线性代数：3内积、外积、混和积
2.2向量的内积,向量积与混合积 第三章向量的线性相关性与向量空间 线性代数 课件
0 [ a c ( ) b ( b c ) a ] c
P 4例 8 2 .2 .2 设 , 为任 ,证 意 明
| | | | | |
i j k, i j j k k i 0 ,
|i | | j | |k | 1 ,
i i j j k k 1 . a b a x b x a y b y a z b z
数量积的坐标表达式
a b |a |b ||co csos ab, |a||b|
设
a a x i a y j a z k , b b x i b y j b z k ,
c c x i c y j c z k ,
(a,b,c) (a b )c
a b
x x
ay by
az bz
cx cy cz
混合积的坐标表达式
关于混合积的说明：
〔1〕向量混合积的几何意义：
(
a
,
b
向
,c
量
)
的混
(a
合
积
b)c
是
这
样 值
的 表
一 示
个 以
数 向
， 量
a它 、的b
绝、对c
abc
a
b
为棱的平行六面体的体
（ (积23). ）a (三 ,b 向 ,c量 ) a(、 a b b 、 )cc 共 面(b c ) (a a , b ( ,c c ) a ) 0.b .
c 的 方 向 既 垂 直 于 a ， 又 垂 直 于 b ， 指 向 符
合 右 手 系 . 向量积也称为“叉积〞、“外积〞.
《内积外积混合积》课件
内积具有交换律、分配律和结合 律等基本性质。
内积的性质
内积的结果是一个标量，其值在 -1到1之间，表示两向量的相似
程度。
当两向量垂直时，内积为0；当 两向量平行或同向时，内积为正 ；当两向量反向时，内积为负。
内积可以用于计算向量的投影、 角度、距离等几何量。
内积的应用
01
在线性代数中，内积用 于定义向量空间和矩阵 运算。
应用举例
通过具体的应用举例，演示内 积、外积和混合积在解决实际
问题中的应用。
02 内积（点积）
内积的定义
内积是指两个向量的点乘，其结 果是一个标量，表示两个向量的
相似程度。
内积的定义公式为：a·b = |a||b|cosθ，其中a和b是两个向 量，|a|和|b|分别是它们的模，θ
是两向量之间的夹角。
不同点
内积和外积的结果分别是标量和向量 ，而混合积的结果是标量；内积和外 积分别用于计算长度和方向，而混合 积用于计算平行和垂直关系。
课程中的难点和重点
难点
理解内积、外积和混合积的概念 和应用，掌握它们的计算方法和 技巧。
重点
掌握内积、外积和混合积的基本 性质和几何意义，理解它们在解 决实际问题中的应用。
外积与内积的关系
外积与内积之间存在一定的关系 ，即两向量的内积等于它们所构 成的平行四边形的面积在它们所
构成的平面上的投影。
外积的应用
物理应用
01
外积在物理中有广泛的应用，如描述旋转物体的角速度和线速
度之间的关系，以及磁场中电流产生的力矩等。
计算机图形学应用
02
在计算机图形学中，外积常用于计算旋转和缩放矩阵，以及实
混合积
混合积是三个向量的运算，表示一 个向量在另外两个向量构成的平面 上的投影长度。
线性代数基础知识
线性代数基础知识线性代数是数学中一个重要的分支，它主要研究向量空间、线性变换以及它们之间的关系。
以下是线性代数的一些基础知识：1. 向量：向量是具有大小和方向的量，可以表示为有序的数字集合。
在二维空间中，向量可以表示为 (a, b)，其中 a 和 b 是实数。
2. 向量空间：也称为线性空间，是一组向量的集合，这些向量满足加法和标量乘法的封闭性。
这意味着，如果两个向量属于向量空间，那么它们的和以及任何标量与向量的乘积也属于该向量空间。
3. 基：向量空间的基是一组线性无关的向量，任何该空间中的向量都可以唯一地表示为基向量的线性组合。
4. 矩阵：矩阵是一个由行和列组成的矩形数组，通常用大写字母表示。
矩阵可以表示为向量的线性变换，也可以表示为线性方程组的系数。
5. 行列式：行列式是一个数值，它与方阵相关联，可以提供关于矩阵的信息，例如矩阵是否可逆。
6. 线性方程组：线性方程组是一组线性方程，每个方程都是未知数的一次多项式。
线性方程组可以用矩阵形式表示，并且可以通过行简化或者矩阵运算来求解。
7. 特征值和特征向量：对于一个方阵 A，如果存在一个非零向量 v和一个标量λ，使得Av = λv，则λ 称为 A 的特征值，v 称为 A 的特征向量。
8. 线性变换：线性变换是从一个向量空间到另一个向量空间的函数，它保持向量加法和标量乘法。
线性变换可以用矩阵表示。
9. 内积：内积是定义在两个向量上的一个运算，它满足正定性、线性性和对称性。
在欧几里得空间中，内积通常定义为向量的点积。
10. 正交性和正交基：一组向量如果两两正交，则称为正交。
如果这组向量还是线性无关的，则称为正交基。
在正交基中，每个向量都与基中的其他向量正交。
这些基础知识构成了线性代数的核心，是理解和应用线性代数概念的基础。
几何与线性代数(第一章 几何空间中的向量)
一、研究对象及特点
1、主要围绕一个问题: 解线性方程组； 2、研究的对象是离散，一个个的，不是连续的。
比如方程组，矩阵等等。
3、很困难的一门课： 抽象，不容易理解。 4、很容易的一门课：
解决问题的方法单一，步骤固定，程序化。
5、几何与代数关系： 代数给几何提供方法；几何给代数提供直观。
则 || M0M || ???
