b =2p ,则MN 的中点P 的坐标为(p -b ,p ).因为点P 在直线x +y =1上,所以2p -b =1,即b =2p -1.又Δ=(2b -2p )2-4b 2=4p 2-8bp >0,将b =2p -1代入得4p 2-8p (2p -1)>0,即3p 2-2p <0,解得0<p <23. 【定点定值问题】[例3] (2012·辽宁高考)如图,椭圆C 0:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0,a ,b 为常数),动圆C 1:x 2+y 2=t 21,b <t 1<a .点A 1,A 2分别为C 0的左,右顶点,C 1与C 0相交于A ,B ,C ,D 四点.(1)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程;(2)设动圆C 2:x 2+y 2=t 22与C 0相交于A ′,B ′,C ′,D ′四点,其中b <t 2<a ,t 1≠t 2.若矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等,证明:t 21+t 22为定值.[自主解答] (1)设 A (x 1,y 1),B (x 1,-y 1),又知A 1(-a,0),A 2(a,0),则直线A 1A 的方程为y =y 1x 1+a(x +a ),①直线A 2B 的方程为y =-y 1x 1-a(x -a ).② 由①②得y 2=-y 21x 21-a2(x 2-a 2).③由点A (x 1,y 1)在椭圆C 0上,故x 21a 2+y 21b2=1.从而y 21=b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1-x 21a 2,代入③得x 2a 2-y 2b 2=1(x <-a ,y <0). (2)证明:设A ′(x 2,y 2),由矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等,得4|x 1||y 1|=4|x 2|·|y 2|, 故x 21y 21=x 22y 22.因为点A ,A ′均在椭圆上,所以b 2x 21⎝ ⎛⎭⎪⎫1-x 21a 2=b 2x 22⎝ ⎛⎭⎪⎫1-x 22a 2.由t 1≠t 2,知x 1≠x 2,所以x 21+x 22=a 2,从而y 21+y 22=b 2, 因此t 21+t 22=a 2+b 2为定值. 【由题悟法】1.求定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手,求出表达式,再证明这个值与变量无关;(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值. 2.定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时,可设出直线方程为y =kx +b ,然后利用条件建立b 、k 等量关系进行消元,借助于直线系方程找出定点;(2)从特殊情况入手,先探求定点,再证明一般情况. 【试一试】3.(2012·山东省实验中学模拟)已知抛物线y 2=2px (p ≠0)及定点A (a ,b ),B (-a,0),ab ≠0,b 2≠2pa ,M 是抛物线上的点.设直线AM ,BM 与抛物线的另一个交点分别为M 1,M 2,当M 变动时,直线M 1M 2恒过一个定点,此定点坐标为________.解析:设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ,y 0,M 1⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212p ,y 1,M 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222p ,y 2,由点A ,M ,M 1共线可知y 0-b y 202p-a=y 1-y 0y 212p -y 202p,得y 1=by 0-2pa y 0-b ,同理由点B ,M ,M 2共线得y 2=2pa y 0.设(x ,y )是直线M 1M 2上的点,则y 2-y 1y 222p -y 212p =y 2-y y 222p-x ,即y 1y 2=y (y 1+y 2)-2px ,又y 1=by 0-2pa y 0-b ,y 2=2pay 0, 则(2px -by )y 02+2pb (a -x )y 0+2pa (by -2pa )=0. 当x =a ,y =2pa b时上式恒成立,即定点为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ,2pa b .答案:⎝⎛⎭⎪⎫a ,2pa b。
圆锥曲线经典题目(含答案解析)
圆锥曲线经典题型一.选择题(共10小题)1.直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1(b>0)有两个不同的交点,则此双曲线离心率的范围是()A.(1,)B.(,+∞) C.(1,+∞)D.(1,)∪(,+∞)2.已知M(x0,y0)是双曲线C:=1上的一点,F1,F2是C的左、右两个焦点,若<0,则y0的取值范围是()A.B.C. D.3.设F1,F2分别是双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使得,其中O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为()A.B. C.D.4.过双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点F作直线y=﹣x的垂线,垂足为A,交双曲线左支于B点,若=2,则该双曲线的离心率为()A.B.2 C.D.5.若双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x﹣2)2+y2=2相交,则此双曲线的离心率的取值范围是()A.(2,+∞)B.(1,2) C.(1,)D.(,+∞)6.已知双曲线C:的右焦点为F,以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M,且MF与双曲线的实轴垂直,则双曲线C的离心率为()A.B.C.D.27.设点P是双曲线=1(a>0,b>0)上的一点,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,已知PF1⊥PF2,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线的一条渐近线方程是()A.B.C.y=2x D.y=4x8.已知双曲线的渐近线与圆x2+(y﹣2)2=1相交,则该双曲线的离心率的取值范围是()A.(,+∞) B.(1,)C.(2.+∞)D.(1,2)9.如果双曲线经过点P(2,),且它的一条渐近线方程为y=x,那么该双曲线的方程是()A.x2﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=110.已知F是双曲线C:x2﹣=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为()A.B.C.D.二.填空题(共2小题)11.过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点,若|PQ|=8,F2是双曲线的右焦点,则△PF2Q的周长是.12.设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使,O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为.三.解答题(共4小题)13.已知点F1、F2为双曲线C:x2﹣=1的左、右焦点,过F2作垂直于x轴的直线,在x轴上方交双曲线C于点M,∠MF1F2=30°.(1)求双曲线C的方程;(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为P1、P2,求的值.14.已知曲线C1:﹣=1(a>0,b>0)和曲线C2:+=1有相同的焦点,曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍.(Ⅰ)求曲线C1的方程;(Ⅱ)设点A是曲线C1的右支上一点,F为右焦点,连AF交曲线C1的右支于点B,作BC垂直于定直线l:x=,垂足为C,求证:直线AC恒过x轴上一定点.15.已知双曲线Γ:的离心率e=,双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1.(Ⅰ)求双曲线Γ的方程;(Ⅱ)过点P(1,1)是否存在直线l,使直线l与双曲线Γ交于R、T两点,且点P是线段RT的中点若直线l存在,请求直线l的方程;若不存在,说明理由.16.已知双曲线C:的离心率e=,且b=.(Ⅰ)求双曲线C的方程;(Ⅱ)若P为双曲线C上一点,双曲线C的左右焦点分别为E、F,且=0,求△PEF的面积.一.选择题(共10小题)1.直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1(b>0)有两个不同的交点,则此双曲线离心率的范围是()A.(1,)B.(,+∞) C.(1,+∞)D.(1,)∪(,+∞)【解答】解:∵直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1(b>0)有两个不同的交点,∴1>b>0或b>1.∴e==>1且e≠.故选:D.2.已知M(x0,y0)是双曲线C:=1上的一点,F1,F2是C的左、右两个焦点,若<0,则y0的取值范围是()A.B.C. D.【解答】解:由题意,=(﹣﹣x0,﹣y0)(﹣x0,﹣y0)=x02﹣3+y02=3y02﹣1<0,所以﹣<y0<.故选:A.3.设F1,F2分别是双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使得,其中O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为()A.B. C.D.【解答】解:取PF2的中点A,则∵,∴⊥∵O是F1F2的中点∴OA∥PF1,∴PF1⊥PF2,∵|PF1|=3|PF2|,∴2a=|PF1|﹣|PF2|=2|PF2|,∵|PF1|2+|PF2|2=4c2,∴10a2=4c2,∴e=故选C.4.过双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点F作直线y=﹣x的垂线,垂足为A,交双曲线左支于B点,若=2,则该双曲线的离心率为()A.B.2 C.D.【解答】解:设F(c,0),则直线AB的方程为y=(x﹣c)代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A(,﹣),由=2,可得B(﹣,﹣),把B点坐标代入双曲线方程﹣=1,即=1,整理可得c=a,即离心率e==.故选:C.5.