新统编版第十一章三角形知识点总结.(优选)

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初二上册第11章三角形总结

初二上册第11章三角形知识点总结归纳一、三角形的基本概念与性质三角形的定义：由三条线段首尾顺次连接所围成的封闭图形叫做三角形。

这三条线段分别称为三角形的三边，相邻两边所组成的角称为三角形的内角。

三角形的分类：按角的大小分类：锐角三角形（三个角都是锐角）、直角三角形（有一个角是直角）、钝角三角形（有一个角是钝角）。

按边的长短分类：不等边三角形（三边都不相等）、等腰三角形（有两边相等）、等边三角形（三边都相等）。

三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

举例：若三角形的三边分别为a、b、c，则必须满足a + b > c, a + c > b, b + c > a，以及|a - b| < c, |a - c| < b, |b - c| < a。

三角形的内角和：三角形的三个内角之和等于180°。

举例：在△ABC中，∠A + ∠B + ∠C = 180°。

三角形的稳定性：三角形具有稳定性，即三角形的形状和大小在其三边长度确定后就不会改变。

举例：建筑中的钢架结构、桥梁的支撑结构等常利用三角形的稳定性。

二、等腰三角形与等边三角形的性质与判定等腰三角形的性质：等腰三角形的两底角相等。

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。

举例：在等腰△ABC中，若AB = AC，则∠B = ∠C，且AD（顶角平分线、底边上的中线、底边上的高）重合。

等腰三角形的判定：有两边相等的三角形是等腰三角形。

有两个角相等的三角形是等腰三角形。

举例：若△ABC中，AB = AC或∠B = ∠C，则△ABC是等腰三角形。

等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且每个角都为60°。

等边三角形的三条边都相等。

等边三角形的每条边上的中线、高线和对角的平分线三线合一。

举例：在等边△ABC中，AB = BC = AC，∠A = ∠B = ∠C = 60°，且AD、BE、CF三线合一。

人教版八年级数学上册第十一章三角形知识归纳与题型突破(10类题型清单)

