高一物理竞赛讲义六——静力学平衡多种方法

静力学问题解答技巧

一、巧用矢量图解

1、如图所示，三角形ABC 三边中点分别为D 、E 、F ，在三角形中任取一点O ，如果DO 、

OE 、OF 三个矢量代表三个力，那么这三个力的合力为( )

(A) A O (B) OB (C) C O (D) DO

2、如图所示，一个重为G 的小环，套在竖直放置的半径为R 的光滑大圆环上．有一劲度系数为k ，自然长度为L (L ＜2R )的轻弹簧，其上端固定在大圆环的最高点A ，下端与小环相连，不考虑一切摩擦，则小环静止时弹簧与竖直方向的夹角θ为多大？

3、如图所示，倾角为θ的斜面与水平面保持静止，斜面上有一重为G 的物体A 与斜面间的动摩擦因数为μ，且μ

4、将合力F 分解为F 1和F 2两个分力，若已知F 的大小及F 1和F 2的夹角θ，且θ为钝角，则当F 1、F 2大小相等时，它们的大小为_______；当F 1有最大值时，F 2大小为_______。

分析与解 将一个力分解成两个力，在没有附加条件时，可以有无数种解，在有题给限制条件时，也有解集，根据力合成的平行四边形定则,被分解的力与两分力之间关系是“对角线”与夹对角线的两“邻边”的关系,基于平行四边形对边平行且相等的性质，合力与它的两分力之间的关系还可以用更简单的矢量图形——三角形来表示，如图，满足合力F 的两分力F 1和F 2夹角θ 且θ为钝角的矢量三角形是一解集，它们有公共外接圆，表示合力F 的有向线段是该圆的一条弦，该弦所对的圆周角均为π－θ，如图，由图可知当F 1、F 2大小相等时，对应的力矢量关系图为等腰三角形，表示F 1和F 2的线段为腰，底角为θ

2 ，故F 1和F 2的大小相等F 1＝F 2

＝

F

2cos

θ

2

， 由图还容易得知，当表示F 1(F 2)的线段处于直径位置时，即表示相应的力有最大值，且三力关系矢量三角形呈直角三角形，这时F 2(F 1)大小为F ·cot (π－θ)＝-Fcot θ。 运用矢量图，我们了解了符合题目要求的力分解的全貌，并从中分检出两特殊解，解答过程非常简单清晰，

5、如图所示,放存水平面上的质量为m 的物体，在水平恒力F 1作用下，刚好做匀速直线运动.若再给物体加一个恒力F 2，且使F 1=F 2(指大小)，要使物体仍按原方向做匀速直线运动，力F 2应沿什么方向?此时地面对物体的作用力大小如何?

分析与解 首先分析未加力F 2时物体受力情况：物体在重力mg 、水平恒力F 1以及地面作甩力(支持力与滑动摩擦力的合力)F 作用下处于平衡状态，故三力矢量依次首尾相接构成闭合三角形，如图所示，在

A

E

C

B

O D

F A sin cos sin cos cos sin cos sin -+≤≤

+-F θμθθμθθμθθμθ()

1cos 2kL

kR G θ-=-()cos 2kRL R kR G θ=-F 1

这个闭合三角形中，表示重力和水平恒力的有向线段大小方向都是确定的，表示地面作

用力的有向线段方向总是与竖直(地面支持力作用线)成tan -1

μ，但这个力的大小是可改变的，以此为基础，若要再加一个力而使物体仍处于平衡，这个力的作用线应沿F 力，方向可与F 力一致，如图所示；也可与力F 相反，如图所示，这样物体所受各力矢量

仍能构成闭合三角形，返还实体，即F 2力可以是与竖直成tan -1

μ斜向后上拉，也可以是

与竖直成tan -1

μ斜向前下推，相应地，地面对物体的作用力将减少或增加F 2 .

由于以矢量图描述出物体平衡时的受力关系，我们理顺了如何加力的思路。

6、如图所示，一光滑三角支架，顶角为θ=45°，在AB 和AC 两光滑杆上分别套有铜环，两铜环间有细线相连，释放两环，当两环平衡时，细线与杆AB 夹角60°，试求两环质量比M/m ．

7、如图所示，用细绳拴住两个质量为m 1、m 2（m 1＜m 2）的质点，放在表面光滑的圆柱面上，圆柱的轴是水平的，绳长为圆柱横截面周长的1/4．若绳的质量及摩擦均不计，系统静止时，m 1处细绳与水平夹角α是多少？

8/如图所示，两个质量相等而粗糙程度不同的物体m 1和m 2，分别固定在一细棒的两端，放在一倾角为α的斜面上，设m 1和m 2与斜面的摩擦因数为μ1和μ2 ，并满足tanα=

21μμ，细棒的质量不计，与斜面不接触，试求两物体同时有最大静摩擦力时棒

与斜面上最大倾斜线AB 的夹角θ．

二、巧取研究对象

选取研究对象一般遵循的原则是：尽量取“整体”，“化内为外”时或方程数不足时取“部分”，整分结合，方便解题。

1、有一个直角支架AOB ，AO 水平放置，表面粗糙，BO 竖直放置，表面光滑。AO 上套有小环P ，OB 上套有小环Q ，两环质量均为m,两环间有一个根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡（如图）。现将P 环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO 杆对环的支持力N 和细绳上的拉力T 的变化情况是（ ）

(A) N 不变，T 变大 (B) N 不变，T 变小 (C) N 变大，T 变大 (D) N 变大，T 变小

2、三根不可伸长的相同细绳，一端系在半径为r 0的环1上，彼此间距相等．绳穿过半径为r 0的第3个圆环，另一端用同样方式系在半径为2r 0的圆环2上，如图所示．环1固定在水平面上，整个系统处于平衡．试求第2个环中心与第3个环中心之距离（三个环用同种金属丝制作，摩擦不计）

解析： 因为环2的半径为环3的2倍，环2的周长为环3的2倍，三环又是用同种金属丝制成的，所以环2的质量为环3的2倍。设m 为环3的质量，那么三根绳承

sin30sin15

M m =62

+=

12

1tan m m α-= A

B

m 1

m 2

θ

α1212s 2o 2c θμμ=

+