高一数学二次函数的综合问题人教版
人教版高中数学必修一《二次函数的综合问题—最值问题》
f x 在区间 a, a 2 上的最小值.
聚焦·典例精析
例2.已知函数
f ( x) x 2 2ax 3 在区间 1,5 f ( x) x 2 2ax 3 ， x 1,5 f ( x) x 2ax 3 ，x 1,5
2
上是单调函数，则实数 a 的取值范围是____________.
o
对称轴：
yபைடு நூலகம்
x 1
x 1
（2 ）
-2
x
-2
o
5
x
当x 2,0 时， f ( x) max f (2) 5 f ( x) min f (0) 3
当x 2,5 时， f ( x) max f (5) 12 f ( x) min f (1) 4
小结
二次函数闭区间的最值问题
【方法点睛】 1.影响二次函数 f ( x) 在区间 m, n 上最值的要素有三个,即抛物 线的开口方向、对称轴位置、闭区间；常用数形结合思想求解, 但当三要素中有一要素不确定时，要分情况讨论. 2.常结合二次函数在该区间上的单调性或图像求解，在区间的
端点或二次函数图像的顶点处取得最值；
3.注意分类讨论。
变式1.已知函数
求函数
f ( x)
的最小值.
变式2.已知函数
若 f ( x) 0
恒成立,求实数
a 的取值范围.
挑战·突破自我
学业水平测试压轴题:
已知函数
f ( x) x 2 4ax 3 ,是否存在实数 a ，
使得函数 f ( x) 在区间 a, a 2 上有最小值 -6？ 若存在，请求出实数 a 的值；若不存在，请说明理由.
人教版高中数学必修1《二次函数与一元二次方程、不等式》第2课时课件
[方法技巧] 对于含参数的二次函数在闭区间上的函数值恒大(小)于或等于零的问题， 可以利用函数的图象与性质求解，也可以分离变量，转化为二次函数的最值 问题求解．
【对点练清】 1．对于1≤x≤3，mx2－mx－1＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．
解：当 1≤x≤3 时，mx2－mx－1＜－m＋5 恒成立，
化简得－x2＋x－3 1>0，即2xx＋＋31<0，
∴(2x＋1)(x＋3)<0，解得－3<x<－12.
∴原不等式的解集为x－3<x<－12
.
(2)原不等式可化为2xx22－＋23xx－－32≤0，
如图，
故原不等式的解集为x－2≤x＜－1或12≤x＜3
.
题型二 一元二次不等式的实际应用 【学透用活】
则 x2＋2ax＋b<0 变为 x2－4x＋3＜0，解得 1＜x＜3 ， 所以不等式解集为 {x|1＜x＜3} ．
(2)f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋2＝(ax－1)(x－2)＝ax－1a(x－2)． ①当1a＜2，即 a＞12时， 1a＜x＜2 ；
②当1a＝2，即 a＝12时， 无解 ；
③当1a＞2，即 0＜a＜12时，2_＜__x_＜__1a__.
题型三 不等式恒成立问题 【学透用活】
[典例3] (1)若对∀x∈R，不等式x2＋mx>4x＋m－4恒成立，求实数m的取值 范围；
(2)若x2>4x＋m－4在R上恒成立，求m的取值范围． [解] (1)原不等式可化为x2＋(m－4)x＋4－m>0， ∴Δ＝(m－4)2－4(4－m)＝m2－4m<0，∴0<m<4， ∴m的取值范围为{m|0<m<4}． (2)原不等式可化为x2－4x＋4＝(x－2)2>m恒成立， ∴m<0，∴m的取值范围为{m|m<0}．
人教A版高中数学必修一 二次函数与一元二次不等式 (解析版)
二次函数与一元二次不等式一、知识聚焦考点一 数学建模-不等式的应用例题6. 国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m 吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x 个百分点，收购量能增加2x 个百分点．试确定x 的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%. 【解析】设税率调低后“税收总收入”为y 元．y ＝2 400m (1＋2x %)·(8－x )%＝－1225m (x 2＋42x －400)(0<x ≤8)． 依题意，得y ≥2 400m ×8%×78%，即－1225m (x 2＋42x －400)≥2 400m ×8%×78%， 整理，得x 2＋42x －88≤0，解得－44≤x ≤2. 根据x 的实际意义，知x 的范围为0<x ≤2.考点二 数学运算-解不等式例题7、解下列不等式(1)－x 2＋2x －3<0； (2)－3x 2＋5x －2>0. 【答案】(1) R (2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪23<x <1【解析】(1)原不等式可化为x 2－2x ＋3>0， 由于Δ<0，方程x 2－2x ＋3＝0无解， ∴不等式－x 2＋2x －3<0的解集为R . (2)原不等式可化为3x 2－5x ＋2<0，由于Δ>0，方程3x 2－5x ＋2＝0的两根为x 1＝23，x 2＝1， ∴不等式－3x 2＋5x －2>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪23<x <1. 考点三 直观想象-不等式恒成立例题8.若函数y ＝x 2＋2(a －2)x ＋4对任意－3≤a ≤1时，y <0恒成立，如何求x 的取值范围？【答案】不存在【解析】要使对任意－3≤a ≤1，y <0恒成立，只需满足⎩⎨⎧2x ＋x 2－4x ＋4＜0－3×2x ＋x 2－4x ＋4＜0， 即⎩⎨⎧x 2－2x ＋4<0，x 2－10x ＋4<0.因为x 2－2x ＋4<0的解集是空集，所以不存在实数x ，使函数y ＝x 2＋2(a －2)x ＋4对任意－3≤a ≤1，y <0恒成立． 二、学业质量测评一、选择题1．（2019·全国高一课时练习）不等式(1)(2)0x x +-≤的解集为 （ ）A ．{|12}x x ≤≤－B ．{|12}x x <<－C ．1-12x x x ⎧⎫>-≤⎨⎬⎩⎭或 D ．}{21x x x <-或【答案】A【解析】由二次函数()()12y x x =+-的图象可知，不等式的解是12x ≤≤－，故选A.2．（2019·全国高一课时练习）若关于x 的一元二次方程2(2)26k x kx k --+=有实数根，则k 的取值范围为（ ） A ．0k ≥ B ．0k ≥且2k ≠ C ．32k ≥D ．32k ≥且2k ≠ 【答案】D【解析】（k -2）x 2-2kx +k -6=0，∵关于x 的一元二次方程（k -2）x 2-2kx +k =6有实数根，∴220(2)4(2)(6)0k k k k -≠⎧⎨∆=----⎩…，解得：32k ≥且k ≠2． 故选D ．3．（2019·全国高一课时练习）若0a <，则不等式()110a x x a ⎛⎫++< ⎪⎝⎭的解集是（ ) A ．1 1,a ⎛⎫--⎪⎝⎭B ．1 ,1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．()1 ,1,a ⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,1,a ⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】0a <，对应二次函数()11y a x x a ⎛⎫=++⎪⎝⎭抛物线开口向下，小于零的解集为“两根之外”，又101a ->>-，故解集为()1,1,a ⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭，故选D . 4．（2018·全国高二单元测试）设R x ∈，则“12x >”是“2210x x +->”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意得，不等式2210x x +->，解得1x <-或12x >，所以“12x >”是“2210x x +->”的充分而不必要条件，故选A ．5．（2019·全国高一课时练习）已知方程()2250x m x m +-+-=的两根都大于2，则实数m 的取值范围是（ ) A.(][) 5,44,--⋃+∞ B.(]5,4--C.() 5,-+∞D.[)[)4,24,--⋃+∞【答案】B【解析】方程()2250x m x m +-+-=的两根都大于2，则二次函数()225y x m x m =+-+-的图象与x 轴的两个交点都在x=2的右侧，根据图象得：方程的判别式0∆≥；当2x =时函数值0y >；函数对称轴222m -->。
高一数学函数综合试题答案及解析
高一数学函数综合试题答案及解析1.已知函数是R上的增函数，则的取值范围是A．≤＜0B．≤≤C．≤D．＜0【答案】B【解析】若递增，则，若递增，则，若函数是R上的增函数，还需，综上可得的取值范围是≤≤。
【考点】函数的单调性2.某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的一年收益与投资额成正比，其关系如图（1）；投资股票等风险型产品的一年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图（2）．（注：收益与投资额单位：万元）（1）分别写出两种产品的一年收益与投资额的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使一年的投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？【答案】（1）,（2）投资债券类产品万元，则股票类投资为万元，收益最大，为万元．【解析】（1）根据题意设，，然后把分别代入，可求出两种产品的一年收益与投资额的函数关系；（2）该家庭的收益等于债卷收益+股票收益，设投资债券类产品万元，则股票类投资为万元，由（1）知债卷收益，股票收益，则总收益为，利用换元法求其最大值。
试题解析：（1）设，，所以，，即，； 5分（2）设投资债券类产品万元，则股票类投资为万元，依题意得：，令，则，所以当，即万元时，收益最大，万元． 13分【考点】（1）待定系数法求函数的解析式；（2）数形结合思想的应用；（3）换元法的应用。
3.定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列，有仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”.现有定义在上的如下函数：①=；②=；③；④=||，则其中是“保等比数列函数”的的序号为【答案】①③【解析】设等比数列的公比为，对于函数得为常数，因此得为保等比数列函数；对于函数得不是常数，因此不是保等比数列函数；对于函数得为常数，因此是保等比数列函数；对于函数得不是常数，因此不是保等比数列函数.【考点】判断是否为等比数列.4.函数y＝－xcosx的部分图象是（）.【答案】D.【解析】选判断函数的奇偶性，此时,有，可知此函数为奇函数，排除A,C；又当x>0时，取时，可知此时，易知图像与x轴交于，而当时，，故选D.【考点】函数图像的辨析与识别，奇偶函数的定义与性质，排除法，特殊角的三角函数值.5.已知函数定义在上，对任意的，，且.（1）求，并证明：；（2）若单调，且.设向量，对任意，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）借助于特殊值得，然后把变形= 即可，（2）首先判断出函数是增函数，然后找出，代入整理的，最后用分类讨论的思想方法求出即可.（1）令得，又∵，， 2分由得=，∵，∴. 5分（2）∵，且是单调函数，∴是增函数. 6分而，∴由，得，又∵因为是增函数，∴恒成立，.即. 8分令，得 (﹡).∵，∴，即.令， 10分①当，即时，只需，(﹡)成立，∴，解得； 11分②当，即时，只需，(﹡)成立，∴，解得，∴. 12分③当，即时，只需，(﹡)成立，∴，∴， 13分综上，. 14分【考点】抽象函数；函数的单调性；向量的数量积公式；不等式恒成立的问题；分类讨论的思想方法.6.已知函数,则______．【答案】【解析】若，则，，故【考点】分段函数，特殊角的三角函数值．7.设关于x函数其中0将f(x)的最小值m表示成a的函数m=g(a);是否存在实数a,使f(x)>0在上恒成立？是否存在实数a，使函数f(x) 在上单调递增？若存在，写出所有的a组成的集合；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）不存在a；（3）.【解析】(1)先利用二倍角公式将化简，将其看成的二次函数，从而转化成求二次函数的最值问题.因为含参数，要注意定义域的范围，对参数进行讨论.（2）恒成立,即求的最大值大于0即可.而的最大值为，所以无解.故不存在a，使得恒成立.(3)本题可看成二次函数在上递增，只需在上单调递减，故.(1)设, 由知，恒成立由于的最大值为，所以无解.故不存在a，使得恒成立.(3)上的减函数，故在上递增，只需在上单调递减，故所以存在,使函数为增函数.【考点】二倍角公式，二次函数的性质，最值，恒成立问题，等价转化的方法，函数的单调性.8.已知函数．（1）若在上存在零点，求实数的取值范围；（2）当时，若对任意的，总存在使成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）在上存在零点，只需即可；（2）本问是存在性问题，只需函数的值域为函数的值域的子集即可．试题解析：（1）的对称轴为，所以在上单调递减，且函数在存在零点，所以即解得．故实数的取值范围为．（2）由题可知函数的值域为函数的值域的子集，以下求函数的值域：①时，为常函数，不符合题意；②，，∴解得；③，，∴解得．综上所述，的取值范围为．【考点】1.函数的零点；2.恒成立问题．9.设函数，用二分法求方程的近似根过程中，计算得到，则方程的根落在区间A．B．C．D．【答案】A【解析】解：取，因为，所以方程近似根取，因为，所以方程近似根所以应选A.【考点】二分法.10.已知函数，为偶函数，且当时，．记．给出下列关于函数的说法：①当时，；②函数为奇函数；③函数在上为增函数；④函数的最小值为，无最大值．其中正确的是A．①②④B．①③④C．①③D．②④【答案】B【解析】解:根所题意,函数的图象如下图所示为分段函数,其解析式为由此可知①③④正确,故选B.【考点】函数图象和性质.11.若定义在区间上的函数满足：对于任意的，都有，且时，有，的最大值、最小值分别为，则的值为( )A．2012B．2013C．4024D．4026【答案】C【解析】令，所以.即.再令.代入可得.设.所以.又因为.所以可得.所以可得函数是递增.所以.又因为.故选C.【考点】1.函数的单调性.2.函数的特殊值法寻找等量关系.3.等式与不等式间的互化.4.归纳化归的能力.12.已知为偶函数，当时，，满足的实数的个数为（）A．2B．4C．6D．8【答案】D【解析】因为为偶函数，当时，.所以函数的解析式为作出图像如图所示. .由于函数是关于y轴对称，考虑研究x>0部分的图像.当时.或.因为.所以有四个不同的值.因为，所以不存在.所以有四个值.有对称性可得在x<0部分也有一个x的值符合.所以对应有四个值.故选D.【考点】1.分段函数的性质.2.复合函数的运算.3.数形结合的思想.13.定义函数,若存在常数C，对于任意的，存在唯一的，使得，则称函数在D上的“均值”为，已知，则函数上的均值为（）A．B．C．D．10【答案】A【解析】因为过点的中点的纵坐标为，所以对于任意的，存在唯一的，使得.所以均值.故选A.本小题的关键是考查函数的对称性问题.【考点】1.新定义的函数问题.2.函数的对称性.14.函数f(x)＝x3－2x2＋3x－6在区间[－2,4]上的零点必在所在区间是 ( )A．[－2,1]B．[，4]C．[1，]D．[，]【答案】D【解析】因为,,又,由二分法知函数在区间必有零点.故正确答案为D.【考点】二分法15.设函数.（Ⅰ）画出的图象；（Ⅱ）设A=求集合A；（Ⅲ）方程有两解，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（1）需将函数解析式改写成分段函数后在画图（2）利用整体思想把先看成整体，然后再去绝对值（3）方程有两个解即函数和函数的图像有两个交点，利用数形结合思想分析问题试题解析：（Ⅰ）图像如图（1）所示（Ⅱ）即（舍）或或（Ⅲ）由图像（2）分析可知当方程有两解时，或【考点】(1)函数图像的画法（2）一元二次不等式和绝对值不等式（3）数形结合思想16.已知函数，若存在当时，则的取值范围是【答案】【解析】如图所示当时有，当时有所以即【考点】分段函数，要使时，，即使与函数有两个不同的交点，数形结合思想.17.已知，符号表示不超过的最大整数，若关于的方程（为常数）有且仅有3个不等的实根，则的取值范围是( ).A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以；分和的情况讨论，显然有.若，此时；若，则；若,因为，故，即.且随着的增大而增大。