第十一章三角形知识归纳与题型突破（题型清单）01思维导图02知识速记一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示．二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.推论：三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系．三、三角形的分类1.按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形　锐角三角形斜三角形　钝角三角形要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.2.按边分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形　底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形　等边三角形要点诠释：①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;③等边三角形：三边都相等的三角形.四、三角形的三条重要线段三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：线段名称三角形的高三角形的中线三角形的角平分线文字语言从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．图形语言作图语言过点A 作AD ⊥BC 于点D ．取BC 边的中点D ，连接AD ．作∠BAC 的平分线AD ，交BC 于点D ．标示图形符号语言1．AD 是△ABC 的高．2．AD 是△ABC 中BC 边上的高．3．AD ⊥BC 于点D ．4．∠ADC ＝90°，∠ADB ＝90°．1．AD 是△ABC 的中线．2．AD 是△ABC 中BC 边上的中线．3．BD ＝DC ＝12BC 4．点D 是BC 边的中点．1．AD 是△ABC 的角平分线．2．AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ．3．∠1＝∠2＝12∠BAC ．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)推理语言因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°)因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝12BC．因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝12∠BAC．用途举例1．线段垂直．2．角度相等．1．线段相等．2．面积相等．角度相等．注意事项1．与边的垂线不同．2．不一定在三角形内．—与角的平分线不同．重要特征三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．五、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.要点诠释：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．六、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．七、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．八、多边形的概念1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．3.多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：要点诠释：(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；(2)过n 边形的一个顶点可以引(n -3)条对角线，n 边形对角线的条数为(3)2n n -；(3)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n -2)个三角形．九、多边形内角和n 边形的内角和为(n -2)·180°(n ≥3)．要点诠释：(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180n n- °；十、多边形的外角和多边形的外角和为360°．要点诠释：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；(2)正n 边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360n°；(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．凸多边形凹多边形03题型归纳题型一三角形的稳定性例题：（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的（）A．全等性B．对称性C．稳定性D．灵活性巩固训练1．（23-24八年级上·云南昆明·期末）我国建造的港珠澳大桥全长55公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥的斜拉索，它能拉住桥面，并将桥面向下的力通过钢索传给索塔，确保桥面的稳定性和安全性．那么港珠澳大桥斜拉索建设运用的数学原理是（）A．三角形的不稳定性B．三角形的稳定性C．四边形的不稳定性D．四边形的稳定性3．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，松花江大桥的钢架结构采用三角形的形状，这其中运用的数学道理是.4．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，建高楼常需要用塔吊来吊建筑材料，而塔吊的上部是三角形结构，这是因为三角形具有．题型二判断三边是否能构成三角形例题：（23-24七年级下·江苏盐城·期末）下列每组数分别表示3根小木棒的长度(单位：cm)，其中能搭成三角形的是（）A．4，5，10B．5，5，10C．5，8，10D．5，10，15巩固训练1．（23-24七年级下·海南儋州·期末）下列长度的三条线段中，能构成三角形的是（）A．1，3，5B．2，4，6C．1，2，3D．3，4，52．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）甲同学对下列三角形的边长分别进行标注，那么他标注错误的是（）A．B．C．D．3．（2024·河北邯郸·二模）将一根吸管按如图所示的位置摆放在单位长度为1的数轴（不完整）上，吸管左-”处，右端对应数轴上的“5”处．若将该吸管剪成三段围成三角形，第一刀剪在数轴上的端对应数轴上的“8“5-”处，则第二刀可以剪在（）A．“4-”处B．“3-”处C．“1-”处D．“2”处题型三已知三角形的两边长，求第三边的取值范围两边长分别为4与5，第三边的长为奇数，则第三边的长的例题：（23-24七年级下·重庆·期末）已知ABC最大值为．巩固训练1．（23-24七年级下·江苏无锡·期末）已知三角形的两边长为3和4，则第三条边长可以为．（请写出一个符合条件的答案）2．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期中）一个三角形的两边长为2和6，第三边为奇数，则这个三角形的周长为．3．（23-24七年级下·内蒙古包头·期中）一个三角形的两边长分别为5和7，若x 为最长边且为整数，则此三角形的周长为．题型四判断是否三角形的高线例题：下列各图中，正确画出AC 边上的高的是（）A ．B ．C ．D ．巩固训练1．下面四个图形中，线段BD 是ABC 的高的图形是（）A ．B ．C ．D ．2．（2023秋·甘肃庆阳·八年级统考期末）如图，在ABC 中，A ∠是钝角，下列图中作BC 边上的高线，正确的是（）A ．B ．C ．D ．3．如图，AD BC ⊥，EC BC ⊥，CF AB ⊥，点D ，C ，F 是垂足，下列说法错误的是（）A ．ABD △中，AD 是BD 边上的高B ．ABD △中，EC 是BD 边上的高C ．CEB 中，EC 是BC 边上的高D ．CEB 中，FC 是BE 边上的高题型五根据三角形的中线求面积例题：（2023春·广东茂名·七年级校考阶段练习）如图，ABC 的面积为20，点D ，E ，F 分别为BC AD CE，，的中点，则阴影部分BFC △的面积为（）A ．4B ．5C ．6D ．10巩固训练1．（2023春·山西太原·七年级山西大附中校考期中）如图，AD BE 、是ABC 的中线，则下列结论中，正确的个数有（）（1）AOE COE S S = ；（2）AOB EODC S S = 四边形；（3）2BOC COE S S = ；（4）4ABC BOC S S = ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．（2023春·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）如图，BD 是ABC 的中线，点E 、F 分别为BD CE 、的中点，若AEF △的面积为22cm ，则ABC 的面积是________2cm ．3．（2023春·江苏南京·七年级校考阶段练习）如图，且满足13AE AD =，13AF AC =题型六与平行线有关的三角形内角和问题例题：（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，已知AB ED ∥，80EDC ∠=︒，53ECD ∠=︒，105B ∠=︒，那么ACB =∠．巩固训练1．（23-24七年级下·陕西渭南·期中）如图，在三角形ABC 中，点D ，H ，E 分别是边AB ，BC ，CA 上的点，连接DE ，DH ，F 为DH 上一点，连接EF ，若12180∠+∠=︒，365B ∠=∠=︒，52C ∠=︒．则FEC ∠的度数为︒．2．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）如图，AN 平分BAM ∠，BM 平分ABN ∠，AN BM ⊥于点C ，25MBN ∠=︒，则下列说法：①90BCN ∠=︒；②AM BN ；③50DAM ∠=︒；④60MAN ∠=︒，其中正确的是．（填序号）3．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如图，将一副直角三角板放在同一条直线AB 上，其中3045OMN OCD ∠=︒∠=︒，．将三角尺OCD 绕点O 以每秒10︒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为t 秒．在旋转的过程中，边CD 恰好与边MN 平行，t 的值为．题型七与角平分线有关的三角形内角和问题例题：（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，过点A 作EF BC ∥．若40EAB ∠=︒，80C ∠=︒，则ADC ∠=．巩固训练1．（23-24七年级下·上海浦东新·阶段练习）如图，在ABC 中，125BDC ∠=︒，如果ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点D ，那么A ∠=度．2．（23-24七年级下·辽宁大连·期中）如图，在ABC 中，BD CD 、分别平分,ABC ACB BG CG ∠∠、、分别平分三角形的两个外角,48EBC FCB G ∠∠∠=︒、，则D ∠=︒．3．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图，在ABC 中，30B ∠=︒，70C ∠=︒，AE 平分BAC ∠，AD BC ⊥于点D ．(1)求BAE ∠的度数．(2)求EAD ∠的度数．题型八三角形的外角的定义及性质例题：（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，在ABC 中，点D 在BC 的延长线上，70A ∠=︒，120ACD ∠=︒，则B ∠=︒．巩固训练1．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，已知直线12l l ∥，154∠=︒，2100∠=︒，则A ∠=度．2．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）如图，ABC 的两个外角的平分线交于点P ．若64BPC ∠=︒，则A ∠=．3．（23-24七年级下·江西南昌·期末）已知直线12l l ∥，将含30︒角的直角三角板按如图所示摆放．若2140∠=︒，则1∠=．题型九多边形的内角和与外角和例题：（23-24七年级下·江苏镇江·期末）足球的表面是由12个正五边形和20个正六边形组成的.如图，将足球上的一个正六边形和它相邻的一个正五边形展开放平，则图中的ABC ∠=．巩固训练1．（23-24九年级下·重庆开州·阶段练习）如图，3∠和4∠是四边形ABCD 的外角，若1120∠=︒，275∠=︒，则34∠+∠=．2．（23-24八年级下·江西萍乡·期末）一个多边形的内角和是它的外角和的1.5倍，则这个多边形的边数为．3．（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，已知59MON ∠=︒，正五边形ABCDE 的顶点A 、B 在射线OM 上，顶点E 在射线ON 上，则NED ∠的度数为．题型十在网格中画三角形的中线、高线及求三角形的面积例题：（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）下图为79⨯的网格，每一小格均为正方形，已知ABC ．(1)画出ABC 中BC 边上的中线AD ；(2)画出ABC 中AB 边上的高CE ．(3)直接写出ABC 的面积为_________．巩固训练1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A ，点B ，点C 在小正方形的顶点上．(1)画出ABC 中边BC 上的高AD ；(2)画出ABC 中边AB 上的中线CE ；(3)直接写出ACE △的面积为______．2.（23-24七年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，在方格纸内将ABC 水平向右平移4个单位得到A B C ''' ．(1)画出A B C ''' ；(2)若连接AA '，BB '，则这两条线段之间的关系是_________；(3)画出AB 边上的中线CD ；（利用网格点和直尺画图）(4)图中能使ABC PBC S S ＝△△的格点P 有_________个（点P 异于点A ）．3．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，方格纸中每个小正方形边长均为1，在方格纸内将ABC 的点C 平移至点C '得到A B C ''' ．(1)画出A B C ''' ；(2)线段AC 和A C ''的关系是_______．(3)借助方格画出AB 边上的中线CD 和高CE ；(4)四边形ACC A ''面积为_______．第十一章三角形知识归纳与题型突破（题型清单）01思维导图02知识速记一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示．二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.推论：三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系．三、三角形的分类1.按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形　锐角三角形斜三角形　钝角三角形要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.2.按边分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形　底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形　等边三角形要点诠释：①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;③等边三角形：三边都相等的三角形.四、三角形的三条重要线段三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：线段名称三角形的高三角形的中线三角形的角平分线文字语言从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．图形语言作图语言过点A 作AD ⊥BC 于点D ．取BC 边的中点D ，连接AD ．作∠BAC 的平分线AD ，交BC 于点D ．标示图形符号语言1．AD 是△ABC 的高．2．AD 是△ABC 中BC 边上的高．3．AD ⊥BC 于点D ．4．∠ADC ＝90°，∠ADB ＝90°．1．AD 是△ABC 的中线．2．AD 是△ABC 中BC 边上的中线．3．BD ＝DC ＝12BC 4．点D 是BC 边的中点．1．AD 是△ABC 的角平分线．2．AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ．3．∠1＝∠2＝12∠BAC ．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)推理语言因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°)因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝12BC．因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝12∠BAC．用途举例1．线段垂直．2．角度相等．1．线段相等．2．面积相等．角度相等．注意事项1．与边的垂线不同．2．不一定在三角形内．—与角的平分线不同．重要特征三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．五、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.要点诠释：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．六、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．七、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．八、多边形的概念1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．3.多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：要点诠释：(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；(2)过n 边形的一个顶点可以引(n -3)条对角线，n 边形对角线的条数为(3)2n n -；(3)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n -2)个三角形．九、多边形内角和n 边形的内角和为(n -2)·180°(n ≥3)．要点诠释：(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180n n- °；十、多边形的外角和多边形的外角和为360°．要点诠释：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；(2)正n 边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360n°；(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．凸多边形凹多边形03题型归纳题型一三角形的稳定性例题：（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的（）A．全等性B．对称性C．稳定性D．灵活性【答案】C【分析】本题主要考查了三角形具有稳定性，根据三角形具有稳定性，即可进行解答．【详解】解：墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的稳定性，故选；C．巩固训练1．（23-24八年级上·云南昆明·期末）我国建造的港珠澳大桥全长55公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥的斜拉索，它能拉住桥面，并将桥面向下的力通过钢索传给索塔，确保桥面的稳定性和安全性．那么港珠澳大桥斜拉索建设运用的数学原理是（）A．三角形的不稳定性B．三角形的稳定性C．四边形的不稳定性D．四边形的稳定性【答案】B【分析】本题主要考查了三角形的特性，解题的关键是熟练掌握三角形的稳定性；根据三角形的稳定性进行解答即可．。

八年级数学上册“第十一章三角形”必背知识点

八年级数学上册“第十一章三角形”必背知识点一、三角形的定义与基本性质1. 三角形的定义：不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

