石子合并问题(矩阵连乘求解)
《算法设计与分析》实验报告实验一...
《算法设计与分析》实验报告实验一递归与分治策略应用基础学号：**************姓名：*************班级：*************日期：2014-2015学年第1学期第九周一、实验目的1、理解递归的概念和分治法的基本思想2、了解适用递归与分治策略的问题类型，并能设计相应的分治策略算法3、掌握递归与分治算法时间空间复杂度分析，以及问题复杂性分析方法二、实验内容任务：以下题目要求应用递归与分治策略设计解决方案，本次实验成绩按百分制计，完成各小题的得分如下，每小题要求算法描述准确且程序运行正确。
1、求n个元素的全排。
（30分）2、解决一个2k*2k的特殊棋牌上的L型骨牌覆盖问题。
（30分）3、设有n=2k个运动员要进行网球循环赛。
设计一个满足要求的比赛日程表。
（40分）提交结果：算法设计分析思路、源代码及其分析说明和测试运行报告。
三、设计分析四、算法描述及程序五、测试与分析六、实验总结与体会#include "iostream"using namespace std;#define N 100void Perm(int* list, int k, int m){if (k == m){for (int i=0; i<m; i++)cout << list[i] << " ";cout << endl;return;}else{for (int i=m; i<k; i++){swap(list[m], list[i]);Perm(list, k, m+1);swap(list[m], list[i]);}}}void swap(int a,int b){int temp;temp=a;a=b;b=temp;}int main(){int i,n;int a[N];cout<<"请输入排列数据总个数：";cin>>n;cout<<"请输入数据：";for(i=0;i<n;i++){cin>>a[i];}cout<<"该数据的全排列："<<endl;Perm(a,n,0);return 0;}《算法设计与分析》实验报告实验二递归与分治策略应用提高学号：**************姓名：*************班级：*************日期：2014-2015学年第1学期一、实验目的1、深入理解递归的概念和分治法的基本思想2、正确使用递归与分治策略设计相应的问题的算法3、掌握递归与分治算法时间空间复杂度分析，以及问题复杂性分析方法二、实验内容任务：从以下题目中任选一题完成，要求应用递归与分治策略设计解决方案。
动态规划-石子合并问题
动态规划-⽯⼦合并问题（1）问题描述 在⼀个圆形操场的四周摆放着 num 堆⽯⼦。
先要将⽯⼦有次序地合并成⼀堆。
规定每次只能选相邻的 2 堆⽯⼦合并成新的⼀堆，并将新的⼀堆⽯⼦数记为该次合并的耗费⼒⽓。
试设计⼀个算法，计算将 n 堆⽯⼦合并成⼀堆的最省⼒⽓数。
（2）算法思想 对于给定的 n 堆⽯⼦，当只有⼀堆时，不⽤搬，进⽽不耗费⼒⽓，然后依次计算出从 2 堆 ~ num 堆⽯⼦的最优解，并且堆数递增求最优解，依赖于上⼀步的解进⾏计算所得；（3）算法思路 此解法和矩阵连乘类似，我们知道矩阵连乘也是每次合并相邻的两个矩阵，那么⽯⼦合并可以⽤矩阵连乘的⽅式来解决。
设 dp[i][j] 表⽰第 i 到第 j 堆⽯⼦合并的最优值，sum[i][j] 表⽰第 i 到第 j 堆⽯⼦的所耗费的⼒⽓总数。
动规⽅程如下：（4）代码展⽰public class StoneMerge {/*** 记录⽯⼦堆的数量*/private static int num;/*** 记录每堆⽯⼦的重量*/private static int[] weight;/*** 记录⽯⼦堆断开的位置【便于计算局部最优解】*/private static int[][] location;/*** 记录⽯⼦堆局部最优解，以⾄于求得最终最优解【动规⽅程】*/private static int[][] dp;/*** 初始化数据*/private static void initData() {Scanner input = new Scanner(System.in);System.out.println("请输⼊⽯⼦堆数量:");num = input.nextInt();weight = new int[num];System.out.println("请输⼊每堆⽯⼦的重量:");for (int i = 0; i < weight.length; i++) {weight[i] = input.nextInt();}// 定义成 int 类型的⼆维数组，创建完每个元素直接初始化为 0dp = new int[num][num];location = new int[num][num];}/*** 计算最省最费⼒⽓值*/private static void dpFindMinStrength() {// 初始化 dp 数组for (int m = 0; m < num; m++) {dp[m][m] = 0; // ⼀堆⽯⼦，不⽤搬，耗费⼒⽓为 0}for (int r = 2; r <= num; r++) { // 从 2 堆依次到 num 堆，分别计算最优值for (int i = 0; i < num - r + 1; i++) { // 起始⽯⼦堆取值范围int j = i + r - 1; // 根据每次选取⽯⼦堆 r 和起始⽯⼦堆 i ，计算终⽌⽯⼦堆int sum = 0;for (int x = i; x <= j; x++) { // 计算从⽯⼦堆 i 到⽯⼦堆 j 合并时，最后两堆使⽤的⼒⽓总和 sumsum += weight[x];}// 根据动规⽅程，从局部最优解中计算当前从⽯⼦堆 i 到⽯⼦堆 j 合并所使⽤的的⼒⽓总和dp[i][j] = dp[i + 1][j] + sum; // 计算从 i ⽯⼦堆分开时，使⽤的⼒⽓总和location[i][j] = i; // 标记从第 i ⽯⼦堆分开位置for (int k = i + 1; k < j; k++) { // 需要统计从 k 【k ∈ (i, j)】⽯⼦堆分开，使⽤的⼒⽓总和int temp = dp[i][k] + dp[k + 1][j] + sum; // 计算从 k ⽯⼦堆分开时，使⽤的⼒⽓总和if (temp < dp[i][j]) {dp[i][j] = temp;location[i][j] = k;}}}}}/*** 输出*/private static void print() {System.out.println("动规数组【不同堆数合并⽯⼦所费⼒⽓】:");for (int i = 0; i < num; i++) {for (int j = 0; j < num; j++) {System.out.print(dp[i][j] + " ");}System.out.println();}System.out.println("不同堆数合并⽯⼦最省⼒⽓断开位置最优解:");for (int i = 0; i < num; i++) {for (int j = 0; j < num; j++) {System.out.print(location[i][j] + " ");}System.out.println();}}public static void main(String[] args) {// 初始化数据initData();// 计算最省最费⼒⽓值dpFindMinStrength();// 输出print();}}⽯⼦合并核⼼代码（5）输⼊输出请输⼊⽯⼦堆数量:4请输⼊每堆⽯⼦的重量:4 45 9动规数组【不同堆数合并⽯⼦所费⼒⽓】:0 8 21 430 0 9 270 0 0 140 0 0 0不同堆数合并⽯⼦最省⼒⽓分开位置最优解【下标从数组 0 开始分开】:0 0 1 20 0 1 20 0 0 20 0 0 0输⼊输出（6）总结 ⽯⼦合并问题完全提现了动态规划的核⼼思想，先求解⼦问题的解【⼦问题求解不相互独⽴，相互依赖】，然后从这些⼦问题的解中得到原问题的解，进⽽得到该问题的最优解。
石子合并问题
石子合并问题
石子合并问题是最经典的DP问题。
首先它有如下3种题型：
(1)有N堆石子，现要将石子有序的合并成一堆，规定如下：每次只能移动任意的2堆石子合并，合并花费为新合成的一堆石子的数量。
求将这N堆石子合并成一堆的总花费最小（或最大）。
分析：当然这种情况是最简单的情况，合并的是任意两堆，直接贪心即可，每次选择最小的两堆合并。
本问题实际上就是哈夫曼的变形。
(2)有N堆石子，现要将石子有序的合并成一堆，规定如下：每次只能移动相邻的2堆石子合并，合并花费为新合成的一堆石子的数量。
求将这N堆石子合并成一堆的总花费最小（或最大）。
分析：我们熟悉矩阵连乘，知道矩阵连乘也是每次合并相邻的两个矩阵，那么石子合并可以用矩阵连乘的方式来解决。
设dp[i][j]表示第i到第j堆石子合并的最优值，sum[i][j]表示第i到第j 堆石子的总数量。
那么就有状态转移公式：
代码如下：（直线）
return 0;
}
(3)问题(2)的是在石子排列是直线情况下的解法，如果把石子改为环形排列，又怎么做呢？
分析：状态转移方程为：
其中有：
代码如下：（环形）
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define INF 10000
#define N 205
int mins[N][N];
int maxs[N][N];
int sum[N],a[N];
int minval,maxval;
int n;
int min(int a,int b)
{
return a<b?a:b;。
石子合并问题
石子合并问题在一个圆形操场的四周摆放着n堆石子。
现要将石子有次序地合并成一堆。
规定每次只能选相邻的2堆石子合并成新的一堆，并将新的一堆石子数记为该次合并的得分。
试设计一个算法，计算出将n堆石子合并成一堆的最小得分和最大得分。
分析：假设有n堆石子需要合并,可以设计一个2*n-1个元素的数组来存储每堆石子的个数。
分析最优解的结构：假设有石头AiAi+1……Aj需要合并,简记为A[i,j].如果设最后一次合并发生在Ak与Ak+1之间(i<=k<j),则最后一个合并的得分为Ai……Aj堆石头的个数的总和记为totalValue(i,j).(不管你最后一次合并发生在哪个位置,totalValue(i,j)的值都是一样的)因此总的得分等于A[i,k]的得分加上A[k+1,j]的得分再加上totalValue(i,j).可以假设计算A[0,n-1]的一个最优次序所包含的计算子链A[0,k]和A[K+1,n-1]的次序也是最优的.证明:假设存在一个比计算A[0,k]的次序得分更少的次序,则用此次序来替换原来计算A[0,k]的次序,那么此时计算A[0,n-1]次序的得分就会比最优次序所得到的分数更少,这与假设相矛盾;同理可证明:计算A[0,n-1]的一个最优次序所包含的另一个计算子链A[k+1,n-1]的次序也是最优的!综上所述,此题满足最优子结构性质,因此可以用动态规划算法来求解.建立递归关系设m[i][j]表示A[i,j]的计算结果.当i=j时,表示只有一堆石头,不能合并,因此得分为零,所以m[i,j]=0;当i<j时,可利用最优子结构性质来计算m[i][j],m[i,j]=m[i,k]+m[k+1,j]+totalValue(i,j)(i<=k<j)可用矩阵连乘的最优计算次序问题来求解这题.可选用自顶向下的备忘录算法或是自底向上的动态规划算法.以下代码使用动态规划算法:[cpp]view plaincopy1.void MatrixChain(int *p,int n,int **m,int flag) //矩阵连乘算法2.{3.for(int i=0;i<n;i++)4.m[i][i]=0;5.for(int r=2;r<n;r++)6.for(int i=0;i<n-r+1;i++)7.{8.int j=i+r-1;9.int temp=totalValue(i,j,p);10.m[i][j]=m[i+1][j]+temp;11.for(int k=i+1;k<j;k++)12.{13.int t=m[i][k]+m[k+1][j]+temp;14.if(!flag) //求最小得分15.{16.if(t<m[i][j])17. m[i][j]=t;18.}19.else//求最大得分20.if(t>m[i][j])21.m[i][j]=t;22.}23.}24.}25.MatrixChain(inputNum,2*n-1,m,0); //计算最小得分26.int resultMin=m[0][n-1];27.for(i=1;i<=n-1;i++)28.if(resultMin>m[i][n-1+i])29.resultMin=m[i][n-1+i];30.31.MatrixChain(inputNum,2*n-1,m,1); //计算最大得分32.int resultMax=m[0][n-1];33.for(i=1;i<=n-1;i++)34.if(resultMax<m[i][n-1+i])35.resultMax=m[i][n-1+i];。