二次函数综合应用题(有答案)
函数综合应用题题目分析及题目对学生的要求1. 求解析式：要求能够根据题意建立相应坐标系，将实际问题转化成数学问题。
需要注意的是：(1) 不能忘记写自变量的取值范围(需要用的前提下)(2) 在考虑自变量的取值范围时要结合它所代表的实际意义。
2. 求最值：实际生活中的最值能够指导人们进行决策，这一问要求能够熟练地对二次三项式进行配方，利用解析式探讨实际问题中的最值问题。
（一般式化为定点式）最值的求法：(1) 一次函数和反比例函数中求最值是根据函数在自变量取值范围内的增减性来确定的。
(2) 二次函数求最值是将解析式配方后，结合自变量取值范围来确定的。
3. 求范围，要求学生利用解析式求实际问题中的范围问题，主要是将函数与不等式结合起来。
推荐思路：画出不等式左右两边的图象，结合函数图象求出x 的取值范围。
备选思路一：先将不等号看做等号，求出x 的取值，再结合图象考虑将等号还原为不等号后x 的取值范围；备选思路二：通过分类讨论或者其它方法，直接解出这个不等式。
这一问里需要注意的是在注意：最后下结论时一定要结合它的实际意义和前面所求得的自变量取值范围进行判断。
一、求利润的最值1. (本题满分10分) 某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满。
当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲。
宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用。
根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元。
设每个房间的房价每天增加x 元(x 为10的正整数倍)。
(1) 设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；(2) 设宾馆一天的利润为w 元，求w 与x 的函数关系式；(3) 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？解：(1) y=50-101x (0≤x ≤160，且x 是10的整数倍)。
(2) W=(50-101x)(180+x -20)= -101x 2+34x +8000； (3) W= -101x 2+34x +8000= -101(x -170)2+10890， 当x<170时，W 随x 增大而增大，但0≤x ≤160，∴当x=160时，W 最大=10880，当x=160时，y=50-101x=34。
新教材人教A版高中数学必修一 二次函数与一元二次方程、不等式二(含解析)
2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式（二）【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册同步练习（含解析）一．单选题1.不等式x2x+1<0的解集为()A. {x|−1<x<0或x>0}B. {x|x<−1或0<x<1}C. {x|−1<x<0}D. {x|x<−1}2.设集合S={x|(x−2)(x−3)≥0}，T={x|x>0}，则S∩T=()A. {x|2≤x≤3}B. {x|x≤2或x≥3}C. {x|x≥3}D. {x|0<x≤2或x≥3}3.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为获得最大利润，售价应定为()A. 每个95元B. 每个100元C. 每个105元D. 每个110元4.设x∈R，则“|x−2|<1”是“x2+x−2>0”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5−1 2(√5−12≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是√5−12.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是()A. 165cmB. 175cmC. 185cmD. 190cm6.若不等式2x2+mx+n>0的解集是{x|x>3或x<−2}，则m，n的值分别是()A. 2，12B. 2，−2C. 2，−12D. −2，−127.对于任意实数x，不等式(a−2)x2−2(a−2)x−4<0恒成立，则实数a的取值范围是()A. a<2B. a≤2C. −2<a<2D. −2<a≤28.不等式x−2x+1≤0的解集是()A. {x|x<−1或−1<x≤2}B. {x|−1≤x≤2}C. {x|x<−1或x≥2}D. {x|−1<x≤2}9.若a>0，b>0，则不等式−b<1x<a的解集为()A. {x|x<−1b ，或x>1a} B. {x|−1a<x<1b}C. {x|x<−1a ，或x>1b} D. {x|−1b<x<0，或0<x<1a}10.关于x的不等式−x2+|x|+2<0的解集是()A.{x|−2<x<2}B. {x|x<−2，或x>2}C. {x|−1<x<1}D. {x|x<−1，或x>1}二．多选题11.(多选题)下列不等式中有解的是()A. x2+3x+3<0B. x2+6x+9≤0C. −x2−2x−1>0D. x2−2ax+a2−1≥012.已知关于x的不等式a≤34x2−3x+4≤b，下列结论正确的是()A.当a<b<1时，不等式a≤34x2−3x+4≤b的解集为⌀B. 当a=1，b=4时，不等式a≤34x2−3x+4≤b的解集为{x|0≤x≤4}C. 当a=2时，不等式a≤34x2−3x+4≤b的解集可以为{x|c≤x≤d}的形式D. 不等式a≤34x2−3x+4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b}，那么b=43三．填空题13.设a，b>0，a+b=5，则√a+1+√b+3的最大值为．14.已知函数y=x2+mx−1，若对于任意x∈{x|m≤x≤m+1}，都有y<0成立，则实数m的取值范围是______．15.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．16.若集合A={x|ax2−ax+1<0}=⌀，则实数a的值的集合为________．17.若关于x的不等式ax−b>0的解集为(1,+∞)，则关于x的不等式(ax+b)(x−2)>0的解集为________．18.设集合A={x|x2−4x+3≤0}，B={x|x2−(a+1)x+a<0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是________．19.不等式2x(x+2)<3(x+2)的解集是．<1的解集为{x|x<1或x>2}，则a=．20.不等式axx−1四．解答题21.解下列不等式．<0．(1)2x−5x+4≤1．(2)x+12x−322.某农家院有客房20间，日常每间客房日租金为80元，每天都客满。
人教A版必修一二次函数与方程不等式同步练习题(含答案及解析)
人教A版必修一二次函数与方程不等式同步练习题一单项选择题1．已知关于x的不等式（m﹣2）x2+2（m﹣2）x+4＞0得解集为R，则实数m的取值范围是（）A．（2，6） B．（﹣∞，2）∪（6，+∞）C．（﹣∞，2]∪（6，+∞） D．[2，6）2．不等式对任意实数x都成立，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，2] B．C．D．3．若函数f（x）＝的定义域为R，则实数a的取值范围是（）A．{a|a≤﹣1或a≥0} B．{a|a＜﹣1或a＞0} C．{a|﹣1≤a≤0} D．{a|﹣1＜a＜0}4．关于x的不等式（x﹣1）（x﹣a）＜0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是（）A．{a|4＜a＜5} B．{a|4＜a＜5或﹣3＜a＜﹣2}C．{a|4＜a≤5} D．{a|4＜a≤5或﹣3≤a＜﹣2}5．不等式x2﹣3|x|＜0的解集为（）A．{x|0＜x＜3} B．{x|﹣3＜x＜0或0＜x＜3}C．{x|﹣3＜x＜0} D．{x|﹣3＜x＜3}6．关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，﹣1]∪[3，4）B．[﹣2，﹣1]∪[3，4]C．[﹣2，﹣1）∪（3，4] D．（﹣2，﹣1）∪（3，4）7．已知关于x的不等式a≤x2﹣3x+4≤b，下列结论正确的是（）A．当a＜b＜1，不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集为∅B．当a＝2时，不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集可以为{x|c≤x≤d}的形式C．不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b}，那么b＝D．不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b}，那么b﹣a＝48．若a、b、c均大于0，且，则a（a+b+c）+bc的最大值为（）A．B．C．D．2二多项选择题9．已知函数f（x）＝ax2﹣bx+c（a＜b＜c）有两个零点﹣1和m，若存在实数x0，使得f（x）＞0，则实数m的值可能是（） A．x0﹣2 B．x+C．x+D．x+210．已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0解集为{x|﹣2＜x＜3}，则（）A．a＞0 B．不等式ax+c＞0的解集为{x|x＜6}C．a+b+c＞0 D．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集为11．已知函数y＝x2+ax+b（a＞0）有且只有一个零点，则（）A．a2﹣b2≤4 B．a2+≥4C．若不等式x2+ax﹣b＜0的解集为（x1，x2），则x1x2＞0D．若不等式x2+ax+b＜c的解集为（x1，x2），且|x1﹣x2|＝4，则c＝4三填空题12．研究问题：“已知关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为（1，2），则关于x的不等式cx2﹣bx+a＞0有如下解法：由，令，则，所以不等式cx 2﹣bx+a ＞0的解集为．参考上述解法，已知关于x 的不等式的解集为（﹣2，﹣1）∪（2，3），则关于x 的不等式的解集 ．13．定义域为R 的函数f （x ）满足f （x+2）＝2f （x ），当x ∈[0，2]时，，若x ∈[4，6]时，f （x ）≥t 2﹣2t ﹣4恒成立，则实数t 的取值范围是 ．14．已知函数f （x ）＝﹣x 2+ax+b 的最大值为0，若关于x 的不等式f （x ）＞c ﹣1的解集为{x|m ﹣4＜x ＜m}，则实数c 的值为 ． 15．已知y 1＝x+m ，，若对∀x 1∈[0，1]，总∃x 2∈[1，2]，使得y 1（x 1）＞y 2（x 2），则实数m 的取值范围是 ．注：y 1（x 1）表示的是函数y 1＝x+m 中x 1对应的函数值，y 2（x 2）表示的是中x 2对应的函数值． 四 解答题16．已知函数f （x ）＝x 2﹣2ax+2a 2+2．（1）关于x 的方程f （x ）＝2a 2有解，求实数a 的取值范围；（2）求函数f （x ）在区间的最小值．17．已知函数f （x ）＝x 2+bx+c （b ，c ∈R ）．（1）当c ＝b 时，解关于x 的不等式f （x ）＞1；（2）若f （x ）的值域为[1，+∞），关于x 的不等式f （x ）＜a 的解集为（m ，m+4），求实数a 的值；（3）设g （x ）＝，函数f （g （x ））的最大值为1，且当时，恒成立，求b 2+c 2的取值范围．18．知函数f （x ）＝log 2x+1，g （x ）＝f （x 2）+[f （x ）]2．（1）求方程g （x ）＝2的解集；（2）若f （x ）的定义域是[1，16]，求函数g （x ）的最值；（3）若不等式[f （x ）]2+log 2x+4＞m •f （x ）对于∀x ∈[1，16]恒成立，求m 的取值范围． 19．已知函数f （x ）＝x 2﹣2ax （a ＞0）．（1）当a ＝2时，解关于x 的不等式﹣3＜f （x ）＜5； （2）对于给定的正数a ，有一个最大的正数M （a ），使得在整个区间[0，M （a ）]上，不等式|f （x ）|≤5恒成立．求出M （a ）的解析式；（3）函数y ＝f （x ）在[t ，t+2]的最大值为0，最小值是﹣4，求实数a 和t 的值．20．已知f （x ）＝﹣3x 2+a （6﹣a ）x+12．（1）若不等式f （x ）＞b 的解集为（0，3），求实数a 、b 的值；（2）若a ＝3时，对于任意的实数x ∈[﹣1，1]，都有f （x ）≥﹣3x 2+（m+9）x+10，求m 的取值范围．21．已知集合A ＝{x|﹣1≤x ≤2}，B ＝{x|x 2﹣2mx+m 2﹣1≤0}．（1）命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，且p 是q 的必要非充分条件，求实数m 的取值范围；（2）若∀x ∈A ，都有x 2+m ≥4+3x ，求实数m 的取值范围．22．已知定义在R 上的函数f （x ）＝x 2﹣x+k ，其中k 为常数．（1）求解关于x 的不等式f （x ）＜kx 的解集；（2）若f （2）是f （a ）与f （b ）的等差中项，求a+b 的取值范围．人教A版必修一二次函数与方程不等式同步练习题参考答案与解析1.分析:对m讨论，分m＝2，m＞2，结合二次函数的图象和判别式的符号，可得所求范围．解：①当m＝2时，4＞0，解集为R，②当m＞2且△＝4（m﹣2）2﹣16（m﹣2）＜0，即2＜m＜6时，不等式解集为R，综上可得，m的取值范围是[2，6）．故选D．2.分析:题意转化为（3﹣m）x2+（2﹣m）x+2﹣m≥0对任意实数x恒成立，分二次项系数是否为0，即m＝3和m≠3两种情况分类讨论可得结果．解：∵恒成立，不等式等价于3x2+2x+2≥m（x2+x+1），即（3﹣m）x2+（2﹣m）x+2﹣m≥0对任意实数x恒成立，①当3﹣m＝0，即m＝3时，不等式为﹣x﹣1≥0，对任意实数x不恒成立，不满足题意；②当3﹣m≠0，即m≠3时，则，解得m≤2，综上可得，实数m的取值范围是（﹣∞，2]．故选A．3.分析:根据函数的定义域为R，转化为﹣1≥0恒成立，结合指数函数的性质以及一元二次不等式的解法进行转化求解即可．解：∵f（x）的定义域为R，∴﹣1≥0，得≥1恒成立，得x2+2ax﹣a≥0恒成立，即判别式△＝4a2+4a≤0，得a（a+1）≤0，得﹣1≤a≤0，故选C．4.分析:对a讨论，写出解集，再根据题目要求求出对应的a的范围．解：①当a＞1时，解得1＜x＜a，此时解集中的整数为2，3，4，则4＜a≤5，②当a＜1时，解得a＜x＜1，此时解集中的整数为0，﹣1，﹣2，则﹣3≤a＜﹣2．故a∈{a|﹣3≤a＜﹣2或4＜a ≤5}，故选D．5.分析:根据x2﹣3|x|＜0去绝对值可得或，然后解不等式组即可．解：∵x2﹣3|x|＜0，∴或，∴0＜x＜3或﹣3＜x＜0，∴不等式的解集为{x|﹣3＜x＜0或0＜x＜3}．故选B．6.分析:不等式化为（x﹣1）（x﹣a）＜0，只需讨论a＞1，a＜1时，求出解不等式的解集，再根据不等式的解集中恰有两个整数，求出a的取值范围．解：关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0可化为（x﹣1）（x﹣a）＜0，当a＞1时，解不等式得1＜x＜a；当a＜1时，解不等式得a＜x＜1；由不等式的解集中恰有两个整数，则3＜a≤4或﹣2≤a＜﹣1，所以a的取值范围是[﹣2，﹣1）∪（3，4]．故选C．7.分析:A：由x2﹣3x+4≤b，利用判别式即可判断；B：在同一平面直角坐标系中作出函数y＝x2﹣3x+4＝（x﹣2）2+1的图象以及y＝a和y＝b，利用图象可判断；C：根据不等式的解集求出b 的值，再判断a是否小于1；D：利用不等式求出a的值，即可得到结论．