若双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x﹣2)2+y2=2相交,则此双曲线的离心率的取值范围是()A.(2,+∞)B.(1,2) C.(1,)D.(,+∞)【解答】解:∵双曲线渐近线为bx±ay=0,与圆(x﹣2)2+y2=2相交∴圆心到渐近线的距离小于半径,即∴b2<a2,∴c2=a2+b2<2a2,∴e=<∵e>1∴1<e<故选C.6.已知双曲线C:的右焦点为F,以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M,且MF与双曲线的实轴垂直,则双曲线C的离心率为()A.B.C.D.2【解答】解:设F(c,0),渐近线方程为y=x,可得F到渐近线的距离为=b,即有圆F的半径为b,令x=c,可得y=±b=±,由题意可得=b,即a=b,c==a,即离心率e==,故选C.7.设点P是双曲线=1(a>0,b>0)上的一点,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,已知PF1⊥PF2,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线的一条渐近线方程是()A.B.C.y=2x D.y=4x【解答】解:由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a,又|PF1|=2|PF2|,得|PF2|=2a,|PF1|=4a;在RT△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,∴4c2=16a2+4a2,即c2=5a2,则b2=4a2.即b=2a,双曲线=1一条渐近线方程:y=2x;故选:C.8.已知双曲线的渐近线与圆x2+(y﹣2)2=1相交,则该双曲线的离心率的取值范围是()A.(,+∞) B.(1,)C.(2.+∞)D.(1,2)【解答】解:∵双曲线渐近线为bx±ay=0,与圆x2+(y﹣2)2=1相交∴圆心到渐近线的距离小于半径,即<1∴3a2<b2,∴c2=a2+b2>4a2,∴e=>2故选:C.9.如果双曲线经过点P(2,),且它的一条渐近线方程为y=x,那么该双曲线的方程是()A.x2﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1【解答】解:由双曲线的一条渐近线方程为y=x,可设双曲线的方程为x2﹣y2=λ(λ≠0),代入点P(2,),可得λ=4﹣2=2,可得双曲线的方程为x2﹣y2=2,即为﹣=1.故选:B.10.已知F是双曲线C:x2﹣=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为()A.B.C.D.【解答】解:由双曲线C:x2﹣=1的右焦点F(2,0),PF与x轴垂直,设(2,y),y>0,则y=3,则P(2,3),∴AP⊥PF,则丨AP丨=1,丨PF丨=3,∴△APF的面积S=×丨AP丨×丨PF丨=,同理当y<0时,则△APF的面积S=,故选D.二.填空题(共2小题)11.过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点,若|PQ|=8,F2是双曲线的右焦点,则△PF2Q的周长是20.【解答】解:∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=8∵双曲线x2﹣=1的通径为==8∵PQ=8∴PQ是双曲线的通径∴PQ⊥F1F2,且PF1=QF1=PQ=4∵由题意,|PF2|﹣|PF1|=2,|QF2|﹣|QF1|=2∴|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+4=4+4+4=12∴△PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=12+8=20,故答案为20.12.设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使,O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为.【解答】解:取PF2的中点A,则∵,∴2=0,∴,∵OA是△PF1F2的中位线,∴PF1⊥PF2,OA=PF1.由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a,∵|PF1|=|PF2|,∴|PF2|=,|PF1|=.△PF1F2中,由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2,∴()2+()2=4c2,∴e=.故答案为:.三.解答题(共4小题)13.已知点F1、F2为双曲线C:x2﹣=1的左、右焦点,过F2作垂直于x轴的直线,在x轴上方交双曲线C于点M,∠MF1F2=30°.(1)求双曲线C的方程;(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为P1、P2,求的值.【解答】解:(1)设F2,M的坐标分别为,因为点M在双曲线C上,所以,即,所以,在Rt△MF2F1中,∠MF1F2=30°,,所以…(3分)由双曲线的定义可知:故双曲线C的方程为:…(6分)(2)由条件可知:两条渐近线分别为…(8分)设双曲线C上的点Q(x0,y0),设两渐近线的夹角为θ,则点Q到两条渐近线的距离分别为,…(11分)因为Q(x0,y0)在双曲线C:上,所以,又cosθ=,所以=﹣…(14分)14.已知曲线C1:﹣=1(a>0,b>0)和曲线C2:+=1有相同的焦点,曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍.(Ⅰ)求曲线C1的方程;(Ⅱ)设点A是曲线C1的右支上一点,F为右焦点,连AF交曲线C1的右支于点B,作BC垂直于定直线l:x=,垂足为C,求证:直线AC恒过x轴上一定点.【解答】(Ⅰ)解:由题知:a2+b2=2,曲线C2的离心率为…(2分)∵曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍,∴=即a2=b2,…(3分)∴a=b=1,∴曲线C1的方程为x2﹣y2=1;…(4分)(Ⅱ)证明:由直线AB的斜率不能为零知可设直线AB的方程为:x=ny+…(5分)与双曲线方程x2﹣y2=1联立,可得(n2﹣1)y2+2ny+1=0设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=﹣,y1y2=,…(7分)由题可设点C(,y2),由点斜式得直线AC的方程:y﹣y2=(x﹣)…(9分)令y=0,可得x===…(11分)∴直线AC过定点(,0).…(12分)15.已知双曲线Γ:的离心率e=,双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1.(Ⅰ)求双曲线Γ的方程;(Ⅱ)过点P(1,1)是否存在直线l,使直线l与双曲线Γ交于R、T两点,且点P是线段RT的中点若直线l存在,请求直线l的方程;若不存在,说明理由.【解答】解:(Ⅰ)由题意可得e==,当P为右顶点时,可得PF取得最小值,即有c﹣a=﹣1,解得a=1,c=,b==,可得双曲线的方程为x2﹣=1;(Ⅱ)过点P(1,1)假设存在直线l,使直线l与双曲线Γ交于R、T两点,且点P是线段RT的中点.设R(x1,y1),T(x2,y2),可得x12﹣=1,x22﹣=1,两式相减可得(x1﹣x2)(x1+x2)=(y1﹣y2)(y1+y2),由中点坐标公式可得x1+x2=2,y1+y2=2,可得直线l的斜率为k===2,即有直线l的方程为y﹣1=2(x﹣1),即为y=2x﹣1,代入双曲线的方程,可得2x2﹣4x+3=0,由判别式为16﹣4×2×3=﹣8<0,可得二次方程无实数解.故这样的直线l不存在.16.已知双曲线C:的离心率e=,且b=.(Ⅰ)求双曲线C的方程;(Ⅱ)若P为双曲线C上一点,双曲线C的左右焦点分别为E、F,且=0,求△PEF的面积.【解答】解:(Ⅰ)∵C:的离心率e=,且b=,∴=,且b=,∴a=1,c=∴双曲线C的方程;(Ⅱ)令|PE|=p,|PF|=q由双曲线定义:|p﹣q|=2a=2平方得:p2﹣2pq+q2=4=0,∠EPF=90°,由勾股定理得:p2+q2=|EF|2=12所以pq=4即S=|PE||PF|=2.。
圆锥曲线大题20道[含答案]
(x3-c,y3-0)=3(x2-c,y2-0),
∴y3=3y2即 =3,④……………………10分
将④代入③,得 b=3a.……………………11分
又由(Ⅰ)知, · =0,
∴y1y2=-4p2,代入①,
得-2pa=-4 p2∴a=2p,……………………13分
∴b=6p,
2..已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左.右焦点为F1、F2,离心率为e.直线
l:y=ex+a与x轴.y轴分别交于点A、B,M是直线l与椭圆C的一个公共点,P是点F1关于直线l的对称点,设 =λ .
(Ⅰ)证明:λ=1-e2;
(Ⅱ)确定λ的值,使得△PF1F2是等腰三角形.
(Ⅰ)证法一:因为A、B分别是直线l: 与x轴、y轴的交点,所以A、B的坐标分别是 .
得
所求椭圆F方程 (6分)
(Ⅱ)由
显然
代入 (7分)
与椭圆F有两不同公共点的充要条件是
(8分)
即
设
(9分)
(10分)
(11分)
得 得 (12分)
代入
(13分)
又 (1 (9分)
得 得 ④ (11分)
由③、④得
且P(x0,y0)在椭圆F内部
得 (13分)
又 (14分)
∴当且仅当
或 …………12分
椭圆长轴
或
故所求椭圆方程为 .或 …………14分
解:(Ⅰ)∵ · =0,则x1x2+y1y2=0,……………………1分
又P、Q在抛物线上,
∴y12=2px1,y22=2px2,
∴ +y1y2=0, y1y2=-4p2,
∴|y1y2|=4p2,……………………3分
圆锥曲线经典好题目(带答案)
