高一数学二次函数的综合问题人教版

高一数学二次函数的综合问题人教版

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

二次函数的综合问题

二. 教学重难点：

含有参数的或在给定区间上的二次函数问题，讨论可化为二次函数的问题及二次函数与方程，不等式的综合问题。

【典型例题】

[例1] 求函数)(a x x y --=在]1,1[-∈x 上的最大值。

解：函数4)2(2

2a a x y +--=图象的对称轴方程为2a x =，应分121≤≤-a ，12-

，

12

>a

即22≤≤-a ，2-a 这三种情形讨论，下列三图分别为（1）2-

（2）a ≤-22≤；

（3） 2>a 时的草图。

由图易知：

⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧>≤≤--<-=2,)1(22,)2(2

,)1(a f a a

f a f y 最大

；即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤--<+-=2

,122,42,)1(2a a a a a a y 最大

[例2] 已知函数)()1()(2

R m m x m x x f ∈++-=

（1）设A 、B 是ABC ∆的两个锐角，且A tan 、B tan 是方程04)(=+x f 的两个实根，求证：5≥m ；

（2）当3≥m 时，函数)(sin αf 的最大值是8，求m 的值。

证明：

（1）方程04)(=+x f 即为04)1(2

=+++-m x m x

依题意，得⎪⎩

⎪

⎨⎧>+=⋅>+=+≥+-+=∆04tan tan 01tan tan 0)4(4)1(2m B A m B A m m ⎪⎩⎪⎨⎧->->≥-≤⇒4

15

3m m m m 或5≥⇒m

（2）∵ 4

)1()21(sin sin )1(sin )(sin 2

22

+-++-=++-=m m m m m f αααα ∵ 3≥m 而22

1

≥+m ∴ 当1sin -=α时，)(sin αf 取得最大值22+m 由题意知822=+m ∴ 3=m

[例3] 已知函数c bx x x f ++=2

)(（b 、R c ∈，2-≥c ），c x f x F -=)()(，当

]2,2[-∈x 时，恒有0)(≤x f ，且对于任意实数1x 、2x ，总有)()(2121x x F x x F -++

)]()([221x F x F +=，求函数)(x f 的解析式。

解：由bx x x F +=2

)(，得F （0）=0

在)]()([2)()(212121x F x F x x F x x F +=-++中，令01=x ，x x -=2 得)]()0([2)()(x F F x F x F -+=+- ∴ )()(x F x F -= ∴ )(x F 是偶函数

因此0=b ∴ c x x f +=2

)( 又)(x f 在]2,

2[-上恒有0)(≤x f

所以0)2()2(≤=-f f ，即02≤+c ，亦即2-≤c 又 2-≥c ∴ 2-=c ，故)(x f 22-=x

[例4] 已知二次函数)(x f 满足条件1)0(=f 及x x f x f 2)()1(=-+

（1）求)(x f ；

（2）求)(x f 在区间]1,1[-上的最大值和最小值 解：

（1）设c bx ax x f ++=2

)(，由1)0(=f ，可知1=c

∵ b a ax c bx ax c x b x a x f x f ++=++-++++=-+2)(])1()1([)()1(2

2 故由x x f x f 2)()2(=-+得22=a ，0=+b a 因而1=a ，1-=b 所以1)(2

+-=x x x f （2）4

3)21(1)(22+-=+-=x x x x f ∵

]1,1[21-∈，所以当21=x 时，)(x f 的最小值为4

3 当1-=x 时，)(x f 的最大值为3)1(=-f

[例5]

（1（2（3解：

（1）根据函数图象得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+-≤≤+-=2520,65

12016,74

1

p p p p q

（2）设月利润为W （万元），则

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<--+-≤≤--+-=--=2520,8.6)16)(65

1(2016,8.6)16)(74

1

(8.6)16(p p p p p p q p W

当2016≤≤p 时，2.2)22(4

1

2+--

=p W 故20=p 时，2.1max =W

当2520≤

1

2+--=p W ，故23=p 时，3max =W ∴ 当售价定为23元/件时，月利润最多为3万元。

（3）设最早n 个月后还清转让费，则583≥n ，20≥n ∴ 企业乙最早可望20个月后还清转让费。

[例6] 是否存在常数R k ∈，使函数)2()2()(2

4

k x k x x f -+-+=在]1,(--∞上是减函数且在)0,1[-上是增函数？

解法1：设2x t =，则原函数转化为)2()2()()(2

k t k t t h x f -+-+==

那么问题就等价于是否存在常数R k ∈，使函数)2()2()(2k t k t t h -+-+=在]1,0(上是减函数且在),1[∞+上是增函数，根据二次函数的性质知，只需12

2=--

k

，故4=k 解法2：任取121-≤

)()(12x f x f - ))(2(21224142

x x k x x --+-= )2)((2

1222122k x x x x -++-= )2)()((2

12

21221k x x x x x x -++-+=

由)(x f 在]1,(--∞上是减函数可知，对任意的121-≤

12

2>-++k x x 恒成立，即22

12

2++

12

2=++>++x x 因此，当4≤k 时，（*）0<恒成立

即当4≤k 时，函数)(x f 在]1,(--∞上是减函数 仿上可得当4≥k 时，函数)(x f 在)0,1[-上是增函数

故存在常数4=k ，使函数)2()2()(2

4

k x k x x f -+-+=在]1,(--∞上是减函数，且在)0,1[-上是增函数。

[例7] 已知函数x

a x x x f ++=2)(2，),1[∞+∈x