三角形有三条边、三个内角和三个顶点。

2. 三角形的分类：按边分：不等边三角形、等腰三角形（包括等边三角形，即三边都相等的特殊等腰三角形）。

按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

3. 三角形的主要线段：高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。

中线：连接三角形的一个顶点和它所对边的中点的线段。

三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分。

角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段。

三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于一点（内心）。

4. 三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，具有稳定性。

这一性质在生产生活中应用广泛。

二、三角形的三边关系基本定理：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

推论：根据三边关系可以判断三条线段是否能组成三角形，或已知两边时确定第三边的取值范围。

三、三角形的内角与外角1. 内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°。

推论：直角三角形的两个锐角互余。

2. 外角的定义与性质：定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

外角和定理：三角形的外角和为360°。

四、与三角形有关的角的其他性质等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）。

等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且均为60°。

五、多边形的基本概念与性质多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

多边形的内角与外角：内角：多边形相邻两边组成的角。

外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角。

多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段。

新人教版八年级上册第十一章《三角形》中考知识点归纳总结和配套练习(无答案)

新人教版八年级上册第十一章《三角形》中考知识点归纳总结及配套练习.doc与三角形有关的线段(1)三角形的定义(2) ①⎪⎩⎪⎨⎩⎨⎧等边三角形底和腰不相等的三角形等腰三角形三角形按边)( ②⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧钝角三角形锐角三角形斜三角形直角三角形三角形按角 (3)三角形的主要线段①三角形的中线:顶点与对边中点的连线,三中线交点叫重心②三角形的角平分线:三角形一个角的平分线与对边相交,顶点和交点间的线段,三角角平分线的交点叫内心③三角形的高:过三角形的一个顶点向对边作垂线,顶点和垂足间的线段.三条高的交点叫垂心注意：①三角形的角平分线、中线和高都是线段；②任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高；③任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部。

但三角形的高却有不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条直角边；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部（图形讲解）。

(4)三角形三边间的关系.①三角形任意两边之和大于第三边 b a c a c b c b a >+>+>+,,②任意两边之差小于第三边 a c b c b a b a c <-<-<-,,(5)三角形的稳定性:三角形的三条边确定后,三角形的形状和大小不变了,这个性质叫做三角形的稳定性.三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用.三角形的分类例1：具备下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）。

A.∠A+∠B=∠CB.∠A=∠B= ∠CC.∠A=90°-∠B例2：等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( )．A ．60°B ．120°C ．60°或150°D ．60°或120°三角形三边的关系例3:现有两根木棒，它们的长分别是40cm 和50cm ，若要钉成一个三角形木架，则在下列四根木棒中应选取长为（ C ）A.100cm 的木棒B.90cm 的木棒C.40cm 的木棒D.10cm 的木棒例4：三角形的最长边为10,另两边的长分别为x 和4,周长为c,求x 和c 的取值范围.解:已知三角形的两边为10和4.那么第三边x 的范围应满足:410410+<<-x 即6<x <14.2420,41010641010610≤<++≤<++∴≤<∴c c c x 即的范围满足周长是最长边Θ练习下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A 、 3，4，8B 、 5，6，11C 、 1，2，3D 、 5，6，10与三角形有关的角（1）三角形的内角和定理及性质定理：三角形的内角和等于180°。

2022年人教版八年级数学上册第十一章三角形知识点归纳

三角形知识归纳姓名：班级：知识点01 三角形及其分类三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做三角形的边．相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．三角形按边分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．三角形按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

知识点02 三角形的三边关系三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，且三角形的两边差小于第三边．知识点03 三角形的高线、中线和角平分线1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．（垂心、求角度、面积）尺规画图：2）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．（重心、平分等面积）尺规画图：3）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．（内心、点到两边的距离相等）尺规画图：4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．知识点04 三角形的稳定性当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中．知识点05 三角形的内角和定理1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．3）三角形内角和定理的证明：证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．知识点06 三角形的外角性质1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有6个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有3对．2）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．①三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．知识点07 直角三角形的性质1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．知识点07 多边形的相关概念多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形；注意：各个角都相等、各条边都相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可．如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角都相等的四边形才是正方形．知识点09 多边形的对角线多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．从n边形一个顶点可以引（n－3）条对角线，将多边形分成（n－2）个三角形；从n边形的一个顶点出发，可以画（n－3）条对角线，n边形一共有(3)2n n条对角线．知识点10 多边形的内角和与外角和定理多边形的内角和公式：n 边形的内角和为180(2)n ︒-；多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°．内角和公式的应用：（1）已知多边形的边数，求其内角和；（2）已知多边形内角和，求其边数．边数＝内角和÷180°+2外角和定理的应用：（1）已知外角度数，求正多边形边数；（2）已知正多边形边数，求外角度数．正多形边数＝360°÷一个外角度数设内角为x 度，则外角为（180-x ）度。

新人教版八年级上数学第十一章-三角形-知识点+考点+典型例题(含答案)

第十一章三角形【知识要点】一．认识三角形1．关于三角形的概念及其按角的分类定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2．三角形的分类：①三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

②三角形按边分为两类：等腰三角形和不等边三角形。

2．关于三角形三条边的关系（判断三条线段能否构成三角形的方法、比较线段的长短）根据公理“两点之间，线段最短”可得：三角形任意两边之和大于第三边。

三角形任意两边之差小于第三边。

3．与三角形有关的线段．．：三角形的角平分线、中线和高三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与对边相交形成的线段；三角形的中线：连接三角形的一个顶点与对边中点的线段，三角形任意一条中线将三角形分成面积相等的两个部分；三角形的高：过三角形的一个顶点做对边的垂线，这条垂线段叫做三角形的高。

注意：①三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线；②任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高；③任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部。

但三角形的高却有不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条直角边；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部。

④一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点。

（三角形的三条高（或三条高所在的直线）交与一点，锐角三角形高的交点在三角形的内部，直角三角形高的交点是直角顶点，钝角三角形高（所在的直线）的交点在三角形的外部。

）4．三角形的内角与外角（1）三角形的内角和：180°引申：①直角三角形的两个锐角互余；②一个三角形中至多有一个直角或一个钝角；③一个三角中至少有两个内角是锐角。

（2）三角形的外角和：360°（3）三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；——常用来求角度②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