思考2：如何找出两平面交线上的点 M0 ( x0 , y0 , z0 )
思考3：三个平面的位置关系
对 三 元 一 次 方 程 组 的 求解 ， 实 质 上 是 求 三 个 平 面 的交 点 问 题
1 : a1 x b1 y c1z d1 0, n1 (a1 , b1 , c1 ) 2 : a2 x b2 y c2z d2 0, n2 (a2 , b2 , c2 ) 3 : a3 x b3 y c3z d3 0, n3 (a3 , b3 , c3 )
一般式方程：ax+by+cz+d=0 (a2+ b2+ c20)
例：三点式方程
确定平面的条件：三个不共线的点
已 知 ：P1( x1 , y1 , z1 ), P2 ( x2 , y2 , z2 ), P3 ( x3 , y3 , z3 )
则 可 化 为 过 平 面 任 一 点P( x, y, z)，
定理： 向量 , 共线，则存在不全为零的数k1,k2 ,使得 k1 k 2 0
特别地，当|| || 1时， || ||（同向） || ||（反向）
逆否命题：设 不平行与，且k1 k2 0，
则k1 k2 0
2.共面： 平行于同一平面的向量
定理： 三 个 向 量 , ， 共 面
线性代数与空间解析几何(哈工大
20
例5：证明 (a b)2 (a b)2 a2b2 证：由内积定义知 (a b)2 | a |2 | b |2 c，os2
21
3.2.4 三个向量的混合积
1．定义（混合积）[abc] (a b)是c 个数值.
2．几何意义：[abc] V， 设 a,b不,c 共
面，| a b || a || b | sin(a, b) ， S oADB [abc] (a b) c，|当a b为|| c | cos
锐角 时， 右手a,b系,c
1
3.1 几何向量及其线性运算
3.1.1 几何向量的概念
现实生活中有这样的两种量：数量（标量）， 即仅有大小的量，如时间、长度、质量、温 度等. 向量（矢量）即不仅有大小而且还有方 向的量，如：力、速度、加速度、电场强度 等，仅知道力的大小，不了解它的方向是不 行的. 向量是研究物理学及几何学不可缺少的 工具.
( a) (mb) m(a b)
3．注：（（2）1）称a 为b 并数0 不量见积得是因中结ab必果有是个向数0量. ， 也a 可b.
（ （34） ）数量a 积b无c不意满义足. 消去律即 事实上，所以.
a b a c, a 0 b c
15
例2：用向量的数量积，证明恒等式
| a b |2 | a b |2 2 | a |2 2 | b |2
6
二、数乘向量：
为了描述向量的“伸缩”，定义实数与向 量的乘法.
