优选运筹学排队论新
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X/Y/Z/A/B/C 各符号的意义为：
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X/Y/Z/A/B/C
X—表示顾客相继到达间隔时间分布，常用下 列符号：
M—表示到达过程为泊松过程或负指数分布； D—表示定长输入； Ek—表示k阶爱尔朗分布； GI——表示一般相互独立的时间间隔分布； G——表示一般服务时间的分布。
X/Y/Z/A/B/C
(2) 服务方式。这是指在某一时刻 接受服务的顾客数，它有单个服务和 成批服务两种。
(3) 服务时间的分布。在多数情况 下，对每一个顾客的服务时间是一随 机变量，其概率分布有定长分布、负 指数分布、K级爱尔朗分布、一般分 布(所有顾客的服务时间都是独立同分 布的)等等。
（二）排队模型的分类
为了区别各种排队系统，根据输入过程、 排队规则和服务机制的不同，对排队模型进 行分类。D．G．Kendall在1953年提出了模 型分类方法，1971年在排队论符号标准化会 议上，将Kendall符号扩充为如下固定格式：
Y—表示服务时间分布，常用下列符号：
M—表示服务过程为泊松过程或负指数分布； D—表示定长分布； Ek—表示k阶爱尔朗分布； G—表示一般相互独立的随机分布。
X/Y/Z/A/B/C
Z—表示服务台(员)个数： “1”则表示单个服务台，“s”(s＞1) 表
示多个服务台。
A—表示系统中顾客容量限额，或称等待空 间容量：
（三）排队系统的主要数量指标
1. 队长和排队长 队长是指系统中的顾客数(排队等待的顾
客数与正在接受服务的顾客数之和)。 排队长是指系统中正在排队等待服务的顾
客数。
2．等待时间和逗留时间
从顾客到达时刻起到他开始接受服务止 这段时间称为等待时间，是随机变量。
从顾客到达时刻起到他接受服务完成止 这段时间称为逗留时间，也是随机变量。
排队规则
损失制
混合制
队长有限 等待时间有限 逗留时间有限
3．服务台情况。服务台可以从3方面来描述： (1) 服务台数量及构成形式
图12-2 单队列-单服务台排队系统
图12-3 单队列——S个服务台并联的排队系统 图12-4 S个队列——S个服务台的并联排队系统
图12-5 单队——多个服务台的串联排队系统 图12-6 多队——多服务台混联、网络系统
(1) 顾客总体数组成(又称顾客源)是有限的， 也可以是无限的。例如，到售票处购票的顾 客总数可以认为是无限的，而某个工厂因故 障待修的机床则是有限的。
(2)顾客到达方式。描述顾客是怎样来到系统 的，他们是单个到达，还是成批到达。病人 到医院看病是顾客单个到达的例子。在库存 问题中如将生产器材进货或产品入库看作是 顾客，那么这种顾客则是成批到达的。
Where the Time Goes ?
美国人一生中平均要花费--
6个月 停在红灯前 8个月 打开邮寄广告 1年 寻找放置不当的物品 2年 回电话不成功 4年 做家务 5年 排队等待 6年 饮食
商业服务系统
系统类型 理发店 银行出纳服务 ATM机服务 商店收银台 管道服务 电影院售票窗口 机场检票处 经纪人服务
(3)顾客流的概率分布，或称顾客相继到 达时间间隔的分布。这是求解排队系统 有关运行指标问题时，首先需要确定的 指标。
顾客流的概率分布一般有定长分布、 二项分布、泊松流(最简单流)、爱尔朗分 布等若干种。
2、排队规则 这是指服务台从队列中选取 顾客进行服务的顺序。
等待制
先到先服务 后到先服务 随机服务 优先权服务
面对拥挤现象，如何做到既保证一定的 服务质量指标，又使服务设施费用经济合 理，恰当地解决顾客排队时间与服务设施 费用大小这对矛盾，这就是排队论所要研 究解决的问题之一。
第一节 基本概念
（一）排队系统的特征及组成
➢ 排队系统的共同特征: ① 有要求得到某种服务的人或物。排队 论里把要求服务的对象统称为“顾客” ② 有提供服务的人或机构。把提供服务 的人或机构称为“服务台”或“服务员” ③ 顾客的到达、服务的时间至少有一个 是随机的，服从某种分布。
一般的排队系统，都可由图12-1加以描述。
顾客源 顾客到来
排队结构 排队规则
服
服务规则
务 机
构
离去
排队系统
图12-1
➢排队系统的组成
排队系统都有输入过程、排队规则和 服务台等3个组成部分：
1、输入过程 这是指要求服务的顾客是按怎 样的规律到达排队系统的过程，有时也把 它称为顾客流．一般可以从3个方面来描述 输入过程。