人教版八年级上册第十一章三角形知识点归纳

三角形几何A 级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）1．三角形的角平分线定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.（如图）B DC A几何表达式举例：(1)∵AD 平分∠BAC ∴∠BAD=∠CAD (2)∵∠BAD=∠CAD ∴AD 是角平分线2．三角形的中线定义：在三角形中，连结一个顶点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线.（如图）3．三角形的高线定义：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线.（如图）※4．三角形的三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边.（如图）5．等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角A几何表达式举例：(1)∵AD 是三角形的中线∴ BD = CD BDC (2)∵ BD = CD ∴AD 是三角形的中线A几何表达式举例：(1)∵AD 是ΔABC 的高∴∠ADB=90°BDC (2)∵∠ADB=90°∴AD 是ΔABC 的高A几何表达式举例：(1)∵AB+BC ＞AC ∴……………BC (2)∵ AB-BC ＜AC ∴……………几何表达式举例：(1)∵ΔABC 是等腰三角形形.（如图）6．等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形.（如图）BA∴ AB = AC (2)∵AB = ACB C∴ΔABC 是等腰三角形几何表达式举例：A(1)∵ΔABC 是等边三角形∴AB=BC=AC C(2)∵AB=BC=AC ∴ΔABC 是等边三角形7．三角形的内角和定理及推论：（1）三角形的内角和180°；（如图）（2）直角三角形的两个锐角互余；（如图）几何表达式举例：(1)∵∠A+∠B+∠C=180°（3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；（如图）∴…………………※（4）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.BCA(2)∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°(3)∵∠ACD=∠A+∠BAAC BBCD（1）（2）（3）（4）∴…………………(4)∵∠ACD ＞∠A ∴…………………8．直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫直角三角形.（如图）A几何表达式举例：(1)∵∠C=90°∴ΔABC 是直角三角形CB(2)∵ΔABC 是直角三角形∴∠C=90°9．等腰直角三角形的定义：几何表达式举例：两条直角边相等的直角三角形叫等腰直角三角形.（如图）A(1)∵∠C=90° CA=CB ∴ΔABC 是等腰直角三角形BC(2)∵ΔABC 是等腰直角三角形∴∠C=90° CA=CB10．全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等；（如图）（2）全等三角形的对应角相等.（如图）B CFGAE几何表达式举例：(1)∵ΔABC ≌ΔEFG ∴ AB = EF ………(2)∵ΔABC ≌ΔEFG ∴∠A=∠E………几何表达式举例：(1)∵ AB = EF ∵∠B=∠F G11．全等三角形的判定：“SAS ”“ASA ”“AAS ”“SSS ”“HL ”.（如图）B AECF又∵ BC = FG∴ΔABC ≌ΔEFG (2)………………(3)在Rt ΔABC 和Rt ΔEFG 中（1）（2）CBGFA E∵ AB=EF又∵ AC = EG ∴Rt ΔABC ≌Rt ΔEFG（3）12．角平分线的性质定理及逆定理：（1）在角平分线上的点到角的两边距离相等；（如图）（2）到角的两边距离相等的点在角几何表达式举例：(1)∵OC 平分∠AOB 又∵CD ⊥OA CE ⊥OB ∴ CD = CE平分线上.（如图）DA(2)∵CD ⊥OA CE ⊥OB 又∵CD = CEB13．线段垂直平分线的定义：垂直于一条线段且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.（如图）14．线段垂直平分线的性质定理及逆定理：（1）线段垂直平分线上的点和这条ACN M PAO F CO E∴OC 是角平分线几何表达式举例：E(1)∵EF 垂直平分ABB∴EF ⊥AB OA=OB (2)∵EF ⊥AB OA=OB ∴EF 是AB 的垂直平分线几何表达式举例：(1)∵MN 是线段AB 的垂直平分线B线段的两个端点的距离相等；（如图）（2）和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.（如图）15．等腰三角形的性质定理及推论：∴ PA = PB (2)∵PA = PB∴点P 在线段AB 的垂直平分线上几何表达式举例：（1）等腰三角形的两个底角相等；（即等边对等角）（如图）(1)∵AB = AC （2）等腰三角形的“顶角平分线、底边中线、底边上的高”∴∠B=∠C 三线合一；（如图）（3）等边三角形的各角都相等，并且都是60°.（如图）A(2)∵AB = AC 又∵∠BAD=∠CAD ∴BD = CDAAAD ⊥BC ………………B C（1）B D C（2）BC（3）(3)∵ΔABC 是等边三角形∴∠A=∠B=∠C =60°16．等腰三角形的判定定理及推论：几何表达式举例：（1）如果一个三角形有两个角都相等，那么这两个角所对边(1)∵∠B=∠C 也相等；（即等角对等边）（如图）（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（如图）∴ AB = AC (2)∵∠A=∠B=∠C（3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；（如图）∴ΔABC 是等边三角形（4）在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它所对(3)∵∠A=60°的直角边是斜边的一半.（如图）AA又∵AB = ACA∴ΔABC 是等边三角形(4)∵∠C=90°∠B=30°BC（1）BC（2）（3）CB（4）1∴AC =2AB17．关于轴对称的定理（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；（如图）MAO CFGN E几何表达式举例：(1)∵ΔABC 、ΔEGF 关于MN 轴对称∴ΔABC ≌ΔEGF(2)∵ΔABC 、ΔEGF 关于MN 轴对称∴OA=OE MN ⊥AEB（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.（如图）18．勾股定理及逆定理：几何表达式举例：(1)∵ΔABC 是直角三角形∴a2+b2=c2(2)∵a2+b2=c2（1）直角三角形的两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方，即a2+b2=c2；（如图）（2）如果三角形的三边长有下面关CBA∴ΔABC 是直角三角形系: a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.（如图）19．Rt Δ斜边中线定理及逆定理：（1）直角三角形中，斜边上的中线是斜边的一半；（如图）（2）如果三角形一边上的中线是这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.（如图）几何B 级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一基本概念：三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数.二常识：1．三角形中，第三边长的判断：另两边之差＜第三边＜另两边之和.2．三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分别交于一点，其中前两个交点都在三角形内，而第三个交点可在三角形内，三角形上，三角形外.注意：三角形的角平分线、中线、高线都是线段.3．如图，三角形中，有一个重要的面积等式，即：若CD ⊥AB ，BE ⊥CA ，则CD ·AB=BE ·CA.4．三角形能否成立的条件是：最长边＜另两边之和.DAE BCC A几何表达式举例：∵ΔABC 是直角三角形∵D 是AB 的中点DB1∴CD =2AB(2)∵CD=AD=BD ∴ΔABC 是直角三角形5．直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和.6．分别含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形.7．如图，双垂图形中，有两个重要的性质，即：A D（1） AC·CB=CD·AB；（2）∠1=∠B，∠2=∠A ..8．三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角9．全等三角形中，重合的点是对应顶点，对应顶点所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边..10．等边三角形是特殊的等腰三角形.“文字叙述题”需要自己画图，写已知、求证、证明11．几何习题中，.12．符合“AAA”“SSA”条件的三角形不能判定全等（3）代（2）方程分析法；（1）分析综合法；13．几何习题经常用四种方法进行分析：入分析法；（4）图形观察法.（2）作角等于已知角；（3）作已（1）作线段等于已知线段；14．几何基本作图分为：（5）作线段的中垂线；（6）过已知（4）过已知点作已知直线的垂线；知角的平分线；点作已知直线的平行线.、“等边三角15．会用尺规完成“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”、“等腰三角形”形”、“等腰直角三角形”的作图.16．作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什.么；注意：每步作图都应该是几何基本作图17．几何画图的类型：（1）估画图；（2）工具画图；（3）尺规画图.※18．几何重要图形和辅助线：（1）选取和作辅助线的原则：①构造特殊图形，使可用的定理增加；②一举多得；③聚合题目中的分散条件，转移线段，转移角；.④作辅助线必须符合几何基本作图（2）已知角平分线.（若BD是角平分线）①在BA上截取BE=BC构造全等，转移线②过D点作DE∥BC交AB于E，构造等腰三段和角；B EA角形 .DC BEADC（3）已知三角形中线（若AD是BC的中线）①过D点作DE∥AC交AB于②延长AD到E，使DE=AD③∵AD是中线E，构造中位线；B EA连结CE构造全等，转移线段和角；A∴SΔABD= SΔADC（等底等高的三角形等A面积）B D CD C(4)已知等腰三角形ABC中，AB=ACE B D C①作等腰三角形ABC底边的中线AD （顶角的平分线或底边的高）构造全等三角形；A ②作等腰三角形ABC一边的平行线DE，构造新的等腰三角形.A AEB DC BD CDBEC（5）其它作等边三角形ABC一边的平行线DE，构造新的等边三角形；E A B C②作CE∥AB，转移角；③延长BD与AC交于E，AE不规则图形转化为规则图形；DAEDB CB D C④多边形转化为三角⑤延长BC到D，使CD=BC，⑥若a∥b,AC,BC是角平形；E 连结AD，直角三角形转化为等腰三角形；ODA 分线,则∠C=90°.ACbBaAB CB C D。

八年级第十一章三角形知识点复习

21D CB AD CB AD CB A十一章三角形知识点复习⒈三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

三角形有三条边，三个内角，三个顶点，组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角；相邻两边的公共端点是三角形的顶点，三角形ABC 用符号表示为△ABC，三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示，AC 可用b 表示，BC 可用a 表示. 注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）△ABC 是三角形ABC 的符号标记，单独的△没有意义．⒉ 三角形的分类： (1)按边分类：(2)按角分类： ⒊ 三角形的主要线段的定义：（1）三角形的中线三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段．表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的中线. 2. 如果AD 是?ABC 的中线，那么BD=DC=12BC.3.AD 是?ABC 中BC 边上的中线，AD 是?ABC 的中线。