解：对于A：由x2﹣3x+4≤b，可得3x2﹣12x+16﹣4b≤0，又b＜1，所以△＝48（b﹣1）＜0，从而不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集为∅，故A正确；对于B：在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝x2﹣3x+4＝（x﹣2）2+1的图象以及y＝a和y＝b，如图所示，由图可知，当a＝2时，不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集为{x|xA ≤x≤xC}∪{x|xB≤x≤xD}的形式，故B错误；由不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b}，可知a≤ymin，即a≤1，因此当x＝a，x＝b时函数值都是b，由当x＝b时，函数值是b，可得b2﹣3b+4＝b，解得b＝或b＝4，由a2﹣3a+4＝b＝，解得a ＝或a＝，不满足a≤1，不符合题意，故C错误；当b＝4时，由a2﹣3a+4＝b＝4，解得a＝0或a＝4，a＝0满足a≤1，此时b﹣a＝4﹣0＝4，故D正确．故选AD．8.分析:根据题意，分析可得a（a+b+c）+bc＝a2+ab+ac+bc＝（a+b）（a+c），结合基本不等式的性质分析可得答案．解：根据题意，a，b，c都是正数，且，则a（a+b+c）+bc＝a2+ab+ac+bc＝（a+b）（a+c）≤[]2＝＝；当且仅当a+b＝b+c时等号成立，故a2+ab+ac+bc的最大值为，故选C．9.分析:根据题意，分析可得a＜0，c＞0，由根与系数的关系可得m＞0，由二次函数的性质分析零点﹣1到对称轴的距离，进而可得m﹣（﹣1）的取值范围，又由x0∈（﹣1，m），变形可得m与x的关系，据此分析选项可答案．解：根据题意，函数f（x）＝ax2﹣bx+c（a＜b＜c）有两个零点﹣1和m，则有f（﹣1）＝a+b+c ＝0，又由a＜b＜c，则a＜0，c＞0，方程ax2﹣bx+c＝0的两个根为﹣1和m，则有（﹣1）×m＝﹣m＝＜0，必有m＞0，由a＜b，a＜0，得＜1①，由0＝a+b+c＞a+b+b＝a+2b，得﹣＜，即＞﹣②，由①②得：﹣＜＜1．函数f（x）＝ax2﹣bx+c的图象是开口向下的抛物线，其对称轴方程为x＝，则﹣＜＜，∴零点﹣1到对称轴的距离d∈（，），另一零点为m＞0，则有m﹣（﹣1）＝m+1＝2d∈（，3），因为f（x0）＞0，所以x∈（﹣1，m），故0＜m﹣x＜（2d）min ，∴x＜m≤+x，综合四个选项，实数m的值可能是x+或+x，故选BC．10.分析:由已知可得﹣2，3是方程ax2+bx+c＝0的两根，则由韦达定理可得：，且a＜0，解得c＝﹣6a，b＝﹣a，然后对应各个选项逐个判断即可．解：由已知可得﹣2，3是方程ax2+bx+c＝0的两根，则由韦达定理可得：，且a＜0，解得c＝﹣6a，b＝﹣a，所以A错误，选项B：ax+c＞0化简为x﹣6＜0，解得x＜6，B正确，选项C：a+b+c＝a﹣a﹣6a＝﹣6a＞0，C正确，选项D：cx2﹣bx+a＜0化简为：6x2﹣x﹣1＜0，解得﹣，D正确，故选BCD．11.分析:由函数的零点的定义和二次方程有两个相等的实数解的条件可得a，b的关系式，由二次函数的最值求法，可判断A；由基本不等式可判断B；由二次方程的韦达定理可判断C，D．解：根据题意，函数y＝x2+ax+b（a＞0）有且只有一个零点，必有a2﹣4b＝0，即a2＝4b，（b＞0），依次分析选项：对于A，a2﹣b2﹣4＝4b﹣b2﹣4＝﹣（b2﹣4b+4）＝﹣（b﹣2）2≤0，b＝2时，等号成立，即有a2﹣b2≤4，故A正确；对于B，a2+＝4b+≥2＝4，当且仅当b＝时，取得等号，故B正确；对于C，由x1，x2为方程x2+ax﹣b＝0的两根，可得x1x2＝﹣b＜0，故C错误；对于D，由x1，x2为方程x2+ax+b﹣c＝0的两根，可得x1+x2＝﹣a，x1x2＝b﹣c，则|x1﹣x2|2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝a2﹣4（b﹣c）＝a2﹣4b+4c＝4c＝16，解得c＝4，故D正确．故选ABD．12.分析:先明白题目所给解答的方法：ax2﹣bx+c＞0化为，类推为cx2﹣bx+a＞0，解答不等式；然后依照所给定义解答题目即可．解：关于x的不等式+＜0的解集为（﹣2，﹣1）∪（2，3），用替换x，不等式可以化为：可得,可得,故答案为：．13.分析:先确定当x∈[0，2]时，f（x）的最小值为﹣，利用函数f（x）满足f（x+2）＝2f（x），可得x∈[4，6]时，f（x）的最小值为﹣1，从而可得﹣1≥t2﹣2t﹣4，即可得出结论．解：当x∈[0，1）时，f（x）＝x2﹣x∈[﹣，0],当x∈[1，2]时，f（x）＝（x﹣2）x∈[﹣，0],∴当x∈[0，2]时，f（x）的最小值为﹣，又∵函数f（x）满足f（x+2）＝2f（x），当x∈[2，4]时，f（x）的最小值为﹣，当x∈[4，6]时，f（x）的最小值为﹣1，∵x∈[4，6]时，f（x）≥t2﹣2t﹣4恒成立，∴﹣1≥t2﹣2t﹣4,∴（t+1）（t﹣3）≤0，解得：﹣1≤t≤3，故答案为：﹣1≤t≤3．14.分析:根据题意，由二次函数的性质可得△＝0，即a2+4b＝0，由不等式的解集可得方程f（x）＝c﹣1即﹣x2+ax﹣﹣c+1＝0的两根分别为：m﹣4，m，利用根与系数的关系分析可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝﹣x2+ax+b的最大值为0，则二次函数f（x）与x轴只有一个交点，所以△＝0，即a2+4b＝0，变形可得b＝﹣,关于x的不等式f（x）＞c﹣1的解集为{x|m﹣4＜x ＜m}，所以方程f（x）＝c﹣1即﹣x2+ax﹣﹣c+1＝0的两根分别为：m﹣4，m，则有（m﹣4）+m ＝﹣a，m（m﹣4）＝+c﹣1，则有[m﹣（m﹣4）]2＝[m+（m﹣4）]2﹣4m（m﹣4）＝a2﹣4（+c ﹣1）＝4﹣4c＝16，解可得：c＝﹣3；故答案为：﹣3．15.分析:将∀x1∈[0，1]，总∃x2∈[1，2]，使得y1（x1）＞y2（x2），转化为y1（x）min＞y2（x）min，借助一次函数，二次函数的性质求解最大，最小值，再得到m的取出范围．解：对∀x1∈[0，1]，总∃x2∈[1，2]，使得y1（x1）＞y2（x2），等价于y1（x）min＞y2（x）min，由于y＝x+m在x∈[0，1]单调递增，因此y1（x）min＝y1（0）＝m；而+2m﹣3，对称轴为x＝，（1）若＜1，即m＜2，，即，得﹣2＜m＜2，（2）若，即2≤m≤4，，即m＞，得﹣6＜m＜2，而2≤m≤4，即m无解，（3）若＞2，即m＞4，，∴m＞，得m无解．综上，m的取出范围为（﹣2，2）．16.分析:（1）关于x的方程f（x）＝2a2有解，则Δ≥0，从而解不等式即可得出实数a的取值范围；（2）函数f（x）的对称轴为x＝a，开口向上，按照a≤﹣，﹣＜a＜和a≥分类，分别根据函数的单调性，进而得出最小值．解：（1）由关于x 的方程f （x ）＝2a 2有解，等价于x 2﹣2ax+2＝0有解，∴Δ＝（﹣2a ）2﹣4×2≥0，解得a ≤﹣或a ≥，故实数a 的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）； （2）根据题意，f （x ）＝x 2﹣2ax+2a 2+2，x ∈[﹣，]，对称轴为x ＝a ，开口向上，当a ≤﹣时，函数在[﹣，]上单调递增，此时f （x ）min ＝f （﹣）＝2a 2+3a+；当﹣＜a ＜时，函数在[﹣，a]上单调递减，在[a ，]上单调递增，此时f （x ）min ＝f （a ）＝a 2+2；当a ≥时，函数在[﹣，]上单调递减，此时f （x ）min ＝f （）＝2a 2﹣3a+，综上，函数在区间[﹣，]的最小值为f （x ）min ＝．17.分析:（1）首先将所给的不等式写成两根式的形式，然后分类讨论确定不等式的解集即可，（2）由三个二次的关系得到方程的两个根之差为4，据此可得实数a 的值，（3）由题意将c 表示为含有b 的等式，然后求得实数b 的取值范围，最后结合二次函数的性质可得求b 2+c 2的取值范围． 解：（1）当c ＝b 时，由f （x ）＞1得x 2+bx+b ﹣1＞0，即（x+b ﹣1）（x+1）＞0，当1﹣b ＞﹣1，即b ＜2时，原不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1﹣b ，+∞），当b ＝2时，原不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），当b ＞2时，原不等式的解集为（﹣∞，1﹣b ）∪（﹣1，+∞）．（2）由f （x ）的值域为[1，+∞），得，因为关于x 的不等式f （x ）＜a 的解集为（m ，m+4），所以m ，m+4是方程f （x ）＝a 的两个实根，即x 2+bx+c ﹣a ＝0的两根之差为4，所以，则，得a ＝5．（3），则，,则x ∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）时，f （x ）≥0恒成立，又，因为f （g （x ））的最大值为1，所以f （x ）在xe[﹣3，﹣2）上的最大值为1，由f （x ）图象开口向上，得，即，则c ＝3b ﹣8，且b ≤5，此时由x ∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）时，f （x ）≥0恒成立，得x 2+bx+3b ﹣8≥0恒成立，且f （﹣2）≥0，得b ≥4，要满足x ∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）时，f （x ）≥0恒成立，则Δ≤0，b 2﹣4（3b ﹣8）≤0，解得4≤b ≤8，综上，4≤b ≤5，此时b 2+c 2＝b 2+（3b ﹣8）2＝10b 2﹣48b+64∈[32，74]．18.分析:（1）依题意，g （x ）＝2可化简为+4log 2x ＝0，解之即可得到方程g （x ）＝2的解集；（2）依题意得1≤x 2≤16⇒1≤x ≤4⇒0≤log 2x ≤2，换元，令t ＝f （x ）＝log 2x+1，则t ∈[1，3]，于是可得h （t ）＝（t+1）2﹣2，利用二次函数的单调性即可求得函数g （x ）的最值；（3）令t ＝f （x ）＝log 2x+1，则t ∈[1，5]，则不等式[f （x ）]2+log 2x+4＞m •f （x ）对于∀x ∈[1，16]恒成立⇔t 2+t+3＞mt 对于∀t ∈[1，5]恒成立⇔m ＜t++1（1≤t ≤5）恒成立，利用基本不等式即可求得m 的取值范围． 解：（1）∵f （x ）＝log 2x+1，∴g （x ）＝f （x 2）+[f （x ）]2＝2log 2x+1++2log 2x+1＝+4log 2x+2，由g （x ）＝2得：+4log 2x ＝0，解得：log 2x ＝0或log 2x ＝﹣4，∴x ＝1或x ＝，∴方程g （x ）＝2的解集为{，1}；（2）∵f （x ）的定义域是[1，16]，∴1≤x 2≤16，∴1≤x ≤4，∴0≤log 2x ≤2，∴f （x ）＝log 2x+1∈[1，3]，令t＝f（x）＝log2x+1，则t∈[1，3]，则h（t）＝g（x）＝+4log2x+2＝（t﹣1）2+4（t﹣1）+2＝（t+1）2﹣2，t∈[1，3]．∵h（t）＝（t+1）2﹣2的对称轴方程为t＝﹣1，∴y＝（t+1）2﹣2在区间[1，3]上单调递增，∴h（t）min ＝h（1）＝2，h（t）max＝h（3）＝14．即g（x）min＝2，g（x）max＝14．（3）若不等式[f（x）]2+log2x+4＞m•f（x）对于∀x∈[1，16]恒成立，令t＝f（x）＝log2x+1（1≤x≤16），则t∈[1，5]，则上式等价于t2+t+3＞mt对于∀t∈[1，5]恒成立⇔m＜t++1（1≤t≤5）恒成立，∵t++1≥2+1，当且仅当t＝，即t＝时取“＝”，∴m＜2+1．19.分析:（1）a＝2时，把不等式﹣3＜f（x）＜5化为不等式组﹣3＜x2﹣4x＜5，求出解集即可；（2）由二次函数的图象与性质，讨论a＞0时|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立时，M（a）最大，此时对应的方程f（x）＝±5根的情况，从而求出M（a）的解析式；（3）f（x）＝（x﹣a）2﹣a2（t≤x≤t+2），显然f（0）＝f（2a）＝0，分类讨论，利用y＝f（x）在[t，t+2]的最大值为0，最小值是﹣4，求实数a和t的值．解：（1）当a＝2时，函数f（x）＝x2﹣4x，∴不等式﹣3＜f（x）＜5可化为﹣3＜x2﹣4x＜5，解得，∴不等式的解集为（﹣1，1）∪（3，5）；（2）∵a＞0时，f（x）＝x2﹣2ax＝（x﹣a）2﹣a2，∴当﹣a2＜﹣5，即a＞时，要使|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立，要使得M（a）最大，M（a）只能是x2﹣2ax＝﹣5的较小的根，即M（a）＝a﹣；当﹣a2≥﹣5，即0＜a≤时，要使|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立，要使得M（a）最大，M（a）只能是x2﹣2ax＝5的较大的根，即M（a）＝a+；综上，M（a）＝．（3）f（x）＝（x﹣a）2﹣a2（t≤x≤t+2），显然f（0）＝f（2a）＝0．①若t＝0，则a≥t+1，且f（x）min ＝f（a）＝﹣4，或f（x）min＝f（2）＝﹣4，当f（a）＝﹣a2＝﹣4时，a＝±2，a＝﹣2不合题意，舍去.当f（2）＝4﹣4a＝﹣4时，a＝2，②若t+2＝2a，则a≤t+1，且f（x）min＝f（a）＝﹣4，或f（x）min＝f（2a﹣2）＝﹣4，当f（a）＝﹣a2＝﹣4时，a＝±2，若a＝2，t＝2，符合题意；若a＝﹣2，则与题设矛盾，不合题意，舍去.当f（2a﹣2）＝﹣4时，a＝2，t＝2.综上所述，a＝2，t＝0和a＝2，t＝2符合题意．20.分析:（1）根据不等式f（x）＞b的解集知对应方程的实数根，由根与系数的关系求出a、b 的值；（2）a＝3时问题转化为mx≤2对于任意的实数x∈[﹣1，1]都成立，讨论m的取值情况，从而求出m的取值范围．解：（1）因为f（x）＝﹣3x2+a（6﹣a）x+12，不等式f（x）＞b的解集为（0，3），所以0和3是一元二次方程3x2﹣a（6﹣a）x﹣12+b＝0的两实数根，所以，解得a＝3，b＝12；（2）当a＝3时，f（x）＝﹣3x2+9x+12，不等式f（x）≥﹣3x2+（m+9）x+10可化为﹣3x2+9x+12≥﹣3x2+（m+9）x+10，即mx≤2对于任意的实数x∈[﹣1，1]都成立；m＝0时，mx＝0≤2显然成立；m＞0时，mx≤2化为x≤，即≥1，解得m≤2，即0＜m≤2；m＜0时，mx≤2化为x≥，即≤﹣1，解得m≥﹣2，即﹣2≤m＜0；综上知，m的取值范围是[﹣2，2]．21.分析:（1）求出集合B的取值范围，根据p是q的必要非充分条件，即可求得m的取值范围（2）由若∀x∈A，得不等式的定义域，解关于m的不等式，即可求得m的取值范围．解：（1）B＝{x|x2﹣2mx+m2﹣1≤0}＝{x|（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≤0}⇒{x|m﹣1≤x≤m+1}．由p是q的必要非充分条件知：B⫋A，∴，解得0≤m≤1．（2）由∀x∈A，都有x2+m≥4+3x，得m≥﹣x2+3x+4，x∈[﹣1，2]，令y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，x∈[﹣1，2]，∴当x＝时，y取最大值为，∴m≥．22.分析:（1）对k分类讨论，利用一元二次不等式的解法可得结论；（2）由等差中项的性质可得关于a，b的等式，再利用基本不等式即可得结论解：（1）由f（x）＜kx，可得x2﹣x+k＜kx，即（x﹣k）（x﹣1）＜0，当k＝1时，不等式的解集为∅；当k＜1时，不等式的解集为（k，1）；当k＞1时，不等式的解集为（1，k）．（2）若f（2）是f（a）与f（b）的等差中项，则2（2+k）＝（a2﹣a+k）+（b2﹣b+k），整理得a2+b2﹣（a+b）＝4，∴4＝a2+b2﹣（a+b）＝（a+b）2﹣（a+b）﹣2ab≥（a+b）2﹣（a+b）﹣2（）2，解得﹣2≤a+b≤4，所以a+b的取值范围为[﹣2，4]．。
高一数学函数综合试题答案及解析
