七年级数学实数的化简与运算培优课件
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6-3实数运算 课件 课件-人教版七年级数学下册
＝ 3＋ 2
若a＜0， 则 a ＝－a ．
无理数的近似计算
例2 计算（结果保留5＋π
5＝2.23607 π＝3.14159
≈ 2.236＋3.142 ≈ 5.38
计算计过算程过中程保留中 比几结位果小要数求呢多？ 保 留一位小数．
无理数的近似计算
例2 计算（结果保留小数点后两位）：
分配律：
a（b＋c）＝a b＋a c
实数的运算
例1 求下列各式的值： （1）( 3＋ 2)－ 2 ； 解：（1） ( 3＋ 2)－ 2
＝ 3＋( 2－ 2)
＝ 3＋0 ＝3
加法结合律
实数的运算
例1 求下列各式的值：
（2） 3 3＋2 3 ．
解：（2） 3 3＋2 3
＝(3＋2) 3
＝5 3
分配律
计算过程中 比结果要求多保 留一位小数．
再见
3 3=3 3 2 3=2 3
巩固练习
练习 计算： （1） 2 2－3 2 ； 解：（1） 2 2－3 2
＝(2－3) 2
＝－ 2
2 2=2 2 3 2=3 2
巩固练习
练习 计算：
（2） 2－ 3 ＋2 2 ．
解：（2） 2－ 3 ＋2 2
＝－( 2－ 3)＋2 2
＝ 3－ 2＋2 2
＝ 3＋(－ 2＋2 2)
（2） 3 2 ． 解：（2） 3 2
3＝1.73205 2＝1.41421
≈ 1.732×1.414 ≈ 2.45
计算过程中 比结果要求多保 留一位小数．
归纳小结
1．有理数的运算法则、运算律和运算性质在实数 范围内仍然成立．
归纳小结
2．在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出 结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的 近似有限小数去代替无理数，再进行计算．
若a＜0， 则 a ＝－a ．
无理数的近似计算
例2 计算（结果保留5＋π
5＝2.23607 π＝3.14159
≈ 2.236＋3.142 ≈ 5.38
计算计过算程过中程保留中 比几结位果小要数求呢多？ 保 留一位小数．
无理数的近似计算
例2 计算（结果保留小数点后两位）：
分配律：
a（b＋c）＝a b＋a c
实数的运算
例1 求下列各式的值： （1）( 3＋ 2)－ 2 ； 解：（1） ( 3＋ 2)－ 2
＝ 3＋( 2－ 2)
＝ 3＋0 ＝3
加法结合律
实数的运算
例1 求下列各式的值：
（2） 3 3＋2 3 ．
解：（2） 3 3＋2 3
＝(3＋2) 3
＝5 3
分配律
计算过程中 比结果要求多保 留一位小数．
再见
3 3=3 3 2 3=2 3
巩固练习
练习 计算： （1） 2 2－3 2 ； 解：（1） 2 2－3 2
＝(2－3) 2
＝－ 2
2 2=2 2 3 2=3 2
巩固练习
练习 计算：
（2） 2－ 3 ＋2 2 ．
解：（2） 2－ 3 ＋2 2
＝－( 2－ 3)＋2 2
＝ 3－ 2＋2 2
＝ 3＋(－ 2＋2 2)
（2） 3 2 ． 解：（2） 3 2
3＝1.73205 2＝1.41421
≈ 1.732×1.414 ≈ 2.45
计算过程中 比结果要求多保 留一位小数．
归纳小结
1．有理数的运算法则、运算律和运算性质在实数 范围内仍然成立．
归纳小结
2．在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出 结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的 近似有限小数去代替无理数，再进行计算．
2022年人教版七年级下册数学同步培优第六章实数第3节 第2课时实数的运算
能力提升
拓展突破
(2)如图所示,当点C在点B左侧时,则6－x＝3(－4－x),
解得x＝－9;
当点C在点B右侧时,则6－x＝3(x+4),
解得x＝－1.5.
综上所述,x的值为－9或－1.5.