1．定义：k Z, a ，0 则 是ka一个向量，与 共线a ，模 | ka || k || a与|, k 同0 向，a 时与 反向，k 0 . a 0a 0
8.4 向量的内积、外积、混合积
(a b a c b b b c ) (c a ) (a b a c b c ) (c a ) (a b ) c (a b ) a (a c ) c (a c ) a (b c ) c (b c ) a (a b ) c (b c ) a 2( a b ) c
4º 向量外积的坐标计算 设 a { a1 , a 2 , a 3 }，b { b1 , b2 , b3 } , 则 a b ( a1i a 2 j a 3 k ) ( b1i b2 j b3 k )
C F OP s in(OP ,ˆ F )
C
方向: ( OP , F , C ) 形成右手系 于是力矩 C 可表示为:
C OP F
O
P
F
a b 的几何意义 :
b
a b a b sin( a ,ˆ b )
以 a , b 为邻边的平行四边形的面积
（4）
1 (3) a a a a1 a1 a 2 a 3
2 2 2
1 a12 a 2 2 a 3 2 i a2 a1 a 2 a 3
2 2 2
( a1i a 2 j a 3 k ) j a3 a1 a 2 a 3
j
(4) 如果 a , b 0 , 则 a
b ab 0
(5)
i j k , jk i , ki j
k
线性代数总结
第一章1、矩阵乘法矩阵乘法通常满足分配律而一般不满足交换律即AB!=BAf(x),g(x)为多项式，有：f(A)g(A)=g(A)f(A)f(A)g(B)!=g(B)f(A)2、矩阵的转置（A+B)^T=A^T+B^T （AB)^T=B^TA^T（kA)^T=kA^T（A^T)^T=A若A^t=-A 称A为反对称矩阵（斜对称矩阵）任意n阶方阵都可以写成对称矩阵和反对称矩阵之和。
3、矩阵的初等变换4、逆矩阵B唯一，B的逆为A。
(AB)^(-1）=B^(-1)A^(-1）(kA)^(-1）=（1/k)A^(-1）①A可逆②AX=0只有零解③Ab=0有唯一解〔①、③即为克拉默法则〕④A≌Ⅰ（等价）最简判断方法：det!=0逆矩阵求法：（A , I）—→（I , A^(-1））5、分块矩阵（注意使用即可）第二章1、性质（①、②为矩阵的某两行）某一行全为零，det=0某两行对应元成比例，则det=0 ①→k·①，则det→k·det①→k·②+①，则det不变①←→②，则det→（-det）detA=det（A^T）detA^-1=1/detAdetAB…N=detAdetB……detN det（kA）=k^n（detA）#伴随矩阵的性质y推导基础：AA*=A*A=（detA）Ⅰ若A可逆，则A^(-1) = (1/detA)A* det(A*）=（detA)^(n-1）(kA)*=k^(n-1）A*(A*)^(-1）= A^(-1)*(A^T)* =（A*)^T(AB)* = B*A*(A*)*=(detA)^(n-2) Ar(A*)={n(rA=n),1(rA=n-1),0(rA<n-1)} 2、矩阵的秩定义：矩阵A的非零子式的最高阶数称为A的秩，零矩阵的秩为0。
性质：A可逆←→R（A）=nR（A）=0←→A=0R（A）=R（A^T）k≠0时，R（kA）=R（A）若P,Q为可逆矩阵，则R（A）=R（PA）=R（AQ）=R（PAQ）A≌B←→R（A）=R（B）（1) 有：初等变换不改变矩阵的秩经过行初等变化把矩阵换为行最简，即可得到秩。
线性代数总结知识点
线性代数总结知识点线性代数是数学的一个分支，主要研究向量、向量空间（也称为线性空间）、线性变换以及线性方程组的理论。
它是现代数学的基础工具之一，广泛应用于物理学、工程学、计算机科学、经济学和社会科学等领域。
以下是线性代数的一些核心知识点总结：1. 向量与向量运算- 向量的定义：向量可以是有序的数字列表，用于表示空间中的点或方向。
- 向量加法：两个向量对应分量相加得到新的向量。
- 标量乘法：一个向量与一个标量相乘，每个分量都乘以该标量。
- 向量的数量积（点积）：两个向量的对应分量乘积之和，用于计算向量的长度或投影。
- 向量的向量积（叉积）：仅适用于三维空间，结果是一个向量，表示两个向量平面的法向。
2. 矩阵- 矩阵的定义：一个由数字排列成的矩形阵列。
- 矩阵加法和减法：对应元素相加或相减。