高一数学函数综合试题答案及解析1.定义运算:，对于函数和，函数在闭区间上的最大值称为与在闭区间上的“绝对差”，记为，则= ．【答案】.【解析】记，，于是构造函数，则当时，；当或时，所以.即为所求.【考点】函数的最值及其几何意义.2.设，那么（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】观察题意所给的递推式特征可知：，所以，故选B.【考点】数列的递推公式.3.函数y＝－xcosx的部分图象是（）.【答案】D.【解析】选判断函数的奇偶性，此时,有，可知此函数为奇函数，排除A,C；又当x>0时，取时，可知此时，易知图像与x轴交于，而当时，，故选D.【考点】函数图像的辨析与识别，奇偶函数的定义与性质，排除法，特殊角的三角函数值.4.方程在区间内的所有实根之和为 .（符号表示不超过的最大整数）.【答案】2.【解析】设，当时，；当时，；当时，；当时，；即；令，得；令，得；的所有根为0,2，之和为2.【考点】新定义题、函数图像的交点.5.若不等式对任意的上恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】∵，又∵，，∴，又∵，根据二次函数的相关知识，可知当，时，，综上所述，要使不等式对于任意的恒成立，实数的取值范围是.【考点】1.函数求最值；2.恒成立问题的处理方法.6.下列四个命题：①方程若有一个正实根，一个负实根，则；②函数是偶函数，但不是奇函数；③函数的值域是，则函数的值域为；④一条曲线和直线的公共点个数是，则的值不可能是．其中正确的有________________（写出所有正确命题的序号）．【答案】①④【解析】,故①正确；根据定义域,,所以,所以也是奇函数;故②不正确；仅是定义域变了，值域没有改变；故③不正确；是关于对称轴对称的图像，所以与其交点个数只能是偶数个，不可能是1.故④正确.【考点】1.方程根与系数的关系；2.函数奇偶性；3.抽象函数；4.函数图像.7.已知函数,则下列说法中正确的是（）A．若，则恒成立B．若恒成立，则C．若，则关于的方程有解D．若关于的方程有解，则【答案】D.【解析】绝对值不等式，当时，则，此时，所以A错误；当恒成立时，有，此时假设，则由绝对值不等式可知恒成立，此时与恒成立矛盾，再结合对A选项的分析，可知，所以B选项错误；当时，则，此时，方程，左边是正数，右边是负数，无解，所以C错误；对于D，当关于的方程有解时，由上述C选项的分析可知不可能小于0，当时，，也不满足有解，所以，此时由有解，可得，所以，所以，选项D正确，故选D.【考点】函数与绝对值不等式.8.如果二次函数不存在零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵二次函数不存在零点，二次函数图象向上，∴，可得，解得，故选D．【考点】1、函数零点；2、函数与方程的关系．9.已知函数是定义在上的奇函数，当时的解析式为.（Ⅰ）求函数的解析式;（Ⅱ）求函数的零点.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）零点为【解析】（Ⅰ）先利用奇函数的性质求时的解析式，再求时的解析式，最后写出解析式. 本小题的关键点：（1）如何借助于奇函数的性质求时的解析式；（2）不能漏掉时的解析式.（Ⅱ）首先利用求零点的方法：即f（x）=0，然后解方程，同时注意限制范围.试题解析：（Ⅰ）依题意，函数是奇函数，且当时，，当时，， 2分又的定义域为，当时， 2分综上可得， 2分（Ⅱ）当时，令，即，解得，(舍去) 2分当时，， 1分当时，令，即，解得，(舍去) 2分综上可得，函数的零点为 1分【考点】1、奇函数的性质；2、求方程的零点.10.函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】因为函数的定义域为大于零的实数。
高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案知识讲解_ 一次函数和二次函数
高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案一次函数和二次函数 撰稿： 审稿：【学习目标】1.掌握一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，会判断函数的单调性； 2．会求函数的最大值、最小值，能利用配方法解决二次函数的问题； 3.了解待定系数法的概念，会用待定系数法求函数的解析式。
【要点梳理】要点一、一次函数的性质与图象 1．一次函数的概念(1)深刻理解斜率这个概念．①定义：一次函数y ＝kx+b (k ≠0)的图象是一条直线，以后简写为直线y ＝kx+b ，其中k 叫做该直线的斜率．②用运动的观点理解斜率k ．函数的改变量21()y y -与自变量的改变量21()x x -的比值等于常数k ．③从对图象的单调性的影响上理解斜率k ．当k ＞0时，一次函数是增函数；当k ＜0时，一次函数是减函数． (2)深刻理解截距b 的含义．①定义：一次函数y ＝kx+b (k ≠0)的图象是一条直线，以后简写为直线y ＝kx+b ，其中b 叫做该直线在y 轴上的截距．②b 的取值范围：b ∈R ．③b 的几何意义：直线y ＝kx+b 与y 轴的交点的纵坐标．④点(0，b )是直线y ＝kx+b 与y 轴的交点．当b ＞0时，此交点在y 轴的正半轴上；当b ＜0时，此交点在y 轴的负半轴上；当b ＝0时，此交点在原点，此时的一次函数就是正比例函数．一次函数(0)y kx b k =+≠图象性质单调性奇偶性k ＞0b ＝0增函数 奇函数b ≠0增函数 非奇非偶函数k ＜0 b ＝0减函数 奇函数b ≠0减函数 非奇非偶函数．(2)图象的画出：因为两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．(3)图象的特点：①正比例函数y ＝kx 的图象是经过原点(0，0)的一条直线．②一次函数y ＝kx+b 的图象是经过y 轴上点(0，b )的一条直线． (4)画法技巧：①画正比例函数y ＝kx 的图象，通常取(0，0)、(1，k )两点连线．②画一次函数y ＝kx+b 的图象，通常取它与坐标轴的交点(0，b )、,0b k ⎛⎫-⎪⎝⎭两点连线，原因是上述两点在坐标轴上，描点较准确．但由于b k -多数情况下是分数，故在描点时，我们也可以取x 和y 都是整数的情形．3．一次函数性质的应用(1)函数的改变量21()y y -与自变量的改变量21()x x -的比值等于常数k ．(2)当k ＞0时，一次函数是增函数；当k ＜0时，一次函数是减函数．(3)当b ＝0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b ≠0时，它既不是奇函数，也不是偶函数． (4)直线y ＝kx+b 与x 轴的交点为,0b k ⎛⎫-⎪⎝⎭，与y 轴的交点为(0，b )． 要点诠释：一次函数y ＝kx+b (k ≠0)的性质可从两方面来理解： ①图象与坐标轴的交点，大家知道x 轴、y 轴上的点的纵坐标、横坐标都分别为0，所以在解析式y ＝kx+b 中分别令x ＝0，y ＝0，得y ＝b ，b x k =-，从而得出直线y ＝kx+b 与x 轴、y 轴的交点分别是,0b A k ⎛⎫- ⎪⎝⎭、B (0，b )，这是要熟记的，另外还要知道y ＝kx+b 与正比例函数y ＝kx 的图象的平行关系．②函数的增减性，也就是：当k ＞0时，y 随x 增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小．其含义是：当k ＞0时，如果x 越来越大，那么y 的值也越来越大；当k ＜0时，如果x 越来越大，那么y 的值越来越小． 对于直线y ＝kx+b (k ≠0)而言：当k ＞0，b ＞0时，直线经过一、二、三象限；当k ＞0，b ＜0时，直线经过一、三、四象限；当k ＜0，b ＞0时，直线经过一、二、四象限；当k ＜0，b ＜0时，直线经过二、三、四象限．4．一次函数的最值问题求一次函数y ＝kx+b (k ≠0)在某一区间[a ，c ]上的值域的方法是：由于一次函数在某一区间[a ，c ]上是单调的，所以它在区间的两个端点上取得最值，当k ＞0时，它的值域为[f (a )，f (c )]，当k ＜0时，它的值域为[f (c )，f (a )]．5．一次函数的保号性及应用性质1：已知函数()f x kx b =+，如果有()0(0)f α><，()0(0)f β><，则对任意(,)x αβ∈都有()0(()0)f x f x ><．这个性质称为函数()f x kx b =+在区间(,)αβ上的保号性．同样，()f x kx b =+在区间[,]αβ，[,)αβ，(,]αβ上也具有保号性．性质2：若一次函数()f x kx b =+在区间(,)αβ上有()()0f f αβ<，则在(,)αβ内必存在一点x 0使0()0f x =．要点二：二次函数的性质与图象 1．函数2(0)y ax a =≠的图象和性质关于二次函数2(0)y ax a =≠的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值几个方面来研究，下面结合图象将其性质列表归纳如下：函数图象开口方向顶点坐标对称轴单调性最大(小)值y ＝ax 2(a ＞0)向上 (0,0) y 轴在区间(,0]-∞上是减函数，在区间[0,)+∞上是增函数当x ＝0时，min 0y =y ＝ax 2(a ＜0)向下 (0,0) y 轴在区间(,0]-∞上是增函数，在区间[0,)+∞上是减函数当x ＝0时，max 0y =要点诠释：函数2(0)y ax a =≠中的系数a 对函数图象的影响：(1)当a ＞0时，开口向上，a 越小，开口越大，在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增；(2)当a ＜0时，开口向下，a 的绝对值越小，开口越大，在(-∞，0)上单调递增，在(0，+∞)单调递减．2．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象和性质 (1)二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象和性质如下表： 函数 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象a ＞0a ＜0性质抛物线开口向上，并向上无限延伸 抛物线开口向上，并向下无限延伸 对称轴是直线2b x a =-， 顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称轴是直线2b x a=-， 顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在区间,2b a ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦上是减函数， 在区间,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数 在区间,2b a ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦上是增函数， 在区间,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是减函数 抛物线有最低点，当2bx a=-时， y 有最小值，2min44ac b y a-=抛物线有最高点，当2bx a=-时， y 有最大值，2max44ac b y a-=(2)配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数幂和的形式．通过配方解决数学问题的方法叫配方法．其中，用的最多的是配成完全平方式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明不等式和等式、求函数最值和解析式等方面都经常用到它．对任何二次函数2()(0)y f x ax bx c a ==++≠都可通过配方化为：2224()24b ac b y a x a x h k a a -⎛⎫=++=-+ ⎪⎝⎭．其中2bh a=-，244ac b k a -=．(3)关于配方法要注意两点：①要把二次项系数化为1，方法是提取二次项的系数； ②找准一次项的系数，加上它的一半的平方(目的是配成完全平方式)，再减去这个平方数(目的是保持恒等)．3．二次函数的解析式(1)一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠．(2)顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠，顶点(h ，k )． (3)交点式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠，x 1，x 2为二次函数的图象与x 轴两个交点的横坐标．求二次函数解析式的方法，应根据已知条件的特点，灵活地运用解析式的形式，选取最佳方案，利用待定系数法求之．要点诠释：①若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为一般式2y ax bx c =++，a 、b 、c 为常数，a ≠0的形式．②若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值，则设所求二次函数为顶点式2()y a x h k =-+，其中顶点为(h ，k )，a 为常数，且a ≠0．③若已知二次函数的图象与x 轴的两个交点的坐标为(x 1，0)，(x 2，0)，则设所求二次函数为交点式12()()y a x x x x =--，a 为常数，且a ≠0．4．二次函数的图象画法与平移(1)二次函数2y ax bx c =++的图象的画法：因为二次函数的图象是一条抛物线，它的基本特征：①有顶点；②有对称轴；③有开口方向．所以，画二次函数的图象通常采用简化了的描点法——五点法，其步骤如下：(i )先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点时，并用虚线画出对称轴； (ii )求抛物线2y ax bx c =++与坐标轴的交点．当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A 、B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D ．将这五个点按从左到右的顺序连起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图象．当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D ．由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图．如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A 、B ，然后连线，画出二次函数的图象．(2)二次函数的平移规律．任意抛物线2y ax bx c =++都可转化为2()y a x h k =-+的形式，都可由2y ax =的图象经过适当的平移得到，具体平移方法，如图所示．即上述平移规律“h 值正、负，右、左移”，亦即“加时左移，减时右移”；“k 值正、负，上、下移”，即“加时上移，减时下移”． 5．二次函数的最值求解二次函数的最大值与最小值，可以从函数解析式的变形和函数的图象两方面去理解．(1)从函数的解析式来研究，对于2y ax bx c =++，通过配方可化为2()y a x h k =-+的形式，再对2()y a x h k =-+进行研究．一般地，对于二次函数2y ax bx c =++，当a ＞0时，y 有最小值2442ac b b x a a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭；当a ＜0时，y 有最大值2442ac b b x a a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(2)从函数的图象来研究，二次函数的图象是抛物线，又称抛物线2y ax bx c =++，一般描出五个点可画出图象．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示．当a ＞0时，抛物线开口向上，它的顶点恰是抛物线的最低点，显然纵坐标y 有最小值，最小值是244ac b a -；当a ＜0时，抛物线开口向下，它的顶点恰是抛物线的最高点，显然纵坐标y 有最大值，最大值是244ac b a-．6．二次函数的对称轴及其应用根据教材中例题知道对称轴为x ＝-4，由此推导出(4)(4)f h f h --=-+．反过来，如果已知(4)(4)f h f h -+=--，则可得该函数的对称轴为x ＝-4．现总结如下：(1)若某函数(不一定是二次函数)满足()()f a x f a x +=-(a 为常数)，则该函数的对称轴为x ＝a ． (2)若某函数(不一定是二次函数)满足()(2)f x f a x =-(a 为常数)，则该函数的对称轴为x ＝a ． (3)若某函数(不一定是二次函数)满足()()f a x f b x -=+(a b ≠且a ，b 为常数)，则该函数的对称轴为2a bx +=． 实际上(2)与(1)是等价的，在(1)中令a+x ＝t ，则x ＝t -a ，∴ ()[()]f t f a t a =--，∴ ()(2)f t f a t =-，即()(2)f x f a x =-．要点三、待定系数法 1．待定系数法的定义（1）一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数.这种通过求待定系数来确定变量之间关系的方法叫做待定系数法.（2）根据题设求待定系数的方法——列方程组 ①用特殊值法列方程组；②根据多项式恒等定理列方程组； ③利用定义本身的属性列方程（组）； ④利用几何条件列方程（组）。