-14-
第2课时 实数的运算
基础巩固
能力提升
拓展突破
16.如图,正方形ABCD的边AB在数轴上,数轴上点A表示的数
解:由题意,得 a－4＝8,解得 a＝12.
∵3< 13<4,∴b＝3,
∴a－b＝12－3＝9,∴a－b 的平方根是±3.
基础巩固
第2课时 实数的运算
能力提升
拓展突破
10.如图,实数－3,x,3,y在数轴上的对应点分别为M,N,P,Q,这
四个数中绝对值最小的数对应的点是( B )
A.M
B.N
C.P
4
点 E,F 所表示的数互为相反数,请求出 t 的值.
第2课时 实数的运算
基础巩固
能力提升
拓展突破
-17-
解:(2)t的值为4.
理由:当正方形ABCD沿数轴负方向运动时,点E,F表示的数均为
负数,不可能互为相反数,不符合题意.
当正方形ABCD沿数轴正方向运动时.
1
1
2
2
1
1
1
1
4
4
2
2
因为 AE＝ ′＝ ×2t＝t,点 A 表示－1,所以点 E 表示的数为－1+t.
能力提升
拓展突破
-4-
第2课时 实数的运算
基础巩固
8.用计算器计算(结果保留小数点后两位):
(1) 11+2.33－π;
人教版七年级数学下册第六章《实数的运算》优课件 (2)
(3)2 2 × 2 -(-1)2014-|1- 2 |+(-2)2=( 2 )2-1-( 2 -1)+4=2-1- 2 +1+4=6- 2 .
2
(1)有理数的运算律和运算法则,在实数范围内仍适用;(2)计算中如 遇到无理数,若有精确度的要求,可转化为有理数进行计算,若无精确度要求, 可含有π、根号等.
2
【导学探究】 1.对于第(1)题,可用乘法分配律,把括号去掉,再把被开方数相同的二次根式进行合 并(类似于合并同类项).
2.对于(2)(3)题可按运算顺序进行,即先算 乘方,再算 乘除 ,最后算加减 .
解:(1)3( 3 + 2 )-2( 3 + 5 )=3 3 +3 2 -2 3 -2 5 =(3-2) 3 +3 2 -2 5 = 3 + 3 2 -2 5 . (2)|-3|+(-1)2013×(-1)2012- 3 27 +(-2)2=3+(-1)×1-3+4=3-1-3+4=3.
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
2.(2014 成都)计算|- 2 |= 2 . 解析:|- 2 |= 2 . 3.比较大小:(1) 3 < 5 . (2)- 25 < - 3 60 . (3)|a| ≥ a.
解析:(1) 3 < 5 ; (2)- 25 =-5,-5=- 3 125 , ∵- 3 125 <- 3 60 ,∴- 25 <- 3 60 ;
探究一:实数的性质
【例 1】 (1) 2 - 3 的相反数是 3 2 ,绝对值是 3 2 .
(2)若|x+3|= 5 ,则 x= 5 3或 5 3 . 【导学探究】
2
(1)有理数的运算律和运算法则,在实数范围内仍适用;(2)计算中如 遇到无理数,若有精确度的要求,可转化为有理数进行计算,若无精确度要求, 可含有π、根号等.
2
【导学探究】 1.对于第(1)题,可用乘法分配律,把括号去掉,再把被开方数相同的二次根式进行合 并(类似于合并同类项).
2.对于(2)(3)题可按运算顺序进行,即先算 乘方,再算 乘除 ,最后算加减 .
解:(1)3( 3 + 2 )-2( 3 + 5 )=3 3 +3 2 -2 3 -2 5 =(3-2) 3 +3 2 -2 5 = 3 + 3 2 -2 5 . (2)|-3|+(-1)2013×(-1)2012- 3 27 +(-2)2=3+(-1)×1-3+4=3-1-3+4=3.
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我们，还在路上……
2.(2014 成都)计算|- 2 |= 2 . 解析:|- 2 |= 2 . 3.比较大小:(1) 3 < 5 . (2)- 25 < - 3 60 . (3)|a| ≥ a.