顾客
服务台
人
理发师
人
出纳
人
ATM机
人
收银员
阻塞的管道 管道工
人
售票员
人
航空公司代理人
人
股票经纪人
运输服务系统
系统类型 公路收费站 卡车装货地 港口卸货区 等待起飞的飞机 航班服务 出租车服务 电梯服务 消防部门 停车场 急救车服务
顾客 汽车 卡车 轮船 飞机 人 人 人 火灾 汽车 人
服务台 收费员 装货工人 卸货工人 跑道 飞机 出租车 电梯 消防车 停车空间 急救车
∞ 时为等待制系统，此时∞一般省略不 写；若为有限整数时，为混合制系统。
X/Y/Z/A/B/C
B—表示顾客源限额。 分有限与无限两种，∞表示顾客源无限，
此时一般∞也可省略不写。
C—表示服务规则，常用下列符号： FCFS：表示先到先服务； LCFS：表示后到先服务； PR：表示优先权服务。
例如：某排队问题为 M／M／S／∞／∞／FCFS
优选运筹学排队论新
排队论(Queuing Theory)，又称随机服务 系统理论(Random Service System Theory)。 1909年由丹麦工程师爱尔朗(A.K．Erlang)在 研究电话系统时创立的。具体地说，它是在研 究各种排队系统概率规律性的基础上，解决相 应排队系统的最优设计和最优控制问题。特别 是自二十世纪60年代以来，由于计算机的飞速 发展，使排队论的应用有了更广阔的前景。
则表示顾客到达间隔时间为负指数分 布(泊松流)；
服务时间为负指数分布； 有s(s＞1)个服务台； 系统等待空间容量无限(等待制)； 顾客源无限，采用先到先服务规则。 可简记为： M/M/s
某些情况下，排队问题仅用 上述表达形式中的前3个、4个、5 个符号。如不特别说明均理解为 系统等待空间容量无限；顾客源 无限，先到先服务，单个服务的 等待制系统。
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X/Y/Z/A/B/C
X—表示顾客相继到达间隔时间分布，常用下 列符号：
M—表示到达过程为泊松过程或负指数分布； D—表示定长输入； Ek—表示k阶爱尔朗分布； GI——表示一般相互独立的时间间隔分布； G——表示一般服务时间的分布。
X/Y/Z/A/B/C
(2) 服务方式。这是指在某一时刻 接受服务的顾客数，它有单个服务和 成批服务两种。
(3) 服务时间的分布。在多数情况 下，对每一个顾客的服务时间是一随 机变量，其概率分布有定长分布、负 指数分布、K级爱尔朗分布、一般分 布(所有顾客的服务时间都是独立同分 布的)等等。
（二）排队模型的分类
为了区别各种排队系统，根据输入过程、 排队规则和服务机制的不同，对排队模型进 行分类。D．G．Kendall在1953年提出了模 型分类方法，1971年在排队论符号标准化会 议上，将Kendall符号扩充为如下固定格式：
Y—表示服务时间分布，常用下列符号：
M—表示服务过程为泊松过程或负指数分布； D—表示定长分布； Ek—表示k阶爱尔朗分布； G—表示一般相互独立的随机分布。
X/Y/Z/A/B/C
Z—表示服务台(员)个数： “1”则表示单个服务台，“s”(s＞1) 表
示多个服务台。
A—表示系统中顾客容量限额，或称等待空 间容量：
（三）排队系统的主要数量指标
1. 队长和排队长 队长是指系统中的顾客数(排队等待的顾
客数与正在接受服务的顾客数之和)。 排队长是指系统中正在排队等待服务的顾
客数。
2．等待时间和逗留时间
从顾客到达时刻起到他开始接受服务止 这段时间称为等待时间，是随机变量。
从顾客到达时刻起到他接受服务完成止 这段时间称为逗留时间，也是随机变量。
排队规则
损失制
混合制
队长有限 等待时间有限 逗留时间有限
3．服务台情况。服务台可以从3方面来描述： (1) 服务台数量及构成形式
图12-2 单队列-单服务台排队系统
图12-3 单队列——S个服务台并联的排队系统 图12-4 S个队列——S个服务台的并联排队系统
图12-5 单队——多个服务台的串联排队系统 图12-6 多队——多服务台混联、网络系统
(1) 顾客总体数组成(又称顾客源)是有限的， 也可以是无限的。例如，到售票处购票的顾 客总数可以认为是无限的，而某个工厂因故 障待修的机床则是有限的。
(2)顾客到达方式。描述顾客是怎样来到系统 的，他们是单个到达，还是成批到达。病人 到医院看病是顾客单个到达的例子。在库存 问题中如将生产器材进货或产品入库看作是 顾客，那么这种顾客则是成批到达的。
Where the Time Goes ?