动态规划思想：石子合并问题
动态规划思想：⽯⼦合并问题描述：在⼀个圆形操场的四周摆放着n 堆⽯⼦。
现要将⽯⼦有次序地合并成⼀堆。
规定每次只能选相邻的2 堆⽯⼦合并成新的⼀堆，并将新的⼀堆⽯⼦数记为该次合并的得分。
试设计⼀个算法，计算出将n堆⽯⼦合并成⼀堆的最⼩得分和最⼤得分。
开始以为通过贪⼼算法可能很快解决问题，可是是⾏不通的。
⾸先我们可以把这么堆⽯⼦看成⼀列我们假如5堆的⽯⼦，其中⽯⼦数分别为7，6，5，7，100•按照贪⼼法，合并的过程如下：每次合并得分第⼀次合并 7 6 5 7 100 =11 第⼆次合并 7 11 7 100=18 第三次合并 18 7 100 =25第四次合并 25 100 =125总得分＝11＋18＋25+125＝179•另⼀种合并⽅案每次合并得分 第⼀次合并 7 6 5 7 100 ->13第⼆次合并 13 5 7 100->12第三次合并 13 12 100 ->25第四次合并 25 100 ->125总得分＝13＋12＋25+125＝175显然利⽤贪⼼来做是错误的，贪⼼算法在⼦过程中得出的解只是局部最优,⽽不能保证使得全局的值最优。
如果N－1次合并的全局最优解包含了每⼀次合并的⼦问题的最优解，那么经这样的N－1次合并后的得分总和必然是最优的。
因此我们需要通过动态规划算法来求出最优解。
在此我们假设有n堆⽯⼦，⼀字排开，合并相邻两堆的⽯⼦，每合并两堆⽯⼦得到⼀个分数，最终合并后总分数最少的。
我们设m(i,j)定义为第i堆⽯⼦到第j堆⽯⼦合并后的最少总分数。
a(i)为第i堆⽯⼦得⽯⼦数量。
当合并的⽯⼦堆为1堆时，很明显m(i,i)的分数为0; 当合并的⽯⼦堆为2堆时，m(i,i+1)的分数为a(i)+a(i+1); 当合并的⽯⼦堆为3堆时，m(i,i+2)的分数为MIN((m(i,i)+m(i+1,i+2)+sum(i,i+2)),(m(i,i+1)+m(i+2,i+2)+sum(i,i+2)); 当合并的⽯⼦堆为4堆时......代码实现如下：1 #include<stdio.h>2#define N 1003/*4 *求合并过程中5 *最少合并堆数⽬6 **/7int MatrixChain_min(int p[N],int n)8 {9//定义⼆维数组m[i][j]来记录i到j的合并过成中最少⽯⼦数⽬10 //此处赋值为-11112int m[N][N];13for(int x=1;x<=n;x++)14for(int z=1;z<=n;z++)15 {16 m[x][z]=-1;17 }1819int min=0;2021//当⼀个单独合并时，m[i][i]设为0，表⽰没有⽯⼦22for(int g = 1;g<=n;g++) m[g][g]=0;2324//当相邻的两堆⽯⼦合并时，此时的m很容易可以看出是两者之和25for(int i=1;i<=n-1;i++)26 {27int j=i+1;28 m[i][j]=p[i]+p[j];29 }3031//当相邻的3堆以及到最后的n堆时，执⾏以下循环32for(int r=3; r<=n;r++)33for(int i=1;i<=n-r+1;i++)34 {35int j = i+r-1; //j总是距离i r-1的距离36int sum=0;37//当i到j堆⽯⼦合并时最后⾥⾯的⽯⼦数求和得sum38for(int b=i;b<=j;b++)39 sum+=p[b];4041// 此时m[i][j]为i~j堆⽯⼦间以m[i][i]+m[i+1][j]+sum结果，这是其中⼀种可能，不⼀定是最优42 //要与下⾯的情况相⽐较，唉，太详细了4344 m[i][j] = m[i+1][j]+sum;4546//除上⾯⼀种组合情况外的其他组合情况47for(int k=i+1;k<j;k++)48 {49int t=m[i][k]+m[k+1][j]+sum;50if(t<m[i][j])51 m[i][j] = t;5253 }54 }55//最终得到最优解56 min=m[1][n];57return min;585960 }6162/*63 *求合并过程中64 *最多合并堆数⽬65 **/6667int MatrixChain_max(int p[N],int n)68 {69int m[N][N];70for(int x=1;x<=n;x++)71for(int z=1;z<=n;z++)72 {73 m[x][z]=-1;74 }757677int max=0;78//⼀个独⾃组合时79for(int g = 1;g<=n;g++) m[g][g]=0;80//两个两两组合时81for(int i=1;i<=n-1;i++)82 {83int j=i+1;84 m[i][j]=p[i]+p[j];85 }8687for(int r=3; r<=n;r++)88for(int i=1;i<=n-r+1;i++)89 {90int j = i+r-1;91int sum=0;92for(int b=i;b<=j;b++)93 sum+=p[b];94 m[i][j] = m[i+1][j]+sum;9596for(int k=i+1;k<j;k++)97 {98int t=m[i][k]+m[k+1][j]+sum;99if(t>m[i][j])100 m[i][j] = t;101102 }103 }104105 max=m[1][n];106return max;107108109 }110int main()111 {112int stone[N];113int min=0;114int max=0;115int n;116 scanf("%d",&n);117for(int i=1;i<=n;i++)118 scanf("%d",&stone[i]);119120 min= MatrixChain_min(stone,n);121 max= MatrixChain_max(stone,n);122123//因为题⽬要求圆的原因，要把所有情况都要考虑到，总共有n种情况。