解析:(1) 3 < 5 ; (2)- 25 =-5,-5=- 3 125 , ∵- 3 125 <- 3 60 ,∴- 25 <- 3 60 ;
探究一:实数的性质
【例 1】 (1) 2 - 3 的相反数是 3 2 ,绝对值是 3 2 .
(2)若|x+3|= 5 ,则 x= 5 3或 5 3 . 【导学探究】
【新】人教版七年级数学下册第六章《实数》优质公开课课件 (3)
精确度用相应的近
似
去代替.
二、互助探究
2.展示讲解交流预习2、3.
3
二、互助探究
4、有理数关于相反数、绝对值的意义同样适用于
实数吗？请举例说明。
(1)相反数:
-的相反数是
,π的相反数是
,0的
相反数是
.
总结:实数a的相反数是
.
(2)绝对值:
|-|= ,|π|= ,|0|= .
总结:一个正实数的绝对值是它
阅读教材55——56页，完成下列问题：
（1） 3 + 2 （精确到0.01）
（2） 2 + 3
3
二、互助探究
1、(1)实数之间可以进行加、减、乘、除(除数
不为0)、乘方运算,正数及0可以进行
运算,任意一个实数可以进行
运算.
(2)在进行实数运算时,有理数的运算法则及运
算性质、运算律等同样适用.
(3)在实数运算中,无理数可按照运算所要求的
;
0的绝对值是
;
一个负实数的绝对值是它的
.
三、分层提高
先独立思考， 再与你的师
父交流
完成当堂检测P29跟踪训练1-3题
你知道吗？
四、总结提升
回
头
一
看 ，
我有哪些收获呢？
我
想
说 与大家共分享！
…
五、巩固反馈
• 高效课堂P30当堂检测1-5题。
作业
复习巩固作业：复习1 本章知识，归纳知识结 2
构。
了解实数的运算法则及运算律,会进行实数的运 算
一、交流预习 请把你的想法
与师傅交流
阅读教材55——56页，完成下列问题：
实数及其运算培优讲义
7、已知x、y是有理数，且 ，求x、y的值
考点3、非负数性质的应用
例1、若x、y都是实数，且 ，求x+3y的平方根
例2、已知 ，求 的值
例3、解方程：(1) (2)
练习：1、已知 ，求 的平方根
2、若 与 互为相反数，求2a+2b的平方根。
三、课堂巩固练习
1、下列命题中，正确的个数有( )
①1的算术平方根是1；②(-1)2的算术平方根是-1；③一个数的算术平方根等于它本身，这个数只能是零；④-4没有算术平方根.
例1、9， ， 的平方根分别为、、；
算术平方根分别为、、.
例2、已知 ， ，则 ； 。
例3、分别求 为何值时，下列各式有意义：
（1） （2）
例4、若 求yx的平方根.
例5、已知：y= ,当a、b取不同的值时，y也有不同的值.当y最小时,求ba的非算术平方根.
练习：
1、求下列各式的值：
（1） ；（2） ；（3） ；（4） .
，
则 =0，
，
3、两数大小的比较
（1）正数大于零，零大于负数；两个正数中，数值较大的数较大；两个负数中，绝对值较大的数小于绝对值较小的数。
（2）从数轴上看，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大。
4、数轴上的两点距离公式：在数轴上，如果点A、点B所对应的数分别为a、b，那么A、B两点之间的距离AB= 。
9、求满足下列各式的x值:
(1) (2)
10、求下列各式的值:
(1) ；(2) + ；(3) +
签字确认
学员教师班主任
学科教师辅导讲义
班级编号：年级：七年级课时数：2
学员姓名：辅导科目：数学学科教师：
学科组长签名及日期
考点3、非负数性质的应用
例1、若x、y都是实数，且 ，求x+3y的平方根
例2、已知 ，求 的值
例3、解方程：(1) (2)
练习：1、已知 ，求 的平方根
2、若 与 互为相反数，求2a+2b的平方根。
三、课堂巩固练习
1、下列命题中，正确的个数有( )
①1的算术平方根是1；②(-1)2的算术平方根是-1；③一个数的算术平方根等于它本身，这个数只能是零；④-4没有算术平方根.
