高一物理竞赛讲义六——静力学平衡多种方法

静力学问题解答技巧一、巧用矢量图解1、如图所示，三角形ABC 三边中点分别为D 、E 、F ，在三角形中任取一点O ，如果DO 、OE 、OF 三个矢量代表三个力，那么这三个力的合力为( )(A) A O (B) OB (C) C O (D) DO2、如图所示，一个重为G 的小环，套在竖直放置的半径为R 的光滑大圆环上．有一劲度系数为k ，自然长度为L (L ＜2R )的轻弹簧，其上端固定在大圆环的最高点A ，下端与小环相连，不考虑一切摩擦，则小环静止时弹簧与竖直方向的夹角θ为多大？3、如图所示，倾角为θ的斜面与水平面保持静止，斜面上有一重为G 的物体A 与斜面间的动摩擦因数为μ，且μ<tan θ，现给A 施以一水平力F 擦力相等，求水平推力F 多大时物体能地斜面上静止？4、将合力F 分解为F 1和F 2两个分力，若已知F 的大小及F 1和F 2的夹角θ，且θ为钝角，则当F 1、F 2大小相等时，它们的大小为_______；当F 1有最大值时，F 2大小为_______。

分析与解 将一个力分解成两个力，在没有附加条件时，可以有无数种解，在有题给限制条件时，也有解集，根据力合成的平行四边形定则,被分解的力与两分力之间关系是“对角线”与夹对角线的两“邻边”的关系,基于平行四边形对边平行且相等的性质，合力与它的两分力之间的关系还可以用更简单的矢量图形——三角形来表示，如图，满足合力F 的两分力F 1和F 2夹角θ 且θ为钝角的矢量三角形是一解集，它们有公共外接圆，表示合力F 的有向线段是该圆的一条弦，该弦所对的圆周角均为π－θ，如图，由图可知当F 1、F 2大小相等时，对应的力矢量关系图为等腰三角形，表示F 1和F 2的线段为腰，底角为θ2 ，故F 1和F 2的大小相等F 1＝F 2＝F2cosθ2， 由图还容易得知，当表示F 1(F 2)的线段处于直径位置时，即表示相应的力有最大值，且三力关系矢量三角形呈直角三角形，这时F 2(F 1)大小为F ·cot (π－θ)＝-Fcot θ。

运用矢量图，我们了解了符合题目要求的力分解的全貌，并从中分检出两特殊解，解答过程非常简单清晰，5、如图所示,放存水平面上的质量为m 的物体，在水平恒力F 1作用下，刚好做匀速直线运动.若再给物体加一个恒力F 2，且使F 1=F 2(指大小)，要使物体仍按原方向做匀速直线运动，力F 2应沿什么方向?此时地面对物体的作用力大小如何?分析与解 首先分析未加力F 2时物体受力情况：物体在重力mg 、水平恒力F 1以及地面作甩力(支持力与滑动摩擦力的合力)F 作用下处于平衡状态，故三力矢量依次首尾相接构成闭合三角形，如图所示，在AECBO DF A sin cos sin cos cos sin cos sin -+≤≤+-F θμθθμθθμθθμθ()1cos 2kLkR G θ-=-()cos 2kRL R kR G θ=-F 1这个闭合三角形中，表示重力和水平恒力的有向线段大小方向都是确定的，表示地面作用力的有向线段方向总是与竖直(地面支持力作用线)成tan -1μ，但这个力的大小是可改变的，以此为基础，若要再加一个力而使物体仍处于平衡，这个力的作用线应沿F 力，方向可与F 力一致，如图所示；也可与力F 相反，如图所示，这样物体所受各力矢量仍能构成闭合三角形，返还实体，即F 2力可以是与竖直成tan -1μ斜向后上拉，也可以是与竖直成tan -1μ斜向前下推，相应地，地面对物体的作用力将减少或增加F 2 .由于以矢量图描述出物体平衡时的受力关系，我们理顺了如何加力的思路。