算法设计与分析 期末试卷 A卷(完整含答案)
4、操场上摆放一行共n堆石头，呈直线排列。n堆石子从左到右方向编号为1~n，每堆石子 个数分别为a[1],…,a[n]，现在要将石子有次序的合并为一堆，规定每次只能选相邻的2堆合 并为新的一堆，并将新的一堆的石子数记为该次合并的得分，经过n-1次合并，最终合并为 一堆，总得分为n-1次合并得分之和。现要设计一个算法，计算出将一行的n堆石子合并为一 堆的最小得分。这里假设m[i,j]为合并石子Ai…Aj, 1≤i≤j≤n，所得到的最小得分。请写出 m[i,j]的递推公式。 （5分）
3
m[1][3] min{m[1][1] m[2][3] p0 p1 p3 , m[1][2] m[3][3] p0 p2 p3} 7500; m[2][4] min{m[2][2] m[3][4] p1 p2 p4 , m[2][3] m[4][4] p1 p3 p4 } 5000;
则 O( f 2 (n)) O(_____________) 则 O( f 3 (n)) O(_____________) 则 O( f 4 (n)) O(_____________) 则 O( f 5 (n)) O(_____________)
n
f 4 (n) 2log n ，
参考解答：设 n 堆石子从左到右方向编号为 1,2,…,n，每堆石子个数分别为 a[1],…,a[n]。n 堆石子的合并有许多不同 的方式，每种合并方式对应于 n 个矩阵连乘的一种完全加括弧方式。显然，这里合并是满足最优子结构性质的，用 A1…An 来代表每堆的石子，则最后一次合并在 Ak 和 Ak+1 之间，则 A1…An 的最优合并为((A1…Ak)(Ak+1…An))，可以看出最优 解左边部分(A1…Ak)和右边部分(Ak+1…An)的合并也分别是最优的。 假设 m[i,j]为合并石子 Ai…Aj, 1≤i≤j≤n，所得到的最小得分，若没有“合并”这个动作，则为 0。原问题所求 的最优值即为 m[1,n]。
石子合并问题DP
⽯⼦合并问题DPSTART:2021-08-1014:29:041.问题描述：有N堆⽯⼦排成⼀排，每堆⽯⼦有⼀定的数量。
现要将N堆⽯⼦并成为⼀堆。
合并的过程只能每次将相邻的两堆⽯⼦堆成⼀堆，每次合并花费的代价为这两堆⽯⼦的和，经过N-1次合并后成为⼀堆。
求出总的代价最⼩值。
2. 输⼊输出⽰例输⼊有多组测试数据，输⼊到⽂件结束。
每组测试数据第⼀⾏有⼀个整数n，表⽰有n堆⽯⼦。
接下来的⼀⾏有n（0< n <200）个数，分别表⽰这n堆⽯⼦的数⽬，⽤空格隔开输出输出总代价的最⼩值，占单独的⼀⾏样例输⼊231 2 3713 7 8 16 21 4 18样例输出92393.分析：由题⽬我们可知，题⽬将给我们测试数据的组数，我们定义⼀个变量t来储存，⽤while(t--)来处理了这t组数据。
对于每组数据，我们⾸先会得到有n堆的⽯⼦，然后得到这n堆⽯⼦每堆⽯⼦的数⽬。
处理完数据，我们得设计算法来解题了：对于不同的顺序，我们合并⽯⼦的代价不同。
我们举个栗⼦，给定4个⽯堆，分别有1个，2个，3个，4个⽯堆，我们先全部遍历⼀遍，⽐如，先只遍历长度为2的合并，看看有什么规律：我们可以看到，有四个⽯堆，分别有1个，2个，3个, 4个⽯头，我们先执⾏长度为2的合并：我们⽤sum[i][j]表⽰从i合并到j需要多少代价，dp[i][j]表⽰合并区间[ i , j ]的⽯堆累计的代价第⼀种：1∪2==>sum[1][2]=1+2=3,dp[1][2]=3第⼆种：2∪3==>sum[2][3]=2+3=5,dp[2][3]=5第三种：3∪4==>sum[3][4]=3+4=7,dp[3][4]=7我们只有四个⽯堆，所以合并长度为2的⽅案只有这三个，然后接着我们合并长度为3的：合并区间[ 1 , 3 ]有以下两种⽅案：第⼀种：合并{1∪2,3}，所以（1∪2）∪3：sum[1][3]=sum[1][2]+sum[3][3]=3+3=6dp[1][3]=sum[1][2]+sum[1][3]=3+6=9第⼆种：合并{1,2∪3}，所以1∪（2∪3）：sum[1][3]=sum[1][1]+sum[2][3]=1+5=6dp[1][3]=sum[2][3]+sum[1][3]=5+6=11所以合并区间[1,3]的最优⽅案是先合并1,2再合并3。
矩阵连乘问题的算法
矩阵连乘问题的算法介绍矩阵连乘问题是一个经典的数学问题，它涉及到如何寻找一组矩阵相乘的最优顺序，使得计算所需的乘法操作总数最小化。
这个问题在计算机科学和算法设计中有着重要的应用。
本文将介绍矩阵连乘问题的算法及其相关概念和应用。
问题描述给定一组矩阵{A1, A2, A3, …, An}，其中Ai的维度为pi-1 × pi（1 ≤ i ≤ n），我们希望找到一种矩阵相乘的顺序，使得计算这些矩阵相乘所需的乘法操作总数最小化。
动态规划算法动态规划算法是解决矩阵连乘问题的经典方法。
它通过存储中间结果来避免重复计算，从而提高计算效率。
下面将介绍动态规划算法的具体实现步骤。
定义子问题假设我们要计算矩阵Ai × Ai+1 × … × Aj的最优顺序和乘法操作总数，其中i ≤ j。
确定状态转移方程设m[i][j]表示计算矩阵Ai × Ai+1 × … × Aj的最优顺序和乘法操作总数。
根据定义，我们有以下状态转移方程： - 当i = j时，m[i][j] = 0，因为只有一个矩阵无需进行乘法操作； - 当i < j时，m[i][j] = min{m[i][k] + m[k+1][j] + pi-1 × pk × pj}，其中i ≤ k < j。
填表计算最优值根据状态转移方程，我们可以使用动态规划的方法逐步填充表格m。
具体步骤如下：1. 初始化所有m[i][i]为0（0 ≤ i ≤ n）； 2. 对于每个子问题(i, j)，从i= 1递增到j = n-1，按照递增的长度进行计算： - 对于每个i和j，根据状态转移方程计算m[i][j]； 3. 最终，m[1][n-1]即为所求的计算矩阵Ai × Ai+1× … × An的最优顺序和乘法操作总数。