美国人一生中平均要花费--
6个月 停在红灯前 8个月 打开邮寄广告 1年 寻找放置不当的物品 2年 回电话不成功 4年 做家务 5年 排队等待 6年 饮食
商业服务系统
系统类型 理发店 银行出纳服务 ATM机服务 商店收银台 管道服务 电影院售票窗口 机场检票处 经纪人服务
(3)顾客流的概率分布，或称顾客相继到 达时间间隔的分布。这是求解排队系统 有关运行指标问题时，首先需要确定的 指标。
顾客流的概率分布一般有定长分布、 二项分布、泊松流(最简单流)、爱尔朗分 布等若干种。
2、排队规则 这是指服务台从队列中选取 顾客进行服务的顺序。
等待制
先到先服务 后到先服务 随机服务 优先权服务
面对拥挤现象，如何做到既保证一定的 服务质量指标，又使服务设施费用经济合 理，恰当地解决顾客排队时间与服务设施 费用大小这对矛盾，这就是排队论所要研 究解决的问题之一。
第一节 基本概念
（一）排队系统的特征及组成
➢ 排队系统的共同特征: ① 有要求得到某种服务的人或物。排队 论里把要求服务的对象统称为“顾客” ② 有提供服务的人或机构。把提供服务 的人或机构称为“服务台”或“服务员” ③ 顾客的到达、服务的时间至少有一个 是随机的，服从某种分布。
一般的排队系统，都可由图12-1加以描述。
顾客源 顾客到来
排队结构 排队规则
服
服务规则
务 机
构
离去
排队系统
图12-1
➢排队系统的组成
排队系统都有输入过程、排队规则和 服务台等3个组成部分：
1、输入过程 这是指要求服务的顾客是按怎 样的规律到达排队系统的过程，有时也把 它称为顾客流．一般可以从3个方面来描述 输入过程。
顾客
服务台
人
理发师
人
出纳
人
ATM机
人
收银员
阻塞的管道 管道工
人
售票员
人
航空公司代理人
人
股票经纪人
运输服务系统
系统类型 公路收费站 卡车装货地 港口卸货区 等待起飞的飞机 航班服务 出租车服务 电梯服务 消防部门 停车场 急救车服务
顾客 汽车 卡车 轮船 飞机 人 人 人 火灾 汽车 人
服务台 收费员 装货工人 卸货工人 跑道 飞机 出租车 电梯 消防车 停车空间 急救车
∞ 时为等待制系统，此时∞一般省略不 写；若为有限整数时，为混合制系统。
X/Y/Z/A/B/C
B—表示顾客源限额。 分有限与无限两种，∞表示顾客源无限，
此时一般∞也可省略不写。
C—表示服务规则，常用下列符号： FCFS：表示先到先服务； LCFS：表示后到先服务； PR：表示优先权服务。
例如：某排队问题为 M／M／S／∞／∞／FCFS
优选运筹学排队论新
排队论(Queuing Theory)，又称随机服务 系统理论(Random Service System Theory)。 1909年由丹麦工程师爱尔朗(A.K．Erlang)在 研究电话系统时创立的。具体地说，它是在研 究各种排队系统概率规律性的基础上，解决相 应排队系统的最优设计和最优控制问题。特别 是自二十世纪60年代以来，由于计算机的飞速 发展，使排队论的应用有了更广阔的前景。
则表示顾客到达间隔时间为负指数分 布(泊松流)；
服务时间为负指数分布； 有s(s＞1)个服务台； 系统等待空间容量无限(等待制)； 顾客源无限，采用先到先服务规则。 可简记为： M/M/s
某些情况下，排队问题仅用 上述表达形式中的前3个、4个、5 个符号。如不特别说明均理解为 系统等待空间容量无限；顾客源 无限，先到先服务，单个服务的 等待制系统。