例1、9， ， 的平方根分别为、、；
算术平方根分别为、、.
例2、已知 ， ，则 ； 。
例3、分别求 为何值时，下列各式有意义：
（1） （2）
例4、若 求yx的平方根.
例5、已知：y= ,当a、b取不同的值时，y也有不同的值.当y最小时,求ba的非算术平方根.
练习：
1、求下列各式的值：
（1） ；（2） ；（3） ；（4） .
，
则 =0，
，
3、两数大小的比较
（1）正数大于零，零大于负数；两个正数中，数值较大的数较大；两个负数中，绝对值较大的数小于绝对值较小的数。
（2）从数轴上看，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大。
4、数轴上的两点距离公式：在数轴上，如果点A、点B所对应的数分别为a、b，那么A、B两点之间的距离AB= 。
9、求满足下列各式的x值:
(1) (2)
10、求下列各式的值:
(1) ；(2) + ；(3) +
签字确认
学员教师班主任
学科教师辅导讲义
班级编号：年级：七年级课时数：2
学员姓名：辅导科目：数学学科教师：
学科组长签名及日期
人教版七年级下册数学：6.3实数的运算课件 (共14张PPT)
5 2.236，6 2.449）
运用新知
计算： 4 3 8 3 1 ( 1)2
27 3
分析：先逐个化简后，再按照计算法则计算。 解： 原式 2 2 ( 1) 1
39 11
39 2
9
实数的混合运算顺序
先算 乘方、开平方(开立方) , 然后算__乘__除__,最后算__加_减__; 有括号,先算 括号里边的 .
义务教育课程标准（2011版）
数学版七年级下册 第六章 实数
6.3 实数
（第二课时 实数的运算）
学习目标：实数的运算法则
学习重点：
知道有理数的运算律和运算性质同样适 合于实数的运算，并会进行简单的运算.
学习难点：
形如 a(a 0) 的无理数的合并.
复习： 有理数的一些运算律
运算律： 1、加法交换律：a b b a
形如 a (a 0) 的式子加减 时，只对被开方数相 同的 a (a 0) 运用分配律 进行合并。
1、3 2 3 2 （ × ）； 2、 3 2 5 （ × ）； 3、 5 2 3 （ × ）； 4、 3 3 6 （ × ）； 5、 3 3 2 3 （ √ ）；
（可能用到的近似值 2 1.414，3 1.732，
解: （1） 5 π 2.236 3.142 5.38； （2） 3 2 1.7321.414 2.45 .
归纳总结
实数的运算法则
先算 乘方、开平方(开立方) ,然后 算___乘__除_,最后算__加__减_;有括号, 先算 括号里边的 .
如果是同级运算,应按从 _左_到__右____的顺序进行.
如果是同级运算,应按从 _左__到_右____的顺序进行.
同类变式
计算： 3 27 3 5 ( 9 3 8)2 3 5 解： 原式 3 3 5 1 3 5
运用新知
计算： 4 3 8 3 1 ( 1)2
27 3
分析：先逐个化简后，再按照计算法则计算。 解： 原式 2 2 ( 1) 1
39 11
39 2
9
实数的混合运算顺序
先算 乘方、开平方(开立方) , 然后算__乘__除__,最后算__加_减__; 有括号,先算 括号里边的 .
义务教育课程标准（2011版）
数学版七年级下册 第六章 实数
6.3 实数
（第二课时 实数的运算）
学习目标：实数的运算法则
学习重点：
知道有理数的运算律和运算性质同样适 合于实数的运算，并会进行简单的运算.
学习难点：
形如 a(a 0) 的无理数的合并.