6、如图所示，一光滑三角支架，顶角为θ=45°，在AB 和AC 两光滑杆上分别套有铜环，两铜环间有细线相连，释放两环，当两环平衡时，细线与杆AB 夹角60°，试求两环质量比M/m ．7、如图所示，用细绳拴住两个质量为m 1、m 2（m 1＜m 2）的质点，放在表面光滑的圆柱面上，圆柱的轴是水平的，绳长为圆柱横截面周长的1/4．若绳的质量及摩擦均不计，系统静止时，m 1处细绳与水平夹角α是多少？8/如图所示，两个质量相等而粗糙程度不同的物体m 1和m 2，分别固定在一细棒的两端，放在一倾角为α的斜面上，设m 1和m 2与斜面的摩擦因数为μ1和μ2 ，并满足tanα=21μμ，细棒的质量不计，与斜面不接触，试求两物体同时有最大静摩擦力时棒与斜面上最大倾斜线AB 的夹角θ．二、巧取研究对象选取研究对象一般遵循的原则是：尽量取“整体”，“化内为外”时或方程数不足时取“部分”，整分结合，方便解题。

1、有一个直角支架AOB ，AO 水平放置，表面粗糙，BO 竖直放置，表面光滑。

AO 上套有小环P ，OB 上套有小环Q ，两环质量均为m,两环间有一个根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡（如图）。

现将P 环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO 杆对环的支持力N 和细绳上的拉力T 的变化情况是（ ）(A) N 不变，T 变大 (B) N 不变，T 变小 (C) N 变大，T 变大 (D) N 变大，T 变小2、三根不可伸长的相同细绳，一端系在半径为r 0的环1上，彼此间距相等．绳穿过半径为r 0的第3个圆环，另一端用同样方式系在半径为2r 0的圆环2上，如图所示．环1固定在水平面上，整个系统处于平衡．试求第2个环中心与第3个环中心之距离（三个环用同种金属丝制作，摩擦不计）解析： 因为环2的半径为环3的2倍，环2的周长为环3的2倍，三环又是用同种金属丝制成的，所以环2的质量为环3的2倍。

设m 为环3的质量，那么三根绳承sin30sin15M m =62+=121tan m m α-= ABm 1m 2θα1212s 2o 2c θμμ=+担的力为3mg ，于是，环1与环3之间每根绳的张力F T1=mg 。

没有摩擦，绳的重量不计，故每根绳子沿其整个长度上的张力是相同的（如图所示）F T1= F T2=mg 。

对环3，平衡时有：3F T1-mg -3 F T2cos α=0，由此32cos =α环2中心与环3中心之距离：ααα20cos 1cos cot -==r r x ，即052r x =3、一个底面粗糙质量为M 的劈放在粗糙的水平面上，劈的斜面光滑且与水平面成30o 夹角，用一端同定的轻绳系一质量为m 的小球，轻绳与斜面的夹角为30o ，如图所示，当劈静止时，绳中拉力的大小为 ；若地面对劈的最大静摩擦力等于地面对劈的支持力的k 倍，为使整个系统静止，k 值不能小于 。

分析与解 这个问题中，要我们确定轻绳的拉力和地面的作用力，所以我们首先将小球及劈与轻绳、地面隔离，将小球及劈视为一体取作研究对象，对这个整体分析受力如图所示，图中F 是地面对研究对象的作用力，在k 取最小值而整个系统静止的情况下，该力作用线与竖直成θ＝tan -1k 的夹角；图中F T 是轻绳对研究对象的拉力.由于系统平衡，它们与重力(M +m )g 的合力为零，即三力矢量构成图中闭合三角形关系，根据正弦定理，力矢量满足如下方程：（M ＋m ）g sin (300+θ) ＝F Tsin θ在上列方程中包含有两个未知量，所以我们需另取研究对象，以得到新的物理关系方程。

