《数学 基础模块》下册 8.6.1曲线与方程
数学基础模块(下册)第八章
数学基础模块(下册)第八章【课题】8(1 两点间的距离与线段中点的坐标【教学目标】知识目标:掌握两点间的距离公式与中点坐标公式;能力目标:用“数形结合”的方法，介绍两个公式(培养学生解决问题的能力与计算能力( 【教学重点】两点间的距离公式与线段中点的坐标公式的运用【教学难点】两点间的距离公式的理解【教学设计】两点间距离公式和中点坐标公式是解析几何的基本公式，教材采用“知识回顾”的方式给出这两个公式(讲授时可结合刚学过的向量的坐标和向量的模的定义讲解，但讲解的重点应放在公式的应用上(例1是巩固性练习题(题目中，两个点的坐标既有正数，又有负数(讲授时，要强调两点间的距离公式的特点特别是坐标为负数的情况(例2是中点公式的知识巩固题目(通过连续使用公式(8.2)，强化学生对公式的理解与运用(例3是本节两个公式的综合性题目，是知识的简单综合应用(要突出“解析法”，进行数学思维培养(【教学备品】教学课件(【课时安排】2课时((90分钟)【教学过程】教学教师学生教学时过程行为行为意图间*揭示课题0 8(1 两点间的距离与线段中点的坐标介绍了解 *创设情境兴趣导入教学教师学生教学时过程行为行为意图间【知识回顾】平面直角坐标系中，设，，则Pxy(,)Pxy(,) 质疑 111222思考启发 ( PPxxyy,,,(,)122121 学生思考引导 15 分析*动脑思考探索新知【新知识】总结思考带领归纳学生我们将向量的模，叫做点、之间的距离，记作PPPP1212 分析，则 PP 12 22 记忆 ||()()PPPPPPPPxxyy,,,,，, 12121212212125(8(1)*巩固知识典型例题例1 求A(?3，1)、B(2，?5)两点间的距离( 说明观察解 A、B两点间的距离为强调22||(32)1(5)61AB,,,，,,, ,,通过例题思考引领进一步领会主动讲解求解说明第1题图 30*运用知识强化练习提问思考反复 1(请根据图形，写出M、N、P、Q、R各点的坐标( 巡视口答强调 2(在平面直角坐标系内，描出下列各点: 、、A(1,1)B(3,4) 指导 (并计算每两点之间的距离( C(5,7)38教学教师学生教学时过程行为行为意图间*创设情境兴趣导入【观察】质疑思考练习8(1(1第2题的计算结果显示，引导1启发( ||||||ABBCAC,, 2学生引导参与思考这说明点B是线段AB的中点，而它们三个点的坐标之间分析分析恰好存在关系 15，17，， 3,4,43 22*动脑思考探索新知【新知识】设线段的两个端点分别为和，线段的Axy(,)Bxy(,)1122 总结思考带领归纳归纳学生中点为(如图8,1)，则 Mxy(,)AMxxyy,,,(,), 000101 总结由于M为线段AB的中点，则MBxxyy,,,(,),2020仔细理解即即(,)(,)xxyyxxyy,,,,,，AMMB,,01012020 分析记忆xxxx,,,,,xxyy，，0120 讲解 1212 解得( xy,,, ,00 22yyyy,,,,关键 0120, 词语 y , y) B(x2252, y) M(x00, y) A(x11x O图8,1一般地，设、为平面内任意两点，则Pxy(,)Pxy(,)111222线段中点的坐标为 PPPxy(,)12000教学教师学生教学时过程行为行为意图间xxyy，，1212 (8(2) xy,,,.0022*巩固知识典型例题例2 已知点S(0，2)、点T(?6，?1)，现将线段ST四等分，试求出各分点的坐标( 分析如图8,2所示，首先求出线段ST的中点Q的坐标，然后再求SQ的中点P及QT的中点R的坐标(解设线段ST的中点Q的坐标为， (,)xy QQ说明观察强调则由点S(0，2)、点T(?6，?1)得通过，,0(6)，x,,,3Q 例题引领 2 思考进一，,2(1)1( y,, Q 22步领会即线段ST的中点为讲解 1主动说明 Q( (),3, 2求解图8,2 同理，求出线段SQ的 35 中点P ，线段QT(),, 24 91 的中点( R(),,, 24 35191 注意故所求的分点分别为P、Q、( (),3,(),,R(),,, 22424 观察观察引领例3 已知的三个顶点为、、，A(1,0)B(2,1),C(0,3),ABC学生试求BC边上的中线AD的长度( 分析是否理解解设BC的中点D的坐标为，则由、B(2,1),(,)xy DD 知识 ,，，(2)013点得，， C(0,3)x,,,y,,21 DD 22 思考说明 22故||(11)(20)22,AD,,,，,, 求解 65即BC边上的中线AD的长度为( 22教学教师学生教学时过程行为行为意图间*运用知识强化练习启发思考 1(已知点和点，求线段AB中点的坐标( A(2,3)B(8,3), 进一引导了解 2(已知的三个顶点为、、，A(2,2)B(4,6),C(3,2),,,ABC 步领求AB边上的中线CD的长度( 提问动手会知3(已知点是点和点连线的中点，求Qn(4,)Pm(,2)R(3,8)巡视求解识点 m与n 的值( 指导 75*理论升华整体建构思考并回答下面的问题: 两点间的距离公式、线段的中点坐标公式,结论:质疑回答及时设平面直角坐标系内任意两点、，Pxy(,)Pxy(,)111222 了解则、的距离为(证明略) Pxy(,)Pxy(,)学生111222 知识归纳22掌握( ||()()PPxxyy,,，, 122121强调情况设、为平面内任意两点，则线段Pxy(,)Pxy(,)PP 11122212中点的坐标为 Pxy(,) 000xxyy，， 1212 xy,,,.002280*归纳小结强化思想引导回忆本次课学了哪些内容,重点和难点各是什么, *自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法,你是如何进行学习的, 提问反思检验你的学习效果如何, 学生已知点M(0,2),，点N(2,2),，求线段MN的长度，并写巡视动手学习指导求解效果出线段MN的中点P的坐标( 86*继续探索活动探究说明记录分层(1)读书部分:教材次要教学教师学生教学时过程行为行为意图间求 (2)书面作业:教材习题8(1 A组(必做);教材习题8(1B组(选做) (3)实践调查:编写一道关于求中点坐标的问题并求解( 90【教师教学后记】项目反思点学生是否真正理解有关知识;学生知识、技能的掌握情况是否能利用知识、技能解决问题; 在知识、技能的掌握上存在哪些问题;学生是否参与有关活动;学生的情感态度在数学活动中，是否认真、积极、自信;遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服;学生是否积极思考;思维是否有条理、灵活;学生思维情况是否能提出新的想法;是否自觉地进行反思;学生是否善于与人合作;学生合作交流的情况在交流中，是否积极表达;是否善于倾听别人的意见;学生是否愿意开展实践;能否根据问题合理地进行实践;学生实践的情况在实践中能否积极思考;能否有意识的反思实践过程的方面;【课题】8(2 直线的方程【教学目标】知识目标:(1)理解直线的倾角、斜率的概念;(2)掌握直线的倾角、斜率的计算方法(能力目标:采用“数形结合”的方法，培养学生有条理地思考问题(【教学重点】直线的斜率公式的应用(【教学难点】直线的斜率概念和公式的理解(【教学设计】本教材采用的定义是:“当直线与x轴相交于点P时，以点P为顶点，始边指向x轴正方向，终边落在直线上的最小正角叫做直线的倾角(当直线与x轴不相交(或重合)时，规定倾角为零角”(这样就使得关于角的概念一致起来(结合图形，让学生观察倾角的取值范围，要注意倾角的取值范围是[0,) 而非180[0,](教材中的“试一试”有助于巩固学生对倾角概念的理解( 180教材采用“数形结合”的方法，分成两种情况来研究斜率公式(教学中要注意这种分类讨论问题的思考方法的教育，培养学生有条理的思考问题(要强调应用斜率公式的条件( xx,12例1是斜率概念及公式的巩固题目，属于简单题(通过例题加强对概念和公式的理解( 【教学备品】教学课件(【课时安排】2课时((90分钟)【教学过程】教学教师学生教学时过程行为行为意图间*揭示课题0 介绍了解教学教师学生教学时过程行为行为意图间8(2 直线的方程*创设情境兴趣导入观察思考如图8,3所示，直线、、虽然都经过点P，但是它lll123 从实质疑们相对于x轴的倾斜程度是不同的( 例出发使学生自然自我引导的走分析分析向知识点10图8,3*动脑思考探索新知【新知识】总结思考为了确定直线对x轴的倾斜程度，我们引入直线的倾角的概念( 归纳设直线l与x轴相交于点P，A是x轴上位于点P右方的一点，带领 B是位于上半平面的l上的一点(如图8,4)，则，APB叫做直理解学生线l对x轴的倾斜角，简称为l的倾角(若直线l平行于x轴，仔细分析规定倾角为零，这样，对任意的直线，均有?( 0,,180 分析讲解 y y 记忆关键 B B 词语 x A O P O P A x 图8,4 下面研究如何根据直线上的任意两个点的坐标来确定倾角的大小(教学教师学生教学时过程行为行为意图间设、为直线l上的任意两点，可以得到Pxy(,)Pxy(,)111222 总结思考归纳 (如图8,5):图8?5引导 yy,21当时，，(如图8?5(1)、xx,tan,,,90,12 理解式启 xx,21 发学(2)); 生得仔细当时，，的值不存在，此时直线l与xxx,,,90tan,12出结分析果轴垂直(如图8?5(3))( 讲解关键倾角,,,90的正切值叫做直线的斜率，用小写字母kl，，词语表示，即 ( k,tan,设点、为直线l上的任意两点，则直线Pxy(,)Pxy(,)111222记忆 l的斜率为 yy,21 ( (8(3) kxx,,()12xx,21【想一想】当、的纵坐标相同时，斜率是否存在,倾斜角是多PP12少,35*巩固知识典型例题例1 根据下面各直线满足的条件，分别求出直线的斜率:教学教师学生教学时过程行为行为意图间说明观察(1)倾角为; 30 强调注意 (2)直线过点与点( A(2,2),B(3,1), 观察学生解 (1)由于倾斜角，故直线的斜率为 ,,30 是否思考引领理解 3 ( ,k,,,tantan30 3知识点 (2)由点、，由公式8.3得直线的斜率为A(2,2),B(3,1), 主动 yy,,,123讲解 21( k,,,, xx,,,3(2)5求解 21说明说明利用公式8.3计算直线的斜率时，将哪个点看作为，哪个点看作为并不影响计算结果( PP12【想一想】你能求出例1(2)中直线的倾角吗, 55*运用知识强化练习1(判断满足下列条件的直线的斜率是否存在，若存在，求出结果( 及时提问思考了解 (1)直线的倾角为; 45 巡视学生指导 (2)直线过点与点; A(1,2),B(3,2)知识动手掌握 (3)直线平行于y轴; 求解得情 (4)点，在直线上( M(4,2),N(4,3) 况 2(设点、，则直线的斜率为，P(3,1),Q(5,3),PQ倾角为 ( 65*理论升华整体建构思考并回答下面的问题: 直线倾角的取值范围、直线的斜率公式,质疑回答及时结论: 了解直线的倾斜角的取值范围是 [0,180)学生知识归纳教学教师学生教学时过程行为行为意图间强调掌握点、为直线l上的任意两点，则直线lPxy(,)Pxy(,)111222 情况的斜率为yy,21 ( kxx,,()12xx,2175( k,tan,*归纳小结强化思想引导回忆本次课学了哪些内容,重点和难点各是什么, *自我反思目标检测提问反思检验本次课采用了怎样的学习方法,你是如何进行学习的, 学生你的学习效果如何, 巡视动手学习85 求过点、的直线的倾角和斜率, P(3,1),Q(5,3),指导求解效果*继续探索活动探究说明记录分层(1)读书部分:教材次要(2)书面作业:教材习题8.2 A组(必做);8.2 B组(选求做)(3)实践调查:编写一道关于直线斜率的问题并求解 