1圆锥曲线中的定值问题

4 / 4
圆锥曲线中的定值问题
1.在圆锥曲线问题中,定值问题是常考题型,解题的一般步骤为:（1）设出直线的方程b kx y +=或t my x +=、点的坐标;（2）通过题干所给的已知条件,进行正确的运算,将需要用到的所有中间结果(如弦长、距离等)表示成直线方程中引入的变量，转化成函数问题。

通过计算得出目标变量为定值或者最值。

2.解析几何大题计算过程中经常用到弦长公式,下面给出常用的计算弦长的公式:
(1)若直线AB 的方程设为(),,),,(,2211y x B y x A m kx y +=则 ()a
k x x x x k x x k AB ∆•+=-+•+=-•+=22122122121411 (2)若直线AB 的方程设为(),,),,(,2211y x B y x A t my x +=,则 ()a
m y y y y m y y m AB ∆•+=-+•+=-•+=22122122121411 注:其中a 指的是将直线的方程代入圆锥曲线方程后,化简得出的关于x 或y 的一元二 次方程的平方项系数,∆指的是该方程的判别式.通常用a
k AB ∆•+=21或 a
m AB ∆•+=21计算弦长较为简便 【例1.】设抛物线,:2x y C =直线l 经过点）
（0,2且与抛物线交于A 、B 两点，证明：•为定值。

4 / 4
【例 2.】已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a b y a x C 的离心率为
AOB O b B a A ∆),0,0(),0),0,(2
3，（，的面积为1. （1）求椭圆C 的方程；
（2）设P 为C 上一点，直线PA 与y 轴交于点,M 直线PB 与x 轴交于点.N 求证：BM AN •为定值。

4 / 4
专题练习
1. 已知椭圆()0122
22
>>=+b a b y a x C :的离心率为22，且过点()
12,。

（1）求椭圆C 的方程；
（2）设P 是椭圆C 长轴上的动点，过P 作斜率为
22的直线l 交椭圆C 于B A ,两点，求证：22PB PA +为定值。

2. 已知点()01,F ，直线P x l ,:1-=为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且⋅=⋅。

（1）求动点P 的轨迹C 的方程；
（2）过点F 的直线交轨迹C 与B A ,两点，交l 于点M ，若21λλ==,，求21λλ+的值。

4 / 4
3.已知抛物线px y C 22=:经过点()21,P 过点()10,Q 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交
点B A ,，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N 。

（1）求直线l 的斜率的取值范围；
（2）设O 为原点，μλ==,，求证：μλ1
1
+为定值。

4.已知椭圆()0122
22
>>=+b a b y a x E :的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个
顶点，直线3+-=x y l :与椭圆E 有且只有一个公共点T 。

（1）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；
（2）设O 为坐标原点，直线l '平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点B A ,，且与直线l 交于点P ，证明：存在常数λ，使得PB PA PT
⋅=λ2，并求λ的值。