圆锥曲线练习题一、填空题1. 一个动点到两个定点A ,B 的距离的差为定值(小于两个定点A ,B 的距离),则动点的轨迹为________.2. (2011·海安中学模拟)若椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx 的焦点F 分成5∶3的两段,则此椭圆的离心率为________.3. 已知动圆过定点(0,-1),且与定直线y =1相切,则动圆圆心的轨迹方程为________.4. (2010·天津)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程是y =3x ,它的一个焦点与抛物线y 2=16x 的焦点相同,则双曲线的方程为________.5. 已知P 为抛物线y 2=4x 的焦点,过P 的直线l 与抛物线交于A ,B 两点,若Q 在直线l 上,且满足|AP →|·|QB →|=|AQ →|·|PB →|,则点Q 总在定直线x =-1上.试猜测:如果P 为椭圆x 225+y 29=1的左焦点,过P 的直线l 与椭圆交于A ,B 两点,若Q 在直线l 上,且满足|AP →|·|QB →|=|AQ →|·|PB →|,则点Q 总在定直线________上.6. 过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点,若线段AB 的长为8,则p =________.7. (2010·重庆)已知以F 为焦点的抛物线y 2=4x 上的两点A 、B 满足AF →=3FB →,则弦AB 的中点到准线的距离为________.8. 已知过椭圆的左焦点F 1且倾斜角为60°的直线交椭圆于A 、B 两点,若F 1A =2F 1B ,则椭圆的离心率为________.二、解答题9. 抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线x 2a 2-y 2b2=1的一个焦点,且与双曲线实轴垂直,已知抛物线与双曲线的交点为⎝⎛⎭⎫32,6.求抛物线与双曲线的方程.10. 如图,已知过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点的直线x -my +m =0与抛物线交于A 、B 两点,且△OAB (O 为坐标原点)的面积为22,求m 6+m 4的值.O lxyA B F ·M第17题 11. 如图,已知抛物线:C 22(0)y px p =>的准线为l ,焦点为F .⊙M 的圆心在x 轴的正半轴上,且与y 轴相切.过原点O 作倾斜角为3π的直线n ,交l 于点A , 交⊙M 于另一点B ,且2AO OB ==.(Ⅰ)求⊙M 和抛物线C 的方程;(Ⅱ)若P 为抛物线C 上的动点,求PM PF ⋅的最小值; (Ⅲ)过l 上的动点Q 向⊙M 作切线,切点为,S T ,求证:直线ST 恒过一个定点,并求该定点的坐标.12. 如图,已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的长轴为AB ,过点B 的直线l 与x 轴垂直.直线(2-k )x -(1+2k )y +(1+2k )=0(k ∈R )所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点,且椭圆的离心率e=32. (1)求椭圆的标准方程;(2)设P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点,PH ⊥x 轴,H 为垂足,延长HP 到点Q 使得HP=PQ ,连结AQ 延长交直线l 于点M ,N 为MB 的中点.试求OQ →·NQ →的值,并由此判断直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系.参考答案1. 双曲线的一支 解析:由双曲线的定义可知是双曲线的一支,故填双曲线的一支.2. 255 解析:由题意可知FF 2=38F 1F 2,即c -b 2=38⨯2c ,化简得c =2b ,所以c 2=4(a 2-c 2),此椭圆的离心率e =c a =255.3. x 2=-4y 解析:圆心到定点(0,-1)的距离与到定直线y =1的距离相等,都等于圆的半径,由抛物线的定义可知,动圆圆心的轨迹是以定点为焦点,定直线为准线的抛物线,其方程为x 2=-4y .4. x 24-y 212=1 解析:由渐近线方程可知ba =3,① 因为抛物线的焦点为(4,0),所以c =4,② 又c 2=a 2+b 2,③联立①②③,解得a 2=4,b 2=12,所以双曲线的方程为x 24-y 212=1.5. x =-254解析:x =-1是抛物线的准线,应用类比推理可知点Q 所在的定直线为椭圆的左准线,其方程为x =-254.6. 2 解析:由题意可知过焦点的直线方程为y =x -p 2,联立有⎩⎪⎨⎪⎧y 2=2px ,y =x -p 2⇒x 2-3px +p 24=0, 由AB =x 1+x 2+p =8,得4p =8⇒p =2. 7. 83解析:如图,过点A 、B 作准线的垂线交准线于A 1B 1,过B 作BC ⊥AA 1于C ,设BF =m ,由抛物线的定义知AA 1=3m ,BB 1=m ,∴△ABC 中,AC =2m ,AB =4m ,k AB =3,直线AB 方程为y =3(x -1),与抛物线方程联立消y 得3x 2-10x +3=0,所以AB 中点到准线距离为x 1+x 22+1=53+1=83.8. 23解析:如图,过B 作AC 的垂线,垂足为E ,由题意和椭圆第二定义可知E 为AC 的中点,cos 60︒=AE AB =DB 3BF 1=13e ,故e =23.9. 由题意知,抛物线焦点在x 轴上,开口方向向右,可设抛物线方程为y 2=2px (p >0),将交点⎝⎛⎭⎫32,6代入得p =2,故抛物线方程为y 2=4x ,焦点坐标为(1,0),这也是双曲线的一个焦点,则c =1.又点⎝⎛⎭⎫32,6也在双曲线上,因此有94a 2-6b2=1.又a 2+b 2=1,解得a 2=14,b 2=34,因此,双曲线的方程为4x 2-4y 23=1.10. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由题意可知,p2=-m ,将x =my -m 代入抛物线方程整理得y 2-2pmy +2pm =0,由韦达定理得y 1+y 2=2pm ,y 1y 2=2pm ,∴(y 1-y 2)2=(y 1+y 2)2-4y 1y 2=(2pm )2-8pm =16m 4+16m 2,又△OAB 的面积 S =12⨯p 2|y 1-y 2|=12⨯(-m )⨯4m 4+m 2=22,两边平方即可得m 6+m 4=2. 11.解:(Ⅰ)因为1cos602122p OA =⋅=⨯=,即2p =,所以抛物线C 的方程为24y x = 设⊙M 的半径为r ,则122cos 60OB r =⋅=, 所以M 的方程为22(2)4x y -+=(Ⅱ)设(,)(0)P x y x ≥,则(2,)(1,)PM PF x y x y ⋅=----=222322x x y x x -++=++ 所以当0x =时, PM PF ⋅有最小值为2(Ⅲ)以点Q 为圆心,QS 为半径作⊙Q,则线段ST 即为⊙Q 与⊙M 的公共弦设点(1,)Q t -,则22245QS QM t =-=+,所以⊙Q 的方程为222(1)()5x y t t ++-=+ 从而直线TS 的方程为320x ty --=(*)因为230x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩一定是方程(*)的解,所以直线TS 恒过一个定点,且该定点坐标为2(,0)312. (1)将(2-k )x -(1+2k )y +(1+2k )=0整理得 (-x -2y +2)k +2x -y +1=0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧-x -2y +2=0,2x -y +1=0,得直线所经过的定点(0,1),所以b =1.由离心率e =32得a =2,所以椭圆的标准方程为x 24+y 2=1.。
圆锥曲线23道经典题(含答案)
= 1(a > b > 0)左、右焦点为 F1、 F2离心率为
3 3
过
F2
的直线
l交C于A、
B两点,若 Δ AF1B的周长为 4 3则C的方程为( )
A.
x2 3
+
y2 2
=1
B.
x2 3
+ y2
=1
C.
x2 12
+
y2 8
=1
D.
x2 12
+
y2 4
=1
3(2014重庆8,5分)
设
F1
F2 分别为双曲线
11
12
13
14 抛物线的标准方程为 x2 = -12y ,由此可以判断焦点在 y 轴上且开口向下且 p=6, 所以其准线方程为 y=3 15
16
17 18
19
20 21
22
23
24
− y0y
=
1与直线AF相交于点M,与直线
x
=
3 2
相交于点N。证明:当点P在C上移动时,
∣N
F
∣ 恒为定值,并求出此定值。
19(2014陕西,20,13分)
2
如图,曲线C
由上半椭圆
C1
y2 a2
+
x2 b2
= 1(a > b > 0, y ⩾ 0)和部分抛物线
C2 : y = −x2 + 1(y ⩽ 0)连接而成, C1与 C2的公共点为A,B,其中 C1的离心率为
1)作斜率为
−
1 2
的直线与椭圆
C
:
x2 a2
+பைடு நூலகம்
(完整版)圆锥曲线知识点+例题+练习含答案(整理).docx
(完整版)圆锥曲线知识点+例题+练习含答案(整理).docx圆锥曲线⼀、椭圆:( 1)椭圆的定义:平⾯内与两个定点F1 , F2的距离的和等于常数(⼤于| F1 F2 |)的点的轨迹。
其中:两个定点叫做椭圆的焦点,焦点间的距离叫做焦距。
注意: 2a | F1F2 | 表⽰椭圆;2a | F1F2|表⽰线段F1F2; 2a| F1F 2 |没有轨迹;(2)椭圆的标准⽅程、图象及⼏何性质:中⼼在原点,焦点在x 轴上中⼼在原点,焦点在y 轴上标准⽅程图形x2y2y2x2a2b 21( a b 0)a 2b21(ab 0)yB 2yB 2P F2 PA 1 A 2x A 1xA 2OF1O F21B 1FB 1顶点对称轴焦点焦距离⼼率通径2b2aA1 (a,0), A2 (a,0)A1( b,0), A2 (b,0)B1 (0, b), B2(0, b)B1( 0,a), B2 (0, a) x 轴,y轴;短轴为2b,长轴为2aF1 (c,0), F2(c,0)F1 ( 0,c), F2 (0,c)| F1 F2 | 2c(c 0)c2 a 2 b 2(0 e 1) (离⼼率越⼤,椭圆越扁)a(过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段)3.常⽤结论:(1)椭圆x2y21(a b 0) 的两个焦点为F1, F2,过F1的直线交椭圆于A, B两a2 b 2点,则ABF 2的周长=(2)设椭圆x2y2221( a b 0)左、右两个焦点为 F1, F2,过 F1且垂直于对称轴的直线a b交椭圆于 P, Q 两点,则 P, Q 的坐标分别是| PQ |⼆、双曲线:( 1)双曲线的定义:平⾯内与两个定点F1 , F2的距离的差的绝对值等于常数(⼩于| F1F2 | )的点的轨迹。
其中:两个定点叫做双曲线的焦点,焦点间的距离叫做焦距。
注意: | PF1 || PF2 | 2a 与 | PF2 | | PF1 |2a ( 2a| F1F2 | )表⽰双曲线的⼀⽀。
高三数学圆锥曲线试题答案及解析
