高中物理竞赛辅导讲义-第8篇-稳恒电流

A
B
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11．有一无限平面导体网络，它由大小相同的正六边形网眼组成，如图所示。所有六边形 每边的电阻均为 r。求结点 a、b 间的电阻 Rab。
a c b
12．一根均匀导线的电阻为 1000Ω，允许通过的最大电流为 1A。在电网电压为 220V 时， 如何利用这根导线做成一个功率尽可能大的电热器？并求出最大功率。
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28．将两相同截面积的碳棒和铁棒串联起来，复合棒的总电阻不随温度变化。问这两棒的 长度之比为多少？已知 0℃时碳的电阻率为 3.5×10−5Ω·m，铁的电阻率为 8.9×10−8Ω·m；碳 的电阻温度系数为−5×10−4/℃，铁的电阻温度系数为 5×10−3/℃。
29．用万用表欧姆挡在室温（20℃）下测量一只“220V，15W”白炽灯的钨丝电阻约为 300Ω（冷电阻） ，已知钨的电阻率温度系数为 4.5×10−3/℃。试估算这只灯泡在点亮时灯丝 的温度。
B
A
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25．半径为 R 的薄壁球形导体，球心在 O 点，球面上有三点 A、B 和 C，三条球半径 OA、 OB 和 OC 相互垂直。球面上 A、B 两点连有细导线，并由这两根细导线接至电源。已知通 过电源的电流 I0 进入球面 A 点，再由球面 B 点流出，如图所示。求 C 点处的电流密度（在 球面上垂直于电流方向单位长度线段上流过的电流） 。 I0 A
M 时，F = q。所以，法拉第恒量可以理解为：析出物质的数值等于化学当时， n
需要通过电解质的电量。 3、气体的导电性 4、真空中的电流 5、半导体导电 6、超导现象简介 【例题选讲】 1．如图所示的电路中，已知电源电动势 E1=3.0V，E2=1.0V，内阻 r1=0.50Ω，r2=1.0Ω，电 阻 R1=4.5Ω，R2=10.0Ω，R3=19.0Ω，R4=5.0Ω，求电路中三条支路上的电流强度。
13．由 6 个未必相同的电阻和电压 U=10V 的直流恒压电源构成的电路如图（a）所示，其 中电源输出电流 I0=3A。若如图（b）所示，在电源右侧并联一个电阻（电阻记为 Rx） ，则 电源输出电流 I=5A。今将此电源与电阻 Rx 串联后，改接在 C、D 两点右侧，如图（c）所 示，试求电源输出电流 I'。 I0 A C I A C A C Rx U I0 B （a） D I B （b） D B （c） D
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五、电流强度与电流密度 1．电流强度 （1）定义式： I
q 。 t U 。 R
（2）宏观决定式： I
（3）微观决定式： I neSv 。 2．电流密度 在通常的电路问题中，流过导线截面的电流用电流强度描述就可以了，但在讨论大块 导体中电流的流动情况时，用电流强度描述就过于粗糙了。这是因为电流在截面上将会有 一个强弱不同的分布，而且各点的电流方向可能并不一致。为了“精细”地描述导体中各 点电流的大小和方向，引入电流密度，记为 j。电流密度是一个矢量。 （1）电流密度大小： j
I 。ΔS 是垂直电流方向的面积。 S
（2）电流密度方向：在导体中各点，电流密度方向与该点电流的方向相同。 六、电阻定律与欧姆定律 1．电阻定律： R
L 。 S
电阻率 ρ 与导体材料和温度有关，与导体的形状尺寸无关。 在温度变化范围不大时，电阻率与温度间存在线性关系 0 (1 t ) 。 其中 ρ0 是 0℃时的电阻率，ρ 是 t℃时的电阻率，α 是电阻率温度系数。α 在一段不大 的温度间隔内可视为常量。实验得，金属导体 α>0，碳 α<0。 2．欧姆定律： I
A B
18．如图所示，12 个阻值都是 R 的电阻，组成一立方体框架，试求 AC 间的电阻 RAC 、 E AB 间的电阻 RAB 与 AG 间的电阻 RAG。 F A H D B G
C
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19．田字形电阻丝网络如图所示，每小段电阻丝的电阻均为 R。试求网络中 A、B 两点间 的等效电阻 RAB。 B A
U 。 R
欧姆定律描述一段长度和截面积均为有限大小的导体的导电规律，它被广泛应用于直 流电路和交流电路的分析之中。然而，在某些情况下，这种描述显得过于粗糙，需要逐点 分析电流密度 j 和电场强度 E 的关系。对于各向同性导体，这个关系可以从上式导出。 设想在载有稳恒电流的各向同性导体内取一长度为 Δl， 垂直截面积为 ΔS 的小电流管。 只要 Δl 和 ΔS 足够小，就可以忽略垂直截面积 ΔS 沿电流管的微小变化。与此同时，只要 电流管足够小，管内的电流场和导体元均可近似视为均匀的。
U
U
Rx
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14．如图所示电路，电源内阻不计。 （1）求流过电阻 R 的电流 I，I 的方向如何由 R1 和 R2 的相对大小而定？ （2）设 R1=R，R2−R1=ΔR<<R，写出 I 的近似式。 （精确到小量 ΔR/R 的一次方）