- 矩阵乘法：第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数，结果矩阵的每个元素是两个矩阵对应行列的乘积之和。
- 矩阵的转置：将矩阵的行变成列，列变成行。
- 单位矩阵：对角线上全是1，其余位置全是0的方阵。
- 零矩阵：所有元素都是0的矩阵。
3. 线性相关与线性无关- 线性相关：如果一组向量中的任何一个可以通过其他向量的线性组合来表示，则这组向量是线性相关的。
- 线性无关：如果只有所有向量的零组合才能表示为零向量，则这组向量是线性无关的。
4. 向量空间（线性空间）- 定义：一组向量，它们在向量加法和标量乘法下是封闭的。
- 子空间：向量空间的子集，它自身也是一个向量空间。
- 维数：向量空间的基（一组线性无关向量）的大小。
- 基和坐标：向量空间的一组基可以用来表示空间中任何向量的坐标。
5. 线性变换- 定义：保持向量加法和标量乘法的函数。
- 线性变换可以用矩阵表示，矩阵的乘法对应线性变换的复合。
6. 特征值和特征向量- 特征值：对应于线性变换的标量，使得变换后的向量与原向量成比例。
- 特征向量：与特征值对应的非零向量，变换后的向量与原向量方向相同。
空间向量(内积、外积、混和积)
1
向量的内积
向量是一个具有很强的物理背景的概念，尤 其在流体力学、电磁场理论等中有很多的应用，
要利用向量及其运算来反映诸多物理现象中量的
关系，仅仅只有向量的线性运算就远远不够了， 还要不断充实向量的运算。这一节先引入向量的
一种乘法。
2
例: 物体放在光滑水平面上，设力 F以与水平线成θ角的方向作用于 物体上，物体产生位移S，求力F 所作的功。
D(4, 1, 2) 为顶点的四面体的体积。
以AB，AC，AD为棱的平行六面体的体积 分析: 是以三角形ABC为底面，AD为棱的三棱柱体 积的2倍，而四面体的体积是三棱柱体积的三
分之一。 所以，D-ABC的体积 VD ABC 可用混合积求
出。
32
解： 构造向量
AB (3,0,3), AC (1,1,2), AD (4,1,0),
F
S
解: 根据物理知识，F 可以分解成水平方向分力 Fx 和垂直方向分力 F y 。其中只有与位移平行的分力 Fx 作功，而 F y 不作功。 于是功W为: W=|F|cosθ|S|=|F||S|cosθ 为反映这一类物理现象，引入向量的内积。
3
内积及其运算规律 定义 两个向量α与β的内积是一个数，它等于
( ) ( )
5
例： 用向量证明余弦定理 证明：
B
A
C
即 AB AC BC 2 AC BC cos
2 2 2
6
例： 证明：直径所对应的圆周角为直角.
C
证明：
A
O
B
因此
所以
7
例： 证明：
向量内积、外积和混合积
向量内积、外积和混合积1 点乘1.1 定义点乘，也叫向量的内积、数量积。
两个向量的点乘结果是一个标量，不妨假定向量为a b 、，则点乘大小为： cos ,a b a b a b =<>令cos ,a b θ<>=，则[]0,θπ∈。
1.2 坐标表示设a =（x1,y1,z1）,b =（x2,y2,z2），则：121212a b x x y y z z =++1.3 几何意义点乘的几何意义是：是一条边向另一条边的投影乘以另一条边的长度。
1.4 应用（1）计算两个矢量的夹角，取值范围为[]0,θπ∈。
这里有两个特殊值，当点乘为零时，则表示两个向量垂直；点乘取最大值（等于两个向量模的乘积）时，表示两个向量平行；（非零向量）（2）如果两个矢量均为单位矢量（即模为1），则点乘结果表示夹角余弦；（3）如果其中一个矢量是单位矢量，则点乘结果表示非单位矢量在单位矢量方向上的投影；（4）从视点到多边形任意一个顶点的矢量与多边形的法向量的点积的符号（>0）多边形在视点背面看不到应 删除。
（<0）多边形在视点的正面能看到。
（5）求平面外一点到平面的距离。
从该点向平面上的点画一条矢量再与平面的法向量点乘求的绝对值。
（6）方向角与方向余弦。
方向角定义为非零向量与坐标轴正向的夹角。
设于x, y, z 轴的夹角分别为,,αβγ，则：222cos ,cos ,cos cos cos cos y x za a a a a a αβγαβγ===++如果是单位向量，则()0cos ,cos ,cos a αβγ=。
2 叉乘2.1 定义叉乘，也叫向量的外积、向量积。
两个向量叉乘的结果仍为一向量，不妨设为c （x3,y3,z3）。