90【教师教学后记】项目反思点学生是否真正理解有关知识;学生知识、技能的掌握情况是否能利用知识、技能解决问题;在知识、技能的掌握上存在哪些问题;学生是否参与有关活动;学生的情感态度在数学活动中，是否认真、积极、自信;遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服;学生是否积极思考;学生思维情况思维是否有条理、灵活;是否能提出新的想法;是否自觉地进行反思;学生是否善于与人合作;学生合作交流的情况在交流中，是否积极表达;是否善于倾听别人的意见;学生是否愿意开展实践;能否根据问题合理地进行实践;学生实践的情况在实践中能否积极思考;能否有意识的反思实践过程的方面;此节的书面作业习题里没有【课题】8(2 直线的方程(二)【教学目标】知识目标:(1)了解直线与方程的关系;(2)掌握直线的点斜式方程、斜截式方程，理解直线的一般式方程(能力目标:培养学生解决问题的能力与计算能力(【教学重点】直线方程的点斜式、斜截式方程(【教学难点】根据已知条件，选择直线方程的适当形式求直线方程(【教学设计】采用“问题——分析——联系方程”的步骤，从学生熟知的一次函数图像入手，分析图像上的坐标与函数解析式的关系，把函数的解析式看作方程，图像是具有某种特征的平面点集(轨迹)(很自然地建立直线和方程的关系，把函数的解析式看作方程是理解概念的关键(导出直线的点斜式方程过程，是从直线与方程的关系中的两个方面进行的(首先是直线上的任意一点的坐标都是方程的解，然后是以方程的解为坐标的点一定在这条直线上(直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特例(直线的斜截式方程与一次函数的解析式具有相同的形式(要强调公式中的意义( b直线的一般式方程的介绍，分两个层次来处理也是唯一的(首先，以问题的形式提出前面介绍的两种直线方程都可以化成一般的二元一次方程的形式(然后按照二元一次方程CC的系数的不同取值，进行讨论(对与只是数形结合的进行说AxByC，，,0y,,x,,BA明(这种方式比较适合学生的认知特征(【教学备品】教学课件(【课时安排】2课时((90分钟)【教学过程】教学教师学生教学时过程行为行为意图间*揭示课题0 介绍了解 8(2 直线的方程(二)启发 *创设情境兴趣导入质疑思考学生【问题】引导思考我们知道，方程的图像是一条直线，那么方程xy,，,10 分析的解与直线上的点之间存在着怎样的关系呢,5*动脑思考探索新知【新知识】已知直线的倾角为，并且经过点，由此可以确P(0,1)450定一条直线l(设点为直线l上不与点重合的Pxy(,)P(0,1)0讲解思考任意一点(图8,6)( 说明带领学生分析教学教师学生教学时过程行为行为意图间引领理解分析图8,6y,1 ， k,,tan45 x,0即 ( xy,，,10这说明直线上任意一点的坐标都是方程的解( xy,，,10 设点的坐标为方程的解，即xy,，,10Pxy(,) 111思考，则 xy,，,10 11y,11 ， ,,ktan45 x,01已知直线的倾角为，并且经过点，只可以确定P(0,1)45 0仔细一条直线l(这说明点在经过点且倾角为P(0,1)Pxy(,)45 1110分析讲解的直线上( 关键一般地，如果直线(或曲线)L与方程满足下Fxy(,)0, 词语列关系: ? 直线(或曲线)L上的点的坐标都是二元方程的解; Fxy(,)0,? 以方程的解为坐标的点都在直线(或曲线)Fxy(,)0,L上( 理解 L那么，直线(或曲线)叫做二元方程的直线Fxy(,)0, L(或曲线)，方程叫做直线(或曲线)的方程. 记Fxy(,)0, L作曲线:或者曲线( Fxy(,)0,Fxy(,)0, 例如，直线l的方程为，可以记作直线xy,，,10 ，也可以记作直线( lxy:10,，,xy,，,10 下面求经过点，且斜率为的直线l的方程(如Pxy(,)k000 图8,7)(教学教师学生教学时过程行为行为意图间引导式启发学生得出结果图8,7在直线l上任取点(不同于点)，由斜率公式可Pxy(,)P0 记忆yy,0 得， k,xx, 0即 ( yykxx,,,()00显然，点的坐标也满足上面的方程( Pxy(,)000方程， (8(4) yykxx,,,()00叫做直线的点斜式方程(其中点为直线上的点，为Pxy(,)k000 直线的斜率(20 【说明】当直线经过点且斜率不存在时，直线的倾角为Pxy(,)00090?，此时直线与x轴垂直，直线上所有的点横坐标都是，x0因此其方程为( xx,0*巩固知识典型例题例2 在下列各条件下，分别求出直线的方程: 说明观察强调教学教师学生教学时过程行为行为意图间通过 (1)直线经过点，倾角为; P(1,2)450 例题引领思考进一(2)直线经过点，( P(3,2)P(1,1),, 12步领会解 (1)由于，故斜率为 ,,45 讲解主动说明求解， k,,,tantan451, 又因为直线经过点，所以直线方程为P(1,2) 0 ， yx,,,,21(1) 引领思考注意即 ( xy,，,10 观察 (2)直线过点，，由斜率公式得 P(3,2)P(1,1),,学生 12 是否讲解主动 ,,123 理解 ( k,,说明求解 ,,134 知识故直线的方程为点3 ， yx,,,2(3)4即 ( 3410xy,,,【想一想】3例2(2)题中，如果利用点和写出的直线P(1,1),,k,2 4方程，结果是否一样，为什么,30*动脑思考探索新知【新知识】如图8,8所示，设直线l与x轴交于点，与y轴Aa(,0)交于点(则叫做直线l在x轴上的截距(或横截距);Bb(0,)a总结思考叫做直线l在y轴上的截距(或纵截距)( b 归纳归纳【想一想】教学教师学生教学时过程行为行为意图间直线在x轴及y轴上的截距有可能是负数吗,带领学生总结图8,8【新知识】仔细分析设直线在y轴上的截距是b，即直线经过点，且斜Bb(0,) 理解讲解记忆率为(则这条直线的方程为 k关键词语， ybkx,,,(0)即 ( ykxb,，方程(8(5) ykxb,，叫做直线的斜截式方程(其中为直线的斜率，为直线在ykb 轴的截距( 40 *巩固知识典型例题例3 设直线l的倾角为60?，并且经过点P(2，3)((1)写出直线l的方程;(2)求直线l在y轴的截距(解 (1)由于直线l的倾角为60?，故其斜率为引领观察通过( k,,tan603 分析例题进一又直线经过点P(2，3)，由公式(8.4)得知直线的方程为步领思考会( yx,,,33(2) 讲解说明 (2)将上面的方程整理为主动 ( yx,,，3233 求解教学教师学生教学时过程行为行为意图间这是直线的斜截式方程，由公式(8.4)知直线l的在y轴的截距为( 323,【想一想】例3(2)中，求直线在y轴的截距还有其他的方法吗,50*运用知识强化练习11(作出的图像，并判断点、是否为图像P(2,3),Q(4,2)yx, 2 及时中的点( 提问思考了解巡视求解学生 2(设点在直线上，求的值( 350xy，,,Pa(,1)a 指导知识3(根据下列各直线满足的条件，写出直线的方程: 掌握得情 (1)过点，斜率为3; (2)在y轴上的截(5,2)况距为5，斜率为4(4(分别求出直线在x轴及y轴上的截距( yx,,,85(1)60*创设情境兴趣导入【问题】质疑思考引导可化为;启发yykxx,,,()kxyykx,，,,00000 学生引导参与可化为，由此看到，直线的点斜式方ykxb,，kxyb,，,0思考分析分析程与斜截式方程都可化为二元一次方程的一般形式65 ( AxByC，，,0那么，能不能说，一般形式的二元一次方程就是直线的方程呢, AxByC，，,0*动脑思考探索新知【新知识】(1)当，时，二元一次方程AxByC，，,0可A,0B,0教学教师学生教学时过程行为行为意图间总结思考 ACAC化为(表示斜率为，纵截距的直yx,,,k,,b,, BB归纳归纳 BB 线(C 带领 (2)当，时，方程为，表示经过点A,0B,0y,, B 学生 C,, 且平行于x轴的直线(如图8,9)( P0,, 总结 ,,B,, C (3)当，时，方程为，表示经过点A,0B,0x,, A C,, 且平行于y轴的直线(如图8,10)( P,,0仔细理解 ,,A,, 分析记忆讲解所以，二元一次方程(其中A、B不全为AxByC，，,0 关键零)表示一条直线( 词语图8,9 图8,10方程72 (其中A、B不全为零) (8.6) AxByC，，,0叫做直线的一般式方程(*巩固知识典型例题说明观察 1例4 将方程化为直线的一般式方程，并分别 yx,,，2(1) 强调 2 求出该直线在x轴与y轴上的截距(1通过思考引领解由得 yx,,，2(2) 2例题进一教学教师学生教学时过程行为行为意图间步领( 3260xy,，, 讲解主动会说明求解这就是直线的一般式方程(在方程中令，则，y,0x,,2故直线在x轴上的截距为;令，则，故直线在,2y,3x,0y轴上的截距为3(【说明】74 本教材中，如果不作特殊说明，作为结果，直线的方程都要求写成一般式方程(*运用知识强化练习1(将下列直线方程化为一般方程: 启发思考可以13 引导了解交给 (1); (2)( yx,,2yx,,,，2(1) 24 学生自我 2(已知的三个顶点分别为，，A(3,0),B(2,1),,ABC 提问动手发现巡视求解归纳，求AC 边上的中线所在直线的方程( C(2,3),78 指导*理论升华整体建构思考并回答下面的问题:直线的点斜式方程、斜截式方程、一般式方程,结论:质疑回答及时方程，叫做直线的点斜式方程(其yykxx,,,()00了解中点为直线上的点，为直线的斜率( Pxy(,)k学生000 知识归纳掌握方程叫做直线的斜截式方ykxb,，强调情况程(其中为直线的斜率，为直线在y轴上的截距( kb方程(其中A、B不全为零) 叫做直线AxByC，，,0的一般式方程(82*归纳小结强化思想引导回忆本次课学了哪些内容,重点和难点各是什么,教学教师学生教学时过程行为行为意图间85*自我反思目标检测提问反思检验本次课采用了怎样的学习方法,你是如何进行学习的, 学生你的学习效果如何, 巡视动手学习求直线在x轴、y轴上的截距及斜率( xy,，,280指导求解效果 87*继续探索活动探究说明记录分层(1)读书部分:教材次要(2)书面作业:教材习题8.2 A组(必做);8.2 B组(选求做)(3)实践调查:编写一道关于直线方程的问题并求解 90【教师教学后记】项目反思点学生是否真正理解有关知识;学生知识、技能的掌握情况是否能利用知识、技能解决问题;在知识、技能的掌握上存在哪些问题;学生是否参与有关活动;学生的情感态度在数学活动中，是否认真、积极、自信;遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服;学生是否积极思考;思维是否有条理、灵活;学生思维情况是否能提出新的想法;是否自觉地进行反思;学生是否善于与人合作;学生合作交流的情况在交流中，是否积极表达;是否善于倾听别人的意见;学生是否愿意开展实践;能否根据问题合理地进行实践;学生实践的情况在实践中能否积极思考;能否有意识的反思实践过程的方面;【课题】8(3 两条直线的位置关系(一)【教学目标】知识目标:(1)掌握两条直线平行的条件;(2)能应用两条直线平行的条件解题(能力目标:培养学生的数学思维及分析问题和解决问题的能力(【教学重点】两条直线平行的条件(【教学难点】两条直线平行的判断及应用(【教学设计】从初中平面几何中两条直线平行的知识出发，通过“数”“形”结合的方式，讲解两条直线平行的判定方法，介绍两条直线平行的条件，学生容易接受(知识讲解的顺序为:(,倾斜角斜率相等,,,90; 两条直线平行同位角相等倾斜角相等 ,,,,倾斜角斜率都不存在.,,90,,教材都是采用利用“斜率与截距”判断位置关系的方法(其步骤为:首先将直线方程化成斜截式方程，再比较斜率与截距进行位置关系的判断(例1就是这种方法的巩固性题目(考虑到学生的实际状况和职业教育的特点，教材没有介绍利用直线的一般式方程来判断两条直线的位置关系(例2是利用平行条件求直线的方程的题目，属于基础性题(首先利用平行条件求出直线的斜率，从而写出直线的点斜式方程，最后将方程化为一般式方程(简单的解决问题的过程，蕴含着“解析法”的数学思想，要挖掘(【教学备品】教学课件(【课时安排】2课时((90分钟)【教学过程】教学教师学生教学时过程行为行为意图间*揭示课题0 介绍了解8(3 两条直线的位置关系(一)*创设情境兴趣导入【知识回顾】启发质疑思考我们知道，平面内两条直线的位置关系有三种:平行、相学生交、重合(并且知道，两条直线都与第三条直线相交时，“同引导思考位角相等”是“这两条直线平行”的充要条件( 分析【问题】两条直线平行，它们的斜率之间存在什么联系呢, 10*动脑思考探索新知【新知识】当两条直线、的斜率都存在且都不为0时(如图8,ll1211(1))，如果直线平行于直线，那么这两条直线与x轴相ll 12讲解思考交的同位角相等，即直线的倾角相等，故两条直线的斜率相等; 说明反过来，如果直线的斜率相等，那么这两条直线的倾角相等，即两条直线与x 轴相交的同位角相等，故两直线平行(带领学生分析理解引领分析 (1) 图8-11 ,11教学教师学生教学时过程行为行为意图间当直线、的斜率都是0时(如图8,11(2))，两条直线都ll12与x轴平行，所以//( ll12当两条直线、的斜率都不存在时(如图8,11(3))，ll12直线与直线都与x轴垂直，所以直线// 直线( llll1212显然，当直线、的斜率都存在但不相等或一条直线的ll12斜率存在而另一条直线的斜率不存在时，两条直线相交(思考由上面的讨论知，当直线、的斜率都存在时，设ll12 引导式启，，则 lykxb:,，lykxb:,，111222 发学生得 kk, 12出结两个方程的系仔细 kk,12果数关系分析 bb,bb,1212 讲解关键两条直线的位相交平行重合词语置关系当两条直线的斜率都存在时，就可以利用两条直线的斜率及直线在y轴上的截距，来判断两直线的位置关系( 理解判断两条直线平行的一般步骤是: 35(1) 判断两条直线的斜率是否存在，若都不存在，则平行;若只有一个不存在，则相交((2) 若两条直线的斜率都存在，将它们都化成斜截式方程，若斜率不相等，则相交;(3) 若斜率相等，比较两条直线的纵截距，相等则重合，不相等则平行(*巩固知识典型例题例1 判断下列各组直线的位置关系:教学教师学生教学时过程行为行为意图间(1)， ; lxy:210，，,lxy:240,,124 (2)， ; lxy:4310,，,lyx:5,,213(3)， ( lxy:340，,,lxy:2680,,，,12 说明观察强调分析分别将各直线的方程化成斜截式方程，通过比较斜率和直线在y 轴上的截距(判断两条直线的位置关系( kb解 (1)由得 xy，，,21011， yx,,, 22。
2025年高考数学一轮复习-8.6.1双曲线的定义、方程与性质【课件】
1关于点 N 的对称点为 M ，线段 F 1 M 的中
垂线与直线 F 2 M 相交于点 P ，则点 P 的轨迹是（
A. 椭圆
B. 双曲线
C. 抛物线
D. 圆
）
目录
高中总复习·数学（提升版）
解析：如图，连接 ON ，由题意可得｜
ON ｜＝1，且 N 为 MF 1的中点，又 O 为 F 1 F 2
的中点，所以｜ MF 2｜＝2.因为点 F 1关于点 N
第1课时 双曲线的定义、方程与性质
目录
C O N T E N T S
1
2
考点 分类突破
课时 跟踪检测
课堂演练
考点 分类突破
PART
1
目录
高中总复习·数学（提升版）
双曲线的定义及标准方程
【例1】 （1）已知定点 F 1（－2，0）， F 2（2，0）， N 是圆 O ： x
2＋ y 2＝1上任意一点，点 F
合｜｜ PF 1｜－｜ PF 2｜｜＝2 a ，运用平方的方法，建立关
于｜ PF 1｜·｜ PF 2｜的方程.
目录
高中总复习·数学（提升版）
2. 求双曲线标准方程的两种方法
（1）待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，
列出参数 a ， b ， c 的方程（组）并求出 a ， b ， c 的值；
1
1 2
｜2 ｜2 ＋｜2 ｜2 ＝
1
（ ）2 ＋（
2
21
2
5） ＝
.
2
目录
高中总复习·数学（提升版）
双曲线的几何性质
考向1 双曲线的渐近线问题
【例2】
2
（1）设 F 1， F 2是双曲线 C ： 2
曲线和方程一PPT课件
第9页/共16页
课堂练习1:下列各题中，下图各曲线的曲线方程是所
列出的方程吗？为什么？
(1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的
折线(如图(1))其方程为(x-y)(x+y)=0; 不是
(2)曲线C是顶点在原点的抛物线其方
⑵若 (x0 , y0 ) 是方程 y kx b 的解,则 M (x0 , y0 ) 是经过点 P (0, b) 和斜率为 k 的直线 l 上的一点.
继续
第12页/共16页
课外练习3：
设圆M的方程为
, 直线
l 的方程为x+y-3=0, 点P的坐标为(2,1)，那
么（C
）
A.点P在直线上，但不在圆上 B.点P在圆上，但不在直线上； C.点P既在圆上，也在直线上 D.点P既不在圆上，也不在直线上
两边开方取算术根，得：
即点M (x0,y0)到坐标原点的距离等于5，点M (x0,y0)是这 个圆上的一点.
第7页/共16页
由(1)、(2)可知， x2 +y2 = 25,是以坐标原点为圆 心，半径等于5的圆的方程.
第8页/共16页
归纳: 证明已知曲线的方程的方法和步骤
第一步，设M (x0,y0)是曲线C上任一点， 证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；
y
f(x,y)=0
这条曲线C叫做这个方程f(x,y)=0
0
x
的曲线.
说明:1.曲线的方程——反映的是图形所满足的数量关系; 方程的曲线——反映的是数量关系所表示的图形.
第2页/共16页
2.方程的曲线与曲线的方程的关系:
中职数学基础模块下册第八单元《直线与圆的方程》word教案
第八章 直线与圆的方程教学设计课题1 直线的斜截式方程【教学目标】1．进一步复习斜率的概念，了解直线在y 轴上的截距的概念；2．理解直线的斜截式方程与点斜式方程的关系；3．初步掌握直线的斜截式方程及其简单应用；4．培养学生应用公式的能力．【教学重点】直线的斜截式方程．【教学难点】直线的斜截式方程及其应用．【教学过程】（一）复习引入（1）提问：请同学们写出直线的点斜式方程，并说明（x ，y ），（x1，y1），k 的几何意义． （答案：直线的点斜式方程是y －y1＝k （x －x1）；（x ，y ）是已知直线上的任意一点的坐标，（x1，y1）是直线上一个已知点的坐标，k 是直线的斜率．）（2）已知直线l 的斜率为k ，与y 轴的交点是（0，b ），求直线l 的方程．（答案：y ＝kx ＋b. ）（二）讲解新课（1）直线在y 轴上的截距一条直线与y 轴交点的纵坐标，叫做这条直线在y 轴上的截距．例如，引例中直线l 与y 轴交于点（0，b ），则b 就是直线l 在y 轴上的截距． 在这里特别要注意：截距是坐标的概念，而不是距离的概念．（2）直线的斜截式方程如果已知直线l 的斜率是k ，在y 轴上的截距是b ，那么直线l 的方程是y ＝kx ＋b . 由于这个方程是由直线的斜率和直线在y 轴上的截距确定的，所以叫做直线方程的斜截式．这个方程的导出过程就是引例的解题过程．这是我们同学自己推导出来的．（3）我们来认识一下这个方程①它和一次函数的解析式相似而不相同在一次函数的解析式中，k 不能得0，而直线的斜截式方程没有这个限制．②练一练根据直线l 的斜截式方程，写出它们的斜率和在y 轴上的截距：（1）y ＝3x －2， k ＝________，b ＝________；（2）y ＝23x ＋13， k ＝________，b ＝________； （3）y ＝－x －1， k ＝________，b ＝________；（4）y ＝3x －2， k ＝________，b ＝________.小结：通过练一练中的这些题目，告诉我们：掌握斜截式方程的第一个要求是要能够根据直线的斜截式方程写出直线的斜率和在y 轴上的截距．（4）直线的斜截式方程的应用例1 求与y 轴交于点（0，－4），且倾斜角为150°的直线方程．解：∵直线与y 轴交于点（0，－4），∴直线在y 轴上的截距是－4.又 ∵直线的倾斜角为150°，∴直线的斜率k ＝tan150°＝－33. 将它们代入斜截式方程，得y ＝－33x －4， 化简，得 3x ＋2y ＋12＝0. 这就是与y 轴交于点（0，－4），且倾斜角为150°的直线方程．例2 已知直线l 过点（3，0），在y 轴上的截距是－2，求直线l 的方程．解：∵直线过点（3，0），且在y 轴上的截距是－2，∴直线l 过点（3，0）和（0，－2）．将它们代入斜率公式，得k ＝－2－00－3＝23. 又知，直线l 在y 轴上的截距是－2，即b ＝－2.将它们代入斜截式方程，得y ＝23x －2， 化简，得2x －3y －6＝0.这就是所求直线l 的方程．小结：通过这两个例题，告诉我们：如果知道了直线的斜率和在y 轴上的截距就可以直接写出直线的斜截式方程，如果题目没有直接给出这两个条件，那么就必须利用已知，找到这两个条件，然后再利用斜截式求直线方程．讲评：老师在带领学生做过练一练之后和讲解了两个例题之后所做的小结很好，它点明了直线的斜截式方程应用的要点，同时也明确了这一节课的重点内容．（5）练习教材 P 76练习1—3.（三）布置作业学生学习指导用书 直线的斜截式方程【教学设计说明】本教案的前一课时学习了直线的点斜式方程，本节开始直接利用点斜式方程引出斜截式方程，这种引入方法，既复习了前一节学习的知识，又引出了新课，直截了当并且显得很自然，同时还讲清了直线的斜截式方程与点斜式方程的关系．因为学生常常误认为截距是距离，实际上，截距是坐标的概念，是一个可正，可负，可零的实数，教案对此专门进行了提醒，十分必要．教案还在练一练与例题之后分别给出了小结，这对学生掌握直线的斜截式方程及其应用很有帮助．课题2 直线的一般式方程【教学目标】1．使学生了解直线与二元一次方程的关系；2．初步掌握各种方程之间的互化方法；3．初步了解分类讨论问题的思想．【教学重点】直线的一般式方程与直线各种方程之间的互化方法．【教学难点】分类讨论问题的思想．【教学过程】（一）复习引入（1）写出直线的斜截式方程和斜率不存在的直线方程．（答案：直线的斜截式方程是y ＝kx ＋b ，斜率不存在的直线方程是x ＝x1. ）（2）求斜率为2，在y 轴上的截距为1的斜截式方程，并将其化简整理．（答案：斜截式方程是y ＝2x ＋1，化简得2x －y ＋1＝0. ）（3）能通过上面一道题就说所有的直线方程都能化简为二元一次方程吗？（答案：不能．）（二）讲解新课（1）所有的直线方程都能化简为Ax ＋By ＋C ＝0 （A ，B 不同时为零）的形式 . 通过下面五个层次完成教学：①所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率．②将所有的直线分为两类：有斜率和没斜率，即α＝90°和α≠90°.③α＝90°时，直线都有斜率，其方程可以写成下面的形式：y ＝kx ＋b ，这是一个二元一次方程；④当α＝90°时，直线没有斜率，其方程可以写成下面的形式x ＝x 1，这也是一个二元一次方程，其中y 的系数是0.⑤结论：在平面直角坐标系中，任何直线都可以求得它的方程，而且都是二元一次方程．也就是说任何直线的方程都可以写成关于x ，y 的一次方程Ax ＋By ＋C ＝0 （A ，B 不同时为零） .