注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部； ③三角形三条中线交于三角形内部一点； ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．（2）三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段表示法：1.AD 是△ABC 的∠BAC 的平分线.2. AD 平分?BAC ，交BC 于D ；3. 如果AD 是?ABC的角平分线，那么∠1=∠2=12∠BAC（或者可以表示成?BAD=?DAC=21?BAC.）。

注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部； ③三角形三条角平分线交于三角形内部一点； ④用量角器画三角形的角平分线．（3）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的高线.2.AD⊥BC 于D.3.∠ADB=∠ADC=90°.4. AD 是?ABC 的高；如果AD 是?ABC 中BC 边上高，那么AD ?BC ，垂足是E ；如果AD 是?ABC 中BC 边上的高，那么?AMB=?AMC=90?。

八年级数学第十一章三角形知识点

第十一章三角形知识点及常见题型知识点一：三角形1、由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做＿＿＿＿＿.组成三角形的线段叫做＿＿＿＿＿＿，相邻两边的公共端点叫做_____________，相邻两边所组成的角叫做___________，简称___________.如图以A、B、C为顶点的三角形ABC，可以记作＿＿＿＿＿＿＿，读作_____________.△ABC的三边，有时也用_____________表示，顶点A所对的边BC用____表示，顶点B所对的边CA用____表示，顶点C所对的边AB用____表示.2、三角形的分类三角形按角分类如下:三角形直角三角形斜三角形锐角三角形＿＿＿＿＿.三角形不等边三角形等腰三角形底和腰不等的等腰三角形＿＿＿＿＿＿＿.3、在等腰三角形中，相等的两边都叫做，另一边叫做，两腰的夹角叫做＿＿＿，腰和底的夹角叫做＿＿＿＿.如右图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，那么腰是＿＿＿底是＿＿＿＿，顶角是＿＿＿＿，底角是＿＿＿＿＿.4、三角形的三边关系：_________________________________________.5、三角形的高从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的_____ .如图⑴，AD是△ABC的高，则AD⊥_____.三角形的中线连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的_____ .如图⑵，AD是△ABC的中线，则BD＝______=三角形的角平分线∠BAC的平分线AD，交∠BAC的对边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的___________.如图⑶，AD是△ABC的角平分线，则∠BAD＝∠_______.6、三角形是具有__________的图形，而四边形没有__________ .7、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于_______.8、三角形的外角：（1）三角形的一个外角与相邻的内角。

人教版八年级上册第十一章三角形知识点归纳

三角形几何A级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何■证明）1.三角形的角平分线定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.（如图）A△B D C几何表达式举例：（1）河平分NBAC.•.ZBAD=ZCAD（2）VZBAD^ZCAD...AD是角平分线2.三角形的中线定义：在三角形中，连结一个顶点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线.（如图）AzA B D C几何表达式举例：（1）•.•AD是三角形的中线BD=CD⑵V BD=CD.•.AD是三角形的中线3.三角形的高线定义：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线.（如图）AA B D C几何表达式举例：(1)...AD是AABC的高ZADB^O0(2)•.NADB力0°AAD是△A BC的高^4.三角形的三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边.（如图）AzA B C几何表达式举例：(1)VAB+eC>AC•••(2)V AB-BC<AC•••5.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角几何表达式举例：（1）•.•△ABC是等腰三角形形.（如图）AA AB=AC(2)VAB=ACB C.•.△ABC是等腰三角形6.等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形.（如图）A△几何表达式举例：（1）WABC是等边三角形.•.AB=BC=ACB C(2)•.•AB=BC=AC.•.△ABC是等边三角形7.三角形的内角和定理及推论：（1）三角形的内角和180°;（如图）⑵直角三角形的两个锐角互余；（如图）⑶三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；（如图）浓⑷三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.A A 几何表达式举例：(1)•:N A+N B+N 0=180°•••⑵V ZC=90°:.ZA+ZB=90°⑶V ZACD=ZA+ZBB c c B r-------c-----D(1)(2)(3)(4)••⑷ZACD>ZA••8.直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫直角三角形.（如图）A[X几何表达式举例：（1）V ZC=90°.•.△ABC是直角三角形C B⑵•「△ABC是直角三角形A ZC=90°9.等腰直角三角形的定义：几何表达式举例：两条直角边相等的直角三角形叫等腰直角三角形.(如图)A(1)V ZC=90°CA=CB.•.△ABC是等腰直角三角形⑵V AABC是等腰直角三角形A ZC=90°CA=CB10.全等三角形的性质：(1)全等三角形的对应边相等；(如图)(2)全等三角形的对应角相等.(如图)A E二4R C f G 几何表达式举例：(1)VAABC^AEFGAB=EF.....⑵VAABC^AEFG .•.ZA=ZE.....11.全等三角形的判定：“SAS""ASA""AAS”"SSS""HL".(如图)A E△△B C f G(1)(2)A EK KC B G F(3)几何表达式举例：(1)V AB=EFV ZB=ZF又BC=FG.-.AABC^AEFG⑵.............⑶在Rt AABC和RtAEFG中V AB=EF又AC=EG.•.RtAABC^RtAEFG12.角平分线的性质定理及逆定理：(1)在角平分线上的点到角的两边距离相等；(如图)(2)到角的两边距离相等的点在角几何表达式举例：(1)V0C平分NA0B 又VCD±0A CE±0B CD=CE系：a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.（如图）19.Rt△斜边中线定理及逆定理：（1）直角三角形中，斜边上的中线是斜边的一半；（如图）⑵如果三角形一边上的中线是这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.（如图）AkC B几何表达式举例：•.•△ABC是直角三角形•..D是AB的中点.•.CD=2AB（2）VCD=AD=BD.•.△ABC是直角三角形几何B级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一基本概念：三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数.二常识：1.三角形中，第三边长的判断：另两边之差V第三边V另两边之和.2.三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分别交于一点，其中前两个交点都在三角形内，而第三个交点可在三角形内，三角形上，三角形外.注意：三角形的角平分线、中线、高线都是线段.3.如图，三角形中，有一个重要的面积等式，即：若CD±AB,BE±CA,则CD«AB=BE-CA.4.三角形能否成立的条件是：最长边V另两边之和.X5.直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和.B C6.分别含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形.7.如图，双垂图形中，有两个重要的性质，即：a△C B(1)AC•CB=CD•AB;(2)Z1=ZB,N2=NA.8.三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角.9.全等三角形中，重合的点是对应顶点，对应顶点所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边.10.等边三角形是特殊的等腰三角形.11.几何习题中，“文字叙述题"需要自己画图，写已知、求证、证明.12.符合“AAA”“SSA“条件的三角形不能判定全等.13.几何习题经常用四种方法进行分析：(1)分析综合法；(2)方程分析法；(3)代入分析法；(4)图形观察法.14.几何基本作图分为：(1)作线段等于已知线段；(2)作角等于已知角；(3)作已知角的平分线；(4)过已知点作已知直线的垂线；(5)作线段的中垂线；(6)过已知点作已知直线的平行线.15.会用尺规完成“SAS”、“ASA"、“AAS"、“SSS"、“HL”、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形"的作图.16.作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什么；注意：每步作图都应该是几何基本作图.17.几何画图的类型：(1)估画图；(2)工具画图；(3)尺规画图.湘8.几何重要图形和辅助线：(1)选取和作辅助线的原则：①构造特殊图形，使可用的定理增加；②一举多得；③聚合题目中的分散条件，转移线段，转移角；④作辅助线必须符合几何基本作图.(2)已知角平分线.(若BD是角平分线)①在BA 上截取BE=BC 构造全等,转移线段和角；AC角形.②过D 点作DE/7BC 交AB 于E,构造等腰三B (5)其它作等边三角形ABC 一边的平行线DE,构造新的等边三角形；②作CE/7AB,转移角;③延长BD 与AC 交于E, 不规则图形转化为规则图。