向量c 的方向与a,b 所在的平面垂直，且方向要用“右手法则”判断（用右手的四指先表示向量a 的方向，然后手指朝着手心的方向摆动到向量b 的方向，大拇指所指的方向就是向量c 的方向）。
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结线性代数是数学中重要的一个分支，它研究向量、向量空间、线性映射和线性方程组等一系列与线性关系密切相关的概念和理论。
在数学、物理学、计算机科学等领域都有广泛应用。
本文将对线性代数中的几个核心知识点进行总结。
一、向量和矩阵向量是线性代数的基本概念之一，它可以用来表示具有大小和方向的物理量。
在数学上，向量通常用一列数字表示，例如二维向量可以表示为(2, 3)，三维向量可以表示为(1, 2, 3)。
向量的运算包括加法、减法和数乘等。
矩阵是由一组数按照矩阵的排列规则排列成的数表，它可以表示线性变换和线性方程组。
矩阵的加法、减法和数乘与向量类似。
二、内积和外积内积是向量的一种运算，它可以衡量两个向量之间的夹角和长度。
常见的内积有点乘和数量积。
点乘是指两个向量对应分量的乘积之和，例如向量(1, 2, 3)和向量(4, 5, 6)的点乘为1×4 + 2×5 +3×6 = 32。
数量积是指一个向量与自身的点乘，它的结果是向量的模的平方。
外积是向量的另一种运算，它的结果是一个新的向量，与原始向量垂直。
三、线性方程组和矩阵的逆线性方程组是由多个线性方程组成的方程组，例如2x + 3y = 7和4x - 5y = 3就是一个线性方程组。
解线性方程组是线性代数中的常见问题之一，可以利用矩阵表示线性方程组，并通过矩阵求解。
矩阵的逆是指存在一个矩阵与原始矩阵相乘等于单位矩阵，逆矩阵在求解线性方程组时起到重要的作用。
四、线性映射和线性变换线性映射是指保持向量加法和数乘运算的映射。
线性映射在矩阵的表示中，可以用矩阵乘法来表示，例如矩阵A与向量x的乘积可以表示为Ax。
线性变换是指将一个向量空间映射到另一个向量空间的映射，它在计算机图形学、信号处理等领域有广泛应用。
五、特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵的重要特性，它们与矩阵的变换有密切关系。
矩阵A与特征向量v的乘积等于特征值λ乘以特征向量v，即Av = λv。
《线性代数》知识点归纳与梳理_老师给的资料
《线性代数》知识点归纳与梳理_老师给的资料线性代数是数学的一个分支，研究向量空间、线性变换和矩阵的理论和方法。
它在许多领域中都有应用，如物理学、工程学、计算机科学等。
下面是对线性代数的一些主要知识点的归纳与梳理。
1.向量和向量空间向量是有大小和方向的量，可以表示为一个n维的有序实数组。
向量空间是由一组向量组成的集合，满足向量的加法和数乘运算的封闭性、结合律、分配律等性质。
2.矩阵和矩阵运算矩阵是一个由m行n列元素组成的矩形数组。
矩阵运算包括矩阵的加法、减法、数乘、矩阵乘法等。
矩阵乘法具有结合律和分配律，但不满足交换律。
3.行列式行列式是一个标量，用于表示一个n阶矩阵的性质。
行列式的计算可以通过对矩阵进行一系列的行变换来简化。
4.线性方程组线性方程组是由一组线性方程组成的方程组。
求解线性方程组可以通过高斯消元法、矩阵的逆等方法来实现。
当线性方程组有唯一解时，称为非齐次线性方程组；当线性方程组有无穷多个解时，称为齐次线性方程组。
5.向量空间的基和维数向量空间的基是指能够生成该向量空间中所有向量的一组线性无关的向量。
向量空间的维数是指其基的向量个数。
6.线性变换线性变换是指保持向量空间中向量加法和数乘运算的运算规则的变换。
线性变换可以用矩阵来表示，矩阵的列向量是线性变换作用于基向量得到的结果。
7.特征值和特征向量特征值和特征向量是线性变换的重要性质。
特征值是线性变换作用于特征向量后，得到的向量与特征向量平行的倍数。
特征向量是线性变换的不变子空间上的向量。
8.内积空间内积空间是具有内积运算的向量空间。
内积运算满足对称性、线性性和正定性等性质。
内积空间的基础是正交向量和标准正交向量组。
9.正交投影和最小二乘法正交投影是将一个向量投影到一个子空间上，得到其在该子空间上的投影向量。
最小二乘法是通过最小化误差的平方和来求解线性方程组的近似解。
10.特征分解和奇异值分解特征分解将一个矩阵分解为特征向量和特征值的乘积。
4向量的内积、外积、混合积
2. 外积的的直接应用
(1).定理1: 两个向量 a , b 共线 a b 0.