（2）方程Ax ＋By ＋C ＝0 （A ，B 不同时为零）总表示直线．通过下面四个层次完成教学：①方程Ax ＋By ＋C ＝0（A ，B 不同时为零）可根据B ≠0和B ＝0而分成两种情况． ②当B ≠0时，方程可以化为y ＝－A B x －C B.这是直线方程的斜截式，它表示斜率k ＝－A B ，在y 轴上的截距b ＝－C B的直线． ③当B ＝0时，必有A ≠0，方程可以化为x ＝－C A. 它表示一条与y 轴平行（C ≠0）或重合（C ＝0）的直线．④结论：关于x ，y 的一次方程总表示直线．（3）直线方程的一般式根据（1）（2）两方面的结论，我们称方程Ax ＋By ＋C ＝0为直线方程的一般形式 （其中A ，B 不同时为零） .直线l 的方程是Ax ＋By ＋C ＝0，可以简称为直线Ax ＋By ＋C ＝0，记作l ：Ax ＋By ＋C ＝0.（4）直线方程一般式的应用例1 求直线l ：2x －3y ＋6＝0的斜率和在y 轴上的截距．解法1：（将直线l 的方程化为斜截式）将原方程移项，得3y ＝2x ＋6.方程两边同被3除，得 y ＝23x ＋2. 这是直线l 的斜截式方程，可以看出其斜率为23，在y 轴上的截距为2. 解法2：（利用k ＝－A B ，b ＝－C B，求k ，b . ） 在方程2x －3y ＋6＝0中，∵A ＝2，B ＝－3，C ＝6，∴k ＝－A B ＝23，b ＝－C B＝2.故直线l 的斜率为23，在y 轴上的截距为2. 例2 画出方程4x －3y －12＝0表示的直线．解：在方程4x －3y －12＝0中，令x ＝0，得y ＝－4，令y ＝0，得x ＝3，可知，直线过点A （0，－4），B （3，0）．如图，在平面直角坐标系中，做出A （0，－4），B （3，0）两点，并过A ，B 做直线，则直线AB 就是方程4x －3y －12＝0表示的直线．（5）练习教材 P 82练习1、2.【教学设计说明】本节课是在学生学习了直线方程的点斜式和斜截式的基础上引入直线一般式方程的，本节课理论性较强，是教学中的难点，教案针对难点采取了分层次讲解的方法，层层推进，步步为营，力图起到分散难点的作用．由于教材中涉及分类讨论的思想，所以要让学生通过本节课的学习，初步了解分类讨论的方法．直线的一般式方程与其他形式方程的互化是这节课教学的重点，但根据方程画直线也是直线方程教学的重要内容．教案中的两个例题突出强调了这一点，并在练习及作业中进一步作了强调．课题3 直线与圆的位置关系（一）【教学目标】1．了解直线与圆的位置关系的两种判定方法；2．了解平面几何知识在解析几何中的作用；3．会用两种判定方法解决一些简单数学问题．【教学重点】直线与圆的位置关系的两种判定方法．【教学难点】用两种判定方法解决一些简单数学问题．【教学过程】（一）复习引入（1）在平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系？（答案：相交，相切，相离．）（2）在圆的一般方程x2＋y2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0（D2＋E2－4F ＞0）中，如何确定圆心坐标？[答案：圆心坐标是⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2. ] （3）点到直线的距离如何计算？[答案：如果点P （x0，y0）为直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，则点到直线的距离为 d ＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2. ] （二）讲解新课（1）判断直线与圆的位置关系的第一种方法在平面几何中，我们已经学习过直线与圆的三种不同位置关系及它们的判断方法． 已知圆C 的半径为r ，设圆心C 到直线l 的距离为d. 如图①直线与圆有两个公共点时，称直线与圆相交，并有d ＜r ⇔直线l 与圆C 相交；②直线与圆有唯一公共点时，称直线与圆相切，并有d ＝r ⇔直线l 与圆C 相切；③直线与圆没有公共点时，称直线与圆相离，并有d ＞r ⇔直线l 与圆C 相离．在解析几何中，我们可以直接利用这个方法判定直线与圆的位置关系．例1 判定直线l ：3x －4y －1＝0与圆C ：（x －1）2＋（y ＋2）2＝9的位置关系．解：根据圆C 的方程（x －1）2＋（y ＋2）2＝9，我们知道，圆的半径r ＝3，圆心为C （1，－2），则圆心到直线3x －4y －1＝0的距离为d ＝|3－(－8)－1|32＋(－4)2＝2. 显然，有2＜3， 即d ＜r .故直线l ：3x －4y －1＝0与圆C ：（x －1）2＋（y ＋2）2＝9相交．（2）判断直线与圆的位置关系的第二种方法设直线方程为Ax ＋By ＋C ＝0（A ，B 不全为0），圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0（D 2＋E 2－4F ＞0），方程组⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0经消元后得到一元二次方程，设判别式为Δ，则有Δ＞0⇔直线l 与圆C 相交；Δ＝0⇔线l 与圆C 相切；Δ＜0⇔直线l 与圆C 相离．例2 判定直线l ：3x ＋4y －25＝0与圆C ：x 2＋y 2＝25的位置关系．解：由直线与圆的方程组成的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －25＝0，x 2＋y 2＝25. 由直线方程得y ＝－34x ＋254，代入圆的方程，得 x 2＋⎝⎛⎭⎫－34x ＋2542＝25， 整理，得x 2－6x ＋9＝0.因为 Δ＝（－6）2－4×1×9＝0，所以 直线l 与圆C 相切．（3）练习教材 P 105练习1—3.（三）布置作业学生学习指导用书 直线与圆的位置关系（一）【教学设计说明】在分别学习了直线方程和圆的方程之后，教材安排了直线与圆的位置关系一节，作为直线方程和圆的方程的直接应用，同时，也突出体现了解析法的特点，即利用代数知识解决几何问题．为了减少教学过程中的障碍，教案首先对一些相关知识做了复习，然后分别介绍了判断直线与圆的位置关系的两种方法，第一种方法是结合平面几何知识，只适用于直线与圆的关系的特殊方法；第二种方法则是适用于直线与所有二次曲线关系的一般方法．对于圆来讲，第一种方法相对简单一些，第二种方法则计算量大一些．。
语文版中职数学基础模块下册8.6《圆的方程》ppt课件3
数学应用
例2．已知△ABC顶点的坐标分别为A(4，3)，B(5，2)，C(1，0)，求外接 圆的方程．
y
A
B
C
O
x
变式练习：已知点A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)，求经过A，B，C 三点的圆的方程，并确定这个圆的半径和圆心坐标．
课内练习
• P92 • 1－4
数学应用
例3．某圆拱梁的示意图如图所示．该圆拱的跨度AB是36m，拱高OP是 6m，在建造时，每隔3m需要一个支柱支撑，求支柱A2P2的长(精确到 0.01m)
小结
圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F ＞0 )
圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0在x轴上的两个截距之和为－D，在y轴上 的两个截距之和为－E．
作业
课本P93页习题4，5．
编后语
• 同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。 • 一、听理科课重在理解基本概念和规律 • 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，
8.6圆的方程（2）
复习回顾
以(a，b)为圆心，r为半径的圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 特别的，x2＋y2＝r2 表示以原点为圆心，r为半径的圆；
问题情境
(1)(x－1)2＋(y－2)2＝9的圆心坐标和半径分别是多少？ (2)x2＋y2－2x－4y－4＝0所表示的曲线是什么？
形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ＝0的方程所表示的曲线一定是圆么？
y P P2
x
曲线和方程知识要点
曲线和方程的概念【知识要点】定义 一般地，如果曲线C 与方程0),(=y x F 之间有以下两个关系：(1)曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x F 的解；(2)以方程0),(=y x F 的解为坐标的点都在曲线C 上. 我们就把0),(=y x F 叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程0),(=y x F 的曲线.注意：要建立曲线与方程间的对应关系，仅有条件“曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x F 的解”是不够的，因为可能有满足方程0),(=y x F 的点不在曲线C 上；仅有条件“以方程0),(=y x F 的解为坐标的点都在曲线C 上”也是不够的，因为曲线C 上可能有不满足方程0),(=y x F 的点.只有同时具备这两个条件时，才能说方程0),(=y x F 是曲线C 的方程，曲线C 是方程0),(=y x F 的曲线.求曲线的方程【知识要点】1 求曲线的方程的步骤：①建立适当的直角坐标系(如果已给出，本步骤省略).②设曲线上任意一点的坐标为),(y x ，写出已知点的坐标，设出相关点的坐标.③根据曲线上点所适合的条件，写出等式.④用坐标表示这个等式(方程)，并化简.⑤证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点(在本教材不作要求).(6)检验，该说明的要说明.2 求曲线方程的常用方法：定义法、直接法、代入法、参数法等.(1)定义法：根据题意可以得出或推出动点的轨迹是直线或圆或椭圆或双曲线或抛物线.根据所学知识可以写出或求出轨迹方程.若方程形式知道，往往用待定系数法求.(2)直接法：根据题设条件直接写出动点的坐标),(y x 所满足的关系式，即方程0),(=y x F .(3)相关点法(代入法)：是所求轨迹上的动点),(y x P 随着另一个已知曲线上的动点),(11y x M 的运动而运动时，一般用代入法求动点P 的轨迹方程.其方法是根据题设条件求得两动点坐标),(y x 与),(11y x 之间的关系式，从中解出),(),,(11y x g y y x f x ==，由于),(11y x M 在已知曲线上，故),(11y x M 满足已知曲线方程，将11,y x 的表达式代入已知曲线方程，从而求得动点P 的轨迹方程.(4)参数法：根据题意得出动点P 的坐标y x ,用其他点的坐标或长度、角、斜率、时间等参数来表示.常用到的公式有两点间的距离公式、中点坐标公式、斜率公式、夹角公式、点到直线的距离公式.曲线的交点【知识要点】1 要求两条曲线的交点的坐标，只需解由这两条曲线的方程所组成的方程组.如果方程组没有实数解，那么这两个方程的曲线就没有交点.反过来，曲线有没有交点也可用来说明方程组有没有实数解.即可用几何图形的性质说明代数方程(组)有没有实数解.2 一般地，斜率为k 的直线b kx y l +=:与曲线C 相交于两点),(),,(2211y x B y x A ，则 ]4))[(1())(1()()(2122122212221221x x x x k x x k y y x x AB -++=-+=-+-=. 或]4))[(11())(11(2122122212y y y y k y y k AB -++=-+=.。