高三数学圆锥曲线试题答案及解析1.设、是定点,且均不在平面上,动点在平面上,且,则点的轨迹为()A.圆或椭圆B.抛物线或双曲线C.椭圆或双曲线D.以上均有可能【答案】D【解析】以为高线,为顶点作顶角为的圆锥面,则点就在这个圆锥面上,用平面截这个圆锥面所得截线就是点的轨迹,它可能是圆、椭圆、抛物线、双曲线,因此选D.【考点】圆锥曲线的性质.2.已知点是双曲线右支上一点,是双曲线的左焦点,且双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线,则该双曲线的离心率是( )A.B.C.D.【答案】D【解析】设直线:求直线与渐近线的交点,解得:是的中点,利用中点坐标公式,得,在双曲线上,所以代入双曲线方程得:,整理得,解得.故选D.【考点】1.双曲线的几何性质;2.双曲线的方程.3.已知椭圆的焦点重合,则该椭圆的离心率是.【答案】【解析】抛物线的焦点为,椭圆的方程为:,所以离心率.【考点】1、椭圆与抛物线的焦点;2、圆的离心率.4.已知双曲线的左、右焦点分别为,以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为,则此双曲线的方程为()A.B.C.D.【答案】C【解析】由条件得:,即,而,渐近线为,在上,所以,得,所以双曲线方程为.【考点】1.双曲线方程的求法;2.双曲线的渐近线.5.已知动点到定点和的距离之和为.(Ⅰ)求动点轨迹的方程;(Ⅱ)设,过点作直线,交椭圆异于的两点,直线的斜率分别为,证明:为定值.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)证明过程详见解析.【解析】本题考查椭圆的基本量间的关系及韦达定理的应用.第一问是考查椭圆的基本量间的关系,比较简单;第二问是直线与椭圆相交于两点,先设出两点坐标,本题的突破口是在消参后的方程中找出两根之和、两根之积,整理斜率的表达式,但是在本问中需考虑直线的斜率是否存在,此题中蕴含了分类讨论的思想的应用.试题解析:(Ⅰ)由椭圆定义,可知点的轨迹是以为焦点,以为长轴长的椭圆.由,得.故曲线的方程为. 5分(Ⅱ)当直线的斜率存在时,设其方程为,由,得. 7分设,,,.从而.11分当直线的斜率不存在时,得,得.综上,恒有. 12分【考点】1.三角形面积公式;2.余弦定理;3.韦达定理;4.椭圆的定义.6.已知双曲线的左、右焦点分别为,以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为,则此双曲线的方程为()A.B.C.D.【答案】C【解析】由条件得:,即,而,渐近线为,在上,所以,得,所以双曲线方程为.【考点】1.双曲线方程的求法;2.双曲线的渐近线.7.已知椭圆的中心在坐标原点,右准线为,离心率为.若直线与椭圆交于不同的两点、,以线段为直径作圆.(1)求椭圆的标准方程;(2)若圆与轴相切,求圆被直线截得的线段长.【答案】(1);(2).【解析】(1)先根据题中的条件确定、的值,然后利用求出的值,从而确定椭圆的方程;(2)先确定点的坐标,求出圆的方程,然后利用点(圆心)到直线的距离求出弦心距,最后利用勾股定理求出直线截圆所得的弦长.试题解析:(1)设椭圆的方程为,由题意知,,解得,则,,故椭圆的标准方程为 5分(2)由题意可知,点为线段的中点,且位于轴正半轴,又圆与轴相切,故点的坐标为,不妨设点位于第一象限,因为,所以, 7分代入椭圆的方程,可得,因为,解得, 10分所以圆的圆心为,半径为,其方程为 12分因为圆心到直线的距离 14分故圆被直线截得的线段长为 16分【考点】椭圆的方程、点到直线的距离、勾股定理8.已知为抛物线的焦点,抛物线上点满足(Ⅰ)求抛物线的方程;(Ⅱ)点的坐标为(,),过点F作斜率为的直线与抛物线交于、两点,、两点的横坐标均不为,连结、并延长交抛物线于、两点,设直线的斜率为,问是否为定值,若是求出该定值,若不是说明理由.【答案】(Ⅰ),(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)利用抛物线的定义得到,再得到方程;(Ⅱ)利用点的坐标表示直线的斜率,设直线的方程,通过联立方程,利用韦达定理计算的值.试题解析:(Ⅰ)由题根据抛物线定义,所以,所以为所求. 2分(Ⅱ)设则,同理 4分设AC所在直线方程为,联立得所以, 6分同理 (8分)所以 9分设AB所在直线方程为联立得, 10分所以所以 12分【考点】抛物线标准方程,直线与抛物线位置关系的应用.9.极坐标系中椭圆C的方程为以极点为原点,极轴为轴非负半轴,建立平面直角坐标系,且两坐标系取相同的单位长度. (Ⅰ)求该椭圆的直角标方程;若椭圆上任一点坐标为,求的取值范围;(Ⅱ)若椭圆的两条弦交于点,且直线与的倾斜角互补,求证:.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)详见解析【解析】将椭圆的极坐标方程转化为一般标准方程,再利用换元法求范围,利用参数方程代入,计算得到结果.试题解析:(Ⅰ)该椭圆的直角标方程为, 2分设,所以的取值范围是 4分(Ⅱ)设直线的倾斜角为,直线的倾斜角为,则直线的参数方程为(为参数),(5分)代入得:即 7分同理 9分所以(10分)【考点】极坐标、参数方程,换元法应用.10.已知直线,,过的直线与分别交于,若是线段的中点,则等于()A.12B.C.D.【答案】B【解析】设、,所以、.所以.故选B.【考点】两点之间的距离点评:主要是考查了两点之间的距离的运用,属于基础题。
(完整版)圆锥曲线经典题目(含答案)
圆锥曲线经典题型一.选择题(共10小题)1.直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1(b>0)有两个不同的交点,则此双曲线离心率的范围是()A.(1,)B.(,+∞) C.(1,+∞)D.(1,)∪(,+∞)2.已知M(x0,y0)是双曲线C:=1上的一点,F1,F2是C的左、右两个焦点,若<0,则y0的取值范围是()A.B.C. D.3.设F1,F2分别是双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使得,其中O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为()A.B. C.D.4.过双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点F作直线y=﹣x的垂线,垂足为A,交双曲线左支于B点,若=2,则该双曲线的离心率为()A.B.2 C.D.5.若双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x﹣2)2+y2=2相交,则此双曲线的离心率的取值范围是()A.(2,+∞)B.(1,2) C.(1,)D.(,+∞)6.已知双曲线C:的右焦点为F,以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M,且MF与双曲线的实轴垂直,则双曲线C的离心率为()A.B.C.D.27.设点P是双曲线=1(a>0,b>0)上的一点,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,已知PF1⊥PF2,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线的一条渐近线方程是()A.B.C.y=2x D.y=4x8.已知双曲线的渐近线与圆x2+(y﹣2)2=1相交,则该双曲线的离心率的取值范围是()A.(,+∞) B.(1,)C.(2.+∞)D.(1,2)9.如果双曲线经过点P(2,),且它的一条渐近线方程为y=x,那么该双曲线的方程是()A.x2﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=110.已知F是双曲线C:x2﹣=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为()A.B.C.D.二.填空题(共2小题)11.过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点,若|PQ|=8,F2是双曲线的右焦点,则△PF2Q的周长是.12.设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使,O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为.三.解答题(共4小题)13.已知点F1、F2为双曲线C:x2﹣=1的左、右焦点,过F2作垂直于x轴的直线,在x轴上方交双曲线C于点M,∠MF1F2=30°.(1)求双曲线C的方程;(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为P1、P2,求•的值.14.已知曲线C1:﹣=1(a>0,b>0)和曲线C2:+=1有相同的焦点,曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍.(Ⅰ)求曲线C1的方程;(Ⅱ)设点A是曲线C1的右支上一点,F为右焦点,连AF交曲线C1的右支于点B,作BC垂直于定直线l:x=,垂足为C,求证:直线AC恒过x轴上一定点.15.已知双曲线Γ:的离心率e=,双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1.(Ⅰ)求双曲线Γ的方程;(Ⅱ)过点P(1,1)是否存在直线l,使直线l与双曲线Γ交于R、T两点,且点P是线段RT的中点?若直线l存在,请求直线l的方程;若不存在,说明理由.16.已知双曲线C:的离心率e=,且b=.(Ⅰ)求双曲线C的方程;(Ⅱ)若P为双曲线C上一点,双曲线C的左右焦点分别为E、F,且•=0,求△PEF的面积.一.选择题(共10小题)1.直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1(b>0)有两个不同的交点,则此双曲线离心率的范围是()A.(1,)B.(,+∞) C.(1,+∞)D.(1,)∪(,+∞)【解答】解:∵直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1(b>0)有两个不同的交点,∴1>b>0或b>1.∴e==>1且e≠.故选:D.2.已知M(x0,y0)是双曲线C:=1上的一点,F1,F2是C的左、右两个焦点,若<0,则y0的取值范围是()A.B.C. D.【解答】解:由题意,=(﹣﹣x0,﹣y0)•(﹣x0,﹣y0)=x02﹣3+y02=3y02﹣1<0,所以﹣<y0<.故选:A.3.设F1,F2分别是双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使得,其中O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为()A.B. C.D.【解答】解:取PF2的中点A,则∵,∴⊥∵O是F1F2的中点∴OA∥PF1,∴PF1⊥PF2,∵|PF1|=3|PF2|,∴2a=|PF1|﹣|PF2|=2|PF2|,∵|PF1|2+|PF2|2=4c2,∴10a2=4c2,∴e=故选C.4.过双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点F作直线y=﹣x的垂线,垂足为A,交双曲线左支于B点,若=2,则该双曲线的离心率为()A.B.2 C.D.【解答】解:设F(c,0),则直线AB的方程为y=(x﹣c)代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A(,﹣),由=2,可得B(﹣,﹣),把B点坐标代入双曲线方程﹣=1,即=1,整理可得c=a,即离心率e==.故选:C.5.若双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x﹣2)2+y2=2相交,则此双曲线的离心率的取值范围是()A.(2,+∞)B.