八年级数学上册第十一章三角形必考知识点归纳(带答案)

八年级数学上册第十一章三角形必考知识点归纳单选题1、两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC=∠EDF=90°，∠E=45°，∠C=30°，AB与DF交于点M．若BC//EF，则∠BMD的大小为（）A．60°B．67.5°C．75°D．82.5°答案：C分析：根据BC//EF，可得∠FDB=∠F=45°，再根据三角形内角和即可得出答案．由图可得∠B=60°，∠F=45°，∵BC//EF，∴∠FDB=∠F=45°，∴∠BMD=180°−∠FDB−∠B=180°−45°−60°=75°，故选：C．小提示：本题考查了平行线的性质和三角形的内角和，掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题的关键．2、如图，图中直角三角形共有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C分析：有一个角是直角的三角形是直角三角形.解：如图，直角三角形有：△ABC、△ABD、△ACD.故选C.小提示：本题考查直角三角形的定义.掌握直角三角形的定义是关键，要做到不重不漏.3、如果一个多边形内角和是外角和的4倍，那么这个多边形有（）条对角线．A．20B．27C．35D．44答案：C分析：根据多边形的内角和公式（n-2）•180°与外角和定理列出方程，然后求解，多边形对角线的条数可以表．示成n(n−3)2解：设这个多边形是n边形，根据题意得，（n-2）•180°=4×360°，解得n=10．10×（10-3）÷2=35（条）．故选：C．小提示：本题考查了多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征，及多边形对角线的条数公式．4、如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若∠1=19°，则∠2的度数为（）A．41°B．51°C．42°D．49°答案：A分析：先求出正六边形的内角和外角，再根据三角形的外角性质以及平行线的性质，即可求解．解：∵正六边形的每个内角等于120°，每个外角等于60°，∴∠FAD=120°-∠1=101°，∠ADB=60°，∴∠ABD=101°-60°=41°∵光线是平行的，∴∠2=∠ABD=41°，故选A小提示：本题主要考查平行线的性质，三角形外角性质以及正六边形的性质，掌握三角形的外角性质以及平行线的性质是解题的关键．5、将一副直角三角板ABC和EDF如图放置(其中∠A=60°，∠F=45°)，使点E落在AC边上，且ED//BC，则∠AEF的度数为( )A．145°B．155°C．165°D．170°答案：C分析：根据直角三角形两锐角互余求出∠1，再根据两直线平行，内错角相等求出∠2，然后根据∠CEF=∠DEF -∠2计算出∠CEF，即可求出∠AEF．解：∵∠A=60°，∠F=45°，∴∠1=90°-60°=30°，∠DEF=90°-45°=45°，∵ED∥BC，∴∠2=∠1=30°，∠CEF=∠DEF-∠2=45°-30°=15°，∴∠AEF=180°-15°=165°.故选C.小提示：本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质是基础题，熟记性质是解题的关键．6、如图，在△ABC中，AB=20，AC=18，AD为中线．则△ABD与△ACD的周长之差为（）A．1B．2C．3D．4答案：B分析：利用三角形中线的定义、三角形的周长公式进行计算即可得出结果．∵在△ABC中，AD为中线,∴BD=CD．∵C△ABD=AB+BD+AD，C△ACD=AC+CD+AD，∴C△ABD−C△ACD=AB−AC=20−18=2．故选：B．小提示：本题考查三角形的中线的理解与运用能力．三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线．明确三角形的中线的定义，运用两个三角形的周长的差等于两边的差是解本题的关键．7、如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（）A．∠1＝∠2B．∠2＝∠3C．∠3＝∠4D．∠1＝∠5答案：A分析：根据平行线的性质和对顶角的性质进行判断．解：A、∵∠1与∠2是对顶角，∴∠1＝∠2，本选项说法正确；B、∵AD与AB不平行，∴∠2≠∠3，本选项说法错误；C、∵AD与CB不一定平行，∴∠3≠∠4，本选项说法错误；D、∵CD与CB不平行，∴∠1≠∠5，本选项说法错误；故选：A．小提示：本题考查平行线的应用，熟练掌握平行线的性质和对顶角的意义与性质是解题关键．8、在△ABC中，若一个内角等于另外两个角的差，则（）A．必有一个角等于30°B．必有一个角等于45°C．必有一个角等于60°D．必有一个角等于90°答案：D分析：先设三角形的两个内角分别为x，y，则可得第三个角(180°－x－y)，再分三种情况讨论，即可得到答案.设三角形的一个内角为x，另一个角为y，则第三个角为(180°－x－y)，则有三种情况：①x=|y−(180°−x−y)|⇒y=90∘或x+y=90∘②y=|x−(180∘−x−y)|⇒x=90∘或x+y=90∘③(180∘−x−y)=|x−y|⇒x=90∘或y=90∘综上所述，必有一个角等于90°故选D.小提示：本题考查三角形内角和的性质，解题的关键是熟练掌握三角形内角和的性质，分情况讨论.9、下列多边形具有稳定性的是（）A．B．C．D．答案：D分析：利用三角形具有稳定性直接得出答案．解：三角形具有稳定性，四边形、五边形、六边形都具有不稳定性，故选D．小提示：本题考查三角形的特性，牢记三角形具有稳定性是解题的关键．10、如图，小亮同学用绘画的方法，设计的一个正三角形的平面镶嵌图，其中主要利用的是正三角形和正六边形．如果整个镶嵌图△ABC的面积为75，则图中阴影部分的面积是（）A．25B．26C．30D．39答案：B分析：正ΔABC中有多种图形，将不规则图形拆分后，可归结为四种图形，每种图形都可划分为面积最小的正三角形的组合，最后正ΔABC全部由小正三角形组成，根据阴影部分小正三角形的个数所占全部小正三角形个数比例与面积相乘即可得出答案．如图所示，将不规则部分进行拆分，共有四种图形：正六边形、较大正三角形、平行四边形、小正三角形；其中一个正六边形可以分成6个小正三角形，较大正三角形可以分成4个小正三角形，平行四边形可以分成6个小正三角形，由图可得：正六边形有13个，可分成小正三角形个数为：13×6=78（个）；较大正三角形有26个，可分成小正三角形个数为：26×4=104（个）；平行四边形有5个，可分成小正三角形个数为：5×6=30（个）；小正三角形个数为13个；∴一共有小正三角形个数为：78+104+30+13=225（个），∴图中阴影部分面积为：75×78=26，225故选：B．小提示：题目主要考查创新思维，将其进行分类分解是解题难点．填空题11、如图，在三角形ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足为D，AB=3，AC=4，BC=5，则AD=______．答案：2.4分析：根据面积相等可列式12AB·AC=12BC·AD，代入相关数据求解即可．解：∵AB⊥AC，AD⊥BC，∴12AB·AC=12BC·AD∵AB=3，AC=4，BC=5，∴AD=AB·ACBC =125=2.4故答案諀：2.4小提示：此题主要考查了运用等积关系求线段的长，准确识图是解答本题的关键．12、如图，射线AB与射线CD平行，点F为射线AB上的一定点，连接CF，点P是射线CD上的一个动点（不包括端点C），将△PFC沿PF折叠，使点C落在点E处．若∠DCF=62°，当点E到点A的距离最大时，∠CFP=_____．答案：59°##59度分析：利用三角形三边关系可知：当E落在AB上时，AE距离最大，利用AB∥CD且∠DCF=62°，得到∠CFA=62°，再根据折叠性质可知：∠EFP=∠CFP，利用补角可知∠EFP+∠CFP=118°，进一步可求出∠EFP=∠CFP=59°．解：利用两边之和大于第三边可知：当E落在AB上时，AE距离最大，如图：∵AB∥CD且∠DCF=62°，∴∠CFA=62°，∵△PCF折叠得到△PEF，∴∠EFP=∠CFP，∵∠EFP+∠CFP=118°，∴∠EFP=∠CFP=59°．所以答案是：59°小提示：本题考查三角形的三边关系，平行线的性质，折叠的性质，补角，角平分线，解题的关键是找出：当E落在AB上时，AE距离最大，再解答即可．13、三角形的中线把三角形分成了面积相等的两部分，而三条中线交于一点，这一点叫此三角形的_________心．答案：重分析：根据三角形的重心的定义即可求解．三角形的三条中线交于一点，这一点叫此三角形的重心；所以答案是：重．小提示：本题主要考查了三角形的重心，重心是三角形三边中线的交点；三角形的中线将三角形的面积分成了相等的两部分，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1．14、如图，BD是△ABC的中线，AB＝5cm，BC＝3cm，那么△ABD的周长比△CBD的周长多_____．答案：2cm分析：根据三角形的中线的概念得到AD=DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．解：∵BD是△ABC的中线，∴AD=DC，∴△ABD的周长-△CBD的周长=（AB+AD+BD）-（BC+DC+BD）=AB-BC=5-3=2（cm），∴△ABD的周长比△CBD的周长多2cm，所以答案是：2cm．小提示：本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．15、如图，孔明在驾校练车，他由点A出发向前行驶200米到B处，向左转45°．继续向前行驶同样的路程到C 处，再向左转45°．按这样的行驶方法，回到点A总共行驶了 __．答案：1600米##1600m分析：根据题意可知汽车所走的路程正好是一个外角为45°的多边形的周长，求出多边形的周长即可．解：根据题意得：360°÷45°=8，则他走回点A时共走的路程是8×200=1600（米)．故回到A点共走了1600米．所以答案是：1600米．小提示：本意主要考查了多边形的外角和定理，即任意多边形的外角和都是360°．解答题16、如图，已知在△ABC中，∠B=30°,∠C=50°，AE是BC边上的高，AD是∠BAC的角平分线，求∠DAE的度数．答案：10°分析：先根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAE的度数即可得到答案．解：∵∠B=30°，∠C=50°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°，∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=1∠BAC=50°，2∵AE是BC边上的高，∴∠AEB=90°，∴∠BAE=90°-∠B=60°，∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=10°．小提示：本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，熟知相关知识是解题的关键．17、如图，AD是△ABE的角平分线，过点B作BC⊥AB交AD的延长线于点C，点F在AB上，连接EF交AD于点G．(1)若2∠1+∠EAB=180°，求证：EF∥BC；(2)若∠C＝72°，∠AEB＝78°，求∠CBE的度数．答案：(1)见解析；(2)24°分析：（1）先根据AD是△ABE的角平分线得出∠EAB=2∠GAF，，再由2∠1+∠EAB=180°得出∠AGF+∠GAF=90°，进而可得出结论；（2）根据三角形内角和定理及外角的性质求解即可．（1）证明：∵AD是△ABE的角平分线，∴∠EAB=2∠GAF，∵2∠1+∠EAB=180°，∴2∠1+2∠GAF=180°，∵∠1=∠AGF，∴2∠AGF+2∠GAF=180°，∴∠AGF+∠GAF=90°，∴∠AFG=90°，∵BC⊥AB，∴∠AFG=∠ABC==90°，∴EF∥BC；（2）解：∵∠C＝72°，∠ABC==90°，∴∠CAB==90°-∠C==90°-72°==18°，∴∠EAB=2∠CAB=36°，∵∠AEB＝78°，∴∠ABE==180°-（∠AEB+∠EAB）==90°-（78°+36°）==66°，∴∠CBE=90°-∠ABE==90°-66°==24°．小提示：此题考查了平行线的判定及三角形的内外角性质，熟记平行线的判定定理是解题的关键．18、在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的3倍还大20°．（1）求这个多边形的边数；（2）若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？答案：（1）9；（2）1080º或1260º或1440º．分析：（1）设多边形的一个外角为x，则与其相邻的内角等于3x+20°，根据内角与其相邻的外角的和；是180°列出方程，求出x的值，再由多边形的外角和为360°，求出此多边形的边数为360°x（2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，根据多边形的内角和定理即可求出答案．解：（1）设每一个外角为x，则与其相邻的内角等于3x+20°，∴180°−x=3x+20°，∴x=40°，即多边形的每个外角为40°，∵多边形的外角和为360°，∴多边形的外角个数为：360°=9，40°∴这个多边形的边数为9；（2）因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，①若剪去一角后边数减少1条，即变成8边形，∴内角和为(8−2)×180°=1080°，②若剪去一角后边数不变，即变成9边形，∴内角和为(9−2)×180°=1260°，③若剪去一角后边数增加1，即变成10边形，∴内角和为(10−2)×180°=1440°，∴将这个多边形剪去一个角后，剩下多边形的内角和为1080°或1260°或1440°．小提示：本题考查了多边形的内角和定理，外角和定理，多边形内角与外角的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键．。