中职数学基础模块上下册全册教案【配套人教版教材】
中职数学教材基础模块上下册全册教案目录第一章集合 (1)1.1.1 集合的概念 (1)1.1.2 集合的表示方法 (5)1.1.3 集合之间的关系(一) (8)1.1.3 集合之间的关系(二) (11)1.1.4 集合的运算(一) (14)1.1.4 集合的运算（二) (18)1.2.1 充要条件 (21)1.2.2 子集与推出的关系 (24)第二章不等式 (27)2.1.1 实数的大小 (27)2.1.2 不等式的性质 (31)2.2.1 区间的概念 (35)2.2.2 一元一次不等式(组)的解法 (38)2.2.3 一元二次不等式的解法(一) (42)2.2.3 一元二次不等式的解法(二) (45)2.2.4 含有绝对值的不等式 (48)2.3 不等式的应用 (51)第三章函数 (54)3.1.1 函数的概念 (54)3.1.2 函数的表示方法 (58)3.1.3 函数的单调性 (61)3.1.4 函数的奇偶性 (65)3.2.1 一次、二次问题 (69)3.2.2 一次函数模型 (72)3.2.3 二次函数模型 (76)3.3 函数的应用 (81)第四章指数函数与对数函数 (83)4.1.1 有理指数(一) (83)4.1.1 有理指数(二) (87)4.1.2 幂函数举例 (91)4.1.3 指数函数 (94)4.2.1 对数 (98)4.2.2 积、商、幂的对数 (101)4.2.3 换底公式与自然对数 (105)4.2.4 对数函数 (107)4.3 指数、对数函数的应用 (110)第五章三角函数 (113)5.1.1 角的概念的推广 (113)5.1.2 弧度制 (117)5.2.1 任意角三角函数的定义 (120)5.2.2 同角三角函数的基本关系式 (124)5.2.3 诱导公式 (128)5.3.1 正弦函数的图象和性质 (133)5.3.2 余弦函数的图象和性质 (137)5.3.3 已知三角函数值求角 (140)第六章数列 (1)6.1.1 数列的定义 (1)6.1.2 数列的通项 (5)6.2.1 等差数列的概念 (9)6.2.2 等差数列的前n 项和 (15)6.3.1 等比数列的概念 (19)6.3.2 等比数列的前n项和 (23)6.4 数列的应用 (26)第七章平面向量 (29)7.1.1 位移与向量的表示 (29)7.1.2 向量的加法 (33)7.1.3 向量的减法 (37)7.2 数乘向量 (41)7.3.1 向量的分解 (45)7.3.2 向量的直角坐标运算 (48)7.4.1 向量的内积 (55)7.4.2 向量内积的坐标运算与距离公式 (59)7.5 向量的应用 (63)第八章直线和圆的方程 (66)8.1.1 数轴上的距离公式与中点公式 (66)8.1.2 平面直角坐标系中的距离公式和中点公式 (69)8.2.1 直线与方程 (73)8.2.2 直线的倾斜角与斜率 (75)8.2.3 直线方程的几种形式（一） (78)8.2.3 直线方程的几种形式（二） (81)8.2.4 直线与直线的位置关系（一） (85)8.2.4 直线与直线的位置关系（二） (90)8.2.5 点到直线的距离 (93)8.3.1 圆的标准方程 (95)8.3.2 圆的一般方程 (97)8. 4 直线与圆的位置关系 (101)8.5 直线与圆的方程的应用 (104)第九章立体几何 (106)9.1.1立体图形及其表示方法 (106)9.1.2 平面的基本性质 (109)9.2.1空间中的平行直线 (112)9.2.2 异面直线 (116)9.2.3 直线与平面平行 (119)9.2.4 平面与平面的平行关系 (123)9.3.1 直线与平面垂直 (128)9.3.2 直线与平面所成的角 (131)9.3.3 平面与平面所成的角 (134)9.3.4 平面与平面垂直 (136)9.4.1棱柱 (139)9.4.2棱锥 (142)9.4.3 直棱柱和正棱锥的侧面积 (144)9.4.4 圆柱、圆锥（一） (147)9.4.4圆柱、圆锥（二） (150)9.4.5 球 (153)9.4.6 多面体与旋转体的体积(一) (156)9.4.6多面体与旋转体的体积(二) (159)第十章概率与统计初步 (163)10.3.4 一元线性回归 (163)10.1计数原理 (167)10.2概率初步 (171)10.3.1 总体、样本和抽样方法（一） (175)10.3.1 总体、样本和抽样方法（二） (178)10.3.1 总体、样本和抽样方法（三） (181)10.3.2频率分布直方图 (184)10.3.3 用样本估计总体 (187)第一章集合1.1.1集合的概念【教学目标】1. 初步理解集合的概念；理解集合中元素的性质．2. 初步理解“属于”关系的意义；知道常用数集的概念及其记法．3. 引导学生发现问题和提出问题，培养独立思考和创造性地解决问题的意识．【教学重点】集合的基本概念，元素与集合的关系．【教学难点】正确理解集合的概念．【教学方法】本节课采用问题教学和讲练结合的教学方法，运用现代化教学手段，通过创设情景，引导学生自己独立地去发现、分析、归纳，形成概念．【教学过程】1.1.2集合的表示方法【教学目标】1. 掌握集合的表示方法；能够按照指定的方法表示一些集合．2. 发展学生运用数学语言的能力；培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力．3. 让学生感受集合语言的意义和作用，学习从数学的角度认识世界；通过合作学习培养学生的合作精神．【教学重点】集合的表示方法，即运用集合的列举法与描述法，正确表示一些简单的集合.【教学难点】集合特征性质的概念，以及运用描述法表示集合.【教学方法】本节课采用实例归纳，自主探究，合作交流等方法．在教学中通过列举例子，引导学生讨论和交流，并通过创设情境，让学生自主探索一些常见集合的特征性质．【教学过程】1.1.3集合之间的关系(一)【教学目标】1. 理解子集、真子集概念；掌握子集、真子集的符号及表示方法；会用它们表示集合间的关系．2. 了解空集的意义；会求已知集合的子集、真子集并会用符号及Venn图表示．3. 培养学生使用符号的能力；建立数形结合的数学思想；培养学生用集合的观点分析问题、解决问题的能力．【教学重点】子集、真子集的概念．【教学难点】集合间包含关系的正确表示．【教学方法】本节课采用讲练结合、问题解决式教学方法，并运用现代化教学手段辅助教学．设计典型题目，并提出问题，层层引导学生探究知识，让学生在完成题目的同时，思维得以深化；切实体现以人为本的思想，充分发挥学生的主观能动性，培养其探索精神和运用数学知识的意识．【教学过程】1.1.3集合之间的关系(二)【教学目标】1. 理解两个集合相等概念．能判断两集合间的包含、相等关系．2. 理解掌握元素与集合、集合与集合之间关系的区别．3. 学习类比方法，渗透分类思想，提高学生思维能力，增强学生创新意识．【教学重点】1. 理解集合间的包含、真包含、相等关系及传递关系．2. 元素与集合、集合与集合之间关系的区别．【教学难点】弄清元素与集合、集合与集合之间关系的区别．【教学方法】本节课采用讲练结合、问题解决式教学方法，并运用现代化教学手段进行教学．使学生初步经历使用最基本的集合语言表示有关数学对象的过程，体会集合语言，发展运用数学语言进行交流的能力．精心设计问题情境，引起学生强烈的求知欲望，通过启发，使学生的思考、发现、归纳等一系列的探究思维活动始终处于自主的状态中．【教学过程】1.1.4集合的运算(一)【教学目标】1. 理解交集与并集的概念与性质．2. 掌握交集和并集的表示法，会求两个集合的交集和并集．3. 发展学生运用数学语言进行表达、交流的能力；培养学生观察、归纳、分析的能力．【教学重点】交集与并集的概念与运算．【教学难点】交集和并集的概念、符号之间的区别与联系．【教学方法】这节课主要采用发现式教学法和自学法．运用现代化教学手段，通过创设情景，提出问题，引导学生自己独立地去发现问题、分析归纳、形成概念．并通过对比，自学相似概念，深化对概念的理解．【教学过程】1.1.4集合的运算（二)【教学目标】1. 了解全集的意义；理解补集的概念，掌握补集的表示法；理解集合的补集的性质；会求一个集合在全集中的补集．2. 发展学生运用数学语言进行表达、交流的能力；培养学生建立数形结合的思想，将满足条件的集合用Venn图或数轴一一表示出来；提高学生观察、比较、分析、概括的能力．3. 鼓励学生主动参与“教”与“学”的整个过程，激发其求知欲望，增强其学习数学的兴趣与自信心．【教学重点】补集的概念与运算．【教学难点】全集的意义；数集的运算．【教学方法】本节课采用发现式教学法，通过引入实例，进而分析实例，引导学生寻找、发现其一般结果，归纳其普遍规律．【教学过程】新课我们在研究数集时，常常把实数集R作为全集．二、补集1. 定义．如果A 是全集U的一个子集，由U中的所有不属于A 的元素构成的集合，叫做A 在U 中的补集．记作U A．读作“A 在U中的补集”．2. 补集的Venn图表示．例1 已知：U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}．则U A＝；A ∩U A＝；A ∪U A＝．解{2，4，6}；∅；U．例2已知U＝{ x | x是实数}，Q＝{ x | x 是有理数}．则U Q＝；Q∩U Q＝；Q∪U Q＝．解{ x | x 是无理数}；∅；U．3. 补集的性质．(1) A ∪U A＝U；(2) A ∩U A＝∅；(3) U(U A)＝A．例3已知全集U＝R，A＝{x | x＞5}，求U A．解U A＝{x | x≤5}．练习 1(1) 已知全集U＝R，A＝{ x | x＜1}，求U A．(2) 已知全集U＝R，A＝{ x | x师：通过引导学生回答引例中的问题2“没有购进的品种构成的集合是什么？”，得出补集的定义和特征；介绍补集的记法和读法．生：根据定义，试用阴影表示补集．师：订正、讲解补集Venn图表示法.生：对例1口答填空．师：引导学生画出例2的Venn图，明确集合间关系，请学生观察并说出结果．师：以填空的形式出示各条性质．生：填写性质．师：结合数轴讲解例3.学生解答练习1，并总结解题规律．从引例的集合关系中直观感知补集涵义．通过画图来理解补集定义，突破难点．借助简单题目使学生初步理解补集定义．例2中补充两问，为学生得出性质做铺垫．结合具体例题和Venn图，使学生自己得出补集的各个性质，深化对补集概念的理解．培养学生数形结合的数学意识．AUC U A新课≤1}，求U A．练习2设U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{5，2，1}，B＝{5，4，3，2}．求U A；U B；U A ∩U B；UA ∪U B．练习3 已知全集U＝R，A＝{x | -１< x < 1}．求U A，U A∩U，U A∪U，A ∩U A，A ∪U A．学生做练习2、3，老师点拨、解答学生疑难．通过练习加深学生对补集的理解．小结补集定义记法图示性质1. 学生读书、反思，说出自己学习本节课的收获和存在问题．2. 老师引导梳理，总结本节课的知识点，学生填表巩固.让学生读书、反思，培养学生形成良好的学习习惯，提高学习能力．作业教材P17，练习A组第1～4题．学生课后完成．巩固拓展．1.2.1充要条件【教学目标】1. 使学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念．2. 能在判断、论证中灵活运用上述三个概念．3. 培养学生思维的严密性．【教学重点】正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念．