复习： 有理数的一些运算律
运算律： 1、加法交换律：a b b a
形如 a (a 0) 的式子加减 时，只对被开方数相 同的 a (a 0) 运用分配律 进行合并。
1、3 2 3 2 （ × ）； 2、 3 2 5 （ × ）； 3、 5 2 3 （ × ）； 4、 3 3 6 （ × ）； 5、 3 3 2 3 （ √ ）；
（可能用到的近似值 2 1.414，3 1.732，
解: （1） 5 π 2.236 3.142 5.38； （2） 3 2 1.7321.414 2.45 .
归纳总结
实数的运算法则
先算 乘方、开平方(开立方) ,然后 算___乘__除_,最后算__加__减_;有括号, 先算 括号里边的 .
如果是同级运算,应按从 _左_到__右____的顺序进行.
如果是同级运算,应按从 _左__到_右____的顺序进行.
同类变式
计算： 3 27 3 5 ( 9 3 8)2 3 5 解： 原式 3 3 5 1 3 5
实数的运算ppt课件
例题讲解
例1 计算：
先算什么？ 再算什么？
2 (3 5) 4 2 5 解：原式= 2 3 2 5 4 2 5
=6 4 2 5 2 5
= 10
我们同样可以用计算器进行实数的计算，一般是近似计算.
例题讲解
例2 用计算器计算
(1) 8 3 7 （精确到0.001）
（2） 3 2 (4 3) （精确到0.01）
例题讲解
(1) 8 3 7 （精确到0.001）
解：按键顺序为：
8
-
SHIFT 3
7=
∴ 8 3 7 0.915495942 0.915
用科学计算器进行混 合运算的按键顺序与 书写顺序基本相同.
注：不同型号计算器的按键顺序不一定相同.
例题讲解
（2） 3 2 (4 3) （精确到0.01）
（2） 81 3 1 27
9 （ 1） =9 × (－ 3) = －27 3
①：这些题中含有什么特殊的运算？
开方 运算
②：你能求解吗？应先解什么，后解什么？
首先完成开方运算，就转化成了我们以前熟悉的有理数运算。
上面的运算与以前的有理数运算比较有何特别之处?
议一议
上面的运算中增加了开方运算
合作学习 我们学过的运算有哪几种？ 有理数的运算顺序和运算法则是什么？
3.4 实数的运算
• 义务教育课程标准实验教科书 • 浙教版《数学》七年级上册
知识目标
1.理解加减统一为加法，并化为省略加号的和式. 2.会进行若干个数的加减混合运算. 3.会用加减混合运算解决简单的实际问题.
能灵活运用运算律，使计算简化，提高 解决 实际问题的能力.
情感目标 进一步体会事物之间可以相互转化的辩证思想.
人教版初中数学七年级下册6.3.3《实数的运算》课件(共16张PPT)
练一练
1..3 2 的相反数是____2___3__． 3 2 的绝对值是__3______2_．
2.已知：a、b互为相反数，c、d互为倒数， x的绝对值等于1，则a+b+x2-cdx的值为 ___0_或__2___．
3．如图，数轴上表示1、 2 的对应点分别是A、
B，点B关于点A的对称点为C，则C点所表示
．
布置作业
1. 习题6.3 第3、第5题； 2. 完成配套练习6.3。
=2 6+6．
3(8 2 10 6)
3(14 2 10)
42 6 10.
例2 计算：
（1） 8 3 10
（2） 15 2(5 5)
例3 计算，看看有什么规律：
（1） 36 25； （2） 36 25；
解：（1） 36 25 =6 5 =30；
实数的运算顺序
知识要 点
实数运算的顺序是先算乘方和开方， 再算乘除，最后算加减．如果遇到括号， 则先进行括号里的运算．
例1 计算下列各式的值：
（1） 3 7 4 7；
（2） 2 2 （-2） 3 2 ；
解：（1） 3 7 4 7 （2） 2 2 （-2） 3 2
（2） 36 25
= 900 =30；
（3） 9 16 25； （4） 916 25.
（3） 9 16 25 （4） 9 16 25
=3 4 5 =60；
结论
= 3600 =60.
a b c ... a b c ...