特别地 , 如果 a 0,向量 b 沿向量 a 方向的正交分解为 b b1 b2 , 其中b1 // a , b2 a.则a b a b2 .
5i 6 j 3k 25 36 9
5 70
i
6 70
j
3 70
k.
例2. 已知向量 a (1,2,3), b ( 2,1, 2)求 a , b的夹角.
解 : cos a , b
a b ab
226 12 9
1 3
.
例3. 向量 a (1, 1,2), e (1,1,1)求 a在 e上的射影 .
3. 用直角坐标计算向量的内积
(1)定理 3 : 设向量 a , b 在直角坐标系 [O ; i , j , k ]下的坐标分别为 ( a1 , a 2 , a3 ) 与 (b1 , b2 , b3 ), 则它们的内积为 : a b a1b1 a 2 b2 a3b3 .
即 : ( a , b , c ) (b , c , a ) ( c , a , b ) (b , a , c ) ( c , b , a ) ( a , c , b ).
由定理 3, 显然有结论 : 推论 : ( a b ) c a (b c ).
1. 向量的射影与正交分解
a
O
A
a2
A
e
l
a1
(2)正交分解
大学课程大一数学线性代数上册10.数量积,向量积,混合积课件
1. 数量积的定义与性质 向量 , 的数量积定义为: = ||||cos, 其中 = <, >
表示向量 , 间的夹角.
两个向量的数量积又称为点积或内积. 内积 可省略为 , 有以下重要性质:
(1) = (对称性) (2) (+) = +
(分配律)
y1e1e1 y2e1e2 y3e1e3
x1, x2 , x3
y1e2e1
y2e2e2
y3e2e3
y1e3e1 y2e3e2 y3e3e3
4
y1e1e1 y2e1e2 y3e1e3
x1, x2 , x3
y1e2e1
y2e2e2
y3e2e3
y1e3e1 y2e3e2 y3e3e3
(1) | | 2 利用内积求长度. (2) cos 利用内积求夹角.
| || | 2 2 (3), 垂直 , , 记为 .
2 = 0.
在直角坐标系 {O; i, j, k} 下夹角的计算：
两向量 ( x1 , x2 , x3 ), ( y1 , y2 , y3 ) 夹角：
线性代数（1）
第十讲 清华大学数学科学系
1
第十讲 向量的内积、外积、混合积
本讲内容提要
一、向量的数量积(内积) 二、向量的向量积(外积) 三、向量的混合积
2
一、向量的数量积(内积)
向量的线性运算可以用来解决一些几何问题. 要利用向量解决更复杂的几何问题，需要引入向量的其它
运算，这其中最重要的就是数量积和向量积. 向量的加法是从物理中力的合力抽象出来的. 向量的数量
cos
x1 y1 x2 y2 x3 y3
数二考研范围大纲2024
2024年考研数学二的考试范围大纲包括高等数学和线性代数两个科目，具体内容如下：
高等数学：
函数、极限、连续；
一元函数微分学；
一元函数积分学；
多元函数微积分学；
常微分方程。
线性代数：
向量、矩阵、行列式、特征值和特征向量；
线性方程组、线性变换；
二维向量空间中的线性变换；
向量空间、向量的内积、外积、混合积等概念；
向量空间中向量的线性相关和线性无关概念；
向量空间中基、维数、坐标等概念。
此外，考生需熟练运用各个概念和技巧，解决应用问题。
以上信息仅供参考，具体考试内容和要求可能会根据不同年份和院校的具体情况有所调整，建议考生在考试前仔细阅读考试通知，了解具体信息。
内积外积公式
内积外积公式
内积外积公式是代数几何中非常重要的公式之一，它在计算向量的乘积以及向量的夹角、投影等方面起到关键作用。
内积又称点积，是两个向量之间的一种积，表示为a·b（读作a 点乘b），计算方法为两向量对应分量相乘后相加。
内积公式为a·b = |a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和向量b的长度，θ表示向量a和向量b之间的夹角。
外积又称叉积，是两个向量之间的一种积，表示为a×b（读作a 叉乘b），计算方法为求出一个新的向量c，使得c垂直于向量a和向量b，并且满足长度等于两向量所围成的平行四边形面积。
外积公式为|a×b| = |a||b|sinθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和向量b的长度，θ表示向量a和向量b之间的夹角。