(1,2) C.(1,)D.(,+∞)【解答】解:∵双曲线渐近线为bx±ay=0,与圆(x﹣2)2+y2=2相交∴圆心到渐近线的距离小于半径,即∴b2<a2,∴c2=a2+b2<2a2,∴e=<∵e>1∴1<e<故选C.6.已知双曲线C:的右焦点为F,以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M,且MF与双曲线的实轴垂直,则双曲线C的离心率为()A.B.C.D.2【解答】解:设F(c,0),渐近线方程为y=x,可得F到渐近线的距离为=b,即有圆F的半径为b,令x=c,可得y=±b=±,由题意可得=b,即a=b,c==a,即离心率e==,故选C.7.设点P是双曲线=1(a>0,b>0)上的一点,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,已知PF1⊥PF2,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线的一条渐近线方程是()A.B.C.y=2x D.y=4x【解答】解:由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a,又|PF1|=2|PF2|,得|PF2|=2a,|PF1|=4a;在RT△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,∴4c2=16a2+4a2,即c2=5a2,则b2=4a2.即b=2a,双曲线=1一条渐近线方程:y=2x;故选:C.8.已知双曲线的渐近线与圆x2+(y﹣2)2=1相交,则该双曲线的离心率的取值范围是()A.(,+∞) B.(1,)C.(2.+∞)D.(1,2)【解答】解:∵双曲线渐近线为bx±ay=0,与圆x2+(y﹣2)2=1相交∴圆心到渐近线的距离小于半径,即<1∴3a2<b2,∴c2=a2+b2>4a2,∴e=>2故选:C.9.如果双曲线经过点P(2,),且它的一条渐近线方程为y=x,那么该双曲线的方程是()A.x2﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1【解答】解:由双曲线的一条渐近线方程为y=x,可设双曲线的方程为x2﹣y2=λ(λ≠0),代入点P(2,),可得λ=4﹣2=2,可得双曲线的方程为x2﹣y2=2,即为﹣=1.故选:B.10.已知F是双曲线C:x2﹣=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为()A.B.C.D.【解答】解:由双曲线C:x2﹣=1的右焦点F(2,0),PF与x轴垂直,设(2,y),y>0,则y=3,则P(2,3),∴AP⊥PF,则丨AP丨=1,丨PF丨=3,∴△APF的面积S=×丨AP丨×丨PF丨=,同理当y<0时,则△APF的面积S=,故选D.二.填空题(共2小题)11.过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点,若|PQ|=8,F2是双曲线的右焦点,则△PF2Q的周长是20.【解答】解:∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=8∵双曲线x2﹣=1的通径为==8∵PQ=8∴PQ是双曲线的通径∴PQ⊥F1F2,且PF1=QF1=PQ=4∵由题意,|PF2|﹣|PF1|=2,|QF2|﹣|QF1|=2∴|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+4=4+4+4=12∴△PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=12+8=20,故答案为20.12.设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使,O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为.【解答】解:取PF2的中点A,则∵,∴2•=0,∴,∵OA是△PF1F2的中位线,∴PF1⊥PF2,OA=PF1.由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a,∵|PF1|=|PF2|,∴|PF2|=,|PF1|=.△PF1F2中,由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2,∴()2+()2=4c2,∴e=.故答案为:.三.解答题(共4小题)13.已知点F1、F2为双曲线C:x2﹣=1的左、右焦点,过F2作垂直于x轴的直线,在x轴上方交双曲线C于点M,∠MF1F2=30°.(1)求双曲线C的方程;(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为P1、P2,求•的值.【解答】解:(1)设F2,M的坐标分别为,因为点M在双曲线C上,所以,即,所以,在Rt△MF2F1中,∠MF1F2=30°,,所以…(3分)由双曲线的定义可知:故双曲线C的方程为:…(6分)(2)由条件可知:两条渐近线分别为…(8分)设双曲线C上的点Q(x0,y0),设两渐近线的夹角为θ,则点Q到两条渐近线的距离分别为,…(11分)因为Q(x0,y0)在双曲线C:上,所以,又cosθ=,所以=﹣…(14分)14.已知曲线C1:﹣=1(a>0,b>0)和曲线C2:+=1有相同的焦点,曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍.(Ⅰ)求曲线C1的方程;(Ⅱ)设点A是曲线C1的右支上一点,F为右焦点,连AF交曲线C1的右支于点B,作BC垂直于定直线l:x=,垂足为C,求证:直线AC恒过x轴上一定点.【解答】(Ⅰ)解:由题知:a2+b2=2,曲线C2的离心率为…(2分)∵曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍,∴=即a2=b2,…(3分)∴a=b=1,∴曲线C1的方程为x2﹣y2=1;…(4分)(Ⅱ)证明:由直线AB的斜率不能为零知可设直线AB的方程为:x=ny+…(5分)与双曲线方程x2﹣y2=1联立,可得(n2﹣1)y2+2ny+1=0设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=﹣,y1y2=,…(7分)由题可设点C(,y2),由点斜式得直线AC的方程:y﹣y2=(x﹣)…(9分)令y=0,可得x===…(11分)∴直线AC过定点(,0).…(12分)15.已知双曲线Γ:的离心率e=,双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1.(Ⅰ)求双曲线Γ的方程;(Ⅱ)过点P(1,1)是否存在直线l,使直线l与双曲线Γ交于R、T两点,且点P是线段RT的中点?若直线l存在,请求直线l的方程;若不存在,说明理由.【解答】解:(Ⅰ)由题意可得e==,当P为右顶点时,可得PF取得最小值,即有c﹣a=﹣1,解得a=1,c=,b==,可得双曲线的方程为x2﹣=1;(Ⅱ)过点P(1,1)假设存在直线l,使直线l与双曲线Γ交于R、T两点,且点P是线段RT的中点.设R(x1,y1),T(x2,y2),可得x12﹣=1,x22﹣=1,两式相减可得(x1﹣x2)(x1+x2)=(y1﹣y2)(y1+y2),由中点坐标公式可得x1+x2=2,y1+y2=2,可得直线l的斜率为k===2,即有直线l的方程为y﹣1=2(x﹣1),即为y=2x﹣1,代入双曲线的方程,可得2x2﹣4x+3=0,由判别式为16﹣4×2×3=﹣8<0,可得二次方程无实数解.故这样的直线l不存在.16.已知双曲线C:的离心率e=,且b=.(Ⅰ)求双曲线C的方程;(Ⅱ)若P为双曲线C上一点,双曲线C的左右焦点分别为E、F,且•=0,求△PEF的面积.【解答】解:(Ⅰ)∵C:的离心率e=,且b=,∴=,且b=,∴a=1,c=∴双曲线C的方程;(Ⅱ)令|PE|=p,|PF|=q由双曲线定义:|p﹣q|=2a=2平方得:p2﹣2pq+q2=4•=0,∠EPF=90°,由勾股定理得:p2+q2=|EF|2=12所以pq=4即S=|PE|•|PF|=2.。
高考数学圆锥曲线典型例题(必考)
高考数学圆锥曲线典型例题(必考)9.1 椭 圆典例精析题型一 求椭圆的标准方程【例1】已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P 到两焦点的距离分别为453和253,过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆的方程. 【解析】故所求方程为x 25+3y 210=1或3x 210+y 25=1.【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时,常用待定系数法,但是当焦点所在坐标轴不确定时,需要考虑两种情形,有时也可设椭圆的统一方程形式:mx 2+ny 2=1(m >0,n >0且m ≠n );(2)在求椭圆中的a 、b 、c 时,经常用到椭圆的定义及解三角形的知识.【变式训练1】已知椭圆C 1的中心在原点、焦点在x 轴上,抛物线C 2的顶点在原点、焦点在x 轴上.小明从曲线C 1,C 2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点),并记录其坐标(x ,y ).由于记录失误,使得其中恰有一个点既不在椭圆C 1上,也不在抛物线C 2上.小明的记录如下:据此,可推断椭圆C 1的方程为 . x 212+y 26=1.题型二 椭圆的几何性质的运用【例2】已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,∠F 1PF 2=60°. (1)求椭圆离心率的范围;(2)求证:△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关.【解析】(1)e 的取值范围是[12,1).(2)21F PF S =12mn sin 60°=33b 2,【点拨】椭圆中△F 1PF 2往往称为焦点三角形,求解有关问题时,要注意正、余弦定理,面积公式的使用;求范围时,要特别注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用,如|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|+|PF 2|2)2,|PF 1|≥a -c . 【变式训练2】已知P 是椭圆x 225+y 29=1上的一点,Q ,R 分别是圆(x +4)2+y 2=14和圆(x -4)2+y 2=14上的点,则|PQ |+|PR |的最小值是 .【解析】最小值为9.题型三 有关椭圆的综合问题【例3】(2010全国新课标)设F 1,F 2分别是椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点,过F 1斜率为1的直线l 与E 相交于A ,B 两点,且|AF 2|,|AB |,|BF 2|成等差数列.