课堂小结
1．本节课学习了什么？ 2. 你有什么收获？
的数是（ C ）
A． 2 1 B．1 - 2
人教版七年级下册数学课件：6.3实数的运算(15张PPT)
（3）（ 6+3） 2
（4） 3 8 2
10
3
=2 6+6．
3(8 2 10 6)
3(14 2 10)
42 6 10.
例2 计算：
（1） 8 3 1（0 精确到0.001）；
（2） 15 2(5 5) （结果保留3位小数）．
（1） 8 3 10
（2） 1 5 2(5 5)
（3） 9 16 25 （4） 9 16 25
=3 4 5 =60；
结论
= 3600 =60.
a b c ... a b c ...
例4 计算：
3 的整数部分与小数部分的差是多少？
（结果保留3位小数）
解：整数部分ห้องสมุดไป่ตู้ 1
小数部分： 3 1 整数部分与小数部分的差是：
1 ( 3 1) 2 3 0.268.
（2） 2 2 （-2） 3 2 ；
解：（1） 3 7 4 7 （2） 2 2 （-2） 3 2
=（3+4） 7 =7 7．
=2 2 2 3+ 2 =2 2 2 3+2 2
=2 2 2 3 2 2 = 2 3．
（3）（ 6+3） 2；（4） 3 8 2
10
3
．
有理数和无理数统称实数.
整数 实 有理数
数
分数
有限小数或无 限循环小数
无理数 无限不循环小数
正实数
实
数
0
负实数
正有理数 正无理数
负有理数 负无理数
实数的运算顺序
知识要 点
实数运算的顺序是先算乘方和开方， 再算乘除，最后算加减．如果遇到括号， 则先进行括号里的运算．
实数的运算-PPT课件资料
• 实数的混合运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后加减，同级运算从左到右依次进行， 有括号先算括号里面的。
讨论 下列各式错在哪里？
•
（1）
32
3
9
1 3
9
3
3
9
2
（2） 1 2 1 2
（3） 5 6 5 6 （4）当x= 2 时， x2 2 0
x 2
丢了“—”，并且运算顺序错误 所得结果应该小于0 所得结果应该小于0 分母
实数的运算
• 1.实数的相反数：数a的相反数是-a . • 2.一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的
绝对值是0. • 3、实数之间可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方、非负实数的开
方运算，还有任意实数的开立方运算，在进行实数的运算中，交换律、结合 律、分配律等运算性质也适用.
• （1） 5
（2） 3 2
分析：在实数的运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可 以按照要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行运算。
• 解：（1） 5 2.236 3.142 5.378 5.38
• （2） 3 2 1.7321.414 2.45
总结：
人教版数学七年级下
6.3实数的运算
精品模版-助您成长
教学目标
掌握实数的相反数和绝对值 1 的概念
掌握实数的运算律和运算性 2质
有
•
理
数
实 数
无 理 数
一、复习旧知识，导入新课
（1）有理数有哪些运算呢？ 有理数可以进行加、减、乘、除、乘方运算，正数和0还可以进行开方运
算。
（1.2交）换有律理：数加的法运算a律+b有=b哪+些a ？ 乘法 a×b=b×a
讨论 下列各式错在哪里？
•
（1）
32
3
9
1 3
9
3
3
9
2
（2） 1 2 1 2
（3） 5 6 5 6 （4）当x= 2 时， x2 2 0
x 2
丢了“—”，并且运算顺序错误 所得结果应该小于0 所得结果应该小于0 分母
实数的运算
• 1.实数的相反数：数a的相反数是-a . • 2.一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的
绝对值是0. • 3、实数之间可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方、非负实数的开
方运算，还有任意实数的开立方运算，在进行实数的运算中，交换律、结合 律、分配律等运算性质也适用.