人教版高一数学下册二次函数知识点讲解
人教版高一数学下册二次函数知识点讲解二次函数（quadratic function）的基本表示形式为y=ax2+bx+c（a≠0）。
二次函数最高次必须为二次，二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。
那么同学们赶快一起来看看二次函数知识点！定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a0，且a决定函数的开口方向，a0时，开口方向向上，a0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.)则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c 为常数，a0)顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P(h，k)]交点式：y=a(x-x?)(x-x?)[仅限于与x轴有交点A(x?，0)和B(x?，0)的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?，x?=(-bb^2-4ac)/2a二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)2.抛物线有一个顶点P，坐标为P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上;当=b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a0时，抛物线向上开口;当a0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab0)，对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab0)，对称轴在y 轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
人教全国各地中考数学分类：二次函数综合题汇编含答案解析
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=14x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为y=14x2﹣x+1．（2）点P的坐标为（2813，﹣1）．（3）定点F的坐标为（2，1）．【解析】分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出（1-12-12y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出关于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标．详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0），设抛物线的解析式为y=a（x-2）2．∵该抛物线经过点（4，1），∴1=4a，解得：a=14，∴抛物线的解析式为y=14（x-2）2=14x2-x+1．（2）联立直线AB 与抛物线解析式成方程组，得：214114y x y x x ⎧⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩＝＝，解得：11114x y ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，2241x y ⎧⎨⎩＝＝， ∴点A 的坐标为（1，14），点B 的坐标为（4，1）． 作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′交直线l 于点P ，此时PA+PB 取得最小值（如图1所示）．∵点B （4，1），直线l 为y=-1， ∴点B′的坐标为（4，-3）．设直线AB′的解析式为y=kx+b （k≠0）， 将A （1，14）、B′（4，-3）代入y=kx+b ，得： 1443k b k b ⎧+⎪⎨⎪+-⎩＝＝，解得：131243k b ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝， ∴直线AB′的解析式为y=-1312x+43， 当y=-1时，有-1312x+43=-1， 解得：x=2813， ∴点P 的坐标为（2813，-1）． （3）∵点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等， ∴（m-x 0）2+（n-y 0）2=（n+1）2， ∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0n+y 02=2n+1． ∵M （m ，n ）为抛物线上一动点，∴n=14m 2-m+1， ∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0（14m 2-m+1）+y 02=2（14m 2-m+1）+1， 整理得：（1-12-12y 0）m 2+（2-2x 0+2y 0）m+x 02+y 02-2y 0-3=0． ∵m 为任意值，∴000220001110222220230y x y x y y ⎧--⎪⎪-+⎨⎪+--⎪⎩＝＝＝， ∴0021x y ⎧⎨⎩＝＝， ∴定点F 的坐标为（2，1）．点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P 的位置；（3）根据点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x 0、y 0的方程组．2．童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售,经市场调查发现：每降价1元,每星期可多卖10件,已知该款童装每件成本30元,设降价后该款童装每件售价x 元,每星期的销售量为y 件.(1)降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时，求这一星期中每件童装降价多少元?(2)当每件售价定为多少元时,一星期的销售利润最大,最大利润是多少?【答案】（1）这一星期中每件童装降价20元；（2）每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元． 【解析】 【分析】（1）根据售量与售价x （元/件）之间的关系列方程即可得到结论． （2）设每星期利润为W 元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题． 【详解】解：（1）根据题意得，（60﹣x ）×10+100＝3×100， 解得：x ＝40， 60﹣40＝20元，答：这一星期中每件童装降价20元； （2）设利润为w ，根据题意得，w＝（x﹣30）[（60﹣x）×10+100]＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，答：每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．【点睛】本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，利用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为P（2，9），与x轴交于点A，B，与y轴交于点C（0，5）．（Ⅰ）求二次函数的解析式及点A，B的坐标；（Ⅱ）设点Q在第一象限的抛物线上，若其关于原点的对称点Q′也在抛物线上，求点Q的坐标；（Ⅲ）若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，使得以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，且AC为其一边，求点M，N的坐标．【答案】（1）y=﹣x2+4x+5，A（﹣1，0），B（5，0）；（2）Q553）M （1，8），N（2，13）或M′（3，8），N′（2，3）．【解析】【分析】(1)设顶点式，再代入C点坐标即可求解解析式，再令y=0可求解A和B点坐标；(2)设点Q（m，﹣m2+4m+5），则其关于原点的对称点Q′（﹣m，m2﹣4m﹣5），再将Q′坐标代入抛物线解析式即可求解m的值，同时注意题干条件“Q在第一象限的抛物线上”；(3)利用平移AC的思路，作MK⊥对称轴x=2于K，使MK=OC，分M点在对称轴左边和右边两种情况分类讨论即可.【详解】（Ⅰ）设二次函数的解析式为y=a（x﹣2）2+9，把C（0，5）代入得到a=﹣1，∴y=﹣（x﹣2）2+9，即y=﹣x2+4x+5，令y=0，得到：x2﹣4x﹣5=0，解得x=﹣1或5，∴A（﹣1，0），B（5，0）．（Ⅱ）设点Q（m，﹣m2+4m+5），则Q′（﹣m，m2﹣4m﹣5）．把点Q′坐标代入y=﹣x2+4x+5，得到：m2﹣4m﹣5=﹣m2﹣4m+5，∴m=5或5（舍弃），∴Q（5，45）．（Ⅲ）如图，作MK⊥对称轴x=2于K．①当MK=OA，NK=OC=5时，四边形ACNM是平行四边形．∵此时点M的横坐标为1，∴y=8，∴M（1，8），N（2，13），②当M′K=OA=1，KN′=OC=5时，四边形ACM′N′是平行四边形，此时M′的横坐标为3，可得M′（3，8），N′（2，3）．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，第3问中理解通过平移AC可应用“一组对边平行且相等”得到平行四边形.4．如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．【答案】（1）y=﹣x2+2x+3．（2）当t=2时，点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由见解析；（3）y=﹣x+3；P点到直线BC 92，此时点P的坐标为（32，154）．【解析】【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；（3）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论．【详解】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，得10930b cb c-++=⎧⎨-++=⎩，解得：23bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3；（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x=1，当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），∴点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由如下：若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2，又∵t≠2，∴不存在；（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，得303m nn+=⎧⎨=⎩，解得：13mn=-⎧⎨=⎩，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点F的坐标为（t，﹣t+3），∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，∴S=12PF•OB=﹣32t2+92t=﹣32（t﹣32）2+278；②∵﹣32＜0，∴当t=32时，S取最大值，最大值为278．∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∴线段BC=2232OB OC+=，∴P点到直线BC的距离的最大值为272928832⨯=，此时点P的坐标为（32，154）．【点睛】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分t=2和t≠2两种情况考虑；（3）①利用三角形的面积公式找出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质结合面积法求出P点到直线BC的距离的最大值．5．已知，点M 为二次函数2()41y x b b =--++图象的顶点，直线5y mx =+分别交x 轴正半轴，y 轴于点,A B .（1）如图1，若二次函数图象也经过点,A B ，试求出该二次函数解析式，并求出m 的值. （2）如图2，点A 坐标为(5,0)，点M 在AOB ∆内，若点11(,)4C y ，23(,)4D y 都在二次函数图象上，试比较1y 与2y 的大小.【答案】（1）2(2)9y x =--+,1m =-；（2）①当102b <<时，12y y >；②当12b =时，12y y =；③当1425b <<时，12y y < 【解析】 【分析】 （1）根据一次函数表达式求出B 点坐标，然后根据B 点在抛物线上，求出b 值，从而得到二次函数表达式，再根据二次函数表达式求出A 点的坐标，最后代入一次函数求出m 值.（2）根据解方程组，可得顶点M 的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案． 【详解】（1）如图1，∵直线5y mx =+与y 轴交于点为B ，∴点B 坐标为(0,5)又∵(0,5)B 在抛物线上，∴25(0)41b b =--++，解得2b =∴二次函数的表达式为2(2)9y x =--+ ∴当0y =时，得15=x ，21x =- ∴(5,0)A代入5y mx =+得，550m +=，∴1m =-（2）如图2，根据题意，抛物线的顶点M 为(,41)b b +，即M 点始终在直线41y x =+上，∵直线41y x =+与直线AB 交于点E ，与y 轴交于点F ，而直线AB 表达式为5y x =-+解方程组415y xy x=+⎧⎨=-+⎩，得45215xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点421(,)55E，(0,1)F∵点M在AOB∆内，∴45b<<当点,C D关于抛物线对称轴（直线x b=）对称时，1344b b-=-，∴12b=且二次函数图象的开口向下，顶点M在直线41y x=+上综上：①当12b<<时，12y y>；②当12b=时，12y y=；③当1425b<<时，12y y<.【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合应用，难度系数大同学们需要认真分析即可.6．如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）．A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x＝3．（1）求该二次函数的解析式；（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标；（3）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．【答案】（1）21342y x x =-；（2）当t ＝3时，S △AMN 有最大值3，此时M 点坐标为（3，0）；（3）P 点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）或（8，0）． 【解析】 【分析】（1）先利用抛物线的对称性确定B （6，0），然后设交点式求抛物线解析式；（2）设M （t ，0），先其求出直线OA 的解析式为12y x =直线AB 的解析式为y=2x-12，直线MN 的解析式为y=2x-2t ，再通过解方程组1222y x y x t⎧=⎪⎨⎪=-⎩得N （42t,t 33），接着利用三角形面积公式，利用S △AMN =S △AOM -S △NOM 得到AMN 112S 4t t t 223∆=⋅⋅-⋅⋅然后根据二次函数的性质解决问题； （3）设Q 213m,m m 42⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据相似三角形的判定方法，当PQ PO OC AC=时，△PQO ∽△COA ，则213m m 2|m |42-=；当PQ POAC OC=时，△PQO ∽△CAO ，则2131m m m 422-=，然后分别解关于m 的绝对值方程可得到对应的P 点坐标． 