总之，内积外积公式是代数几何中不可或缺的公式，它们可以帮助我们更好地理解和计算向量之间的关系和运算。
线性代数：3内积、外积、混和积
证： ( x1i y1 j z1k ) ( x2i y2 j z2k )
x1 x2i 2 y1 x2 j i z1 x2k i
x1 y2i j y1 y2 j2 z1 y2k j
x1z2i k y1z2 j k z1z2k 2
9
x1 x2 y1 y2 z1z2
(2) 0 //
(3) （反交换律） (4) (k ) (k ) k( )
(5) ( ) ( )
13
2. 外积的应用 (1) 用向量积来求平行四边形及三角形面积 (2) 用向量积来求点到直线的距离 (3) 用向量积来求证两个向量共线
304
设 1 | |
，可见δ是与γ同方向的单位向量，
而 (12)2 (5)2 92 5 10
因此，与α及β都垂直的单位向量是
1
(12i 5 j 9k)
22
5 10
向量的混合积
混合积的定义
定义 三个向量α，β，γ的混合积是一个数，它等 于向量α，β先作向量积，然后再与γ作数量积， 记作(α，β，γ)
那么 ( ) k2 ( ) k3 ( ) 0
k1
k1
30
混合积的坐标表示
设 x1, y1, z1， x2 , y2 , z2 ， x3 , y3 , z3
(
)
y1 y2
z1 i x1 z2 x2
z1 j x1
z2
x2
y1 y2
k
( x3i
y3
分析: 以Leabharlann B，AC，AD为棱的平行六面体的体积 是以三角形ABC为底面，AD为棱的三棱柱体 积的2倍，而四面体的体积是三棱柱体积的三 分之一。
所以，D-ABC的体积VD ABC 可用混合积求
内积外积混合积
(a,b, c) (a b) c 是这样的
一 示以 个向 数量 ，它a 、的b绝、对c 值为表棱
a
b
c
a
b
的平行六面体的体积.
17
第17页/共20页
(2)
(a, b, c ) (a b) c
(b c) a (c a) b.
a c b c b a b a c.
1
定义
向量a
与b
的数量积为a
b
a
b
|
a
||
b
|
cos(其中
为a
与b
的夹角)
b a
取值范围呢？
a
b
|
a
||
b
|
cos
第1页/共20页
定义： 向量β在非零向量 的投影
Pr j cos 其中θ为α,β之间的夹角
提示：
1、投影是一个向量还是标量？
2、图形上怎样描绘投影（我们称为向量分解）
二、 两向量的向量积
实例
设O
为一根杠杆L的支点，有一力
F
作用
于这杠杆上P 点处．力F 与OP 的夹角为 ，力F
对支点O 的力矩是一向量 M ，它的模
F
| M || OQ || F |
O
P
L
| OP || F | sin
Q
M 的方向垂直于OP 与F 所决
定的平面, 指向符合右手系.
11
第11页/共20页
0
0
(a
b) 0
a
(a c) 0
a
0
a
(b c) a (a b)
c
2(a b) c 2[abc] 4.
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例： 若 ， ， 证明： 与 共线.
证明：
所以，
16
外积的坐标表示 由定义直接可以得到: ii j j kk 0 i j k , jk i , ki j
设 ( x1 , y1 , z1 ), ( x2 , y2 , z2 )
18
( x1 , y1 , z1 ), ( x2 , y2 , z2 )
6
例： 证明：直径所对应的圆周角为直角.
C
证明：
A O
B
因此
所以
7
例： 证明：
8
内积的坐标表示
i 2 i 2 1, j2 j 2 1, k 2 k 2 1,
i j jk ki 0
对任意向量 x1, y1, z1， x2 , y2 , z2
(1) x1 x2 y1 y2 z1z2
14
例: 已知α，β不共线，当k取何值时，向量kα+9β 与4α+kβ共线。
解： 据题设 （kα+9β）×（4α+kβ）＝０ 即 kα×4α＋kα×kβ＋9β×4α+9β×kβ＝０
又 α×α＝β×β＝０，α×β＝－β×α
因而 (k 2 36) 0
因为α，β不平行， 所以 α×β≠０
故有 k 2 36 0 ， 即 k=±6．
002
20 10 12
i
j
k
02 02 00
4i 2 j
20
例: 求以 A(1, 2, 3) ， B(2, 0, 5) ， C (3, 0, 1) 为顶点的Байду номын сангаас 角形ABC的面积.