• （1） 5
（2） 3 2
分析：在实数的运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可 以按照要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行运算。
• 解：（1） 5 2.236 3.142 5.378 5.38
• （2） 3 2 1.7321.414 2.45
总结：
人教版数学七年级下
6.3实数的运算
精品模版-助您成长
教学目标
掌握实数的相反数和绝对值 1 的概念
掌握实数的运算律和运算性 2质
有
•
理
数
实 数
无 理 数
一、复习旧知识，导入新课
（1）有理数有哪些运算呢？ 有理数可以进行加、减、乘、除、乘方运算，正数和0还可以进行开方运
算。
（1.2交）换有律理：数加的法运算a律+b有=b哪+些a ？ 乘法 a×b=b×a
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2.无限小数都是无理数。
（）
3.无理数都是无限小数。
（）
4.带根号的数都是无理数。
（）
5.两个无理数之和一定是无理数。（ ）
6.所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来， 数轴上所有的点都表示有理数。（ ）
链接中考
1 的值是（ 1 3 （2018·济宁，1，3分）
第一讲 实数的化简与运算
课前思考： 1.什么是无理数？ 2.谁发现的无理数？
问题1：什么是无理数？
问题2：谁发现的无理数？
一个悲惨的故事，证明了无理数的存在
人物1：毕达哥拉斯 古希腊数学家、哲学家
主张：万物皆数，他认为一切量 都可以用整数或整数的比来表示。 简单的来说，他认为世界上所有 的量都可以用有理数来表示
）
A．1 B．－1 C．3 D．－3
最后希伯斯被处死（具体死 因不详）
总结：学习数学的同时，要感恩每位为数学事业献身的先人。因为在那个时代，每一个新的认 知、新的真理，必然会遭到守旧派的镇压与扼杀。
乘方
互 为 逆 运 算
开方
实数
有理数 无理数
平方根 立方根
a a a a a 复习乘方的定义：n个相同因数的乘积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂
3 4
（4） -15 5 8
5 2
有限小数及无限循环小数
正整数
整数
0
有理数
负整数
正分数
分数
实 数
负分数
正无理数
无理数
负无理数
自然数
无限不循环小数
１．圆周率 及一些含有 的数
一般有三种情况 ２．开不尽方的数
３．有一定的规律，但不循环的无限小数
判断：下列说法是否正确：
1.实数不是有理数就是无理数。 （ ）
如果 x2 a ，那么x叫做a的平方根。
x2 9 x 3 9的平方根为 3
开平方的定义：求一个数的平方根运算
a a a a a 复习乘方的定义：n个相同因数的乘积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂
n
333 33 27 3 3 3 33 27
回顾： 立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根
33 27 3 3 3 27的立方根为 3
27 33 3 3 3
27的立方根为 3
算术平方根
平方根
表示方法
a 的取值
正数
性
0
质 负数
a a≥ 0
正数（一个）
0
没有
开方
a
a≥ 0
互为相反数（两个）
0
没有
求一个数的平方根 的运算叫开平方
立方根
3a a 是任何数
正数（一个）
0 负数（一个） 求一个数的立方根 的运算叫开立方
是本身
0,1
0
0,1,-1
1.说出下列各数的平方根和算术平方根：
（1） 169 （2） 0.16 （3） 214 25
13和13
（4） 102
0.4和0.4
（5）2 7 9
10和10
5和5 33
8和8 55
2.说出下列各数的立方根:
（1） -0.008 0.2 （2） 0.512 0.8
（3） - 27 64
n
66 62
回顾
3 3 32 9
3 3 32 9
1.算数平方根的定义：如果一个正数x的平方等于a，即 x2 a，那么这个正数x叫做a的算数平方根。
规定：0的算数平方根为0
36 62 6 6 36的算数平方根为 6
2.平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。
问题2：谁发现的无理数？
一个悲惨的故事，证明了无理数的存在
人物2：希伯斯 Hippasus
古希腊数学家、科学家
希伯斯是毕达哥拉斯的得意 门徒，发现边长为1的正方形的 对角线长度不能用有理数表示。 但是他没有低调，而是把这个பைடு நூலகம் 实传播出去。
希伯斯的发现，十分可怕， 颠覆了人们的认知，动摇了毕达 哥拉斯学派的统治。