(1)求E 的离心率;(2)设点P (0,-1)满足|PA |=|PB |,求E 的方程.(1) 22.(2)为x 218+y 29=1.【变式训练3】已知椭圆x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)的离心率为e ,两焦点为F 1,F 2,抛物线以F 1为顶点,F 2为焦点,P 为两曲线的一个交点,若|PF 1||PF 2|=e ,则e 的值是( )A.32B.33C.22D.63【解析】选B 题型思 有关椭圆与直线综合问题【例4】【2012高考浙江理21】如图,椭圆C :2222+1x y a b =(a >b >0)的离心率为12,其左焦点到点P (2,1)的距离为10.不过原点O 的直线l 与C 相交于A ,B 两点,且线段AB被直线OP 平分.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ) 求∆ABP 的面积取最大时直线l 的方程. .【变式训练4】【2012高考广东理20】在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C 1:22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e=23,且椭圆C 上的点到Q (0,2)的距离的最大值为3. (1)求椭圆C 的方程;(2)在椭圆C 上,是否存在点M (m,n )使得直线l :mx+ny=1与圆O :x 2+y 2=1相交于不同的两点A 、B ,且△OAB 的面积最大?若存在,求出点M 的坐标及相对应的△OAB 的面积;若不存在,请说明理由. 总结提高1.椭圆的标准方程有两种形式,其结构简单,形式对称且系数的几何意义明确,在解题时要防止遗漏.确定椭圆需要三个条件,要确定焦点在哪条坐标轴上(即定位),还要确定a 、 b 的值(即定量),若定位条件不足应分类讨论,或设方程为mx 2+ny 2=1(m >0,n >0,m ≠n )求解.2.充分利用定义解题,一方面,会根据定义判定动点的轨迹是椭圆,另一方面,会利用椭圆上的点到两焦点的距离和为常数进行计算推理.3.焦点三角形包含着很多关系,解题时要多从椭圆定义和三角形的几何条件入手,且不可顾此失彼,另外一定要注意椭圆离心率的范围.练习1(2009全国卷Ⅰ理)已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ,点A l ∈,线段AF 交C 于点B ,若3FA FB =u u u r u u u r ,则||AF u u u u r=( )A. 2B. 2C.3D. 3 选A.2(2009浙江文)已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且BF x ⊥轴,直线AB 交y 轴于点P .若2AP PB =u u u r u u u r,则椭圆的离心率是( ) A 32 C .13 D .12【答案】D3.(2009江西卷理)过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ,2F 为右焦点,若1260F PF ∠=o ,则椭圆的离心率为 A .22 B .33 C .12D .13 【答案】B 4.【2012高考新课标理4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点,P 为直线32ax =上一点,12PF F ∆是底角为30o 的等腰三角形,则E 的离心率为( ) ()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 45【答案】C5【2012高考四川理15】椭圆22143x y +=的左焦点为F ,直线x m =与椭圆相交于点A 、B ,当FAB ∆的周长最大时,FAB ∆的面积是____________。
圆锥曲线的综合经典例题(有答案)
经典例题精析种类一:求曲线的标准方程1. 求中心在原点 ,一个焦点为且被直线截得的弦AB的中点横坐标为的椭圆标准方程.思路点拨:先确立椭圆标准方程的焦点的地点(定位),选择相应的标准方程,再利用待定系数法确立、(定量).分析:方法一:因为有焦点为,因此设椭圆方程为,,由,消去得,因此解得故椭圆标准方程为方法二:设椭圆方程,,,因为弦 AB 中点,因此,由得,(点差法)因此又故椭圆标准方程为.贯通融会:【变式】已知椭圆在x 轴上的一个焦点与短轴两头点连线相互垂直,且该焦点与长轴上较近的端点的距离为.求该椭圆的标准方程.【答案】依题意设椭圆标准方程为(),并有,解之得∴椭圆标准方程为2.依据以下条件,求双曲线的标准方程.( 1)与双曲线有共同的渐近线,且过点( 2)与双曲线有公共焦点,且过点分析:,;,( 1)解法一:设双曲线的方程为由题意,得,解得,因此双曲线的方程为解法二:设所求双曲线方程为(),将点代入得,因此双曲线方程为即( 2)解法一:设双曲线方程为-=1由题意易求又双曲线过点,∴又∵,∴,故所求双曲线的方程为.解法二:设双曲线方程为,将点代入得,因此双曲线方程为.总结升华:先依据已知条件确立双曲线标准方程的焦点的地点(定位),选择相应的标准方程,再利用待定系数法确立、.在第( 1)小题中第一设出共渐近线的双曲线系方程.而后辈点坐标求得方法简易.第( 2)小题实轴、虚轴没有独一给出.故应答两个标准方程.(1)求双曲线的方程,重点是求、,在解题过程中应熟习各元素(、、、及准线)之间的关系,并注意方程思想的应用.(2) 若已知双曲线的渐近线方程,可设双曲线方程为() .贯通融会:【变式】求中心在原点,对称轴在座标轴上且分别知足以下条件的双曲线的标准方程.( 1)一渐近线方程为,且双曲线过点.( 2)虚轴长与实轴长的比为,焦距为10.【答案】( 1)依题意知双曲线两渐近线的方程是,故设双曲线方程为,∵点在双曲线上,∴,解得,∴所求双曲线方程为.( 2)由已知设,,则()依题意,解得.∴双曲线方程为或.3.求知足以下条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程:( 1)过点;( 2)焦点在直线:上思路点拨:从方程形式看,求抛物线的标准方程仅需确立一次项系数;从实质剖析,一般需联合图形确立张口方向和一次项系数两个条件,不然,应睁开相应的议论分析:( 1)∵点在第二象限,∴抛物线张口方向上或许向左当抛物线张口方向左时,设所求的抛物线方程为(),∵过点,∴,∴,∴,当抛物线张口方向上时,设所求的抛物线方程为(),∵过点,∴,∴,∴,∴所求的抛物线的方程为或,对应的准线方程分别是,.(2)令得,令得,∴抛物线的焦点为或当焦点为时,,∴,此时抛物线方程;焦点为时,,∴,此时抛物线方程为∴所求的抛物线的方程为或,对应的准线方程分别是,.总结升华:这里易犯的错误就是缺乏对张口方向的议论,先入为主,设定一种形式的标准方程后求解,致使失掉一解.求抛物线的标准方程重点是依据图象确立抛物线张口方向,选择适合的方程形式,正确求出焦参数P.贯通融会:【变式 1】分别求知足以下条件的抛物线的标准方程.(1)焦点为 F(4,0);( 2)准线为;(3)焦点到原点的距离为 1;(4)过点( 1,- 2);(5)焦点在直线 x-3y+6=0 上 .【答案】(1)所求抛物线的方程为 y2=16x;(2)所求抛物线的标准方程为x2=2y;( 3)所求抛物线的方程y2=± 4x 或 x2=± 4y;( 4)所求抛物线的方程为或;( 5)所求抛物线的标准方程为y2=- 24x 或 x2=8y.【变式 2】已知抛物线的极点在原点,焦点在轴负半轴上,过极点且倾角为的弦长为,求抛物线的方程.【答案】设抛物线方程为(),又弦所在直线方程为由,解得两交点坐标,∴,解得.∴抛物线方程为.种类二:圆锥曲线的焦点三角形4.已知、是椭圆()的两焦点,P 是椭圆上一点,且,求的面积.思路点拨:如图求的面积应利用,即.重点是求.由椭圆第必定义有,由余弦定理有,易求之 .分析:设,,依题意有(1)2-(2)得,即.∴.贯通融会:【变式1】设为双曲线上的一点,是该双曲线的两个焦点,若,则的面积为()A.B.C.D.【答案】依照双曲线的定义有,由得、,又,则,即,因此,应选 A.【变式 2】已知双曲线实轴长6,过左焦点的弦交左半支于、两点,且,设右焦点,求的周长.【答案】:由双曲线的定义有:,,两式左、右分别相加得 (.即∴.故的周长.【变式 3】已知椭圆的焦点是,直线是椭圆的一条准线.① 求椭圆的方程;②设点 P在椭圆上 ,且,求.【答案】①.②设则,又.【变式 4】已知双曲线的方程是.( 1)求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程;( 2)设和是双曲线的左、右焦点,点在双曲线上,且,求的大小【答案】(1)由得,∴,,.焦点、,离心率,渐近线方程为.(2),∴∴【变式5】中心在原点,焦点在x 轴上的一个椭圆与双曲线有共同焦点和,且,又椭圆长半轴与双曲线实半轴之差为4,离心率之比.( 1)求椭圆与双曲线的方程;( 2)若为这两曲线的一个交点,求的余弦值.【答案】( 1)设椭圆方程为(),双曲线方程,则,解得∵,∴,.故所求椭圆方程为,双曲线方程为.( 2)由对称性不如设交点在第一象限.设、.由椭圆、双曲线的定义有:解得由余弦定理有.种类三:离心率5.已知椭圆上的点和左焦点,椭圆的右极点和上极点,当,( O 为椭圆中心)时,求椭圆的离心率.思路点拨:因为,因此此题应成立、的齐次方程,使问题得以解决.分析:设椭圆方程为(),,,则,即.∵,∴,即,∴.又∵,∴.总结升华:求椭圆的离心率,即求的比值,则可由以下方法求.( 1)可直接求出、;( 2)在不好直接求出、的状况下,找到一个对于、的齐次等式或、用同一个量表示;( 3)若求的取值范围,则想方法找不等关系.贯通融会:【变式 1】如图,和分别是双曲线的两个焦点,和是以为圆心,以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且是等边三角形,则双曲线的离心率为()A.B.C.D.【答案】连结,则是直角三角形,且,令,则,,即,,因此,应选 D.交于【变式 2】已知椭圆B 点, F 点是左焦点,且()与 x 轴正半轴交于,求椭圆的离心率.A 点,与y 轴正半轴法一:∵,,, ∴,又,,代入上式,得,利用代入,消得,即由,解得,∵,∴.法二:在ABF 中,∵,∴,即【变式 3】如图,椭圆的中心在原点, 焦点在椭圆于 A、 B 两点 , 若椭圆上存在一点C, 使,下略)x 轴上 , 过其右焦点 F 作斜率为. 求椭圆的离心率1 的直线 .,交【答案】设椭圆的方程为(),焦距为,则直线 l 的方程为:,由,消去得,设点、,则∵+, ∴C点坐标为.∵ C 点在椭圆上 ,∴.∴又∴∴∴【变式 4】设、为椭圆的两个焦点,点,则椭圆离心率为_____.【答案】如图,点知足,且是以为直径的圆与椭圆的交点,若.在∵中,有:,∴,令此椭圆方程为则由椭圆的定义有,,∴又∵,∴,,∴∴,∴,即.6.已知、为椭圆的两个焦点,为此椭圆上一点,且.求此椭圆离心率的取值范围;分析:如图,令,,,则在中,由正弦定理,∴,令此椭圆方程为(),则,,∴即(),∴, ∴,∵,且为三角形内角,∴,∴,∴, ∴即此椭圆离心率的取值范围为贯通融会:【变式 1】已知椭圆..,F1,F2是两个焦点,若椭圆上存在一点P,使,求其离心率的取值范围.