重构最优解为了得到最优顺序下的具体计算过程，我们可以使用一个辅助表格s来记录最优划分点。
石子合并问题实验报告
一、实验目的1. 了解石子合并问题的背景和意义；2. 掌握石子合并问题的解决方法；3. 提高实验操作能力和数据分析能力。
二、实验原理石子合并问题是一个经典的数学问题，主要研究如何将若干个石子合并成若干个尽可能大的石子堆。
该问题在现实生活中具有广泛的应用，如城市规划、资源分配等。
实验通过模拟石子合并过程，寻找最优的合并策略。
三、实验材料1. 石子若干；2. 纸和笔；3. 计算器。
四、实验步骤1. 准备实验材料，将石子随机分成若干堆；2. 记录每堆石子的数量；3. 按照一定的合并策略进行合并，如从数量最少的一堆开始合并；4. 记录每次合并后的石子堆数量和数量；5. 重复步骤3和4，直到所有石子合并成若干个石子堆；6. 分析实验结果，总结最优合并策略。
五、实验结果与分析1. 实验结果通过多次实验，发现以下几种合并策略：（1）从数量最少的一堆开始合并；（2）从数量最多的一堆开始合并；（3）从数量相差最小的一堆开始合并。
2. 实验分析（1）从数量最少的一堆开始合并：该策略在合并过程中可以逐渐减少石子堆的数量，但可能导致石子堆的体积差异较大。
（2）从数量最多的一堆开始合并：该策略在合并过程中可以保持石子堆的体积相对稳定，但可能导致石子堆的数量较多。
（3）从数量相差最小的一堆开始合并：该策略在合并过程中可以平衡石子堆的数量和体积，但需要花费更多的时间进行筛选。
综上所述，从数量相差最小的一堆开始合并是一种较为合理的合并策略。
六、实验结论1. 通过石子合并问题实验，了解了石子合并问题的背景和意义；2. 掌握了石子合并问题的解决方法，即从数量相差最小的一堆开始合并；3. 提高了实验操作能力和数据分析能力。
七、实验心得1. 在实验过程中，要注重观察和分析，以便找到最优的合并策略；2. 要善于总结经验，提高实验效率；3. 要注重团队合作，共同完成实验任务。
八、实验展望石子合并问题在现实生活中具有广泛的应用，未来可以从以下几个方面进行深入研究：1. 探讨不同合并策略的优缺点，寻找更优的合并策略；2. 将石子合并问题与其他实际问题相结合，如城市规划、资源分配等；3. 利用计算机技术，模拟石子合并过程，提高实验效率。
经典算法
但有些却不能 改进算法－贪心 一般情况下这类问题没有绝对正确的贪 心算法 动态规划求解－这类问题不能用平常的 动规求解，因为无法划分阶段
最优排列匹配问题
推荐算法1－遗传算法 由于是求一种排列情况，那么，假设当前有排
列a1,a2,a3 …… an 假设交换ai,aj可以使得整个排列所能达到的一 个期望值，也就是我们需要得到的一个值更加 优秀的话，那么就应该交换ai,aj。如此交换， 直到找不出这样的ai,aj为止 这显然是一种贪心的思想
时间是2nn2，空间是2nn 只能承受到n=17 所以需要注意优化，比如说判断s的第i位 是不是1，用下面这个语句： OK:=(s xor (s-1 shl (i-1)))=1 shl (i-1) 还有一些优化措施是做一些预处理
最优排列匹配问题
推荐算法3－KM算法 只适用于二分图匹配问题
导弹拦截
Noip的导弹拦截问题其实是求一个最长
不上升序列。 如果将序列反过来，则是一个最长不下 降子序列问题，称为LST。 先来看看一般的解法： For i:=2 to n do for j:=i-1 downto 1 do if high[i]>high[j] then f[i]:=max(f[i],f[j]+1);
最优排列匹配问题
推荐算法2－状态压缩型动态规划 某些特殊情况下，即使n较小，例如只有
20，但对于某些特殊的问题仍然不能够 在短时间内得出最优解 在n较小，遗传算法效果不理想的情况下， 用状态压缩型动态规划求解 所谓的状态压缩，是指将状态用2进制数 表示
最优排列匹配问题
具体实例：求harmilton回路 状态的表示－f[s,i]
导弹拦截
经典的石子合并
经典的石子合并问题描述：在一个圆形操场的四周摆放着n堆石子。
现要将石子有次序地合并成一堆。
规定每次只能选相邻的2堆石子合并成新的一堆，并将新的一堆石子数记为该次合并的得分。
试设计一个算法，计算出将n堆石子合并成一堆的最小得分和最大得分。
对于给定n 堆石子,编程计算合并成一堆的最小得分和最大得分，并输出具体合并过程。
我觉得这是一道很有难度的动态规划算法题，如果不看资料，绝对是无法正确得到状态转移方程与输出最优解的合并过程的。
下面我整理了一下该问题的具体算法分析设计过程。
DP算法分析与设计：我们把每一次合并划分为阶段，当前阶段中计算出的得分和作为前一次合并的基础上定义一个能使目前得分总和最大的合并方案作为一次决策。
显然，某阶段的状态给阶段的决策不受这阶段以前各段状态的影响。
这种无后效性的性质符最佳原理，因此可采用动态规划算法。
DP状态表示：我们用〔i，j〕表示一个从第i堆数起，顺时针数j堆时的子序列第i堆、第i+1堆、……(i+j-1) mod n堆｝。
为了输出最优解的方便，我们定义一个结构体Node，它包含两个域c --- 得分；d --- 最优化选择时子序列1的堆数。
有：f[i][j]表示一个从第i堆数起，顺时针数j堆时的子序列(i, i+1... (i+j-1)%n+1)(1) 在该子序列的各堆石子合并成一堆的过程中，各次合并得分的总和---c(2) 形成最佳得分和的子序列1和子序列2。
由于两个子序列是相邻的，因此只需记住子序列1的堆数k即可--- dDP边条及状态转移方程：(1) 边条：显然，对每一堆石子来说，仅含一堆石子的序列不存在合并有:f[i][1].c = 0，f[i][1].d = 0 （1 <= i <= N）(2) 方程：对子序列(i，j)最后一次合并，其得分为第i堆数起，顺时针数j堆的石子总数t。
被合并的两堆石子是由子序列(i, k)和((i+k-1)%n+1, j-k)(1<=k<=j-1)经有限次合并形成的。
石子合并问题原理
石子合并问题原理
石子合并问题是一个经典的动态规划问题。
假设有n堆石子，每堆石子的数量分别为a_1, a_2, ..., a_n。