【详解】解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x ＝3， ∴B 点坐标为（6，0），设抛物线解析式为y ＝ax （x ﹣6）， 把A （8，4）代入得a•8•2＝4，解得a ＝14， ∴抛物线解析式为y ＝14x （x ﹣6），即y ＝14x 2﹣32x ； （2）设M （t ，0），易得直线OA 的解析式为y ＝12x ， 设直线AB 的解析式为y ＝kx+b ， 把B （6，0），A （8，4）代入得6084k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得k 2b 12=⎧⎨=-⎩， ∴直线AB 的解析式为y ＝2x ﹣12，∵MN ∥AB ，∴设直线MN 的解析式为y ＝2x+n ，把M （t ，0）代入得2t+n ＝0，解得n ＝﹣2t ，∴直线MN 的解析式为y ＝2x ﹣2t ， 解方程组1222y x y x t ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得4323x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则42N t,t 33⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴S △AMN ＝S △AOM ﹣S △NOM1124t t t 223=⋅⋅-⋅⋅ 21t 2t 3=-+ 21(t 3)33=--+， 当t ＝3时，S △AMN 有最大值3，此时M 点坐标为（3，0）；（3）设213m,m m 42⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∵∠OPQ ＝∠ACO ，∴当PQ PO OC AC =时，△PQO ∽△COA ，即PQ PO 84=， ∴PQ ＝2PO ，即213m m 2|m |42-=， 解方程213m m 2m 42-=得m 1＝0（舍去），m 2＝14，此时P 点坐标为（14，0）； 解方程213m m 2m 42-=-得m 1＝0（舍去），m 2＝﹣2，此时P 点坐标为（﹣2，0）； ∴当PQ PO AC OC =时，△PQO ∽△CAO ，即PQ PO 48=， ∴PQ ＝12PO ，即2131m m m 422-=， 解方程2131m m m 422=-=得m 1＝0（舍去），m 2＝8，此时P 点坐标为（8，0）；解方程2131m m m 422=-=-得m 1＝0（舍去），m 2＝4，此时P 点坐标为（4，0）； 综上所述，P 点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）或（8，0）．【点睛】 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；灵活运用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．7．如图，抛物线22y ax bx =++交x 轴于A (1,0)-，(4,0)B 两点，交y 轴于点C ，与过点C 且平行于x 轴的直线交于另一点221(6)()82x x -+=，点P 是抛物线上一动点． （1）求抛物线解析式及点D 的坐标；（2）点E 在x 轴上，若以A ，E ，D ，P 为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P 的坐标；（3）过点P 作直线CD 的垂线，垂足为Q ，若将CPQ 沿CP 翻折，点Q 的对应点为Q '．是否存在点P ，使Q '恰好落在x 轴上？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）213222y x x =-++；点D 坐标为(32)，； （2）P 1(0,2)； P 2(412,-2)；P 3(3412-,-2) ; （3）满足条件的点P 13 132），（13-132）． 【解析】【分析】1)用待定系数法可得出抛物线的解析式,令y=2可得出点D 的坐标(2)分两种情况进行讨论,①当AE 为一边时,AE ∥PD,②当AE 为对角线时,根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等,求解点P 坐标(3)结合图形可判断出点P 在直线CD 下方,设点P 的坐标为(a ，213222a a -++),分情况讨论,①当P 点在y 轴右侧时,②当P 点在y 轴左侧时,运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可【详解】解：（1）∵抛物线22y ax bx =++经过A (10)-，，B (40)，两点， ∴2016420a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：12a =-，32b =， ∴抛物线解析式为：213222y x x =-++； 当2y =时，2132222x x -++=，解得：13x =，20x =（舍），即：点D 坐标为(32)，．（2）∵A ，E 两点都在x 轴上，∴AE 有两种可能：①当AE 为一边时，AE ∥PD ，此时点P 与点C 重合（如图1），∴1(0,2)P ， ②当AE 为对角线时，P 点、D 点到直线AE （即x 轴）的距离相等，∴P 点的纵坐标为2-（如图2），把2y =-代入抛物线的解析式，得：2132222x x -++=-， 解得：13412x =，23412x =， ∴P 点的坐标为3+41(2)-，341(2)2-， 综上所述：1(0,2)P ； 2P 3+412)-；3P 341(2)2- ． （3）存在满足条件的点P ，显然点P 在直线CD 下方，设直线PQ 交x 轴于F ， 点P 的坐标为（a ，213222a a -++）， ①当P 点在y 轴右侧时（如图3），p CQ x a ==，2132(2)22c p PQ y y a a =-=--++=21322a a -， 又∵CQ O FQ P ''∠+∠=18018090CQ P PQC '︒-∠=︒-∠=︒，90CQ O OCQ ''∠+∠=︒∴FQ P OCQ ''∠=∠,又90COQ Q FP ''∠=∠=︒，∴COQ Q FP ''， ∴'''Q C Q P CO Q F=， ∵Q C CQ a '==，2CO =，Q P PQ '==21322a a -，∴213222'a a a Q F-=，∴'3Q F a =-，∴(3)OQ OF Q F a a ''=-=--3=，CQ ＝CQ '2222'2313CO OQ +=+= 即13a =，∴点p 139132-）， ②当p 点在y 轴左侧时（如图4），此时0a <，2132022a a -++<，CQ ＝P x ＝a -， PQ ＝2－（213222a a -++）＝21322a a -， 又∵90CQ O FQ P CQ P PQC '''∠+∠=∠=∠=︒，90CQ O OCQ ''∠+∠=︒， ∴FQ P OCQ ''∠=∠，又90COQ Q FP ''∠=∠=︒∴COQ Q FP ''，∴'''Q C Q P CO Q F=， ∵Q C CQ a '==-，2CO =，Q P PQ '==21322a a -， ∴213222'a a a Q F--=，∴'3Q F a =-， ∴3()3OQ Q F OF a a ''=-=---=，CQ ＝CQ '2222'2313CO OQ +=+= 此时13a =P 的坐标为（13913--）． 综上所述，满足条件的点P 139132-+），（13-913--）． 【点睛】此题考查二次函数综合题，解题关键在于运用待定系数法的出解析式，难度较大8．（12分）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=1 6-x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3 m，到地面OA的距离为172m.（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=16-x2+2x+4，拱顶D到地面OA的距离为10 m；(2)两排灯的水平距离最小是3．【解析】【详解】试题分析：根据点B和点C在函数图象上，利用待定系数法求出b和c的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0）），然后求出当x=2或x=10时y的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；将y=8代入函数，得出x的值，然后进行做差得出最小值．试题解析：（1）由题知点17(0,4),3,2B C⎛⎫⎪⎝⎭在抛物线上所以41719326cb c=⎧⎪⎨=-⨯++⎪⎩，解得24bc=⎧⎨=⎩，所以21246y x x=-++所以，当62bxa=-=时，10ty=≦答：21246y x x=-++，拱顶D到地面OA的距离为10米（2）由题知车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0））当x=2或x=10时，2263y =>，所以可以通过 （3）令8y =，即212486x x -++=，可得212240x x -+=，解得12623,623x x =+=-1243x x -=答：两排灯的水平距离最小是43考点：二次函数的实际应用．9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、()2,0B ，交y 轴于点()0,6C ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .（1）求二次函数的表达式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE ∆面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由.【答案】（1）二次函数的解析式为233642y x x =--+；（2）当23x =-时，ADE ∆的面积取得最大值503；（3）P 点的坐标为()1,1-，(1,11-，(1,219--. 【解析】分析：（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；（2）根据函数解析式设出点D 坐标，过点D 作DG ⊥x 轴，交AE 于点F ，表示△ADE 的面积，运用二次函数分析最值即可；（3）设出点P 坐标，分PA =PE ，PA =AE ，PE =AE 三种情况讨论分析即可．详解：（1）∵二次函数y =ax 2+bx +c 经过点A （﹣4，0）、B （2，0），C （0，6），∴1640 4206a b ca b cc-+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：3 4 3 26abc⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，所以二次函数的解析式为：y=233642x x--+；（2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直线解析式为y=122x--，过点D作DN⊥x轴，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为H，如图，设D（m，233642m m--+），则点F（m，122m--），∴DF=233642m m--+﹣（122m--）=2384m m--+，∴S△ADE=S△ADF+S△EDF=12×DF×AG+12DF×EH=12×DF×AG+12×DF×EH=12×4×DF=2×（2384m m--+）=23250233m-++（），∴当m =23-时，△ADE 的面积取得最大值为503． （3）y =233642x x --+的对称轴为x =﹣1，设P （﹣1，n ），又E （0，﹣2），A （﹣4，0），可求PA =29n +，PE =212n ++（），AE =16425+=，分三种情况讨论： 当PA =PE 时，29n +=212n ++（），解得：n =1，此时P （﹣1，1）； 当PA =AE 时，29n +=16425+=，解得：n =11±，此时点P 坐标为（﹣1，11±）；当PE =AE 时，212n ++（）=16425+=，解得：n =﹣219±，此时点P 坐标为：（﹣1，﹣219±）．综上所述：P 点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，11±），（﹣1，﹣219±）． 点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会运用二次函数分析三角形面积的最大值，会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解决此题的关键．10．如图1，抛物线y=ax 2+2x+c 与x 轴交于A （﹣4，0），B （1，0）两点，过点B 的直线y=kx+23分别与y 轴及抛物线交于点C ，D ． （1）求直线和抛物线的表达式； （2）动点P 从点O 出发，在x 轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，△PDC 为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t 的值；（3）如图2，将直线BD 沿y 轴向下平移4个单位后，与x 轴，y 轴分别交于E ，F 两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M ，在直线EF 上是否存在点N ，使DM+MN 的值最小？若存在，求出其最小值及点M ，N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为：y=228233x x +-，BD 解析式为y=﹣2233x +；（2）t 的值为49、151296±、233．（3）N 点坐标为（﹣2，﹣2），M 点坐标为（﹣32，﹣54），213. 【解析】分析：（1）利用待定系数法求解可得；（2）先求得点D的坐标，过点D分别作DE⊥x轴、DF⊥y轴，分P1D⊥P1C、P2D⊥DC、P3C⊥DC三种情况，利用相似三角形的性质逐一求解可得；（3）通过作对称点，将折线转化成两点间距离，应用两点之间线段最短．详解：（1）把A（﹣4，0），B（1，0）代入y=ax2+2x+c，得168020a ca c-+=⎧⎨++=⎩，解得：2383ac⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴抛物线解析式为：y=228233x x+-，∵过点B的直线y=kx+23，∴代入（1，0），得：k=﹣23，∴BD解析式为y=﹣2233x+；（2）由2282332233y x xy x﹣⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得交点坐标为D（﹣5，4），如图1，过D作DE⊥x轴于点E，作DF⊥y轴于点F，当P1D⊥P1C时，△P1DC为直角三角形，则△DEP1∽△P1OC，∴DEPO=PEOC，即4t=523t-，解得t=151296±，当P2D⊥DC于点D时，△P2DC为直角三角形由△P2DB∽△DEB得DBEB=2P BDB，即52=52，解得：t=233；当P3C⊥DC时，△DFC∽△COP3，∴DFOC =3CFP O，即523=103t，解得：t=49，∴t的值为49、151296±、233．（3）由已知直线EF解析式为：y=﹣23x﹣103，在抛物线上取点D的对称点D′，过点D′作D′N⊥EF于点N，交抛物线对称轴于点M过点N作NH⊥DD′于点H，此时，DM+MN=D′N最小．则△EOF∽△NHD′设点N坐标为（a，﹣21033a-），∴OENH =OFHD'，即52104()33a---=1032a-，解得：a=﹣2，则N点坐标为（﹣2，﹣2），求得直线ND′的解析式为y=32x+1，当x=﹣32时，y=﹣54，∴M点坐标为（﹣32，﹣54），此时，DM+MN点睛：本题是二次函数和几何问题综合题，应用了二次函数性质以及转化的数学思想、分类讨论思想．解题时注意数形结合．。
二次函数综合练习题(含答案)