我们可取小球为隔离体，分析它的受力如图，由于小球平衡而得知其所受重力mg 、斜面支持力F N 与轻绳拉力F T 构成图中矢量三角形关系，注意到题给条件，该三角形是底角30o 的等腰三角形，由此又有方程：F T ＝mg2cos30o解这个方程可得轻绳上拉力F T ＝33mg ，将此结果代入上一方程，可得 （M ＋m ）g sin (300+θ) ＝m 3 sin θ ,由于θ＝tan -1k ,于是可得k =3m6M+3m4、如图所示，一长L 、质量均匀为M 的链条套在一表面光滑,顶角为α的圆锥上，当链条在圆锥面上静止时，链条中的张力是多少?5、如图所示，一台轧钢机的两个滚子，直径各为d =50cm,以相反方向旋转，滚子间距离为a =0.5cm ，如果滚子和热钢间的动摩擦因数为0.1，试求进入滚子前钢板的最大厚度。

解析：热钢板靠滚子的摩擦力进入滚子之间，根据摩擦力和压力的关系，便可推知钢板的厚度以钢板和滚子接触的部分为研究对象，其受力情况如图所示，钢板能进入滚子之间，则在水平方向有:θθsin cos N f ≥ (式中N f μ=)，所以由两式可得：μ≥tan θ设滚子的半径为R ，再由图中的几何关系可得aa b R a b R R -----=22)2(tan θ，将此式代入得b ≤(d+a)-21μ+d FF T (M+m)gtan -1kfNA R θ 1321T F x2T F αr 02r Mg =cot 22απT n M F g n =⋅cot22απ a代入数据得b ≤0.75cm即钢板在滚子间匀速移动时，钢板进入滚子前厚度的最大值为0.75cm.三、巧解汇交力系平衡1、如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O 是球心，碗的内表面光滑．一根轻质杆的两端固定有两个小球，质量分别是m 1、m 2，当它们静止时，m 1、m 2与球心的连线跟水平面分别成60°、30°角，则碗对两小球的弹力大小之比是（ ） (A) 1∶2 (B)3∶1(C) 1∶3 (D) 3∶22、如图所示，BC 两个小球均重G ，用细线悬挂而静止于A 、G 两点，细线BC 伸直。

求:⑴AB 和CD 两根细线的拉力各多大？ ⑵细线BC 与竖直方向的夹角是多大？细线BC 与竖直成60°角3、如图所示，光滑半球壳直径为a ，与一光滑竖直墙面相切,一根均匀直棒AB 与水平成60O 角靠墙静止，求棒长.4、如图所示，在墙角处有一根质量为m 的均匀绳，一端悬于天花板上的A 点，另一段悬于竖直墙上的B 点，平衡后最低点为C ，测得绳长AC ＝2CB ，且绳B 点附近的切线与竖直成α角，则绳在最低点C 处的张力和在A 处的张力各为多大？如图1—17所示，一个半径为R 的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均匀铁链，其A 端固定在球面的顶点,B 端恰与桌面不接触，铁链单位长度的质量为ρ。

试求铁链A 端受的拉力F T 。

解：以铁链为研究对象，由于整条铁链的长度不能忽略不计，所以整条铁链不能看成质点，要分析铁链的受力情况，须考虑将铁链分割，使每一小段铁链可以看成质点，分析每一小段铁链的受力，根据物体的平衡条件得出整条铁链的受力情况．在铁链上任取长为ΔL 的一小段（微元）为研究对象，其受力分析如图所示．由于该微元处于静止状态，所以受力平衡，在切线方向上应满足：CBA D 60︒30︒θ 2cos60CD G F G ==2sin603AB F G G == ACBαL =+1313tan 3TC mgF α=222tan 33A mg mg F α⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24tan 3mgα+=cos T T T F F G F θθθθ+∆=∆+ cos cos T F G Lg θθρθ∆=∆=∆由于每一段铁链沿切线向上的拉力比沿切线向下的拉力大T F θ∆，所以整个铁链对A端的拉力是各段上T F θ∆的和，即cos cos T T F F Lg g L θρθρθ=∆=∆=∆∑∑∑观察cos L θ∆的意义，由于θ∆很小，所以CD OC ⊥，DCE θ∠=，cos L θ∆表示ΔL 在竖直方向上的投影ΔR ，所以cos L R θ∆=∑ 所以cos T F g L gR ρθρ=∆=∑。