【教学难点】正确区分充分条件、必要条件．【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，引导学生分析归纳，形成概念．【教学过程】1.2.2子集与推出的关系【教学目标】1. 正确理解子集和推出的关系．2. 掌握通过“推出”判断集合的关系．3. 启发学生发现问题和提出问题，培养学生独立思考的能力，学会分析问题和解决问题；培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力．【教学重点】理解子集和推出的关系．【教学难点】理解通过“推出”判断集合的包含关系．【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，运用现代化教学手段进行教学．通过创设情景，用普遍联系的观点审视事物，引导学生自己去发现、分析、归纳，形成概念．穿插有针对性的练习及讲解，并配以题组训练模式，使学生边学边练，及时巩固，深化对概念的理解．【教学过程】第二章不等式2.1.1实数的大小【教学目标】1．理解并掌握实数大小的基本性质，初步学习用作差比较法来比较两个实数或代数式的大小．2．从学生身边的事例出发，体会由实际问题上升为数学概念和数学知识的过程．3．培养学生勤于分析、善于思考的优秀品质．善于将复杂问题简单化也是我们着意培养的一种优秀的思维品质．【教学重点】理解实数的大小的基本性质，初步学习作差比较的思想．【教学难点】用作差比较法比较两个代数式的大小．【教学方法】这节课主要采用讲练结合法．通过联系公路上的限速标志，引入不等式的问题，并且从关注数字的大小入手，引导学生学习用作差比较法来比较两个实数、代数式的大小．通过穿插有针对性的练习，引导学生边学边练，及时巩固，逐步掌握作差比较法．【教学过程】教学环节教学内容师生互动设计意图导入右面是公路上对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行使的速度不得超过40 km/h．若用v(km/h)表示汽车的速度，那么v 与40之间的数量关系用怎样的式子表示？右面是公路上对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行使的速度不得低于50 km/h．若用v(km /h)表示汽车的速度，那么v 与50之间的数量关系用怎样的式子表示？学生根据生活经验回答情境问题．答：v≤40．答：v≥50．从学生身边的生活经验出发进行新知的学习，有助于调动学生学习积极性．2.1.2不等式的性质【教学目标】1．掌握不等式的三条基本性质以及推论，能够运用不等式的基本性质将不等式变形解决简单的问题．2. 掌握应用作差比较法比较实数的大小．3．通过教学，培养学生合作交流的意识和大胆猜想、乐于探究的良好思维品质．【教学重点】不等式的三条基本性质及其应用．【教学难点】不等式基本性质3的探索与运用．【教学方法】这节课主要采用讲练结合法与分组探究教学法．通过引导学生回顾玩跷跷板的经验，师生共同探究天平两侧物体的质量的大小，引导学生理性地认识不等式的三条基本性质，并运用作差比较法来证明之．通过题组训练，使学生逐步掌握不等式的基本性质，为后面运用不等式的基本性质解不等式打下理论基础．【教学过程】教学环节教学内容师生互动设计意图导入【课件展示情境1】创设天平情境问题：观察课件，说出物体a和c哪个质量更大一些？由此判断：如果a＞b，b＞c，那么a和c的大小关系如何？从学生身边的生活经验出发进行新知的学习，有助于调动学生学习的积极性．新性质1(传递性) 学生思考、课新课如果a＞b，b＞c，则a＞c．分析要证a＞c，只要证a－c＞0．证明因为a－c＝(a－b)＋(b－c)，又由a＞b，b＞c，即a－b＞0，b－c＞0，所以(a－b)＋(b－c)＞0．因此a－c＞0．即a＞c．【课件展示情境2】性质2(加法法则)如果a＞b，则a＋c＞b＋c．证明因为(a＋c)－(b＋c)＝a－b，又由a＞b，即a－b＞0，所以a＋c＞b＋c．思考：如果a＞b，那么a－c＞b－c．是否正确？不等式的两边都加上(或减去)同一个数，不等号的方向不变．推论1如果a＋b＞c，则a＞c－b．证明因为a＋b＞c，所以a＋b＋(－b)＞c＋(－b)，即a＞c－b．不等式中任何一项，变号后可以从一边移到另一边．练习1(1)在－6＜2 的两边都加上9，得；(2)在4＞－3 的两边都减去6，得；(3)如果a＜b，那么a－3 b－3；(4)如果x＞3，那么x＋2 5；(5)如果x＋7＞9，那么两边都，得x＞2．回答得出性质1．引导学生判断：不等式的两边都加上(或减去)同一个数，不等号的方向是否改变？学生口答，教师点评．创设一种情境，给学生提供了想象的空间，为后续学习做好了铺垫．让学生在“做”数学中学数学，真正成为学习的主人．把课堂变为学生再发现、再创造的乐园．对不等式的性质及时练习，进行巩固．2.2.1区间的概念【教学目标】1. 理解区间的概念，掌握用区间表示不等式解集的方法，并能在数轴上表示出来．2. 通过教学，渗透数形结合的思想和由一般到特殊的辩证唯物主义观点．3. 培养学生合作交流的意识和乐于探究的良好思维品质，让学生从数学学习活动中获得成功的体验，树立自信心．【教学重点】用区间表示数集．【教学难点】对无穷区间的理解．【教学方法】本节课主要采用数形结合法与讲练结合法．通过不等式介绍闭区间的有关概念，并与学生一起在数轴上表示两种不同的区间，学生类比得出其它区间的记法．在此基础上引导学生用区间表示不等式的解集，为学习用区间法求不等式组的解集打下坚实的基础．【教学过程】新课全体实数也可用区间表示为(－∞，＋∞)，符号“＋∞”读作“正无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”．例1用区间记法表示下列不等式的解集：(1) 9≤x≤10；(2) x≤0.4．解(1) [9，10]；(2) (－∞，0.4]．练习1用区间记法表示下列不等式的解集，并在数轴上表示这些区间：(1) －2≤x≤3；(2) －3＜x≤4；(3) －2≤x＜3；(4) －3＜x＜4；(5) x＞3；(6) x≤4．例2用集合的性质描述法表示下列区间：(1) (－4，0)；(2) (－8，7]．解(1) {x | －4＜x＜0}；(2) {x | －8＜x≤7}．练习2用集合的性质描述法表示下列区间，并在数轴上表示这些区间：(1) [－1，2)；(2) [3，1]．例3在数轴上表示集合{x|x＜－2或x≥1}．解如图所示．练习3已知数轴上的三个区间：(－∞，－3)，(－3，4)，用表格呈现相应的区间，便于学生对比记忆．教师强调“∞”只是一种符号，不是具体的数，不能进行运算．学生在教师的指导下，得出结论，师生共同总结规律．学生抢答，巩固区间知识．学生代表板演，其它学生练习，相互评价．同桌之间讨论，完学生理解无穷区间有些难度，教师要强调“∞”只是一种符号，并结合数轴多加练习。
曲线与方程 课件(共35张PPT)
最新考纲展示
1．了解方程的曲线与 曲线的方程的对应关系．
2.了解解析几何的基本 思想和利用坐标法研究几 何问题的基本方法．
3.能够根据所给条件选 择适当的方法求曲线的轨 迹方程．
一、曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方
程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：
(2)证明：设 E(xE，yE)，F(xF，yF)，依题意，
y＝k1x＋3，
由y92＋x2＝1
⇒(k21＋9)x2＋6k1x＝0，①
解得 x＝0 或 x＝－k216＋k19. 所以 xE＝－k216＋k19，yE＝k1－k216＋k19＋3＝2k721－＋39k21， ∴E－k126＋k19，2k721－＋39k21. ∵k1k2＝－9，∴k2＝－k91.用 k2＝－k91替代①中的 k1， 同理可得 Fk126＋k19，3kk2121－ ＋297. 显然 E，F 关于原点对称，∴直接 EF 必过原点 O.
曲线的交点问题(师生共研)
例 2 (2015 年南京模拟)设 0<θ<π2，曲线 x2sin θ＋y2cos θ＝1 和 x2cos θ－y2sin θ＝1 有 4 个不同的交点．
(1)求θ的取值范围； (2)证明：这4个点共圆，并求圆的半径的取值范围．
解 析 (1) 两 曲 线 的 交 点 坐 标 (x ， y) 满 足 方 程 组 x2sin θ＋y2cos θ＝1， x2＝sin θ＋cos θ， x2cos θ－y2sin θ＝1， 即y2＝cos θ－sin θ.
D．以上答案都不对
(2)(2015年广州模拟)下列说法正确的是( )
A．△ABC中，已知A(1,1)，B(4,1)，C(2,3)，则AB边上的高的方
2025年高考数学一轮复习-8.6.1-双曲线的定义、方程与性质【导学案】
故得|MC1|-|MC2|=2 2.在④的情况下,
同理得|MC2|-|MC1|=2 2.
由③④得|MC1|-|MC2|=±2 2.
已知|C1C2|=8,根据双曲线定义,
可知点 M 的轨迹是以 C1(-4,0),C2(4,0)为焦点的双曲线,
且 a= 2,c=4,b2=c2-a2=14,
22
其方程为 - =1.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准
xa22-by22=1
方程
(a>0,b>0)
ya22-bx22=1 (a>0,b>0)
图形
性 范围
质
x≤-a 或 x≥a,y∈R
y≤-a 或 y≥a,x∈R
对称轴:坐标轴 对称中心:原 对称性
点
顶点坐标:
顶点坐标:
顶点
A1(-a,0),
A1(0,-a),
A2(a,0)
22
2.已知 F 是双曲线 - =1 的左焦点,A(1,4),P 是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|
4 12
的最小值为 ( )
A.9B.8 C.7 D.6
22
【解析】选 A.由 - =1,得 a2=4,b2=12,
4 12
则 a=2,b=2 3,c= 2 + 2=4,
所以左焦点为 F(-4,0),右焦点为 F'(4,0),
22
4.(结论 1)若双曲线 2- 2=1 的焦点 F(3,0)到其渐近线的距离为 5,则双曲线的方程
为( )
22
22
A. - =1 B. - =1
45
54
22
22
C. - =1 D. - =1
曲线与方程 课件(人教版)
例：x＝1， y＝3
是方程
2x－y＋1＝0 的解，把
x＝1，
y＝3
写成坐
标形式 (1,3)，则点(1,3)在方程 2x－y＋1＝0 的曲线上．
点评：(1)“曲线的方程与方程的曲线”的定义中所 列的两个条件，正好组成两个集合相等的充要条件，二者 缺一不可．这就是我们判断方程是不是指定曲线的方程， 曲线是不是所给方程的曲线的准则．
(2)判断方程表示什么曲线，要对方程适当变形．变 形过程中一定要注意与原方程的等价性，否则变形后的方 程表示的曲线就不是原方程的曲线．变形的主要方法有配 方法、因式分解法、两边平方法、分类讨论法等．
(2)与两坐标轴的距离的积等于8的点与方程xy＝8
之间的关系；
(3)说明过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2
之间的关系．
解析：(1)第一、三象限角平分线l上点的横坐标x与 纵坐标y相等，即y＝x.可以看到：①l上点的坐标都是方 程x－y＝0的解；②以方程x－y＝0的解为坐标的点都在l
上．
(2)与坐标轴的距离的积等于8的点的坐标不一定满
足方程xy＝8，但以方程xy＝8的解为坐标的点与两坐标轴
的距离之积一定等于8.因此，与两坐标轴的距离的积等于
8的点的轨迹方程不是xy＝8.