当合并两堆石子时，合并的代价为两堆石子的数量之和。
最终目标是通过一系列合并操作，使得最终只剩下一堆石子，并且合并的总代价最小。
为了解决这个问题，可以使用动态规划的思想。
定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示从第i堆石子到第j堆石子合并的最小代价。
当i=j时，即只有一堆石子，不需要进行任何合并，所以
dp[i][j]=0。
当i<j时，假设k是i和j之间的一个分割点，那么dp[i][j]的值可以通过枚举所有可能的分割点k来求得。
具体计算dp[i][j]的方法如下：
- 首先，将dp[i][j]初始化为一个较大的值，比如无穷大。
- 然后，枚举分割点k，计算合并左侧和右侧的代价，即
dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum(a_i to a_j)。
- 最后，选取所有分割点中代价最小的那个作为dp[i][j]的值。
最终，dp[1][n]就是合并所有石子的最小代价。
实际上，可以通过动态规划的方式先计算出所有长度为2、3、...、n的子问题的解，然后再利用这些子问题的解来递推计
算整个问题的解，这就是动态规划的思想。
总结起来，石子合并问题的原理就是使用动态规划，通过定义状态和状态转移方程，逐步递推计算出最终的结果。
矩阵连乘问题（内附动态规划算法代码）
矩阵连乘问题（内附动态规划算法代码）矩阵连乘问题若矩阵A是⼀个p*q的矩阵，B是⼀个q*r的矩阵，则C=AB，是⼀个p*r的矩阵，需进⾏pqr次数乘计算。
存在{A1,A2,A3}三个矩阵，维数分别为100*5，5*50，50*10。
若直接相乘，A1*A2*A3，则需要进⾏n=100*5*50+100*50*10=25000+50000=75000次数乘计算。
如果我们调整运算顺序，A1*(A2*A3)，则需要进⾏n=5*50*10+100*5*10=2500+5000=7500次数乘计算。
由此可见，当进⾏矩阵连乘运算时，加括号的⽅式，即计算次序对计算量有很⼤的影响。
代码展⽰：1 #include<iostream>23using namespace std;4/*5⾃底向上的推出矩阵连乘的最优解6先从两个矩阵相乘开始，⽽后三个矩阵相乘，四个......直到推出⽬标长度的最优解，即假设⼀个矩阵链，初始长度为2，算出所有相邻矩阵相乘的计算次数，⽽后使其长度为3...4...直到⽬标长度 7状态转移⽅程：8 m[i][j]=min {m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j]} i<=k<j i<j9 m[i][j]=0 i==j;10*/11#define LEN 5 //矩阵个数12//矩阵连乘函数，找到最优解13void MatrixChain(int *p, int m[][LEN + 1], int s[][LEN + 1]) {14for (int i = 0; i < LEN + 1; i++) m[i][i] = 0; //初始化，对⾓线元素置零，即当矩阵链长度为1时（只有⼀个矩阵）不⽤乘，为零15for (int r = 2; r <= LEN; r++) { //r表⽰矩阵链的长度，从2开始,两个矩阵相乘，⽽后3...4...5...16for (int i = 1; i <= LEN - r + 1; i++) { //i是矩阵链的⾸个矩阵，⼩于矩阵个数减矩阵链长度加⼀17int j = i + r - 1; //j是矩阵链的最后⼀个元素18 m[i][j] = m[i][i] + m[i + 1][j] + p[i - 1] * p[i] * p[j]; //m[i][j]是⼦结构，从最左边开始推19 s[i][j] = i; //标记断开的位置20for (int k = i + 1; k < j; k++) { //k是i和j直接的断开点，是在i和j之间的⼦结构，通过k的循环找到最优的解21int t = m[i][k] + m[k + 1][j] + p[i - 1] * p[k] * p[j]; //状态转移⽅程22if (t < m[i][j]) {23 m[i][j] = t; //更新最优解24 s[i][j] = k; //更新断开点25 }26 }27 }28 }29 }3031//回溯函数，根据s[i][j]数组标记的位置，回溯找到断开的位置32void Traceback(int i, int j, int s[][LEN + 1]) {33if (i == j) { //当i与j相等说明回溯到该矩阵的位置了34 cout << "A" << i;35 }36else {37 cout << "(";38 Traceback(i, s[i][j], s); //从尾往头回溯39 Traceback(s[i][j] + 1, j, s); //从断点往后回溯40 cout << ")";41 }42 }43//输出函数44void output(int t[][LEN + 1]) {45for (int i = 1; i <= LEN; i++) {46for (int j = 1; j <= LEN; j++) {47 cout << "" << t[i][j] << "";48 }49 cout << endl;50 }51 }52int main(void) {53int p[LEN + 1] = { 6,8,9,3,4,10 }; //矩阵的维度分别是2*3,3*4,4*5,5*6,6*7，LEN+1个数表⽰LEN个矩阵54int m[LEN + 1][LEN + 1] = { 0 }; //记录最优⼦结构的⼆维数组55int s[LEN + 1][LEN + 1] = { 0 }; //记录最优解对应的括号的位置5657 MatrixChain(p, m, s);5859 cout << endl;60 output(m);61 cout << endl;62 output(s);63 cout << endl;64 cout << "outcome:" <<endl;65 Traceback(1, LEN, s);66 cout << endl;6768return0;69 }运⾏结果：与备忘录⽅法的区别：我们使⽤的动态规划⽅法中其实融⼊了备忘录的⼀些东西，我们的m和s数组都是⽤来记录的，所以备忘录⽅法与我们使⽤的⽅法类似，不同在于，我们是⾃底向上的，⽽备忘录⽅法是⾃顶向下的进⾏。