解： 构造向量 AB (1,2,2), AC (2,2,4) ，
ijk
那么 AB AC 1 2 2 12i 8 j 2k
向量的内积、外积、 混和积
1
向量的内积
向量是一个具有很强的物理背景的概念，尤 其在流体力学、电磁场理论等中有很多的应用， 要利用向量及其运算来反映诸多物理现象中量的 关系，仅仅只有向量的线性运算就远远不够了， 还要不断充实向量的运算。这一节先引入向量的 一种乘法。
2
例: 物体放在光滑水平面上，设力 F以与水平线成θ角的方向作用于 物体上，物体产生位移S，求力F 所作的功。
y1 y2
z1 i x1 z2 x2
z1 j x1
z2
x2
y1 k y2
x1 x2
y1 y2
z1 z2
i jk
因此: x1 y1 z1
19
x2 y2 z2
例： 求 (i 2 j) 2k .
解法一： (i 2 j) 2k
2i k 4 j k
2 j 4i
i jk
解法二： (i 2 j) 2k 1 2 0
(2) 2 x12 y12 z12 x12 y12 z12
(3) cos
cos( , )
x1 x2 y1 y2 z1z2
x12 y12 z12 x22 y22 z22
10
向量的外积
上一节讨论了向量的一种乘法：两个向量 的内积，其运算结果是一个数。为了反映另一 物理现象，本节引入了两个向量的另一种乘法， 叫做外积，它的运算结果是一个向量。
304
设 1 | |
，可见δ是与γ同方向的单位向量，
而 (12)2 (5)2 92 5 10
因此，与α及β都垂直的单位向量是
1
(12i 5 j 9k)
22
5 10
向量的混合积
混合积的定义
定义 三个向量α，β，γ的混合积是一个数，它等 于向量α，β先作向量积，然后再与γ作数量积， 记作(α，β，γ)
(2) 0 //
(3) （反交换律） (4) (k ) (k ) k( )
(5) ( ) ( )
13
2. 外积的应用 (1) 用向量积来求平行四边形及三角形面积 (2) 用向量积来求点到直线的距离 (3) 用向量积来求证两个向量共线
11
1 . 外积及其运算规律
定义 两个向量α与β的外积α×β是一个向量
满足 (1) α×β的模是以α，β为边的平行四边形的
面积，
即： sin ,
(2) α×β的方向与α，β均垂直，且使α，β，
α×β成右手系
注 ：(1)即是 的几何意义
12
外积又叫叉积或向量积，具有以下性质：
(1) 0
积，记为 ，
即有 cos
其中 0 ( , )
根据内积的定义，上例中的功可写作：
W FS
4
向量的内积又称为点积或数量积
具有以下性质：
(1) (2) (3) (4) (5)
注： 向量内积不满足结合律
( ) ( )
5
例： 用向量证明余弦定理
A
证明：
C B
即 AB 2 AC 2 BC 2 2 AC BC cos
F
S
解: 根据物理知识，F 可以分解成水平方向分力Fx 和垂直方向分力 Fy 。其中只有与位移平行的分力
Fx 作功，而 Fy 不作功。
于是功W为: W=|F|cosθ|S|=|F||S|cosθ
为反映这一类物理现象，引入向量的内积。
3
内积及其运算规律
定义 两个向量α与β的内积是一个数，它等于
这两个向量的长度与它们夹角θ=(α，β)余弦的乘
证： ( x1i y1 j z1k ) ( x2i y2 j z2k )
x1 x2i 2 y1 x2 j i z1 x2k i
x1 y2i j y1 y2 j2 z1 y2k j
x1z2i k y1z2 j k z1z2k 2
9
x1 x2 y1 y2 z1z2
( x1i y1 j z1k ) ( x2i y2 j z2k ) （自己算）
( y1z2 z1 y2 )i (z1 x2 x1z2 ) j ( x1 y2 y1 x2 )k
y1 z1 i z1 x1 j x1 y1 k
y2 z2 z2 x2
x2 y2
i jk
2 2 4
以AB，AC为边的平行四边形面积
| AB AC | 122 82 22 2 53
所以三角形ABC的面积是 1 | AB AC | 53 2
21
例：求与 (2,3,1), (3,0,4) 垂直的单位向量。
解： 设γ=α×β， 则γ与α及β都垂直，
i jk
则有 2 3 1 12i 5 j 9k