(3)下图所示直线l上点的坐标都是方程|x|＝2的解， 然而，坐标满足方程|x|＝2的点不一定在直线l上，因此 |x|2不是l的方程．
题型一 曲线的图象
例1 分别画出下列各方程的曲线：
2025年高考数学一轮复习-8.6.1-双曲线的定义、方程与性质【导学案】
1.焦点在 x 轴上，焦距为 10，且与双曲线 －x2＝1 有相同渐近线的双曲线的标准方程是 － ＝1 . 解析：设所求双曲线的标准方程为 －x2＝－λ（λ＞0），即 － ＝1，则有 4λ＋λ＝25，解得λ＝5，
所以所求双曲线的标准方程为 － ＝1.
2.经过点 P（3，2 ），Q（－6 ，7）的双曲线的标准方程为 － ＝1 . 解析：设双曲线方程为 mx2＋ny2＝1（mn＜0），因为所求双曲线经过点 P（3，2 ），Q（－6 ，
A.
B.
C.
D.
（2）（2022·全国甲卷 15 题）记双曲线 C： － ＝1（a＞0，b＞0）的离心率为 e，写出满足条
件“直线 y＝2x 与 C 无公共点”的 e 的一个值 2（答案不唯一，（1， ]内的任意值均可） .
7 / 15
解析：（1）设｜PF2｜＝m，｜PF1｜＝3m，则｜F1F2｜＝ + － × × × cos °＝ m， 所以 C 的离心率 e＝ ＝ ＝ ｜ ｜ ＝ ＝ .
双曲线定义的应用主要有两个方面
1.已知动点 M（x，y）满足 （ + ） ＋ － （ － ） ＋ ＝4，则动点 M 的轨迹是（ ）
A.射线 C.椭圆
B.直线 D.双曲线的一支
4 / 15
解析：A 设 F1（－2，0），F2（2，0），由题意知动点 M 满足｜MF1｜－｜MF2｜＝4＝｜F1F2｜，
PF2｜，则 cos∠F1PF2＝
；
（2）已知 F 是双曲线 － ＝1 的左焦点，A（1，4），P 是双曲线右支上的一动点，则｜PF｜ ＋｜PA｜的最小值为 9 . 解析：（1）∵由双曲线的定义有｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a＝2 ，∴｜PF1｜＝2｜PF2｜＝4 ，
《曲线与方程》示范公开课教学设计
《曲线与方程》教学设计1．了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；2．初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；3．学会根据已有的情景资料找规律，进而分析、判断、归纳结论；4．强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法．教学重点：“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；教学难点：利用定义验证曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．三角板、多媒体教学设备．引入新课在本节课之前，我们研究过直线的各种方程，建立了二元一次方程与直线的对应关系：在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一个二元一次方程表示，同时任何一个二元一次方程也表示着一条直线．下面看一个具体的例子：问题1：画出方程x －y ＝0表示的直线，同时思考直线上的点的坐标是否都是方程的解，另一方面以这个方程的解为坐标的点是否都在直线上？借助多媒体让学生从直观上深刻体会如下结论：1．直线上的点的坐标都是方程的解；2．以这个方程的解为坐标的点都在直线上．即直线上所有点的集合与方程的解的集合之间建立了一一对应关系．也即引导学生类比、推广并思考相关问题：类比：推广：即任意的曲线和二元方程是否都能建立这种对应关系呢？也即方程F(x，y)＝0的解与曲线C上的点的坐标具备怎样的关系就能用方程F(x，y)＝0表示曲线C，同时曲线C也表示着方程F(x，y)＝0？为什么要具备这些条件？以上问题就是本节课的内容：曲线与方程(板书课题)．探究新知在上面的讨论中，有的同学提到了应具备关系：“曲线上的点的坐标都是方程的解”；有的同学提到了应具备关系：“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”；还有的同学虽用了不同的提法，但意思不外乎这两个．现在的问题是：上述的两种提法一样吗？它们反映的是不是同一事实？有何区别？究竟用怎样的关系才能把问题推广中的曲线与方程的这种对应关系完整地表达出来？为了弄清这些问题，首先提出如下的问题：问题2：用下列方程表示如图所示的曲线C，对吗？为什么？请同学们思考：(1)x－y＝0；(2)x2－y2＝0；(3)|x|－y＝0.活动设计：学生独立思考，教师巡视指导．活动成果：方程(1)、(2)、(3)都不是曲线C的方程．第(1)题中曲线C上的点不全是方程x－y＝0的解；例如点A(－2，－2)、B(－3，－3)等不符合“曲线上点的坐标都是方程的解”这一结论．第(2)题中，尽管“曲线上点的坐标都是方程的解”，但是以方程x2－y2＝0的解为坐标的点却不全在曲线上；例如D(2，－2)、E(－3，3)等不符合“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论．第(3)题中既有以方程|x|－y＝0的解为坐标的点，如G(－3,3)、H(－2，2)等不在曲线上，又有曲线C上的点，如M(－3，－3)、N(－1，－1)等的坐标不是方程|x|－y＝0的解．事实上，(1)、(2)、(3)中各方程所表示的曲线应该是如图所示的3种情况．教师点评：以上我们观察分析了问题1、问题2，发现问题1完整地用方程表示曲线，用曲线表示方程；而问题2不能完整地用方程表示曲线，用曲线表示方程．如果我们把完整地用方程表示曲线和用曲线表示方程看成“曲线的方程”和“方程的曲线”的话，那么就可以给“曲线的方程”和“方程的曲线”下定义了．问题：在下“曲线的方程”和“方程的曲线”定义时，针对问题2中第(1)个问题“曲线上混有其坐标不是方程的解的点”应作何规定？学生思考活动：“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”．老师再提问：针对问题2中第(2)个问题“以方程的解为坐标的点不在曲线上”应作何规定？学生思考回答：“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点”．这样，我们可以对“曲线的方程”和“方程的曲线”下这样的定义：一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．理解新知教师提出问题：大家熟知，曲线可以看作是由点组成的集合，记作C；一个二元方程的解可以作为点的坐标，因此二元方程的解集也描述了一个点集，记作F.请大家思考：如何用集合C和F间的关系来表述“曲线的方程”和“方程的曲线”定义中的两个关系，进而重新表述“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义．启发学生得出：关系(1)指点集C是点集F的子集；关系(2)指点集F是点集C的子集．这样用集合相等的概念定义“曲线的方程”与“方程的曲线”为：.⎭⎬⎫⊆⊆C F F C )2()1( C =F总结说明：另外从充要条件的角度看，关系(1)或(2)仅是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件，只有两者都满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性．运用新知1．初步应用、突出内涵1下列各小题中，如图所示的曲线C 的方程为所列方程，对吗？如果不对，是不符合关系(1)还是关系(2)?学生活动：思考．成果：(1)错．不符合定义中的关系(2)，即CF 但F C . (2)错．不符合定义中的关系(1)，即F C 但C F .(3)错．不符合定义中的关系(1)和(2)，即CF 且FC . 2．变式训练 解答下列问题，且说出各依据了“曲线的方程”和“方程的曲线”定义中的哪一个关系？(1)点A (3，－4)、B (－25，2)是否在方程x 2＋y 2＝25表示的圆上？(2)已知方程为x 2＋y 2＝25的圆过点C (7，m )，求m 的值．学生回答：(1)依据关系(2)点A 在圆上，依据关系(1)点B 不在圆上．(2)依据关系(2)求得m ＝±3 2.2证明：以坐标原点为圆心，半径等于5的圆的方程是x 2＋y 2＝25.教师提出问题：请同学思考，证明应从何着手？学生活动：思考应从以下两方面：(1)圆上的点的坐标都满足方程：x 2＋y 2＝25；(2)以方程x 2＋y 2＝25的解为坐标的点都在圆上．教师点评：(1)中的“点”和(2)中的“解”指的都是有关集合中的全体元素，怎样解决全体问题？(学生思考片刻后)用“任意一个”代表“全体”是数学证明中常用的方法．(请同学们完成证明过程，同桌间交流，参照课本例1的证明步骤纠正错误，完善证题过程，加强证明题的严密性．)课堂小结本节课我们通过实例研究了“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义，在领会定义时，要牢记关系(1)、(2)两者缺一不可，它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件，两者都满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性．曲线和方程之间一一对应的确立，进一步把“曲线”与“方程”统一了起来，在此基础上，我们就可以更多地用代数的方法研究几何问题．布置作业1．教材习题2.1A组第1题．2．思考题：如果两条曲线的方程F1(x，y)＝0和F2(x，y)＝0的交点为M(x0，y0)，求证：方程F1(x，y)＋λF2(x，y)＝0表示的曲线也经过点M.(λ为任意常数)这节课我们将直线引申到了一般的曲线，应用了特殊到一般，一般到特殊的方法，研究了曲线的方程和方程的曲线的定义．在领会定义时，要注意关系1、2缺一不可，它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件，两者都满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具有充分性．曲线与方程一一对应关系的确立，进一步把曲线与方程统一了起来，通过数研究形，同时形也为数提供了直观背景．我们要有数形结合的意识．笛卡儿等人在解析几何中创立的用坐标表示点，用方程表示曲线，通过代数方法研究几何问题的思想方法意义重大．设计中注重了概念的形成过程，注重了学生的认识规律．。
中职数学基础模块下册第八单元《直线与圆的方程》ppt课件
两点间距离公式及中点坐标公式都是用向 量知识推导的。 倾斜角的概念是由“坡度”等实际问题引 入的 距离、圆、直线与圆的位置关系等都与实 际生活有紧密的联系，要注方法
数形结合思想
由特殊到一般
点到直线的距离公式的处理。 （两条平行线间的距离，安排在思考交流 处，没有给出公式。）
(3) 倾斜角在实际中测量不方便或者很困难，因 此我们想到了边角关系——三角函数，其中正 切与直线上的点的坐标密切相关，因此用一个 倾斜角的正切值来测量倾斜角的大小——引入 斜率的概念。---分析
(4) 求斜率即求倾斜角的正切
①特殊直线的斜率：平行线、垂线、过原点 的直线； ②一般直线的斜率，已知两点的坐标，则他 们的坐标差的比值，确定了一个角的正切，所以 我们可以用两点的坐标差的比来求直线的斜率； ③给出斜率公式，教会学生正确记忆公式的 方法（对结构的认识），分子：纵坐标的差；分 母：横坐标的差;由直线上的两点任意确定------综 合分析 为了降低难度，抓住重点，推导过程略讲，只讲 清思路即可。
8.1两点间距离公式及中点公式， 8.3 直线的方程 中的点斜式和斜截式方程， 8.4 两条直线的位置关系 中两条相交直线 的交点， 8.6圆的方程 认知要求为掌握。
要加强本章知识与工程问题的联系，使学 生体验解析几何的应用。 通过本章的教学，培养学生数学思维能力 和分析、解决问题能力。 重点是直线的点斜式方程和圆的标准方程， 用坐标法解决直线、圆的相关问题。
(1) 从滑梯（生活实际中的事例）等感受到倾斜， 从倾斜感受角度（直线与水平线的角度）。---观察