[动态规划]石子合并问题
![[动态规划]石子合并问题](https://img.taocdn.com/s3/m/ce3ca426905f804d2b160b4e767f5acfa0c7835c.png)
[动态规划]⽯⼦合并问题https:///onlinejudge2/index.php/Home/Contest/contestproblem/cid/3016/pid/1729⽯⼦合并问题Time Limit: 1000 ms Memory Limit: 65536 KiBProblem Description在⼀个圆形操场的四周摆放着n堆⽯⼦。
现要将⽯⼦有次序地合并成⼀堆。
规定每次只能选相邻的2 堆⽯⼦合并成新的⼀堆，并将新的⼀堆⽯⼦数记为该次合并的得分。
试设计⼀个算法，计算出将n堆⽯⼦合并成⼀堆的最⼩得分和最⼤得分。
对于给定n堆⽯⼦,计算合并成⼀堆的最⼩得分和最⼤得分。
Input输⼊数据的第1⾏是正整数n，1≤n≤100，表⽰有n堆⽯⼦。
第⼆⾏有n个数，分别表⽰每堆⽯⼦的个数。
Output输出数据有两⾏，第1⾏中的数是最⼩得分，第2⾏中的数是最⼤得分。
Sample Input44 45 9Sample Output4354算法考试考完了(题⽬有点简单侥幸AK..),但这个问题当时困扰我了很久，⽹上解答的很模糊，因此还是在这⾥记录⼀下吧。
这题的难点是：如果将环形转换为直线（直线的⽹上有很多解答，这⾥不做赘述）。
其核⼼思想就是：通过将数量变为 2n-1 来转换成直线问题。
当时看到这⼏⾏字困惑了很久，⼀直不太理解，但之后画图就懂了。
1. 我们为了将环形变为直线，必须规定转动顺序，这⾥采⽤逆时针转动，且以 i 作为起点，j作为终点。
(右下图）2. 当规定好终点了，那么这环形有4种情况，我们求在这四种情况下最下的。
(右上图）3. 关于转换成直线，⽐如存在 a(0) -> b(1) -> c(2) -> d(3) 与 d(3) -> a(4) -> b(5) -> c(6)。
第⼀条是 i=0,j=3的数组，第⼆条是 i=3,j=6 的数组。
这样，我们就不⽤返回去计算了( 3->0->1->2 )。
动态规划中的石子归并问题
动态规划中的⽯⼦归并问题⼀.有N堆⽯⼦，每堆的重量是w[i],可以任意选两堆合并，每次合并的花费为w[i]+w[j]，问把所有⽯⼦合并成为⼀堆后的最⼩花费是多少。
因为是可以任意合并，所以每次合并的时候选最⼩的两堆合并，贪⼼即可。
⼆.有N堆⽯⼦，每堆的重量是a[i],排成⼀条直线,每次只能合并相邻的两堆，直到合成⼀堆为⽌，问最后的最⼩花费是多少。
分析：因为规定了只能合并相邻的两堆，显然不能使⽤贪⼼法。
分成⼦问题来考虑，定义dp[i][j]表⽰从第i的⽯⼦合并到第j个⽯⼦的最⼩花费，那么dp[1][N]就是问题的解。
可以推出dp[i][j] = min(dp[i][k]+dp[k+1][j]) k∈(i,j)初始时dp[i][j] = INF(i!=j) dp[i][i] = INF1 #include <iostream>2 #include <cstring>3 #include <cstdio>4 #include <string>5 #include <algorithm>6using namespace std;7int T, n;8int a[210], dp[210][210], sum[210], s[210][210];9//这⾥是数据量⽐较⼩10int INF = 99999999;11int main(){12while(scanf("%d", &n) != EOF){13 memset(sum, 0, sizeof(sum));14for(int i = 1; i <= n; i++){15 cin>>a[i];16 sum[i] = sum[i-1] + a[i];17 }18for(int i = 1; i <= n; i++){19for(int j = 1; j <= n; j++)20 dp[i][j] = INF;21 }22for(int i = 1; i <= n; i++) dp[i][i] = 0;2324for(int len = 2; len <= n; len++){ //表⽰归并的长度25for(int i = 1; i <= n-len+1; i++){ //归并的第⼀位26int j = i+len-1; //归并的最后⼀位27for(int k = i; k < j; k++){28 dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k+1][j] + sum[j] - sum[i-1]);29 }30 }31 }32 cout<<dp[1][n]<<endl;33 }34return0;35 }这样复杂度是O（N^3）可以利⽤四边形不等式优化到O（N^2）四边形不等式：如果对于任意的a≤b≤c≤d，有m[a,c] + m[b,d] <= m[a,d] + m[b,c]那么m[i,j]满⾜四边形不等式。
动态规划-石子合并
目录
• 问题描述与背景 • 动态规划基础 • 石子合并问题动态规划解法 • 案例分析与实践 • 拓展应用与变体问题 • 总结与展望
问题描述与背景
01
石子合并问题介绍
问题描述
给定一个由正整数组成的环形数组，表示一堆环形排列的石子。每次操作可以选 择相邻的两堆石子进行合并，合并的代价为两堆石子的重量之和。求将所有石子 合并为一堆的最小代价。
算法性能评估与比较
时间复杂度分析
空间复杂度分析
动态规划算法的时间复杂度通常为 O(n^3)，其中n为石子的堆数。这是 因为需要枚举所有可能的区间和断点， 并进行状态转移。对于较大的n，可能 需要优化算法以降低时间复杂度。
动态规划算法的空间复杂度通常为 O(n^2)，其中n为石子的堆数。这是 因为需要使用一个二维数组来存储状 态转移的结果。可以通过滚动数组等 技巧优化空间复杂度。
与其他算法的比较