【答案】△ F1PF2中,已知,|F1F2|=2c,|PF1|+|PF2|=2a,由余弦定理:4c2=|PF1| 2+|PF2| 2-2|PF 1||PF 2|cos120 °①又 |PF 1|+|PF 2|=2a②联立①②得4c2=4a2-|PF1||PF2|,∴【变式 2】椭圆为,若A.【答案】由B.的焦点为,,两条准线与,则该椭圆离心率的取值范围是()C.D.得,即,解得轴的交点分别,故离心率.因此选 D.【变式 3】椭圆中心在座标系原点,焦点在x 轴上,过椭圆左焦点 F 的直线交椭圆P、Q 两点,且OP⊥ OQ,求其离心率 e 的取值范围.【答案】 e∈ [,1)【变式 4】双曲线(a> 1,b> 0)的焦距为 2c,直线过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线的距离与点 (-1,0)到直线的距离之和s≥c.求双曲线的离心率 e 的取值范围.【答案】直线的方程为bx+ay-ab=0.由点到直线的距离公式,且 a> 1,获得点 (1,0)到直线的距离.同理获得点 (-1,0)到直线的距离.=.由 s≥c,得≥ c,即 5a≥ 2c2.于是得 5≥ 2e2.即 4e4-25e2+25≤0.解不等式 ,得≤ e2≤5.因为 e> 1,因此 e 的取值范围是.种类五:轨迹方程7.已知中,,,为动点,若和为定值 15.求动点的轨迹方程.思路点拨:充足利用定义直接写出方程是求轨迹的直接法之一解法一:设动点,且,、边上两中线长的.应给予重视则、边上两中点、的坐标分别为,.∵,∴,即.从上式知,动点到两定点故动点的轨迹是以,,的距离之和为常数为焦点且,30,,的椭圆,挖去点.∴动点解法二:设的轨迹方程是的重心,(,动点).,且,则∴点的轨迹是以且,,.,.为焦点的椭圆(挖去点),其方程为().又,代入上式,得()为所求.总结升华:求动点的轨迹,第一要剖析形成轨迹的点和已知条件的内在联系,选择最便于反应这类联系的坐标形式,成立等式,利用直接法或间接法获得轨迹方程.贯通融会:【变式 1】求过定点且和圆:相切的动圆圆心的轨迹方程 .【答案】设动圆圆心, 动圆半径为,.( 1)动圆与圆外切时,,( 2)动圆与圆内切时,,由( 1)、( 2)有.∴动圆圆心M 的轨迹是以、为焦点的双曲线,且,,.故动圆圆心的轨迹方程为.【变式 3】已知圆的圆心为 M 1,圆的圆心为 M 2,一动圆与这两个圆外切,求动圆圆心P 的轨迹方程 .【答案】设动圆圆心 P( x, y),动圆的半径为R,由两圆外切的条件可得:,.∴.∴动圆圆心 P 的轨迹是以M1、M 2为焦点的双曲线的右支,此中 c=4,a=2,∴b2=12,故所求轨迹方程为.【变式4】若动圆与圆:相外切,且与直线:相切,求动圆圆心的轨迹方程 .法一:设,动圆半径,动圆与直线切于点,点.依题意点在直线的左边,故∵,∴.化简得, 即为所求 .法二:设,作直线:.过作于,交于,依题意有, ∴,由抛物线定义可知,点的轨迹是以为极点,为焦点,:为准线的抛物线.故为所求 .。
圆锥曲线经典题目(含答案)
圆锥曲线经典题型的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为 M ,且MF 与双曲线的实轴垂直,则双 曲线C 的离心率为()•选择题(共 10小题) 1 .直线 y=x - 1 与双曲线 x 2 =1 (b > 0)有两个不同的交点,则此双曲线离心率的范围是( A . (1,工)) B . r ::,+x) C. (1, +xD . (1, :)U( :!,242M ・丫卩< 0,则yo 的取值范围是(2.已知M (x o , y o )是双曲线C:[ 个焦点,若 A . =1上的一点,F 1, F 2是C 的左、右两V3 .2 2、-(a >0, b >0)的左、右焦点,若双曲线右 a 2 /B.3.设F 1, F 2分别是双曲线 支上存在一点P ,使得:-一…卜-|,其中0为坐标原点,且 --I-',则该双曲线的离心率为()A . ,B. in C.D .22 2 4.过双曲线 ———=1 (a >0, b >0)的右焦点F 作直线y=— x 的垂线,垂足 为A ,交双曲线左支于B 点,若日=2匚,则该双曲线的离心率为( ) A .」B. 2 C. ! D.. 5.若双曲线 —=1 (a >0, b >0)的渐近线与圆(x - 2) 2+y 2=2相交,则此 双曲线的离心率的取值范围是( ) A . (2, +x ) B. (1, 2)C. (1,:)D. ( :■:, +x)6.已知双曲线C :b>Q )的右焦点为F ,以F 为圆心和双曲线a bA.丄B•口c. :: D. 222 27. 设点P是双曲线——=1 (a>0, b>0)上的一点,Fi、F2分别是双曲线的左、右焦点,已知PF丄PR,且|PF i|=2|PR|,则双曲线的一条渐近线方程是()A., 丄B. , ..C. y=2xD. y=4x2 28. 已知双曲线务壬二1的渐近线与圆x2+ (y-2)2=1相交,贝够双曲线的离心a2b2率的取值范围是()A. (:, +x)B. (1,「;)C. (2. +x)D. (1,2)9. 如果双曲线经过点P (2,庾),且它的一条渐近线方程为y=x,那么该双曲线的方程是()10. 已知F是双曲线C: X2-—=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1, 3),则A APF的面积为()二.填空题(共2小题)211 •过双曲线/七二1的左焦点F1作一条I交双曲线左支于P、Q两点,若|PQ=8, F2是双曲线的右焦点,则△ PRQ的周长是_______ .2 212.设F1, F2分别是双曲线三;■=1 (巴〉Q, 的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使:卜…—-丨,O为坐标原点,且|F-;--, 则该双曲线的离心率为____________________________ ..解答题(共4小题)13•已知点F i 、F 2为双曲线C : x 2-£=1的左、右焦点,过F 2作垂直于x 轴的 直线,在x 轴上方交双曲线C 于点M ,/ MF i F 2=30° (1) 求双曲线C 的方程;(2) 过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为 P i 、 P 2,求■卜?匸的值.点到其右焦点的最小距离为.■;-1.(I )求双曲线r 的方程;(U)过点P ( 1,1)是否存在直线I ,使直线I 与双曲线r 交于R、T 两点,且点P 是线段RT 的中点?若直线I 存在,请求直线I 的方程;若不存在,说明理由. 16.已知双曲线C :务-乡b>0)的离心率e 占,且b 施. 电2 b 2(I )求双曲线C 的方程;(U)若P 为双曲线C 上一点,双曲线C 的左右焦点分别为E F ,且 ?=0,求厶PEF 的面积. 一•选择题(共10小题)1 •直线y 二X - 1与双曲线X 2-岭=1 ( b > 0)有两个不同的交点,则此双曲线离 心率的范围是()A . (1, •二) B. (.X, +x) C. (1, +x)D . (1, 「)U( :■:, +x )2【解答】解:•••直线y=x - 1与双曲线X 2-匚=1 (b >0)有两个不同的交点,2 2工 - y 2ab=1 (a >0,b >0)和曲线 C 2:点,曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的一二倍. (I )求曲线C1的方程;(U )设点A 是曲线C1的右支上一点,F 为右焦点,连AF 交曲线C 的右支于点 /2 x= 22-Ha>o s b>0)的离心率e Vs ,双曲线r 上任意B ,作BC 垂直于定直线I :15•已知双曲线r ,垂足为C,求证:直线AC 恒过x 轴上疋点14.已知曲线G:=1有相同的焦••• 1> b> 0 或b > 1.e —= • | '> 1 且e M ::.2. 已知M (x o, y o)是双曲线C:—丿=1上的一点,F1, F2是C的左、右两个焦点,若H・丫卩.< 0,则y o的取值范围是( )【解答】解:由题意,皿MF ;=(-頂-X0,- y°) ?(岳-X0,- y) =X02-3+y02=3y。
完整版)圆锥曲线综合练习题(有答案)
完整版)圆锥曲线综合练习题(有答案)圆锥曲线综合练1.已知椭圆 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ 的长轴在 $y$ 轴上,焦距为 4,则 $m$ 等于()A。
4B。
5C。
7D。
82.直线 $x-2y+2=0$ 经过椭圆$x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)$ 的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的离心率为frac{\sqrt{5}}{2}3.设双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0)$ 的渐近线方程为$3x\pm 2y=0$,则 $a$ 的值为24.若 $m$ 是 2 和 8 的等比中项,则圆锥曲线$x^2/a^2+y^2/b^2=1$ 的离心率是frac{\sqrt{5}}{2}5.已知双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>b>0)$,$N$ 两点,$O$ 为坐标原点,过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 $M$ 点。
若 $OM\perp ON$,则双曲线的离心率为frac{\sqrt{5}+1}{2}6.已知点$F_1,F_2$ 是椭圆$x^2/2+y^2/2=1$ 的两个焦点,点 $P$ 是该椭圆上的一个动点,则 $|PF_1+PF_2|$ 的最小值是sqrt{2}7.双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1$ 上的点到一个焦点的距离为 12,则到另一个焦点的距离为2\sqrt{5}8.$P$ 为双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1$ 的右支上一点,$M$,则 $|PM|-|PN|$ 分别是圆 $(x+5)^2+y^2=4$ 和 $(x-5)^2+y^2=1$ 上的点,的最大值为99.已知点 $P(8,a)$ 在抛物线 $y^2=4px$ 上,且 $P$ 到焦点的距离为 10,则焦点到准线的距离为210.在正三角形 $ABC$ 中,$D\in AB$,$E\in AC$,$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{BC}$,则以 $B$,$C$ 为焦点,且过 $D$,$E$ 的双曲线离心率为frac{3+\sqrt{5}}{2}11.两个正数 $a$,$b$ 的等差中项是 $5$,一个等比中项是 $25$,且 $a>b$,则抛物线 $y^2=-x$ 的焦点坐标是left(-\frac{5\sqrt{21}}{21},0\right)12.已知 $A_1$,$A_2$ 分别为椭圆$x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)$ 的左右顶点,椭圆 $C$ 上异于$A_1$,$A_2$ 的点 $P$ 恒满足 $k\cdot PA_1\cdot k\cdotPA_2=-1$,则椭圆 $C$ 的离心率为frac{3}{5}13.已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$,点 $A$ 在第一象限内且在椭圆上,点 $B$ 也在椭圆上。