二次函数综合练习题一、选择题1．（2013江苏苏州，6，3分）已知二次函数y ＝x 2－3x ＋m （m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为(1，0)，则关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0的两实数根是（ ）．A ．x 1＝1，x 2＝－1B ．x 1＝1，x 2＝2C ．x 1＝1，x 2＝0D ．x 1＝1，x 2＝3【答案】B ．【解析】∵二次函数y ＝x 2－3x ＋m 的图象与x 轴的一个交点为（1，0），∴0＝12－3＋m ，解得m ＝2，∴二次函数为y ＝x 2－3x ＋2．设y ＝0，则x 2－3x ＋2＝0．解得x 2＝1，x 2＝2，这就是一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0的两实数根．所以应选B ．【方法指导】考查一元二次方程的根、二次函数图象与x 轴交点的关系．当b 2－4ac ≥0时，二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象与x 轴的两个交点的横坐标是一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的两个根．【易错警示】因审题不严，容易错选；或因解方程出错而错选．2．（2013江苏扬州，8，3分）方程0132=-+x x 的根可视为函数3+=x y 的图象与函数x y 1=的图象交点的横坐标，则方程3210x x +-=的实根0x 所在的范围是（ ）． A ．4100<<x B ．31410<<x C ．21310<<x D ．1210<<x 【答案】C ．【解析】首先根据题意推断方程x 3＋2x －1=0的实根是函数y =x 2＋3与xy 1=的图象交点的横坐标，再根据四个选项中x 的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程x 3＋2x －1=0的实根x 0所在范围．解：依题意得方程x 3＋2x －1=0的实根是函数y =x 2＋2与xy 1=的图象交点的横坐标，这两个函数的图象如图所示，它们的交点在第一象限．当x =14时，y =x 2＋2=2116，1y x==4，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当x =13时，y =x 2＋2=219，1y x==3，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当x =12时，y =x 2＋2=214，1y x ==2，此时抛物线的图象在反比例函数上方；当x =1时，y =x 2＋2=3，1y x==1，此时抛物线的图象在反比例函数上方． 所以方程3210x x +-=的实根0x 所在的范围是21310<<x ． 所以应选C ．要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．【易错警示】不会得出函数解析式，不会观察图象而出错．3. （2013重庆市(A )，12，4分）一次函数y ＝ax ＋b （a ≠0）、二次函数y ＝ax 2＋bx 和反比例函数y ＝k x(k ≠0)在同一直角坐标系中的图象如图所示，A 点的坐标为(－2，0)．则下列结论中，正确的是（）A ．b ＝2a ＋kB ．a ＝b ＋kC ．a ＞b ＞0D ．a ＞k ＞0【答案】D ．【解析】∵一次函数与二次函数的图象交点A 的坐标为（－2，0），∴－2a ＋b ＝0，∴b ＝2a ．又∵抛物线开口向上，∴a ＞0，则b ＞0．而反比例函数图象经过第一、三象限，∴k ＞0． ∴2a ＋k ＞2a ，即b ＜2a ＋k ．故A 选项错误．假设B 选项正确，则将b ＝2a 代入a ＝b ＋k ，得a ＝2a ＋k ，a ＝－k ．又∵a ＞0，∴－k ＞0，即k ＜0，这与k ＞0相矛盾，∴a ＝b ＋k 不成立．故B 选项错误．再由a ＞0，b ＝2a ，知a ，b 两数均是正数，且a ＜b ，∴b ＞a ＞0．故C 选项错误． 这样，就只有D 选项正确．【方法指导】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数的图象，属于图象共存型问题．解决这类问题的关键是熟练掌握这三类函数的图象及性质，能根据图象所在象限的位置准确判断出各系数的符号．上面解法运用的是排除法，至于D 为何正确，可由二次函数y ＝ax 2＋bx 与反比例函数y ＝k x (k ≠0)的图象，知当x ＝－2b a ＝－22a a＝－1时，y ＝－k ＞－24b a ＝－244a a＝－a ，即k ＜a ．又因为a ＞0，k ＞0，所以a ＞k ＞0． 【易错警示】二次函数a 、b 、c 的符号的确定与函数图象的关系混淆不清．4. （2013湖南益阳，7，4分）抛物线1)3(22+-=x y 的顶点坐标是（ ）A ．(3，1)B ．(3，－1)C ．(－3，1)D ．(－3，－1)【答案】：A【解析】抛物线2()y a x h k =-+的顶点是（h ，k ）【方法指导】求一个抛物线的顶点可以先把二次函数配方，再得到顶点坐标；也可以利用顶点公式24(,)24b ac ba a--求顶点坐标。
二次函数综合问题之抛物线与直线交点个数问题
二次函数综合问题之抛物线与直线交点个数1．（2014•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）．（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD 与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．代入得：，坐标代入得：k=y=，．2．（2011•石景山区二模）已知：抛物线与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴交于C（0，4）．（1）求抛物线顶点D的坐标；（2）设直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可以平移多少个单位长度，向下最多可以平移多少个单位长度？，x）y=，得﹣﹣，∴向下最多可平移个单位，向下最多可平移3．（2013•丰台区一模）二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，其顶点坐标为M（1，﹣4）．（1）求二次函数的解析式；（2）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线y=x+n与这个新图象有两个公共点时，求n的取值范围．n=，或﹣4．（2009•北京）已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k﹣1=0有实数根，k为正整数．（1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2x2+4x+k﹣1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+b（b＜k）与此图象有两个公共点时，b的取值范围．y=x+b．，方程y=；y=﹣）的取值范围为．y=x+b．x+b．而在此中间即为两个交点，此时﹣＜．x+b y=x+b y=综上，﹣＜5．（2012•东城区二模）已知关于x的方程（1﹣m）x2+（4﹣m）x+3=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）若正整数m满足8﹣2m＞2，设二次函数y=（1﹣m）x2+（4﹣m）x+3的图象与x轴交于A、B两点，将此图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线y=kx+3与此图象恰好有三个公共点时，求出k的值（只需要求出两个满足题意的k值即可）．6．在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+mx+m2﹣3m+2与x轴的交点分别为原点O和点A，点B（4，n）在这条抛物线上．（1）求B点的坐标；（2）将此抛物线的图象向上平移个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+b与此图象有两个公共点时，b的取值范围．时，﹣==0x×）∵抛物线的图象向上平移个单位，；）联立得，﹣x=x+b，，则﹣x=0y=）时，×，y=x+b或．7．关于x的二次函数y=x2+2x+k﹣1的图象与x轴有交点，k为正整数．（1）求k的值；（2）当关于x的二次函数y=x2+2x+k﹣1与x轴的交点的横坐标均是负整数时，将关于x的二次函数y=x2+2x+k﹣1的图象向下平移4个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线y=（b＜3）与此图象有两个公共点时，b的取值范围．y=x+by=；y=﹣）的取值范围为：﹣．8．（2014•东城区一模）已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（4m+1）x+3m+3=0 （m＞1）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＞x2），若y是关于m的函数，且y=x1﹣3x2，求这个函数的解析式；（3）将（2）中所得的函数的图象在直线m=2的左侧部分沿直线m=2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当关于m的函数y=2m+b的图象与此图象有两个公共点时，b的取值范围．x=，=3=1+＜＜=1+，1+，（﹣﹣，﹣）﹣﹣＜﹣9．（2013•门头沟区一模）已知关于x的一元二次方程．（1）求证：无论m取任何实数，方程都有两个实数根；（2）当m＜3时，关于x的二次函数的图象与x轴交于A、B 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且2AB=3OC，求m的值；（3）在（2）的条件下，过点C作直线l∥x轴，将二次函数图象在y轴左侧的部分沿直线l翻折，二次函数图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，记为G．请你结合图象回答：当直线与图象G只有一个公共点时，b的取值范围．××时，则x y=y=x﹣＜﹣．。
运用数学思想解决二次函数一次函数及方程等综合问题
运用数学思想解决二次函数一次函数及方程等综合问题数学思想是解决各种数学问题的基础，数学的各个分支都离不开数学思想。
二次函数、一次函数和方程是高中数学中的重要内容，其中许多问题需要运用数学思想才能得以解决。
一、二次函数问题1、最值问题对于二次函数$f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)$，最值问题是常见的问题之一。
通过求导或者配方法可以得到二次函数的顶点坐标。
但是，在实际问题中，经常需要通过变量代换或者条件限制等方式来解决最值问题。
例如，某面积为$S$的矩形中，正好能容纳一个底边长为$x$的半圆形，问该矩形的长和宽分别为多少？解：设矩形的长和宽分别为$l$和$w$，则根据题意得到方程$\frac{πx^2}{4}=lw$。
要求矩形的长和宽的和最小，可以将$l+w$作为新的变量，即求$f(l,w)=l+w$的最小值。
将$l$用$\frac{πx^2}{4w}$表示代入函数中，得到$f(\frac{πx^2}{4w},w)=\frac{πx^2}{4w}+w$，对变量$w$求导，得到$\frac{df}{dw}=-\fr ac{πx^2}{4w^2}+1$。
令$\frac{df}{dw}=0$，得到$w=\frac{πx^2}{4}$。
将$w$代入原方程，解得$l=x$，因此矩形的长和宽分别为$\frac{πx}{2}$和$\frac{x}{2}$。
2、交点问题对于两个二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$和$g(x)=dx^2+ex+f$，交点问题是常见的问题之一。
可以通过解方程或者配方法求解交点。
例如，已知$f(x)=x^2+2x+3$和$g(x)=3x^2-2x+5$，问两个函数有几个交点？解：将两个函数相减得到$h(x)=2x^2-4x+2=2(x-1)^2$，因此两个函数如果有交点，则交点的横坐标为$x=1$。
将$x=1$代入任一函数即可求得交点，$f(1)=6$，$g(1)=6$，因此两个函数有一个交点$(1,6)$。
高一数学函数
二次函数压轴综合问题（1）【考点】二次函数有关计算与推理综合问题1.（2020•杭州）在平面直角坐标系中，设二次函数y 1＝x 2+bx +a ，y 2＝ax 2+bx +1（a ，b 是实数，a ≠0）．（1）若函数y 1的对称轴为直线x ＝3，且函数y 1的图象经过点（a ，b ），求函数y 1的表达式．（2）若函数y 1的图象经过点（r ，0），其中r ≠0，求证：函数y 2的图象经过点（1r ，0）． （3）设函数y 1和函数y 2的最小值分别为m 和n ，若m +n ＝0，求m ，n 的值．2.（2020•温州）已知抛物线y ＝ax 2+bx +1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．（1）求a ，b 的值．（2）若（5，y 1），（m ，y 2）是抛物线上不同的两点，且y 2＝12﹣y 1，求m 的值．3.（2019•杭州）设二次函数y ＝（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）（x 1，x 2是实数）．（1）甲求得当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝0；乙求得当x =12时，y =−12．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x 1，x 2的代数式表示）．（3）已知二次函数的图象经过（0，m ）和（1，n ）两点（m ，n 是实数），当0＜x 1＜x 2＜1时，求证：0＜mn ＜116．（2022杭州中考真题）9.已知二次函数y＝x2+ax+b（a，b为常数），命题①：该函数的图象经过点（1，0）；命题②：该函数的图象经过点（3，0）；命题③：该函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧；命题④：该函数的图象的对称轴为直线x=1.如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是（）A．命题①B．命题②C．命题③D．命题④22.设二次函数y＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m ﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．4.（2020•下城区模拟）已知点A（1，1）为函数y＝ax2+bx+4（a，b为常数，且a≠0）上一点．（1）用a的代数式表示b；（2）若1≤a≤2，求−b2a的范围；（3）在（2）的条件下，设当1≤x≤2时，函数y＝ax2+bx+4的最大值为m，最小值为n，求m ﹣n（用a的代数式表示）．5.（2020•拱墅区校级一模）已知一次函数y1＝2x+b的图象与二次函数y2＝a（x2+bx+1）（a≠0，a、b为常数）的图象交于A、B两点，且A的坐标为（0，1）．（1）求出a、b的值，并写出y1，y2的表达式；（2）验证点B的坐标为（1，3），并写出当y1≥y2时，x的取值范围；（3）设u＝y1+y2，v＝y1﹣y2，若m≤x≤n时，u随着x的增大而增大，且v也随着x的增大而增大，求m的最小值和n的最大值．6.（2020•上城区模拟）已知函数y＝﹣x2+bx+c（其中b，c是常数）（1）四位同学在研究此函数时，甲发现当x＝0时，y＝5；乙发现函数的最大值为9；丙发现函数图象的对称轴是直线x＝2；丁发现4是方程﹣x2+bx+c＝0的一个根．已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，请直接写出错误的那个人是谁，并求出此函数表达式；（2）在（1）的条件下，函数y＝﹣x2+bx+c的图象顶点为A，与x轴正半轴交点为B，与y轴的交点为C，若将该图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；（3）若c＝b2，当﹣2≤x≤0时，函数y＝﹣x2+bx+c的最大值为5，求b的值．7.（2020•拱墅区四模）在平面直角坐标系xOy中，直线y1＝kx+1（k≠0）经过点A（2，3），与抛物线y2＝ax2+bx+a的对称轴交于点C（m，2）．