R1 R2 U R R2 R1
15．电阻丝无穷网络如图所示，每两个结点之间的电阻丝的电阻都是 r，试求 A、B 两点 之间的等效电阻 RAB。
m 由实验测定。 It M M 成正比，即 K 。 n Fn
法拉第电解第二定律：物质的电化当量 K 跟它的化学当量
式中 F 称为法拉第恒量，对任何物质都相同，实验测得 F = 9.65×104 C/mol。M 为该 物质的摩尔质量，n 为化合价。 联立两条定律的表达式，得到 m 当m
M q。 Fn
E1 R1 r1 R2 R3 E2 r2 R4
2． 如图所示的电路中， 已知电源电动势 E=1.5V， 电源内阻 r=0.1Ω， 电阻 R1=1Ω， R2=1.6Ω， R3=R5=2Ω，R4=1.2Ω。试求总电流及各分支电流。
R1 R3 E r R5 R2 R4
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3．如图所示电器中，E1=4.0V，E2=1.0V，R1=10Ω，R2=20Ω，R3=30Ω，电源内阻不计。电 容 C=500μF。求电容 C 电荷量。
23．如图所示的无限旋转内接正三角形金属丝网络是由一种粗细一致、材料均匀的金属丝 构成，其中每一个内接正三角形的顶点都在外侧正三角形三边中点上。已知最外侧三角形 边长为 l，单位长度金属丝的电阻为 r0，求网络中 AB 间的电阻 RAB。
A
B
24．如图所示的平面电阻丝网络中，每一直线段和每一弧线段电阻丝的电阻均为 r。试求 A、B 两点间的等效电阻。
20．如图所示，一个原来用 12 根相同的电阻丝构成的立方体框架，每根电阻丝的电阻均 d 为 r，现将其中一根拆去，求 A、B 两点间的电阻 RAB。 c a D A b C
B
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21．如图所示是一个无限大导体网络，它由无数个大小相同的正三角形网眼构成，小三角 形每边的电阻均为 r，求把该网络中相邻的 A、B 两点接入电路中时，AB 间的电阻 RAB。
r A r r r r r B r r r r r r r r r
16．设在桌面上的固定孤立接线柱数为： （1）4 个； （2）5 个； （3）n 个。 任意两个接线柱间均接入电阻值同为 r 的电阻。求接线柱 1 和 2 间的等效电阻为多大？
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17．三只相同的金属圆圈，两两正交地连成如图所示的形状。若每一只金属圈原长的电阻 为 R，试求图中 A、B 两点间的等效电阻 RAB。
R3 C
E2 R2 E1 R1
4．正四面体 ABCD，每条边的电阻均为 R，取一条边的两个顶点，如图中 A、B，问整个 四面体的等效电阻 RAB 为多少？ C
A
D
B
5．如图所示的电路中，12 个相同的电阻阻值均为 R。试求 a、b 两端的等效电阻 Rab 为多 少？ h b
e
c
f
i
a
d
j
6．有 7 根电阻均为 R 的电阻丝，连成如图所示的电阻网络，试求 A、B 两点之间的等效 电阻。
R23 R1 R1 R1R2 R2 R3 R3 R1 R2
2． △网络变换为 Y 网络 R12 R31 R23 R12 R31R23 ， R2 ， R3 R1 R12 R23 R31 R12 R23 R31 R12 R23 R31
A
B
22．由单位长度电阻为 r 的导线组成如图所示的正方形网络系列。n=1 时，正方形网络边 长为 L，n=2 时，小正方形网络的边长为 L/3；n=3 时，最小正方形网络的边长为 L/9。当 n=1、2、3 时，各网络上 A、B 两点间的电阻分别为多少？ B B B
L
A
n=1
A
n=2
A
n=3
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高中物理竞赛辅导讲义
第8篇 稳恒电流
【知识梳理】 一、基尔霍夫定律（适用于任何复杂电路） 1． 基尔霍夫第一定律（节点电流定律） 流入电路任一节点（三条以上支路汇合点）的电流强度之和等于流出该节点的电流强 度之和。即∑I=0。 若某复杂电路有 n 个节点，但只有（n−1）个独立的方程式。 2． 基尔霍夫第二定律（回路电压定律） 对于电路中任一回路，沿回路环绕一周，电势降落的代数和为零。即∑U=0。 若某复杂电路有 m 个独立回路，就可写出 m 个独立方程式。 二、等效电源定理 1． 等效电压源定理（戴维宁定理） 两端有源网络可以等效于一个电压源，其电动势等于网络的开路端电压，其内阻等于 从网络两端看除源（将电动势短路，内阻仍保留在网络中）网络的电阻。 2． 等效电流源定理（诺尔顿定理） 两端有源网络可等效于一个电流源， 电流源的电流 I0 等于网络两端短路时流经两端点 的电流，内阻等于从网络两端看除源网络的电阻。 三、叠加原理 若电路中有多个电源，则通过电路中任一支路的电流等于各个电动势单独存在时，在 该支路产生的电流之和（代数和） 。 四、Y−△电路的等效代换 如图所示的（a） （b）分别为 Y 网络和△网络，两个网络中的 6 个电阻满足一定关系 时完全等效。 1． Y 网络变换为△网络 R R R2 R3 R3 R1 ， R12 1 2 R3