人教版八年级上册第十一章三角形知识点总结归纳

三角形几何A级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）几何B级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一基本概念：三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数.二常识：1．三角形中，第三边长的判断：另两边之差＜第三边＜另两边之和.2．三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分别交于一点，其中前两个交点都在三角形内，而第三个交点可在三角形内，三角形上，三角形外.注意：三角形的角平分线、中线、高线都是线段.3．如图，三角形中，有一个重要的面积等式，即：若CD⊥AB，BE⊥CA，则CD·AB=BE·CA.4．三角形能否成立的条件是：最长边＜另两边之和.5．直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和. 6．分别含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形.AB CED7．如图，双垂图形中，有两个重要的性质，即：（1） AC ·CB=CD ·AB ；（2）∠1=∠B ，∠2=∠A .8．三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角.9．全等三角形中，重合的点是对应顶点，对应顶点所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边.10．等边三角形是特殊的等腰三角形.11．几何习题中，“文字叙述题”需要自己画图，写已知、求证、证明. 12．符合“AAA ”“SSA ”条件的三角形不能判定全等.13．几何习题经常用四种方法进行分析：（1）分析综合法；（2）方程分析法；（3）代入分析法；（4）图形观察法.14．几何基本作图分为：（1）作线段等于已知线段；（2）作角等于已知角；（3）作已知角的平分线；（4）过已知点作已知直线的垂线；（5）作线段的中垂线；（6）过已知点作已知直线的平行线.15．会用尺规完成“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“SSS ”、“HL ”、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形”的作图.16．作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什么；注意：每步作图都应该是几何基本作图.17．几何画图的类型：（1）估画图；（2）工具画图；（3）尺规画图. ※18．几何重要图形和辅助线：（1）选取和作辅助线的原则：① 构造特殊图形，使可用的定理增加； ② 一举多得；③ 聚合题目中的分散条件，转移线段，转移角； ④ 作辅助线必须符合几何基本作图.A BCD 12（2）已知角平分线.（若BD是角平分线）BC的中线）（3）已知三角形中线（若AD是（5）其它。

六年级第11课知识点总结

六年级第11课知识点总结本课主要内容概括了初中有关三角形、三角形的全等性质等知识点。

在初中数学中，三角形是一个十分重要的知识点，因此对于初中数学学习来说，本课所学习的知识点是十分重要的。

在这篇总结中，我们将逐一介绍本课所涉及到的知识点，并对每一个知识点进行总结和归纳。

一、三角形的定义与性质1. 三角形的定义：三角形是由三条边和三个角组成的图形。

2. 三角形的分类：根据边的长度和角的大小，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形等多种类型。