（1）求m的值；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）设函数y＝y2﹣y1，已知函数y的图象有P（m1，n1）和Q（m2，n2）两点，且当m1＜m2≤2时，始终都有n1＞n2，求a的取值范围．8.（2020•杭州模拟）已知：关于x的方程mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3＝0．（1）求证：m取任何实数量，方程总有实数根；（2）若二次函数y1＝mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3的图象关于y轴对称；①求二次函数y1的解析式；②已知一次函数y2＝2x﹣2，证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1≥y2均成立；（3）在（2）条件下，若二次函数y3＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣5，0），且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立，求二次函数y3＝ax2+bx+c 的解析式．圆的有关计算与证明问题（1）【考点1】圆中有关角的计算问题【例1】（2020•金华）如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，̂上一点，则∠EPF的度数是（）P是DFA．65°B．60°C．58°D．50°【变式1-1】（2020•绍兴）如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，∠BAC＝15°，∠CED＝30°，则∠BOD的度数为（）A．45°B．60°C．75°D．90°【变式1-2】（2020•杭州）如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（）A．3α+β＝180°B．2α+β＝180°C．3α﹣β＝90°D．2α﹣β＝90°【变式1-3】（2019•台州）如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE．若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为°．【考点2】切线的有关线段计算问题【例2】（2020•温州）如图，菱形OABC 的顶点A ，B ，C 在⊙O 上，过点B 作⊙O 的切线交OA 的延长线于点D ．若⊙O 的半径为1，则BD 的长为（ ）A ．1B ．2C ．√2D ．√3【变式2-1】（2019•舟山）如图，已知⊙O 上三点A ，B ，C ，半径OC ＝1，∠ABC ＝30°，切线P A 交OC 延长线于点P ，则P A 的长为（ ）A ．2B ．√3C ．√2D ．12 【变式2-2】（2019•台州）如图，等边三角形ABC 的边长为8，以BC 上一点O 为圆心的圆分别与边AB ，AC 相切，则⊙O 的半径为（ ）A ．2√3B ．3C ．4D ．4−√3【考点3】扇形与弧长的有关计算问题【例3】（2020•湖州）如图，已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD 是⊙O 的直径，连接BD ，BC 平分∠ABD ．（1）求证：∠CAD ＝∠ABC ；（2）若AD ＝6，求CD̂的长．̂的长【变式3-1】（2020•宁波）如图，折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，图中AB为cm（结果保留π）．̂的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°．【变式3-2】（2020•金华）如图，AB（1）求弦AB的长．̂的长．（2）求AB【考点4】圆中有关计算与证明综合问题【例4】（2020•杭州）如图，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF．（1）设⊙O的半径为1，若∠BAC＝30°，求线段EF的长．（2）连接BF，DF，设OB与EF交于点P，①求证：PE＝PF．②若DF＝EF，求∠BAC的度数．【变式4-1】（2020•余杭区模拟）如图，等腰△ABC两边AB，AC分别交⊙O于点D，E，点A在⊙O外，点B，C在⊙O上（不与D，E重合），连接BE，DE．已知∠A＝∠EBC．设BCAB=k（0＜k＜1）．（1）若∠A＝50°，求DÊ的度数．（2）若k=23，求S△BDES△ABC的值．（3）设△ABC，△ADE，△BEC的周长分别为c，c1，c2，求证：1＜c1+c2c≤54．【变式4-2】（2019•金华）如图，在▱OABC中，以O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点B，与OC相交于点D．（1）求BD̂的度数．（2）如图，点E在⊙O上，连结CE与⊙O交于点F，若EF＝AB，求∠OCE的度数．【巩固练习】1．（2020•西湖区二模）如图，AD，AE，BC分别切⊙O于点D，E，F，若△ABC的周长为48，则AD的长是．2．（2020•瑞安市模拟）已知扇形的面积为12π．圆心角为120°，则它的半径为．3．（2020•平阳县二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，若AC＝AD，且∠DAC＝50°，则∠B的度数为．4．（2020•柯桥区模拟）在Rt△ABC中，∠B＝90°，CE平分∠BCA交AB于点E，在AC上取一点O，以OC为半径的圆恰好经过点E，且分别交AC，BC于点D，F，连接DE，EF．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若AD＝2，OC＝3；①求△AEC的面积；②求EF的长．5.如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，连接AO并延长，交BC于点D，OE⊥BC于点E．设∠B＝α，∠C＝β，∠DOE＝γ，α＜β，则α，β，γ的关系正确的是（）A．β+γ＝2αB．α+β﹣γ＝90°C．α+β+γ＝180°D．α+γ＝β。
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高一数学二次函数的综合问题人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：二次函数的综合问题二. 教学重难点：含有参数的或在给定区间上的二次函数问题，讨论可化为二次函数的问题及二次函数与方程，不等式的综合问题。
【典型例题】[例1] 求函数)(a x x y --=在]1,1[-∈x 上的最大值。
解：函数4)2(22a a x y +--=图象的对称轴方程为2a x =，应分121≤≤-a ，12-<a，12>a即22≤≤-a ，2-<a 和2>a 这三种情形讨论，下列三图分别为（1）2-<a ；（2）a ≤-22≤；（3） 2>a 时的草图。
由图易知：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤--<-=2,)1(22,)2(2,)1(a f a af a f y 最大；即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤--<+-=2,122,42,)1(2a a a a a a y 最大[例2] 已知函数)()1()(2R m m x m x x f ∈++-=（1）设A 、B 是ABC ∆的两个锐角，且A tan 、B tan 是方程04)(=+x f 的两个实根，求证：5≥m ；（2）当3≥m 时，函数)(sin αf 的最大值是8，求m 的值。
证明：（1）方程04)(=+x f 即为04)1(2=+++-m x m x依题意，得⎪⎩⎪⎨⎧>+=⋅>+=+≥+-+=∆04tan tan 01tan tan 0)4(4)1(2m B A m B A m m ⎪⎩⎪⎨⎧->->≥-≤⇒4153m m m m 或5≥⇒m（2）∵ 4)1()21(sin sin )1(sin )(sin 222+-++-=++-=m m m m m f αααα ∵ 3≥m 而221≥+m ∴ 当1sin -=α时，)(sin αf 取得最大值22+m 由题意知822=+m ∴ 3=m[例3] 已知函数c bx x x f ++=2)(（b 、R c ∈，2-≥c ），c x f x F -=)()(，当]2,2[-∈x 时，恒有0)(≤x f ，且对于任意实数1x 、2x ，总有)()(2121x x F x x F -++)]()([221x F x F +=，求函数)(x f 的解析式。
解：由bx x x F +=2)(，得F （0）=0在)]()([2)()(212121x F x F x x F x x F +=-++中，令01=x ，x x -=2 得)]()0([2)()(x F F x F x F -+=+- ∴ )()(x F x F -= ∴ )(x F 是偶函数因此0=b ∴ c x x f +=2)( 又)(x f 在]2,2[-上恒有0)(≤x f所以0)2()2(≤=-f f ，即02≤+c ，亦即2-≤c 又 2-≥c ∴ 2-=c ，故)(x f 22-=x[例4] 已知二次函数)(x f 满足条件1)0(=f 及x x f x f 2)()1(=-+（1）求)(x f ；（2）求)(x f 在区间]1,1[-上的最大值和最小值 解：（1）设c bx ax x f ++=2)(，由1)0(=f ，可知1=c∵ b a ax c bx ax c x b x a x f x f ++=++-++++=-+2)(])1()1([)()1(22 故由x x f x f 2)()2(=-+得22=a ，0=+b a 因而1=a ，1-=b 所以1)(2+-=x x x f （2）43)21(1)(22+-=+-=x x x x f ∵]1,1[21-∈，所以当21=x 时，)(x f 的最小值为43 当1-=x 时，)(x f 的最大值为3)1(=-f[例5]（1（2（3解：（1）根据函数图象得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+-≤≤+-=2520,6512016,741p p p p q（2）设月利润为W （万元），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<--+-≤≤--+-=--=2520,8.6)16)(651(2016,8.6)16)(741(8.6)16(p p p p p p q p W当2016≤≤p 时，2.2)22(412+--=p W 故20=p 时，2.1max =W当2520≤<p 时，3)23(512+--=p W ，故23=p 时，3max =W ∴ 当售价定为23元/件时，月利润最多为3万元。
（3）设最早n 个月后还清转让费，则583≥n ，20≥n ∴ 企业乙最早可望20个月后还清转让费。
[例6] 是否存在常数R k ∈，使函数)2()2()(24k x k x x f -+-+=在]1,(--∞上是减函数且在)0,1[-上是增函数？解法1：设2x t =，则原函数转化为)2()2()()(2k t k t t h x f -+-+==那么问题就等价于是否存在常数R k ∈，使函数)2()2()(2k t k t t h -+-+=在]1,0(上是减函数且在),1[∞+上是增函数，根据二次函数的性质知，只需122=--k，故4=k 解法2：任取121-≤<x x ，则)()(12x f x f - ))(2(21224142x x k x x --+-= )2)((21222122k x x x x -++-= )2)()((21221221k x x x x x x -++-+=由)(x f 在]1,(--∞上是减函数可知，对任意的121-≤<x x （*）0<恒成立 所以有022122>-++k x x 恒成立，即22122++<x x k 恒成立 ∵ 121-≤<x x ∴ 421122122=++>++x x 因此，当4≤k 时，（*）0<恒成立即当4≤k 时，函数)(x f 在]1,(--∞上是减函数 仿上可得当4≥k 时，函数)(x f 在)0,1[-上是增函数故存在常数4=k ，使函数)2()2()(24k x k x x f -+-+=在]1,(--∞上是减函数，且在)0,1[-上是增函数。
[例7] 已知函数xa x x x f ++=2)(2，),1[∞+∈x（1）当21=a 时，求函数)(x f 的最小值； （2）若对任意),1[∞+∈x ，0)(>x f 恒成立，试求实数a 的取值范围 解：（1）当21=a 时，221)(++=xx x f ，先证)(x f 在区间),1[∞+上为增函数（略） ∴ )(x f 在区间),1[∞+上的最小值为27)1(=f（2）解法1：在区间),1[∞+上，02)(2>++=xax x x f 恒成立 022>++⇔a x x 恒成立，1)1(222-++=++=a x a x x y 在),1[∞+上递增∴ 当1=x 时，a y +=3min于是当且仅当03min >+=a y 时，函数0)(>x f 恒成立，故3->a 解法2：2)(++=xax x f ，),1[∞+∈x ，当0≥a 时，函数)(x f 的值恒为正 当0<a 时，函数)(x f 递增，故当1=x 时，a x f +=3)(min 于是当且仅当03)(min >+=a x f 时，函数0)(>x f 恒成立 故30->>a ，综上，a 的取值范围是3->a[例8] 已知函数c bx ax x f ++=2)(（c b a >>）的图象上有两点A （1m ，)(1m f ）、B （2m ，)(2m f ），且满足0)1(=f ，0)()())()((21212=⋅+⋅++m f m f a m f m f a 。
（1）求证：0≥b（2）求证：)(x f 的图象被x 轴所截得的线段长的取值范围是)3,2[ 证明：（1）0)()()]()([21212=+++m f m f a m f m f a即0)]()][([21=++m f a m f a ∴ a m f -=)(1或a m f -=)(2∴ 1m 或2m 是a x f -=)( 即02=+++a c bx ax 的实根于是0≥∆即)(42c a a b +≥ ∵ 0)1(=f ∴ 0=++c b a 将b c a -=+代入上述不等关系，得042≥+ab b ，即0)4(≥+a b b ，又c b a >>∴ 必有0>a ，0<c （否则与0=++c b a 矛盾） ∴ 034>-=+c a a b ∴ 0≥b（2）设0)(2=++=c bx ax x f 两根为1x 、2x ，则一个根为1（∵ 0)1(=f ），另一根为a c ，∵ cb a >>且由上知0≥--=c a b ，∴ 0≥-->c a a ，∴ 12-≤<-ac，3||221<-≤x x【模拟试题】（答题时间：70分钟）一. 选择题：1. 设二次函数c bx ax x f ++=2)(（0≠a ），如果)()(21x f x f =（其中21x x ≠），则)2(21x x f +等于（ ） A. a b 2- B. ab- C. c D. a b ac 442-2. 二次函数ab c x b a x y 2)(222+++-=的图象的顶点在x 轴上，且a 、b 、c 为ABC ∆的三边长，则ABC ∆为（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形3. 已知函数54)(2+-=mx x x f 在区间),2[∞+-上是增函数，则)1(f 的范围是（ ） A. 25)1(≥f B. 25)1(=f C. 25)1(≤f D. 25)1(>f4.5.6. 若32)1()(2++-=mx x m x f 为偶函数，则)(x f 在区间（5-，2-）上（ ） A. 是增函数 B. 是减函数 C. 增减性随m 的变化而改变 D. 无单调性二. 填空：1. 已知函数)(|2|)(2R x b ax x x f ∈+-=，给出下列命题： ① )(x f 必为偶函数② 当)0(f )2(f =时，)(x f 的图象必关于直线1=x 对称 ③ 若02≤-b a ，则)(x f 在区间),[∞+a 上是增函数 ④ )(x f 有最大值b a -2 其中正确命题的序号是 。
2. 若3)2(2+++=x a x y ，],[b a x ∈的图象关于直线1=x 对称，则=b 。
3. 函数342++=x x y （]2,(--∞∈x ）的反函数的定义域是 。