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经典例题精析类型一:求曲线的标准方程1. 求中心在原点,一个焦点为且被直线截得的弦AB的中点横坐标为的椭圆标准方程.思路点拨:先确定椭圆标准方程的焦点的位置(定位),选择相应的标准方程,再利用待定系数法确定、(定量).解析:方法一:因为有焦点为,所以设椭圆方程为,,由,消去得,所以解得故椭圆标准方程为方法二:设椭圆方程,,,因为弦AB中点,所以,由得,(点差法)所以又故椭圆标准方程为.举一反三:【变式】已知椭圆在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直,且该焦点与长轴上较近的端点的距离为.求该椭圆的标准方程.【答案】依题意设椭圆标准方程为(),并有,解之得,,∴椭圆标准方程为2.根据下列条件,求双曲线的标准方程.(1)与双曲线有共同的渐近线,且过点;(2)与双曲线有公共焦点,且过点解析:(1)解法一:设双曲线的方程为由题意,得,解得,所以双曲线的方程为解法二:设所求双曲线方程为(),将点代入得,所以双曲线方程为即(2)解法一:设双曲线方程为-=1由题意易求又双曲线过点,∴又∵,∴,故所求双曲线的方程为.解法二:设双曲线方程为,将点代入得,所以双曲线方程为.总结升华:先根据已知条件确定双曲线标准方程的焦点的位置(定位),选择相应的标准方程,再利用待定系数法确定、.在第(1)小题中首先设出共渐近线的双曲线系方程.然后代点坐标求得方法简便.第(2)小题实轴、虚轴没有唯一给出.故应答两个标准方程.(1)求双曲线的方程,关键是求、,在解题过程中应熟悉各元素(、、、及准线)之间的关系,并注意方程思想的应用.(2)若已知双曲线的渐近线方程,可设双曲线方程为().举一反三:【变式】求中心在原点,对称轴在坐标轴上且分别满足下列条件的双曲线的标准方程.(1)一渐近线方程为,且双曲线过点.(2)虚轴长与实轴长的比为,焦距为10.【答案】(1)依题意知双曲线两渐近线的方程是,故设双曲线方程为,∵点在双曲线上,∴,解得,∴所求双曲线方程为.(2)由已知设, ,则()依题意,解得.∴双曲线方程为或.3.求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程:(1)过点;(2)焦点在直线:上思路点拨:从方程形式看,求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数;从实际分析,一般需结合图形确定开口方向和一次项系数两个条件,否则,应展开相应的讨论解析:(1)∵点在第二象限,∴抛物线开口方向上或者向左当抛物线开口方向左时,设所求的抛物线方程为(),∵过点,∴,∴,∴,当抛物线开口方向上时,设所求的抛物线方程为(),∵过点,∴,∴,∴,∴所求的抛物线的方程为或,对应的准线方程分别是,.(2)令得,令得,∴抛物线的焦点为或当焦点为时,,∴,此时抛物线方程;焦点为时,,∴,此时抛物线方程为∴所求的抛物线的方程为或,对应的准线方程分别是,.总结升华:这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论,先入为主,设定一种形式的标准方程后求解,以致失去一解.求抛物线的标准方程关键是根据图象确定抛物线开口方向,选择适当的方程形式,准确求出焦参数P.举一反三:【变式1】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)焦点为F(4,0);(2)准线为;(3)焦点到原点的距离为1;(4)过点(1,-2);(5)焦点在直线x-3y+6=0上.【答案】(1)所求抛物线的方程为y2=16x;(2)所求抛物线的标准方程为x2=2y;(3)所求抛物线的方程y2=±4x或x2=±4y;(4)所求抛物线的方程为或;(5)所求抛物线的标准方程为y2=-24x或x2=8y.【变式2】已知抛物线的顶点在原点,焦点在轴负半轴上,过顶点且倾角为的弦长为,求抛物线的方程.【答案】设抛物线方程为(),又弦所在直线方程为由,解得两交点坐标,∴,解得.∴抛物线方程为.类型二:圆锥曲线的焦点三角形4.已知、是椭圆()的两焦点,P是椭圆上一点,且,求的面积.思路点拨:如图求的面积应利用,即.关键是求.由椭圆第一定义有,由余弦定理有,易求之.解析:设,,依题意有(1)2-(2)得,即.∴.举一反三:【变式1】设为双曲线上的一点,是该双曲线的两个焦点,若,则的面积为()A.B.C.D.【答案】依据双曲线的定义有,由得、,又,则,即,所以,故选A.【变式2】已知双曲线实轴长6,过左焦点的弦交左半支于、两点,且,设右焦点,求的周长.【答案】:由双曲线的定义有: ,,两式左、右分别相加得(.即∴.故的周长.【变式3】已知椭圆的焦点是,直线是椭圆的一条准线.①求椭圆的方程;②设点P在椭圆上,且,求.【答案】①.②设则,又.【变式4】已知双曲线的方程是.(1)求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程;(2)设和是双曲线的左、右焦点,点在双曲线上,且,求的大小【答案】(1)由得,∴,,.焦点、,离心率,渐近线方程为.(2),∴∴【变式5】中心在原点,焦点在x轴上的一个椭圆与双曲线有共同焦点和,且,又椭圆长半轴与双曲线实半轴之差为4,离心率之比.(1)求椭圆与双曲线的方程;(2)若为这两曲线的一个交点,求的余弦值.【答案】(1)设椭圆方程为(),双曲线方程,则,解得∵,∴, .故所求椭圆方程为,双曲线方程为.(2)由对称性不妨设交点在第一象限.设、.由椭圆、双曲线的定义有:解得由余弦定理有.类型三:离心率5.已知椭圆上的点和左焦点,椭圆的右顶点和上顶点,当,(O为椭圆中心)时,求椭圆的离心率.思路点拨:因为,所以本题应建立、的齐次方程,使问题得以解决.解析:设椭圆方程为(),,,则,即.∵,∴,即,∴.又∵,∴.总结升华:求椭圆的离心率,即求的比值,则可由如下方法求.(1)可直接求出、;(2)在不好直接求出、的情况下,找到一个关于、的齐次等式或、用同一个量表示;(3)若求的取值范围,则想办法找不等关系.举一反三:【变式1】如图,和分别是双曲线的两个焦点,和是以为圆心,以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且是等边三角形,则双曲线的离心率为()A.B.C.D.【答案】连接,则是直角三角形,且,令,则,,即,,所以,故选D.【变式2】已知椭圆()与x轴正半轴交于A点,与y轴正半轴交于B点,F点是左焦点,且,求椭圆的离心率.法一:,,∵, ∴,又,,代入上式,得,利用代入,消得,即由,解得,∵,∴.法二:在ΔABF中,∵,,∴,即下略)【变式3】如图,椭圆的中心在原点, 焦点在x轴上, 过其右焦点F作斜率为1的直线, 交椭圆于A、B两点, 若椭圆上存在一点C, 使. 求椭圆的离心率.【答案】设椭圆的方程为(),焦距为,则直线l的方程为:,由,消去得,设点、,则∵+, ∴C点坐标为.∵C点在椭圆上,∴.∴∴又∴∴【变式4】设、为椭圆的两个焦点,点是以为直径的圆与椭圆的交点,若,则椭圆离心率为_____.【答案】如图,点满足,且.在中,有:∵,∴,令此椭圆方程为则由椭圆的定义有,,∴又∵,∴,,∴∴,∴,即.6.已知、为椭圆的两个焦点,为此椭圆上一点,且.求此椭圆离心率的取值范围;解析:如图,令, ,,则在中,由正弦定理,∴,令此椭圆方程为(),则,,∴即(),∴, ∴,∵,且为三角形内角,∴,∴,∴, ∴.即此椭圆离心率的取值范围为.举一反三:【变式1】已知椭圆,F1,F2是两个焦点,若椭圆上存在一点P,使,求其离心率的取值范围.【答案】△F1PF2中,已知,|F1F2|=2c,|PF1|+|PF2|=2a,由余弦定理:4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos120°①又|PF1|+|PF2|=2a ②联立①②得4c2=4a2-|PF1||PF2|,∴【变式2】椭圆的焦点为,,两条准线与轴的交点分别为,若,则该椭圆离心率的取值范围是()A.B.C.D.【答案】由得,即,解得,故离心率.所以选D.【变式3】椭圆中心在坐标系原点,焦点在x轴上,过椭圆左焦点F的直线交椭圆P、Q两点,且OP⊥OQ,求其离心率e的取值范围.【答案】e∈[,1)【变式4】双曲线(a>1,b>0)的焦距为2c,直线过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线的距离与点(-1,0)到直线的距离之和s≥c.求双曲线的离心率e的取值范围.【答案】直线的方程为bx+ay-ab=0.由点到直线的距离公式,且a>1,得到点(1,0)到直线的距离.同理得到点(-1,0)到直线的距离.=.由s≥c,得≥c,即5a≥2c2.于是得5≥2e2.即4e4-25e2+25≤0.解不等式,得≤e2≤5.由于e>1,所以e的取值范围是.类型五:轨迹方程7.已知中,,,为动点,若、边上两中线长的和为定值15.求动点的轨迹方程.思路点拨:充分利用定义直接写出方程是求轨迹的直接法之一.应给以重视解法一:设动点,且,则、边上两中点、的坐标分别为,.∵,∴,即.从上式知,动点到两定点,的距离之和为常数30,故动点的轨迹是以,为焦点且,,的椭圆,挖去点.∴动点的轨迹方程是().解法二:设的重心,,动点,且,则.∴点的轨迹是以,为焦点的椭圆(挖去点),且,,.其方程为().又, 代入上式,得()为所求.总结升华:求动点的轨迹,首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系,选择最便于反映这种联系的坐标形式,建立等式,利用直接法或间接法得到轨迹方程.举一反三:【变式1】求过定点且和圆:相切的动圆圆心的轨迹方程.【答案】设动圆圆心, 动圆半径为,.(1)动圆与圆外切时,,(2)动圆与圆内切时,,由(1)、(2)有.∴动圆圆心M的轨迹是以、为焦点的双曲线,且,,.故动圆圆心的轨迹方程为.【变式3】已知圆的圆心为M1,圆的圆心为M2,一动圆与这两个圆外切,求动圆圆心P的轨迹方程.【答案】设动圆圆心P(x,y),动圆的半径为R,由两圆外切的条件可得:,.∴.∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支,其中c=4,a=2,∴b2=12,故所求轨迹方程为.【变式4】若动圆与圆:相外切,且与直线:相切,求动圆圆心的轨迹方程.法一:设,动圆半径,动圆与直线切于点,点.依题意点在直线的左侧,故∵,∴.化简得, 即为所求.法二:设,作直线:.过作于,交于,依题意有, ∴,由抛物线定义可知,点的轨迹是以为顶点,为焦点,:为准线的抛物线.故为所求.。