除了动态规划算法外，还可以使用贪 心算法、分治算法等来解决石子合并 问题。贪心算法通常具有较低的时间 复杂度，但可能无法得到最优解。分 治算法可以将问题分解为多个子问题 分别求解，但可能涉及大量的重复计 算。动态规划算法可以在保证得到最 优解的同时，避免重复计算，问题，且子问题的最优解 可以推出原问题的最优解。
无后效性
某个阶段的状态一旦确定， 则此后过程的发展不受此 前各段状态的影响。
石子合并问题动态规
03
划解法
状态定义与转移方程
状态定义
设 $f[i][ j]$ 表示将第 $i$ 堆到第 $j$ 堆石子合并成一堆的最 小/最大代价。
明确问题的边界条件，即最小子问题的解。
定义状态
为每个子问题定义一个状态，通常用一个数 组或哈希表来存储状态值。
stones
s[1,4]:=s[1,2]+s[3,2]+t[1,4]=7+11+18=36
s[1,4]:=s[1,3]+s[4,1]+t[1,4]=23+0+18=41
s[2,4]:=s[2,1]+s[3,3]+t[2,4]=0+26+19=45
s[1,3]:=s[1,1]+s[2,2]+t[1,3]=0+10+13=23
s[1,3]:=s[1,2]+s[3,1]+t[1,3]=7+0+13=20
s[2,3]:=s[2,1]+s[3,2]+t[2,3]=0+11+15=26
s[2,3]:=s[2,2]+s[4,1]+t[2,3]=10+0+15=25
s[5,4]:=s[5,1]+s[6,3]+t[5,4]=0+16+13=29
s[5,4]:=s[5,2]+s[1,2]+t[5,4]=6-,3]+s[2,1]+t[5,4]=15+0+13=28
s[6,4]:=s[6,1]+s[1,3]+t[6,4]=0+23+15=38
s[2,4]:=s[2,2]+s[4,2]+t[2,4]=10+9+19=38
s[2,4]:=s[2,3]+s[5,1]+t[2,4]=26+0+19=45
石子合并问题(矩阵连乘求解)
石子合并问题 (2011-11-14 21:06:38)描述：在一条直线上摆着N堆石子，现要将石子有序的合并成一堆，规定如下：每次只能移动相邻的2堆石子合并，合并花费为将的一堆石子的数量。
设计一个算法，将这N堆石子合并成一堆的总花费最小解析：采用动态递归，运用矩阵连乘思想即可解答此类题目源程序：#include <cstdlib>#include <cstdio>#include <cmath>#include <algorithm>using namespace std;#define MAXN 100int sum[MAXN][MAXN];int m[MAXN][MAXN];int t[MAXN][MAXN];int n, stone[MAXN];int MatrixChain_min( ){int min=0;for(int g =01;g<n;g++)m[g][g]=0;for(int i=0;i<n-1;i++){int j=i+1;m[i][j]=sum[i][j];}for(int r=3; r<=n;r++)for(int i=0;i<n-r+1;i++){int j = i+r-1;m[i][j] = m[i+1][j]+sum[i][j];t[i][j] = i;for(int k=i+1;k<j;k++){int l=m[i][k]+m[k+1][j]+sum[i][j];if(l < m[i][j]){ m[i][j] = l;t[i][j] = k;}}}min=m[0][n-1];return min;}int main(){ int i,j,q;scanf("%d", &n);for(i = 0; i < n; i++)scanf("%d", &stone[i]); for(i=0;i<n;i++){for(j=i+1;j<n;j++){int temp=0;for(q=i;q<=j;q++)temp=temp+stone[q];sum[i][j]=temp;}}int Best=MatrixChain_min(); printf("%d\n",Best);return 0;}。
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石子合并问题 (2011-11-14 21:06:38)
描述：在一条直线上摆着N堆石子，现要将石子有序的合并成一堆，规定如下：每次只能移动相邻的2堆石子合并，合并花费为将的一堆石子的数量。
设计一个算法，将这N堆石子合并成一堆的总花费最小
解析：
采用动态递归，运用矩阵连乘思想即可解答此类题目
源程序：
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 100
int sum[MAXN][MAXN];
int m[MAXN][MAXN];
int t[MAXN][MAXN];
int n, stone[MAXN];
int MatrixChain_min( )
{
int min=0;
for(int g =01;g<n;g++)
m[g][g]=0;
for(int i=0;i<n-1;i++)
{
int j=i+1;
m[i][j]=sum[i][j];
}
for(int r=3; r<=n;r++)
for(int i=0;i<n-r+1;i++)
{
int j = i+r-1;
m[i][j] = m[i+1][j]+sum[i][j];
t[i][j] = i;
for(int k=i+1;k<j;k++)
{
int l=m[i][k]+m[k+1][j]+sum[i][j];
if(l < m[i][j])
{ m[i][j] = l;
t[i][j] = k;
}
}
}
min=m[0][n-1];
return min;
}
int main()
{ int i,j,q;
scanf("%d", &n);
for(i = 0; i < n; i++)
scanf("%d", &stone[i]); for(i=0;i<n;i++)
{
for(j=i+1;j<n;j++)
{
int temp=0;
for(q=i;q<=j;q++)
temp=temp+stone[q];
sum[i][j]=temp;
}
}
int Best=MatrixChain_min(); printf("%d\n",Best);
return 0;
}。