3. 三角形的性质：三角形内角和定理、三角形外角和定理等。

二、三角形的相似性质1. 直角三角形的相似：直角三角形有很多的相似性质，如相似三角形的性质、勾股定理等。

2. 三角形内角的关系：在相似三角形中，三角形内角的关系也是一个重要的知识点。

三、三角形的全等性质1. 全等三角形的性质：全等三角形的性质是指具有相同边长和内角的三角形。

2. 全等三角形的判定：全等三角形的判定方法有SAS判定法、SSS判定法、ASA判定法、AAS判定法等多种。

四、三角形的相关计算1. 三角形的面积公式：根据三角形的底边和高求三角形的面积。

2. 三角形边长的计算：根据三角形的一些已知条件，求解三角形的边长。

3. 三角形角度的计算：通过已知条件，求解三角形的角度。

总的来说，本课学习的知识点涉及了三角形的定义、分类、相似性质以及全等性质等多个方面。

通过本课的学习，可以更好地理解和掌握三角形的相关知识。

在学习中，我们需要重点掌握各种三角形的性质，了解全等三角形的判定方法，并学会应用相似三角形的性质解决问题。

另外，在学习过程中，我们也需要多做一些相关的练习题，提高自己的计算能力和分析问题的能力。

通过不断的练习和总结，相信大家一定能够轻松地掌握三角形的相关知识，为今后的学习打下良好的基础。

希望同学们在学习三角形的过程中能够认真对待，多多练习，争取把知识点掌握得更加牢固。

祝大家学习进步，取得更好的成绩！。

人教版八年级数学上册第十一章三角形知识点整理(完整版)

人教版八年级数学上册知识点整理（完整版）第十一章三角形一、三角形的有关概念（一）三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

（二）基本元素1、三个顶点：点A、点B、点C2、三个内角：∠A、∠B、∠C3、三条边（1）表示方法①线段AB、AC、BC②a（∠A所对的边BC用a表示）、b、c（2）三角形的三边关系（依据：两点之间线段最短）①三角形两边之和大于第三边，数学语言：a+b>c，a+c>b，b+c>a。

；②三角形两边之差小于第三边，数学语言：a−b<c，a−c<b，b−c<a。

③判断三条线段能否组成三角形，只需判断“两条较短的线段之和大于第三条”即可。

4、三角形的表示方法：顶点是A、B、C的三角形，记作∆ABC，读作“三角形ABC”。

（三）三角形的稳定性：三角形三条边的长度确定之后，三角形的形状就唯一确定了。

二、三角形的分类（一）按边分类1、三边都不相等的三角形2、等腰三角形（1）概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

（2）等边三角形：三边都相等的三角形叫做等边三角形（特殊的等腰三角形）。

（二）按角分类1、锐角三角形：三个内角都是锐角。

2、直角三角形：有一个内角是直角的三角形。

3、钝角三角形：有一个内角是钝角的三角形。

三、与三角形有关的线段（一）三角形的高1、定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的这条边上的高。

从∠ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做∠ABC 的边BC上的高，记作AD∠BC于点D。

3、几何语言（1）AD是三角形的边BC上的高。

（2）AD⊥BC于点D。

4、三角形三条高的位置（1）锐角三角形：三条高及其交点都在三角形内部。

（2）直角三角形：有两条高与两条直角边重合，斜边上的高在三角形内部，三条高交于三角形的直角顶点。

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八年级数学上册期末知识点总结第十一章三角形一、知识框架：二、知识概念：1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，13.公式与性质：⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.⑶多边形内角和公式：n边形的内角和等于(2)n-·180°⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°.⑸多边形对角线的条数：①从n边形的一个顶点出发可以引(3)n-条对角线，把多边形分成(2)n-个三角形.②n边形共有(3)2n n-条对角线.第十二章全等三角形一、知识框架：二、知识概念：1.基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2.基本性质：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.3.全等三角形的判定定理：⑴边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑶角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.⑸斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.4.角平分线：⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.5.证明的基本方法：⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.第十三章轴对称一、知识框架：二、知识概念：1.基本概念：⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.⑷等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.⑸等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.2.基本性质：⑴对称的性质：①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.②对称的图形都全等.⑵线段垂直平分线的性质：①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.⑶关于坐标轴对称的点的坐标性质①点P (,)x y 关于x 轴对称的点的坐标为'P (,)x y -.②点P (,)x y 关于y 轴对称的点的坐标为"P (,)x y -.⑷等腰三角形的性质：①等腰三角形两腰相等.②等腰三角形两底角相等（等边对等角）.③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合.④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（1条）.⑸等边三角形的性质：①等边三角形三边都相等.②等边三角形三个内角都相等，都等于60°③等边三角形每条边上都存在三线合一.④等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（3条）.3.基本判定：⑴等腰三角形的判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形.②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）.⑵等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形.②三个角都相等的三角形是等边三角形.③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.4.基本方法：⑴做已知直线的垂线：⑵做已知线段的垂直平分线：⑶作对称轴：连接两个对应点，作所连线段的垂直平分线.⑷作已知图形关于某直线的对称图形：⑸在直线上做一点，使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短.第十四章整式的乘除与分解因式一、知识框架:二、知识概念：1.基本运算：⑴同底数幂的乘法：m n m n a a a +⨯=⑵幂的乘方：()n m mn a a = ⑶积的乘方：()n n n ab a b =2.整式的乘法：⑴单项式⨯单项式：系数⨯⨯同字母，不同字母为积的因式.⑵单项式⨯多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加.3.计算公式：⑴平方差公式：()()22a b a b a b -⨯+=-⑵完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；()2222a b a ab b -=-+4.整式的除法：⑴同底数幂的除法：m n m n a a a -÷=⑵单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式. ⑶多项式÷单项式：用多项式每个项除以单项式后相加.⑷多项式÷多项式：用竖式.5.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式子因式分解.6.因式分解方法：⑴提公因式法：找出最大公因式.⑵公式法：①平方差公式：()()22a b a b a b -=+-②完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=±③立方和：3322()()a b a b a ab b +=+-+④立方差：3322()()a b a b a ab b -=-++⑶十字相乘法：()()()2x p q x pq x p x q +++=++⑷拆项法 ⑸添项法第十五章分式一、知识框架：二、知识概念：1.分式：形如A B，A B 、是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.2.分式有意义的条件：分母不等于0.3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分.5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.7.分式的四则运算：⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a b a b c c c±±= ⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： a c ad cb b d bd±±= ⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a c ac b d bd⨯= ⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：a c a d ad b d b c bc÷=⨯=⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：nn n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭ 8.整数指数幂：⑴m n m n a a a +⨯=（m n 、是正整数）⑵()n m mn a a =（m n 、是正整数） ⑶()nn n ab a b =（n 是正整数）⑷m n m n a a a -÷=（0a ≠，m n 、是正整数，m n >） ⑸n n n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 是正整数） ⑹1n n a a-=（0a ≠，n 是正整数） 9.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).二次根式【知识回顾】1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。

人教版数学初二上册第11章三角形知识点全解

人教版数学初二上册第11章三角形知识点
全解
11.1与三角形有关的线段
1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形。

三角形的特征：
①不在同一直线上;
②三条线段;
③首尾顺次相接;
④三角形具有稳定性。

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11.2与三角形有关的角
三角形外角的性质：
1.三角形的一个外角与相邻的内角互补;
2.三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和;
3. 三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角.
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11.3多边形及其内角和
1、多边形的一些要素：
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边.
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点.
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。

外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

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人教版数学初二上册第11章三角形知识点全解的全部内容就是这些，大家在掌握知识点之后一定要完成课后的最新数学提升初二同步训练第十一章三角形单元综合测试，帮助大家更好的巩固学到的知识。

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