(2) ①从角度如何测定（两直线相交总有两个夹角， 只能选用一个来测定以防混乱），引入倾斜角的定 义。--------想 ②根据定义画直线的倾斜角，感受直线的倾斜角的 正确表示，关键把握倾斜角有锐角直角和钝角，各 种倾斜角的直线位置关系有明显的差别。------分析 ③设计各种有干扰的情境，测试学生对直线倾斜角 的认识是否准确。------能力评价
《数学 基础模块》下册 8.6.2圆的标准方程
8.6.2 圆的标准方程【教学目标】知识与技能：（1）理解圆的标准方程的推导；（2）能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径；（3）掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程.过程与方法：进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力；加深对数形结合思想的理解.情感态度价值观：通过利用已学知识学会分析、解决问题，品尝成功的喜悦，增强学生学习数学的兴趣，并激发学生学习数学的自信心.【教学重点】掌握圆的标准方程的求法及其应用．【教学难点】会根据不同的已知条件求圆的标准方程．【教学备品】教学课件．【课时安排】1课时．【教学过程】教学过程教学意图情境引入生活中有着许多漂亮的圆，圆是最完美的曲线之一．借生活中的实际问题，调动学生学习的积极性，让学生体会到数学知识在日常生活中的应用是十分广泛的复习回顾▶ 初中时我们是如何定义圆的？平面内到一个定点距离等于定长的 点的轨迹. ▶平面直角坐标系中，如何确定一个圆？ 圆心：确定圆的位置 半径：确定圆的大小 知识探究 ※圆的标准方程下面我们根据圆的定义，来求圆心在C (a , b )，半径为 r 的圆的方程. 设M ( x , y )是圆周上任意一点，则点M 适合条件|MC |=r ( r > 0 ).由两点间距离公式得r b y a x =-+-22)()(两边平方，得（x – a ）2+( y – b )2= r 2这个方程就是圆心在C ( a , b )，半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程.特别地，当圆心在坐标原点，即a =0 , b =0 ，则圆的标准方程就是x 2 + y 2 = r 2※ ※练一练1.（口答）说出下列各圆的圆心坐标和半径：（1） x 2+ y 2= 4；（2） ( x – 2 )2+ ( y + 3 )2= 16; （3） ( x + 1 )2+ y 2= 5.2.写出下列圆的标准方程，并画出图形：。
《数学 基础模块》下册 8.6.1曲线与方程
8.6.1 曲线与方程【教学目标】知识与技能：（1）了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；（2）初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.过程与方法：在形成曲线和方程概念的过程中，学生经历观察、分析、讨论等数学活动过程，探索出结论并能有条理的阐述自己的观点.情感态度价值观：通过本节课的学习，学生能够体验几何问题可以转化成代数问题来研究，真正认识到数学是解决实际问题的重要工具.【教学重点】“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念．【教学难点】对曲线与方程对应关系的理解．【教学备品】教学课件．【课时安排】1课时．【教学过程】教学过程教学意图情景引入一条曲线可以看成是一个点按照某种规律运动形成的，我们把这个点叫做动点，这条曲线叫做动点的轨迹．一般地，曲线可以看成是一个动点按照某种规律运动形成的轨迹，也可以看做是符合某种条件的所有点构成的集合．在坐标平面内，点用它的坐标( x ，y )表示，如果把曲线（包括直线）看成是适合某种条件的点的集合，那么它可以用含有x , y的二从学生已学知识为切入点，引起学生的关注，引发数学思考元方程来表示．知识探究在平面直角坐标系中，第一、三象限的平分线是一条直线，可以用直线方程y=x 表示.思考1 如果点M是这条直线上任意一点，那么它的坐标（x0, y0）是方程y=x的解吗？答：直线上的所有点的坐标都满足方程y=x思考2 如果x0 , y0是方程y=x的解，那么点（x0, y0）一定在这条直线上吗？答：以方程y=x的所有解为坐标的点都在这条直线上.所以方程y=x是这条直线的方程；这条直线是方程y=x对应的直线. ※概念一般地, 如果某曲线C上的点与一个二元方程f (x, y) = 0的解具有如下的对应关系:1、曲线上的点的坐标都是这个方程的解；2、以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．为引出曲线的方程与方程的曲线的概念做铺垫由特殊到一般，从简单到复杂，给出曲线的方程与方程的曲线的概念例题解析例1 判定点A(22,-1),B(-2,2)是否在曲线x2+y2=9上．解：将点A的坐标代入方程x2+y2=9的左端，得（22）2+（-1）2=8+1=9∵点A的坐标满足方程x2+y2=9，∴A(22,-1)在曲线x2+y2=9上．将点B的坐标代入方程x2+y2=9的左端，得（-2）2+ 22 = 4+4 = 8．∵点B的坐标不满足方程x2+y2=9，∴B（-2，2）不在曲线x2+y2=9上．例2 已知直线l:3x-2y+C=0过点P（4，-1），求C的值．数学概念是要在运用中得以巩固，通过练习，可以纠正错误的认识，促进对概念的正确。
语文版中职数学基础模块下册8.6《圆的方程》ppt课件1
两边平方，得
(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
新授
(1)圆的标准方程
(x a)2 ( y b)2 r（2 r 0)
圆心为 c(a,b) ，半径为 r
特别地，圆心在坐标原点，半径长为r 的圆的
方程是
x2 y2 r2
说出下列圆的方程： （1）以 C（1，－2）为圆心，半径为 3 的圆的方程； （2）以原点为圆心，半径为 3 的圆的方程．
答案： （1）(x－1)2＋(y＋2)2＝9； （2）x2＋y2＝9．
说出下列圆的圆心及半径： （1）x2＋y2＝1; （2）(x－3)2＋(y＋2)2＝16; （3）(x＋1)2＋(y＋1)2＝2; （4）(x－1)2＋(y－1)2＝4．
例题：
例 1 求过点 A(6，0)，且圆心 B 的坐标为(3，2)的 圆的方程．
8.6-1 圆的方程
课题
1 学习目标 2 回顾旧知 3 新授 4 小结 5 作业
学习目标
1、知识目标： 1）掌握圆的标准方程；
2）圆的标准方程的应用；
2、能力目标： 1）通过学习重点发展学生的数形结合的能力；
2）会用待定系数法解决问题。
探究
如图，某桥的跨度 是37.4m，圆拱高7.2m， 建设这座圆拱桥，首先 需要圆拱的设计图纸， 需要建立平面直角坐标 系中的圆的方程.那么， 如何建立圆的方程呢？
解：因为圆的半径 r＝|AB|＝ (3 6)2 (2 0)2 13， 所以所求圆的方程是 (x－3)2＋(y－2)2＝13．
例题：
例2 求以直线 x－y＋1＝0 和 x＋y－1＝0 的交点为圆心，
半径为 3 的圆的方程．
解：由方程组
x y 1 0 x y 1 0
数学基础模块下册
y
B′
P′
A′
x
华东师范大学出版社中等职业教育分社
8.1
第 8 8.2 章
8.3
直 线 8.4 与 圆 8.5
当一个点P的坐标为（ x，y ）时， 我们可以直接写成P（ x，y ）.
在以后学习中，我们会经常使用两 点间距离公式和中点坐标公式：
（1） 两点间距离公式. 已知点P（x1，y1），Q（x2，y2）， 则PQ两点间的距离为
8.1
第 8 8.2 章
8.3
直 线 8.4 与 圆 8.5
经过点P1（x1，y1）、P2（x2，y2） 两点直线的斜率公式为
k
y2 x2
y1 x1
( x1
x2 ).
若x1＝ x2，则直线垂直于x轴，此 时斜率不存在，倾斜角为90°.
华东师范大学出版社中等职业教育分社
ห้องสมุดไป่ตู้
8.2 直线的方程
8.1
第 8 8.2 章
华东师范大学出版社中等职业教育分社
8.1
第 8 8.2 章
8.3
直 线 8.4 与 圆 8.5
对于直线倾斜角α的取值范围和直 线斜率k的取值，有如下关系：
（1）当α＝0° k＝0； （2）当0°＜α＜90° k＞0； （3）当α=90° k不存在； （4）当90°＜α＜180° k＜0.
华东师范大学出版社中等职业教育分社
PQ (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 .
华东师范大学出版社中等职业教育分社
8.1
第 8 8.2 章
8.3
直 线 8.4 与 圆 8.5
（2） 中点坐标公式.
已知点P（x1，y1），Q（x2，y2）， 则线段PQ的终点P0（x0，y0）的坐标公 式为
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A2, 1 在曲线 x 2 y 2 9 上.
将点B的坐标代入方程 x 2 y 2 9 的左端，得 (2)2 22 4 4 8.
点B的坐标不满足方程 x 2 y 2 9，
B（ 2，2）不在曲线 x 2 y 2 9 上.
例题解析
新知探究
在平面直角坐标系中，第一、三象限的平分线是 一条直线，可以用直线方程 y=x 表示.
思考
1.如果点M 是这条直线上任意一点，它的坐标（x0 , y0） 是方程y x的解吗？
直线上的所有点的坐标都满足方程y=x.
新知探究
思考
2.如果x0, y0是方程y x的解，那么点M (x0, y0 ) 一定在这条直线上吗？
巩固练习
1. 选择题：
（1）若A(t,-4)在曲线 x2 4x 2 y 5 0 上，则 t 为（C）.
A 2或4
B1
C 1或3
D4
（2）方程 x 2 y 2 0 表示的图像是（ C）.
A 两条平行直线
B 两条重合直线
C 两条互相垂直的直线 D 一个点
巩固练习
2. 在方程为 y=4x+5 的曲线上，横坐标是2 的点，其纵坐标
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线.
例题解析
例1 判定点 A(2 2, 1), B2, 2 是否在曲线 x 2 y 2 9 上.
解：将点A的坐标代入方程 x 2 y 2 9 的左端，得
(2 2)2 (1)2 8 1 9
是
；纵坐标是9的点，其横坐标是
；曲线与y
轴的交点坐标是
.
答案：13 ; 1 ; （0,5）
归纳小结
你学习了哪些内容
重点
难点
你获得了什么学习方法？
你的学习效果如何？
布置作业
阅读 教材章节8.6.1
作
业
书写 教材8.6.1后习题六及学生学习指导用书8.6
中曲线与方程相关习题.
Thanks
第 八 章 直线与圆的方程
8.6.1 曲线与方程
曲线与方程
情境 进入
新知 探究
归纳 小结
布置 作业
情境引入
y
y
0
0
x
x
曲线可以看成是一个动点按照某种规律运动形成的轨迹， 也可以看做是符合某种条件的所有点构成的集合．
情境引入
在平面直角坐标系中，点可以用它的坐标( x ，y ) 表示，如果把曲线（包括直线）看成是适合某种条件的 点的集合，那么它可以用含有 x ,y 的二元方程来表示.
x0 y0 0 x0 y0
以方程y=x的所有解为坐标的点都在这条直线上.
新知探究
曲线
第一、三象限 角平分线
条件
方程
点的横坐标与纵坐标 相等
y=x
（或x- y=0）
所以方程y=x是这条直线的方程；这条直线 是方程y=x对应的直线.
Байду номын сангаас
新知探究
定义
一般地, 如果某曲线C上的点与一个二元方程 f(x , y) = 0 的解具有如下的对应关系:
例2 已知直线 l : 3x-2y+C=0 过点P（4，-1），求 C 的值.
解： ∵ 直线 l :3x-2y+C=0过点 P (4,-1)， ∴ 点P的坐标是方程 3x-2y+C=0 的解.
将坐标（4，-1）代入方程 3x-2y+C=0，
即 3 4 2 (1) C 0.
解之，得 C=-14.